ECUACIONES DIFERENCIALES ´ n-Roy 2 Ignacio Gracia Rivas 1 , Narciso Roma Departamento de de Matem´atica Aplicada IV C/ Jordi Girona 1. Edificio C-3, Campus Norte UPC E-08034 Barcelona

October 3, 2008

1 2

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Prefacio Estos Apuntes de Ecuaciones Diferenciales constituyen una gu´ıa personal a la asignatura de Ecuaciones Diferenciales que se imparte en la E.T.S.E.T.B. en el curso 1-B de la carrera de Ingenier´ıa de Teleco´ n (Plan de Estudios 1992). Por tanto, en ning´ municacio un momento pretenden ser una gu´ıa oficial, ni tan siquiera una pauta a seguir respecto a como debe ser impartida la asignatura. Debemos agradecer la colaboraci´ on de muchos compa˜ neros que han impartido esta asignatura y que, adem´ as de hacerme valiosas sugerencias, han detectado erratas y errores que han sido ya corregidos (aunque somos conscientes de que todav´ıa pueden quedar otros muchos por detectar). Especialmente nuestro agradec´s Yebra, por permitirnos el uso y transcripci´on de sus apuntes sobre el tema de la imiento a L.L. Andre transformaci´ on de Laplace.

i

Contents 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1

1.1

Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Definiciones, interpretaci´ on geom´etrica y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.1

Definiciones b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.2

Interpretaci´ on geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.3

Ejemplos de aplicaciones f´ısicas y matem´aticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Resoluci´ on de ecuaciones de variables separables, lineales y homog´eneas . . . . . . . . . . . .

4

1.3.1

Ecuaciones integrables elementalmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.2

Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.3

Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.4

Ecuaciones homog´eneas: cambio de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.5

Ecuaciones de Bernouilli y de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Aplicaciones: familias de curvas, modelos matem´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Trayectorias ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Modelos de poblaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.3

Desintegraci´ on radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3

1.4

1.5

1.6

Resultados de existencia y unicidad y de dependencia continua de soluciones

. . . . . . . . .

13

1.5.1

Presentaci´ on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.2

Teoremas de existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.3

Dependencia continua de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

M´etodos num´ericos de resoluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6.1

Ideas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6.2

M´etodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6.3

M´etodo de Euler modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6.4

M´etodo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2 Ecuaciones Diferenciales (Lineales) de Orden Superior

ii

19

Ecuaciones Diferenciales.

iii

2.1

Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2

Nociones fundamentales. Ecuaciones lineales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.1

Ecuaciones diferenciales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.2

Ecuaciones diferenciales lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n . . . . . . . . . .

23

2.3.1

Dependencia e independencia lineal de funciones. Wronskiano . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3.2

Soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3.3

Soluci´ on de la ecuaci´ on lineal completa: m´etodo de variaci´on de constantes . . . . . .

27

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.1

Ecuaciones lineales homog´eneas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.4.2

Ecuaciones lineales completas con coeficientes constantes. M´etodo del anulador . . . .

32

Casos particulares y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5.1

Caso particular: ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5.2

Aplicaciones f´ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3

2.4

2.5

3 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

35

3.1

Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2

Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.2.1

Definiciones fundamentales. Teorema de existencia y unicidad de soluciones . . . . . .

35

3.2.2

Sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de orden superior . . .

36

Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3.1

Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3.2

Soluciones de los sistemas de primer orden lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.3.3

Dependencia e independencia lineal de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.3.4

Soluci´ on del sistema lineal homog´eneo. Matriz Fundamental . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.3.5

Soluci´ on del sistema lineal completo. M´etodo de variaci´on de constantes . . . . . . . .

42

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes . . .

42

3.4.1

Ideas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.4.2

Estudio del sistema homog´eneo (con matriz del sistema diagonalizable) . . . . . . . .

43

3.4.3

Estudio del sistema homog´eneo (con matriz del sistema no diagonalizable) . . . . . . .

45

3.4.4

Estudio del caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.3

3.4

4 Estudio Cualitativo de Ecuaciones Diferenciales

49

4.1

Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.2

Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.2.1

49

Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ecuaciones Diferenciales.

4.3

4.4

iv

4.2.2

Puntos de equilibrio. Estabilidad. Comportamiento asint´otico . . . . . . . . . . . . . .

50

4.2.3

´ Espacio de fases. Orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.2.4

Estabilidad y estabilidad asint´otica de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Estabilidad de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.3.1

Estabilidad de sistemas lineales homog´eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.3.2

Estabilidad de sistemas lineales homog´eneos con coeficientes constantes . . . . . . . .

56

4.3.3

Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

4.3.4

Estabilidad de sistemas lineales completos con coeficientes constantes . . . . . . . . .

60

Estabilidad de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

4.4.1

Estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas aut´onomos no lineales . . . . .

62

4.4.2

Estabilidad respecto a variaciones del segundo miembro . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5 La Transformaci´ on de Laplace

65

5.1

Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

5.2

Definiciones b´ asicas y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

5.2.1

Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

5.2.2

Primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

5.2.3

Transformadas de Laplace de algunas funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . .

70

5.2.4

Inversi´ on (por descomposici´on en fracciones simples) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Aplicaci´ on a la resoluci´ on de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.3

5.3.1

Resoluci´ on de problemas de valor inicial de ecuaciones y sistemas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.3.2

Excitaciones discontinuas: Funci´on de Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.3.3

Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

5.3.4

Convoluci´ on y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

6 Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

79

6.1

Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

6.2

Ecuaciones en derivadas parciales y problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

6.2.1

Definiciones b´ asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

6.2.2

Problemas de contorno. Tipos de condiciones de contorno y de valor inicial . . . . . .

80

6.2.3

Clasificaci´ on de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales . . . .

81

Series de Fourier y funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

6.3.1

Series y coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

6.3.2

Convergencia de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

6.3.3

Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

6.3

Ecuaciones Diferenciales.

6.4

v

6.3.4

Extensi´ on a intervalos arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

6.3.5

Funciones ortogonales: series de Fourier generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

6.3.6

Convergencia en media cuadr´atica de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden y su resoluci´on . . . . . . . .

94

6.4.1

M´etodo de separaci´ on de variables. Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . .

94

6.4.2

Ecuaci´ on de ondas (o de la cuerda vibrante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

6.4.3

Ecuaci´ on del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

6.4.4

Ecuaci´ on de Laplace. Problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

Chapter 1

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1.1

Introducci´ on

En el estudio de un problema de Matem´atica Aplicada pueden distinguirse esencialmente tres etapas: la formulaci´ on matem´ atica del problema, la resoluci´on del problema matem´atico y, finalmente, la interpretaci´ on de los resultados obtenidos. Las dos primeras etapas, que constituir´an en principio nuestro objetivo, conducen habitualmente al planteamiento y resoluci´on de ecuaciones diferenciales. En este primer cap´ıtulo se van a considerar las denominadas ecuaciones diferenciales de primer orden (expresadas en la forma normal). En primer lugar se efectuar´ a una presentaci´on general del tema que incluye definiciones b´asicas, ejemplos cl´ asicos e interpretaciones geom´etricas. Se introducir´an, a continuaci´on, los primeros m´etodos anal´ıticos de resoluci´ on para algunos tipos particulares de ecuaciones de primer orden; analizando, tambi´en, algunas aplicaciones de los casos estudiados, mediante la presentaci´on de modelos matem´aticos de ciertos fen´omenos. Seguidamente se estudiar´ an los teoremas de existencia y unicidad de soluciones y su prolongaci´on anal´ıtica y, finalmente, se comentar´ an los primeros m´etodos num´ericos de resoluci´on.

1.2

Definiciones, interpretaci´ on geom´ etrica y ejemplos

1.2.1

Definiciones b´ asicas

Comenzaremos con unas definiciones de car´acter introductorio. Definici´ on 1 Se denomina ecuaci´ on diferencial a una relaci´ on entre una funci´ on (suficientemente derivable), sus variables y una o varias derivadas sucesivas de la funci´ on. Se denomina ecuaci´ on diferencial ordinaria a una ecuaci´ on diferencial en la que la funci´ on depende s´ olo de una variable. En este u ´ltimo caso, se dice que la ecuaci´ on est´ a expresada en forma normal o expl´ıcita sii la derivada de orden superior aparece despejada como funci´ on de todos los dem´ as ingredientes de la ecuaci´ on. En caso contrario se dice que la ecuaci´ on est´ a expresada en forma impl´ıcita 1 . Dada una ecuaci´ on diferencial (ordinaria o no): 1. Se denomina orden de la ecuaci´ on al de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuaci´ on. 1 Es

obvio que toda ecuaci´ on en forma normal puede ser expresada en forma impl´ıcita. Lo contrario no siempre es factible.

1

Ecuaciones Diferenciales.

2

2. Se denomina grado de la ecuaci´ on al exponente de la derivada de mayor orden. Si y = y(x) indica una funci´ on derivable hasta el orden que convenga, una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n (n ∈ N) en forma impl´ıcita es una expresi´on del tipo F (x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n) (x)) = 0 mientras que expresada en forma expl´ıcita adopta la forma y (n) (x) = f (x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n−1) (x)) Comentario: • Como ya se anunci´ o en la introducci´on, en este tema s´olo se tratar´an las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden las cuales, si no se dice lo contrario, se supondr´an expresadas en forma normal. No obstante, las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden expresarse tambi´en en forma diferencial g(x, y)dx + h(x, y)dy = 0 El paso de esta forma a la expl´ıcita (y rec´ıprocamente) se efect´ ua simplemente poniendo f (x, y) = g(x, y) . − h(x, y) Definici´ on 2 Dada una ecuaci´ on diferencial ordinaria F (x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n) (x)) = 0 (o bien y (n) (x) = 0 (n−1) f (x, y(x), y (x), . . . , y (x))): 1. Se denomina soluci´ on particular (o tambi´en integral particular o curva integral) de la ecuaci´ on en el intervalo I ⊂ R a una funci´ on y ≡ φ(x), derivable hasta el orden que convenga en I, tal que F (x, φ(x), φ0 (x), . . . , φ(n) (x)) = 0

o bien

φ(n) (x) = f (x, φ(x), φ0 (x), . . . , φ(n−1) (x))

;

∀x ∈ I

2. Se denomina soluci´ on general (o tambi´en integral general) de la ecuaci´ on en el intervalo I ⊂ R al conjunto de las soluciones (o integrales) particulares de la ecuaci´ on en dicho intervalo. Comentario: • Geom´etricamente hablando, las soluciones de las ecuaciones diferenciales son curvas en R2 . Atendiendo a la definici´ on dada, si y = φ(x) es una soluci´on de una ecuaci´on, dicha curva es, obviamente, graf φ. No obstante, la curva en cuesti´ on es, a menudo, dif´ıcil e incluso imposible de expresar anal´ıticamente en forma expl´ıcita y, por tanto, las soluciones de las ecuaciones diferenciales se presentan con frecuencia en la forma de funciones definidas impl´ıcitamente, Φ(x, y) = 0, Ejemplos: • Ecuaci´ on: y 00 + 4y = 0. Soluci´ on particular: y = sin 2x − 3 cos 2x. Soluci´ on general: y = C1 sin 2x + C2 cos 2x (C1 , C2 ctes.). y2 . 1 − xy Soluci´ on general: xy = ln y + C (C cte.).

• Ecuaci´ on: y 0 =

Definici´ on 3 Dada una ecuaci´ on diferencial de orden n (ordinaria o no):

Ecuaciones Diferenciales.

3

1. Se tiene un problema de valor inicial cuando se conocen los valores de la funci´ on (variable dependiente) y de sus derivadas hasta orden n − 1 en un mismo punto. 2. Se tiene un problema de contorno cuando se conocen los valores de la funci´ on (variable dependiente) y/o de sus derivadas (como m´ aximo hasta orden n − 1) en diferentes puntos. Dar un problema de condiciones iniciales o de contorno para una ecuaci´on diferencial puede permitir obtener una soluci´ on particular de la ecuaci´on. Ejemplos: En el primero de los ejemplos anteriores: • Problema de condiciones iniciales: y(0) = 0, y 0 (0) = 1. Soluci´ on: y =

1 2

sin 2x.

• Problema de contorno: y(0) = 1, y(π/2) = 2. No tiene soluci´ on. • Problema de contorno: y(π/8) = 0, y(π/6) = 1. 2 (sin 2x − cos 2x) . Soluci´ on: y = √ 3−1

1.2.2

Interpretaci´ on geom´ etrica

Toda ecuaci´ on diferencial de primer orden y grado 1, expresada en forma normal, y 0 = f (x, y), se puede interpretar como una expresi´ on que asocia a cada punto (x, y) ∈ R2 en el dominio de la funci´on f , una direcci´ on o, m´ as concretamente, la pendiente de una recta: La tangente a la curva soluci´on en el punto (x, y) en cuesti´ on. De esta manera, una soluci´ on de la ecuaci´on, y = φ(x) ´o Φ(x, y) = 0, es una curva en R2 , cuya 2 pendiente en cada punto (x, y) ∈ R vale justamente f (x, y).

