ECUACIONES DIFERENCIALES Lic. Neisser Pino Romero Facultad de Ingeniería Electrónica y Eléctrica Universidad Nacional Mayor de San Marcos February 20, 2014 Abstract El presente curso brinda dar los conocimientos necesarios con fundamentos matemáticos de sucesiones y series, y una buena de…nición de las funciones para resolver ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales por el método tradicional y mediante la transformada de Laplace como formas de desarrollo para encontrar sus soluciones.
1
Referencias del Curso
1.1
Escuelas Académicos Profesionales
1. Ingeniería Electrónica 2. Ingeniería Eléctrica 3. Ingeniería de Telecomunicaciones
1.2
Sumilla
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales de primer orden y segundo orden, la transformada de Laplace, sucesiones y series, series de potencia para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coe…cientes variables, sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coe…cientes variables. Funciones Bessel, Polinomios de Legendre. Funciones de Neumann y Hankel. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: método de separación de variables. Ecuaciones de Laplace y ecuaciones de ondas: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
1
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Part I
Series y Sucesiones 2
Sucesiones
2.1 2.1.1
Límite de Sucesiones Sucesiones: De…nición y Representación
Una sucesión es un tipo particular de función. En concreto, De…nición 1: Una sucesión es una función f cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos. Haciendo an = f (n) para n = 1; 2; 3; 4::: la sucesión se denota por: a1 ; a2 ; a3 ; ::: Los elementos an se conoce como términos de la sucesión, pudiendo coincidir sus valores entre sí. Las sucesiones pueden tomar valores en cualquier conjunto. No obstante al hablar de sucesiones entenderemos sucesiones reales, sucesiones cuyos términos son números reales. Cuando se utiliza una expresión para representar el término general de una sucesión es costumbre utilizar la letra n para designar la variable independiente. Ejemplo:
an =
1 n
= 1; 12 ; 13 ; 14 ; :::
Muchas sucesiones están de…nidas en forma recursiva como la sucesión de Fibonacci. an = an
1
+ an
, a1 = 1; a2 = 1
2
y otras se de…nen de forma diferente para diferentes tipos de enteros como la sucesión an = 0 si n es par, y an = 1 si n es impar. Todas ellas se representan mediante algoritmos.
2.1.2
De…nición de Límite
La idea de límite de una sucesión es paralela a la de límite de una función en el in…nito. Intuitívamente se dice que una sucesión tiene límite L si los términos de la sucesión se aproximan tanto como queramos a L tomando n su…cientemente grande. Formalmente, De…nición 2: Una sucesión (an ) tiene límite L si para cada " > 0 existe un número N > 0 tal que para todo indice n > N se veri…ca jan Lj < " En este caso se escribe lim an = L
n!+1
Lic. Neisser Pino Romero
2
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Las sucesiones que poseen límite (…nito) se dicen convergentes y el resto divergentes (sucesión que NO poseen límite). En lo que concierne a la convergencia o divergencia de una sucesión los primeros términos no tienen importancia. Lo que cuenta es el comportamiento de los últimos términos de la sucesión, es decir, los términos cuyos índices son mayores que un número entero N > 0; i.e. el conjunto ann > N: Otra forma de expresar que una sucesión (an ) converge a L, es decir, que cada " > 0; el intervalo (L "; L + ") contiene todos los términos de la sucesión salvo un número …nito de ellos. 2.1.3
Propiedades de los Límites
Como en caso general de funciones el límite de una sucesión si existe es único. Teorema (Unicidad del Límite): Si una sucesión es convergente, su límite es único. Teorema (Algebra de Límites): Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones, tales que, lim an = A y
n!+1
y
;
lim bn = B
n!+1
números reales cualesquiera. Entonces,
1. Linealidad:
lim ( an + bn ) = A + B
n!+1
2. Regla del Producto: 3. Regla de la División:
lim (an bn ) = AB
n!+1
an bn
lim
n!+1
=
A B
(B 6= 0)
Teorema (Regla del Sandwich): Sean (an ) ; (bn ) ; (cn ) tres sucesiones, tales que an cn bn para todo n (o para todo n > N siendo N un entero positivo cualquiera) y, lim an = lim bn = L
n!+1
n!+1
Entonces, lim cn = L
n!+1
Teorema (Funciones Continuas y Sucesiones): Sea (an ) una sucesión con límite L, y f una función real continua en L, y cuyo dominio contiene los valores de la sucesión. Entonces, Lic. Neisser Pino Romero
3
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
lim f (an ) = f (L)
n!+1
Teorema (Variable Discreta vs Variable Continua): Sean (an ) una sucesión y f una función de…nida en un intervalo de la forma (b; +1) tal que cn = f (n): Si lim f (x) = L; la sucesión (an ) converge a L, i.e. x!+1
lim f (n) = L
n!+1
Teorema: Si (an ) es una sucesión de números no negativos y si lim an = L; entonces L 0 n!+1
Teorema: Si una sucesión de números reales (an ) converge a L, entonces (an ) no puede converger a otro límite M distinto de L. Esto es si, lim an = L n!+1
y
lim an = M; Entonces L = M:
n!+1
Ejemplos (Límites Importantes) 1. Si jxj < 1;
lim xn = 0
n!+1
2. Para todo x;
n lim x n!+1 n!
3. Para todo x;
lim lnjxj n!+1 n
4. Para todo x;
lim
n!+1
5. Para todo x > 0; 6. Para todo n > 0;
=0 =0
1+
x n n
lim
p n
lim
p n
n!+1
n!+1
= ex
x=1 n=1
Ejemplos 1. Supongamos en primer lugar que 0 < x < 1: Tomando logaritmos resulta lim ln(xn ) = lim (n ln(x)) =
n!+1
n!+1
1
Por lo tanto, y teniendo en cuenta que la exponencial es una función continua se tiene, lim
lim ln(xn ) = lim en ln(x) = en!+1
n!+1
Para
n!+1
1 < x < 0; podermos escribir x =
Lic. Neisser Pino Romero
4
ln(xn )
=e
1
=0
jxj ; y por ser, jxj > 0 se tiene, U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
n
lim jxj = 0
n!+1
y por consiguiente, n
n
lim xn = lim ( jxj ) = ( 1)
n!+1
n!+1
n
lim jxj = 0
n!+1
Por último el límite es obvio, para x = 0: 4. Sea
L = lim
n!+1
1+
x n n
Tomando logaritmos, luego aplicando L’Hospital tras hacer un cambio a variable continua resulta, ln(L) = lim ln 1 + n!+1
ln(L) = x lim
x ln(1+ n )
n!+1
ln(L) = x
2.1.4
x n n
)
x n
= lim n ln 1 + n!+1
x n
1 = xlim 1+t =x = xlim ln(1+t) t t!0
t!0
L = ex
Convergencia, Acotación y Sucesiones Monótonas
La propiedad de acotación de una sucesión tiene el mismo signi…cado que para una función real cualquiera. De…nición: Una sucesión (an ) es acotada superiormente si existe un B tal que, an B para todo n = 1; 2; 3; ::: Dicha sucesión esta acotada inferiormente si existe un b tal que b an para todo n = 1; 2; 3; ::: para todo n = 1; 2; 3; ::: Una sucesión es acotada si está acotada superiormente e inferiormente a la vez.
El siguiente resultado establece la relación entre la convergencia y acotación de una sucesión. Teorema (Condición Necesaria de Convergencia): Toda sucesión convergente es acotada. O lo que es equivalente, toda sucesión no acotada es divergente. De…nición: Una sucesión (an ) es monótona creciente si an an+1 para todo n = 1; 2; 3; ::: Dicha sucesión es monótona decreciente si an+1 an para todo n = 1; 2; 3; :::
Una sucesión monótona es aquella que es creciente o decreciente. La sucesión se dice estrictamente creciente si an an+1 para todo Lic. Neisser Pino Romero
5
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
n = 1; 2; 3; ::: y una sucesión estrictamente decreciente si an+1 para todo n = 1; 2; 3; :::
an
De…nición: Sea (an ) una sucesión de números reales. Decimos (an ) tiende al in…nito cuando n tiende a in…nito si para cualquier número real M > 0 existe un número natural N tal que (an ) M (8n N ) : De…nición: Sea (an ) una sucesión de números reales. Decimos (an ) tiende al menos in…nito cuando n tiende a in…nito si para cualquier número real M > 0 existe un número natural N tal que, si n N entonces, an < M De…nición: Si una sucesión (an ) de números reales es divergente pero no diverte a +1 ni a 1 entonces decimos (an ) es oscilante. Teorema: Una sucesión creciente que está acotada superiormente, es convergente. Teorema: Una sucesión creciente la cual no es acotada superiormente, es divergente a in…nito. Teorema: Si 0 < x < 1; entonces (an ) converge a 0: Teorema: Si 1 < x < 1; entonces (an ) diverge a in…nito. Lema: Si una sucesión (an ) de números reales la cual es convergente a L, entonces a2n converge a L2 : Teorema: Si (an ) y (bn ) son sucesiones de números reales, (an ) diverge a in…nito, y (bn ) es acotada entonces, (an + bn ) diverge a in…nito.
2.1.5
Límites Superior e Inferior
De…nición: Sea (an ) una sucesión de números reales acotada por arriba, y sea Mn = supfan ; an+1 ; an+2 ; :::g a. Si (Mn ) converge, de…nimos: lim sup an = lim Mn n!1
n!1
b. Si (Mn ) diverge a menos in…nito, escribimos:
lim sup an =
n!1
1
n
Por ejemplo, Sea an = ( 1) (n 2 N ) : Entonces (an ) es acotada por arriba. En este caso Mn = 1 para cada n 2 N y por lo tanto, lim Mn = 1: n!1
De…nición: Si (an ) es una sucesión de números reales la cual no está acotada superiormente, entonces: lim sup an = 1 n!1
Lic. Neisser Pino Romero
6
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Teorema: Si (an ) es una sucesión convergente de números reales, entonces lim sup an = lim an
n!1
n!1
De…nición: Sea (an ) una sucesión de números reales la cual es acotada por debajo, y sea mn = inffan ; an+1 ; :::g a. Si (mn ) converge, entonces de…nimos: lim inf an = lim mn n!1
b. Si (mn ) diverge a in…nito, escribimos:
n!1
lim sup an = 1
n!1
Teorema: Si (an ) es una sucesión de números reales, entonces lim inf an lim sup an n!1
n!1
Teorema: Si (an ) es una sucesión de números reales, lim sup an = lim inf an = n!1
n!1
L; donde L 2 R; entonces (an ) es convergente, y lim inf an = L n!1
Teorema: Si (an ) es una sucesión de números reales, si lim sup an = 1 n!1
y lim inf an = 1; entonces (an ) diverge hacia in…nito. n!1
Teorema: Si (an ) y (bn ) son sucesiones acotadas de números reales, si (an ) (bn ) (8n 2 N ) ; entonces lim sup an lim sup bn n!1 n!1 y lim inf an lim inf bn : n!1
n!1
Teorema: Si (an ) y (bn ) son sucesiones acotadas de números reales, si (an ) (bn ) (8n 2 N ) ; entonces lim sup (an + bn )
n!1
lim inf (an + bn )
n!1
lim sup an + lim sup bn
n!1
n!1
lim inf an + lim inf bn
n!1
n!1
Teorema: Sea (an ) una sucesión acotada de números reales, 1. Si lim sup an = M; entonces para cada " > 0 n!1
a) an < M + " para todo valor numérico …nito de n: b) an > M
" para in…nidad de valores de n:
2. Si lim inf an = m; entonces para cada " > 0 n!1
a) an < m + " para todo valor numérico …nito de n: b) an > m
" para in…nidad de valores de n:
Lic. Neisser Pino Romero
7
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
2.1.6
Ecuaciones Diferenciales
Subsucesiones
De…nición: Sea (an ) una sucesión cualquiera y nk una sucesión estríctamente creciente de números enteros positivos. La sucesión bk = ank se dice que es una subsucesión de la sucesión (an ) : Si bk converge su límite cuando k ! +1 se llama límite subsecuencial de (an ) : Teorema: Si una sucesión converge a L, todas sus subsucesiones convergen también a L. 2.1.7
Sucesiones de Cauchy
El más importante criterio para probar que una sucesión converge sin conocer su límite es llamado "criterio de Cauchy". De…nición: Sea (an ) una sucesión de números reales. Entonces (an ) es llamada una sucesión de Cauchy si para cada " > 0; existe N 2 N tal que, si m; n N entonces jan am j < " En un forma super…cial una sucesión (an ) es de Cauchy si an y am están muy próximos cuando nes muy grande. Teorema: Si la sucesión de números reales (an ) converge, entonces (an ) es una sucesión de Cauchy. Lema: Si (an ) es una sucesión de Cauchy de números reales, entonces (an ) es acotada. Teorema: Si (an ) es una sucesión de Cauchy de números reales, entonces (an ) es convergente.
