Ecuaciones Diferenciales Jos´e Vicente Romero Bauset [email protected]

Ecuaciones Diferenciales

Tema 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 1

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales separables EDO separable Una EDO de orden 1 F (t, y , y 0 ) se dice separable si puede ser escrita de la forma   A(t) 0 0 A(t)dt = B(y )dy y = , y = C (t)D(y ) B(y ) Resoluci´ on Z

Z

A(t)dt = Z

t

B(y )dy + K Z

y

A(t)dt = t0

B(y )dy y0

Ejercicio El ritmo al que se enfr´ıa un cuerpo caliente es proporcional a la diferencia de temperatura entre ´el y el ambiente que lo rodea (ley de enfriamiento de Newton). Un cuerpo se calienta a 110o C y se expone al ambiente a una temperatura de 10o C. Al cabo de una hora su temperatura es de 60o C. ¿Cu´anto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfr´ıe a 30o C? Ecuaciones Diferenciales

EDO homog´eneas Funci´on homog´enea f (x, y ) es una funci´ on homog´ enea de grado n si f (λ x, λ y ) = λ n f (x, y ). EDO homog´enea Una EDO de primer orden M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0 es homog´ enea si M y N son funciones homog´eneas del mismo grado. Nota Definiciones equivalentes a la anterior son: • y 0 = f (x, y ) es homog´enea si f (x, y ) es homog´enea de grado 0 y  • y0 = f x Ecuaciones Diferenciales

EDO homog´eneas Resoluci´on y 1o Con el cambio u = → x variables separables:

( y = ux y 0 = u0x + u

Se obtiene E.D.O de

y 0 = f (x, y ) ⇐⇒ u 0 x + u = f (1, u) 2o Resolvemos la E.D.O separable. 3o Deshacemos el cambio. Ejercicios t 3 y 0 = t 2 y − 2y 3 Encuentra la forma de un espejo curvo en el que la luz de una fuente en el origen se separe en un haz de rayos paralelos al eje X.

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones reducibles a separables

y0 =

ax + by + c dx + ey + f

   ax + by + c y0 = f dx + ey + f

Casos posibles • c = f = 0 es homog´enea • b = e = 0 o a = d = 0 es de variables separables • ae − bd 6= 0 • ae − bd = 0

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones reducibles a separables ax + by + c y = dx + ey + f 0

   ax + by + c 0 y =f dx + ey + f

Caso ae − bd 6= 0 1o Se calcula el punto de corte (x0 , y0 ) de las rectas: ( ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 2o Se aplica el siguiente cambio que conduce a E.D.O homog´enea:  (  x = X + x0 X = x − x0 ⇐⇒ y = Y + y0  Y = y − y0  0 y =Y0 3o Resolvemos la E.D.O homog´enea y deshacemos el cambio. Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones reducibles a separables:Ejemplo (6x + 4y − 8) d x + (x + y − 1) d y = 0 Las rectas 6x + 4y − 8 = 0 y x + y − 1 = 0 no son paralelas y se cortan en el punto x = 2 e y = −1. Se hace el cambio de variable x = X + 2, y = Y − 1. dY 6X + 4Y = , homog´enea Y = uX dX −X − Y −−−−−−−→ 6X + 4Xu 6 + 4u −1 − u dX du = = ⇒ 2 du = u +X dX −X − Xu −1 − u u + 5u + 6 X Z Z 1 −2 u+2 ln CX = du + d u = ln u+2 u+3 (u + 3)2 y +1 +2 C (x − 2) =  x−2 2 = y +1 x−2 + 3 y + 1 + 2x − 4 = C, (3x + y − 5)2

2x + y − 3 = C (3x + y − 5)2 Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones reducibles a separables    ax + by + c ax + by + c 0 y = y =f dx + ey + f dx + ey + f Caso ae − bd = 0 Se cumple que ambas rectas son paralelas, por tanto se cumplir´a que: 0

∃k ∈ R/ax + by = k(dx + ey ) Si e 6= 0 se realiza el cambio:  1  y = (t − dx) e t = t(x) = dx + ey ⇒  y 0 = 1 (t 0 − d) e 2o Se resuelve la E.D.O de variables separables a la que conduce el cambio: 1 0 tk + c (t − d) = e t +f 3o Deshacemos el cambio.