1.2.3

Ejemplos de aplicaciones f´ısicas y matem´ aticas

Es f´ acil comprender por qu´e se presentan tan a menudo ecuaciones diferenciales en los problemas de F´ısica: df si y = f (x) es una funci´ on que representa una magnitud escalar, entonces su derivada representa la tasa dx de cambio de y en relaci´ on con x. En cualquier fen´omeno natural, las variables que aparecen y sus tasas de cambio se relacionan entre s´ı seg´ un los principios b´asicos que rigen el proceso y, cuando esta relaci´ on se expresa mediante s´ımbolos matem´ aticos, el resultado es habitualmente una ecuaci´on diferencial. Ejemplos: 1. 2a ley de Newton: La aceleraci´ on a de un cuerpo de masa m es proporcional a la fuerza F que sobre ´el act´ ua: F = ma. Si la fuerza depende del tiempo t, de la posici´ on del cuerpo en cada instante y(t) y de su velocidad en dy ese instante (t) , esta ley se expresa como dt   d2 y dy m 2 = F t, y(t), (t) dt dt En el caso particular de un cuerpo cayendo libremente bajo la acci´ on de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra (g=cte.), se tiene d2 y m 2 = mg dt Si, adem´ as, el aire presenta una resistencia al movimiento proporcional a la velocidad se tendr´ a m

d2 y dy = mg − k dt2 dt

Ecuaciones Diferenciales.

4

2. Circuitos el´ectricos: Consid´erese un circuito con las siguientes caracter´ısticas: (a) Una fuerza electromotriz (fem) E, suministrada por un generador, que impulsa una carga el´ectrica dQ produciendo una corriente de intensidad I (recu´erdese que I = ) que, dependiendo de las dt caracter´ısticas del generador, puede ser constante o funci´ on del tiempo (pero conocida en cualquier caso). (b) Un resistor de resistencia R que se opone a la corriente, reduciendo la fem en una cantidad ER = RI (Ley de Ohm). (c) Un inductor de inductancia L que se opone a los cambios de corriente, provocando una dismindI uci´ on de la fem EL = L . dt (d) Un condensador de capacidad C que almacena una carga Q, la cual se opone a la entrada de carga Q adicional, provocando una disminuci´ on de la fem Ec = . C De acuerdo con las leyes de Kirchoff se tiene que E − RI − L

Q dI − =0 dt C

y derivando de nuevo respecto al tiempo I dE dI d2 I −R −L 2 − =0 dt dt dt C 3. Ecuaciones de una familia de curvas: Las ecuaciones diferenciales, matem´ aticamente hablando, describen familias de curvas: sus soluciones. Consid´erese, p. ej., la familia de par´ abolas que pasan por el origen, cuya ecuaci´ on es y = Cx2 , 0 derivando respecto a la variable x se obtiene y = 2Cx, y eliminando el factor C de ambas ecuaciones se llega a la ecuaci´ on y y0 = 2 x que expresa la propiedad que caracteriza a esta familia: la pendiente de la recta tangente en un punto cualquiera de estas curvas es el doble de la de la recta que une dicho punto con el origen. En general, si g(x, y, C) = 0 representa una familia de curvas, eliminando C de esta ecuaci´ on y de su derivada ∂g ∂g 0 dg = + y =0 dx ∂x ∂y se obtiene la ecuaci´ on diferencial que caracteriza la familia.

1.3

1.3.1

Resoluci´ on de ecuaciones de variables separables, lineales y homog´ eneas Ecuaciones integrables elementalmente

√ 2 Es bien conocido que ciertas funciones como, p. ej., cos x ´o ex no tienen una primitiva que pueda expresarse por medio de una funci´ on elemental, es decir, una combinaci´on de funciones racionales, trigonom´etricas, exponenciales o inversas de ´estas. Por consiguiente, hay ecuaciones diferenciales del tipo y 0 = f (x, y) para las que, a´ un siendo f una funci´ on dependiente de x u ´nicamente (como son los ejemplos mencionados), no siempre es posible encontrar funciones elementales que sean soluciones de ellas. Entonces: Definici´ on 4 Una ecuaci´ on diferencial se dice que es integrable elementalmente sii tiene soluci´ on y ´esta es expresable por medio de funciones elementales, o bien por primitivas de ´estas que no tienen por que ser necesariamente funciones elementales 2 . 2 Obs´ ervese, por tanto, que toda ecuaci´ on diferencial del tipo y 0 = f (x), donde f es una funci´ on elemental, es integrable elementalmente

Ecuaciones Diferenciales.

5

En los pr´ oximos apartados se van a analizar algunos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden ser integradas elementalmente. Salvo en el caso de la ecuaci´on lineal, para la que se har´ a un tratamiento m´ as preciso, se considerar´ a siempre que todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que convenga, por lo que no se efectuar´an precisiones en ese sentido.

1.3.2

Ecuaciones de variables separadas

Definici´ on 5 Una ecuaci´ on diferencial de variables separadas es una ecuaci´ on de primer orden y 0 = f (x, y) g(x) (siendo en la que la funci´ on f puede expresarse en la forma f (x, y) = g(x)k(y) o bien f (x, y) = h(y) 1 h(y) = ). k(y) De manera equivalente, es toda ecuaci´ on diferencial de primer orden que en forma diferencial se expresa como h(y)dy = g(x)dx (1.1) Resoluci´ on: Proposici´ on 1 La soluci´ on de la ecuaci´ on g(x) dy = dx h(y)

(1.2)

H(y(x)) = G(x) + C

(1.3)

est´ a dada por donde H(y) es una primitiva de h(y), G(x) es una primitiva de g(x) y C es una constante. ( Dem. )

Multiplicando por h(y) la ecuaci´on (1.2) se obtiene h(y)

dy = g(x) dx

d H(y(x)) , por lo que, si G(x) dx es, a su vez, una primitiva de g(x), la integral o soluci´on general de la ecuaci´on (1.2), expresada en forma impl´ıcita, es justamente (1.3). Si es posible despejar de ah´ı la funci´on y(x), se tendr´a la soluci´ on en forma expl´ıcita como y = φ(x, C)

y si H(y) es una primitiva de h(y), el primer miembro es justamente

La manera pr´ actica de proceder consiste en “separar las variables”, escribiendo la ecuaci´on (1.2) en su forma diferencial (1.1) de la que, integrando ambos miembros, se obtiene la soluci´on (1.3) en la forma Z Z h(y)dy = g(x)dx Si se han especificado las condiciones iniciales, y(x0 ) = y0 , es posible obtener la soluci´on particular que las satisface del siguiente modo: H(y0 ) = G(x0 ) + C y eliminando C del sistema formado por esta u ´ltima ecuaci´on y (1.3), se obtiene H(y) − H(y0 ) = G(x) − G(x0 ) o, lo que es lo mismo, Z

y

Z

x

h(y)dy = y0

Ejemplos: • V´ease la colecci´ on de problemas.

g(x)dx x0

Ecuaciones Diferenciales.

1.3.3

6

Ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales constituyen uno de los tipos m´as importantes de ecuaciones diferenciales. Definici´ on 6 Una ecuaci´ on diferencial lineal es una ecuaci´ on en la que la derivada de orden superior es una expresi´ on lineal de la funci´ on y sus otras derivadas de orden inferior 3 ; esto es, dn−1 y dy dn y + f (x) + . . . + f1 (x) + f0 (x)y + f (x) = 0 n−1 n n−1 dx dx dx Se denomina ecuaci´ on homog´enea asociada a la ecuaci´ on lineal (que se llama entonces completa) a dn−1 y dy dn y + fn−1 (x) n−1 + . . . + f1 (x) + f0 (x)y = 0 n dx dx dx En este cap´ıtulo s´ olo se van a analizar las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden: dy + g(x)y = f (x) dx

(1.4)

Comentario: • El apelativo lineal tiene la siguiente justificaci´on: el operador L :=

d + g(x) dx

que asocia a cada funci´ on y(x) la funci´on L(y) := y 0 + g(x)y, es un operador lineal (como se comprueba de inmediato) que act´ ua entre los espacios vectoriales C p (I) y C p−1 (I), con I ⊂ R. En este lenguaje de operadores, la ecuaci´ on (1.4) se expresa pues como L(y) = f (x) Resoluci´ on: Proposici´ on 2 El conjunto de soluciones de la ecuaci´ on (1.4) est´ a dado por yP + Ker L, donde yP es una soluci´ on particular cualquiera de la ecuaci´ on completa y Ker L es, obviamente, el conjunto de soluciones de la ecuaci´ on homog´enea dy + g(x)y = 0 (1.5) dx

( Dem. )

Sea S el conjunto de soluciones de la ecuaci´on completa. Se va a probar que S = {yP + y1 |L(y1 ) = 0}

En primer lugar, yP + Ker L ⊂ S ya que, teniendo en cuenta la linealidad del operador L, ∀y1 ∈ Ker L se tiene que L(yP + y1 ) = L(yP ) + L(y1 ) = f + 0 = f Rec´ıprocamente, S ⊂ yP + Ker L puesto que, ∀y ∈ S soluci´on de la ecuaci´on completa, se tiene que L(y − yP ) = L(y) − L(yP ) = f − f = 0 luego y − yP ∈ Ker L, de donde y = yP + Ker L. As´ı pues, para resolver una ecuaci´ on lineal es preciso conocer la soluci´on general de la ecuaci´ on homog´enea y una soluci´ on particular de la completa. Veamos como se obtienen. 3 Obs´ ervese

que los coeficientes funcionales son funciones de x u ´nicamente.

Ecuaciones Diferenciales.

7

Lema 1 El conjunto de soluciones de la ecuaci´ on lineal homog´enea de primer orden (1.5) es R y = Ce− g(x)dx ≡ Cφ(x) (C ∈ R) por lo que dicho conjunto es un espacio vectorial unidimensional. ( Dem. ) Consid´erese la ecuaci´ on homog´enea (1.5), la cual, asumiendo que y 6= 0, se puede escribir en la forma y0 = −g(x) y que muestra claramente que es de variables separadas, luego integrando Z R ln |y| = − g(x)dx + K ⇒ y = Ce− g(x)dx donde C 6= 0. Sin embargo, al dividir por y se ha eliminado la posibilidad y = 0, que se recupera poniendo que C ∈ R. Lema 2 Una soluci´ on particular de la ecuaci´ on lineal completa de primer orden es Z  f (x) yP = dx φ(x) φ(x) ( Dem. ) Para obtener una soluci´on particular de la ecuaci´on homog´enea se seguir´a el denominado m´etodo de variaci´ on de las constantes (en este caso s´olo hay una), el cual permite, realmente, integrar la ecuaci´ on completa, conocida una soluci´on particular de la homog´enea. El m´etodo consiste en suponer que la soluci´ on de la ecuaci´ on completa es de la forma y(x) = h(x)y1 (x), donde y1 (x) es la soluci´ on conocida de la ecuaci´ on homog´enea. Se obtiene as´ı que f (x) = L(y(x))

= h0 (x)y1 (x) + h(x)y10 (x) + g(x)h(x)y1 (x) = h0 (x)y1 (x) + h(x)(y10 (x) + g(x)y1 (x)) = h0 (x)y1 (x)

por tanto, Z h(x) =

f (x) dx + K y1 (x)

(K ∈ R)

y, dado que se busca una soluci´ on particular, se pueden elegir y1 (x) = φ(x) y K = 0, quedando finalmente Z  Z f (x) f (x) h(x) = dx ⇒ yP (x) = dx φ(x) φ(x) φ(x) Como consecuencia de ambos lemas se concluye: Proposici´ on 3 la soluci´ on general de la ecuaci´ on lineal de primer orden es ! R Z  Z f (x) f (x) R dx φ(x) + Cφ(x) = y= dx + C e− g(x)dx − g(x)dx φ(x) e Ejemplos: • V´ease la colecci´ on de problemas.

(C ∈ R)

Ecuaciones Diferenciales.

1.3.4

8

Ecuaciones homog´ eneas: cambio de variables.

En algunos casos un cambio de variable, ya sea de la variable independiente, de la funci´on o de ambas, puede convertir una ecuaci´ on diferencial dada en otra de integraci´on m´as simple. Realmente, esta t´ecnica ya ha sido utilizada en el apartado anterior cuando, para integrar la ecuaci´ on lineal completa por el m´etodo de variaci´on de las constantes, se ha tomado como nueva funci´on inc´ ognita h(x) = y(x)/y1 (x). En el siguiente caso se muestra otra nueva situaci´on. Definici´ on 7 Una funci´ on f (x, y) es homog´enea de grado n sii f (tx, ty) = tn f (x, y), para todos x, y, t adecuadamente restringidos. Ejemplos: • f (x, y) ≡ x2 + xy es homog´enea de grado 2. p • f (x, y) ≡ x2 + y 2 es homog´enea de grado 1. • f (x, y) ≡ sin xy es homog´enea de grado 0. Definici´ on 8 Una ecuaci´ on diferencial homog´enea (de primer orden) es aquella en cuya expresi´ on en forma normal, y 0 = f (x, y), se tiene que f (x, y) es una funci´ on homog´enea de grado 0 o, equivalentemente, aquella que puede expresarse en forma diferencial g(x, y)dx + h(x, y)dy = 0 siendo g y h funciones homog´eneas del mismo grado Resoluci´ on: La resoluci´ on de este tipo de ecuaciones pasa por efectuar un cambio de variables que las convierte en ecuaciones de variables separadas. En efecto, tomando como punto de partida la ecuaci´on escrita en su forma normal, por ser f (x, y) una funci´ on homog´enea de grado 0 (por definici´on), se tiene que f (tx, ty) = t0 f (x, y) = f (x, y), para todo y(x) t. Tomando, en particular, t = 1/x y denominando z(x) = , se tiene que x f (x, y) = f (tx, ty) = f (1, y/x)) ≡ f (1, z) con lo que la ecuaci´ on diferencial se expresa como dy = f (1, z) ≡ F (z) dx y, dado que y(x) = z(x)x, aplicando la regla de la cadena se tiene que dy dz = x+z dx dx por lo que, en la nueva variable, la ecuaci´on es dz x + z = F (z) dx que es de variables separadas. Ejemplos: • V´ease la colecci´ on de problemas.