3
Series
3.1
De…niciones
La suma de los n primeros términos de la sucesión a1 ; a2 ; a3 ; :::; an ; ::: se puede obtener recursivamente mediante algún algoritmo. De…nición: Sea a1 ; a2 ; :::; an ; ::: una sucesión numérica. Una expresión del tipo a1 + a2 + a3 + Se llama serie, y se representa abreviadamente por el símbolo, 1 X
an
n=1
Para cada n
1; la suma
Lic. Neisser Pino Romero
8
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Sn =
n X
Ecuaciones Diferenciales
ai = a1 + a2 +
+ an
i=1
se llama suma parcial n-ésima, y la sucesión
S1 ; S 2 ; S 3 ;
; Sn ;
sucesión de sumas parciales. Si la sucesión de sumas parciales converge, y su límite es S, se dice que la serie converge y que la suma es S. En este caso se escribe, 1 X
an = lim Sn = S
n=1
n!+1
Si la sucesión de sumas parciales no converge diremos que la serie diverge. Cuando una serie sea convergente llamaremos resto de orden n a la diferencia o error. Rn = S
Sn
P1 P1 Teorema: Si n=1 n=1 bn conP1an es una serie convergente hacia A, y verge a B,Pentonces n=1 (an + bn ) converge hacia A + B. También si c 2 R 1 entonces, n=1 cbn converge a cB: P1 Teorema: Si n=1 an es una serie convergente, entonces lim an = 0: n!+1
3.1.1
Series con términos positivos
Las series más faciles de tratar son aquellas cuyos términos son positivos. Para estas series toda la teoria en convergencia y divergencia es abarcada en los siguientes teoremas. P1 Teorema: Si n=1 an es una serie de números no negativos con sn = a1 + a2 + + an (8n 2 N ) ; entonces P1 1. n=1 an converge si la sucesión (an ) es acotada. P1 2. n=1 an diverge si la sucesión (an ) no es acotada. Teorema: Sea la serie
P1
n n=1 x P1 n n=1 x converge
a) Si 0 < x < 1; entonces a P1 n b) Si x 1; entonces n=1 x es divergente.
1 1 x
P1 Teorema: La serie n=1 n1 es divergente. P1 Teorema: Si n=1 an es una serie divergente de números positivos, entonces hay una sucesión ( n ) de números positivos la cual es convergente a cero P1 para la cual n=1 n an todavía diverge. Lic. Neisser Pino Romero
9
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
3.1.2
Ecuaciones Diferenciales
Series Alternadas
Una serie alternada es una serie in…nita cuyos términos alternan en signo. Teorema (Prueba de Leibniz): Si (an ) es una sucesión de números positivos tales que, a) a1 b)
a2
an
an+1
: Esto es, la sucesión es decreciente.
lim an = 0
n!+1
Entonces la serie alternada
P1
n=1
n+1
( 1)
an es convergente.
P1 n Corolario: Si la serie alternada n=1 ( 1) an satisface las hipótesis de la prueba de Leibniz, y cuando converge a algún L 2 R entonces jsk Lj ak+1 (8k 2 N) 3.1.3
Convergencia Condicional y Convergencia Absoluta P1 De…nición: Sea n=1 an una serie de números reales P1 P1 a. Si n=1 jan j converge, decimos que n=1 an converge absolutamente. P1 P1 P1 b. Si n=1 an converge pero n=1 jan j es divergente, decimos n=1 an es condicionalmente convergente. P1 P1 Si n=1 an converge absolutamente entonces ambas series n=1 pn PTeorema: P 1 1 y n=1 qn convergen. Sin embargo, P1 P1 si n=1 an converge condicionalmente, entonces ambas series n=1 pn y n=1 qn son divergentes. 3.1.4
Criterios para convergencia absoluta P1 P1 De…nición: Sean n=1 an y Pn=1 bn dos series de números reales. Se dirá P1 1 que n=1 an es dominada por n=1 bn si existe N 2 N tal que, jan j jbn j (8n 2 N) P1 P1 P1 Teorema: Si n=1 aP n es dominada por n=1 bn ; donde n=1 bn converge 1 absolutamente, entonces n=1 an también converge absolutamente.
P1 P1 P1 Teorema: Si n=1 an es dominada por n=1 bn y n=1 jan j = 1 enP1 tonces n=1 jbn j = 1 Teorema: Sean
a. Si
P1
P1
n=1
an y
P1
n=1 bn
dos series de números reales.
nj existe entonces converge absolutamente y si lim ja n!1 jbn j converge absolutamente.
n=1 bn
Lic. Neisser Pino Romero
10
P1
n=1
an
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
b. Si
P1
n=1
gente.
jan j n!1 jbn j
jan j es divergente y lim
Ecuaciones Diferenciales
existe entonces
P1
n=1
jbn j es diver-
El siguiente resultado, es llamado criterio de la razón, y es muy útil en el tratamiento especí…co de las series de potencias. Teorema: Sea
P1
an una serie de números reales, y sean a = lim inf
n=1
n!1
j A = lim sup jajan+1 (así que, a nj n!1
a) Si A < 1; entonces b) Si a > 1; entonces c) Si a
1
P1
jan j es convergente.
n=1
an es divergente.
A; entonces el criterio falla (no es consistente).
Teorema: Si el lim sup
P1
n=1
A). Entonces,
n=1
P1
jan+1 j jan j
n!1
an :
p
jan j = A; entonces la serie de números reales
a. Es convergente absolutamente reales
P1
n=1
an :
b. Es divergente si A > 1 (Esto incluye el caso, lim sup n!1
c. Si A = 1; el criterio no es concluyente.
p jan j = 1)
Teorema: Supongamos que an > 0 y bn > 0 para todo n 1: Si existe una constante c > 0 P de manera que an cbn 8n: P1 1 Entonces, la convergencia de n=1 bn implica la convergencia de n=1 an :
Teorema: Supongamos que an > 0P y bn > 0 para todo n 1 yP también 1 1 supongamos que lim abnn = 1: Entonces n=1 an converge si y sólo si n=1 bn n!1 es convergente. Teorema (Criterio de P Abel): Si (an ) es una sucesión decreciente de 1 números reales positivos y si n=1 an converge, entonces lim nan = 0 n!1
Teorema (Criterio de la Integral): Sea f una función decreciente y de…nida para todo x 1: Para cada n 1 tomamos, sn =
1 X
f (k)
y
tn =
Z
n
f (x)dx
1
n=1
Entonces ambas sucesiones (sn ) y (tn ) convergen ó ambas divergen. P1 Teorema (Criterio del Cociente): Sea n=1 an una seria de términos j =L cualesquiera, y sea lim jajan+1 nj n!1
Lic. Neisser Pino Romero
11
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
1. Si L < 1; la serie converge. 2. Si L > 1 o in…nito la serie diverge. 3. Si L = 1; el criterio no da información. Teorema (Criterio p de la Raíz): Sea positivos, y sea lim jan j = L n!1
P1
n=1
an una seria de términos
1. Si L < 1; la serie converge.
2. Si L > 1 o in…nito la serie diverge. 3. Si L = 1; el criterio no da información. Teorema (Criterio de Dirichlet): Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones, 1. (an ) = fa1 + a2 +
+ an g es acotada.
2. (bn ) es decreciente, y Entonces, la serie
3.2
P1
n=1
lim bn = 0
n!1
an bn es convergente.
Series de Potencias
De…nición: Una serie de potencias es una serie del tipo generalmente de la forma, 1 X
cn (x
a)n = c0 + c1 (x
a)2 +
a) + c2 (x
P1
n n=1 cn x
+ cn (x
ó más
n
a) +
n=1
donde c0 ; c1 ; c2 ; ::: son números …jos llamados coe…cientes, a la otra constante es llamada centro, y x un número variable. 3.2.1
Radio de Convergencia P1 Supongamos que la serie n=1 cn xn converge para x = b: Entonces la sucesión cn bn tiende hacia cero por lo que resulta estar acotada, i.e. existe B tal que, jcn bn j < B para todo n: En consecuencia, P1
n=1
jcn xn j =
P1
P1
n=1
Lic. Neisser Pino Romero
n=1
jcn j jxn j
jcn xn j
12
B
P1
n=1
P1
n=1
jcn j jbn j
jxj jbj
jxj jbj
n
n
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
La última serie es una serie geométrica de razón r = jxj jbj . Si jxj < jbj la razón es menor queP uno y la serie converge. Por comparación concluimos que la serie 1 de potencias n=1 cn xn converge absolutamente en el intervalo ( jbj ; jbj) :
P1 Teorema: Si la serie de potencias n=1 cn xn converge para un valor x = b la serie converge absolutamente en el intervalo jxj < jbj : Teorema: Sea
P1
n n=1 cn x
una serie de potencias y, L = lim sup n!1 1 L:
Entonces, 0 < L < 1; el radio de convergencia de la serie es R = el radio de convergencia es R = 1; y si L = 1; R = 0: Teorema: Sea
P1
n n=1 cn x
Si L = 0,
j una serie de potencias y, L = lim sup jcjcn+1 : nj n!1 1 L:
Entonces, 0 < L < 1; el radio de convergencia de la serie es R = el radio de convergencia es R = 1; y si L = 1; R = 0: 3.2.2
p jcn j:
Si L = 0,
Operaciones con Series de Potencias
Como si se tratara de polinomios las series de potencias se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, e incluso derivar e integrar para obtener nuevas series de potencias. P TeoremaP (Algebra de Series de Potencias): Sean f (x) = an xn y g(x) = bn xn en el intervalo jxj < R: Entonces, para jxj < R se veri…ca, P 1. f (x) + g(x) = (an + bn ) xn P 2. f (x) g(x) = (an bn ) xn P P 3. f (x)g(x) = cn xn con cn = ai bn i P (x) 4. Si g(x) 6= 0 en jxj < R; fg(x) = cn xn Teorema (Diferenciación e Integración): Sea f (x) = intervalo jxj < R: Entonces, para jxj < R; se veri…ca:
P
an xn en el
1. f es diferenciable, la serie se obtiene derivando término a término converge, y se cumple: f 0 (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 2. f es integrable, la serie se obtiene integrando término a término converge, y se cumple: Z a2 a1 f (x)dx = a0 x + x2 + x3 + 2 3
Lic. Neisser Pino Romero
13
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Part II
Ecuaciones Diferenciales Es una ecuación donde aparece una variable independiente y las derivadas ordinarias de la variable independiente. Es decir, E(x; y; y 0 ; y 00 ; :::; y (n) ) = 0
y = f (x)
Ejemplos: 1. y 00 + y 0 + y 2.
@w @x
3. y 0
+
2
@ w @y 2
+
x+3=0 @w @z
=0
y = f (x) w = w(x; y; z)
y + x + sen(x) = 0
y = f (x)
Observaciones. 1) Una ecuación se llama "ecuación diferencial ordinaria" si la función incógnita depende de una sola variable independiente y aparecen las derivadas ordinarias. Ejm. y 00 y = 0 2) Una ecuación se llama "ecuación diferencial parcial" si la función incógnita depende de dos o más variables independientes y aparecen las @2w @w derivadas parciales. Ejm. @w ez @x + @y 2 + @z = sen(xy)
4
Orden y Grado de una Ecuación Diferencial
4.1
Orden de una ecuación diferencial
El orden de una ecuación diferencial está dado por la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. Ejemplo. y 00 + y 0 Ejemplo.
@w 4 @x
sen(x) = 0
+3
Lic. Neisser Pino Romero
@2w @y 2
Orden 3
2
3=0
14
Orden 2
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
4.2
Ecuaciones Diferenciales
Grado de una ecuación diferencial
El grado de una ecuación diferencial es igual a la potencia que tiene la derivada de mayor orden. Ejemplo. y 00 + y 0 Ejemplo.
5
@w 4 @x
sen(x) = 0 @2w @y 2
+3
Grado 1
2
3=0
Grado 4
Solución de una Ecuación Diferencial
Sea la ecuación diferencial ordinaria. E(x; y; y 0 ; y 00 ; :::; y (n) ) = 0 Sea también la función y = Q(x)
y = f (x)
La función Q(x) es solución de la ecuación diferencial, si al sustituir y por Q(x) resulta una identidad. Ejemplo:
y 00
y=0
y = y(x)
La solución de la ecuación diferencial: y = cex luego, así,
c : constante
y 0 = cex * y 00 = cex cex cex = 0 Solución
Obs. Si en la solución de una ecuación diferencial aparece uno o más constantes arbitrarias. La solución se llama "Solución general". Obs. Si la solución de una ecuación diferencial no tiene constantes arbitrarios la solución. Se llama "Solución particular" y resulta de ciertas condiciones llamados valores iniciales ó condiciones. Ejemplo: y 00
y0 = 0
y(0) = 1
La solución general es: y = cex 1 = y(0) = ce0 = c luego,
5.1
c=1)
y = ex
Eliminación de Constantes Arbitrarias
Eliminación constantes arbitrarias es un proceso contrario a la obtención de la solución de la ecuación diferencial. Consiste en hallar una ecuación diferencial a partir de la solución general derivando tantas veces como constantes arbitrarias tiene dicha solución. Ejemplo: Eliminar c1 y c2 de: y = c1 sen(x + c2 ) Solución: y 0 = c1 cos(x + c2 ) luego, sumando:
y 00 =
c1 sen(x + c2 )
y + y 00 = 0
Lic. Neisser Pino Romero
15
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
5.2
Ecuaciones Diferenciales
Ecuación Diferenciales Lineales de 1er Orden
Son las Ecuaciones de la forma: E(x; y; y 0 ) = 0
y = f (x)
y 0 = f (x; y)
Ejemplos: 1. x + y 2
y0 = 0
2. y 0 =
x+y x y
3. xy
x2 y 0 = 2 y + y 0 = sen(x)
4. x 5.2.1
Ecuaciones de Variables Separables
Se dice que una ecuación diferencial es de Variables Separables si mediante operaciones algebraicas puede expresarse de la forma y 0 = f (x)g(y), siendo f (x); g(y) funciones continuas.
