Elementare Stochastik

Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II Herausgegeben von Prof. Dr. Friedhelm Padberg Universität Bielefeld

Bisher erschienene Bände (Auswahl):

Didaktik der Mathematik P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder – Diagnostik und Förderung (P) M. Franke: Didaktik der Geometrie (P) M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P) K. Hasemann/H. Gasteiger: Anfangsunterricht Mathematik (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe (P) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe, Band 2 (P) F. Käpnick: Mathematiklernen in der Grundschule (P) G. Krauthausen: Digitale Medien im Mathematikunterricht der Grundschule (P) G. Krauthausen/P. Scherer: Einführung in die Mathematikdidaktik (P) G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P) F. Padberg/C. Benz: Didaktik der Arithmetik (P) P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (P) A.-S. Steinweg: Algebra in der Grundschule – Muster und Strukturen/Gleichungen/funktionale Beziehungen (P) G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S) R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S) G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S) K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Sekundarstufe I (S) F. Padberg: Didaktik der Bruchrechnung (S) H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S) H.-J. Vollrath/J. Roth: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S) H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S) H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S)

Mathematik F. Padberg: Einführung in die Mathematik I – Arithmetik (P) F. Padberg: Zahlentheorie und Arithmetik (P) K. Appell/J. Appell: Mengen – Zahlen – Zahlbereiche (P/S) A. Filler: Elementare Lineare Algebra (P/S) S. Krauter/C. Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie (P/S) H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S) T. Leuders: Erlebnis Arithmetik (P/S) F. Padberg: Elementare Zahlentheorie (P/S) F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S) A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S) G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S) P: Schwerpunkt Primarstufe S: Schwerpunkt Sekundarstufe Weitere Bände in Vorbereitung

Herbert Kütting • Martin J. Sauer

Elementare Stochastik Mathematische Grundlagen und didaktische Konzepte 3. Auflage

Herbert Kütting Martin J. Sauer Institut für Didaktik der Mathematik und Universität Münster Münster, Deutschland

ISBN 978-3-642-40857-1 DOI 10.1007/978-3-8274-2760-1

ISBN 978-3-8274-2760-1 (eBook)

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1999, 2008, 2011, korrigierter Nachdruck 2014 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Dr. Meike Barth Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.springer-spektrum.de

Vorwort Aus dem Vorwort zur 1. Auflage Bei der Abfassung des Buches konnte der Autor auf langj¨ ahrige Erfahrungen ¨ aus Vorlesungen, Ubungen und Seminaren zur Stochastik zur¨ uckgreifen, die ihn nachhaltig darin best¨ arkten, dass noch so ausf¨ uhrliche Erl¨ auterungen nie die ¨ Wirksamkeit von Beispielen erreichen. Und so nehmen Beispiele und Ubungsaufgaben – beide f¨ ur das Verstehen von Mathematik von eminenter Bedeutung – in unserer Darstellung der Theorie einen breiten Raum ein. Beispiele erleichtern die Erarbeitung und die Anwendung der Begriffe und Regeln und erzeugen ¨ Motivation, Aufgaben dienen daneben der Uberpr¨ ufung des erreichten Kenntnisstandes und der Vertiefung des Stoffes. Sie f¨ ordern selbst¨ andiges Tun. Da der Autor davon u ¨berzeugt ist, dass ein Blick in die Entstehungsgeschichte einer mathematischen Disziplin den Zugang zu dieser Disziplin sehr erleichtern kann, werden im vorliegenden Buch auch Aspekte der Entwicklungsgeschichte der Stochastik mit ihren faszinierenden Problemen und Paradoxien ber¨ ucksichtigt. Das Werden von Wissenschaft wird gleichsam miterlebt. Das gibt auch wiederum Gelegenheit zur didaktischen Reflexion. Auswahl und Umfang der Themenkreise waren unter Ber¨ ucksichtigung unterschiedlicher Vorgaben zu treffen, die sich aus der Sache und dem Adressatenkreis ergeben. Die Sache selbst, also das Stoffgebiet Stochastik, verlangt auch bei einer elementaren Einf¨ uhrung eine Darstellung in einem Umfang, der sichtbar machen kann, was Stochastik meint. Andererseits d¨ urfen die durch die Zielgruppe festgelegten Vorgaben, die wesentlich durch zeitliche Beschr¨ ankungen gekennzeichnet sind, nicht u ¨bersehen werden. Es muß also davon ausgegangen werden, dass nicht in jedem Kurs alle hier angesprochenen Themenkreise behandelt werden k¨ onnen. Der Aufbau des Buches l¨ asst dem Dozenten die Freiheit, durch eine Auswahl Schwerpunkte zu setzen. In Kapitel I geht es um eine kurze Betrachtung u altnis zwischen ¨ber das Verh¨ Zufall und Wahrscheinlichkeit und um eine Beschreibung der Zielvorstellung. Der Zufall soll dem mathematischen Denken unterworfen und soweit wie m¨ oglich entschl¨ usselt werden. Das sehr umfangreiche Kapitel II beleuchtet die Urspr¨ unge der Wahrscheinlichkeitsrechnung und l¨ asst die spannende Diskussion, die die ber¨ uhmten Beispiele ausl¨ osten, aufleben. Bevor dann die Stochastik axiomatisch aufgebaut wird, werden zun¨ achst erste Schritte des Modellbildungsprozesses behandelt. Da die Laplace-Wahrscheinlichkeit, die in den axiomatischen Aufbau eingebettet ist, zu ihrer Berechnung Anzahlbestimmungen verlangt, m¨ ussen Strategien f¨ ur geschicktes Z¨ ahlen entwickelt werden. Hier nimmt das Fundamentalprinzip des Z¨ ahlens eine beherrschende Rolle ein. Besondere Auswahlsituationen f¨ uhren