⇔

dz F (z) − z = dx x

Ecuaciones Diferenciales.

1.3.5

9

Ecuaciones de Bernouilli y de Riccati

Son sendos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden que se resuelven tambi´en mediante el m´etodo de cambio de variables. (V´eanse los problemas 7 y 3 de la colecci´on). La primera de ellas aparece relacionada con problemas de din´amica de fluidos, mientras que la segunda lo hace en relaci´ on a cuestiones de s´ıntesis en control ´optimo para procesos lineales con coste cuadr´ atico, m´etodos de inclusi´ on invariante en problemas de transporte, etc. Esta u ´ltima constituye el ejemplo m´ as sencillo, e hist´ oricamente el primero, de ecuaci´on no integrable elementalmente.

1.4 1.4.1

Aplicaciones: familias de curvas, modelos matem´ aticos Trayectorias ortogonales

Como primera aplicaci´ on de algunos de los conceptos y procedimientos relativos a ecuaciones diferenciales de primer orden que se han introducido hasta el momento, se va a considerar el problema de hallar las trayectorias ortogonales a una familia de curvas dada. El problema tiene su origen en algunas aplicaciones en las que aparecen dos familias de curvas (planas) que son mutuamente ortogonales; esto es, cada curva de una de las familias es ortogonal en todos sus puntos a cada curva de la otra familia. En tales casos, se dice que cada una de ellas es una familia de curvas ortogonales a la otra. Un ejemplo lo constituyen las curvas equipotenciales de un campo escalar, que son ortogonales a las l´ıneas de fuerza de dicho campo (el campo vectorial gradiente del anterior). Este ejemplo se presenta en multitud de sistemas en F´ısica (p. ej., campos electrost´atico, gravitatorio, etc.). La resoluci´ on de este problema es la siguiente: Proposici´ on 4 La ecuaci´ on diferencial delas trayectorias ortogonales a la familia de curvas que satisface  1 0 la ecuaci´ on F (x, y, y ) = 0 es F x, y, − 0 = 0 . y Como caso particular, si la ecuaci´ on diferencial de la familia de curvas est´ a dada en forma expl´ıcita, 1 0 ) y 0 = f (x, y), la de sus trayectorias ortogonales es y = − f (x, y ( Dem. ) Inmediata, teniendo en cuenta que el que dos curvas sean ortogonales significa que las tangentes a dichas curvas en los puntos de corte son perpendiculares y, por tanto, si y 0 (x) es la pendiente de una de ellas, la de la otra es −1/y 0 (x). De esta manera, obtener las trayectorias ortogonales a una familia de curvas de las cuales se conoce su expresi´ on anal´ıtica f (x, y, C) = 0, requiere los siguientes pasos: 1. Diferenciar la ecuaci´ on f (x, y, C) = 0. 2. Eliminar C del sistema formado por la ecuaci´on y su derivada, para as´ı obtener la ecuaci´on diferencial de la familia. 3. Obtener la ecuaci´ on diferencial de la familia de trayectorias ortogonales aplicando el resultado precedente. 4. Integrar la ecuaci´ on resultante. Ejemplo:

Ecuaciones Diferenciales.

10

• Como ya se vio, la ecuaci´ on diferencial de la familia de par´abolas que pasan por el origen, y = Cx2 , es y x y 0 = 2 . La de sus trayectorias ortogonales ser´a, por consiguiente y 0 = − , que es una ecuaci´ on de x 2y 2 x variables separadas y tiene por soluci´on general y 2 + = C ; esto es, elipses centradas en el origen. 2

1.4.2

Modelos de poblaci´ on

El an´ alisis del problema de tasar el crecimiento de una poblaci´on permite ilustrar las diferentes etapas que se presentan en el estudio de un problema de Matem´atica Aplicada. on p(t) 1. Problema f´ısico: Se trata de obtener una ley que permita predecir el crecimiento de una poblaci´ que var´ıa con el tiempo. 2. Formulaci´ on matem´ atica: La primera dificultad que se encuentra al intentar formular matem´aticamente el problema es que una poblaci´ on s´olo toma valores enteros y, por lo tanto, considerada como funci´ on del tiempo, es una funci´ on discontinua. El problema se solventa observando que, si se trata de una poblaci´ on elevada, la variaci´ on en una unidad es ´ınfima comparada con el n´ umero de individuos que constituye el valor de la poblaci´ on y, por consiguiente, se puede considerar que ´esta var´ıa continua e incluso diferenciablemente con el tiempo. on): En primera aproximaci´on podr´ıa hacerse la hip´ otesis 3. Modelo matem´ atico (Primera aproximaci´ de que “el n´ umero de individuos que nacen y que mueren por unidad de tiempo (un a˜ no, por ejemplo) es proporcional a la poblaci´ on existente”. Designando por β (tasa de natalidad) y γ (tasa de mortandad) a las correspondientes constantes de proporcionalidad, se obtiene pues que ∆p = βp − γp ∆t que, en forma diferencial, conduce a la ecuaci´on dp = αp dt donde α = β − γ es la tasa de crecimiento de la poblaci´on. Esta ecuaci´on es la denominada Ley de Maltus. 4. Resultados matem´ aticos: Si se a˜ nade la condici´on inicial de que en el instante t0 la poblaci´on es p0 , la correspondiente soluci´ on particular se la ecuaci´on es p = p0 eα(t−t0 ) que expresa el hecho de que la poblaci´on crece exponencialmente con el tiempo. 5. Resultados experimentales. Comparaci´on e interpretaci´on: Tomemos el caso de la poblaci´on humana, que desde 1960 a 1970 pas´ o de 3 · 109 a 3, 7 · 109 . Estos datos suponen una tasa de crecimiento que se calcula del siguiente modo: eα10 =

p(1970) p(1960)

⇔

α=

1 p(1970) ln = 0, 0209 ∼ 0, 02 10 p(1960)

con lo cual, tomando t0 = 1970 y p0 = 3, 7 · 109 , se tiene p(t) = 3, 7 · 109 e0,02(t−1970) Comparando los datos obtenidos a partir de esta expresi´on con los experimentales en los tiempos recientes, se observa que hay gran concordancia entre ellos, por lo que parece acertado aceptar la validez de la ley y utilizarla para estimar la poblaci´on futura. Sin embargo, aun cuando los datos estimados para un pr´oximo futuro podr´ıan ser aceptables, veamos que suceder´ıa a m´ as largo plazo. Con la tasa de crecimiento tomada, el modelo prevee que la poblaci´ on se dobla cada 35 a˜ nos; ya que 2p = peαT

⇔

T =

1 ln 2 ∼ 35 α

Ecuaciones Diferenciales.

11

As´ı pues, la poblaci´ on se multiplica por 1000 (por 1024 exactamente) cada 350 a˜ nos y por 106 cada 750 a˜ nos aproximadamente. Esto nos conduce a la intolerable cifra de densidad de poblaci´on de 30 habitantes por metro cuadrado en el a˜ no 2670. 6. Reformulaci´ on matem´ atica: El fallo en el modelo puede estar en que no se ha tenido en cuenta que el espacio disponible es limitado y que cuando ´esto ocurre, los individuos han de competir por los recursos disponibles. on): Para tener en cuenta este hecho, se puede corregir la 7. Modelo matem´ atico (Segunda aproximaci´ ecuaci´ on inicial bas´ andonos en la hip´otesis de que en la disminuci´on del crecimiento de la poblaci´ on influye tambi´en un factor que es proporcional al n´ umero de encuentros entre dos individuos cuyo valor medio es, a su vez, proporcional a p2 . Con ello se tendr´ıa que el crecimiento de la poblaci´on est´a regido por la ecuaci´ on dp = ap − bp2 dt que se conoce con el nombre de ley log´ıstica, y en la que a es la denominada tasa de crecimiento natural en un medio ilimitado. 8. Resultados matem´ aticos: Integrando esta ecuaci´on (es de variables separadas) con la condici´on inicial p(t0 ) = p0 , se tiene ap0 p(t) = bp0 + (a − bp0 )e−a(t−t0 ) Una primera consecuencia que se observa es que lim p(t) =

t→∞

ap0 a = bp0 b

es decir, independientemente de cual sea la poblaci´on inicial p0 , con el transcurso del tiempo la poblaci´ on tiende a estacionarse en el valor l´ımite a/b. Para la poblaci´ on humana se estima el valor a = 0, 029 y se puede calcular b utilizando la tasa real de crecimiento en 1970, α = 0, 02, esto es, comparando el modelo descrito mediante la ley de Maltus (cuyas predicciones para 1970 eran v´alidas) con el modelo actual se tiene que dp dt t0 =1970

=

(a − bp0 )p0 = αp0

⇒

=

a−α = 2, 43 · 10−12 p0

b

⇔

(a − bp0 ) = α

Como comprobaci´ on se puede evaluar la poblaci´on en el a˜ no 1960, obteni´endose p(1960) = 3, 003 · 109 . La poblaci´ on mundial crecer´ıa con el transcurso de t pero teniendo como poblaci´on l´ımite a 0, 029 = = 1, 2 · 1010 b 2, 43 · 10−12 Comentario: • En ninguno de ambos modelos se han tenido en cuenta otros factores, como: fluctuaciones locales o globales de las tasas de crecimiento, epidemias, cat´astrofes naturales, etc.

1.4.3

Desintegraci´ on radiactiva

Experimentalmente se ha comprobado que el ritmo de desintegraci´on de los elementos radiactivos es proporcional a la cantidad de elemento presente. As´ı, si Q(t) designa dicha cantidad en cada instante de tiempo, se tiene que la ley de desintegraci´ on es dQ = KQ dt

(K < 0)

Ecuaciones Diferenciales.

12

ecuaci´ on que tiene por soluci´ on general Q(t) = CeKt

(K < 0)

Si se fija la condici´ on inicial Q(t0 ) = Q0 se obtiene que C = Q0 , esto es, la soluci´on particular Q(t) = Q0 eK(t−t0 )

(K < 0)

(1.6)

Si, adem´ as se conoce Q(t1 ) = Q1 , entonces se puede determinar tambi´en K experimentalmente Q1 = Q0 eK(t1 −t0 )

⇔

K=

ln Q1 − ln Q0 t1 − t0

(y K < 0 ya que Q1 < Q0 ). Para expresar el ritmo de descomposici´on de un elemento radiactivo se utiliza el concepto de vida media, T , que se define como el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de materia presente en una muestra del elemento. El valor de T est´ a relacionado con K del siguiente modo: haciendo t − t0 = T , por definici´ on 1 se tiene que Q(t0 + T ) = Q0 , luego de la ecuaci´on (1.6) se obtiene 2 K=

ln Q20 − ln Q0 − ln 2 = T T

⇔

KT = − ln 2

Una de las principales aplicaciones de esta ley es la dataci´on geol´ogica o arqueol´ogica, para las cuales se emplean elementos de vida media muy larga (como el U 238 con T = 4, 5 · 109 a˜ nos, el K 40 con T = 1, 4 · 109 87 10 a˜ nos o el Rb con T = 6·10 a˜ nos). En este sentido, una de las t´ecnicas m´as fiables y conocidas es la basada en el C 14 (que tiene una vida media T = 5568 a˜ nos), que fue desarrollada a finales de los a˜ nos 40 y principios de los 50 por William Libby (premio Nobel en 1960) y que permite datar de forma fiable acontecimientos con una antiguedad de hasta 50000 a˜ nos. El m´etodo se utiliza para calcular la antiguedad de cualquier objeto de origen org´anico y se basa en las siguientes leyes f´ısicas: el carbono radiactivo C 14 se produce en la alta atm´osfera por acci´on de los rayos c´ osmicos sobre el nitr´ ogeno: N714 + n10 −→ C614 + p11 Puesto que el carbono radiactivo se descompone, a su vez, de nuevo en nitr´ogeno, C614 −→ N714 + e− + ν¯e desde hace muchos milenios se ha alcanzado un estado de equilibrio en la proporci´on de carbono radiactivo y no radiactivo (uno de cada 1012 ´ atomos de carbono es radiactivo). Ambos tipos se hallan presentes en la atm´ osfera en el di´ oxido de carbono, perfectamente mezclados por la acci´on de los vientos. De la atm´ osfera, el carbono radiactivo pasa a fijarse en los tejidos de los seres vivos en esa proporci´on, ya que las plantas toman di´ oxido de carbono de la atm´osfera durante el proceso de la fotos´ıntesis, de ellas pasa a los animales vegetarianos y de ´estos a los carn´ıvoros. Mientras todos estos seres permanecen con vida esta proporci´ on permanece constante, pero al morir dejan de absorber carbono radiactivo y el que contienen sus tejidos va desintegr´ andose, con lo que su cantidad va disminuyendo progresivamente. De este modo, si una muestra de materia org´ anica muerta contiene la mitad que la de una viva, se puede afirmar que vivi´ o hace aproximadamente 5568 a˜ nos, y as´ı progresivamente. Para efectuar los c´ alculos, lo que se mide es el n´ umero de desintegraciones por unidad de tiempo y de materia (p. ej., por minuto y por gramo). En el C 14 se tiene K = −1, 2449 · 10−4 , entonces, derivando ˙ ˙ 0 ) = KQ0 , la ecuaci´ on (1.6) se tiene Q(t) = KQ0 eK(t−t0 ) , de donde, para un tiempo fijado t0 resulta Q(t cantidad que se considera constante para la materia org´anica viva. Dividiendo queda ˙ Q(t) = eK(t−t0 ) ˙ 0) Q(t

⇔

t − t0 =

˙ Q(t) 1 ln ˙ 0) K Q(t

As´ı, p. ej., si una muestra muerta tiene 0, 97 desintegraciones por minuto y gramo y otra viva del mismo material presenta 6, 67, aplicando la f´ ormula anterior se obtiene una edad de 15500 a˜ nos, aproximadamente.