Para integrar este tipo de ecuaciones basta expresar la derivada en su forma diferencial: Sea
y 0 = f (x)g(y)
luego
dy dx
así,
dy g(y)
= f (x)g(y) = f (x)dx
y al ser f (x); g(y) funciones continuas no nulas, se tiene: Z
dy g(y)
=
Z
f (x)dx + C
que integrando respecto de las correspondientes variables, proporciona la solución general. Normalmente este tipo de ecuaciones viene dada de la forma: f1 (x)g1 (y) + f2 (x)g2 (y)y 0 = 0
Lic. Neisser Pino Romero
16
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
que queda reducida a la forma estándar sin más que despejar y 0
donde:
f (x) =
dy dx
=
luego,
(x+1)y x(y 1)
0=
f1 (x) f2 (x)
7 !
g(y) =
g1 (x) g2 (x)
=
x(y
1)dy
(y 1) y dy
(y 1) y dy
c = x + ln(x) c=x
;
0 = (x + 1)ydx
(x+1) x dx
(x+1) x dx
luego,
5.2.2
f (x)g(y)
(x+1)y x(y 1)
Ejemplo: y 0 =
)
=
f1 (x); f2 (x); g1 (y); g2 (y) son funciones continuas no nulas.
donde:
así,
g1 (x) g2 (x)
f1 (x) f2 (x)
y0 =
7 !
R
(x+1) x dx
y + ln(y)
y + ln(xy)
=
R
(y 1) y dy
Solución Implícita
Ecuaciones Diferenciales Reducibles a Variables Separables
Son ecuaciones diferenciales que por un cambio de variable se transforma en una ecuación de variables separables. Ejemplo:
(x + y)dx + (x
y)dy
( )
Sea z = xy ! dz = ydx + xdy luego, dx =
1 y
(dz
xdy)
al sustituir NO sirve para la resolución.
Ahora, sea y = zx ! dy = zdx + xdz Sustituyendo en ( ) x + zxdx + (x
zx)(zdx + xdz) = 0
[x(1 + z) + x(1 luego, así,
R
dx x
+
dx x
+
z)z]dx + x2 (1
z 1 z 2 2z 1
R
=0
z 1 z 2 2z 1
Lic. Neisser Pino Romero
z)dz = 0
=
R
0 17
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
luego, ln(x) + )
ln(x) +
1 2 1 2
ln(z 2 2
ln( xy 2
2z
1) = c
2 xy
1) = c
Ecuaciones Diferenciales
dy = f (ax + by + c): Entonces, Teorema: Si la ecuación diferencial es dx la ecuación es reducible a variables separables haciendo z = ax + by + c
5.2.3
Ecuaciones Diferenciales con Coe…cientes Homogéneos
De…nición: Una función f (x; y) es homogéneo de grado K. Si f ( x; y) =
k
f (x; y)
Ejemplo: f (x; y) = x2 + y 2 + 2xy 2
f ( x; y) = ( x)2 + ( y) + 2 ( x) ( y) f ( x; y) = 2 x2 + y 2 + 2xy = 2 f (x; y) f ( x; y) = 2 f (x; y)
Sea
)
f (x; y) es homogénea de grado 2:
Teorema: Si la ecuación diferencial M (x; y)dx + N (x; y)dy = 0 Tiene sus coe…cientes homogéneos, entonces es reducible a variables separables. Teorema: La ecuación diferencial
dy dx
=f
Es reducible a coe…cientes homogéneos, si Ejemplo: (3x
y + 1) dx + (x + y
a1 x+b1 y+c1 a2 x+b2 y+c2
a1 a2
b1 b2
6= 0
1) dy = 0
3x y + 1 = 0 ! xo = 0 x + y 1 = 0 ! yo = 1 Sea x=z+0 ! y =w+1 !
dx = dz dy = dw
Sustituyendo: (3z
w)dz + (z + w)dw = 0
Sea w = uz ! dw = udz + zdu Lic. Neisser Pino Romero
18
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
(3z uz)dz + (z + uz)(udz + zdu) = 0 (3z + u2 z)dz + (z + uz)zdu = 0 z(3 + u2 )dz + z 2 (1 + u)du = 0 dz z
+
1+u u2 +3 du
R
luego, así,
ln(z) +
luego, ) 5.2.4
dz z
=0
+
R
p1 3
ln(x) +
1+u u2 +3 du
=
R
arctan(u) +
p1 3
0 1 2
2
ln( wz2 + 1) = c
arctan( wz ) +
ln (x)+ p13 arctan (y
1 1 x )+ 2
1 2
2
ln( wz2 + 1) = c 2
ln ( (y x21) +1) = c
Ecuaciones Exactas
Sea la ecuación: o también:
M (x; y) + N (x; y)y 0 = 0
:::(4)
M (x; y)dx + N (x; y)dy = 0
:::(4)
Ahora, si se cumple:
@M @y
=
@N @x
se dirá que la Ecuación es Exacta.
obs. Si f : R2 ! R; la diferencial total de f es @f = Entonces, 9G(x; y) continua tal que,
@G @x
=M
y
@G @y
@f @x dx
+
@f @y dy
=N
luego, podemos reesscribir la ecuación diferencial:
así,
@G @G 0 @x + @y y = 0 d dx (G(x; y(x))) =
::: ( ) 0
luego, como G(x; y) podemos integrar ambos lados Z Z d (G(x; y(x)))) = 0 ( dx entonces,
G(x; y(x)) = C
Donde G(x; y) es una integral: Las curvas de nivel son soluciones implícitas de la ecuación diferencial. La existencia de soluciones y = y(x) se basa en teorema de la función implícita: esto exige @G @y 6= 0 (también garantiza que ecuación diferencial se puede expresar en forma explícita). Lic. Neisser Pino Romero
19
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ejemplo:
(y + y cos(xy))dx + (x + x cos(xy))dy = 0
Sea M (x; y) = y + y cos(xy) ! Sea N (x; y) = x + x cos(xy) ! luego,
@M (x;y) @y
Sea M (x; y) = luego, así,
R
Ecuaciones Diferenciales
@f (x;y) @x
=
@N (x;y) @x
@f (x;y) @x
@M (x;y) = 1 + cos(xy) @y @N (x;y) = 1 + cos(xy) @x
yxsen(xy) yxsen(xy)
es Exacta.
, N (x; y) =
@f (x;y) @y
= y + y cos(xy)
@f (x; y) =
R
(y + y cos(xy)) @x
luego, f (x; y) = yx + sen(xy) + h(y) Derivando con respecto a y @f (x;y) @y
= x + cos(xy) + h0 (y)
N (x; y) = x + x cos(xy) =
@f (x;y) @y
= x + cos(xy) + h0 (y)
luego, 0 = h0 (y) ! h(y) = c )
f (x; y) = yx + sen(xy) + c
Solucion
Ahora, una Ecuación de la forma (4) : M (x; y) + N (x; y)y 0 = 0 no sea exacta, intentaremos encontrar un función (x; y) llamado "Factor Integrante" tal que, (x; y) M (x; y) + (x; y) N (x; y)y 0 = 0
sea exacta.
Es decir, Sea
s
M (x; y) = (x; y) M (x; y) s
y
s
N (x; y) = (x; y) N (x; y)
s
@M @N luego, @y = @x Ahora el dilema es que debemos buscar un adecuado (x; y) para que la Ecuación (4) se transforme en Ecuación Exacta, entonces veremos dos maneras de encontrar un adecuado (x; y); esto no garantiza que todas las Ecuaciones se puedan volver en Exactas.
Lic. Neisser Pino Romero
20
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
*
Existencia del Factor Integrante de la forma Si
*
@M @y
@N @x
N
= h(x)
(x) R
entonces
@M @y
@N @x
M
= h(y)
h(x)dx
(x) = e
Existencia del Factor Integrante de la forma Si
5.2.5
Ecuaciones Diferenciales
(y) R
entonces
(y) = e
h(y)dy
Ecuaciones Lineales
Sea la Ecuación Diferencial de la forma: y 0 (t) + a(t)y(t) = b(t) donde :
a(t); b(t)
::: ( )
funciones continuas.
Ahora, Para desarrollar la ecuación ( ) debemos encontrar un factor integrante, Sea
Rt
I(t) = e
0
a(s)ds Rt
(y 0 (t) + a(t)y(t))e
0
a(s)ds
Rt
= b(t)e
0
a(s)ds
0
Formamos la derivada de un producto de funciones: (uv) = u0 v + uv 0 así,
Rt
y 0 (t) e
0
a(s)ds
Rt
+ y(t) a(t)e Rt
y(t) e
0
a(s)ds
0
0
Rt
a(s)ds
= b(t)e
Rt
= b(t)e
0
a(s)ds
a(s)ds
0
Como las funciones son continuas, podemos integrar en ambos lados
luego
Z
Rt
y(t) e
Rt
y(t) e así, Lic. Neisser Pino Romero
0
0
a(s)ds
a(s)ds
=
Z 21
0
=
Z
Rt
b(t)e
Rt
b(t)e
0
0
a(s)ds
a(s)ds
dt
dt + C
C : cte:
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
La Solución general sería, y(t) = e
Rt 0
Z
a(s)ds
Rt
b(t)e
0
a(s)ds
dt + C
Para el modelamiento matemático, utilizaremos la siguiente ecuación lineal.
y 0 (t) + a y(t) = b donde: a(t) = a
b(t) = b
::: ( )
son funciones constantes.
Para desarrollar la ecuación ( ) debemos encontrar un factor integrante, Sea
I(t) = eat (y 0 (t) + a y(t))eat = b eat 0
Formamos la derivada de un producto de funciones: (uv) = u0 v + uv 0 así, y 0 (t) eat + y(t) a(t)eat = b eat 0
(y(t) eat ) = b eat
Como las funciones son continuas, podemos integrar en ambos lados
luego
Z
at 0
(y(t) e ) =
y(t) eat = así,
b a
Z
b eat dt
eat + C
C : cte:
La Solución general sería, y(t)= ab +C e
Lic. Neisser Pino Romero
22
at
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
y 0 + 3y = 2
Ejemplo:
yR0 e3t + 3e3t y R= 2e3t 0 ye3t = 2e3t
luego,
ye3t = 23 e3t + c y=
3xy 0
luego, (3x
xy + 2) dy =
dx dy
x0 e
así, luego, así,
xe
R
3 y y
+
2 y
x+
3 ln(y) y
xe
=
x=
= y
2e
R
xy + 2) =
y dx dy
+1=0
Lineal 3 ln(y) y
e
y2
2
xy + 2) dy + ydx = 0
(3x xy+2) dy y dx
=0
3 y y
+
3 ln(y) y 0
3 ln(y) y
…nalmente,
5.2.6
N O es lineal
ydx !(3x
xy + 2) + y dx dy = 0 !
(3x
luego,
xyy0 + 2y 0 + y = 0
dy xy + 2) dx + y = 0 ! (3x
pero, (3x
así,
3t
+ ce
xy + 2) y 0 + y = 0
(3x
Ejemplo: luego,
2 3
2 3 ln(y) y ye
y2 2y
2y
2 3 ln(y) y ye
x=
+c
2 +c
2 +cy
3 y
e
Solución
Ecuación de Bernoulli
Son las ecuaciones diferenciales de la forma: y 0 + p(x)y = Q(x)y k k 6= 1 Esta ecuación NO es lineal, pero, con un cambio de variable se transforma en LINEAL. z = y1
Sea el cambio de variable: 2yy 0
Ejemplo: luego, así, luego,
y0
y 2x2
y2 x2
=e
1 x 2y e
! z 0 = (1
k)y
k 0
y
x2 1 x
2
=
k
1
x
z = y 2 ! z 0 = 2yy 0 z0
z x2
=e
x2 1 x
Lic. Neisser Pino Romero
Lineal en z
23
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
5.2.7
Ecuaciones Diferenciales
Ecuación de Clairant
Una ecuación de la forma: y = xy + f (y 0 ) (1) Es llamada ecuación de Clairant donde f es una función diferenciable. Solución de la ecuación de Clairant Haciendo p = y 0 se tiene: En (1) : y = xy + f (p) (2) Derivando con respecto a x la ecuación (2), se tiene: y 0 = p + xp0 + f 0 (p)p0 p = p + xp0 + f 0 (p)p0 (x + f 0 (p)) p0 = 0 g
p0 = 0
así, luego,
p=c
g
x + f 0 (p) = 0 x=
f 0 (p)
La solución en forma paramétrica de la ecuación (1) con el parámetro p. Eliminando el parámetro p en función de las variables x e y se tendrá la solución de la ecuación (1) en términos de x e y. 5.2.8
Ecuación de Lagrange
La ecuación diferencial de la forma: y = xg(y 0 ) + f (y 0 ) Es llamada ecuación de Lagrange donde g y f son funciones derivables. Las soluciones de esta ecuación diferencial se obtiene haciendo p = y 0 :
5.3 5.3.1
Aplicaciones de la E.D.O. de primer orden Aplicación a los Circuitos Eléctricos
1. Circuitos R-L
Donde:
i(t) : Intensidad de la corriente interna en el tiempo t: R L E
: Resistencia : Longitud : Fuerza Electromotriz
Lic. Neisser Pino Romero
24
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
L
Ecuaciones Diferenciales
@i +R i=E @t
2. Circuitos R-C
Donde:
q(t) : Carga del condensador en el tiempo t: R C E
: Resistencia : Capacitador : Fuerza Electromotriz R
@q q + =E @t C
Ejemplo: Una resistencia de 20 ohmios está conectada en serie con un condensador de 0:01 f aradios y una fuerza electromotriz en voltios dado por E(t) = 40e 3t + 20e 6t , hallar la carga máxima del condensador después de haber cerrado el interruptor. Teniendo en cuenta que la carga es nula en el tiempo nulo. Solución: R : 20 C : 0:01 E : 40e
3t
+ 20e
6t
Recordando la ecuación diferencial q = 40e 3t + 20e 20q 0 + 0:01 0 q + 5q = 2e 3t + e 6t
luego,
q(t) = e
3t
e
6t
+ce
6t
5t
0 = q(0) = c =) c = 0 )
q(t) = e
3t
Lic. Neisser Pino Romero
e
6t
25
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Ahora, hallaremos la carga máxima (Criterio de la 1ra derivada) q 0 (t) =
3e 3t + 6e 6t = 0 3e 6t e 3t 2 = 0 =)
t = ln( 23 )
luego, Para garantizar la carga máxima q 00 (t) = 9e 3t q 00 (ln( 32 )) < 0
36e
6t
Por consiguiente, la carga máxima se da en t = ln( 23 ) ) 5.3.2
q(ln( 32 )) =
1 4
Cambios de Temperatura
La ley de enfriamiento de Newton: @T (t) = K (T (t) @t
Ta )
Donde: T (t) Ta K @T (t) @t
: Temperatura del cuerpo : Temperatura del Medio Ambiente : Constante : Velocidad de cambio de Temperatura de tiempo
Ejemplo: La temperatura de una taza de café que se encuentra en una habitación de 25 C baja de 100 C a 80 C en 10 minutos. Hallar la temperatura del café al cabo de 20 minutos. T 0 = K (T
Solución:
T (0) = 100 T (10) = 80 R dT 0 R Luego, Kdt =) T 25 =
así, )
luego, luego, )
T
25)
ln(T
25 = C eKt =)
25) = Kt + C
T = C eKt + 25
T (t) = 25 + C eKt 100 = T (0) = 25 + C =) C = 75 80 = T (10) = 25 + 75e10K =) K = 1
T(t) = 25 + 75 e 10
Lic. Neisser Pino Romero
1 10
ln( 11 15 )
11 ln( 15 )t
26
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
5.4
Ecuaciones Diferenciales
Estabilidad de las Soluciones
La solución de una ecuación diferencial será estable ó convergente si para los valores grandes de t, la función no sufre variación. Esto implica que: y 0 (t) = 0
cuanto t ! 1
y 0 (t) + a(t)y(t) = b(t)
Ahora,
luego, para un t su…cientemente grande, luego, Al valor
y(t) = b(t) a(t)
a(t)y(t) = b(t)
b(t) a(t)
se le llama "Valor Estacionario".
