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8

Physikalische Eigenschaften von Stoffen

In diesem Abschnitt soll untersucht werden, wie sich die physikalischen Eigenschaften von Stoffen unter dem Einfluß von Kräften bzw. unter Zustrom von Energie verändern.

8.1 Wechselwirkung zwischen Atomen und Molekülen Der Zusammenhalt, d.h. die Bindung zischen Atomen und/oder Moleküle in einem Stoff lassen sich nach der Stärke der Bindung klassifizieren. So lassen sich die Bindungsverhältnisse in einem NACl-Kristall vorwiegend elektrostatisch beschreiben. Man spricht hier von elektrovalenter oder ionogener oder heteropolarer Bindung. Mit dem Begriff der homöopolaren oder kovalenten Bindung werden Verbindungen des Typs wie er im H 2 Molekül vorkommt bezeichnet. Und darüber hinaus gibt es noch eine Reihe weiterer Bindungsarten insbesondere auch zwischen den Molekülen. Es versteht sich von selbst, daß die Art, d.h. die Stärke der Bindung zwischen den Molekülen, einen Einfluß auf deren Aggregatzustand (gas, flüssig, fest) hat. Im folgenden sollen kurz einige Bindungsarten aufgeführt werden.

8.1.1 Bindungsarten • Elektrovalenz Der Zusammenhalt der elektrisch geladenen Bestandteile (Ionen) läßt sich durch elektrische Felder bzw. durch elektrostatische Kräfte (Coulomb Kraft) beschreiben. Dabei sind die Elektronen weitgehend räumlich um die j eweiligen Kationen bzw. Anionen lokalisiert.

Cl Na +

Fig_8.1:

• Kovalenz Mo d e l l e i n e s N a C l K r i s t a l l s Hier läßt sich die Bindung durch ein zu beiden Atomen gehörendes Elektronenpaar beschreiben. Man kann dabei nicht unterscheiden, von welchem Atom das j eweilige Elektron stammt. Die Elektronen sind auf sogenanten Orbitalen "lokalisiert", die sich über das gesamte Molekül erstrecken. H

J e nachdem wie weit das j eweilige Modell (elektrovalent oder kovalent) verbessert und den experimentellen Daten angepaßt werden wird, erreicht man eine mehr oder weniger gute Beschreibung des zu untersuchenden Gebildes : elektrovalent elektrovalent + kovalent kovalente Mischfälle

H

F i g_ 8 . 2 : M o d e l l e i n e H 2 M o l e kü l s

• van der Waals Wechselw irkung Die Bindung zwischen Edelgasatomen oder Molekülen in molekularen Festkörpern oder Flüssigkeiten oder Gasen lassen sich durch Wechselwirkungen beschreiben, die im allg. geringer als in ionogen Kristallen oder zwischen den Atomen eines KohlenwasserstoffMoleküls sind. Dies WW ist weitgehend elektrostatischer Natur und wird als van der Waals Wechselwirkung bezeichnet. Sie entsteht durch elektrische Dipole, die durch 1 Ladungsverschiebung vorübergehend induziert Coulomb Kraft: Fcoul ~ 2 r werden. Das Dipolmoment des ersten Moleküls erzeugt ein elektrisches Feld am Ort des zweiten 1 FvWaa ~ 7 Moleküls wobei dieses polarisiert wird. Molekül van der Waals Kraft: r 2 wirkt nun seinerseits zurück auf Molekül 1, wobei die anziehenden Kräfte zwischen den beiden Molekülen entstehen. Die Reichweite der van der Waals Kräfte ist sehr viel geringer als die der CoulombKraft. - 38 -

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Daneben gibt es Moleküle, die wie das H 2 O Molekül ein permanentes elektrische Diplmoment besitzen: H 2 O : m el = 6,2 ⋅ 10−30 A ⋅ s ⋅ m mit m el = Q ⋅ l dem elektr.Dipolmoment Die entsprechende Anziehungskraft ist:

elektr. Dipol :

Fdip ~

1 r4

und liegt zwischen der vanderWaals und der Coulomb Anziehungskraft. Weiterhin gibt es noch sogenannte "Wasserstoffbrückenbindungen". Dabei handelt es sich wiederum um eine Bindung, die mit Hilfe der Methoden der klassischen Physik nicht beschreibbar sind. Man benötigt hier - wie auch bei den kovalenten Bindungen - den Formalismus der Quantenphysik. H Wasserstoffbrückenbindung spielt bei Wasser aber in Proteinen O H H oder in der DNS eine große Rolle.

)

H

O

Basenpaare - DNS, α-Helix

Fig_8.3: W asserstoffbrücken

8.2 Aggregatszustände

Hierbei handelt es sich um die Beschreibung der Zustände "gasförmig", "flüssig", "fest" von Stoffen.

8.2.1 Gase Die physikalische Beschreibung von Gasen gelingt recht gut mit Hilfe statistischer Methoden, auf die hier nicht näher eingegangen werden kann. Der Gaszustand eines Stoffes ist dadurch charakterisiert, daß die mittlere kinetische Energie

< Ekin > av =

1 ⋅ < p2 > av 2m

der

Atome

oder

Moleküle

die

gegenseitige

Anziehungsenergie übertrifft. Kondensation tritt ein, wen beide Energien (Anziehung, Bewegung) ungefähr gleich groß sind.