Ecuaciones Diferenciales.

1.5

13

Resultados de existencia y unicidad y de dependencia continua de soluciones

1.5.1

Presentaci´ on del problema

Dada una ecuaci´ on diferencial (de primer orden), en las aplicaciones suele interesar determinar el valor de la soluci´ on para alg´ un valor de la variable, conocido el de la soluci´on para otro valor inicial de la variable independiente. Ello es as´ı porque, habitualmente, la ecuaci´on rige la evoluci´on de un sistema cuyo estado es conocido en un instante inicial dado t0 , y se desea conocerlo en un instante posterior t0 + T . Tal como ya se ha visto, cuando la ecuaci´on diferencial puede ser integrada elementalmente, a partir de su soluci´ on general y = φ(x, C) se determina la soluci´on particular que satisface la condici´on inicial y(x0 ) = y0 para, posteriormente, calcular y(x0 + T ). Todo ello presupone, dado un problema de valor inicial y 0 = f (x, y), y(x0 ) = y0 , 1. Que la ecuaci´ on puede ser integrada elementalmente. 2. La existencia y unicidad de la soluci´on. 3. Que dicha soluci´ on est´ a definida, al menos, en un intervalo [x0 , x0 + T ]. Ello no siempre es cierto, como se ve en los siguientes ejemplos: Ejemplos: • La ecuaci´ on (y 0 )2 + y 2 = 0 s´ olo admite la soluci´ on y(x) = 0, por lo que existe una u ´nica soluci´ on que pasa por (x0 , 0) y ninguna que pase por (x0 , y0 ) con y0 6= 0. • El problema de valor inicial y 0 = y 2/3 , y(0) = 0, no tiene soluci´ on u ´nica, pues por lo menos y1 (x) = (x/3)3 e y2 (x) = 0 son soluciones del problema. 1 junto con y(x) = 0. 1 − Cx2 6 0, pasa una u = ´nica soluci´ on que corresponde al valor

• La soluci´ on general de la ecuaci´ on xy 0 = 2y(y − 1) es y(x) = Por cada  punto (x0 , y0 ), con x0 6= 0, y0 1 1 C = 2 1− . x0 y0

∀x0 , por cada punto (x0 , 0), pasa la u ´nica soluci´ on y(x) = 0. Por el punto (0, 1) pasan infinitas soluciones, todas de la forma y(x) =

1 . 1 − Cx2

Por los puntos (0, y0 ) (con y0 6= 0, 1) no pasa ninguna soluci´ on. As´ı pues, ante un problema de valor inicial, el procedimiento a seguir habr´ıa de ser: 1. Comprobar que admite una u ´nica soluci´on, definida, al menos, en todo el intervalo [x0 , x0 + T ]. 2. Si la ecuaci´ on no es integrable elementalmente, aproximar el valor de y(x0 +T ) (dada la imposibilidad de calcularlo exactamente) pues, en general, en las aplicaciones basta con disponer de un valor aproximado de y(x0 + T ). En esta secci´ on se aborda el estudio del primer punto, mientras que el del segundo queda para la secci´ on siguiente.

1.5.2

Teoremas de existencia y unicidad

El siguiente teorema garantiza la existencia y unicidad de la soluci´on de un problema de valor inicial.

Ecuaciones Diferenciales.

14

Teorema 1 (de Picard de existencia y unicidad local): Consid´erese el problema de valor inicial y 0 = f (x, y)

;

y(x0 ) = y0

(1.7)

y sea el rect´ angulo D = [x0 − a, x0 + a] × [y0 − b, y0 + b] ⊂ R2 (con a, b > 0). Si se verifican las condiciones 1. f (x, y) es una funci´ on continua en D. 2. (Condici´ on de Lipschitz) 4 : Para todo par de puntos (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ D, existe una constante L > 0 tal que |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | Entonces existe una u ´nica soluci´ on del problema, y(x), definida en un cierto intervalo (x0 − δ, x0 + δ) (con 0 < δ ≤ a). ( Dem. ) En primer lugar, obs´ervese que, en virtud de la primera condici´on, f (x, y) est´a acotado en D (por ser D compacto), luego ∃M > 0 tal que |f (x, y)| ≤ M . Teniendo ´esto en cuenta, la demostraci´on (cuyos detalles se omiten) sigue los siguientes pasos: 1. El problema de valor inicial (1.7) puede formularse en forma de ecuaci´on integral Z x y(x) = y0 + f (t, y(t))dt

(1.8)

x0

dy ya que, integrando desde x0 a x la ecuaci´on (1.7) escrita en la forma = f (t, y(t)), se obtiene la dt ecuaci´ on Z x y(x) − y(x0 ) = f (t, y(t))dt x0

y como y(x0 ) = y0 , de aqu´ı se llega a la ecuaci´on (1.8). Rec´ıprocamente, derivando la ecuaci´on integral se obtiene y 0 = f (x, y(x)) y, por otra parte, dicha ecuaci´on, para x = x0 , da y(x0 ) = y0 . 2. Se define la sucesi´ on funcional {yn (x)} (n ∈ {0} ∪ N), definida como y0 (x)

= y0

y1 (x)

= y0 +

Z

x

f (t, y0 (t))dt x0

.. . Z yn+1 (x)

x

= y0 +

f (t, yn (t))dt x0

cuyos elementos se denominan iterantes de Picard. Se demuestra que lim {yn (x)} = y(x) , funci´ on n→∞

l´ımite que est´ a definida en el intervalo (x0 − δ, x0 + δ), siendo δ el menor de los n´ umeros a, b/M . 3. Se prueba que y(x) es soluci´ on de la ecuaci´on (1.8). 4. Se prueba que esa es la u ´nica soluci´on del problema ya que, si z(x) fuera otra soluci´on, llamando φ(x) = y(x) − z(x), se tendr´ıa Z x |φ(x)| = |y(x) − z(x)| = (f (t, y(t))) − f (t, z(t)))dt x0 Z x Z x ≤ L |y(t) − z(t)|dt = L φ(t)dt (1.9) x0

En este punto es necesario el siguiente resultado: 4 Toda

funci´ on que satisfaga esta condici´ on se dice que es lipschitziana.

x0

Ecuaciones Diferenciales.

15

Lema 3 (de Gronwald): Sea φ(x) una funci´ on continua no negativa tal que satisface Z x φ(x) ≤ N + M |x − x0 | + L φ(t)dt

(1.10)

x0

con N, M ≥ 0, L > 0. Entonces  M  L(x−x0 ) e −1 (1.11) L Z x Sea x > x0 (se razona igual si x < x0 ). Poniendo ψ(x) = φ(t)dt , la desigualdad (1.10) φ(x) ≤ N eL(x−x0 ) +

( Dem. )

x0

se escribe ψ 0 (x) − Lψ(x) ≤ N + M (x − x0 ) multiplicandola por e−L(x−x0 ) resulta (ψ 0 (x) − Lψ(x))e−L(x−x0 ) =

d (ψ(x)e−L(x−x0 ) ) ≤ (N + M (x − x0 ))e−L(x−x0 ) dt

e integr´ andola desde x0 a x, al ser ψ(x0 ) = 0, se obtiene ψ(x)e−L(x−x0 ) ψ(x)

N M M (1 − e−L(x−x0 ) ) − (x − x0 )e−L(x−x0 ) − 2 (e−L(x−x0 ) − 1) ⇔ L L L Z x N M M = φ(t)dt ≤ (e−L(x−x0 ) − 1) − (x − x0 ) + 2 (e−L(x−x0 ) − 1) L L L x0

≤

de modo que, sustituyendo en la desigualdad (1.10), se llega a la desigualdad (1.11). Y aplicando este lema con N, M = 0, de la desigualdad (1.9) se obtiene que φ(x) = 0.

N´ otese que para probar la unicidad de la soluci´on ha sido esencial la condici´on de Lipschitz (obs´ervese que en el segundo de los ejemplos del apartado anterior no se verifica, como cabe esperar del hecho de que ∂f 2 = no existe en y = 0). Al respecto de esta condici´on se puede dar el siguiente resultado (que ∂y 3y 1/3 simplifica su evaluaci´ on):

Proposici´ on 5 Sea una funci´ on f (x, y) y D una regi´ on compacta en su dominio. Si

∂f existe y es una ∂y

funci´ on continua en D, entonces se satisface la condici´ on de Lipschitz. ( Dem. )

En efecto, si y1 < y2 , se tiene (teorema del valor medio) f (x, y1 ) − f (x, y2 ) =

∂f (x, ξ) ∂y

(y1 < ξ < y2 )

∂f con lo que, tomando valores absolutos, se verifica la condici´on con L = maxD (x, y) . ∂y El teorema de Picard es insuficiente para resolver el problema planteado (que es calcular y(x0 + T )), ya que s´ olo asegura la soluci´ on en un entorno Iδ (x0 ) = (x0 − δ, x0 + δ) (que puede no contener al punto x0 + T ). No obstante, bajo ciertas condiciones, el intervalo de definici´on de la soluci´on puede ser prolongado del siguiente modo: consid´erese un punto (x1 , y(x1 )), con x1 ∈ Iδ . Si las condiciones del teorema vuelven a verificarse en un cierto rect´ angulo D1 centrado en ese punto, el teorema garantiza la existencia de una u ´nica soluci´ on y1 (x) que pasa por ese punto y est´a definida en un intervalo Iδ1 (x1 ) = (x1 − δ1 , x1 + δ1 ). Pero como la anterior soluci´ on tambi´en pasa por el punto (x1 , y(x1 )), ambas deben coincidir en Iδ ∩ Iδ1 . Si x1 + δ1 > x0 + δ, la nueva soluci´ on permite alargar el intervalo de definici´on de la soluci´on hasta x1 + δ1 . Se dice, en estos casos que se ha obtenido una prolongaci´on de la soluci´on. Es adecuado introducir la siguiente nomenclatura:

Ecuaciones Diferenciales.

16

Definici´ on 9 Dado un problema de valor inicial, se denomina soluci´on maximal del mismo a una soluci´ on cuyo dominio de definici´ on no admite prolongaci´ on alguna. La cuesti´ on est´ a, pues, en determinar cu´al es el m´aximo intervalo en R en el que existe una soluci´ on maximal. El siguiente resultado da condiciones que garantizan la respuesta. ∂f (x, y) son ∂y funciones continuas en un dominio Ω abierto y conexo, y (x0 , y0 ) ∈ Ω; entonces el problema admite una u ´nica soluci´ on maximal y(x), que est´ a definida en un intervalo abierto I ⊂ R. Teorema 2 (de existencia y unicidad): Sea el problema de valor inicial (1.7). Si f (x, y) y

∂f (x, y) son funciones continuas en un dominio Ω abierto y conexo, por cualquier ∂y punto (x0 , y0 ) ∈ Ω pasa una u ´nica soluci´ on de la ecuaci´on, pues basta tomar un rect´angulo cerrado D ⊂ Ω centrado en dicho punto, aplicar el teorema anterior (observar que la condici´on de Lipschitz se cumple ∂f en virtud de la proposici´ on 5, con L = maxD (x, y) ) y utilizar el procedimiento de prolongaci´ on ∂y anteriormente descrito. En efecto, si f (x, y) y

Obs´ervese que siempre se tiene que I ⊆ {x ∈ R | (x, y) ∈ Ω}. En particular, lo m´as interesante ser´ıa que I = R. Por supuesto, para que se d´e este caso es necesario que Ω = R2 . Ejemplo: p • La ecuaci´ on y 0 = 1 − (x2 + y 2 ) no puede tener soluciones definidas fuera del c´ırculo unidad y, con ello, para cualquier soluci´ on maximal se tiene que I ⊆ (−1, 1). No obstante, Ω = R2 no es condici´ on suficiente para garantizar que I = R. En efecto: Ejemplo: ∂f (x, y) = 2y son funciones continuas en R2 ), con la ∂y 1 condici´ on inicial y(0) = 1, tiene por soluci´ on y(x) = en (−∞, 1), y, ya que y(x) no est´ a definida 1−x en x = 1, es imposible prolongarla fuera de ese intervalo.