En caso de existir la estabilidad, la posible diferencia a largo plazo yo se le denomina Desigualdad Inicial.
yss
Teorema: Se dice que la solución de la ecuación diferencial y 0 (t) + a(t)y(t) = b(t) converge a su estado estacionario si,
lim y(t) = yss
t!1
Para que la convergencia se dé, edbe cumplirse:
(i) lim
b(t)
t!1 a(t)
(ii) lim e t!1
5.5
= yss R
a(t)dt
=0
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de 2do Orden
Consideramos el caso de coe…cientes constantes y 00 + ay 0 + by = f (t)
::: ( )
La Solución General y(t) de la ecuación ( ) es la suma de dos soluciones: la solución homgénea yh (t) y la solución particular yp (t): y(t) = yh (t) + yp (t)
Primero Desarrollaremos las Soluciones Homogéneas. Lic. Neisser Pino Romero
27
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Para este tipo de ecuaciones se tiene un método de solución basado en el concepto de funciones linealmente independientes. B De…nición: Funciones linealmente dependientes (l:d) Dadas dos funciones, f (x); h(x) de…nidas en un intervalo I. Se dice que f (x) es linealmente dependiente de h(x) si 9k 2 R tal que f (x) = k h(x) B De…nición: Funciones linealmente independientes (l:i:) Dadas dos funciones, f (x); h(x) de…nidas en un intervalo I. Se dice que f (x) es linealmente independiente de h(x) si 8k 2 R tal que f (x)
k h(x) 6= 0
Una manera de reconocer cuando las funciones son l:i: sería la siguiente. Consideramos dos funciones l:d: y1 (t) ^ y2 (t) Esto quiere decir:
y1 (t) = k y2 (t) W =
Derivando: =)
y1 y2
y10 y20
y1 (t) = k y2 (t) W =
ky2 y2
)
y10 (t) = k y20 (t)
ky20 y20
luego jW j = 0 Esto nos caracteriza a dos funciones l:d: por medio de la det(W ). Entonces, cuando dos funciones sean l:i: se tendrá jW j = 6 0: A la determinante de W; se le conoce como el Wronskiano de y1 (t) ^ y2 (t):
5.6
Solución Homogénea
La Solucíon Homogénea está expresada con una o mas constantes. La solución general es un conjunto de curvas y tiene un orden de in…nitud de…nido por a su cantidad de constantes. Si la ecuación es Lineal, se logra la solución general como una combinación lineal de las soluciones, que son tantas como el orden de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de y(x) ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. Lic. Neisser Pino Romero
28
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
5.6.1
Ecuaciones Diferenciales
Polinomio característico de una Ecuación
B Teorema Si y1 (t) ^ y2 (t) son dos funciones l:i de y 00 + ay 0 + by = 0 entonces,
y(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t)
:::( )
:::( )
es Solución general de ( ) donde c1 ; c2 constantes. A la ecuación (*) es llamada Solución Homogénea. Supongamos que y(t) = ert luego, y 0 (t) = rert ^ entonces, en ( ):
(r = 6 0) y 00 (t) = r2 ert
r2 ert + ar ert + bert = 0 ert r2 + ar + b = 0 luego,
r2 + ar + b = 0
(pues ert 6= 0)
Esto nos indica que la función y(t) = ert sería solución de ( ) si y solamente si, "r" raíz del polinomio p(r) = r2 + ar + b = 0 Al polinomio p(r) se le llama "polinomio característico" de la E.D.O. ( ):
5.6.2
Raices reales y diferentes del Polinomio caracteristico
Si p(r) tiene raices reales y diferentes r1 ; r2 Entonces:
y(t) = er1 t ; y(t) = er2 t son soluciones de ( ):
B Solución General: y(t) = c1 er1 t + c2 er2 t Convergencia: La solución general será convergente a largo plazo si se cumple: r1 ; r1 < 0 Divergencia: La solución general será divergente a largo plazo si se cumple: r1 ; r1 > 0
Lic. Neisser Pino Romero
29
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
5.6.3
Ecuaciones Diferenciales
Raíz única del Polinomio caracteristico
Si p(r) tiene una sola raíz de multiplicidad "2"; r1 = r2 = r
Entonces:
y(t) = ert ; y(t) = rert son soluciones de ( ):
B Solución General: y(t) = c1 er1 t + c2 t er2 t Convergencia: La solución general será convergente a largo plazo si se cumple: r < 0 Divergencia: La solución general será divergente a largo plazo si se cumple: r > 0
5.6.4
Raices Complejas del Polinomio caracteristico
Si p(r) tiene raices complejas conjugadas r = p Entonces: luego,
y(t) = e(p+qi)t ; y(t) = e(p
qi)t
y(t) = ept eqit ; y(t) = ept e
qit
qi;
Por la forma de Euler: e+qit = cos(qt) + isen(qt) e qit = cos(qt) isen(qt) B Solución General: y(t) = ept (c1 cos(qt) + c2 sen(qt)) obs: La convergencia o la divergencia de la solución general dependerá de los terminos sen() y cos(). pues son términos de comportamiento oscilatorio. Convergencia: La solución general será convergente a largo plazo si se cumple: p < 0 Divergencia: La solución general será divergente a largo plazo si se cumple: p = 0 Comportamiento Oscilatorio: La solución general tendrá un comportamiento oscilatorio a largo plazo si se cumple: p > 0 Lic. Neisser Pino Romero
30
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
5.7
Ecuaciones Diferenciales
Solución Particular
La Solución particular resulta si …jando cualquier punto P por donde debe pasar la solución de la ecuación diferencial, hay un valor único de la constante, y de la curva integral que satisface la ecuación, recibe el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P , que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la o las constantes reciben un valor especí…co. Ahora, veremos dos métodos para encontrar la solución particular, los cuales son: "Método de coe…cientes determinados" y "Método de variación de parámetros".
5.8
Método de coe…cientes determinados
Sea la E.DO.
y 00 + ay 0 + by = f (t)
::: ( )
Donde f (t) nos permitirá encontrar la solución particular, teniendo en cuenta la forma que tiene la función procederemos a resolver, es decir, la solución particular es una función l:d: con la función f (t): Si f (t) consiste en la suma o producto de factores de los siguientes tipos: (a) (b) (c)
P olinomico : Exponencial : T rigonometrico :
Pn rt
k=0
an xn
e sen( t); cos( t)
Entonces podemos hallar una solución particular yp (t) por el método de los coe…cientes indeterminados. La clave consiste en conjeturar que la solución yp (t) es de una forma especial, la cual depende de la funcion f (t). Las reglas que deben seguirse son: (1) Si f (t) es (tipo a), entonces se prueba con un polinomio del mismo grado. (2) Si f (t) es (tipo b), entonces se prueba con Aert : (3) Si f (t) es (tipo c); entonces se prueba con A cos( t) + Bsen( t): (4) Si f (t) es la suma o producto de factores anteriores, entonces se prueba con la suma o producto, respectivamente, de las correspondientes soluciones particulares. (5) Si cualquier termino de yp (t) es solución de la ecuación homogénea asociada, se multiplica yp (t) por x (o x2 si es necesario y así sucesivamente). Lic. Neisser Pino Romero
31
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
5.9
Ecuaciones Diferenciales
Método de Variación de Parámetros
El método de los coe…cientes indeterminados descrito anteriormente funciona bien si la función f (t) está formada por polinomios, exponenciales o funciones trigonometricas (senos y cosenos). La razón hay que buscarla en que las derivadas de este tipo de funciones no son más complicadas que las funciones originales. El método de variación de parámetros parte de la suposición que yp (t) tiene la misma forma que yh (t), excepto que las constantes c1 y c2 se sustituyen por dos funciones u1 (t) y u2 (t). El método consiste en lo siguiente: (1) Hallar la solución general: y(t) = c1 y1 (t) + c2 y2 (t): (2) Sustituir las constantes por funciones para formar: yp (t) = u1 (t) y1 (t) + u2 (t) y2 (t) (3) Resolver el siguiente sistema para u01 y u02 u01 y1 + u02 y2 u01 y10 + u02 y20
= 0 = f (t)
(4) Integrar para hallar u1 (t) y u2 (t)
6
Solución de Ec. Diferenciales por Series de Potencias
Una serie de potencia es de la forma: f (x) =
P1
k=0
ak xk = a0 + a1 x + a2 x2 +
+ an xn +
Se de…ne una función f en su intervalo de convergencia Io con frecuencia una ecuación diferencial puede ser resuelta por series de potencias. Ejemplo:
y0
y=0
Sabemos, que la solución es: y(t) = ke
t
Ahora, la desorralleremos por series de potencias Sean:
Lic. Neisser Pino Romero
32
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
y(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 + y 0 (t) = a1 + 2a2 t + 3a3 t2 + 4a4 t3 luego, a1 + 2a2 t + 3a3 t2 + 4a4 t3
a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 +
=0
agrupando términos, (a1
a0 ) + (2a2
a1 ) t + (3a3
a2 ) t2 +
=0
luego, a1 a0 = 0 2a2 a1 = 0 3a3 a2 = 0 4a4 a3 = 0
! ! ! !
a1 = a0 a1 = 2a2 =) a2 = 3a3 =) a3 = 4a4 =)
a2 = a3 = a4 =
a0 2 a0 6 a0 24
luego, la solución y(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 + Reemplazando las constantes, y(t) = a0 + a0 t + a20 t2 + a60 t3 + a240 t4 + 1 4 t + y(t) = a0 1 + t + 21 t2 + 61 t3 + 24 Recordando, luego,
et = 1 + t + 21 t2 + 16 t3 +
y(t) = a0 et
1 4 24 t
+
donde: a0 constante.
Part III
Funciones de Bessel 7
Función Gamma y Beta
7.1
Función Gamma
La función Gamma fue de…nida por Euler mediante: Z 1 (x) = e t tx 1 dt , x > 0
(1)
0
Donde la condición x > 0;es exigida para la convergencia de la integral. De la de…nición (1) es fácil ver que,
Lic. Neisser Pino Romero
33
(1) = 1 y también,
( 21 ) =
p
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Una relación básica de la función Gamma es: (x + 1) = x (x)
(2)
La fórmula (2) juega un papel importante en el cálculo de valores de la función Gamma. Si se tomax = n (n entero positivo) y se usa (2) repetidamente, se tiene que (n + 1) = n!
(3)
Esta última expresión puede usarce para de…nir 0!; si se aplica para n = 0; obteniéndose (0) = 0! = 1 Análogamente, para n entero positivo, se observa que 1 1p (n + ) = 2 2
(4)
La función Gamma satisface: (x) (1
7.2
x) =
sen( x)
, 00
(6)
0
En la función Beta, se cumple: B(x; y) = B(y; x) Una de las propiedades de importante relación con la función Gamma: B(x; y) = 7.2.1
(x) (y) (x + y)
(7)
Fórmula de Duplicación de la Función Gamma (x) (y) (x+y)
De acuerdo con (6) y (7): luego, haciendo x = y (x) (x) (2x)
=
1 22x
=
( 12 ) (x) ( 12 +x)
1
R1 0
tx
1
(1
t)y
1
dt
.
de donde resulta la llamada función de duplicación 22x
Lic. Neisser Pino Romero
1
p 1 (x) ( ) = 2
34
(2x)
(8)
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
7.2.2
Ecuaciones Diferenciales
Extensión del Dominio de la Función Gamma
En (1) se de…nió la función Gamma para valores positivos de la variable x: Es posible extender el dominio de la de…nición de (x) para valores de x negativas, usando para ello la fórmula (2) escrita de la forma: (x + 1) x
(x) =
(9)
De acuerdo con la fórmula anterior, (0) = (1) es in…nito. Mediante 0 aplicaciones repetidas de la fórmula, es fácil ver que ( 1); ( 2); ( 3); ::: también son in…nitos.
