Fachhochschule Wiesbaden

Prof. Dr. M. Götz

Fachbereich 08 MNDU

Analysis (1. Semester) für den Studiengang Internationales Wirtschaftsingenieurwesen

Foliensammlung* als Ergänzung zur Mitschrift im Unterricht

*Hinweis: Der Gebrauch dieser Unterlagen ist ausschließlich im Zusammenhang mit der o.g. Lehrveranstaltung gestattet.

FUNKTIONEN

Funktionsbegriff A

a

B

b

C

c

D

d f

F G

g

D

Dies ist eine Funktion.

E

e

W

Dies ist ebenfalls eine Funktion. D

W

Dies ist keine Funktion.

D

W

Dies ist auch keine Funktion. D

W

FUNKTIONEN

Eigenschaften von Funktionen Symmetrien

Gerade Funktion Ungerade Funktion

f (− x) = f ( x) .

f (− x) = − f ( x) .

Periodizität f ( x + T ) = f ( x)

Nullstellen (= Schnittpunkte mit der x-Achse) y=0

Schnittpunkte mit der Y-Achse x=0

Stetigkeit

Eine Funktion f (x) heißt im Punkt

x0

stetig, wenn

lim f ( x0 − h) = lim f ( x0 + h) = f ( x0 ) h →0

h→0

stetig

nicht stetig

x0

x0

Sprungstellen lim f ( x0 − h) = y1 h→0

lim f ( x0 + h) = y2 ≠ y1 h→0

FUNKTIONEN

Polstellen f ( x) → ±∞ für x → x0

Monotonie

monoton steigend: streng monoton steigend: monoton fallend: streng monoton fallend:

x2 > x1 →

f ( x2 ) ≥ f ( x1 )

x2 > x1

→

f ( x2 ) > f ( x1 )

x2 > x1 →

f ( x2 ) ≤ f ( x1 )

x2 > x1

f ( x2 ) < f ( x2 )

→

Asymptotisches Verhalten

Beispiel

x2 − x − 2 f ( x) = x −1 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00

-10,00

-8,00

-6,00

-4,00

0,00 -2,00 0,00 -2,00 -4,00 -6,00 -8,00 -10,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

FUNKTIONEN

Verschiebungen f(x-a)

nach rechts f ( x) → f ( x − a ) a

f(x+a)

nach links f ( x) → f ( x + a ) a

f(x)+a

nach oben f ( x) → f ( x) + a

a

f(x)-a

nach unten f ( x) → f ( x) − a a

FUNKTIONEN

Spiegelungen

an x-Achse f ( x) → − f ( x)

-f(x)

f(-x)

an y-Achse f ( x) → f (− x)

am Ursprung f ( x) → − f ( − x ) -f(-x)

FUNKTIONEN

Die Funktion

f ( x) = x 3 − 2 x 2 + x

2

f(x) 1,5 1 0,5 0 -1

-0,5

0 -0,5 -1 -1,5

0,5

1

1,5

2

2,5

x

FUNKTIONEN

Umkehrfunktion − Beispiele f ( x) = x + 1

4

g ( x) = x − 1

3

2

1

0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

f ( x) = 2 x

4

3

g ( x) =

2

1

0 -4

-3

-2

-1

0 -1

-2

-3

-4

1

2

3

4

1 x 2

FUNKTIONEN

Umkehrfunktion − Beispiele 4

f ( x) = x3

3

2

g ( x) = 3 x

1

0 -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

f ( x) = x 2

4

3

g ( x) =

2

1

0 0

1

2

3

4

x

FUNKTIONEN

Potenzfunktionen − Beispiele f ( x) = x 3

2

f ( x) = x

1

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

-1

-2

−

f ( x) = x 4

f ( x) = x 2

2

1

0 -3

-2

-1

0

-1

-2

1

2

3

FUNKTIONEN

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten − Beispiele − f ( x) = x − 2 =