1o

Nota Si e = 0 se hace el cambio t = ax + by Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones reducibles a separables:Ejemplo (x + y + 1) d x + (2x + 2y − 1) d y = 0 Las rectas x + y + 1 = 0 y 2x + 2y − 1 = 0 son paralelas. Se hace el cambio de variable z = x + y 1 +

dz dy = . dx dx

dz z +1 dz z + 1 − 2z + 1 −1 = , = dx −2z + 1 d x 1 − 2z 1 − 2z dz = dx 2−z Z 

3 2− 2−z



Z

dz =

d x + C , 2z − 3 ln |2 − z| = x + C

2(x + y ) + 3 ln |2 − (x + y )| = x + C Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales exactas EDO exacta Una ecuaci´ on diferencial M(t, y )dt + N(t, y )dy = 0 es exacta si existe una funci´ on F (t, y ), llamada funci´ on potencial de la ecuaci´on diferencial, cuya diferencial coincide con M(t, y )dt + N(t, y )dy , es decir ∂F ∂F = M(t, y ) y = N(t, y ) ∂t ∂y Teorema ∂M ∂N , son continuas en un rect´angulo R del plano, entonces ∂y ∂t M dt + N dy = 0 es exacta en R si y s´ olo si Si M, N,

∂N ∂M = en R ∂y ∂t Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales exactas Z

Resoluci´on (Si sabemos calcular

M(t, y ) d t)

∂N ∂M = ∂y ∂t o 2 Se calcula la funci´on potencial:

1o Se comprueba que es exacta:

F (t, y )

/

∂F = M(t, y ) ∂Z t

(a) F (t, y ) =

y

∂F = N(t, y ) ∂y

M(t, y ) d t + ϕ(y )

(b) Calculamos ϕ(y ) utilizando: Z ∂F ∂F ∂ M(t, y ) d t + ϕ 0 (y ) = N(t, y ) y = ∂y ∂y ∂y =⇒ ϕ 0 (y ) = N(t, y ) −

∂ ∂y

Z

M(t, y ) d t

(c) Sustituimos ϕ(y ) en (a) y se obtiene la soluci´ on general de la E.D.O: F (t, y ) = C Ecuaciones Diferenciales

(1)

Ecuaciones diferenciales exactas Z

Resoluci´on (Si sabemos calcular 1o Se comprueba que es exacta:

N(t, y ) d y ) ∂M ∂y

=

∂N ∂t

2o Se calcula la funci´on potencial: F (t, y )

/

∂F = M(t, y ) ∂t

y

∂F = N(t, y ) ∂y

Z

(a) F (t, y ) =

N(t, y ) d y + g (t)

(b) Calculamos g (t) utilizando: Z ∂F ∂F ∂ = M(t, y ) y = N(t, y ) d y + g 0 (t) ∂t ∂t ∂t =⇒ g 0 (t) = M(t, y ) −

∂ ∂t

Z

N(t, y ) d y

(c) Sustituimos g (t) en (a) y se obtiene la soluci´ on general de la E.D.O: F (t, y ) = C Ecuaciones Diferenciales

(2)

Factor integrante Factor integrante Sea M(t, y ) d t + N(t, y ) d y = 0 una ecuaci´ on diferencial no exacta, y µ(t, y ) una funci´on no nula en cada punto de un cierto rect´angulo R y tal que µ(t, y )M(t, y ) d t + µ(t, y )N(t, y ) d y = 0 es exacta. Entonces se dice que µ(t, y ) es un factor integrante para M(t, y ) d t + N(t, y ) d y = 0, y de esta ecuaci´on se dice que es reducible a exacta. B´ usqueda de factores integrantes: ∂ (µM) ∂ (µN) = ∂y ∂t es decir µ

∂M ∂µ ∂N ∂µ +M =µ +N ∂y ∂y ∂t ∂t

Ecuaciones Diferenciales

Factor integrante: µ = µ(t) µ

∂M ∂µ ∂N ∂µ ∂M ∂N ∂ µ(t) +M =µ +N µ = µ(t) µ(t) +M0 = µ(t) +N ∂y ∂y ∂t ∂ t −−−−−−→ ∂y ∂t ∂t ⇓   d µ(t) ∂M ∂N − =N µ(t) ∂y ∂t dt ⇓  d µ(t) = µ(t)

