Análisis Numérico II

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

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Análisis Numérico II

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

• Ecuaciones Tipo • Clasificación • Condiciones de Borde

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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Ecuaciones Tipo

Ecuación de Advección (Hiperbólica) Qe ce

U c(x,t)

U

Dx

c c U 0 t x

c(x+Dx,t)

x

3/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Ecuaciones Tipo

Ecuación de Advección (Hiperbólica)

U

c( x, t )  f ( x  Ut )

4/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Ecuaciones Tipo

Ecuación de Difusión (Parabólica) Qe ce

F(x,t) c(x,t)

c c D 2 t x 2

F(x+Dx,t)

Dx c(x+Dx,t)

x

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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Ecuaciones Tipo

Ecuación de Difusión (Parabólica)

x2  x1  x  c( x, t )  Aerf    2 Dt  6/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Ecuaciones Tipo

Ecuación de Laplace (Elíptica) c1(x) c3(y)

c4(y) c2(x)

c c  2 0 2 x y 2

2

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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Ecuaciones Tipo

Ecuación de Laplace (Elíptica)

c( x, y )  Ae



n y Ly

 n x  sen    Lx 

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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Clasificación

Problema de 2º Orden u u u A( x, y ) 2  2 B( x, y )  C ( x, y ) 2 x xy y 2

2

 u u   D  x, y , u , ,  x y  

2

Condiciones de borde:

u u, n

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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Clasificación

Calculo Primera Derivada  dX dY   dY dX  t  , , ; n    dt   dt dt   dt

 u u dX u dY  t  x dt  y dt    u  u dY  u dX  n x dt y dt

2

2

 dX   dY  D    1  dt   dt 

u u , x y 10/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Clasificación

Calculo Segunda Derivada  dX  dt   0    A 

2    u   d  u   0   2   dt x  x        2 dY    u   d  u         dt   xy   dt  y    2 C   u   D     y 2      

dY dt dX dt 2B

2

dX dY  dY   dX  D  A C   2B  dt dt  dt   dt 

2

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Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Clasificación

Curvas Características D0 dy B  B  AC  dx A 2

  x, y   cte;   x, y   cte Si A, B, C ctes.:

  x, y   y  c1 x  cte;   x, y   y  c2 x  cte 12/24

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales Clasificación

Clasificación Tipo

Curvas d  B  AC características 2

Hiperbólicas

d>0

Reales

Elípticas

d