1 x2

2

1

0 -3

-2

-1

f ( x) = x −1 =

1 x

0

-1

-2

1

2

3

FUNKTIONEN

Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten − Beispiele −

5

4

3

f ( x) = x

2

1 2

1

f ( x) = x 0 0

1

2

3

4

5

−

1 2

FUNKTIONEN

Kegelschnitte Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0

Ellipse

Hyperbel

Parabel

A⋅ B > 0

A⋅ B < 0

A⋅ B = 0

Kreis A=B

FUNKTIONEN

Kreis y

y0

r ϕ

x0

x

FUNKTIONEN

Ellipse

b

F1 a

e

b

y0 a

e

x0

F2

FUNKTIONEN

Hyperbel

b S2

S1 F1 e

y0

a

e

a x0

F2

FUNKTIONEN

Parabel Leitlinie

y0 S

p x0

F

FUNKTIONEN

Verlauf von Sinus und Kosinus cos x

1

0 -3

-1

sin x

π/2

π

3π/2

2π

12

FUNKTIONEN

Verlauf der Tangensfunktion 12 10 8 6 4 2

−π/2 -1,657

0 -2

π/2

3π/2

5π/2

-4 -6 -8 -10 -12 .

FUNKTIONEN

Verlauf der Kotangensfunktion

8

3

-1,657

-2

-7

-12

π/2

π

3π/2

2π

5π/2

FUNKTIONEN

Harmonische Schwingungen z (t ) = A ⋅ sin (ω t + ϕ ) 6 4 2 0

-2

ϕ

-2 -4 -6

A

2π T= ω

FUNKTIONEN

Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen 8 6 4 2 0 -5

0 -2 -4 -6 -8

5

10

15

20

25

FUNKTIONEN

arcsin x 2 1,5 1 0,5 0 -1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

-0,5 -1 -1,5 -2

arccos x 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

FUNKTIONEN

arctan x 2 1,5 1 0,5 0 -10

-5

0

5

10

-0,5 -1 -1,5 -2

arccot x 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

FUNKTIONEN

Exponentialfunktionen − Beispiele 8 7

f(x)=0,5

x

6 5

f(x)=2x 4 3 2 1 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

10 9 8

f(x)=e

-x

7 6

f(x)=ex

5 4 3 2 1 0 -4

-2

0

2

4

FUNKTIONEN

Radioaktives Zerfallsgesetz 1.200.000

n0

1.000.000

n(t)

800.000 600.000 400.000 200.000 0 0

2

4

6

8

10

Zeit t

Aufladen eines Kondensators 120 US 100

U(t)

80

1 − æ RC U (t ) = U S ⋅ çç1 − e è

60

ö ÷ ÷ ø

40 20 0 0

2

4

6

Zeit t

8

10

FUNKTIONEN

Gedämpfte Schwingung − Schwingfall 10

z (t ) = z 0 e − λt ⋅ cos(ωt )

8 6 4 2 0 0

1

2

3

-2 -4 -6 -8 -10

Gedämpfte Schwingung − Kriechfall 10

z (t ) = A ⋅ e λ1t + B ⋅ e λ2t

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

FUNKTIONEN

Gaußsche Glockenkurve 1,2

f(x)

f ( x) = A ⋅ e

−b ( x − x0 )2

A

0 -4

-2

0

2

x0

4

6

8

x

10

FUNKTIONEN

Logarithmusfunktionen 5 4 3

log2x

2

log10 x

1 0 -1 -2 -3 -4 -5

0

1

2

3

log0,5 x

4

5

6

7

DIFFERENTIALRECHNUNG

Die Funktion f ( x) = x 3 − 3x + 2 5

4

3

2

1

0 -4

-3

-2

-1

0 -1

-2

-3

1

2

3

4

DIFFERENTIALRECHNUNG

DIFFERENTIALRECHNUNG

Rechenregeln für Grenzwerte lim (C ⋅ f ( x) ) = C ⋅ lim f ( x)