∂M − ∂N ∂y ∂t N



 d t ⇒ a(t) = ⇓

∂M − ∂N ∂y ∂t N



Z

ln µ(t) =

a(t)dt

⇓ µ(t) = e

R

a(t)dt

Ecuaciones Diferenciales

s´olo depende de t

Factor integrante B´ usqueda de factores integrantes • µ = µ(t) ⇒

My −Nt N

es s´ olo funci´ on de t   R 1 ∂M ∂N a(t)dt µ =e , a(t) = − N ∂y ∂t Nt −My olo funci´ on de y • µ = µ(y ) ⇒ M es s´   R 1 ∂N ∂M µ = e b(y )dy , b(y ) = − M ∂t ∂y Nt −My • µ = µ(ν), ν = at + by ⇒ bM−an es s´ olo funci´ on de at + by ∂N ∂M − R ∂t ∂y µ = e c(ν)dν , c(ν) = bM − aN Nt −My • µ = µ(ν), ν = ty ⇒ tM−Ny es s´ olo funci´ on de ty ∂N ∂M − R ∂t ∂y µ = e d(ν)dν , d(ν) = tM − Ny Ecuaciones Diferenciales

EDO exactas: factor integrante

Algunas f´ormulas u ´tiles   y dx −x dy d yx = y2 d(xy ) = x d y + y d x
d x 2 + y 2 = 2x d x + 2y d y   y dx −x dy d arctan yx = x2 + y2    y dx −x dy d log yx = xy

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Ecuaci´on Lineal EDO lineal Una EDO de primer orden de la forma dy = P(t)y + Q(t) dt es una ecuaci´ on lineal. Resoluci´on Se puede encontrar un factor integrante µ(t) = e R

e

R

−P(t)dt

.

R R dy − e −P(t)dt P(t)y = e −P(t)dt Q(t) dt ⇓   R R d e −P(t)dt y = e −P(t)dt Q(t) dt ⇓

−P(t)dt

R

e

−P(t)dt

Z

y=

R

e

−P(t)dt

Q(t) d t + C

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaci´on Lineal Ejemplo
y + x 2 cos x d x − x d y = 0 y0 = El factor integrante es

y + x cos x x

µ(x) = e− La ecuaci´on se puede reescribir como e− es decir

R 1 x dx

R dy − e− dx

 R d e−

1 x

dx

y

1 x

R 1 x dx

dx

=

1 x

R y = e− x

1 x

dx

x cos x

 = e−

R 1 x dx

x cos x dx y la soluci´on de la ecuaci´on es  Z  y 1 = x cos x d x + C = sin x + C x x Ecuaciones Diferenciales

Reducci´on del orden Ausencia de variable dependiente
Si no aparece la y , la ecuaci´ on es de la forma f t, y 0 , y 00 = 0. Resoluci´on Se hace el cambio

dp dt   dp = 0. y la ecuaci´on diferencial queda de la forma f t, p, dt y 0 = p y 00 =

Ausencia de variable independiente
Si no aparece t, la ecuaci´on es de la forma f y , y 0 , y 00 = 0. Resoluci´on Se hace el cambio

dp dp dp dy = =p dt dy dt dy   dp y la ecuaci´on diferencial queda de la forma f y , p, p = 0. dy y 0 = p y 00 =

Ecuaciones Diferenciales

Reducci´on del orden: Ejemplos ty 00 − y 0 = 3t 2 Falta la y ⇒ se puede hacer el cambio y 0 = p ⇓ t

dp − p = 3t 2 dt ⇓

dp 1 − p = 3t dt t

lineal

R 1

Multiplicando por e− t d t = 1t se obtiene   d 1 p p = 3 ⇒ = 3t + C ⇒ p = 3t 2 + Ct dt t t ⇓ 1 y = t 3 + Ct 2 + D 2 Ecuaciones Diferenciales

Reducci´on del orden: Ejemplos y 00 + k 2 y = 0 dp Falta la t ⇒ se puede hacer el cambio y 0 = p, y 00 = p d y ⇓ dp p + k 2y = 0 ⇒ p d p + k 2y d y = 0 dy ⇓ p 2 + k 2 y 2 = k 2 a2 ⇓ p dy dy p= = ±k a2 − y 2 ⇒ p = ±k d t dt a2 − y 2 ⇓ y arcsen = ±kt + b a ⇓ y = a sen (±kt + b) ⇒ y = A sen (kt + B) (o y = C1 sen kt + C2 cos kt) Ecuaciones Diferenciales