7.2.3
Otras De…niciones de la Función Gamma
De…nición de Gauss n!nx x!1 x(x + 1)(x + 2)
(x) = lim
(x + n)
(10)
De…nición de Weierstrass 1 = xe (x) Donde:
1 Y
e
x n
1+
n=1
x n
(11)
constante de Euler, la cual está dada por: = lim (Hn
ln(n)) ' 0:57721566
n!1
donde: Hn = 1 + 7.2.4
x
1 2
+
1 3
+
+
1 n
Funciones Gamma Incompletas
Se de…nen las funciones Gamma incompletas por Z a (x; ) = e t tx 1 dt , x > 0 (x; ) =
Z
(12)
0
1
e
t
tx
1
dt , x > 0
(13)
a
Es evidente que, 7.2.5
(x) = (x; ) + (x; )
El Símbolo ( )k de Pochhammer
Sea ( )0 = 1 ( )k =
( + 1) ( + 2)
Lic. Neisser Pino Romero
( +k
35
1) =
( + x) ( )
(14)
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
8
Ecuaciones Diferenciales
La Ecuación de Bessel y sus Soluciones
Consideramos la ecuación diferencial y 00 +
1 0 v2 y + 1+ 2 x x
y=0
(1)
donde v es un parámetro. Dicha ecuación se conoce la ecuación de Bessel. Se demuestra que una solución de la ecuación (1) es la función de Bessel de primera clase de orden v, la cual se de…ne por Jv (x) =
v+2k 1 X ( 1)k x2 , k! (v + k + 1)
k=0
Cambiando v por
jxj < 1
(2)
v, se observa que
v+2k 1 X ( 1)k x2 , J v (x) = k! ( v + k + 1)
jxj < 1
k=0
(3)
es también solución de la ecuación (1). Si v 6= n (n = 0; 1; 2; :::), la función J v (x) no está acotada cuando x ! 1 mientras que Jv (x) tiende a cero en las mismas circunstancias; por lo tanto, Jv (x); J v (x) son linealmente independientes y la solución general de la ecuación (1) puede expresarse como y = c1 Jv (x) + c2 J
v (x)
(4)
donde c1 ; c2 son constantes arbitrarias. Cuando v = n (n = 0; 1; 2; :::), se tiene que J
n (x)
n
= ( 1) Jn (x)
(5)
Se ha visto que cuando v = n, las funciones Jv (x); J v (x) son linealmente independientes y, en consecuencia, en este caso, la solución general de la ecuación (1) no es de la forma (4). Surge la necesidad de buscar otra solución de la ecuación (1) que sea linealmente independiente con Jv (x) para cualquier valor de v: A tal efecto, consideramos la función Yv (x); de…nida por Yv (x) = donde:
Jv (x) cos(v ) J sen(v )
Yn (x) = lim Yn (x) v!n
v (x)
(6)
(n = 0; 1; 2; :::)
Si v 6= n (n = 0; 1; 2; :::), la función Yv (x) es solución de la ecuación (1) puesto que no es más que una combinación lineal de las dos soluciones Jv (x) y J v (x).
Lic. Neisser Pino Romero
36
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Además, en este caso, la independencia lineal de Yv (x) y Jv (x) surge como consecuencia inmediata de que Jv (x) y J v (x) son linealmente independientes.
Yn (x)
=
2
+
n 1 1 X (n
x Jn (x) ln( ) + 2
k
k=0
1)! k!
x 2k n 2
(7)
2k+n 1 1 X ( 1)k+1 x2 k! (k + n) k=0
1 +m (m = 1; 2; :::) y donde x > 0; H0 = 1; Hm = 1 + 12 + 13 + es la constante de Euler, de…nida = lim (Hn ln(n)) ' 0:57721566 n!1
Cuando n = 0; la última suma en (7) debe reemplazarse por cero. La presencia del término logarítmico indica que Yn (x) es linealmente independiente con Jn (x): La función Yv (x) es denominada función de Bessel de segunda clase de orden v. Luego la solución general de la ecuación de Bessel,para todo valor de v, se puede escribirse como En algunas aplicaciones la solución general de la ecuación de Bessel se expresa de la forma y = c1 Hv(1) (x) + c2 Hv(2) (x) (1)
(9)
(2)
donde Hv (x); Hv (x) son llamadas funciones de Bessel de tercera clase de orden v, ó tambien funciones de Hankel de orden v, de…nidas por Hv(1) (x) = Jv (x) + iYv (x)
,
Hv(2) = Jv (x)
iYv (x)
(10)
Una generalización de la ecuación de Bessel, incluye un parámetro forma y 00 +
1 0 y + x
2
+
v2 x2
y=0
en la
(11)
Haciendo el cambio z = x en (11), se deduce que la solución general de esta ecuación viene dada por y = c1 Jv ( x) + c2 Yv ( x)
Lic. Neisser Pino Romero
37
(12)
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
8.1
Ecuaciones Diferenciales
Función Generadora de Jn (x)
Se tiene que w(x; t) = e 2 (t x
1 t
)=
1 X
Jn (x)tn
(13)
n= 1
8.2
Fórmulas de Recurrencia
Se tiene que, xv Jv (x) =
1 X
k=0
luego,
2k+2v
( 1)k (x) k! (2v+2k ) (v + k + 1)
1
X ( 1)k d v [x Jv (x)] = xv dx k! ((v k=0
x (v 1)+2k 2
1) + k + 1)
lo cual signi…ca que,
d v [x Jv (x)] = xv Jv dx Analogamente, se demuestra que d x dx
v
Jv (x) =
x
v
1 (x)
Jv+1 (x)
(14)
(15)
De aquí, obtenemos v Jv (x) + Jv0 (x) = Jv x
1 (x)
v Jv (x) + Jv0 (x) = Jv+1 (x) x Sumando y restando las fórmulas (16) y (17), resultan 2Jv0 (x) = Jv
1 (x)
2v Jv (x) = Jv x
1 (x)
(16) (17)
Jv+1 (x)
(18)
+ Jv+1 (x)
(19)
Obsérvese que, utilizando repetidamente (19), cualquier función de Bessel Jn (x) puede expresarse en términos de J0 (x) y J1 (x): Las fórmulas (14) y (15) también resultan útiles escritas en la forma: Z xv Jv 1 (x)dx = xv Jv (x) + C (20) Lic. Neisser Pino Romero
38
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Z
x
v
Jv+1 (x)dx =
Ecuaciones Diferenciales
x
v
Jv (x) + C
(21)
Tomando v = 0 en las fórmulas (15) y (21), se obtiene el caso particular Z J00 (x) = J1 (x) =) J1 (x)dx = J0 (x) + C (1)
(2)
Las funciones Yv (x); Hv (x) y Hv (x); satisfacen las mismas fórmulas de recurrencia. Ejemplo: Hallar d dx
d dx
x2 J3 (2x)
en términos de funciones de Bessel.
x2 J3 (2x) = 2xJ3 (2x) + x2 2J30 (2x)
Usando (16) con v = 3 y 2x en lugar de x: 3 2x J3 (2x)
+ J30 (2x) = J2 (2x) =) J30 (2x) = J2 (2x)
3 2x J3 (2x)
Sustituyendo J30 (2x), se obtiene d dx d dx
8.3
x2 J3 (2x) = 2xJ3 (2x) + 2x2 J2 (2x) x2 J3 (2x) = 2x2 J2 (2x) xJ3 (2x)
3 2x J3 (2x)
Funciones de Bessel Modi…cadas
La ecuación diferencial y 00 +
1 0 v2 y + 1+ 2 x x
y=0
(22)
se conoce como ecuación de Bessel modi…cada. Dicha ecuación puede espresarse en la forma y 00 +
1 0 y + i2 x
v2 x2
y=0
correspondiente así a una ecuación de Bessel del tipo (11), con parámetro = i y, en consecuencia, una solución de la ecuación (22) es la función de Bessel de argumento imaginario Jv (ix): Jv (ix) = i
v
P1
2k+v
( 1)k ( ix 2 ) k=0 k! (v+k+1)
Jv (ix) =
P1
Lic. Neisser Pino Romero
= iv 2k+v
( ix 2 )
P1
2k+v
( ix 2 )
k=0 k! (v+k+1)
k=0 k! (v+k+1)
39
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Puesto que Jv (ix) es solución de (22), también lo es i la solución de argumento real Iv (x) =
1 X
k=0
x 2k+v 2
k! (v + k + 1)
v
Jv (ix): Así, se de…ne
, jxj < 1
(23)
denominada función de Bessel modi…cada de primera clase de orden v. La función I v (x) es otra solución de la ecuación (22). Si v 6= n las funciones Iv (x) y I v (x) son linealmente independientes y la solución general de la ecuación (22) puede expresarse como y = c1 Iv (x) + c2 I
v (x)
(24)
Cuando v = n (n = 0; 1; 2; :::); se tiene I
n (x)
= In (x)
(25)
por lo que, en este caso, la solución general de (22) no es de la forma (24). Se de…ne la función de Bessel modi…cada de segunda clase de orden v, por Kv (x) = donde: Kn (x) = lim Kv (x) v!n
I
v (x)
Iv (x) sen(v )
2
(26)
(n = 0; 1; 2; :::)
Para todo valor de v, la solución general de la ecuación de Bessel modi…cada, puede expresarse como y = c1 Iv (x) + c2 Kv (x)
(27)
Las funciones Iv (x) y Kv (x) satisfacen las siguientes fórmulas de recurrencia: Iv (x) d v v dx [x Iv (x)] = x Iv 1 (x) v 0 x Iv (x) + Iv (x) = Iv 1 (x) 2v x Iv (x) = Iv 1 (x) + Iv+1 (x)
d ; dx [x v Iv (x)] = x v Iv+1 (x) v 0 ; Iv+1 (x) x Iv (x) + Iv (x) = 0 ; 2Iv (x) = Iv 1 (x) Iv+1 (x)
Kv (x) d v v dx [x Kv (x)] = x Kv 1 (x) v 0 x Kv (x) + Kv (x) = Kv 1 (x) 2v x Kv (x) = Kv 1 (x) + Kv+1 (x)
Lic. Neisser Pino Romero
40
; ; ;
d v Kv (x)] = x v Kv+1 (x) dx [x v 0 Kv+1 (x) x Kv (x) + Kv (x) = 0 2Kv (x) = Kv 1 (x) Kv+1 (x)
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
8.4
Ecuaciones Diferenciales
1 2
Funciones de Bessel de Orden
Se tiene que 1
+2k 1 1 1 X X ( 1)k x2 2 ( 1)k x 2 +2k J 12 (x) = = 1 k! ( 12 + k + 1) k=0 k!2 2 +2k ( 32 + k) k=0
Aplicando la fórmula de duplicación de la función Gamma 22z
1
p 1 (z) (z + ) = 2
(2z)
luego, J 21 (x) =
r
2 sen(x) x
(28)
2 cos(x) x
(29)
análogamente, se demuestra que J
1 2
(x) =
Para las otras funciones de Bessel q 2 Y 21 (x) = x cos(x) q (1) H 1 (x) = i 2x eix 2 q 2 I 12 (x) = senh(x) px K 12 (x) = 2x e x
8.5
r
se tienen las siguientes expresiones: q 2 ; Y 21 (x) = sen(x) q x (2) 2 ix ; H 1 (x) = e 2 q x 2 ; I 12 (x) = cosh(x) p x x ; K 12 (x) = 2x e
Representación Integral de Jv (x)
Usando la función Beta B(a; b) =
(a) (b) = (a + b)
se tiene que (k + 21 ) (v + 12 ) = (k + v + 1) así,
Jv (x) =
Z
1
uk
Z
1
ta
1
t)b
(1
dt
0
1 2
(1
u)v
1 2
du , v >
0
Z v+2k v+2k 1 1 X X ( 1)k x2 ( 1)k x2 = k! (v + k + 1) k! (v + 21 ) (k + 12 ) k=0 k=0
Lic. Neisser Pino Romero
1
41
1 2
1
t2k (1
t2 )v
1 2
dt
1
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Jv (x) =
x v 2
(v + 12 )
Z
Ecuaciones Diferenciales
1
t
2k
(1
1 2
2 v
t )
1
"
# 1 2k X ( 1)k (tx) dt 22k k! (k + 21 ) k=0
Aplicando la fórmula de duplicación de la función Gamma, se tiene "1 # Z 1 x v X ( 1)k (tx)2k 2 v 12 2 (1 t ) dt Jv (x) = p (2k)! (v + 12 ) 1 k=0
luego,
Jv (x) = p
x v 2
(v +
1 2)
Z
1
t2 )v
(1
1 2
cos(xt)dt , v >
1
1 2
(30)
Part IV
Transformada de Laplace 9
Concepto de la Transformada de Laplace
De…nición: Una función u(t) de…nida en 0 t R< 1 tiene transformada de 1 Laplace si existe un real a > 0 tal que la integral 0 e st u(t)dt converge para s > a. En este caso, la transformada de Laplace a < s < 1 cuyo valor en cada s está dado por Z 1 U (s) = e st u(t)dt (1) 0
Otra notación de la transformada de Laplace es: Lfu(t)g
R1 Hay que recordar que la integral impropia 0 e st u(t)dt converge sila inteRB RB gral …nita 0 e st u(t)dt existe para B > 0, y si lim 0 e st u(t)dt existe y es B!1
…nito. Entonces por de…nición, Lfu(t)g = Ejemplos: 1. Lf1g =
Z
1
e
st
u(t)dt = lim
B!1
0
Z
B
e
st
u(t)dt
0
1 s
2. Lfeat g = 3. Lftn g =
1 s a n! sn+1
4. Lfsen(at)g =
a s2 +a2
5. Lfcos(at)g =
s s2 +a2
Lic. Neisser Pino Romero
42
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
