’ ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 11.1 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables ll.2 Ecuaciones clasicas y problemas de valor en la frontera ll.3 Ecuación de transmisión de calor

ll.4 Ecuación de onda ll.5 Ecuación de Laplace ll.6 Ecuaciones no homogéneas y condiciones en la frontera ll.7 Empleo de series de Fourier generalizadas ll.8 Problemas de valor en la frontera con series de Fourier en dos variables Ejercicios de repaso

En este capítulo veremos dos procedimientos para resolver ecuaciones en derivadas parciales que surgen con frecuencia en .problemas donde aparecen vibraciones,

potenciales y distribuciones de temperatura. Estos problemas se llaman problemas de valor en la frontera y se describen mediante ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden, que son relativamente simples. Lo que se hace es hallar las soluciones particulares de una ecuación en derivadas parciales reduciendola a dos o más ecuaciones

diferenciales

ordinarias.

Comenzaremos con el método de separación de variables para ecuaciones en derivadas parciales lineales. Su aplicación nos regresa a los importantes conceptos del capítulo 10, de los valores y funciones propios, y del desarrollo de una función en una serie infinita de funciones ortogonales.

477

478

CAP’hUlO

ll

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS OE VALOR EN LA FROMERA

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES SEPARABLES .EDP* lineal de segundo orden W Homogénea W No homogénea W Soluci& W Ecuaciones separables n Constante de separación n Principio de superposición W Clasificación de las EDP lineales de segundo orden

Ecuaciones lineales La forma general de una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden (EDP) con dos variables independientes, x y y, es

en que A, B, C, . . . , G son funciones de x y y. Cuando G(x, y) = 0, la ecuación se llama homogénea; en cualquier otro caso es no homog6nea. EDP lineal homogénea

a2u a2

a2u a2

azu aY

au ay

La ecuación - + - - u = 0 es homogénea, mientras que - - - = 2 es no homogénea.

n

Una solución de una ecuación en derivadas parciales con dos variables independientes x y y es una función u(x, y) que posee todas las derivadas parciales que indica la ecuación y que la satisface en alguna región del plano xy. Como dice la introducción a este capítulo, no pretendemos concentrarnos en los procedimientos de determinación de las soluciones generales de las ecuaciones en derivadas parciales. Desafortunadamente, para la mayor parte de las ecuaciones lineales de segundo orden -aun con las que tienen coeficientes constantes- no es facil llegar a una solución. Sin embargo, las cosas no están tan mal como parecen porque casi siempre es posible, y bastante sencillo, hallar soluciones particulares de las ecuaciones lineales importantes que se originan en muchas aplicaciones.

Separación de variables Aunque hay varios métodos que pueden ensayarse para encontrar soluciones particulares (véase los problemas 28 y 29 de los ejercicios ll. l), solo nos interesara uno: el m6todo de Separación de variables. Cuando se busca una solución particular en forma de un producto de una función de x por una función dey, como u(x, Y) = -WY(Y), a veces es posible convertir una ecuación en derivadas parciales, lineal con dos variables en dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Para hacerlo notemos que

Y

que

donde la “prima” denota derivación ordinaria. *Notu del editor: Tcuación diferencial en derivadas parciales” se abreviar8 en “ecuación en derivadas parciales” y ocasionalmente como EDR

Sección ll

Ecuaciones diferenciales en derivados parciales separables

.l

479

Separación de variables

(1)

Determine las soluciones producto de e = 4 -

a2

SOLUCIÓN

ai

Si U(X, y) = X(x)Y(y), la ecuación se transforma en XUY = 4xY’.

Dividimos ambos lados entre 4XY, con lo cual separamos las variables: X” Y’ -=-* 4x Y Puesto que el lado izquierdo de esta ecuación es independie?te dey e igual al iado derecho, que es independiente de x, llegamos a la conclusion que ambos lados son independientes tanto de x como dey. En otras palabras, cada lado de la ecuación debe ser una constante. En la práctica se acostumbra escribir esta constante de separtición real como X2 o -X2. Distinguimos los tres casos siguientes. CASO I

Si X2 > 0, las dos igualdades xv Y’ ** -=-= 4x Y

dan

X” -4x2x=o

y

Y’ - X2Y = 0.