• La ecuaci´ on y 0 = y 2 (donde f (x, y) = y 2 y

En este ejemplo, el intervalo de definici´on de la soluci´on maximal tiene un extremo finito α = 1 debido a que lim |y(x)| = ∞ . El siguiente teorema (que no se demuestra) enuncia que ´esa es la u ´nica opci´on posible. x→α

∂f (x, y) son funciones ∂y 2 continuas en todo R y el intervalo de definici´ on de una soluci´ on maximal tiene un extremo α, entonces lim |y(x)| = ∞ .

Teorema 3 (de prolongaci´ on): Sea el problema de valor inicial (1.7). Si f (x, y) y

x→α

Concluyendo, nuestro inter´es es garantizar que el problema de valor inicial tenga soluci´on definida, al menos, en [x0 , x0 + T ]. Bajo las anteriores hip´otesis (negando la conclusi´on de este teorema) se tiene garantizado que ello acurrir´ a, en particular, si la soluci´on, caso de estar definida, est´a acotada en dicho intervalo, ya que entonces no puede presentarse la anterior situaci´on. ´s Yebra: Ecuaciones Diferenciales: Notas y Problemas, (V´ease un ejemplo de aplicaci´ on en: J.L. Andre CPET (1995)).

1.5.3

Dependencia continua de las soluciones

En las aplicaciones, los datos del problema de valor inicial son frecuentemente datos experimentales y, por tanto, conocidos con cierta inexactitud. Esto acontece directamente con el valor y0 , que puede ser el resultado

Ecuaciones Diferenciales.

17

de alguna medida del estado del sistema para cierto valor x0 , pero tambi´en sucede con la propia funci´ on f (x, y) cuando, p. ej., ´esta depende de ciertos par´ametros que se determinan experimentalmente (p. ej., a, b en la ley log´ıstica). Por otra parte, en los m´etodos num´ericos s´olo se trabaja con soluciones aproximadas. Para poder garantizar la validez de los c´alculos, se ha de poder conocer y(x0 +T ) con la precisi´on deseada si se aproximan suficientemente y0 y f (x, y). En tal caso, se dice que la soluci´on depende continuamente de los datos. (Se considera T finito. Si T → ∞, la propiedad involucrada es la estabilidad del sistema y/o de las soluciones; tema que ser´ a tratado posteriormente). El siguiente resultado muestra que, bajo las hip´otesis del teorema de existencia y unicidad, se satisface el anterior requisito. Teorema 4 (de dependencia continua): Sea el problema de valor inicial (1.7) con (x0 , y0 ) ∈ Ω, donde Ω es un dominio abierto y conexo, y tal que f (x, y) es continua y lipschitziana (con constante L) en Ω. Para |x − x0 | ≤ T , sean y(x) la soluci´ on exacta y Y (x) una soluci´ on aproximada en el siguiente sentido |Y 0 (x) − f (x, y(x))| ≤ 

,

|Y (x0 ) − y0 | ≤ 0

(para , 0 suficientemente peque˜ nos). Entonces se satisface la desigualdad fundamental |Y (x) − y(x)| ≤ 0 eL|x−x0 | +

 L|x−x0 | (e − 1) L

o,lo que es lo mismo, |Y (x0 + T ) − y(x0 + T )| ≤ 0 eLT +

 LT (e − 1) L

(1.12)

( Dem. ) Sea x > x0 (se razona igual si x < x0 ). La soluci´on exacta y(x) satisface la ecuaci´on integral (1.8), mientras que Y (x) satisface − ≤ Y 0 (x) − f (x, y(x)) ≤  de donde integrando se obtiene Z x Z x Z x 0 − dt ≤ (Y (x) − f (x, y(x)))dt ≤ dt ⇔ x0 x0 x0 Z x −(x − x0 ) ≤ Y (x) − Y (x0 ) − f (x, y(x))dt ≤ (x − x0 ) x0

por lo que restando la ecuaci´ on integral anterior se tiene Z x −(x − x0 ) ≤ Y (x) − y(x) − Y (x0 ) + y0 − (f (x, Y (x)) − f (x, y(x)))dt ≤ (x − x0 ) x0

es decir, Z

x

|Y (x) − y(x) − Y (x0 ) + y0 −

(f (x, Y (x)) − f (x, y(x)))dt| ≤ (x − x0 ) x0

o tambi´en, utilizando que |α − β| ≥ |α| − |β|, |Y (x) − y(x)|

−

|Y (x) − y(x)

| ≤

Z x |Y (x0 ) − y0 | − (f (x, Y (x)) − f (x, y(x)))dt ≤ (x − x0 ) x0 Z x ≤ 0 + (x − x0 ) + (f (x, Y (x)) − f (x, y(x)))dt x Z x0 0 + (x − x0 ) + L |Y (x) − y(x)|dt x0

y, usando la desigualdad de Gronwald, se obtiene el resultado deseado, ∀x. Comentario:

⇔

Ecuaciones Diferenciales.

18

• Puede observarse que la expresi´ on (1.12) da una acotaci´on a la diferencia entre el valor aproximado de la predicci´ on, Y (x0 + T ), y el valor real, y(x0 + T ), en funci´on de las cotas , 0 ; de tal manera que, si estos valores son peque˜ nos y el intervalo en la medida, T , no es muy grande, dicha diferencia tampoco va a ser muy grande. ´s Yebra: Ecuaciones Diferenciales: Notas y Problemas, (V´ease un ejemplo de aplicaci´ on en: J.L. Andre CPET (1995)).

1.6 1.6.1

M´ etodos num´ ericos de resoluci´ on Ideas fundamentales

En anteriores secciones se ha visto c´ omo resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales por m´etodos anal´ıticos. Desgraciadamente ´esto no siempre es posible para todos los tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en la pr´ actica. En estos casos, al igual que sucede en otras ramas de la Matem´atica (como es el caso, p, ej., del c´alculo de integrales definidas mediante el m´etodo de Simpson), hay ciertos m´etodos num´ericos que permiten calcular, con el grado de exactitud que se desee, la soluci´on num´erica de todas las ecuaciones diferenciales de primer orden con una condici´ on inicial dada. Dichos m´etodos se pueden aplicar independientemente de que la ecuaci´ on sea o no integrable anal´ıticamente, en t´erminos de funciones elementales conocidas. Los m´etodos num´ericos m´ as usados son el m´etodo de Euler, el m´etodo de Euler modificado y el m´etodo de Runge-Kutta.

1.6.2

M´ etodo de Euler

(Se explica en las sesiones de Laboratorio. V´ease, por tanto, el gui´on de Pr´acticas.).

1.6.3

M´ etodo de Euler modificado

(Se explica en las sesiones de Laboratorio. V´ease, por tanto, el gui´on de Pr´acticas.).

1.6.4

M´ etodo de Runge-Kutta

(Se explica en las sesiones de Laboratorio. V´ease, por tanto, el gui´on de Pr´acticas.).

Chapter 2

Ecuaciones Diferenciales (Lineales) de Orden Superior 2.1

Introducci´ on

Si en el cap´ıtulo anterior se ha comenzado el estudio de las ecuaciones diferenciales con el an´alisis de las de primer orden, en ´este se van a tratar las ecuaciones diferenciales de orden superior. Comenzaremos dando las nociones fundamentales sobre las ecuaciones diferenciales de orden superior (en particular, las lineales), tales como definiciones b´asicas, teoremas de existencia y unicidad, etc. A continuaci´ on se estudiar´ an las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales (homog´eneas y completas), incluyendo la exposici´ on del m´etodo de variaci´on de constantes para encontrar soluciones particulares de la ecuaci´ on completa. Despu´es se considerar´a el problema de obtener la soluci´on general de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes, para lo cual se analizar´an, primero, las de tipo homog´eneo (estudiandose los diversos casos posibles) y, despu´es, el caso general (incluyendo el m´etodo del anulador para hallar una soluci´ on particular). Tras presentar brevemente alg´ un caso de especial inter´es (ecuaci´on de Euler), se concluir´ a, finalmente, comentando las principales aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden en F´ısica. Igual que en el cap´ıtulo anterior, siempre que no se haga alguna precisi´on m´as concreta, se asumir´ a que todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.

2.2

2.2.1

Nociones fundamentales. Ecuaciones lineales de orden superior Ecuaciones diferenciales de orden n

Definici´ on 10 Una ecuaci´ on diferencial de orden n es toda ecuaci´ on que, expresada en forma impl´ıcita, es del tipo F (x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n) (x)) = 0 o bien, expresada en forma expl´ıcita, y (n) (x) = f (x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n−1) (x)) La soluci´ on general de estas ecuaciones es una familia de curvas cuya expresi´on anal´ıtica depende de n constantes arbitrarias; escribi´endose y = y(x; C1 , . . . , Cn ) en forma expl´ıcita, o f (x, y; C1 , . . . , Cn ) = 0 en forma impl´ıcita. Dichas constantes se determinan una vez dado un conjunto de condiciones iniciales x0

,

y(x0 ) = y0

,

y 0 (x0 ) = y00 19

,

...

,

(n−1)

y (n−1) (x0 ) = y0

Ecuaciones Diferenciales.

20

o bien el correspondiente problema de contorno. El primer resultado fundamental es el que relaciona las ecuaciones diferenciales de orden superior con los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden: Proposici´ on 6 Toda ecuaci´ on diferencial de orden n (expresada en forma normal) y (n) (x) = f (x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n−1) (x)) es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden dy dx dy1 dx

=

y1 (x)

=

y2 (x)

.. . dyn−2 dx dyn−1 dx

=

yn−1 (x)

=

f (x, y1 (x), . . . , yn−1 (x))

(2.1)

donde y(x), y1 (x), . . . , yn−1 (x) son funciones desconocidas. ( Dem. )

Inmediata.

De este modo, resolver la ecuaci´ on diferencial de orden n equivale a resolver el sistema anterior, esto es, a buscar las n funciones y(x), y1 (x), . . . , yn−1 (x). Cada una de ellas contendr´a una constante arbitraria y el total de ´estas se determinar´ a a partir de las condiciones iniciales, que ahora se escribir´an x0

,

y(x0 ) = y00

,

y1 (x0 ) = y10

,

...

,

0 yn−1 (x0 ) = yn−1

La cuesti´ on que se plantea ahora es la de la existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales de orden superior en general. En virtud de la proposici´on precedente ello es equivalente a estudiar la existencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden 1 . Teorema 5 (de existencia y unicidad local para sistemas de 1er orden): Consid´erese el sistema de ecuaciones de primer orden dy1 dx

= f1 (x, y1 (x), . . . , yn (x)) .. .

dyn dx

= fn (x, y1 (x), . . . , yn (x))

con las condiciones iniciales x0

,

y1 (x0 ) = y10

,

...

,

yn (x0 ) = yn0

y sea el rect´ angulo D = [x0 − a, x0 + a] × [y10 − b1 , y10 + b1 ] × . . . × [yn0 − bn , yn0 + bn ] ⊂ Rn+1 (con a, b1 , . . . , bn > 0). Si se verifican las condiciones 1. fi (x; y1 , . . . , yn ) (i = 1, . . . , n) son funciones continuas en D. 1 Aunque los sistemas de ecuaciones ser´ an objeto de estudio en el pr´ oximo cap´ıtulo, adelantamos este resultado por razones obvias.

Ecuaciones Diferenciales.

21

2. Cada una de estas funciones satisface la condici´on de Lipschitz; es decir, para todo par de puntos (x, y10 , . . . , yn0 ), (x, y11 , . . . , yn1 ) ∈ D y ∀i existe una constante L > 0 tal que |fi (x, y11 , . . . , yn1 ) − fi (x, y10 , . . . , yn0 )| ≤ L

n X

|yj1 − yj0 |

j=1

Entonces existe una u ´nica soluci´ on del problema, y1 (x), . . . , yn (x), definida en un cierto intervalo (x0 − δ, x0 + δ) (con 0 < δ ≤ a). ( Dem. )

Sigue los mismos pasos que la del teorema de Picard:

1. fi est´ an acotadas en D (por ser D compacto), luego ∃Mi > 0 tales que |fi (x, y1 , . . . , yn )| ≤ Mi , ∀i. 2. Se construyen las n sucesiones funcionales {yin (x)} (con n ∈ {0} ∪ N e i = 1, . . . , n), definidas como yi0 (x)

= yi0

yi1 (x)

= yi0 +

Z

x

fi (t, y10 (t), . . . , yn0 (t))dt

x0

.. . yin+1 (x)

= yi0 +

Z

x

fi (t, y1n (t), . . . , ynn (t))dt

x0

Se demuestra que lim {yin (x)} = yi (x) , funciones l´ımite que est´an definidas en un intervalo (x0 − n→∞

δ, x0 + δ) (δ depende de todas las constantes involucradas en el teorema). 3. Se prueba que yi (x) constituyen la soluci´on del sistema. 4. Se prueba que esa es la u ´nica soluci´on del problema (usando la condici´on de Lipschitz).

