HTL Abendschule
Angewandte Mathematik
Einstiegsvoraussetzungen 1. Semester Bereich: Zahlen und Maße Mengen Die Studierenden
können Mengen angeben.
verstehen die Begriffe „Element von“ und „Teilmenge“ und können sie anwenden.
kennen die Mengenoperationen „Vereinigung“, „Durchschnitt“ und „Differenz“.
Zahlenmengen Die Studierenden
kennen die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ 𝑢𝑛𝑑 ℝ und ihre Beziehung,
kennen die Begriffe Teilbarkeit und Primzahlen
kennen den Begriffe Gleitkommazahlen, können Brüche als Dezimalzahlen schreiben und umgekehrt
können mit reellen Zahlen in Dezimal- und Bruchform rechnen
verstehen die Notwendigkeit von Klammerungen und können Rechengesetze (Distributivgesetz) richtig anwenden
Rechnen mit Zahlen und Größen Die Studierenden
können Prozentangaben als Anteile interpretieren
können Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert richtig zuordnen und untereinander in Beziehung setzen
können Überschlagsrechnungen durchführen
Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Die Studierenden
verstehen Potenzen als Multiplikationen und Potenzen vereinfachen.
verstehen Wurzelziehen als Umkehrung des Potenzierens
können Zehnerpotenzen im Zusammenhang mit Einheiten als Vorsilbe angeben und umgekehrt
können Maßzahlen zwischen verschiedenen Einheiten umrechnen
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Übungsbeispiele: 1. Geben Sie die Mengen im aufzählenden Verfahren an: A = {x ϵ ℕ|2 ≤ x < 5},
B = {x ϵ ℕ| x < 3}, C= {x ϵ ℤ|-3 < x ≤ 4}
Lösung: A = {2, 3, 4}; B = {0, 1, 2}; C = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} 2. Stellen Sie folgende Mengen im beschreibenden Verfahren dar: A = {4, 5, 6}, B = {…..,-2 ,-1} Lösung: A = {x ϵ ℕ|4 ≤ x ≤ 6}, B = {x ϵ ℤ | x ≤ -1} 3. Gegeben sind zwei Mengen A und B: Geben Sie ihre Vereinigungsmenge, Durchschnittmenge sowie die Differenzmengen A\B und B\A an: A = {-1, 0, 1, 2}, B = {2, 3, 4}. Ist {2, 3} eine Teilmenge von A oder B? Lösung: {-1, 0, 1, 2, 3, 4}; {2}; {-1, 0, 1}; {3, 4}, nein, ja 4. ggT (84, 140, 252) = ?
Lösung: 28
5. kgV (36, 54, 112) = ?
Lösung: 3024
6. Ein Raum mit der Länge a = 4,4 m und Breite b = 3,2 m soll mit quadratischen Platten verschnittfrei ausgelegt werden. Was ist die größtmögliche Seitenlänge der Platten? 3
7. Wandeln Sie in eine Dezimalzahl um: a) 16
1
Lösung: 40 cm = 4 dm 5
b) 3
c) 27
7
d) 22
Lösung: 0,1875; 0, 3̇; 0, 185; 0,318 8. Schreiben Sie als Bruch an: a) 0,2
b) 0,01
c) 0,25
d) 0,44
1
Lösung: ,
1
1 11
, ,
5 100 4 25
9. Schreiben Sie folgende Zahlen in der Gleitkommadarstellung: a) 2400
b) 389 000
c) 87,7
d) 0,473
e) 0,000 005 9
Lösung: 2,4 ∙ 103 ; 3,89 ∙ 105 ; 8,77 ∙ 101 ; 4,73 ∙ 10−1 ; 5,9 ∙ 10−6 10. Umwanden von Gleitkommazahlen: Bestimmen Sie x. a) 9431,5 = 94,315 10x
b) 3485 = 0,03485 10x
c) 0,7043 = 70,43 10x
d) 9327 = x 103
e) 0,0009124 = x 10–6
f) 4,132 = x 10-4
g) 37214 10-7 = x 10-3
h) 4817 1033 = x 1038
i) 0,027 102 = x 10-2
Lösung: 2; 5; -2; 9,327; 912,4; 41320; 3,7214; 0,04817; 270 LITEC HTL Paul Hahn Str.