Estas ecuaciones tienen las soluciones siguientes: X= CI cosh 2xW + c2 senh 2Xr y Y = cse”“, respectivamente. Así, una solución particular de la ecuación es u=xY

= (cl cosh 2hx + c2 senh2hx)(c3e^‘Y) = A,@*Ycosh 2Ax + BIeA2ysenh2Ax,

CASO II

Si -X2 < 0, las dos igualdades x” Y’ -A2 -=-= 4x Y

equivalen a

X” + 4xZx = 0

Y

Y’ + X2Y = 0

En vista de que las soluciones de estas ecuaciones son X= c4 cos 2xX +

c5

sen 2Xr

y

Y = csex*y,

(2)

480

CAPíTULO

ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA

respectivamente, otra solución particular es u = A2esAZY cos 2Ax + BzcA2y sen2hx,

(3)

en donde AZ = c& y BZ = c5c6. CASO III

Si X2 = 0, entonces X”=O

En este caso y entonces

y

x=c7x+c8

Y’ = 0. y

u=Ag+Bj,

Y=

c9

(4) n

en donde A3 = cm y B3 = cSe9.

Se deja como ejercicio comprobar que las ecuaciones (2), (3) y (4) satisfacen la ecuación del ejemplo. (Véase el problema 30, en los ejercicios ll. 1.) La separación de variables no es un método general para hallar soluciones particulares; algunas ecuaciones diferenciales simplemente no son separables. El lector debe comprobar que la hipótesis u = XYno conduce a una solución de a2ulax2 - dulay = x.

Principio de superposición El teorema siguiente es análogo al teorema 4.2 y se denomina principio de superposición.

En lo que resta del capítulo supondremos que siempre que haya un conjunto infinito

de soluciones de una ecuación lineal homogénea, se puede construir otra solución, a, formando la serie infinita x u = c ckuk k=l

en que las cj, i = 1,2, . . . , son constantes.

Clasificación de las ecuaciones Una ecuación en derivadas parciales, lineal de segundo orden con dos variables independientes y con coeficientes constantes, puede pertenecer a uno de tres tipos generales. Esta clasificación sólo depende de los coeficientes de las derivadas de segundo orden. Naturalmente, suponemos que al menos uno de los coeficientes A, B y C no es cero.

Sección ll .l

Ecuaciones diferenciales en

dariiadas parciales sepambles

Clasificación de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

Clasifique

las

siguientes

ecuaciones:

(a) 3% = g (b) $ =$ SOLUCIÓN

(c)

481

1

!!$ + $= 0

a) Escribimos esta ecuación como

.,

~!Z!-!%=O ax2 ay

e identificamos de esta forma los coeficientes: A = 3, B = 0 y C = 0. En vista de que & - 4AC = 0, la ecuación es parabólica. b) Rearreglamos la ecuación

a*u a2u o ---= ax2 aY2 y vemos que A = 1, B = 0, C = -1 y B2 - 4AC = -4(1)(-1) > 0. La ecuación es hiperbólica. C) Con A = 1, B = 0, C = 1, entonces B2 - 4AC = -4(l)(l) C’O. La ecuación es elíptica. La explicación detallada de propósito de este libro, pero la ‘. * sujetas a ciertas condrctones adecuadas para cierta ecuación

n

por qué se clasífican las ecuaciones de segundo orden sale del respuesta está en el hecho de que se desea resolver ecuaciones que pueden ser de frontera o iniciales. El tipo de condiciones depende de si es hiperbólica, parabólica o elíptica.

Las respuestas a los problemas nones se encuentran en el apéndice de respuestas.

En los problemas 1 a 16 aplique la separación de variables para hallar, si es posible, soluciones producto para la ecuación diferencial respectiva.

482

CAPÍTULO ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DFRIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA

1 !g=au *ax ay

2

3. u, + u, = u

4. u, = uy + u

5. xg=yg

6. yg+x$=O

,.!!k+z!k+eL()

axay

8. y -a2u+ u = o

dX¿Q

ay2,

,.k$&=$,

!e+~!cL() * ax ay

10. ks=$, k>O

k>O

ll. d$=$

12. a2f$=%+2k$,

13.S+$=o

14.x2~+$=o

15. u,, + uyy = u

16.

u2u,

- g = utr,

k>O

g = constante

En los problemas 17 a 26 clasifique la respectiva ecuación diferencial parcial como hiperbólica, parabólica o elíptica. 1, a2u

* ax2

I a2u

axay

I a2u

aY2

- o

2. -a2u- a2u - - &LO * ax2 axay aY2

19 a2u+&L+~a2u=(J

' ax2

21.

axay

aY2

!+“” axay

22. -Ai+ a2u

axay

aY2

23. $!+2-!%+i!?!+~-fj~=O

axay

aY2

24 azU+a2u=u

' ax* aY2

25

.