Comentarios: • An´ alogamente al resultado para funciones de dos variables, se tiene ahora el siguiente: Sea una funci´ on f (x, y1 , . . . , yn ) y D ⊂ Rn+1 una regi´on compacta en su dominio. Si, ∀i (i = 1, . . . , n), ∂f existen y son funciones continuas en D, entonces f satisface la condici´on de Lipschitz. ∂yi • En el caso de las n − 1 primeras ecuaciones del sistema (2.1), los segundos miembros, fi (x, y1 , . . . , yn ), son funciones continuas que tienen derivadas parciales continuas en D; por consiguiente para que se verifiquen las hip´ otesis del teorema de existencia y unicidad en este caso, basta con que las cumplan la funci´ on f del segundo miembro de la u ´ltima ecuaci´on. • Los resultados sobre prolongaci´ on de soluciones y de existencia y unicidad de soluci´on maximal se establecen de manera an´ aloga a como se estudi´o en el cap´ıtulo anterior para las ecuaciones de primer orden. • Tambi´en se pueden extender estos resultados a ecuaciones diferenciales de variable compleja y la funci´ on f anal´ıtica.

2.2.2

Ecuaciones diferenciales lineales de orden n

Dentro del conjunto de las ecuaciones diferenciales de orden superior, prestaremos especial atenci´on a las lineales.

Ecuaciones Diferenciales.

22

Definici´ on 11 Una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n es una ecuaci´ on de orden n que es una expresi´ on lineal de la funci´ on y sus derivadas 2 ; por tanto, tiene la forma fn (x)

dn−1 y dy dn y + f (x) + . . . + f1 (x) + f0 (x)y + f (x) = 0 n−1 n n−1 dx dx dx

Se denomina ecuaci´ on lineal homog´enea de orden n (asociada o no a una ecuaci´on lineal completa) a toda ecuaci´ on lineal en la que f (x) = 0; esto es, fn (x)

dn−1 y dy dn y + fn−1 (x) n−1 + . . . + f1 (x) + f0 (x)y = 0 n dx dx dx

Si fn (x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b], entonces la ecuaci´ on se puede expresar en forma normal fn−1 (x) dn−1 y f1 (x) dy dn y f0 (x) f (x) = − − ... − − y− =0 n n−1 dx fn (x) dx fn (x) dx fn (x) fn (x) que habitualmente escribiremos dn−1 y dy dn y + F (x) + . . . + F1 (x) + F0 (x)y = F (x) n−1 dxn dxn−1 dx

(2.2)

Los puntos en los que fn (x) = 0 se denominan puntos singulares de la ecuaci´ on lineal. Al igual que ya se hizo con la ecuaci´on lineal de primer orden, se puede traducir la ecuaci´on lineal al lenguaje de operadores. As´ı, si se considera el espacio de las funciones en R infinitamente derivables, C∞ (R), se puede definir el operador de derivaci´ on D

:

C∞ (R) −→ y 7→

C∞ (R) y0

y se puede escribir y = D0 (y) ≡ I(y), y 0 = D1 (y), y 00 = D2 (y), . . . ,y (n) = Dn (y). A partir de aqu´ı, se introduce el operador L := Dn + Fn−1 Dn−1 + . . . + F0 I del cual puede probarse con facilidad que es lineal, y que permite escribir la ecuaci´on (2.2) como L(y) = F (x) (con lo que el nombre dado queda justificado). Se plantea ahora la cuesti´ on de la de la existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. A´ un cuando sigue vigente el teorema 5, en este caso concreto se puede precisar algo m´ as. Teorema 6 (de existencia y unicidad para ecuaciones lineales): Consid´erese la ecuaci´ on (2.2) con la condici´ on inicial y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x) = yn−1 y tal que las funciones F (x), F0 (x), . . . , Fn−1 (x) son continuas en un cierto intervalo I = (x0 − a, x0 + a) (con 0 < a). Entonces existe una u ´nica soluci´ on y = y(x) definida en el intervalo I, que es derivable con continuidad hasta el orden n. ( Dem. )

Expresando la ecuaci´ on lineal en forma normal dn y dn−1 y dy = −Fn−1 (x) n−1 + . . . − F1 (x) − F0 (x)y + F (x) ≡ G(x, y, y 0 , . . . , y n−1 ) n dx dx dx

2 Obs´ ervese

que los coeficientes funcionales son funciones de x u ´nicamente.

Ecuaciones Diferenciales.

23

∂G = Fi ∂y (i) , por lo que son aplicables los teoremas generales de existencia y unicidad, concluy´endose, pues, que el problema de valor inicial dado tiene una u ´nica soluci´on maximal y(t) definida en un cierto intervalo abierto. Ahora se trata de comprobar que dicho intervalo es I. dado que las funciones Fi (x) (i = 0, 1, . . . , n − 1) son continuas por hip´otesis, tambi´en lo son G y

Por simplicidad, se har´ a la demostraci´on para el caso de la ecuaci´on lineal de primer orden. Se comienza comprobando que, dado T > 0, la soluci´ on est´a definida para todo x ∈ [x0 , x0 + T ]. En efecto, a partir de la expresi´ on (1.8), que en este caso es Z x (−g(t)y(t) + f (t))dt y(x) = y0 + x0

se obtiene

Z

x

|y(x)| ≤ |y0 | +

Z

x

|g(t)||y(t)|dt + x0

|f (t)|dt x0

por lo que, llamando φ(x) = |y(x)| y con L = maxI |g(x)|, M = maxI |f (x)|, se tiene Z x φ(x) ≤ |y0 | + L φ(t)dt + M (x − x0 ) x0

y utilizando el lema de Gronwald, φ(x) = |y(x)| ≤ |y0 |eL(x−x0 ) +


M LT M  L(x−x0 ) e − 1 = |y0 |eLT + e −1 L L

acotaci´ on que prueba que la soluci´ on maximal est´a definida en el intervalo [x0 , x0 + T ] y como esto vale para cualquier T , se ha demostrado que y(x) est´a definida para todo x ≥ x0 en I. De igual manera se probar´ıa que lo est´ a tambi´en para todo x ≤ x0 en I, luego se concluye que existe soluci´on maximal en I y, en particular, en todo R, si I = R. Comentario: • Es importante resaltar que, si los coeficientes funcionales son continuos en todo R, entonces la existencia de la soluci´ on est´ a garantizada tambi´en en todo R. Sobre la resoluci´ on de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se tiene el mismo resultado que para las de primer orden: Proposici´ on 7 El conjunto de soluciones de la ecuaci´ on (2.2) est´ a dado por yP + yH , donde yP es una soluci´ on particular cualquiera de la ecuaci´ on completa e yH es la soluci´ on general de la ecuaci´ on homog´enea asociada. ( Dem. )

2.3

2.3.1

An´ aloga a la de la proposici´ on 2.

Estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n Dependencia e independencia lineal de funciones. Wronskiano

Antes de tratar el estudio de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, es preciso introducir algunos conceptos y resultados sobre dependencia e independencia lineal de funciones. Definici´ on 12 Dado un conjunto de funciones {y1 (x), . . . , yn (x)} definidas en el mismo dominio D ⊆ R, estas funciones son linealmente independientes en D sii se cumple que, ∀x ∈ D, α1 y1 (x) + . . . + αn yn (x) = 0 con α1 , . . . , αn ∈ R.

⇐⇒

α1 = . . . = αn = 0

Ecuaciones Diferenciales.

24

Enunciaremos, a continuaci´ on, algunas condiciones suficientes para garantizar la independencia lineal de funciones. Dado el conjunto de funciones {y1 (x), . . . , yn (x)} en D, se observa, en primer lugar que, si se verifica que, ∀x ∈ D, α1 y1 (x) + . . . + αn yn (x) = 0 para algunos α1 , . . . , αn ∈ R, entonces tambi´en se cumplen las siguientes relaciones, ∀x ∈ D, α1 y1 (x) + . . . + αn yn (x)

=

0

α1 y10 (x) + . . . + αn yn0 (x)

= .. .

0

=

0

(n−1)

α1 y1

(x) + . . . + αn yn(n−1) (x)

(2.3)

Definici´ on 13 Sea un conjunto de funciones {y1 (x), . . . , yn (x)} definidas en el mismo dominio D ⊆ R. La matriz asociada al sistema (2.3)  y (x) ... yn (x)  1 ... yn0 (x)   y10 (x)   . ..   .. . (n−1) (n−1) y1 (x) . . . yn (x) se denomina matriz wronskiana del conjunto y su determinante en cada punto x ∈ D, que denotaremos por W (x) = W (y1 (x), . . . , yn (x)), recibe el nombre de wronskiano. Con esta nomenclatura el primero de los resultados anunciados, que se obtiene como consecuencia directa de lo expuesto, es el siguiente: Proposici´ on 8 Sea el conjunto de funciones {y1 (x), . . . , yn (x)} en D. Si W (y1 (x), . . . , yn (x)) 6= 0 para alg´ un x ∈ D, entonces las funciones y1 (x), . . . , yn (x) son linealmente independientes en D. Equivalentemente, si y1 (x), . . . , yn (x) son linealmente dependientes en D entonces W (y1 (x), . . . , yn (x)) = 0, para todo x ∈ D. ( Dem. ) En efecto, si W (y1 (x), . . . , yn (x)) 6= 0 para alg´ un x ∈ D, entonces la u ´nica soluci´on posible del sistema (2.3) en ese punto es que α1 = . . . = αn = 0 y, por tanto, en cualquier otro punto de D se tendr´ a que α1 y1 (x) + . . . + αn yn (x) = 0 con α1 = . . . = αn = 0, luego las funciones y1 (x), . . . , yn (x) son linealmente independientes en D. El rec´ıproco de este enunciado no es cierto, en general (v´ease el ejemplo en el pr´oximo comentario), a menos que se imponga alguna hip´ otesis adicional, tal como enuncia el siguiente resultado que relaciona el concepto de independencia lineal con las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homog´eneas. Teorema 7 Sea el conjunto de funciones {y1 (x), . . . , yn (x)} en un intervalo I ⊂ R. Si y1 (x), . . . , yn (x) son linealmente independientes en I y adem´ as son soluciones de una ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea L(y) = 0, cuyos coeficientes Fi (x) son funciones continuas, entonces W (y1 (x), . . . , yn (x)) 6= 0, ∀x ∈ I, ( Dem. ) Sup´ ongase que W (y1 (x0 ), . . . , yn (x0 )) = 0 para alg´ un x0 ∈ I. Entonces, se pueden elegir las constantes αi de manera que se satisfaga el sistema de ecuaciones (2.3) y tales que no todas ellas sean nulas (ya que al ser el determinante del sistema nulo en alg´ un punto, existen soluciones no triviales del mismo). Para tales valores de las constantes, la combinaci´on lineal y(x) = α1 y1 (x) + . . . + αn yn (x) es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´enea dada (v´ease el teorema 8) y, en virtud de las ecuaciones (2.3), satisface adem´ as las condiciones iniciales y(x0 ) = 0

,

y 0 (x0 ) = 0

,...,

y n−1 (x0 ) = 0

Ecuaciones Diferenciales.

25

Pero tambi´en estas condiciones iniciales son satisfechas por la soluci´on trivial y(x) = 0, luego, en virtud del teorema de existencia y unicidad, ´esta es la u ´nica soluci´on posible y, por tanto y(x) = α1 y1 (x) + . . . + αn yn (x) = 0 por lo que y1 (x), . . . , yn (x) han de ser linealmente dependientes, en contra de la hip´otesis. Comentario: • Si las funciones y1 (x), . . . , yn (x) linealmente independientes no son soluciones de una ecuaci´on lineal homog´enea, pueden tener el wronskiano nulo, no s´olo en algunos puntos, sino id´enticamente en todo I. Ejemplo: En I = [0, 2] consid´erense las funciones  (x − 1)2 si 0 ≤ x ≤ 1 y1 (x) = ; 0 si 1 ≤ x ≤ 2

 y2 (x) =

0 (x − 1)2

si 0 ≤ x ≤ 1 si 1 ≤ x ≤ 2

Evidentemente W (y1 (x), y2 (x)) = 0, ∀x ∈ I. Sin embargo, se trata de dos funciones linealmente independientes, ya que la igualdad α1 y1 (x) + α2 y2 (x) = 0, considerada en el segmento 0 ≤ x < 1, da como soluci´ on α1 = 0; mientras que considerada en el segmento 1 < x ≤ 2, da como soluci´ on α2 = 0; por consiguiente α1 = α2 = 0.

2.3.2

Soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homog´ enea

Una vez aclarados los puntos precedentes, se puede iniciar ya el estudio de las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n. En primer lugar se tiene: Teorema 8 (Principio de superposici´ on): Si y1 (x), . . . , ym (x) son soluciones (particulares) de la ecuaci´ on lineal homog´enea L(y) = 0 en un dominio I ⊆ R, entonces cualquier combinaci´ on lineal de ellas, y(x) = m X ci yi (x) , es tambi´en soluci´ on de dicha ecuaci´ on. i=1

( Dem. )

Es una consecuencia trivial de la linealidad del operador L.

Teniendo ´esto en cuenta, el siguiente paso es: Teorema 9 Sea L(y) = 0 una ecuaci´ on lineal homog´enea de orden n cuyos coeficientes F0 (x), . . . , Fn−1 (x) son funciones continuas en un intervalo I ⊂ R. Entonces, el conjunto de soluciones de dicha ecuaci´ on (esto es, ker L) es un espacio vectorial de dimensi´ on n. ( Dem. ) Evidentemente el n´ ucleo de un operador lineal es un espacio vectorial. Hay que comprobar que su dimensi´ on es n. Sea x0 ∈ I. Consid´erense los siguientes problemas de valores iniciales L(y(x)) = 0

y(x0 ) = 1, y 0 (x0 ) = 0, . . . , y (n−1) (x0 ) = 0

L(y(x)) = 0

y(x0 ) = 0, y 0 (x0 ) = 1, . . . , y (n−1) (x0 ) = 0 .. .