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11. Rechnen mit Gleichkommazahlen; das Ergebnis ist wieder als Gleitkommazahl anzugeben: a) 3 ∙ 104 ∙ 5 ∙ 10−7 =
b) 8 ∙ 10−3 ∙ 7 ∙ 10−3 =
c) 13 ∙ 10−5 − 6 ∙ 10−5 =
d) 2,4 ∙ 107 : (6 ∙ 103 ) =
e) 2,4 ∙ 107 − 6,0 ∙ 107 =
f) 2,3 ∙ 10−4 + 0,44 ∙ 10−3 =
g) 33 ∙ 10−12 : (11 ∙ 10−5 ) =
h) 33 ∙ 10−12 : 11 ∙ 10−5 =
i) 4 ∙ 2,1 ∙ 105 − 0,057 ∙ 107 =
j) (3 ∙ 104 )2 =
k) (2 ∙ 103 )−2 =
l) 3,0: (2,0 ∙ 10−3 )2 =
Lösung: a) 15⋅10−3 b) 56⋅10−6 c) 7⋅10−5 d) 0,4⋅104 e) − 3,6⋅107 f) 6,7⋅10−4 g) 3⋅10−7 h) 3⋅10−17 5 8 −6 i) 2,7⋅10 j) 9⋅10 k) 0,25⋅10 l) 0,75⋅106 12. Wandeln Sie um: a) 4,32 km in m
b) 0,14 µm in cm
e) 0,83 dm3 in ml
f) 0,0034 t in kg 3
i) 1 km/h in m/s
j) 1 kg/m in g/cm
3
c) 0,0043 m2 in cm2
d) 3,28 ∙ 105 mm2 in dm2
g) 0,034 dag in mg
h) 0,00072 g in µg
2
k) 1 N/mm in N/m
2
l) 1 kW/m2 in W/cm2
Lösung: a) 4,32∙103 m; b) 1,4∙10-5 cm; c) 43 (cm)2; d) 32,8 (dm)2; e) 830 ml; f) 3,4 kg; g) 340 mg; h) 720 µg; i) ≈0,278 m/s; j) 10-3 g/(cm)3; k) 106 N/m2; l) 0,1 W/(cm)2. 13. Vereinfachen Sie zu einem durchgekürzten Bruch: a)
6 15
:(
7
9 10
−
3 20
7
)=
3
3 4
3 21
8 7
5 10
b) ∙ + :
=
4 11
13
26
d) (10 − 3 : (10 − 45)) : 13 = Lösungen: 𝑎)
8 15
7
3
14
4
5
25
c) − (2 − ) : 8
=
7
e) 9 : 27 + 27 : (9 − 12) =
1
3
7
2
4
10
; 𝑏) ; 𝑐) − ; 𝑑)
; 𝑒)
8 3
14. Lösen Sie die Doppelbrüche und vereinfachen Sie durch Kürzen: a)
3 5
2−
14
2
=
b) 9 ∙ 6 −
5 12 4 14
=
c)
2 4 − 3 7 8 9
24
+ 21 =
Lösungen: 𝑎)
1 10
1
; 𝑏) − 8 ; 𝑐)
5 4
15. Vereinfachen Sie die Potenzen so weit wie möglich: a) 𝑎2 ∙ 𝑎 3 =
b) 𝑎5 : 𝑎2 =
f) (4𝑎 + 3𝑏)(4𝑎 − 3𝑏) = i) (6𝑎2 )3 ∙ (3𝑎)2
j)
c) (3𝑎)2 𝑎 =
d) (𝑎 4 )3 =
g) √𝑎4 =
h) 𝑎 3 ∙ 𝑎5 : 𝑎2 − 𝑎 4 =
2𝑎 3 ∙12𝑎 2 (2𝑎 2)2
e) (3𝑥 − 2)2 =
=
Lösungen: a) a5; b) a3; c) 9a3; d) a12; e) 9x2 – 12x + 4; f) 16a2 – 9b2; g) a2; h) a6 – a4 = a4(a2 – 1); i) 1944a8; j) 6a 16. Bedeutung von negativen Hochzahlen: 10-2 =
10-3 = 1
Lösungen: 100 ;
1 1000
;
3 10
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3∙10-1 = 1
; − 100 ;
99 100
;
-10-2 = 1 16
1 - 10-2 =
2-4 =
(-3)4 =
; 81
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17. Überschlagsrechnung: 17,43 ∙ 0,653 ≈
174,3 : 0,414 ≈
(73,11)2 ≈
√65,33 ≈
4,133 ∙ 11 + 3397 : 81,3 ≈