8.2.2 Festkörper und Flüssigkeiten Sehr gut physikalisch beschreibbar sind Festkörper in kristalliner Struktur wie in Abb_8.1 exemplarisch am NCl gezeigt wurde. • kristalline Festkörper Die Anziehungenergie zwischen den Atomen oder F Molekülen überwiegt bei weitem die thermische Energie. Das ist also genau umgekehrt wie bei Gasen. Im F Abstoßung einfachste Fall (z.B. ein ionogener NaCl-Kristall) hat man folgende Beziehung: F

Fgesamt bzw.

a a2 = FAnziehung + FAbstopung = − 12 + 13 r r a3 a4 + 12 EBindung = ∫ Fgesdr = − r r

gesamt

r r0

Bei r 0 (siehe Fig_8.4) herrscht Kräftegleichgewicht F Anziehung zwischen Anziehung und Abstoßung. r 0 bildet somit den Gleichgewichtsabstand. In Abb_8.4b ist der Verlauf der Bindungsenergie F i g _ 8 . 4 a : Q u a l i t a t i v e r V e r l a u f d e r dargestellt. Wie man der Gleichungen und dem Diagramm A n z i e h u n g s - u n d A b s t o ß u n g s k r a f t : r 0 entnehmen kann, wachsen die abstoßenden Kräfte i s t d e r A b s t a n d b e i d e m F g e s a m t = 0 schneller mit dem Abstand r an als die abstoßenden. Das hat zur Folge, daß Festkörper nur wenig komprimierbar sind. Umgekehrt dehnen sich Festkörper beim Erwärmen merklich aus. In Abb_8.4b ist der Abstand r0+rA eingezeichnet, wie er bei der thermischer Ausdehnung auftritt. - 39 -

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Die Strukturen von Kristallen lassen sich durch verschiedene Kristalltypen, die in den seltensten Fällen ideal erfüllt sind (Gitterfehler). In Fig_8.1 ist ein kubisches Gitter dargestellt. • makromolekulare Polymere Auch hier gibt es geordnete Strukturen. Neben kristallinen Bereichen gibt es sog. amorphe Bereiche. Das Verhältnis von kristallinen und amorphen Bereichen bestimmt sehr stark die physikalisch-chemischen Eigenschaften der Polymere.

E

Bindung

r 0 +r A

r

∆E thermisch

r0 • Thermische Bew egung und Schmelzvorgang Trotz kristalliner Ordnung sind die Moleküle (oder Atome, Fig_8.4b: Bindungsenergie Ionen) in thermischer Bewegung um ihre Gleichgewichtslage im Gitter. Die Zufuhr von WärmeEnergie führt zur Ausdehnung (siehe oben) bis hin zur Schmelze. • Flüssigkeiten Strukturell gesehen liegen Flüssigkeiten zwischen den Gasen und den Festkörpern. Auch in Flüssigkeiten ist eine Nahordnung vorhanden. Besonders ausgeprägt ist diese z.B. in Wasser.

9

Makroskopisch-mechanische Eigenschaften in Festkörpern

Man bezeichnet einen Körper als ´elastisch´, wenn Deformationen, die durch irgendeine auf ihn einwirkende Kraft verursacht wurde, wieder rückgängig ist. Man bezeichnet einen Körper als ´homogen´, wenn die Dichte über das gesamte Volumen konstant ist:

Masse, m Volumen, V

Dichte, ρ =

d.h.

m =

∫∫∫ ρ

⋅ dV

→

ρ =

m = const V

9.1 Zug - Druck - Schub In Fig_9.1 sind die Normalkräfte auf einen Festkörper dargestellt: F1 : Normalkraft (senkrecht auf der Fläche A)

F1 F3

: Normalkraft (senkrecht auf der Fläche A) : Tangentialalkraft (parallel zur Fläche A)

Druck

1)

Schub :

p =

:

τ =

F1 A

Zug :

σ =

F2

A F3

F2 A

F3 A

[p] = [σ] = [τ] =

F1

Fig_9.1: Kräfte auf einen Körper

[F] = N ⋅ m − 2 = Pascal = Pa [A]

Es gibt noch eine Reihe weiterer Einheiten für den Druck, die j edoch keine SI-Einheiten sind :

1 bar = 105

1)

N 5 2 = 10 Pa m

Anmer kung: Die Kr aft ist zwar eine vekto r ielle Gr ö ß e ab er auch d ie Fläche läß t ( üb er d ie FlächenNormale) als Vektor darstellen. Damit erhält man als Resultat eine skalare Größe. - 40 -

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1techn. Atmosphäre = 1 at = 0,980665 bar 1 physikalische Atmosphäre = 1 atm = 760 Torr = 101320 , ⋅ 105 Pa

9.2 Dehnungselastizität oder Zugspannung Es existiert ein Bereich - der elastische Bericht - in dem die Längenänderung proportional zur Zugkraft ist und die Ausdehnung umkehrbar ist. J enseits dieses Bereichs (also bei größeren Zugkräften) beginnt das Material an zu fließen. Hier ist die Ausdehnung nicht mehr umkehrbar. Schließlich gibt es eine Grenze, bei der es zum Materialbruch kommt. in Fig_9.2b ist das Verhalten schematisch dargestellt.

l

Für den linearen (elastischen) Bereich gilt:

∆l ~ σ l

∆l

∆l F 1 und mit σ = = ε = ⋅ σ A l E

(9.1)

σ, F

Fig_9.2a: Zug

E :

Elastizitätsmodul, das ist eine vom Material abhängige Konstante Gl.(9.1) wird als Hooke´sches Gesetzt bezeichnet und ist die etwas allgemeiner Darstellung von Gl.(3.5) aus Abschnitt_3.5.