6. Lfsenh(at)g = 7. Lfcosh(at)g =
Ecuaciones Diferenciales
a s2 a2 s s2 a2
Ejemplo ( Función de Heaviside) : La función escalón de Heaviside o salto unitario es la función H de…nida para todo t, 1 < t < 1; por 0; 1;
H(t) =
t 0 y 0 < s < 1; se tiene Z LfH(t a)g =
1
e
a) de H (ver …gura 1):
t 0, tales que M eat
ju(t)j
para 0
t 0); ln(s) Racionales:
p(s) q(s) ;
Lic. Neisser Pino Romero
con gr(p)
44
gr(q)
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
10
Ecuaciones Diferenciales
Propiedades Básicas de la Transformada de Laplace
Conviene imaginar la transformada de Laplace como un operador: u ! Lfug = U que a cada función u(t) de…nida en algún intervalo a < s < 1. Este operador tiene las siguientes propiedades básicas que, en particular, lo hace de utilidad en el cálculo de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coe…cientes constantes. Teorema (Propiedades Básicas): Sean u(t); v(t) funciones continuas de orden exponencial en 0 t < 1; y a; b constantes reales. 1. Linealidad:
Lfau + bvg = aLfug + bLfvg
2. Translación: Si U (s) = Lfu(t)g(s) está de…nida en el intervalo b < s < 1; entonces Lfeat u(t)g(s) = U (s a) para a + b < s < 1: 3. Translación y Truncamiento: Si a > 0, LfH(t a)u(t a)g = e 4. Transformada de la Derivada: Lfu0 (t)g = sLfug
as
Lfu(t)g(s)
u(0)
En general,
Lfu(n) (t)g = sn Lfug
sn
1
sn
u(0)
2 0
5. Derivada de la Transformada: Lftu(t)g = n
su(n
u (0)
(0)
u(n
1)
(0)
d ds Lfug
d Lftn u(t)g = ( 1)n ds n Lfu(t)g Rt 6. Transformada de la Integral: Lf 0 u(r)drg =
En general,
2)
1 s Lfug
7. Periodicidad: Si u(t) es periódica con período p > 0; es decir, u(t + p) = u(t) para todo t Lfu(t)g =
Rp 0
0; y si u(t) es continua en [0; p]; entonces st
e u(t)dt 1 e sp
Cálculo de transformadas de Laplace: Con ayuda de la de…nición, de un pequeño repetertorio de las transformadas de Laplace, y de las propiedades básicas se puede calcular fácilmente la transformada de Laplace de las funciones elementales de uso común en la solución de problemas de valor inicial para ecuaciones lineales con coe…cientes constantes. Ejemplo:
Lft3
10t + 1g = Lft3 g
luego, Lft3
10t + 1g =
6 s4
10 s2
+
10Lftg + Lf1g
1 s
Ejemplo: Onda cuadrada entre a y b La función u(t) de…nida por
Lic. Neisser Pino Romero
45
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
0 si t < a ó t b 1 si a t 0, las funciones
Lic. Neisser Pino Romero
47
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
H(t a) =
0; 1;
ta
, H2 (t) =
son tres funciones diferentes esencialmente iguales en 0
0; t < a ó t 2 Z 1; en otra parte
t < 1 tales que
1 s De…nición: Una función v(s) de…nida en un intervalo a < s < 1 tiene transformada inversa de Laplace si existe una función u(t) de…nida 0 t < 1; tal que Lfug = v: En este caso se dice que u es la transformada inversa de Laplace de v, y se denota por: L 1 fvg LfH(t
a)g = LfH1 g = LfH2 g =
Recordamos que por la propiedad de anulación de las transformadas de Laplace en 1, una condición necesaria para que una función v(s) posea transformada inversa de Laplace es que lim v(s) = 0
s!1
También, las propiedades básicas de la transformada de Laplace implican propiedades de la transformada inversa de Laplace. Teorema (Propiedades Básicas): Sean v(s); w(s) funciones continuas de orden exponencial en 0 t < 1; y a; b constantes reales. 1. Linealidad:
L
1
2. Translación:
L
1
3. Derivada:
L
4. Integración 1: 5. Convolución: 6. Integración 2: 7. Integración 3: Ejemplo:
fav + bwg = aL fv(s n
1
a)g = eat L
fvg + bL 1
1
fwg
fv(s)g
d 1)n tn L 1 fvg f ds n Lfv(s)g = ( Rt L 1 f v(s) L 1 fvgrdr s g= 0 1
fv(s)w(s)g = L 1 fvg L 1 fwg R1 L 1 f 0 v(r)drg = 1t L 1 fvg R1 Lfug( )d = Lf u(t) t g 0
L
1
y 0 + 2y = 1
y(0) = 10
sLfyg y(0) + 2Lfyg = Lf10g (s + 2)Lfyg 10 = 1s (s + 2)Lfyg = 1s + 10 1 10 Lfyg = s(s+2) + (s+2) Lic. Neisser Pino Romero
48
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Lfyg =
y = 12 L
1 1 2 s 1 1 fs
1 (s+2) 1 (s+2) g
y(t) = 21 + 19 2 e y 00
Ejemplo: s2 Lfyg (s2
sy(0) y 0 (0) 2s + 5)Lfyg Lfyg = y = 3L
10 (s+2) 10 L 1 f (s+2) g
+ +
2t
2y 0 + 5y =
Lfyg =
Ecuaciones Diferenciales
t
8e
2 (sLfyg y(0)) + 5Lfyg = 8 2s 8 = s+1
t
y 00 + 4y = f (t)
Donde:
t
0 ; 0 t 0; es decir, Rp
Lfu(t)g = 8. Convolución: 11.1.2
0
(u v) (t) =
Rt 0
u(t
y)v(y)dy = LfugLfvg
Transformada Inversa de Laplace
1. Linealidad:
L
1
2. Translación:
L
1
3. Derivada:
L
4. Integración 1:
fav + bwg = aL
1
a)g = eat L
fv(s n
fvg + bL 1
1
fwg
fv(s)g
d f ds 1)n tn L 1 fvg n Lfv(s)g = ( Rt L 1 f v(s) L 1 fvgrdr s g= 0 1
fv(s)w(s)g = L 1 fvg L 1 fwg R1 L 1 f 0 v(r)drg = 1t L 1 fvg R1 Lfug( )d = Lf u(t) t g 0
5. Convolución:
L
6. Integración 2: 7. Integración 3: 11.1.3
e st u(t)dt 1 e sp
1
Tabla de Transformadas de Laplace
Lfkg Lfeat g Lftn g Lfsen(at)g
Lfcos(at)g
= = = = =
Lfsenh(at)g = Lfcosh(at)g =
k s
; ; ; ;
1
s a n! tn+1 a s2 +a2 s s2 +a2 a s2 a2 s s2 a2
Nota: La función (t
Lf (t)g Lf (t a)g n 1 at e Lf t(n 1)! g 1 Lf 2a3 (sen(at)
= 1 = e as = (s 1a)n 1 at cos(at))g = (s2 +a 2 )2
; Lf 2a13 (sen(at) + at cos(at))g = Rt 1 1 ; Lf 0 2a L 1 [ (s2 +a = 2 )n ]dtg t 1 ; Lf 2n L 1 [ (s2 +a2 )n ]g =
s2 a2 (s2 +a2 )2 1 (s2 +a2 )n+1 1 (s2 +a2 )n+1
a) es la función Delta de Dirac de…nida como sigue: (t
1 ; t=a 0 ; t= 6 a
a) =
y además Z
Lic. Neisser Pino Romero
1
(t
a)dt = 1
1
52
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Part V
Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales De…nición: Un Sistema de Ecuaciones Diferenciales de primer orden es un conjunto de ecuaciones de la forma: dx1 dt dx2 dt
= = .. .
dxn dt
= fn (t; x1 ; :::; xn )
.. .
f1 (t; x1 ; :::; xn ) f2 (t; x1 ; :::; xn ) .. .
(1)
Este tipo de ecuaciones se presenta con frecuencia en aplicaciones biológicas y físicas describiendo, en muchos casos, sistemas muy complicados ya que la rapidez de cambio de variable xi depende, no sólo de t y de xi , sino también de los valores de las otras variables. Si cada una de las funciones f1 ; f2 ; :::; fn en (1) es una función lineal en las variables dependientes x1 ; x2 ; :::; xn entonces se dice que el sistema de ecuaciones es lineal. De…nición: Un sistema de Ecuaciones Diferenciales lineales de primer orden se dice que está expresado en forma normal si se escribe de la siguiente manera: dx1 dt dx2 dt
= = .. .
a11 (t)x1 + a21 (t)x1 +
a1n (t)xn + g1 (t) a2n (t)xn + g2 (t) .. .
dxn dt
= an1 (t)x1 +
ann (t)xn + gn (t)
.. .
(2)
Si todas las funcione g1 ; g2 ; :::; gn son ceros, se dice que el sistema es homogéneo; en otro caso, diremos que es un sistema no homogéneo. El sistema (2) expresado en forma matricial queda: X 0 (t) = A(t)X(t) + g(t)
(3)
donde: dxn t 1 dx2 X 0 (t) = [ dx dt ; dt ; :::; dt ]
X(t) = [x1 (t); x2 (t); :::; xn (t)]t
g(t) = [g1 (t); g2 (t); :::; gn (t)]t
y la matriz A(t) : 2
a11 (t) 6 .. A(t) = 4 . an1 (t) Lic. Neisser Pino Romero
53
::: .. .
3 a1n (t) 7 .. 5 . ann (t) U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Un problema de valor inicial correspondiente al sistema (2) consiste en encontrar una función vectorial diferenciable x(t) que satisfaga el sistema en un intervalo I y también satisfaga la condición inicial x(to ) = x0 ; donde to 2 I y xo = (x01 ; :::; x0n )t es un vector dado. La existencia y unicidad de solución para un problema de valor inicial viene dada por el siguiente teorema: Teorema: Sean A(t) y g(t) continuas en un intervalo abierto I que contiene al punto to , entonces para cualquier elección del vector inicial (x01 ; :::; x0n )t , existe una única solución del problema de valor inicial X 0 (t) = A(t)X(t) + g(t) , x(to ) = x0 De…nición: Se dice que n funciones vectoriales x1 (t); x2 (t); :::; xn (t) son linealmente dependientes en un intervalo I si existen constantes, no todas nulas, tales que C1 x1 (t) + C2 x2 (t) + ::: + Cn xn (t) = 0 8t 2 I Si no son linealmente independientes, se dice que son linealmente independientes, es decir, si existe un valor to 2 I tal que, C1 x1 (to ) + C2 x2 (to ) + ::: + Cn xn (to ) = 0 De…nición: Se llama Wronskiano de n funciones vectoriales x1 (t); x2 (t); :::; xn (t) a la función real de valor real: x11 (t) .. .
W [x1 ; x2 ; :::; xn ](t) =
xn1 (t)
::: .. .
x1n (t) .. . xnn (t)
La condición de que el Wronskiano no se anule para algún valor t 2 I es fácil de comprobar ya que, en el caso de que las n funciones sean solución de una ecuación diferencial lineal, o es idénticamente nulo o nunca se anula en el intervalo I: Teorema: Sean x1 (t); x2 (t); :::; xn (t) n soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo X 0 (t) = A(t)X(t)
(4)
en el intervalo I, donde A(t) es una función matricial continua en I: Entonces, toda solución de (4) en I se expresa de la forma: X(t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t) + ::: + Cn xn (t)
(5)
donde: C1 ; C2 ; :::; Cn son constantes.
Lic. Neisser Pino Romero
54
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
La combinación (5) constituye la solución general del sistema (4) y las funciones vectoriales x1 (t); x2 (t); :::; xn (t) forman un conjunto fundamental de soluciones de (4). La matriz X(t), cuyas soluciones, se llaman matriz fundamental. Podemos expresar la solución general en forma general: X(t) = X(t) C donde C = [C1 ; C2 ; :::; Cn ]t : Puesto que jXj = W [x1 ; x2 ; :::; xn ](t) nunca se anula en I; se tiene X es invertible 8t 2 I: Teorema: Sean Xp (t) una solución particular del sistema no homogéneo: X 0 (t) = A(t)X(t) + g(t)
(6)
en el intervalo I y sea fx1 ; x2 ; :::; xn g un conjunto fundamental de soluciones en I del sistema homogéneo correspondiente X 0 (t) = A(t)X(t): Entonces, toda solución de (6) en I se puede expresar de la forma: X(t) = C1 x1 (t) + C2 x2 (t) + ::: + Cn xn (t) + Xp (t)
(7)
donde: C1 ; C2 ; :::; Cn son constantes.