18. Verschiedene Aufgaben zur Prozentrechnung a) In den USA wird in Restaurants ein Trinkgeld von 15 % erwartet. Wie hoch ist das Trinkgeld, wenn die Rechnung auf 24 $ lautet? b) Auf einen Rechnungsbetrag von € 2.400 wird ein Preisnachlass von 5 % gewährt. Ermitteln Sie den ermäßigten Rechnungsbetrag. c) Ein Autohändler hat beim Verkauf eines Autos € 1.920, das sind 8 % des Verkaufspreises, verdient. Ermitteln Sie den Verkaufspreis. d) Der Preis eines Fahrrades steigt um 12 % gegenüber dem alten Verkaufspreis von € 412,5. Wie lautet der neue Verkaufspreis. e) Eine Rechnung ist auf € 450 inklusive Mehrwertsteuer (20%) ausgestellt. Berechnen Sie die Mehrwertsteuer. f) Der Preis eines technischen Gerätes wurde von € 200 um 20 % gesenkt. Bald darauf wurde der Preis jedoch wieder um 5 % erhöht. Begründen Sie, dass die Preissenkung gegenüber dem ursprünglichen Preis nicht 20 % - 5 % = 15 % beträgt. Lösungen: a) $3,6;
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b) €2280;
c) €24000;
d) €462;
e) €75;
f) Preissenkung um 16%
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Bereich: Algebra und Geometrie Terme Die Studierenden
können Terme vereinfachen und die grundlegenden Rechenoperationen anwenden
kennen die binomischen Formeln und können sie anwenden
Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen Die Studierenden
können Gleichungen lösen
können Formeln nach einer vorgegebenen Variablen umstellen („auflösen“) - Formelumformungen
Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Die Studierenden
können lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen durch Substitution oder mittels Additionsverfahren lösen
Elementare Geometrie und Trigonometrie Die Studierenden
kennen die wichtigsten Dreiecke und Vierecke
kennen Bezeichnung und Zusammenhänge ihrer Bestimmungsstücke (Pythagoräischer Lehrsatz, Ähnlichkeit, Flächeninhalt, Um- und Inkreis, Höhen und Schwerlinien)
kennen Inhalt- und Umfangsformel eines Kreises
Übungsbeispiele: 1. Lösen Sie folgende (Un)Gleichungen nach der auftretenden Variablen: a) 𝑠 + 2(1 − 3𝑠) = 2 − 𝑠
b) 1 − (𝑑 + 1) = 2 − 3𝑑
c) 0,1 ∙ (𝑐 + 3) = 0,02 + 0,3 ∙ 𝑐
d) 2(1 − 4𝑥) = −(1 + 2𝑥)
𝑘
e) 2 =
4−𝑘
𝑐
f) 3 − 1 = 2𝑐 − 11
3 4
1
𝑥
g) 3 − 𝑥+2 = 7
h) 2𝑥−5 = 4 − 2𝑥−5
i) 2𝑥 + 1 ≤ 5𝑥 − 8
j) 3(𝑥 + 4) < 5𝑥 + 7
Lösungen: a) s = 0; h) x = 3;
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b) d = 1;
c) c = 7/5;
i) x ≥ 3;
j) x > 2,5
d) x = 1/2;
e) k = 8/5;
f) c = 6;
g) x = -3;
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2. Berechnen Sie die gesuchten Variablen: a) 2𝑎 − 𝑏 = 3(𝑎 + 𝑏) − 𝑐
a=?
𝑎 = 𝑐 − 4𝑏
b) 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
b=?