∆l/l

Bruch

Neben der Längenänderung beobachtet man bereits im Bereich des Hooke´schen Gesetzes eine Querschnittskontraktion:

Strecken, Fließen

∆d = ε d = −µ ⋅ ε d

Darin ist µ die Poisson´sche Querkontraktionszahl. Einige Werte für das Elastizitätsmodul, E: E/GPa µ Stof f σ ( B r u c h ) /GPa Al Cu Gummi

70,6 122,5 0,0005

0,34 0,35 0,50

Hooke´scher Bereich

σ = F/A Fig_9.2b Zugspannung

0,15 0,22

9.3 Volumenelastizität Der Druck p wirk von allen Seiten auf ein Volumen ein (siehe Fig_9.3). Die Änderung des Volumens wird wie folgt beschrieben:

∆V 1 F mit p = = −κ ⋅ p = − ⋅ p V K A 1 : Kompressibilität; K : Kompressibilitätsmodul κ = K

Einige Werte: K(Cu) = 1,4⋅10 + 1 1 κ(Cu) = 0,7⋅10 - 1 1 κ(H20)= 4,5⋅10 - 1 0 κ(H20)= 4,5⋅10 - 1 0

N⋅m 2 = 1,4⋅10 1 1 Pa Pa Pa (bei 300K) Pa (bei 400K)

Anmerkung: Für Gase gilt :

κ ~

1 p - 41 -

p

p p p

p

p Fig_9.3: Druck

)

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9.4 Scherung und Torsion Der Tosrionswinkel ß ist definiert als:

β =

1 F 1 ⋅ = ⋅ τ G A G

Torionsmodul G: [G] =

N m2

A

In der Technik sehr wichtig ist die Verdrillung (Torsion) von Antriebswellen:

F β

-F F i g _ 9 . 4 a : To r s i o n , To r s i o n s wi n k e l

ϕ

r

Für den Verdrillungswinkel ϕ gilt im elastischen Bereich der Welle ein dem Hooke´schen Gesetz analoge Beziehung;

F

ϕ =

β

l

M D*

Für

den *

errechnet sich D

einen

Vollzylinder

π r4 = G ⋅ 2 l

siehe dazu

auch Abschnitt_7. Der Winkel ß ist gegeben durch β ≈

r ⋅ ϕ l

Fig_9.4b: Verdrillung einer W elle

)

Ableitung von D * für einen Vollzylinder (siehe Übung/Ergänzung)

9.5 Biegen und Knicken Zur Biegefestigkeit tragen die von der neutralen Faser weit entfernten Teile am meisten bei (siehe Abb_9.5a). Daher werden diese Bereiche auf Kosten des mittleren Bereichs verstärkt. Das Resultat sind z.B. die Doppel-T-Träger.

neutrale Faser

ZugKräfte

DruckKräfte Fig_9.5a: BiegeKräfte

F i g _ 9 . 5 b : D o p p e l - T_ Tr ä g e r

Zusammenfassung: Im elastischen Bereich existiert ein linearer Zusammenhang zwischen den einwirkenden Kräften und der Größe der Auslenkung. Die Proportionalitätskonstanten E, K, G hängen vom Material ab und sind nicht unabhängig voneinander.

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Makroskopisch mechanische Eigenschaften in Flüssigkeiten

Aufgrund der an ihnen von außen angreifenden Kräfte (Schwerkraft, etc.) sind Flüssigkeitsmoleküle bestrebt die tiefste Stelle in einem Gefäß einzunehmen - waagrechte Oberfläche !

)

Oberfläche einer Flüssigkeit in einer Zentrifuge (siehe Übung/Ergänzung)

10.1 Druck in Flüssigkeiten F1

Flüssigkeiten sind nahezu inkompressibel. Beispiel : κ(H2O) = 48 , ⋅ 10−10 Pa (vrgl _9.3) Druck breitet sich in Flüssigkeiten allseitig aus.

A2 A1

F1 F Für eine hydraulische Presse gilt : p = = 2 A1 A2 • Schw eredruck In einer Flüssigkeit nimmt der Druck proportional mit der Wassertiefe zu:

F2

h Fig_10.1: Hydraulische Presse

h3 h2

p =

h1

bzw.

mg mgh mgh = = = ρ ⋅ g ⋅ h A Ah V

p = ρ ⋅ g(h0 − h) + p0

p3

p2

p1

p

zusätzlicher

Boden

F i g _ 1 0 . 2 : S c h we r e d r u c k

(Stempel−)druck

Der Druck ist unabhängig von der Gefäßform (Druck breitet sich allseitig aus) kommunizierende Gefäße. • Druckmessung Flüssigkeitsmanometer p = ρ ⋅ g(h1 − h2) + po Membranmanometer

(siehe Praktikum)

p1

10.2 Auftrieb Wie man der Fig_10.3 entnehmen kann, kommt es beim Auftrieb auf die Differenz der Drücke p 1 und p 2 an, da die Seitendrücke sich gegenseitig aufheben p L = p R Die Auftriebskraft F A ist demnach:

FL

FR pL

FA = F⇑ − F↓ = F2 − F1 = ρ ⋅ g ⋅ A (h2 − h1) = ρ ⋅ g (h2 ⋅ A − h1 ⋅ A) |_ _ _ _ _ _ _|

F1

pR p2 F2

Fig_10.3 Kräfte und Druck beim Auftrieb

VolumendesKörpers

Damit wird FA = ρflüssig ⋅ g ⋅ VKörper = m flüssig ⋅ g

(das wird häufig kurz als Auftrieb

bezeichnet. Für den Druck gilt entsprechend: p A = P↑ − p↓ = ρ ⋅ g (h2 − h1) - 43 -

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Merke: m f l ü s s i g ist die Masse der durch das Volumen des Körpers verdrängten Flüssigkeitsmenge (diese Aussage wird auch als Archimedisches Prinzip bezeichnet, Archimedes um 285-212v.Chr.) Merke:

> dann schwimmt der Körper = Fg dann schwebt der Körper < dann sin kt der Körper

Wenn FA

11

Gase

Bei Gasen läßt sich der Druck auf die Gefäßwand durch den Aufprall der einzelnen Gasmoleküle beschreiben (kinetische Gastheorie).