26

a2a'u=a2u ax2

at2

'

ki!hau ax2

5'

k>O

27. Demuestre que la ecuación

tiene Ia solución en forma de producto u = e+“*‘(AJo(Ar) + BY,(hr)). 28. a) Demuestre que la ecuación a2a2u=a2u

ax2

at2

se puede escribir en la forma a2ulaq a< = 0 mediante las sustituciones < = x + at, 11 = x - at.

Sección

ll .2

Ecuaciones dásicas

y problemas de valor en la frontara

483

b) Demuestre que la solución de la ecuación es u = F(x + at) + G(x - at), en que F y G son funciones arbitrarias doblemente diferenciables.

a2u a2

a% axay

29. Halle las soluciones de - + - - 6 ?f?! = 0 que tengan la forma u = emx+“‘.

ay”

30. Compruebe que los productos en las ecuaciones (2), (3) y (4) satisfacen la ecuación (1). 31. La definición ll. 1 se generaliza a las ecuaciones lineales con coeficientes función de x y y. Determine las regiones del plano xy para las cuales la ecuación

e + xy2u = 0 cv+l)~+(~+2Y)~ + ay2 es hiperbólica, parabólica o elíptica.

ECUACIONES CLÁSICAS Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA n Ecuación de transmisión unidimensional de calora El laplaciano w Ecuación de Laplace con dos variables W Condiciones iniciales w Tipos de condiciones en la frontera W Problemas de valor en la frontera w Ecuaciones en derivadas parciales clásicas modifcadas

Durante el resto de este capítulo nos ocuparemos principalmente en hallar soluciones en forma de producto de las ecuaciones en derivadas parciales k$=$,

k>O

u&=a’u ax2 at2

o pequenas variaciones de las mismas. A estas ecuaciones clásicas de la física matemática se les conoce, respectivamente, como ecuación en una dimensión del calor, ecuación de onda unidimensional y ecuación de Laplace en dos dimensiones. “En una dimensión” indica que x representa .una dimensión espacial y que representa al tiempo. La ecuación de Laplace se abrevia V2u = 0, donde

t

vzu

- ax2a*u ; a2u aY2

es el laplaciano en dos dimensiones de la función U. En tres dimensiones, el laplaciano de u es 172u=a2u+a2u+a2u ax2 aY2 az2'

484

CAPíTUlO

ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN IA FRONTERA

Obsérvese que la ecuación (1) de transmisión de calor es parabólica, la ecuación de onda (2) es hiperbólica y la ecuación de Laplace (3) es elíptica.

Ecuación de transmisión de calor La ecuación (1) se origina en la teoría del flujo de calor; esto es, el calor transferido por conducción en una varilla o alambre delgado. La función U(X, t) es la temperatura. Los problemas de vibraciones mecánicas conducen con frecuencia a la ecuación de onda (2). Para los fines que se analizan aquí, una solución u(x, t) de la ecuación (2) representa el desplazamiento de una cuerda ideal. Por último, una solución u(x, r) de la ecuación (3) de Laplace se puede interpretar como la distribución de estado estable (esto es, independiente del tiempo) de la temperatura en una placa delgada y bidimensional. Aun cuando debamos hacer muchas hipótesis simplificadoras LO nó?, vale la pena ver cómo se originan ecuaciones como la (1) y la (2). Supongamos que una varilla circular delgada de 1ongitudL tiene una sección transversal de área A y que coincide con el eje x en el intervalo [0, L] (Fig. ll. 1). También supongamos que

sección pnsversal de tiea A

0

x

x+Ax

L

i

FIGURA ll. 1

El flujo de calor dentro de la varilla solo tiene la dirección x. W La superficie lateral, ó curva, de la varilla está aislada; esto es, no escapa calor de esa superficie. n No se genera calor dentro de la varilla. W La varilla es homogénea -es decir, su masa por unidad de volumen p es constante. W El calor específico y y la conductividad térmica del material de la varilla K son constantes. n

Para derivar la ecuación gferencial parcial que satisface la temperatura u(x, t), necesitamos dos leyes empíricas de la conducción de calor: i) La cantidad de calor Q en un elemento de masa m es

Q = ww

(4)

donde u es la temperatura del elemento. ii) La tasa de jlujo de calor Qt a través de la sección transversal de la figura 11.1 es proporcional al área A de esa sección y a la derivada parcial de la temperatura con respecto a x: Qt=-KAu,.

