ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK Kapitel 2: Elementare Logik und Beweise MAA.01011UB

MAA.01011PH

Vorlesung mit Übung im WS 2016/17

Christoph GRUBER Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen an der Karl-Franzens-Universität Graz Institut für Allgemeinbildende Fächer der Sekundarpädagogik an der Pädagogischen Hochschule Steiermark

Elementare Logik Eine (mathematische oder logische) Aussage ist entweder wahr oder falsch. Eine (mathematische oder logische) Aussageform (oder Prädikat) enthält eine (oder mehrere) freie Variablen (= Unbestimmte). Durch Einsetzen konkreter Werte für die Variablen entsteht aus einer Aussageform eine Aussage, die dann entweder wahr oder falsch ist.

Operationen mit Aussagen (= logische Verknüpfungen): Aus (ein oder zwei) Aussagen wird eine neue Aussage gebildet. Für das Folgende seien Negation:

¬A

(,,nicht

A

und

A,

B

,,non

(irgendwelche) Aussagen.

A)

ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn

A

falsch ist.

Konjunktion:

A∧B

(,,A und

B )

ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn sowohl

B

A

als auch

wahr sind.

Disjunktion:

A∨B

(,,A oder

B )

ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn

A

wahr ist oder

B

wahr ist (oder beide). Implikation:

(,,aus A folgt B , ,,A impliziert B , A , ,,A ist hinreichend für B ) genau dann wahr ist, wenn A falsch ist

A⇒B

,,B ist notwendig für ist die Aussage, die

oder

B

wahr ist. Äquivalenz:

A⇔B

(,,A und

,,A gilt genau dann, wenn hinreichend für

B

B

sind (logisch) gleichwertig ,

gilt ,

,,A ist notwendig und

B )

ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn beide wahr oder beide falsch sind.

A

und

B

entweder

Beispiel 2.1:

Zeigen Sie mittels einer Wahrheitstafel, dass für

beliebige Aussagen

M

und

N

gilt:

M ⇔ N ⇔ (M ⇒ N ) ∧ (N ⇒ M) Die logischen Operationen können auch für Aussageformen verwendet werden! (Was bedeutet dies genau?)

Beispiel 2.2:

x ∈ R betrachten wir die Aussageformen G(x) = (x ∈ Z) ∧ (x > −2/3) und H(x) = x ∈ N . Für

Zeigen Sie, dass für alle

x ∈R

gilt:

Was haben wir damit bewiesen?

G(x) ⇔ H(x).

Logische Quantoren:

machen aus Aussageformen eine Aussage.

M eine Menge Elemente x ∈ M . Es seien

und

A

eine Aussageform für beliebige

∀x ∈ M : A ist wahr genau dann, x ∈ M die Aussage A(x) wahr ist.

Die Aussage Elemente

wenn für alle

∃x ∈ M : A ist wahr genau dann, wenn es x ∈ M gibt, für das die Aussage A(x) wahr ist. kann/darf auch mehrere solche x geben!)

Die Aussage

ein

Element (Es

Beispiel 2.3:

Für

x, y ∈ R

sei die Aussageform

A= x ≤y

gegeben. Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch:

∀x ∈ R : ∀y ∈ R : A ∀y ∈ R : ∃x ∈ R : A

∀x ∈ R : ∃y ∈ R : A ∃x ∈ R : ∀y ∈ R : A

∃y ∈ R : ∀x ∈ R : A ∃y ∈ R : ∃x ∈ R : A

Denition (2.1) (Mengenrelationen und -operationen mit logischen Symbolen) a)

Es seien

M

und

N

beliebige Mengen. Wir denieren:

def

(M ⊂ N) ⇐⇒ ∀x ∈ M : x ∈ N   def (M = N) ⇐⇒ (∀x : x ∈ M ⇔ x ∈ N)⇔ (M ⊂ N) ∧ (N ⊂ M) M ∩ N = {x | x ∈ M ∧ x ∈ N} M ∪ N = {x | x ∈ M ∨ x ∈ N} M \ N = {x ∈ M | x ∈ / N}

Denition (2.1) (Fortsetzung) b)

Es sei

I

eine nichtleere Menge, und für jedes

i ∈I

sei

Mi

eine

Menge. Dann heiÿt

\

Mi = {x | ∀i ∈ I : x ∈ Mi }

i∈I die Durchschnittsmenge der Familie von Mengen

[

(Mi )i∈I ,

Mi = {x | ∃i ∈ I : x ∈ Mi }

i∈I die Vereinigungsmenge der Familie von Mengen

Beispiel 2.4: für

I = N:

Beschreiben Sie die folgenden Mengen:

S

{−n, n}

n∈I für

(Mi )i∈I .

I = R+ = {x ∈ R | x > 0}:

T x∈I

[0, x]

und

Beweise Typischer logischer Aufbau eines mathematischen Satzes:

I. Vereinbarungen:

Angabe der verwendeten Begrie/Objekte/

Bezeichnungen

II. Voraussetzung:

Aussage

A,

die für die verwendeten Objekte

wahr sein soll

III. Behauptung:

Aussage

B , deren Wahrheit bewiesen werden soll

Beweisvorgang: Wir nehmen an, dass

A

Richtigkeit der Aussage

richtig ist, und versuchen damit, die

B

herzuleiten.

Logischer Beweisaufbau:



 A ∧ (A ⇒ B) ⇒ B

Praktische Hilfsmittel zum Beweis (in logischer Sprache):

A, B

und

C

seien Aussagen.

*) Schrittweises Schlieÿen:



 (A ⇒ C) ∧ (C ⇒ B) ⇒ (A ⇒ B)

*) Indirekter Beweis: (¬B ⇒ ¬A) ⇔ (A ⇒ B) Wir nehmen an, dass dass dann

A

B

falsch ist, und versuchen damit zu zeigen,

auch falsch ist.

*) Beweis durch Widerspruch: ¬(¬B ∧ A) ⇔ (A ⇒ B) Wir nehmen an, dass

A

und

¬B

beide richtig sind, und versuchen

damit auf einen Widerspruch (eine falsche Aussage) zu kommen.

Beispiel 2.5:

Beweis von Beispiel 1.10

Für beliebige Mengen wenn

......

.

X

und

Y

gilt

X ×Y =Y ×X

genau dann,

Satz (2.1) (Rechenregeln für Mengenoperationen) Für (beliebige) Mengen

A, B

und

C

gelten die folgenden Aussagen:

Kommutativgesetze:

A∪B =B ∪A

A∩B =B ∩A

Assoziativgesetze:

A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C

Distributivgesetze:

A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

De Morgan'sche Regeln:

A \ (B ∪ C ) = (A \ B) ∩ (A \ C )

A \ (B ∩ C ) = (A \ B) ∪ (A \ C )

Beispiel 2.6: Beweisen Sie, dass für beliebige a) A ⊂ A ∪ B , A ∩ B ⊂ A, A \ B ⊂ A

Mengen

A und B

gilt:

b) (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B) Beispiel 2.7:

Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen

A

und

M

je 2

der folgenden 4 Aussagen zueinander äquivalent sind:

A1 = A ⊂ M

,

A4 = A \ M = ∅ Beispiel 2.8:

A2 = A ∪ M = M

,

A3 = A ∩ M = A

,

.

Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen

P(M) ∩ P(N) = P(M ∩ N)

und

M

und

gilt:

P(M) ∪ P(N) ⊂ P(M ∪ N) .

Suchen Sie Bedingungen, unter denen in der zweiten Formel Mengengleichheit gilt!

N