11.1 Druck Druck =

an die Wand übertragener Im puls Wandfläche × Zeitintervall

Die Zahl der Stöße auf die Wandfläche (Flächeninhalt A) in der Zeit ∆t ist:

∆z =

N 1 ⋅ v ⋅ A ⋅ ∆t V 6

Das Verhältnis N/V gibt die Konzentration der Gasmoleküle an und v deren Geschwindigkeit. Der Faktor 1/6 berücksichtigt die Tatsache, daß ein würfelförmiges Volumen 6 Flächen besitzt. Der von einem Molekül an die Wand übertragene Impuls beträgt (Abschnitt_5.3) : 2m ⋅ v

N 1 ⋅ ⋅ v ⋅ A ⋅ 2mv ⋅ ∆t V 6 F Im pulsstrom Gesamtimpuls 1 N Druck, p = (8.1a) = = = ⋅ ⋅ m ⋅ v2 A Fläche A ⋅ ∆t 3 V

Daraus ergibt sich ein Gesamtimpuls : ∆z ⋅ 2mv =

Gl.(8.1a) muß noch korrigiert werden, da nicht alle Gasmoleküle (Gasatome) ein und dieselbe Geschwindigkeit besitzen. Mit anderen Worten es gibt eine Geschwindigkeitsverteilung. Oder anders ausgedrückt, die kinetische Energie (1/2mv 2 ) ist um einen Mittelwert herum verteilt : Druck,

p =

1 N ⋅ ⋅ m⋅ < v 2 > av 3 V

(8.1b)

Aus Gl(8.1b) ergibt sich :

p ⋅ V=

dN / N T1

1 N ⋅ m ⋅ < v 2 > av = const 3

T1 < T2 T2

Anmerkung : In Abb_11.1 ist der qualitative Verlauf der Geschwind igkeitsver teilung d ar gestellt. Es gilt: − mv dN m  3 /2   = 4π ⋅ e kT ⋅ v 2dv  2π ⋅ kT N 2

Dab e i gib t d N d ie Anz a hl zwischen v und v+dv an

der

v

M o leküle

v wahrscheinlichst

< v >

( < v 2 > ) 1/2

F i g_ 1 1 . 1 Ge s c h wi n d i gke i t s ve r t e i l u n g

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11.2 Barometrische Höhenformel Aus pV=const folgt: p ⋅

V p = = const bzw. p = const ⋅ ρ (Boyle-Mariotte) ρ m

D.h. bei konstanter Temperatur nimmt die Dichte ρ proportional mit der Höhe ab. Angenommen die Dichte von Luft wäre konstant mit der Höhe, dann könnte man eine Lufthülle um die Erde errechnen, die ca. 8000m hoch ist. J enseits dieser Hülle also in Höhen über 8000m gäbe es dann keine Luft mehr. Die Höhe von 8000m errechnet sich wie folgt (Abschnitt_10.1):

1033 , kg ⋅ m −1 ⋅ s−2 ⋅ 105 ≈ 8000m Höhe der Lufthülle mit konstanter Dichte = 1,29 ⋅ kg ⋅ m − 3 ⋅ 9,81m ⋅ s− 2 Die Abnahme des Drucks mit der Höhe ist:

− dp =

m ⋅ g dh = ρ ⋅ g ⋅ dh A ⋅ h

dh

Nun benötigt man die Dichte als Funktion von h, d.h.: ρ=ρ(h), dann läßt sich der Druck errechnen. Die Dichte in Abhängigkeit von der Höhe ist aus dem vorigen Abschnitt bekannt (BoyleMariotte´sche Beziehung - siehe oben) :

p, ρ h

ρ0 ρ p und damit ρ = ρ0 ⋅ = p0 p p0

p 0 , ρ0

Dabei sein ρ 0 , p 0 die Werte der Dichte und des Drucks von Luft an der Erdoberfläche : ρ 0 = 1,29 kg / m 3 und p0 = 1,0132 ⋅ 105 N / m 2 Für die Druckabnahme folgt somit : dp = − ρ ⋅ g ⋅ dh = − p2

Integration ergibt :

∫

p1 = p0

dp

Erdoberfläche

Fig_11.2 S k i zze zu r B e r e c h n u n g der barom.Höhenformel

ρ0 p ⋅ g ⋅ dh p0

p  ρ dp = ln 2  = − 0 g ⋅ (h2 − h0) mit h 0 =0 und p 2 =p folgt: p p0  p0 

Barometrische Höhenformel:

p = p0 ⋅ e− ρ0 ⋅ g ⋅ h / p0 = p0 ⋅ exp[−ρ0 ⋅ g ⋅ h / p0] Der Wert

)

(11.2)

p0 beträgt (bei einer Temperatur von 273K) ca. 8000m ρ0 ⋅ g

Überprüfen Sie diese Aussage und kommentieren Sie das Ergebnis !

Beim Aufstieg auf 8000m Höhe nehmen Druck und Dichte - wie man Gl.(11.2) entnehmen kann - um e - 1 =0,368 ab.

)

Vergleichen sie das Ergebnis mit der Druckabhängigkeit in Flüssigkeiten

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Grenzflächen

Im Abshnitt_8 wurde der Einfluß der Bindungskräfte bzw. der Bindungsenergie zwischen Atomen, Molekülen und Ionen im Inneren eines Stoffes kurz vorgestellt. Im folgenden soll dies für die Grenzflächen der Stoffe geschehen.

12.1 Freie Oberfläche (Flüssigkeit - Vakuum) Im Inneren wirken die Anziehungskräfte auf ein Molekül von allen Seiten, d.h. Fresultierend = 0 An der Oberfläche ist Fresultierend ≠ 0 (siehe Abb_12.1). Daraus resultieren Phänomene wie: − Oberflächenspannung, Benetzung − Kapillarität − Katalytische Wirkung mancher Festkörper bei chemischen Reaktionen

∆x

Fresultierend ≠ 0 Fresultierend = 0

Fig_12.1 Freie Oberfläche • Oberf lächenspannung Für Moleküle (Atome) in der Oberflächenschicht (∆x ≈ 1nm = 10 - 9 m) ist die Resultierende der Anziehungskräfte benachbarter Moleküle ungleich null, d.h. die Moleküle (Atome) werden in das Innere gezogen. Ein daraus resultierendes Erscheinung ist die Ausbildung möglichst kleiner Oberflächen (ein derartiger Zustand ist energetisch günstiger). Mit anderen Worten um eine Oberfläche zu vergrößern muß Energie zugeführt werden: ∆E = γ ⋅ ∆A OberflächenEnergie : dE = γ ⋅ dA (12.1) bzw.