12
Sistemas Homogéneos E.D.O. con Coe…cientes Constantes
Veamos a continuación cómo obtener la solución general del sistema homogéneo X 0 (t) = A(t)X(t)
(8)
donde A es una matriz real constante. Puesto que los elementos de A son funciones constantes y, por tanto, son continuas en R; la solución general que obtengamos estará de…nida 8t 2 R: Nuestro propósito es hallar n soluciones vectoriales que sean linealmente independientes. Puesto que la función exponencial veri…ca que x0 = Cx; buscaremos soluciones de la forma: X(t) = ert ! u
(9) ! con r constante, y u vector constante, ambos a determinar. Para obtener los valores de r y ! u , derivamos (9) y sustituimos en el sistema homogéneo: rert ! u
Aert ! u =0
Sacando factor común y teniendo en cuenta que la exponencial es no nula, llegamos a la ecuación:
Lic. Neisser Pino Romero
55
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
rI)! u =0 (10) Este cálculo demuestra que X(t) = ert ! u ; es solución del sistema homogéneo si y sólo si, r y ! u satisfacen la ecuación (10), es decir, si ! u es un vector propio de A asociado al valor propio r: La cuestión es si podemos obtener de este modo n soluciones linealmente independientes. Puesto que el caso trivial ! u = 0 no es útil para encontrar soluciones independientes, se exige que ! u 6= 0: Los valores y vectores propios de A; se obtienen a partir de la ecuación característica: jA rIj = 0: (A
12.1
Valores propios Reales
Teorema: Si la matriz A de dimensión n n tiene n vectores propios linealmente independientes ! u 1; ! u 2 ; :::; ! u n asociados a los valores propios reales, no necesariamente distintos, r1 ; r2 ; :::; rn respectivamente, entonces: fer1 t ! u 1 ; er 2 t ! u 2 ; :::; ern t ! u ng es un conjunto fundamental de soluciones del sistema (8) en R; y la solución general es: X(t) = C1 er1 t ! u 1 + C2 er2 t ! u 2 + ::: + Cn ern t ! un donde: C1 ; C2 ; :::; Cn son constantes. Teorema: Si r1 ; r2 ; :::; rn son valores propios distintos de una matriz A y ! u i es un vector propio asociado a ri , entonces los vectores ! u 1; ! u 2 ; :::; ! u n son linealmente independientes. Corolario: Si una matriz A de dimensión n n tiene n vectores propios distintos r1 ; r2 ; :::; rn y ! u i es un vector propio asociado a ri , entonces fer1 t ! u 1 ; er 2 t ! u 2 ; :::; ern t ! u ng es un conjunto fundamental de soluciones del sistema homogéneo X 0 (t) = A(t)X(t): Ejemplo 1:
X 0 (t) =
2 1
3 2
X(t)
Luego, es equivalente buscar la solución general del sistema: x01 (t) = 2x1 (t) 3x2 (t) x02 (t) = x1 (t) 2x2 (t) Calcularemos en primer lugar los valores propios de la matriz, para ello plantearemos el polinomio característico
Lic. Neisser Pino Romero
56
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
2
p(r) = así,
p(r) = r2
Ecuaciones Diferenciales
r
3
1
1 = (r + 1)(r
2
=0
r
1)
Por lo cual, los valores propios serán: r1 = 1 ; r2 =
1
Luego, los vectores propios serán: v1 = (3; 1) , v2 = (1; 1) Puesto que v1 ; v2 son vectores propios asociados a dos valores propios distintos, son linealmente independientes y la solución general es: X(t) = C1 et
3 + C2 e 1
1 1
t
es decir, 3C1 et + C2 e C1 et + C2 e
x1 (t) = x2 (t) =
Ejemplo 2:
0
1 X 0 (t) = @ 1 4
t t
1 1 1 A X(t) 5
2 0 4
0
1 1 X(0) = @ 0 A 0
Luego, es equivalente buscar la solución general del sistema: x01 (t) = x1 (t) + 2x2 (t) x3 (t) x02 (t) = x1 (t) + x3 (t) x03 (t) = 4x1 (t) 4x2 (t) + 5x3 (t)
Calcularemos en primer lugar los valores propios de la matriz, para ello plantearemos el polinomio característico 1 p(r) =
r 1 4
2 r 4
1 1 5 r
=0
Desarrollando obtenemos los valores propios serán: r1 = 1 ; r2 = 2 ; r3 = 3 Luego, los vectores propios serán: v1 = ( 1; 1; 2) , v2 = ( 2; 1; 4) , v3 = ( 1; 1; 4) Puesto que v1 ; v2 ; v3 son vectores propios asociados a dos valores propios distintos, son linealmente independientes y la solución general es: 0 1 0 1 0 1 1 2 2 X(t) = C1 et @ 1 A + C2 e2t @ 1 A + C3 e3t @ 1 A 2 4 4 Lic. Neisser Pino Romero
57
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
es decir, 0
et @ et X(t) = 2et
2e2t e2t 4e2t
10 1 e3t C1 e3t A @ C2 A 4e3t C3
Considerando la condición inicial 0 10 1 0 1 1 2 1 C1 1 1 1 A @ C2 A = @ 0 A X(0) = @ 1 2 4 4 C3 0 Resolviendo el sistema lineal: C1 = 0 ; C2 = 1 ; C3 = Luego, la solución particular es: 0 1 0 1 2 2 X(t) = e2t @ 1 A e3t @ 1 A 4 4
1
otra manera de expresar la solución:
x1 (t) = 2e2t 2e3t 2t x2 (t) = e e3t 2t x3 (t) = 4e 4e3t
12.2
Valores Propios Complejos
Veamos cómo obtener dos soluciones reales linealmente independientes del sistema X 0 (t) = A(t)X(t)
(11)
cuando la matriz A real tiene un par de valores propios complejos conjugados i : Supongamos que r1 = + i ( ; 2 R) ; es un valor propio de A con vector ! propio correspondiente z = ! + i ; a y b son vectores constantes reales. Se ! observa que su conjugado z = ! i es un vector propio asociado al valor propio r1 = i . En efecto, si tomamos el conjugado de: (A
ri I)! z =0
aplicando la propieda de que el conjugado del producto es el producto de los conjugados y además A = A y I = I por tener sólo componentes reales, obtenemos: (A
r1 I)! z =0
Teniendo en cuenta que r1 = r2 ; entonces: (A Lic. Neisser Pino Romero
r2 I)! z =0 58
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
! por lo tanto, z es el vector propio asociado a r2 : Dos soluciones vectoriales complejas de (11) linealmente independientes son: w1 (t) = er1 t ! z = e( w2 (t) = er2 t ! z = e(
! (! + i ) ! )t ! ( i )
+i )t i
Utilizando una de estas soluciones y la fórmula de Euler para obtener dos soluciones vectoriales reales. Obtenemos: x1 (t)
= e
t
x2 (t)
= e
t
! cos( t)! sen( t) ! cos( t)! + sen( t)
! Resumiendo, si una matriz A tiene valores propios conjugados ! + i , entonces dos soluciones vectoriales reales linealmente independientes (11) son: ! sen( t) ;e
t
cos( t)!
Ejemplo:
X 0 (t) =
fe
1 2
1
! cos( t)! + sen( t) g
(12)
X(t)
1 2
1
t
Luego, es equivalente buscar la solución general del sistema: 1 2 x1 (t) x1 (t)
x01 (t) = x02 (t) =
+ x2 (t) 1 2 x2 (t)
Calcularemos en primer lugar los valores propios de la matriz, para ello plantearemos el polinomio característico p(r) = así,
p(r) = r2
r+
5 4
1 2
r
1 1 2
1
=0
r
=0
Por lo cual, los valores propios serán: r1 =
1 2
+ i ; r2 =
1 2
i
! Luego, los vectores propios serán: ! = (1; 0) , = (0; 1) ! Puesto que !; son vectores propios asociados a dos valores propios distintos, son linealmente independientes. Entonces, dos soluciones reales vienen dadas por (12), es decir: x1 (t) =
e e
1 2t
cos(t) 1 t 2 sen(t)
Lic. Neisser Pino Romero
y
59
x2 (t) =
e e
1 2t 1 2t
sen(t) cos(t)
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
y la solución general es: X(t) = C1
12.3
1 2t
e e
e cos(t) + C2 1 2 t sen(t) e
1 2t 1 2t
sen(t) cos(t)
Valores Propios Repetidos
Estudiamos …nalmente el caso en que A tiene algún valor propio repetido ri con multiplicidad m; pero no tiene asociados mi pero no tiene vectores propios linealmente independientes a dicho valor. Ejemplo :
X 0 (t) =
1 1
1 3
X(t)
Luego, es equivalente buscar la solución general del sistema: x01 (t) = x1 (t) x2 (t) x02 (t) = x1 (t) + 3x2 (t) Calcularemos en primer lugar los valores propios de la matriz, para ello plantearemos el polinomio característico p(r) = así,
p(r) = r2
4r + 4 = (r
1
r 1
3
1 r
=0
2)2
Por lo cual, los valores propios serán: r1 = r2 = r = 2 Luego, los vectores propios serán: v1 = (1; 1) Puesto que este espacio tiene dimensión 1; no existe otro vector propio linealmente independiente y tenemos sólo una solución independiente dada por: x1 (t) = e2t v1 = e2t
1 1
Podemos intentar buscar una segunda solución linealmente independiente de la forma: x2 (t) = te2t v2 con un v2 vector constante a determinar. Para ello, sustituimos en el sistema:
Lic. Neisser Pino Romero
60
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
2te2t v2 + e2t v2
Ecuaciones Diferenciales
Ate2t v2 = 0
Igualamos ahora los coe…ciente de e2t y te2t a 0: A partir del coe…ciente de e2t , se obtiene que v2 = 0: Por tanto, no encontramos ninguna solución del sistema (distinta de cero) de la forma te2t v2 . Puesto que igualar coe…ciente nos aparecen términos en e2t y te2t buscaremos una solución de la forma: x2 (t) = te2t v3 + e2t v2 con v2 y v3 vectores constantes a determinar. Sustituyendo en el sistema: 2te2t v3 + e2t v3 + 2te2t v2 2t
Igualando los coe…cientes de e (A (A
Ate2t v3
Ae2t v2 = 0
2t
y te , se tiene: 2I)v3 2I)v2
= 0 = v3
Así, v3 es un vector propio de A asociado al valor propio r = 2 (podemos tomar v3 = v1 ), y v2 será un vector que veri…que la segunda ecuación. Por consiguiente, una segunda solución linealmente independiente es: x2 (t) = te2t v1 + e2t v2 donde v2 será un vector tal que, (A
2I)v2
= v1
Como det(A 2I) = 0; cabe esperar que la ecuación (13) no pueda resolverse. Sin embargo, no es necesariamente cierto, para determinarlo v1 sí puede resolverse, 1 1
1 1
x y
=
1 1
Resolviendo, v3 =
k 1
k
=
0 +k 1
1 1
Así, la solución quedaría: 1 0 1 + e2t + ke2t 1 1 1 El último sumando es proporcional a x1 (t), luego ya estará incluido en la solución general, podemos por tanto, ,tomar k = 0 al considerar el vector v3 : De este modo, la solución general será: x2 (t) = te2t
X(t) = C1 e2t
Lic. Neisser Pino Romero
1 + C2 e2t 1
61
0 + te2t 1
1 1
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
12.4
Ecuaciones Diferenciales
Aplicación a los Circuitos Eléctricos
Consideramos ahora circuitos compuestos por varias mallas. Un camino cerrado en un circuito eléctrico recibe el nombre de malla. En la …gura tenemos un circuito formado por tres mallas: (1) ABMNA, (2) BJKMB y (3) ABJKMNA. Los puntos donde se unen dos o más mallas reciben el nombre de nudos o puntos de rami…cación. La dirección del ‡ujo de corriente se designa arbitrariamente. Además con la ley de Kirchho¤ de la tensión, podremos aplicar para la corriente que estable que en una red eléctrica, la corriente total que llega a un nudo es igual a la corriente total que sale de él.