L(y(x)) = 0

y(x0 ) = 0, y 0 (x0 ) = 0, . . . , y (n−1) (x0 ) = 1

como se satisfacen las condiciones del teorema de existencia y unicidad, existe soluci´on u ´nica para cada uno de ellos. Sean y1 (x), . . . , yn (x) ∈ C∞ (I) las soluciones respectivas, las cuales satisfacen obviamente que W (y1 (x0 ), . . . , yn (x0 )) = 1 6= 0, luego son linealmente independientes en I y, por tanto dim ker L ≥ n.

Ecuaciones Diferenciales.

26

Probemos, seguidamente, que {y1 (x), . . . , yn (x)} es una base de ker L. Sea y ∈ ker L; esto es, tal que n X L(y) = 0, y sup´ ongase que y(x0 ) = λ1 , y 0 (x0 ) = λ2 , . . . , y (n−1) (x0 ) = λn . La funci´on y(x) = λi yi (x) i=1

tambi´en es soluci´ on de L(y) = 0 y satisface las condiciones iniciales dadas, luego por el teorema de existencia y unicidad, es la soluci´ on ∀x ∈ I. As´ı pues, {y1 (x), . . . , yn (x)} es base de ker L y, por consiguiente, dim ker L = n. De este modo, hallar la soluci´ on general de una ecuaci´on lineal homog´enea con coeficientes continuos pasa por encontrar n soluciones particulares linealmente independientes. Ello da origen a la siguiente definici´ on: Definici´ on 14 Se denomina sistema fundamental de soluciones de una ecuaci´ on lineal homog´enea de orden n (cuyos coeficientes sean funciones continuas en un intervalo I = [a, b] ⊂ R) a cualquier conjunto de n soluciones particulares linealmente independientes. El conocimiento de un conjunto de n soluciones linealmente independientes define de manera un´ıvoca la ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea de la cual ese conjunto es un sistema fundamental de soluciones, ya que: Teorema 10 Sean dos ecuaciones lineales homog´eneas con coeficientes continuos en un intervalo I ⊂ R L1 (y) ≡ L2 (y) ≡

dn−1 y dy dn y + Fn−1 (x) n−1 + . . . + F1 (x) + F0 (x)y = 0 n dx dx dx dn y dn−1 y dy + G (x) + . . . + G1 (x) + G0 (x)y = 0 n−1 n n−1 dx dx dx

tales que tienen un mismo sistema fundamental de soluciones {y1 (x), . . . , yn (x)}. Entonces Fi (x) = Gi (x), ∀x ∈ I (ambas ecuaciones son iguales). ( Dem. )

En efecto, si y1 (x), . . . , yn (x) son soluciones de ambas ecuaciones tambi´en lo son de su diferencia

0 = L1 (y) − L2 (y) = (Fn−1 (x) − Gn−1 (x))

dn−1 y dy + . . . + (F1 (x) − G1 (x)) + (F0 (x) − G0 (x))y dxn−1 dx

y si Fn−1 (x) 6= Gn−1 (x) se tendr´ıa una ecuaci´on lineal homog´enea de orden n − 1 con n soluciones linealmente independientes, en contradicci´ on con el teorema anterior, luego Fn−1 (x) = Gn−1 (x). Iterando el razonamiento se llega al mismo resultado para el resto de coeficientes. El procedimiento para hallar la ecuaci´on lineal homog´enea definida por un sistema fundamental de soluciones es como sigue: Sea {y1 (x), . . . , yn (x)} un conjunto que es sistema fundamental de soluciones de una ecuaci´on homog´enea L(y) = 0 en I = [a, b] (por tanto son funciones derivables con continuidad hasta el orden que haga falta). Necesariamente (teorema 7) W (y1 (x), . . . , yn (x)) 6= 0, ∀x ∈ I. Sea y(x) otra soluci´on cualquiera de la ecuaci´ on, entonces y1 (x), . . . , yn (x), y(x) son linealmente dependientes en I y, por tanto, ∀x ∈ I, y1 (x) ... yn (x) y(x) y10 (x) ... yn0 (x) y 0 (x) .. .. W (y1 (x), . . . , yn (x), y(x)) = =0 . . (n−1) (n−1) (n−1) y1 (x) (n) (x) . . . yn (n) (x) y y (x) ... yn (x) y (n) (x) 1 (obs´ervese que la u ´ltima columna es una combinaci´on lineal de las anteriores). Desarrollando el determinante por la u ´ltima columna se obtiene, por tanto, una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea fn (x)

dn−1 y dy dn y + fn−1 (x) n−1 + . . . + f1 (x) + f0 (x)y = 0 n dx dx dx

Ecuaciones Diferenciales.

27

donde fn (x) = W (y1 (x), . . . , yn (x)) 6= 0, ∀x ∈ I, y el resto de los coeficientes son los determinantes de las submatrices de orden n que aparecen en el desarrollo del determinante. Por tanto, dividiendo por fn (x) queda dn−1 y dy dn y + F (x) + . . . + F1 (x) + F0 (x)y = 0 n−1 dxn dxn−1 dx que es una ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea con coeficientes Fi (x) continuos, ya que son productos y sumas de las funciones yi (x). A partir de aqu´ı se obtiene el siguiente resultado: Proposici´ on 9 Sea {yp (x), y1 (x), . . . , yn (x)} un conjunto de funciones tales que: 1. yp (x) es una soluci´ on particular de una ecuaci´ on lineal con coeficientes continuos, L(y) = F (x) en I = [a, b]. 2. {y1 (x), . . . , yn (x)} es un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´ on homog´enea L(y) = 0 en I = [a, b]. Entonces dicho conjunto de funciones determina un´ıvocamente la ecuaci´ on lineal completa L(y) = F (x) ( Dem. ) En efecto, el conjunto {y1 (x), . . . , yn (x)} determina, de manera un´ıvoca, la ecuaci´on homog´enea seg´ un el procedimiento descrito; esto es, el operador L(y). Entonces F (x) se determina haciendo L(yp ) = F (x). (V´ease un ejemplo de aplicaci´ on en la colecci´on de problemas). Comentario: • En las condiciones de aplicaci´ on de los anteriores teoremas, el conocimiento de una soluci´on particular ´ de la ecuaci´ on homog´enea permite reducir el orden del problema en una unidad. Este procedimiento se conoce con el nombre de m´etodo de D’Alembert, y se va a ilustrar con la ecuaci´on lineal homog´enea de 2o orden y 00 + f1 (x)y 0 + f0 (x)y = 0 Si yp (x) es una soluci´ on particular, haciendo el cambio de variable y = zyp se tiene que y 0 = zyp0 + z 0 yp 0 0 00 00 y y = zyp + 2z yp + z 00 yp , luego sustituyendo en la ecuaci´on 0

=

y 00 + f1 (x)y 0 + f0 (x)y = zyp00 + 2z 0 yp0 + z 00 yp + f1 zyp0 + f1 z 0 yp + f0 zyp

=

z(yp00 + f1 yp0 + f0 yp ) + 2z 0 yp0 + z 00 yp + f1 z 0 yp = z 00 yp + z 0 (2yp0 + f1 yp )

y esta es una ecuaci´ on lineal homog´enea de primer orden para la funci´on u = z 0 .

2.3.3

Soluci´ on de la ecuaci´ on lineal completa: m´ etodo de variaci´ on de constantes

Analicemos, ahora, el problema de hallar la soluci´on de la ecuaci´on lineal completa. El m´etodo que vamos a presentar consiste en obtener dicha soluci´on a partir de n soluciones linealmente independientes conocidas de la ecuaci´ on lineal homog´enea asociada. De acuerdo con lo expuesto anteriormente, si se tiene una ecuaci´on lineal de orden n (con coeficientes continuos), L(y) = F (x), y un sistema fundamental de soluciones {y1 (x), . . . , yn (x)}, de la ecuaci´on lineal homog´enea asociada L(y) = 0, la soluci´ on general de esta u ´ltima ecuaci´on es una combinaci´on lineal yH (x) = n X ci yi (x) , por lo que para tener la soluci´on general de la ecuaci´on lineal completa basta con obtener una i=1

soluci´ on particular de la misma (proposici´on 7). Entonces:

Ecuaciones Diferenciales.

28

Proposici´ on 10 Sea una ecuaci´ on lineal de orden n (con coeficientes continuos), L(y) = F (x), y sea {y1 (x), . . . , yn (x)} un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´ on lineal homog´enea asociada L(y) = 0. Entonces, una soluci´ on particular de la ecuaci´ on lineal completa es la combinaci´ on lineal (con coeficientes funcionales) n X yP (x) = Ci (x)yi (x) i=1

donde las funciones Ci (x) son la soluci´ on del sistema     0  y1 (x) ... yn (x) C1 (x) 0 .     .. .. .    ..  =  ..  . . (n−1) (n−1) F (x) y1 (x) . . . yn Cn0 (x) (x)

(2.4)

( Dem. ) La demostraci´ on se basa en la aplicaci´on del m´etodo de variaci´ on de constantes o de Lagrange. P n El m´etodo consiste en suponer que una soluci´on particular es yP (x) = on que, i=1 Ci (x)yi (x); expresi´ poniendo C(x) = (C1 (x), . . . , Cn (x)) e Y(x) = (y1 (x), . . . , yn (x)), se puede escribir en forma compacta como yP (x) = hC(x), Y(x)i

(2.5)

teni´endose que L(Y(x)) ≡ L(y1 (x), . . . , yn (x)) = (0, . . . , 0) ≡ 0 Derivando la expresi´ on (2.5) se obtiene yP0 (x) = hC0 (x), Y(x)i + hC(x), Y0 (x)i y, dado que buscamos una soluci´ on particular, se pueden, en principio, elegir las funciones {Ci (x)} de manera que hC0 (x), Y(x)i = 0. A partir de aqu´ı, derivando sucesivamente y tomando en cada paso hC0 (x), Y(i−1) (x)i = 0 se obtiene yP0 (x) yP00 (x) (n)

yP (x)

= = .. .

hC0 (x), Y(x)i + hC(x), Y0 (x)i hC0 (x), Y0 (x)i + hC(x), Y00 (x)i

hC0 (x), Y(x)i = 0 hC0 (x), Y0 (x)i = 0

con con

= hC0 (x), Y(n−1) (x)i + hC(x), Y(n) (x)i

Sustituyendo ahora en la ecuaci´ on diferencial lineal resulta L(yP (x)) ≡ =

dn−1 yP dyP dn yP + F (x) + . . . + F1 (x) + F0 (x)yP n−1 n n−1 dx dx dx hC(x), Y(n) (x)i + hC0 (x), Y(n−1) (x)i + Fn−1 (x)hC(x), Y(n−1) (x)i + . . . + F1 (x)hC(x), Y0 (x)i + F0 (x)hC(x), Y(x)i

=

hC(x), Y(n) (x)i + Fn−1 (x)hC(x), Y(n−1) (x)i + . . . + F0 (x)hC(x), Y(x)i + hC0 (x), Y(n−1) (x)i

= hC(x), Y(n−1) (x)i = F (x) Pn luego para que yP (x) = i=1 Ci (x)yi (x) sea soluci´on de la ecuaci´on lineal completa es suficiente con que se satisfagan las siguientes condiciones hC0 (x), Y(x)i = 0

0

hC (x), Y (x)i = .. . hC0 (x), Y(n−1) (x)i =

0 0

F (x)

As´ı pues, el vector C(x) est´ a completamente determinado como soluci´on del sistema (2.4) hC0 (x), Y(x)i hC0 (x), Y(n−1) (x)i

≡ .. .

C10 (x)y1 (x) + . . . + Cn0 (x)yn (x) (n−1)

≡ C10 (x)y1

(n−1)

(x) + . . . + Cn0 (x)yn

= .. . (x)

0

= F (x)

Ecuaciones Diferenciales.

29

(que es compatible y determinado, ya que {y1 (x), . . . , yn (x)} es un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´ on homog´enea y, por tanto, W (y1 (x), . . . , yn (x)) 6= 0, ∀x ∈ I, luego existe soluci´on C0 (x) y de aqu´ı C(x)). (V´ease un ejemplo de aplicaci´ on en la colecci´on de problemas). Llegados a este punto est´ a claro que lo u ´nico que queda por hacer para tener la soluci´on general de una ecuaci´ on lineal de orden n es conocer un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on lineal homog´enea asociada. Obtener tal sistema no es, en general, un problema elemental, salvo cuando los coeficientes son constantes, tal como vamos a ver en la siguiente secci´on. Para finalizar, es conveniente se˜ nalar que tambi´en para las ecuaciones lineales completas se puede establecer un principio de superposici´ on de soluciones, en el siguiente sentido: Proposici´ on 11 Sean L(y) = F1 (x), . . . , L(y) = Fn (x) ecuaciones diferenciales lineales. Si y1 (x), . . . , yn (x) son soluciones respectivas de ellas, entonces y1 (x) + . . . + yn (x) es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal L(y) = F1 (x) + . . . + Fn (x) ( Dem. )

2.4 2.4.1

Trivial.