Trayectorias ortogonales y oblicuas Familia de curvas Es una expresi´on de la forma F (x, y , K ) = 0 en la que K es un par´ametro arbitrario. Ejemplo

x 2 + 2kx + y 2 = 0

Trayectoria ortogonal Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es una curva que cruza con cada una de las curvas de la familia de forma ortogonal. En un campo electrost´atico, las lineas de fuerza son ortogonales a las l´ıneas de potencial constante. Ecuaciones Diferenciales

Trayectorias ortogonales y oblicuas Ejemplo y 2 + 2ky + x 2 = 0 son ortogonales a x 2 + 2kx + y 2 = 0 C´alculo trayectoria ortogonal 1

2

Se obtiene la ecuaci´on diferencial y 0 = f (x, y ) de la familia de curvas F (x, y , K ) = 0 (Eliminando la K ). La familia ortogonal a F (x, y , K ) = 0 tiene como ecuaci´on diferencial y0 = −

1 . f (x, y )

Un vector ortogonal (1, v ) es (1, − v1 ) 3

Se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´ on diferencial anterior. Ecuaciones Diferenciales

Trayectorias ortogonales y oblicuas C´alculo trayectoria ortogonal 2

1

2

2

2

2

0 =0 k = − x +y 2x − x +y +2yy 0 =0 x 2 +2kx +y 2 =0 − derivando x −−−−−→ 2x +2k +2yy −−−−−−2x −→ ⇓ 2 −y 2 La ecuaci´ on diferencial de la familia de curvas es y 0 = f (x, y ) = − x 2yx

La familia ortogonal a F (x, y , K ) = 0 tiene como ecuaci´on diferencial 1 2yx y0 = − = . f (x, y ) x 2 − y 2

3

2yx 2u y = ux u 0 x + u = . x 2 − y 2 −−−−→ 1 − u2 ⇓   3 2 u+u 1−u dx 1 2u dx u0x = ⇒ d u = ⇒ d u − = 2 3 2 1−u u+u x u 1+u x ⇓ y0 =

ln |C | + ln |u| − ln |1 + u 2 | = ln |x| ⇒

Au = x ⇒ Ay = x 2 + y 2 1 + u2

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Trayectorias ortogonales y oblicuas y

tan θ =

df dx

tan β =

dg dx

y=f(x) α

β

y=g(x)

θ x β = α + θ ⇒ tan β = tan(α + θ ) =

tan α + tan θ 1 − tan α tan θ Ecuaciones Diferenciales

Trayectorias ortogonales y oblicuas

C´alculo trayectoria obl´ıcua 1

2

Se obtiene la ecuaci´on diferencial y 0 = f (x, y ) de la familia de curvas F (x, y , K ) = 0. La familia oblicua a F (x, y , K ) = 0 tiene como ecuaci´on diferencial y0 =

3

f (x, y ) + tg (α) . 1 − f (x, y )tg (α)

Se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´ on diferencial anterior.

Ejemplo Calcular las trayectorias obl´ıcuas con un ´angulo de 45 grados a la familia de curvas y = A ex

Ecuaciones Diferenciales

Trayectorias ortogonales(coordenadas polares)  ρ = ρ(θ ) ⇒

x = ρ(θ ) cos θ y = ρ(θ ) sen θ

 ⇒


dx dx ρ 0 cos θ − ρ sen θ =  dθ  = 0 dy dy ρ sen θ + ρcosθ dθ

y 0 = f (x) (ρ = ρ(θ )) ρ 0 cos θ − ρo sen θ ρ 0 sen θ + ρ cos θ ⇓ curva ortogonal ⇒ o0 = ρsenθ − ρ 0 cos θ 1 (ρo = ρo (θ )) ρo sen θ + ρo cos θ y 0 = − f (x) ⇓ ρ = ρo −ρo0 ρ 0 = ρ 2 Trayectorias ortogonales en coordenadas polares 1

Se obtiene la ecuaci´ on diferencial f (θ , ρ, ρ 0 ) de la familia de curvas F (θ , ρ, K ) = 0.

2

La familia ortogonal a F (θ , ρ, K ) = 0 tiene como ecuaci´on diferencial   ρ2 f θ , ρ, − 0 . ρ

3

Se obtiene la soluci´ on general de la ecuaci´ on diferencial anterior. Ecuaciones Diferenciales