γ : spezifische Oberflächenenergie, die aufgebracht werden muß, um die Oberfläche um ∆A zu vergrößern: γ =

∆E ; ∆A

[γ] = J ⋅m - 2 = N⋅m - 1

Tropfen haben eine höheren EnergieInhalt als die entsprechende makroskopische Phase, da ihre Oberfläche (im Verhältnis zu ihrer Masse) größer ist. Eine Folge davon ist der höhere Dampfdruck von Tropfen :

)

pDampfdruck,Tropfen =

2⋅ γ r

Herleitung der Beziehung zwischen (s.Übung/Ergänzung)

Dampfdruck, Oberflächenspannung und Radius

ß Zahlenbeispiel :

QuecksilberTropfen mit Radius, r = 10 - 5 cm (Grenze der mikroskopischen Auflösung) γ H g = 480⋅10 - 3 J/m 2 Damit ergibt sich für den Tropfen : p ( T r o p f e n ) =96⋅10 5 Pa Zum Vergleich dazu: Der Dampfdruck von Quecksilber in makroskopischer Form: p ( H g ) =0,13Pa

)

Þ Messung der Oberflächenspannung mir der Drahtbügelmethode (s.Praktikum/Übung)

Der Wert der Oberflächenspannung sich durch Zugabe von Detergenzien (Seife, Waschmittel, etc.) verändern. Kleine Konzentrationen genügen, um die Werte von γ stark zu verändern. Der Wert der Oberflächenspannung hängt natürlich auch von der Temperatur ab.

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Spez. Oberflächenenergie Substanz Hg H2O wässr. Seifenlösung C 2 H 5 OH H 2 (flüssig) Glas

Temperatur in 0 C 25 20 20 20 -271 20

γ / J⋅m - 2 0,484 0,0725 ~0,03 0,017 0,0013 1,0

12.2 Grenzfläche fest-fest und fest-flüssig Bei Flüssigkeits-Gas Grenzflächen ist ∆E O b e r f l ä c h e >0 verdampfen.

sonst würde die Flüssigkeit

• Kohäsion - Adhäsion

F resultierend 2

2

1

1 F resultierend F i g_ 1 2 . 2 b : K o h ä s i o n > Ad h ä s i o n ( 1 → 2 )

F i g _ 1 2 . 2 a : K o h ä s i o n < Ad h ä s i o n ( 1 → 2 )

Anziehungskräfte, die in das Innere des Stoffes gerichtet sind, dem das betrachtete Molekül (Atom) angehört, nennt man Kohäsionskräfte. Kräfte zwischen den Molekülen (Atomen) des betrachteten Stoffes und dem begrenzenden zweiten Stoff nennt man Adhäsionskräfte. In Fig_12-1a überwiegt vom Stoff_1 aus gesehen die Kohäsion (Beispiel: Wasser auf Glas) In Fig_12-1b überwiegt vom Stoff_1 aus gesehen die Adhäsion (Beispiel: Hg auf Glas)

)

Allgemeine Aussagen über γ für verschiedene Phasengrenzflächen (siehe Übung)

• Benetzung Damit es zu einer Benetzung Beispiele: H 2 O - Glas : H 2 O - Fettiges Glas : Hg - Cu : Hg - Glas :

)

kommt, muß die Adhäsion > Kohäsion sein. Benetzung keine Benetzung Benetzung keine Benetzung

Berechnung des Kontaktwinkels (s,.Ergänzung)

12.3 Kapillarität Eine große Bedeutung erlangen Grenzflächenphänomene für Systeme mit großer Oberfläche, wie in Kapillaren. Taucht man eine Glasplatte in H 2 O, so wird diese benetzt (s.oben), da die Adhäsion (H 2 O→Glas) größer ist als die Kohäsion. Für die Steighöhe erhält man :

h =

2 γ r ρ ⋅ g

keine Benetzung

Benetzung h

2r

2r

H 2O F i g_ 1 2 . 3 a K a p i l l a r a t t r a kt i o n

- 47 -

h

Hg F i g_ 1 2 . 3 b Kapilldepression

)

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ß Zahlenbeispiele: H 2 0 (γ = 0,0725 J /m - 2 und ρ = 1 g/cm 3 ) i) ii) iii)

h ≈ 0,15⋅10 - 2 m h ≈ 15 cm h ≈ 75cm

r = 1cm r = 0,1mm r = 20µm

Þ

) 13

Herleitung der Steighöhe in einer Kapillare (s. Ergänzung)

Strömungen von Flüssigkeiten

Infolge der Anziehungskräfte zwischen den Molekülen (Atomen) in Flüssigkeiten und Gasen muß um eine Strömung aufrecht zu erhalten permanent Energie zugeführt werden. Makroskopisch äußern sich die Anziehungskräfte durch die sogenannte Viskosität (Zähigkeit) der Flüssigkeiten bzw. Gasen.