vi

Vorwort

dann auf spezifische kombinatorische Figuren wie geordnete bzw. ungeordnete Proben. Nach diesem Exkurs in die Kombinatorik wird das Geb¨ aude der Stochastik durch die Einf¨ uhrung der bedingten Wahrscheinlichkeit, der totalen Wahrscheinlichkeit und des Begriffs der stochastischen Unabh¨ angigkeit von Ereignissen erweitert. Kapitel III unterbricht den Theorieausbau der Stochastik und widmet sich dem reizvollen Thema der Simulation, einem Thema, das heute weite Bereiche in den Wissenschaften und in der Praxis beherrscht. Die dargelegten grunds¨ atz¨ lichen Uberlegungen und die L¨ osung von Problemen mit Hilfe von Zufallszahlen (Monte-Carlo-Methode) k¨ onnen einen Eindruck von der Kraft der Methode vermitteln, insbesondere dann, wenn rechenstarke Computer eingesetzt werden. In Kapitel IV werden mit den Begriffen Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen zentrale Begriffe f¨ ur die Stochastik eingef¨ uhrt. Es erfolgt eine Abstraktion vom Besonderen einer Ergebnismenge und damit eine wichtige Erweiterung der Theorie. Kapitel V greift spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen heraus, die wir als geeignete Modelle zur L¨ osung von realen Problemen h¨ aufig verwenden. In Kapitel VI wird mit Hilfe der Tschbyscheffschen Ungleichung das Schwache Gesetz der großen Zahlen bewiesen, das eine Beziehung zwischen der Wahrscheinlichkeit und der relativen H¨ aufigkeit aufzeigt.