𝑏 = 𝑎−1
𝑎𝑏
c) 𝑥 = 𝑦−𝑎 𝑏−1
d) 𝑎 = 𝑏 + 𝑘−𝑥𝑦 𝑛
𝑎
e) 𝑏 = 𝑏 + 𝑧
b=?
y=?
a=?
𝑏=
b=?
k=?
x=?
𝑏=
a=?
𝑎+2
f) 𝑎−𝑏 = 3
𝑎
a=?
𝑥(𝑦−𝑎)
𝑎𝑏
𝑎
𝑥
, 𝑦=
𝑎𝑘−𝑎𝑥𝑦+1 𝑘−𝑥𝑦+1
,𝑘 =
𝑎 = 𝑛 − 𝑏𝑧, 𝑏 =
b=?
𝑎=
b=?
𝑥𝑦
𝑎 = 𝑏+𝑥
𝑎𝑥𝑦−𝑏𝑥𝑦+𝑏−1
𝑏𝑘−𝑎𝑘+𝑏−1
𝑎−𝑏
𝑏𝑦−𝑎𝑦
,𝑥 =
𝑛−𝑎
3𝑏+2
𝑧 2𝑎−2
2
3
,𝑏=
+ 𝑎,
3. Vereinfachen Sie die Terme so weit wie möglich: a) 4a – 5b + [-3a – (5b + a)] =
b) 3x – (4 + (-2x – (3 + 5x) – 2) + 6x) =
c) 15c∙x∙(- 4a) : (5c) =
d) (-2x) ∙3y : (4xy) =
e) 3x – 2(4 - 3(2x - 1) + 2(1 – x – (3x + 1))) – 4 = Lösungen: a) – 10b;
b) 4x + 1;
c) -12ax;
d) -1,5;
e) 31x-18
4. Lösen Sie folgende Gleichungssysteme: a)
2x + y = 4
b) 4x – 7y = 2
3x – 2y = 13
x + 3y = 10
c) 5x – 3y = 15 -2x + 7y = -6
Lösungen: a) (3/-2); b) (4/2); c) (3/0) 5. Geometrie a) Geben Sie 𝜑 in Abhängigkeit von α und β an. Für welchen Winkel β gilt 𝜑 = 2𝛼?
b)
Ein Helm hat, von der Seite betrachte, den skizzierten Querschnitt. Berechnen Sie den Inhalt und den Umfang der dargestellten Fläche. Ein Dreieck ABC wird durch eine Parallele zu a in
c)
der gezeichneten Weise geteilt. In welchem Verhältnis stehen die beiden Teilflächen? Wie groß ist die Seite a? Ist das Dreieck rechtwinkelig?
Lösungen: a) 𝜑 = 90° + 𝛼 − 𝛽, 𝛽 = 3𝛼 − 90°; b) A ≈ 644,6 (cm)2; U = 106,4cm; c) a = 756,25 mm; nein LITEC HTL Paul Hahn Str.
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Bereich Funktionale Zusammenhänge Die Studierenden
kennen den Begriff der Funktion, der Definition- und Wertemenge
können einige Eigenschaften von Funktionen angeben und an Beispielen veranschaulichen
verstehen Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen Größen
können Funktionen durch Wertetabellen und grafisch im rechtwinkeligen Koordinatensystem darstellen
verstehen die Begriffe direkte und indirekte Proportionalität
Übungsbeispiele: 1. Geben Sie an, ob es sich beim dargestellten Zusammenhang zwischen zwei Größen um eine Funktion handelt. Begründen Sie Ihre Antwort.
2. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f: y = 2x – 1, 𝔻 = [0,4]. Drücken Sie folgende Aussagen unter der Verwendung Funktionswert und Stelle in Worten aus und kontrollieren Sie an Hand der Zeichnung: a) f(2) =3
b) f(1) < 2
c) f(4) > f(2)
d) f(x) ϵ 7 für alle x ϵ 𝔻
e) f(x + 1) = f(x) + 2 für alle x + 1 ϵ 𝔻 sowie x ϵ 𝔻 3. In folgenden Geschwindigkeit-Zeit-Diagrammen ist die Fahrt eines PKWs dargestellt. Beschreiben Sie die Fahrt.
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