(5)

Puesto que el calor fluye en dirección de la temperatura decreciente se incluye el signo menos en la ecuación (5) a fin de asegurar que Qt sea positivo para U, < 0 (flujo de calor hacia la derecha) y negativo para U, > 0 (flujo de calor hacia la izquierda). Si el corte circular de la varilla

Sección

ll .2

Ecuaciones clásicas y problemas de valor en la frontera

485

(Fig. 11.1) entre x y-x + Ax es muy delgado, cabe suponer que u(x, t) es la temperatura aproximada en todo punto del intervalo. Ahora bien, la masa del corte es m = p(A Ax), de manera que, según la ecuación (4), la cantidad de calor en él es, Q = ypAAxu.

(6)

Ademas, cuando el calor fluye hacia la dirección de las x positivas, vemos que, de acuerdo con la ecuación (5), ese calor se acumula en el corte con la razón neta -KAu,(x, t) - [-KAu,(x + Ax, t)] = KA[u&-+ Ax, t) - u,(x, t)].

(7)

Al diferenciar la ecuación (6) con respecto a t vemos que esa razón neta también está expresada por

Qt = WA Ax u,.

(8)

Igualamos (7) y (S), y de ello resulta

Tomamos el límite de esta ecuación cuando Ax + 0, y llegamos a la ecuación (1) en la forma* K -24, = u 0. Además se supone que: La cuerda es perfectamente flexible. w La cuerda es homogenea esto es, p, su masa por unidad de longitud, es constante. n Los desplazamientos u son pequefíos en comparación con la longitud de la cuerda. w La pendiente de la curva es pequeña en todos sus puntos. w La tensión T actúa tangente a la cuerda y su magnitud T es la misma en todos los puntos. n La tensión es considerable en comparación con la fuerza de gravedad. n No hay otras fuerzas externas actuando subre la cuerda. n

En la figura ll .2(b), las tensiones Tl y T2 son tangentes a los extremos de la curva en el intervalo [x, x + Ax].-Para 191 y 02 pequeños, la fuerza vertical neta que actúa sobre el elemento b correspondiente de la cuerda es, por consiguiente,

*Recordamos, del cálculo difiencial, que u, = lím AK+0

u& + Ax, t) - u&, t) A x

486

CAP’hJLO

ll ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA

(al

I

x+Ax

x

x

detalle del segmento (b) FIGURA ll .2

Tsene2-Tsenel=Ttan82-Ttan81 = T[u,(x + Ax, t) - ux(x, t)},* en donde T = ITl( = lT21. Ahora, p As c- p Ax es la masa de la cuerda en [x, x + Ax) y al aplicar la segunda ley de Newton obtenemos í+,(x + Ax, t) - l¿,(x, t)] = p Ax ufl 0 sea Si se toma el límite cuando Ax + 0, esta última ecuación se transforma en U, = (p/í’)u,,. Esto es la ecuación (2) en que 2 = Tlp.

Ecuación de Laplace Aunque no presentaremos su derivación, esta ecuación en dos o tres dimensiones surge en problemas independientes del tiempo que conciernen potenciales como el electrostático, el gravitacional y la velocidad en mecánica de fluidos. Además, una solución de la ecuación de Laplaee se puede interpretar como la distribución de temperatura en un estado estable. Según la figura II .3, una solución u(x, t) podría representar la temperaura que varía de un punto a otro -pero no con el tiempo- en una placa rectangular. Con frecuencia hay que hallar las soluciones de las ecuaciones (l), (2) y (3) que satisfagan ciertas condiciones adicionales. Condiciones iniciales Puesto que las soluciones de las ecuaciones (1) y (2) dependen del tiempo I, podemos indicar qué sucede cuando t = 0; esto es, podemos establecer las *tan 8, = u&x + Ax, t) y tan CI = u&, t) son expresiones equivalentes para la pendiente.