(1)

x → x0

(2)

x → x0

x → x0

lim ( f ( x) ± g ( x) ) = lim f ( x) ± lim g ( x) x → x0

x → x0

(3)

lim ( f ( x) ⋅ g ( x) ) = æç lim f ( x) ö÷ ⋅ æç lim g ( x) ö÷ x → x0 è x → x0 ø è x → x0 ø

(4)

f ( x) æ f ( x) ö xlim → x0 ÷= lim ç x → x0 ç g ( x) ÷ g ( x) è ø xlim →x

æç lim g ( x) ≠ 0 ö÷ è x → x0 ø

0

lim n f ( x) =

(5)

x → x0

(6)

lim ( f ( x) )

(7) (8)

n

x → x0

(

)

n

= æç lim f ( x) ö÷ ø è x → x0

lim a f ( x ) = a

x → x0

lim f ( x)

x → x0

n

æ ö ç lim f ( x ) ÷ è x → x0 ø

lim (log a f ( x) ) = log a æç lim f ( x) ö÷ x → x0 è x → x0 ø

Die Regeln gelten entsprechend für Grenzwerte des Typs x → ±∞ .

INTEGRALRECHNUNG

Stammfunktionen x n +1 ò x dx = n + 1 + C n

òe

x

(n ≠ 1)

dx = e x + C

ò sin x dx = − cos x + C 1

ò cos ò

2

x

dx = tan x + C

ì arcsin x + C1 dx = í 1 − x2 î− arccos x + C2

1

ò sinh x dx = cosh x + C 1

ò cosh ò ò

2

x

1 x +1 2

1 x2 − 1

dx = tanh x + C

1 ò x dx = ln x + C ax ò a dx = ln a + C x

ò cos x dx = sin x + C 1

ò sin

2

x

dx = − cot x + C

ì arctan x + C1 1 dx = í ò 1 + x2 î− arc cot x + C2

ò cosh x dx = sinh x + C 1

ò sinh

2

x

dx = − coth x + C

dx = ar sinh x + C = ln x + x 2 + 1 + C dx = arcosh x + C = ln x + x 2 − 1 + C

ì 1 æ1+ x ö ar tanh x C + = ⋅ lnç ÷ + C1 1 ïï 1 2 è1− x ø ò 1 − x 2 dx = í ïarcothx + C2 = 1 ⋅ lnæç x + 1 ö÷ + C2 ïî 2 è x −1ø

( x > 1)

für

x < 1ü ï ý x > 1ïþ

INTEGRALRECHNUNG

Integrationsregeln Konstanter Faktor b

b

a

a

ò C ⋅ f ( x) dx = C ⋅ ò f ( x) dx Summe von Funktionen b

ò ( f ( x) + f ( x) + K + f 1

2

n

( x) ) dx =

a

b

b

b

ò f ( x) dx + ò f ( x) dx + K + ò f 1

2

a

a

Vertauschung der Integrationsgrenzen a

b

b

a

ò f ( x) dx = −ò f ( x) dx Zerlegung des Integrationsintervalls in Teilintervalle c

b

c

a

a

b

ò f ( x) dx = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx

a

n

( x) dx

INTEGRALRECHNUNG

Integration durch Substitution 1. Geeignete Substitution u = g (x)

Berechnung von du = g ′(u ) dx du dx = g ′( x)

2. Einsetzen so, dass der Integrand nur noch von u abhängt

ò f ( x)dx =ò ϕ (u)du 3. Berechnung des Integrals

ò ϕ (u)du = φ (u ) 4. Rücksubstitution φ (u ) = φ ( g ( x) ) = F ( x)

Partielle Integration

ò u( x) ⋅ v′( x) dx = u ( x) ⋅ v( x) − ò u′( x) ⋅ v( x) dx