Determinaremos el sistema de ecuaciones diferenciales que modeliza el circuito de arriba. Si E es una fuerza electromotriz constante de 30V; R1 es una resistencia de 10 , R2 es una resistencia de 20 . L1 es un inductor de 0:02H; L2 es un inductor de 0:04H e inicialmente, las corrientes son 0: Calcular las corrientes en cada instante t: Solución: Para la malla (1), las caídas de tensión son las siguientes: VR1 VL1
= =
10I 1 0:02 dI dt
Por lo tanto, 0:02
dI1 + 10I = 30 dt
(1)
Para la malla (2), las caídas de tensión son: VR2 VL2 VL1 Lic. Neisser Pino Romero
= = =
20I2 2 0:04 dI dt 1 0:02 dI dt 62
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Esta última con signo negativo debido a que se recorre en sentido opuesto. Como en esta malla no hay fuerza electromotriz, se tiene: dI1 dI2 + 0:04 + 20I2 = 0 dt dt Para la malla (3), las caídas de tensión son: 0:02
VR1 VR2 VL2
= = =
(2)
10I1 20I2 2 0:04 dI dt
Por tanto, dI2 + 20I2 = 30 (3) dt Vemos que las tres ecuaciones no son independientes, ya que (2) (3) = (1); nos quedamos, por tanto, con las ecuaciones (1) y (3). Aplicando ahora la ley de Kirchho¤ de las corrientes en los nudos, tenemos que: 10I + 0:04
I = I1 + I2 y sustituyendo I; llegamso al sistema de ecuaciones lineales: 1 0:02 dI dt + 10I1 + 10I2 2 10I1 + 0:04 dI dt + 30I2
= =
30 30
con las condiciones iniciales: I1 (0) = 0; I2 (0) = 0:
Resolvamos a continuación el sistema de ecuaciones. Para ello, lo escribimos en forma normal: dI1 dt dI2 dt
= =
1500 500I1 750 250I1
500I2 750I2
y lo expresamos matricialmente: I10 (t) I20 (t)
500 250
=
500 750
I1 (t) I2 (t)
+
1500 750
La ecuación característica es: 500 r 250
500 750 r
= 0 ! 250000 + 1250r + r2 = 0
cuyas raíces son los valores propios: r1 = 1000 y r2 = 250: Ahora los vectores propios: v1 = (1; 1) y v2 = ( 2; 1):
Lic. Neisser Pino Romero
63
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Entonces, la solución de la parte homogénea es: 1 2 + C1 e 250t 1 1 Ahora, buscamos una solución particular. Como el término no homogéneo es un polinomio de grado cero, y además cero no es raíz de la ecuación característica, podemos tomar la solución particular de la forma: 1000t
IH (t) = C1 e
a1 a2 Derivando y sustituyendo en la ecuación, tenemos: IP (t) =
0 0
500 250
=
500 750
a1 a2
+
1500 750
Reagrupando términos: 500 250
500 750
a1 a2
1500 750
=
Donde: a1 = 3 y a2 = 0: Luego, la solución general es: IH (t) = C1 e
1000t
1 + C1 e 1
2 3 + 1 0
250t
Considerando ahora, las condiciones iniciales, I1 (0) = 0 e I2 (0) = 0; se tiene: 0 0
= C1
Desarrollando, se tiene: C1 =
1 + C2 1
2 3 + 1 0
1 y C2 (0) = 1:
Finalmente, la solución general es: I(t) =
e
1000t
1 +e 1
250t
2 3 + 1 0
Part VI
Ecuaciones Diferenciales Parciales Una Ecuación Diferencial Parcial (E.D.P.) es una ecuación que involucra una función desconocida de dos ó más variables independientes y ciertas derivadas parciales de la función desconocida. Es decir, sea U = u(x1 ; x2 ; :::; xn ) , (n 2): Lic. Neisser Pino Romero
64
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
F (x1 ; x2 ; :::; xn ;
Ecuaciones Diferenciales
@u @u @u @ 2 u ; ; :::; ; ; :::) = 0 @x1 @x2 @xn @x1 x2
(*)
El orden de la EDP es el orden de la derivada parcial de mayor orden. Una EDP en la función "u" es lineal. Si es a lo más de primer grado "u" y en las derivadas de "u": Esto signi…ca que la ecuación no contiene términos que involucren potencias ó productos de "u" y derivadas de "u": Sea x = (x1 ; x2 ; :::; xn ) 2 R donde es una región abierto y conexo. 2 @u @u ; ::; @x ; @ u ; ::) = 0; Una función u(x1 ; x2 ; :::; xn ) que satisface F (x1 ; ::; @x 1 n @x1 x2 identicamente en ; es llamado una Solución de ( ); La ecuación ( ) es de orden "n" y si las derivadas parciales de mayor orden que aparecen ( ) son de orden "n": La ecuación ( ) se dice lineal si la función F en ( ) será lineal en u y las derivadas parciales que aparecen en ( ): Caso contrario diremos simplemente que ( ) no es lineal. Ejemplo: Sea u(x; y) = x2 +y 2 solución de la ecuación: xux +yuy
2u = 0:
En efecto, ux = 2x uy = 2y luego, x(2x) + y(2y) 2(x2 + y 2 ) = 0:
13
Ecuación Lineal de Primer Orden
Se requiere resolver una ecuación de la forma: a(x; y)Ux + b(x; y)Uy + c(x; y)U = d(x; y)
(1)
Donde a; b; c; d funciones continuas con derivadas parciales de primer orden continuas, y de…nidas en un dominio D R2 ; y "a"; "b" no son funciones nulas. Describiremos un método para resolver la ecuación. El método consiste en transformar (1) en otra ecuación de la forma: @W + s( ; )W = t( ; ) @ donde: W = W ( ; ), y donde:
y
(2)
son las nuevas variables independientes.
La ecuación (2) puede ser visto ahora como una E.D.O. con en la variable independiente y como parámetro. De aquí la solución general puede ser resuelta usando el método trivial de una E.D.O. de primer orden, luego regresamos a las variables originales x e y, y se tendrá la solución general.
Lic. Neisser Pino Romero
65
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Desarrollo del Método Supongamos a 6= 0; b 6= 0 para transformar (1) en la forma (2), introducimos las nuevas variables y para las ecuaciones: = =
(x; y) (x; y)
(3)
Donde y son funciones por determinar. Suponiendo que y son continuas y con derivadas parciales de primer orden continuas, de…nidas en D R2 tal que el Jacobiano: @( ; ) = @(x; y)
x
y
x
y
6= 0
es decir, en la vecindad de algún punto de D: x
y
y
x
6= 0
(4)
R2 ! R2 / T (x; y) = ( ; ) = ( (x; y); (x; y))
Sea T : D luego,
JT =
x
y
x
y
6= 0
Escribiendo: U (x; y) = W ( ; ) Por la regla de la cadena, tendriamos: @U @x
=
@W @
@ @x
+
@W @
@ @x
@U @y
=
@W @
@ @y
+
@W @
@ @y
Reemplazando en (1): e a( ; ) [W
x
+W
x]
e a
+ eb
luego,
Si elegimos
x
+ eb( ; ) W W + e a
y
y
x
(x; y) en (3) tal que, e a
x
+ eb
y
+W
+ eb
=0 !
y se tendrá una ecuación de la forma (2). Si
= c con
y
y
y
x y
e ; ) +e c( ; )W ( ; ) = d(
W +e cW = de =
eb e a
(5)
(6)
6= 0
Lic. Neisser Pino Romero
66
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Ecuaciones Diferenciales
Se cumple: dx b = , dy a
= (x; y) / a
x
+b
y
=0
(7)
La solución de la relación (7) de…ne la familia de curvas llamadas "curva característica". Así, para reducir (5) a la forma (2) elegimos tal que = c curva característica de (1), la función se elige cumpliendo (4). Por ejemplo: elegimos (x; y) = x; luego (5) toma la forma: e aW + e cW = de
(8)
Ejemplo: Hallar la solución general: 2ux + 3uy + 4u = 0 dy dx
La ecuación característica: Elegimos:
=x
= 2y
=
3 2
!
3x
R
2dy =
R
3dx luego, 2y = 3x + c
Sea u(x; y) = w( ; ) luego, ux uy Reemplazando:
2 [w
= w (1) 3w = w (0) + 2w
3w ] + 3 [2w ] + 4w = 0
luego, 2w + 4w = 0 ! w =
2w
así, Z
luego,
w = w
ln(w) =
Z
2
2 + f( )
así, w=e
2
f( )
Finalmente: u(x; y) = f (2y donde: f
3x) e
2x
función arbitraria.
Lic. Neisser Pino Romero
67
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
14
Ecuaciones Diferenciales
La Cuerva Vibrante (Ecuación de la Onda)
Consideramos una cuerda uniforme de longitud L, y densidad constante, el cual es …jada en los extremos. Sea u(x; t) : desplazamiento de la cuerda en el punto "x" en un tiempo "t": Asumiremos que únicamente hay vibración transversal tomando lugar en el plano xu: El problema es determinar u(x; t) para 0 < x < L y t > 0 H1: Asumiremos que la fuerza tensión en la cuerda es muy grande, así el peso de la cuerda puede ser ignorado. H2: La cuerda tiene únicamente pequeñas vibraciones transversales, así ux 2 es pequeña, (ux ) 0
En el segmento de la cuerda con longitud 4S, como no tiene movimiento horizontal. T1 cos( ) T2 cos( ) = 0 (1) así, 1 1+tg 2 ( )
=
p
1 1+(ux )2
1
1 1+tg 2 ( )
=
p
1 1+(ux )2
1
cos( )
=
p
cos( )
=
p
así, de (1): T1 = T2 = T
cte:
La fuerza vertical actua sobre el segmento de la cuerda que hemos analizado. De aquí la fuerza resultante: R = T sen( )
T sen( )
(2)
Como la vibración es pequeña. sen( ) = como cos( )
sen( ) cos( )
cos( ) = tg( ) cos( )
1
Lic. Neisser Pino Romero
68
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
sen( )
Ecuaciones Diferenciales
tg( )
De (2): R = T (sen( )
sen( ))
T (tg( )
tg( ))
luego, R=T como así,
@u (x; t) @x
F = m! a @u (x + 4x; t) @x
T donde:
@u (x + 4x; t) @x
x
>
> :
c
2 @2u @x2 (x; t)
=0
u(x; 0) = u0 (x) ut (x; 0) = u1 (x)
c>0 (I)
t>0 x2R
Ecuación de la Onda Homogénea
donde: c =
q
T
Constante positiva, y
: Densidad de la cuerda.
Si intervienen fuerzas externas actuando sobre la cuerda, digamos f (x; t) se tendrá: 8 > >
> :
c
2 @2u @x2 (x; t)
= f (x; t)
u(x; 0) = u0 (x) ut (x; 0) = u1 (x)
c>0 t>0 x2R
(II)
Ecuación de la Onda No Homogénea
Lic. Neisser Pino Romero
69
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
14.1
Ecuaciones Diferenciales
Método de Separación de Variables
Resolveremos el problema de valor inicial frontera para la ecuación de la onda amortiguada. @2u @t2 (x; t)
2
2
c @@xu2 (x; t) + hu(x; y) = 0 u(x; 0) = f (x) ut (x; 0) = 0 u(0; t) = 0 u(L; t) = 0
;
c>0
;
h>0
(III)
; 0 x L ; t>0
El método consiste en asumir una solución particular de la forma: u(x; t) = X(x) T (t) que debe cumplir: ut (x; 0) = 0 y u(L; t) = 0, y sustituyendo en el sistema, obtenemos X(x)T 00 (t)
c2 X 00 (x)T (t) + hX(x)T (t) = 0
luego, X(x)T 00 (t) + hX(x)T (t) = c2 X 00 (x)T (t) así, h X 00 (x) T 00 (t) + = c2 T (t) c2 X(x)
, 8t ,8x
de aquí ambos términos deben ser igual a una constante, digamos T 00 (t) h + = c2 T (t) c2
=
X 00 (x) X(x)
esto conduce a dos ecuaciones ordinarias. 8 X(x) + X 00 (x) < :
T 00 (t) +
:
c2 + h T (t)
donde cumplen: ut (x; 0) = 0 y u(L; t) = 0; 8 < X(x)T 0 (0) = X(0)T (t) = : X(L)T (t) =
=
0
=
0
se tendrá: 0 0 0
luego, T 0 (0) = 0; y también X(0) = 0; X(L) = 0: Si X(x) = 0 ! u(x; t) = 0
(Solución trivial)
luego, las funciones X(x); T (t) cumplen:
Lic. Neisser Pino Romero
70
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
8 > >
> :
T 00 (t) +
c2 + h T (t) = 0
; ;
X(0) = 0 X(L) = 0
(*)
T 0 (0) = 0
Vamos a determinar soluciones no triviales de ( ); Primero la ecuación: 1. Supongamos así, r2 +
X 00 (x) + X(x) = 0 , X(L) = 0 ; X(0) = 0
< 0; luego
= 0 =) r =
k 2 k 2 R+
=
k
f0g
Solución General: X(x) = c1 ekx + c2 e
kx
De la condición inicial: X(L) = 0 ; X(0) = 0 Finalmente, c1 = 0 ; c2 = 0 X(0) = 0 2. Supongamos
= 0; luego X 00 (x) = 0
así, la Solución General: X(x) = ax + b De la condición inicial: X(L) = 0 ; X(0) = 0 Finalmente, a = 0 ; b = 0 X(0) = 0 k 2 k 2 R+
3. Supongamos así, r
2
> 0; luego = p i = 0 =) r =
f0g
Solución General: p p X(x) = c1 cos( x) + c2 sen( x) De la condición inicial: X(L) = 0 ; X(0) = 0 p Finalmente, c1 = 0 ; c2 = sen( L) p X(x) = c2 sen( L) , c2 6= 0 p p ! sen( L) = 0 , L=n
Lic. Neisser Pino Romero
71
, n2Z
U.N.M.S.M.
Fac. de Ingeniería Electrónica y Eléctrica
Cuando
Ecuaciones Diferenciales
> 0; tenemos: n
=
n
2
, n = 1; 2; :::
que son autovalores de la ecución diferencial y las correspondientes autofunciones (sin considerar constantes). Xn (x) = sen( Segundo, la ecuación T 00 (t) +
n x ) L
c2 + h T (t) = 0
;
T 0 (0) = 0
El polinomio característico: r2 + ( n c2 + h) = 0 , > 0; c > 0; h > 0 Tendremos: p p 2 2 T (t) = c1 sen n c + ht + c2 cos n c + ht luego, con la condición inicial: T 0 (0) = 0 tendriamos: c1 = 0 Sea c2 6= 0 Tn (t) = c2 cos
p
2 nc
+ ht
Finalmente, la Solución General: un (x; t) = sen(
15
p n x ) cos L
2 nc
+ ht
La Ecuación del Calor
Consideramos una varilla de …erro de longitud L a lo largo del eje x. Asumimos que la varilla tiene sección transversal constante y densidad . Se asume que la varilla está aislado lateralmente y que tiene ‡ujo de calor en la dirección x y que la temperatura en todas los puntos de la sección transversales constante. Sea u(x; t) : Temperatura de la sección transversal en x en el tiempo t: Se obtiene la ecuación: 8 2 @u > k @@xu2 (x; t) = 0 > @t (x; t) > > < u(0; t) = 0 > > > u(x; 0) = f (x) > : u(L; t) = 0 Lic. Neisser Pino Romero
72
k>0 t>0 0