13.1 Innere Reibung (Viskosität) Werden Moleküle (Atome) in einer Flüssigkeit gegeneinander verschoben, so wird infolge der Kohäsion benachbarter molekularer (atomarer) Schichten dieser Bewegung entgegenwirkt. Aneinander grenzende Flüssigkeitsschichten können sich nur reibend gegeneinander verschieben. Diese "innere Reibung" wird als Zähigkeit bezeichnet.

y

x FR

d

dv y dx

Geschwindigkeitsgefälle

D

N ⋅ s [η] = = Pa ⋅ s m2 alte Einheit :

y

F

Eine Platte der Fläche A wird in der Flüssigkeit parallel zu einer ebenen Wand verschoben. Der F i g _ 1 3 . 1 a : Z u r V i s k o s i t ä t Abstand d sei kleiner als der Grenzabstand D (siehe Fig_13.1b). Es gilt: | F|~ A ; | F|~ v ; | F|~ 1 / x

| F|~| FR| = η ⋅ A ⋅

d v dx

1 Poise = 0,1 Ns/m 2

D

Fig_13.1b : Zur Viskosität

Für die meisten Flüssigkeiten ist η eine Konstante, deren Wert von der Temperatur abhängt. Hängt η weder von der Kraft (Druck) noch von der Größe der Geschwindigkeit ab, wie dies bei den meisten Flüssigkeiten der Fall ist, dann bezeichnet man diese Flüssigkeiten als ´Newton´sche Flüssigkeiten´ - im Gegensatz zu den Nicht_Newton´schen Flüssikgeiten (wie Blut oder Schokolade).

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Einige Viskositätswerte bei 20 0 C : Stoff Luft Wasser Hg η/Pa⋅s

14

2⋅10-5

10-3

1,5⋅10-3

Äther 2,3⋅10-4

MotroÖl

Blut

Blut

( mi t t e l )

( mi t t e l )

4,7⋅10-3

4,4⋅10-3

00C 200C 1000C

5,3 1 2⋅10-2

Laminare und turbulente Strömung

Langsame Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen sind i.allg. laminar (wirbelfrei). Es kommt keine vor. Die einzelnen Durchmischung Flüssigkeitsschichten bleiben erhalten und deshalb läßt sich dies Strömung durch Stromlinien beschreiben. Diese schneiden und berühren sich nicht. .

Bei höheren Strömungsgeschwindigkeiten und/oder auftretenden Hindernissen kann es zu Turbulenzen (Wirbelbildung) kommen. Für die Ausbildung von Wirbeln ist Energie notwendig, d.h. der Strömungswiderstand steigt.

Fig_14.1a: Stromlinien einer laminaren Strömung in einer idealsierten Flüssigkeit um eine Kugel

Fig_14.1b: Stromlinien und Bildung von W irbeln in einer turbulenten Strömung.

14.1 Laminare Strömung durch ein Rohr Um eine konstante Strömung in einem Rohr aufrecht zu erhalten, muß permanent Energie gegen die inneren Reibungsverluste von außen zugeführt werden (p s t ). Die Reibung erzeugt weinen Strömungswiderstand. p setzt sich aus Stempeldruck p s t und Schweredruck p s c h w zusammen. Ist die Strömung laminar und der Durchmesser des Rohrs konstant, dann existiert ein lineares Druckgefälle (siehe Fig_14.2) :

∆p = p1 − p2

p st

p = p st + p schw

p1 ∆p

p2

D l x1

x2 x

dp = ⋅ l dx

∆V/∆t

Fig_14.2 Laminare Strömung in einem Rohr p s t : S t e m p e l d r u c k ; p s c h w : S c h we r e d r u c k

Für die Stromstärke I V und die Druckdifferenz ∆p erhält man bei laminarer Strömung:

IV =

∆V ∆p ∆p mit R V dem Strömungswiderstand der Flüssigkeit : R V = = ∆t RV IV

[I V ] = m 3 ⋅s - 1 Der Strömungswiderstand R V hängt von der Geometrie des Rohres und von der Art der Flüssigkeit ab (vrgl. Fig_14_3):

RV =

8⋅ η ⋅ l (r : Radius des Rohres, l : Länge des Rohres) π ⋅ r4 - 49 -

)

+



'

R

U

W

P

X

Q

3K\VLNB

G

Prof. E. von Goldammer

Damit wird I V :

IV =

π ⋅ r4 ∆p Das ist das sog. Hagen8⋅ η ⋅ l

IV

Poiseuille´sche Gesetz

H2O

• Kirchhof f ´sche Gesetze Für alle mengenartigen physikalischen Größen (Impuls, elektr.Ladung, Masse) für die der Erhaltungssatz in der folgenden Form gilt: "X kann weder erzeugt noch vernichtet werden" lassen sich die Kirchhoff´schen Gesetze formulieren. Das ist eine unmittelbare Folge der ErhaltungsSatzes. 1 ) In der Fig_14.4 ist die Druckdifferenz ∆p zwischen A und B :

∆p = pA − pB

Blut

∆p F i g _ 1 4 . 3 : Q u a l i t a t i ve r V e r lauf von Strom-Spannungskurven bei der Strömung

Das 1.Kirchhof f ´sche Gesetz lautet, "Die Summe der zufließenden Ströme ist gleich der Summe der abfließenden Ströme", d.h.:

IV = IV,1 + IV,2

Das 2.Kirchhof f ´sche Gesetz ergibt sich wie folgt :

IV,1 IV,2

∆p R V,1 R V,2 = = ∆p R V,1 R V,2

1

mit IV = IV,1 + IV,2

2

IV A

1 R V, effektiv

∆ p R V,1

folgt :

 1 1  ∆p ∆p  IV = + = ∆p  + R V,1 R V,2 R V,2   R V,1 = ∆p ⋅

IV,1 =

3

IV,2 =

∆p R V,2

IV 4

B

Fig_14.4 : 1.Kirchhoffsches Gesetz

(

IV ⋅ R V, effektiv = IV ⋅ R V,1 + IV,2 = IV ⋅ R V,1 + R V,2

)

und

∆p = ∆p1,2 + ∆p3,4

Die beiden Kirchhoff´schen Gesetze folgen unmittelbar aus den ErhaltungsSätzen (siehe oben). Ersetzt man den VolumenStrom I V durch den LadungsStrom I Q und die (Druckdifferenz) durch die elektr.Potentialdifferenz Potentialdifferenz ∆ϕ ∆p (elektr.Spannung), dann ergeben sich die aus der Elektrotechnik bekannten Formulierungen für der Kirchhoff´schen Gesetze für den elektrischen Strom, den elektrischen Widerstand bzw. die elektrische Spannung.

