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Rettungsring
10
Prismen
Eigenschaften von Prismen Merke
Ein gerades Prisma hat immer eine Grund- und eine Deckfläche, die deckungsgleich (kongruent) und parallel zueinander sind. Den Abstand zwischen Grund- und Deckfläche nennt man Körperhöhe. Der Mantel setzt sich immer aus Rechtecken zusammen. Deckfl äche Deckfläche Deckfläche Mantel (M) Mantel Mantel(M) (M)
Körperhöhe (h) Körperhöhe Körperhöhe(h )(h )
Grundfläche Grundfläche (G )(G) ) Grundfläche(G
dreiseitiges Prisma
vierseitiges Prisma = Quader
regelmäßiges sechsseitiges Prisma
Ein Prisma wird nach der Anzahl der Seiten seiner Grundfläche (G) benannt. Ist die Grundfläche eines Prismas eine regelmäßige Figur (z. B. gleichseitiges Dreieck, Quadrat usw.), so nennt man es auch regelmäßiges Prisma. Ein Quader ist ein vierseitiges Prisma mit 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen. Ein Würfel ist ein besonderer Quader mit 8 Ecken, 12 gleich langen Kanten und 6 kongruenten quadratischen Flächen. 1
Welche Behauptung stimmt? A
2
3
4
5
1
„Jeder Würfel ist ein Quader.“
B
„Jeder Quader ist ein Würfel.“
Wie viele Ecken hat a)
ein dreiseitiges Prisma?
b)
ein vierseitiges Prisma?
c)
ein sechsseitiges Prisma?
d)
ein achtseitiges Prisma?
Wie viele Kanten hat a)
ein regelmäßiges dreiseitiges Prisma?
b)
ein fünfseitiges Prisma?
c)
ein regelmäßiges achtseitiges Prisma?
d)
ein zehnseitiges Prisma?
Wie viele Begrenzungsflächen hat a)
ein dreiseitiges Prisma?
b)
ein Prisma mit quadratischer Grundfläche?
c)
ein sechsseitiges Prisma?
d)
ein zwölfseitiges Prisma?
Wie muss die Grundfläche des regelmäßigen Prismas jeweils aussehen, damit die angegebenen Eigenschaften zutreffen? Gib auch die Namen der gesuchten Körper an! a)
Das Prisma hat 8 Ecken.
b)
Das regelmäßige Prisma hat 9 Kanten.
c)
Der Mantel des Prismas setzt sich aus 6 Rechtecken zusammen.
d)
Das regelmäßige Prisma hat 10 Ecken und 7 Begrenzungsflächen.
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Rettungsring
10
Prismen
Netz und Oberflächeninhalt von Prismen Merke
Die Oberfläche (O) eines Prismas setzt sich immer aus der Grundfläche (G), der Deckfläche und dem Mantel (M) zusammen. Quader (vierseitiges Prisma)
dreiseitiges Prisma
G c
M
b
a
G
G
h
c
h
M
b
G
a Für alle Prismen gilt: O = 2 · G + M Eine bereits bekannte Oberflächenformel für Quader:
Bei geraden Prismen hat der Mantel (M) immer die Form eines Rechtecks:
M
c
uGG
b a O= 2·a·b + 2·a·c + 2·b·c
Rettungsbeispiel
h
uG … Umfang der Grundfläche M = uG · h
Ein Quader hat eine Länge a = 7,5 cm, eine Breite b = 3 cm und eine Höhe h = 9 cm. Berechne den Oberflächeninhalt des Quaders!
a = 7,5 cm b = 3 cm h = 9 cm O=?
Formel 1
Formel 2
O = 2×a×b + 2×a×h + 2×b×h
O = 2×G + uG ×h O = 2×a×b + (2a + 2b)×h
O = 2×7,5×3 + 2×7,5×9 + 2×3×9 O = 45 + 135 + 54 O = 234 cm²
O = 2×7,5×3 + (2×7,5 + 2×3)×9 O= 45 + 21×9 O= 45 + 189 O = 234 cm²
Lösung: Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt 234 cm².
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2
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Rettungsring
10
Rettungsbeispiel
Prismen
Ein Würfel hat eine Kantenlänge a = 7,5 cm. Berechne den Oberflächeninhalt des Würfels! a = 7,5 cm O=?