M¨ unster, im Januar 1999

Herbert K¨ utting

Vorwort

vii

Vorwort zur 3. Auflage Die a ¨ußerst freundliche Aufnahme der 2. Auflage macht schon eine weitere Auflage erforderlich. Wir danken dem Verlag, dass er unseren Wunsch unterst¨ utzte und der Aufnahme von weiteren Themenkreisen, die uns aus dem Leserkreis angetragen worden waren und ver¨ anderten Studieng¨ angen Rechnung tragen, zustimmte. Die u ¨berarbeitete und wiederum stark erweiterte 3. Auflage richtet sich vornehmlich an Lehramtsstudierende, die Mathematik als eines ihrer F¨ acher haben, an Studierende in den Bachelor- und Masterstudieng¨ angen und an Lehrer mit dem Fach Mathematik. ¨ Die Uberarbeitung verbessert zur Verst¨ andniserleichterung einige Formulierungen und legt insbesondere im Kapitel 4 Zufallsvariable, Erwartungswert ” und Varianz“ eine noch breitere sorgf¨ altige mathematische Fundierung dieser Begriffe. Hatten wir schon in der zweiten Auflage einen neuen Abschnitt Geome” trische Wahrscheinlichkeiten“ und im Abschnitt Kombinatorisches Z¨ ahlen“ ” drei neue Themenbereiche (k-stellige Sequenzen; Rencontre-Probleme; VierSchritte-Modell) aufgenommen und in zwei weiteren Kapiteln (Allgemeine Wahrscheinlichkeitsr¨ aume; Wahrscheinlichkeitsmaße auf (IR, B(I)) die Thematik auf abz¨ ahlbar-unendliche und u ahlber-unendliche Wahrscheinlich¨berabz¨ keitsr¨ aume ausgeweitet, so haben wir jetzt in der 3. Auflage drei weitere Kapitel hinzugef¨ ugt. In Kapitel 1 wird die Beschreibende Statistik“ (einschließlich der ” historischen Entwicklung), im Kapitel 9 Sch¨ atzen“ und im Kapitel 10 Testen“ ” ” werden Themen der induktiven Statistik ausf¨ uhrlich behandelt. Bei der Neugestaltung leitete uns wie bisher der didaktische Grundsatz, dass Beispiele und Aufgaben das Verstehen von Mathematik erleichtern, und so bilden sie auch in der erweiterten dritten Auflage das R¨ uckgrat der Darstellung. Die ann¨ ahernd 100 nummerierten, ausf¨ uhrlich dargestellten Beispiele und eine große Anzahl weiterer Beispiele aus Theorie und Praxis erf¨ ullen zwei Funkbehutsam in die neutionen. Sie dienen einerseits der Motivation und f¨ uhren en Begriffe und S¨ atze ein, und sie zeigen andererseits nach der Erarbeitung der Theorie erste Anwendungsbereiche auf. Die dadurch sich ergebende breitere Darstellung kommt dem in das Sachgebiet Einsteigenden entgegen und regt zum Selbststudium an. In vielen Themenbereichen heben Anmerkungen und Hinweise zur Didaktik einzelne Gesichtspunkte hervor (Modellbildungsprozese, Einsatz von Baumdiagrammen und Feldertafeln, verschiedene L¨ osungswege, Aufgabenvarianten), so dass unterschiedliche Sichtweisen deutlich werden und sich ein Beziehungsgeflecht aufbauen kann. ¨ Zur Uberpr¨ ufung der erarbeiteten Themenbereiche bieten die u ¨ ber 150 Aufgaben mit zahlreichen Unterpunkten ein reiches Bet¨ atigungsfeld. Die Angabe

viii

Vorwort

von Ergebnissen und L¨ osungshinweisen im Kapitel 11 gibt die M¨ oglichkeit der raschen Kontrolle und Best¨ atigung. Frau Anita Kollwitz (M¨ unster) danken wir an dieser Stelle sehr herzlich f¨ ur die nicht immer leichte Arbeit, ein druckfertiges Manuskript sorgf¨ altig mit den ¨ vielen Anderungen und Erg¨ anzungen zu erstellen. Ferner danken wir dem Herausgeber dieser Reihe, Herrn Prof. Dr. F. Padberg (Bielefeld) und dem Verlag f¨ ur die freundliche Unterst¨ utzung bei der Verwirklichung dieser dritten, stark erweiterten Auflage.

M¨ unster, im Februar 2011

Herbert K¨ utting und Martin J. Sauer

Vorwort zum korrigierten Nachdruck der 3. Auflage Neben kleinen Korrekturen haben wir aus didaktischen Gr¨ unden Textumstellungen, Text¨ anderungen und Texterg¨ anzungen vorgenommen. Frau Anita Kollwitz ¨ (M¨ unster) gilt wiederum unser Dank f¨ ur die sorgf¨ altige Umsetzung der Anderungen.

M¨ unster, im Juni 2013

Herbert K¨ utting und Martin J. Sauer

Inhaltsverzeichnis 1 1.1

1.2

2 2.1 2.2 2.3

2.4 2.5

2.6

2.7

2.8

Beschreibende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die historische Entwicklung der Statistik – ein kurzer Abriss . . . . . . 1.1.1 Die Amtliche Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Die Politische Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Die Universit¨ atsstatistik und ihre Weiterentwicklung . . . . . . . Grundbegriffe der beschreibenden Statistik und Aufbereitung der Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Statistische Erhebung, Daten, Merkmale, Merkmalsauspr¨ agungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Graphische Darstellungen von Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Lageparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Streuungsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Korrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Fehler und Manipulationsm¨ oglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zufall und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematik des Zufalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Entwicklung der klassischen Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Ber¨ uhmte historische Beispiele und einige interessante Briefwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zur geschichtlichen Entwicklung der Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . Schritte zur Mathematisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Zum Modellbildungsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endliche Wahrscheinlichkeitsr¨ aume (Teil 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Das Axiomensystem von Kolmogoroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Folgerungen aus dem Axiomensystem – Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Ein zum Axiomensystem von Kolmogoroff ¨ aquivalentes Axiomensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Die Laplace-Verteilung (Gleichverteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5 Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Vier Beispiele: Gl¨ ucksrad, Zielscheibe, Paradoxon von Bertrand, Nadelproblem von Buffon . . . . . . . . 2.7.2 Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinatorisches Z¨ ahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 5 5 8 8 14 29 45 53 61 65 65 71 71 72 76 76 84 85 89 89 96 97 97 103 112 115 119 121 121 128 129