14.2 Kontinuitätsbeziehung und Bernoulli Gleichung Der Einfachheit halber sei zunächst eine idealisierte Flüssigkeit angenommen, die sich durch folgende Eigenschaften auszeichnen soll: − Inkompressibilität (das ist eine sehr gute Näherung) − Reibungsfreiheit (die innere Reibung sei null - das ist nur bedingt erfüllt) Es gilt dann : Strömt die idealisierte Flüssigkeit durch ein Rohr, so muß infolge der Massenerhaltung, die sogenannte Kontinuitätsgleichung gelten, d.h. 1)

Anmer kung: Das Vo lumen ist str eng geno mmen keine mengenar tige Gr ö ß e. Schlimmer no ch, das Volumen strömt auch nicht. Strömen tut hier etwas anderes nämlich Masse m o d er genauer Menge n. W o b e i d ie M e nge n in ´mo l´ angegeb en wir d . Da d ie fo lgend en B etr achtungen an Flüssigkeiten vo r geno mmen wer d en und d iese weitgehend inko mp r essib el sind und d ar üb er hinaus die physikalische Größe " Menge" und das dazu entsprechende chemische P o tential µ no ch nicht b esp r o chen wur d en, wir d im fo lgend en weiter mit d em Vo lumenstr o m gear b eitet. Man kann zeigen, d aß so wo hl d er Mengenstr o m I n d em Vo lumenstr o m I V wie auch das chemische Potential dem Dr uck proportio nal ist, macht man dabei keinen Fehler. - 50 -

)

+



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P

X

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A1 ⋅ ρ1 ⋅ v 1 ⋅ ∆t = A 2 ⋅ ρ2 ⋅ v 2 ⋅ ∆t Es ist : ρ1 = ρ2 ( I n k o mp r e s s i b i l i t ä t )

A 1 , v 1 , ρ1

∆s

Daraus folgt:

A1 ⋅ v 1 = A 2 ⋅ v 2 = const

∆s

oder anders ausgedrückt :

A1 ⋅ ∆s = IV = const ∆t

A 2 , v2 , ρ2 Daraus folgt : Zwischen A1 und A2 muß die Flüssigkeit eine Fig_14.5 : Zur KontinuitätsGleichung Beschleunigung erfahren, damit die obige Beziehung erfüllt ist. Wenn die Flüssigkeit j edoch eine Beschleunigung erfährt, dann muß eine Kraft wirken. Da F = p ⋅ A ist, bedeutet dies, daß zwischen A 1 und A 2 ein Druckgefälle herrschen muß. Dieses Druckgefälle ist für die Beschleunigung der strömenden Flüssigkeit verantwortlich. Da eingangs eine idealisierte, d.h. reibungsfrei strömende Flüssigkeit vorausgesetzt wurde, bleibt die Gesamtenergie konstant. Die idealisierte Flüssigkeit befindet sich in einem Zustand. Dafür läßt sich schreiben : Epot + Ekin = Eges = const oder ausgeschrieben :

1 1 ρ1 ⋅ A1 ⋅ ∆s1 ⋅ v12 = p2 ⋅ A 2 ⋅ ∆s2 + ρ2 ⋅ A 2 ⋅ ∆s2 ⋅ v 22 2 2 m Nun ist aber das Produkt A ⋅ ∆s = V und ρ = damit erhält man v 1 1 p1 ⋅ ∆V1 + ρ1 ⋅ ∆V1 ⋅ v12 = p2 ⋅ ∆V2 + ρ2 ⋅ ∆V2 ⋅ v 22 |: ∆t 2 2 p1 ⋅ A1 ⋅ ∆s1 +

∆V1 ∆V1 ∆V2 ∆V2 1 1 + ρ1 ⋅ ⋅ v12 = p2 ⋅ + ρ2 ⋅ ⋅ v 22 ∆t 2 ∆t ∆t 2 ∆t 1 1 p1 ⋅ IV,1 + ρ1 ⋅ IV,1 ⋅ v12 = p2 ⋅ IV,2 + ρ2 ⋅ IV,2 ⋅ v 22 2 2 Nun ist aber IV,1 = IV,2 und damit : p1 ⋅

p1 +

1 1 ρ1 ⋅ v12 = p2 + ρ2 ⋅ v 22 2 2

Da Flüssigkeiten praktisch inkompressibel sind, ist ρ1 = ρ2

Die Bernoulli Gleichung erhält man durch Umbenennung:

1 (= const) ρ ⋅ v 2 = p0 2 mit p′ = p + ρfl ⋅ g ⋅ h Staudruck Gesamtdruck

p′ +

Stempeldruck

)

Schweredruck

Zeigen Sie, daß das Produkt ρ ⋅ v 2 einem Druck entspricht.

Experimentell läßt sich Gl.(14.1) durch folgenden Versuchsaufbau darstellen: In Fig_14.6 gilt : A1 ⋅ v1 = A 2 ⋅ v 2

Da A 1 > A 2 ist, folgt v 2 > v 1

Ferner gilt die Bernoulli-Gleichung p1 +

1 1 ρ ⋅ v12 = p2 + ρ ⋅ v 22 2 2

Da v 2 > v 1 ist, folgt p 1 > p 2 - 51 -

(14.1)

)

+



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Die in Fig_14.6 gezeigt Situation mit p 3 < p 1 resultiert in der Realität, da es keine Flüssigkeitsströmung ohne Reibung gibt. Reibung bedeutet, daß Energie in Form von WärmeEnergie an die Umgebung abgegeben wird. Das hat u.a. zur Folge, daß der Druck p 3 kleiner wird als p 1 .

p1

p1

p3

A2

p2

v1 A1 v2

v3 = v

1

Fig_14.6 : zum Bernoulli Effekt : Druckverteilung in einem durchströmten Rohr mit einer Einschnürung

•

Drucksonden An den gestrichelt gezeichneten Stellen (Fig_14.7) können z.B. Schlauchverbindungen angebracht werden (zu einem Manometer) In _a) und _b) wurde keine Manometerflüssigkeit mit eingezeichnet. Solche Drucksonden werden z.B. zur Messung der Geschwindigkeit in Flugzeugen eingesetzt (_c).