O = 6×a×a O = 6×7,5×7,5 O = 6×56,25 O = 337,5 cm²
Lösung: Der Oberflächeninhalt des Würfels beträgt 337,5 cm². 6
Berechne den Oberflächeninhalt der abgebildeten Körper! a)
b) 9 cm 9 cm
c)
d)
6,7 cm6,7 cm 6,7 cm6,7 cm
9 cm 9 cm
45 mm45 mm 45 mm45 mm 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 3 cm 3 cm 4,3 cm4,3 cm 4,3 cm4,345 cmmm45 mm 45 mm45 mm 6,7 cm6,7 cm 6,7 cm6,7 cm 3 cm 3 cm cm mm45 mm 45 mm45 mm 5 cm 5 cm 12 cm12 cm 12 cm 12 45 5 cm 5 cm 6,7 cm6,7 cm 6,7 cm6,7 cm
Rettungsbeispiel
Ein Prisma mit rechtwinkligem Dreieck als Grundfläche hat die Längen a = 7,5 cm, b = 3 cm, c = 8 cm und eine Höhe h = 9 cm. (Bei den Zahlenangaben handelt es sich um gerundete Werte.) Berechne den Oberflächeninhalt des dreiseitigen Prismas! Formel 1 a = 7,5 cm b = 3 cm c = 8 cm h = 9 cm O=?
O = 2×
Formel 2
a×b _
O=
+ a×h + b×h + c×h
2
2×G
O = 2×
7,5×3
+ 7,5×9 + 3×9 + 8×9 O = 2× _ 2 O = 22,5 + 67,5 + 27 + 72 O = 189 cm²
+
a×b _ 2
uG ×h
+ (a + b + c)×h
7,5×3
O = 2× _ 2 + (7,5 + 3 + 8)×9 O = 22,5 + 18,5×9 O = 22,5 + 166,5 O = 189 cm²
Lösung: Der Oberflächeninhalt des dreiseitigen Prismas beträgt 189 cm². Berechne den Oberflächeninhalt der Körper, die jeweils ein rechtwinkliges Dreieck als Grundfläche haben! (Bei den Zahlenangaben handelt es sich um gerundete Werte.)
3 cm
12 cm 12 cm 12 cm
Gegeben sind die Grundflächen und die Höhen der Prismen. Berechne deren Oberflächeninhalt! (Bei den Zahlenangaben handelt es sich um gerundete Werte.)
9,5 cm 9,5 cm
5 cm
5 cm 4 cm
45cm cm
4 cm
5 cm 55cm cm 5 cm
5 cm
5 cm
5 cm5 cm
3 cm
6c m
cm 34cm
6c 6c m m
3 cm 4 cm
9,5 cm 9,5 cm
6c m
d)
7,5 cm 7,5 cm
cm cm 8, 5 8, 5
7,5 cm 7,5 cm 4 cm
c)
3 cm
b) 4 cm
a)
cm 8, 5
cm 8, 5
5 cm
h = 2,5 h = cm 2,5 cmh = 2,5 cm h = 2,5 cm h = 18 h =cm 18 cmh = 18 hcm h==15 h18 =cm 15 cmcmh = 15 cm h = 15hcm = 32 h =cm 32 cmh = 32 cm h = 32 cm
3
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7 cm
7 cm
7 cm
10 cm
10 cm
5 cm5 cm 5 cm5 cm 5 cm5 cm 5 cm 3 cm3 cm 93cm cm 9 cm9 cm 9 cm9,5 cm 9,5 cm 9,5 cm 9,512 cmcm
7 cm
m m 7 c cm 5,57 ccm 7 c 05,5 5,5 cm 5,5 cm 10, 10, 1,
7c 10,
10 cm
4 cm
4 cm
0,2 cm10,2 cm 10,2 c1m
cm3 cm 3 cmd) c) 3 cm 9 cm 9 cm 3 9cm m m
4 cm 10 cm
9 cm
9 cm
10,2 cm
4 cm
8
5 cm
b)
6 cm
4 cm
6 cm 6 cm
9 cm
6 cm 9 cm
a)
9 cm
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Prismen
Volumen von Prismen Merke
Das Volumen ist der Rauminhalt eines Gegenstandes. Um das Volumen (V) eines Prismas zu erhalten, multipliziert man den Inhalt der Grundfläche (G) mit der Körperhöhe (h). Prisma mit einem Rechteck als Grundfläche = QUADER
h
a
b
Prisma mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche Durch einen Diagonalschnitt entstehen zwei gleich große, dreiseitige Prismen
h
a Für alle Prismen gilt:
V=G·h a×b ·h V= _ 2
V= a·b·h
Rettungsbeispiel
b
Ein Quader hat eine Länge a = 5 cm, eine Breite b = 2 cm und eine Höhe h = 3 cm. Berechne das Volumen des Quaders! Quader Volumen = Länge×Breite×Höhe V= a × b × h V = 5 cm³×2×3 V = 30 cm³
hc
1 cm 1 cm3 1 cm
b
a
1 cm
Lösung: Das Volumen des Quaders beträgt 30 cm³. Rettungsbeispiel
Ein Würfel hat die Seite a = 3 cm. Berechne das Volumen des Würfels! Würfel Volumen = Länge×Breite×Höhe V= a × a × a
a
V = 3 cm³×3×3 V = 27 cm³
V = 3 cm³×3×3 V = 27 cm³
1 cm 1 cm3 1 cm
a a
1 cm
Lösung: Das Volumen des Würfels beträgt 27 cm³.