x

Inhaltsverzeichnis 2.8.1 2.8.2 2.8.3 2.8.4 2.8.5

2.9

Abz¨ ahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeines Z¨ ahlprinzip der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinatorische Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen der kombinatorischen Figuren . . . . . . . . . . . . . . Vier-Schritt-Modell zur L¨ osung von Kombinatorikaufgaben – Ein didaktischer Aspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.6 Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endliche Wahrscheinlichkeitsr¨ aume (Teil 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit – Stochastische Unabh¨ angigkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Bernoulli-Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.3 Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes . . . . . . . . . . . . . 2.9.4 Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129 131 137 153 162 165 168 168 187 194 207

3 3.1 3.2

Simulation und Zufallszahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Begriffserkl¨ arungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

4 4.1 4.2 4.3

4.5

Diskrete Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz . . . . Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . Kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . 4.3.1 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mehrere Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum . . . . . . . 4.4.1 Unabh¨ angigkeit von Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Erwartungswert einer Summe diskreter Zufallsvariabler . . . . . 4.4.3 Varianz einer Summe diskreter Zufallsvariabler . . . . . . . . . . . . Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

229 229 237 239 239 245 250 250 252 253 255

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Spezielle diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenhang zwischen Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Verteilung (Pascal-Verteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259 259 263 267 269 273

6 6.1 6.2 6.3

Ungleichung von Tschebyscheff f¨ ur diskrete Zufallsvariable und Schwaches Gesetz der großen Zahlen von Bernoulli 275 Ungleichung von Tschebyscheff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Schwaches Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

7 7.1 7.2

Allgemeine Wahrscheinlichkeitsr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Abz¨ ahlbar-unendliche Wahrscheinlichkeitsr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . 284 ¨ Uberabz¨ ahlbar-unendliche Wahrscheinlichkeitsr¨ aume . . . . . . . . . . . . . 286

4.4

Inhaltsverzeichnis

7.3

xi

7.2.1 Die Menge IR und das System der Borelmengen auf IR . . . . . 286 7.2.2 Abstrakte Wahrscheinlichkeitsr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Wahrscheinlichkeitsmaße auf (IR, B(I)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verteilungsfunktionen und Dichtefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verteilungsfunktionen zu vorgegebenen Dichtefunktionen . . . . . . . . . 8.2.1 Konstruktion einer stetigen Verteilungsfunktion zu einer Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten durch Integrale u ¨ber eine Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechteckverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalverteilung (Gauß-Verteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Eigenschaften der Dichtefunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 Die Standard-Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 Approximation der Binomialverteilung mittels der Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.4 Die Sigma-Regeln f¨ ur die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . Erwartungswert und Varianz f¨ ur Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . Ausblick: Abstrakte Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.1 Messbare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7.2 Zufallsvariable mit Werten in IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

293 295 300

331 331 337 342

9.4

Sch¨ atzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Maximum-Likelihood-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sch¨ atzen von Erwartungswert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Konfidenzintervall f¨ ur die Wahrscheinlichkeit bei einer binomialverteilten Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Konfidenzintervalle bei N (μ, σ 2 )-verteilten Funktionen . . . . . Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6

Testen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einseitige Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweiseitige Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Testen unter Verwendung der Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung zum Thema Hypothesentest“ . . . . . . . . . . . . . . . . ” Qualit¨ atskontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben und Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

349 349 353 356 360 361 372

11 11.1 11.2

L¨ osungshinweise zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Aufgaben aus Kapitel 1, Abschnitt 1.2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Aufgaben aus Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

8 8.1 8.2

8.3 8.4 8.5

8.6 8.7

8.8 9 9.1 9.2 9.3

300 301 303 304 308 309 311 316 318 319 325 325 326 327

342 345 347

xii

Inhaltsverzeichnis

11.2.1 Abschnitt 2.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Abschnitt 2.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Abschnitt 2.6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.4 Abschnitt 2.7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.5 Abschnitt 2.8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.6 Abschnitt 2.9.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Aufgaben aus Kapitel 3, Abschnitt 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Aufgaben aus Kapitel 4, Abschnitt 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Aufgaben aus Kapitel 5, Abschnitt 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6 Aufgaben aus Kapitel 6, Abschnitt 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Aufgaben aus Kapitel 7, Abschnitt 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8 Aufgaben aus Kapitel 8, Abschnitt 8.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9 Aufgaben aus Kapitel 9, Abschnitt 9.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.10 Aufgaben aus Kapitel 10, Abschnitt 10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411