( a )

• Beispiele f ür Bernoulli-Ef f ekt

(b)

(a)

(b)

(c)

F i g _ 1 4 . 8 : B u n s e n b r e n n e r ( a ) u n d H yd r o s t a t i s c h e s P a r d o xo n ( b )

)

Fig_14.7 : Drucksonden (a) : (b) :

Messung des statischen Drucks Pitot´sches Rohr zur Messung des Gesamtdrucks (c) : Messung des Gesamtdrucks minus stat. Druck ergibt den Staudruck (Prantl-Rohr)

Tragflächenauftrieb (siehe Ergänzung)

(a) (b) (c) F i g _ 1 4 . 9 : Z u r E n t s t e h u n g d e s Tr a g f l ä c h e n a u f t r i e b . a) : Strömung ohne W irbel; b) : Drehungsfreies W ibelfeld; c) : Überlagerung von _a) und _b)

- 52 -

)

+



'

R

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Prof. E. von Goldammer

14.3 Turbulente Strömung Turbulenz (Verwirbelung einer Strömung) hat ihre Ursache in Unebenheiten wie Kanten und Ecken, Fremdkörpern, etc., die besonders bei höheren Strömungsgeschwindigkeiten störend auf laminare Strömungen wirken. In der Abb_14.9 ist die Strömungsgeschwindigkeit infolge des Hindernisses der unteren Schicht geringer, d.h. v 1 < v 2 . Die schnellere Schicht rollt dann sozusagen auf die langsamere ab, was besonders dann auftritt, wenn ∆v = v1 - v2 groß ist. Unterhalb einer kritischen Strömungsgeschwindigkeit v k v2 klingt die Verwirbelung in einiger Entfernung vom v1 Hindernis stark ab. Oberhalb dieses Wertes von v = vk bewegen sich die Wirbel weiter durch das Rohr. Die dazu notwendige RotationsEnergie wird der BewegungsEnergie der laminaren Strömung entzogen. Dadurch verkleinert sich die Strömungsgeschwindigkeit. Merke: Beim Übergang von laminarer in turbulente Strömung tritt eine Erhöhung des Strömungswiderstandes auf (s.Fig_14.9) Die kritische Geschwindigkeit ist gegeben durch:

vk =

Re ⋅ η ρ ⋅ l

Darin ist l eine charakteristische Länge. In Betracht kommen dafür j e nach Anordnung der Rohrdurchmesser, die Breite, die Länge der Hindernisse, etc. Re : ist eine dimensionslose Zahl, die sog. ReynoldZahl.

Fig_14.9 : W irbelbildung an einem Hindernis

ß Beispiel : Für ein Rohr mit kreisförmigen Querschnitt ist Re k r i t =2320 Flüssigkeiten

verhalten

ρ ⋅ v ⋅ l Re = η

sich

bei

gleicher

Reynold-Zahl

geometrisch gleichartig. Eine Verkleinerung

IV laminar

von Re (Verkleinerung von v) bedeutet einen Übergang von turbulent nach laminar Re < Rekrit Merke: Wirbelbildung tritt nur auf, Flüssigkeiten ungleich null ist.

weil

die

Viskosität

in

Þ

turbulent

∆p Fig_14.10 Strom-Spannungskurve für den Übergang von laminarer zu r t u r b u l e n t e n S t r ö m u n g .

• Zikulation Wird ein rotierender Körper senkrecht zur Rotationsachse umströmt, so erfährt er eine Kraft nach oben, die j eweils senkrecht auf der Strömungsrichtung und der Rotationsachse steht. Geschwindigkeit der oberen Strömung bei der rotierenden Scheibe :

v oben = v 0 + ω ⋅ r

Geschwindigkeit der unteren Strömung bei der rotierenden Scheibe:

v unten = v 0 − ω ⋅ r

Fig_14.11 Stromlin i e n ve r l a u f u m einen rotierenden Zylinder

Damit ergibt sich zwischen oben und unten eine Druckdifferenz von:

∆p =

1 ρ ⋅ (v 2oben − v 2unten ) = 2 ⋅ ω ⋅ r ⋅ v 0 ⋅ ρ 2 - 53 -

)

+



'

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)

Weitere Beispiele und cw -Wert (siehe Ergänzung/Übung)

14.4 Sedimentation und Stoke´sches Gesetz Die Viskosität beeinflußt die Sinkgeschwindigkeit von Fremdkörpern. Fällt eine Kugel in viskoser, benetzender Flüssigkeit, so herrsche folgendes (dynamisches) Kräftegleichgewicht: mit F g : Gravitationskraft; F A : Auftriebskraft; F R : Reibungskraft. Fg − FA − FR = 0

FR = 6 ⋅ π ⋅ η ⋅ v ⋅ r

Stoke´sches Gesetz mit v : Sinkgeschwindigkeit

Setzt man die einzelnen Kräfte ein, so folgt :

4 4 π ⋅ r3 ⋅ ρKugel ⋅ g − π ⋅ r3 ⋅ ρflüssig ⋅ g − 6 ⋅ π ⋅ η ⋅ v ⋅ r = 0 3 3 Für die Sinkgeschwindigkeit v erhält man :

(

v = 2 r2 ρKugel − ρflüssig

) 9 g⋅ η

Aus der Messung der Sinkgeschwindigkeit von Kugeln,

läßt sich die Viskosität oder die Dichte einer Flüssigkeit oder der Radius der Kugel bestimmen.

- 54 -