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4
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Prismen
Berechne das Volumen der abgebildeten Prismen! a)
b)
c)
d)
9 cm 6 cm
3 cm 8 cm
Rettungsbeispiel
5 cm
4 cm
2 cm
3 cm
5 cm
12 cm
9 cm
6 cm
Ein Prisma mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche hat eine Länge a = 5 cm, eine Breite b = 2 cm und eine Höhe h = 3 cm. Berechne das Volumen des dreiseitigen Prismas! a = 5 cm b = 2 cm h = 3 cm V=?
V = G×h a×b V= _ 2 ×h 5×2 V= _ 2 ×3
V = 15 cm³
Lösung: Das Volumen des dreiseitigen Prismas beträgt 15 cm³. Berechne jeweils das Volumen der Prismen mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche! b)
c)
d)
4
5
cm 8
cm 4
15 cm
cm
11
11 cm
6
3 cm
cm
6 cm
8 cm
4 cm
a)
10 cm
10
12 cm
Ein Heizöltank hat die Form eines Quaders mit 4,5 m Länge, 2 m Breite und 1,5 m Höhe. a)
Wie viel Liter Öl haben in dem Tank Platz?
b)
Wie viele Stunden wird es dauern, bis der Tank gefüllt ist, wenn pro Minute 90 Liter Öl in den Tank fließen?
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Prismen
Umkehrung der Volumsformel von Prismen Merke
Durch Umkehren der Volumsformel V = G · h ist es möglich, die Größe der Grundfläche oder die Körperhöhe eines Prismas zu berechnen. Voraussetzung dafür ist, dass jeweils die beiden anderen Größen bekannt sind. G = _hV oder G = V : h
Rettungsbeispiel
V oder h = V : G h=_ G
Ein Prisma mit einer rechteckigen Grundfläche von 320 cm² hat ein Volumen von 2880 cm³. Berechne die Höhe des Prismas! V = 2880 cm³ G = 320 cm² h =?
h=V:G h = 2880 : 320 h = 9 cm
Lösung: Die Höhe des Prismas beträgt 9 cm. 12
Berechne die gesuchten Werte! Körper
a)
b)
G=?
c)
d)
G=?
h =?
h =?
G
13
14
60 cm2
24 cm2
h
9 cm
V
144 cm3
7 cm 120 cm3
105 cm3
900 cm3
Berechne die fehlenden Größen der dreiseitigen Prismen! a)
a = 6 cm
b = 5 cm
h = 3 cm
G=?
V=?
b)
b = 4 cm
G = 6 cm2
V = 30 cm3
a=?
h=?
c)
a = 8 cm
h = 2,5 cm
G = 20 cm2
b=? V=?
d)
a = 4,5 cm
b = 4 cm
V = 54 cm3
h=? G=?
h a
b
Ein Zimmer mit einer Breite von 4 m, einer Länge von 5 m und einer Höhe von 4 m wird umgebaut. Die Decke des Zimmers soll so gesenkt werden, dass sich das Volumen um 30 m3 verkleinert. Wie viele Meter muss die Decke gesenkt werden? A
1m
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B
3m
C
1,5 m
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D
2,5 m
E
2m
6
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Prismen
Lösungen 1 2
a)
6 Ecken
b)
8 Ecken
c)
12 Ecken
d)
16 Ecken
3
a)
9 Kanten
b)
15 Kanten
c)
24 Kanten
d)
30 Kanten
4
a)
5 Flächen
b)
6 Flächen
c)
8 Flächen
d)
14 Flächen
5
a)
Viereck – Quader oder Würfel
b)
gleichseitiges Dreieck – dreiseitiges Prisma
c)
Sechseck – sechsseitiges Prisma
d)
regelmäßiges Fünfeck – fünfseitiges Prisma
6
a)
O = 174 cm²
b)
O = 331,4 cm²
c)
O = 121,5 cm²
d)
O = 269,34 cm²
7
a)
O = 141 cm²
b)
O = 141,8 cm²
c)
O = 242 cm²
d)
O = 256,25 cm²
8
a)
O = 143,5 cm²
b)
O = 267 cm²
c)
O = 350 cm²
d)
O = 670 cm²
9
a)
V = 120 cm³
b)
V = 72 cm³
c)
V = 120 cm³
d)
V = 486 cm³
10
a)
V = 72 cm³
b)
V = 88 cm³
c)
V = 240 cm³
d)
V = 360 cm³
11
a)
13 500 l
b)
2,5 Stunden
12
a)
G = 16 cm²
c)
G = 15 cm²
d)
h = 15 cm
13
a)
G = 15 cm²; V = 45 cm³
b)
a = 3 cm; h = 5 cm
c)
b = 5 cm; V = 50 cm³
d)
G = 9 cm²; h = 6 cm
14
7
A
b)
h = 5 cm
C
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