Sección ll .2

Ecuaciones dásicus y problemas de valar en la frontero

487

la temperatura es función de la posicibn en la placa

FIGURA ll.3

condiciones iniciales (CI). Sif(x) representa la distribucion iniciaMe temperatura en la varilla de la figura ll. 1, entonces una solución U(X, t) de (1) debe satisfacer la condición inicial única U(X, 0) =f(x), 0 c x < L. Por otro lado, en el caso de una cuerda vibratoria es posible especificar su desplazamiento (o forma) inicial&)-y su velocidad inicial g(x). En términos maternaticos, se busca una función U(X, t) que satisfaga la ecuación (2) y las dos condiciones iniciales: U(& 0) = f(x),

$itzo = g(x), 0 < x < L.

Por ejemplo, la cuerda se puede tocar como muestra la figura 11.4, soltandola del reposo k(4 = 0).

enx=O

enx=L

FIGURA ll.4

Condiciones en la. frontera

La cuerda de la figura 11.4 está fija en el eje x en x = 0 y x = L. Esto lo traducimos en las dos condiciones en la frontera (CF) siguientes: u(0, t) = 0,

u(L, t) = 0,

t > 0.

Nótese que en este contexto la fbnciónfes continua en la ecuación (10) y, en consecuencia, f(O) = 0 y f(L) = 0. En general hay tres tipos de condiciones en la frontera relacionadas con ecuaciones como la (l), (2) o (3). En una frontera podemos especificar los valores de una de las siguientes cantidades:

9 u,

au

ii) - ,

&7

o bien

iii) -t +

an

hu,

h constante.

488

CAPíTULO

ll

ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y PROBLEMAS DE VALOR EN LA FRONTERA

Aquí ¿Iul&r representa la derivada normal de u (la derivada direccional de u en la dirección perpendicular a la frontera). Una condición a la frontera del primer tipo, i), se llama condición de Dirichlet; del segundo tipo, ii), condición de Neumann, y del tercer tipo, iii), condición de Robin. Por ejemplo, cuando t > 0, una condición frecuente en el extremo derecho de la varilla en la figura ll. 1 puede ser i)’ u(L, t) = UO,

au

ii)’ =g x=L~

au ax

iii)’ -

240 = constante,

Obien

= -h(u(L, t) - urn),

h > 0 y um constantes.

x=L

La condición i)’ tan sólo expresa que la frontera x = L se mantiene a una temperatura UO constante en todo momento t > 0 por algún medio. La condición ii)’ indica que la frontera x = L está aislada. Según la ley empírica de la transmisión de calor, el flujo del mismo a través de una sección (esto es, la cantidad de calor por unidad de área y por unidad de tiempo que es conducida a través de la frontera) es proporcional al valor de la derivada normal &.hn de la temperatura u. Así, cuando la frontera x = L está térmicamente aislada, no entra ni sale calor de la varilla y au ax x=L =

0.

Podemos interpretar que la condición iii)’ representa el calor que se pierde del extremo derecho de la varilla al estar en contacto con un medio como aire o agua, que permanece a una temperatura constante. Según la ley de Newton del enfriamiento, el flujo del calor que sale de la varilla es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la misma u(L, t) en el extremo y la temperatura u, del medio que la rodea. Observamos que si se pierde calor del extremo izquierdo, la condición en la frontera es f3.l

z =” = h(u(O,O x

- hn).

El cambio de signo algebraico concuerda con la hipótesis de que la varilla tiene una temperatura mayor que el medio que rodea sus extremos; de manera que, ~(0, t) > u, y u(L, t) > u,. En x = 0 y x = L, las pendientes de ~~(0, t) y u,.(L, t) deben ser positiva y negativa, respectivamente. Está claro que podemos especificar condiciones distintas al mismo tiempo en los extremos de la varilla; por ejemplo, au 0 ax x=n =

and

u(L,t)=uo,

t>o.

Nótese que la condición en la frontera (CF) en i)’ es homogénea si ug = 0; ahora bien, si ug # 0, es no homogénea. La condición en la frontera ii)’ es homogénea y en iii)’ es homogénea si u,,, = 0 y no homogénea si u,,, # 0.

Sección ll .2

Ecuaciones clásicos y problemas de valor en la frontero

Problemas de valor en la frontera Resolver:

,d2u d2Ll as=af2,

Sujeta a:

(BC)

~(0, t) = 0,

(IC)

u(x, 0) = f(x),

489

Los problemas como

OO

(11)

Y 2

Resolved:

Sujeta a:

$++=O, O