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Ecuaciones lineales homog´ eneas con coeficientes constantes

Comenzaremos el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales (de orden n) con coeficientes constantes con el caso de las ecuaciones homog´eneas. Se trata, pues, de resolver la ecuaci´on del tipo dn y dn−1 y dy + an−1 n−1 + . . . + a1 + a0 y = 0 n dx dx dx con a0 , . . . an−1 ∈ R. En forma abreviada, y como ya es costumbre, escribiremos L(y) = 0, donde en este caso el operador lineal L es L := Dn + an−1 Dn−1 + . . . + a1 D + a0 I Entonces se define: Definici´ on 15 La ecuaci´ on p(x) := xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0 se denomina ecuaci´ on caracter´ıstica y el polinomio p(x) es el polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea dada. Y para hallar un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on diferencial lineal se utiliza el siguiente ´ teorema de Algebra lineal: Teorema 11 (de la 1a descomposici´ on): Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo K y F: E → E un endomorfismo. Sea p(x) ∈ K(X) un polinomio y p(x) = p1 (x) . . . pr (x) una descomposici´ on tal que m.c.d. (pi (x), pj (x)) = 1, ∀i, j. Entonces Ker p(F) := Ker p1 (F) ⊕ . . . ⊕ Ker pr (F) donde los subespacios Ker pi (F) son invariantes por F.

Ecuaciones Diferenciales.

30

En el caso que nos ocupa E = C∞ (R), K = R, F = D y p(x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 es un polinomio que anula D en Ker L; es decir, p(D)(y) = 0, ∀y ∈ Ker L; o lo que es lo mismo, p(D)(y) = L(y). Entonces hay que distinguir los siguientes casos: p(x) tiene n ra´ıces reales simples En este caso resulta: Proposici´ on 12 Si la ecuaci´ on caracter´ıstica de una ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea de orden n tiene n ra´ıces reales distintas λ1 , . . . , λn ∈ R, entonces {eλ1 x , . . . , eλn x } es un sistema fundamental de soluciones de dicha ecuaci´ on y, por tanto, la soluci´ on general de la ecuaci´ on es n X y(x) = ci eλi x i=1

( Dem. )

En primer lugar se tiene la descomposici´on p(x) = (x − λ1 ) . . . (x − λn )

luego, aplicando el teorema de la 1a descomposici´on, Ker L = Ker p(D) = Ker (D − λ1 I) ⊕ . . . ⊕ Ker (D − λn I) y ahora hay que calcular Ker (D − λi I); esto es, hallar y ∈ C∞ (R) tal que solucione la ecuaci´on (D − λi I)y = y 0 − λi y = 0 que es de variables separadas y tiene como soluci´on y(x) = C1 eλi x

⇔

Ker (D − λi I) = {eλi x }

Por consiguiente Ker L = Ker p(D) = {eλ1 x , . . . , eλn x } luego ese conjunto es un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea y la proposici´on queda probada. (Obs´ervese que, efectivamente, se trata de un conjunto de funciones linealmente independientes, ya que, como puede comprobarse f´ acilmente, W (eλ1 x , . . . , eλn x ) 6= 0. P. ej., el wronskiano en x = 0 es W (0) = ((λ2 − λ1 )(λ3 − λ2 ) . . . (λn − λn−1 ))((λ3 − λ2 ) . . . (λn − λn−1 )) . . . (λn − λn−1 ) 6= 0 y recibe el nombre de determinante de Vandermonde). p(x) tiene ra´ıces reales m´ ultiples En este caso se tiene: Proposici´ on 13 Si la ecuaci´ on caracter´ıstica de una ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea de orden n tiene m ra´ıces reales λ1 , . . . , λm ∈ R (1 ≤ m < n) con multiplicidades µ1 , . . . , µm respectivamente (µ1 + . . . + µm = n); entonces {eλ1 x , xeλ1 x , . . . , xµ1 −1 eλ1 x ; . . . ; eλm x , xeλm x , . . . , xµm −1 eλm x } es un sistema fundamental de soluciones de dicha ecuaci´ on y, por tanto, la soluci´ on general de la ecuaci´ on es m X y(x) = (c1i eλi x + c2i xeλi x + . . . + cµi i −1 xµi −1 eλi x ) i=1

Ecuaciones Diferenciales.

( Dem. )

31

Se procede como en el caso anterior. En primer lugar se tiene la descomposici´on p(x) = (x − λ1 )µ1 . . . (x − λm )µm

luego, aplicando el teorema de la 1a descomposici´on, Ker L = Ker p(D) = Ker (D − λ1 I)µ1 ⊕ . . . ⊕ Ker (D − λm I)µm y ahora hay que calcular Ker (D − λi I)µi ; esto es, como dim (Ker (D − λi I)µi ) = µi , se trata de hallar µi funciones yj (x) ∈ Ker (D − λi I)µi linealmente independientes. Unos simples (aunque largos y tediosos) ejercicios de c´ alculo permiten comprobar que las funciones y1i (x) = eλi x , y2i (x) = xeλi x , . . . , yµi (x) = xµi −1 eλi x 1. Son elementos de Ker (D − λi I)µi . 2. Son linealmente independientes (ya que W (y1i (x), . . . , yµi (x)) 6= 0); luego forman una base de Ker (D− λi I)µi . Con lo cual queda probada la proposici´ on. p(x) tiene n ra´ıces complejas simples En primer lugar debe observarse que, puesto que la ecuaci´on caracter´ıstica es de coeficientes reales, si ¯ = a − bi. Entonces: tiene una raiz compleja λ = a + bi ∈ C (a, b ∈ R), tambi´en lo es su conjugada λ Proposici´ on 14 Si la ecuaci´ on caracter´ıstica de una ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea de orden n tiene ¯ j = aj −bi ∈ C (con aj , bj ∈ R); entonces alguna ra´ız compleja λj = aj +bj i ∈ C, tambi´en tiene su conjugada λ ¯ j I) = {eaj x cos bj x, eaj x sin bj x} Ker (D − λj I) ⊕ Ker (D − λ ( Dem. )

Es igual que en los casos anteriores. En primer lugar se tiene la descomposici´on ¯ j ) . . . (x − λm ) p(x) = (x − λ1 ) . . . (x − λj )(x − λ

luego, aplicando el teorema de la 1a descomposici´on, ¯ j I) ⊕ . . . ⊕ Ker (D − λm I) Ker L = Ker p(D) = Ker (D − λ1 I) ⊕ . . . ⊕ ⊕ Ker (D − λj I) ⊕ Ker (D − λ Procediendo como en el caso de las ra´ıces reales simples se obtiene que Ker (D − λj I) = {eλj x } ¯ j I) = {eλ¯ j x } Ker (D − λ

= =

{e(aj +bj i)x } {e(aj −bj i)x }

= =

{eaj x (cos bj x + i sin bj x)} {eaj x (cos bj x − i sin bj x)}

Ahora se tiene que ¯ j I) Ker (D − λj I) ⊕ Ker (D − λ

= K1 eaj x (cos bj x + i sin bj x) + K2 eaj x (cos bj x − i sin bj x) =

(K1 + K2 )eaj x cos bj x + i(K1 − K2 )eaj x sin bj x

donde K1 , K2 ∈ C son constantes arbitrarias. As´ı pues ¯ j I) = {eaj x cos bj x, eaj x sin bj x} Ker (D − λj I) ⊕ Ker (D − λ Finalmente queda por comprobar que las funciones halladas son linealmente independientes, para lo cual basta con comprobar que W (eaj x cos bj x, eaj x sin bj x) 6= 0, para alg´ un x. p(x) tiene ra´ıces complejas m´ ultiples N´ otese, primero, que una raiz compleja y su conjugada tienen la misma multiplicidad. Entonces: Proposici´ on 15 Si la ecuaci´ on caracter´ıstica de una ecuaci´ on diferencial lineal homog´enea de orden n ¯ j = aj − bj i ∈ C (con aj , bj ∈ R), ambas con tiene alguna ra´ız compleja λj = aj + bj i ∈ C y su conjugada λ multiplicidad µ; entonces ¯ j I)µ = {ea1 x cos b1 x, xea1 x cos b1 x, . . . , xµ−1 ea1 x cos b1 x; Ker (D − λj I)µ ⊕ Ker (D − λ ea1 x sin b1 x, xea1 x sin b1 x, . . . , xµ−1 ea1 x sin b1 x} ( Dem. )

Es igual que en el caso de ra´ıces reales m´ ultiples.

Ecuaciones Diferenciales.

2.4.2

32

Ecuaciones lineales completas con coeficientes constantes. M´ etodo del anulador

Pasemos a analizar el caso general de la ecuaci´on lineal completa con coeficientes constantes dn y dn−1 y dy + an−1 n−1 + . . . + a1 + a0 y = F (x) n dx dx dx con a0 , . . . an−1 ∈ R (y F (x) continua). En forma abreviada, L(y) = F (x). Tal como ya se vio en la secci´ on anterior, a partir de un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´ on homog´enea asociada y aplicando el m´etodo de variaci´on de constantes, se puede encontrar una soluci´ on particular de esta ecuaci´ on, con lo que se tendr´ıa su soluci´on general. Sin embargo, cuando el t´ermino independiente F (x) tiene la propiedad de que se anula bajo la acci´ on de alg´ un operador con coeficientes constantes, hay un m´etodo alternativo al de variaci´on de constantes que permite obtener una soluci´ on particular de la ecuaci´on lineal completa. Este procedimiento recibe el nombre de m´etodo del anulador o tambi´en de la conjetura prudente. Proposici´ on 16 Sea L(y) = F (x) una ecuaci´ on diferencial lineal con coeficientes constantes (y F (x) continua). Si K ≡ K(D) es un operador diferencial con coeficientes constantes que anula F (x), entonces una soluci´ on particular de la ecuaci´ on se obtiene resolviendo la ecuaci´ on lineal homogenea (K ◦ L)(y) = 0 ( Dem. )

Basta observar que si K(F (x)) = 0 entonces K(F (x)) = K(L(y)) = (K ◦ L)(y) = 0

A continuaci´ on se muestran los resultados del procedimiento para algunos casos t´ıpicos en los que el t´ermino independiente F (x) tiene una forma particular. Casos particulares: 1. F (x) = eαx (bp xp + . . . + b1 x + b0 ). Hay dos opciones: (a) Si α no es raiz del polinomio caracter´ıstico entonces una soluci´on particular es de la forma yP (x) = eαx P p (x) donde P p (x) es un polinomio de grado p. (b) Si α es raiz del polinomio caracter´ıstico y tiene multiplicidad µ entonces una soluci´on particular es de la forma yP (x) = xµ eαx P p (x) donde P p (x) es un polinomio de grado p. 2. F (x) = cos αx(bp xp + . . . + b1 x + b0 ) ´o F (x) = sin αx(bp xp + . . . + b1 x + b0 ). Hay dos opciones: (a) Si αi no es raiz del polinomio caracter´ıstico entonces una soluci´on particular es de la forma yP (x) = cos αxP1p (x) + sin αxP2p (x) donde P1p (x), P2p (x) son polinomios de grado p.

Ecuaciones Diferenciales.

33

(b) Si αi es raiz del polinomio caracter´ıstico y tiene multiplicidad µ entonces una soluci´on particular es de la forma yP (x) = xµ (cos αxP1p (x) + sin αxP2p (x)) donde P1p (x), P2p (x) son polinomios de grado p. 3. F (x) = eαx cos βx(bp xp + . . . + b1 x + b0 ) ´o F (x) = eαx sin βx(bp xp + . . . + b1 x + b0 ). Hay dos opciones: (a) Si α + βi no es raiz del polinomio caracter´ıstico entonces una soluci´on particular es de la forma yP (x) = eαx (cos βxP1p (x) + sin βxP2p (x)) donde P1p (x), P2p (x) son polinomios de grado p. (b) Si α+βi es raiz del polinomio caracter´ıstico y tiene multiplicidad µ entonces una soluci´on particular es de la forma yP (x) = xµ eαx (cos βxP1p (x) + sin βxP2p (x)) donde P1p (x), P2p (x) son polinomios de grado p. (V´eanse ejemplos de aplicaci´ on en la colecci´on de problemas).

2.5

Casos particulares y aplicaciones

2.5.1

Caso particular: ecuaciones de Euler

Un caso particularmente interesante de ecuaci´on diferencial lineal son las denominadas ecuaciones de Euler, que tienen la siguiente expresi´ on general: an (bx + c)n

n−1 dn y dy y n−1 d + a0 y = f (x) + a (bx + c) + . . . + a1 (bx + c) n−1 dxn dxn−1 dx

con a0 , . . . an , b, c ∈ R. En el caso en que f (x) = 0 se tienen las ecuaciones de Euler homog´eneas. Estas ecuaciones se transforman en ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes haciendo el cambio de variable bx + c = et . En el caso particular de ecuaciones de Euler homog´eneas con b = 1, c = 0; esto es, las ecuaciones de la forma dn y dn−1 y dy an xn n + an−1 xn−1 n−1 + . . . + a1 x + a0 y = 0 dx dx dx se pueden probar directamente soluciones particulares del tipo y = xk . En efecto, pues, si con el cambio x = et se transformara en una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea con coeficientes constantes cuya soluci´ on particular fuese de la forma y = ekt , entonces una soluci´on como la propuesta, y = xk , conducir´ıa directamente a y = xk = ekt .

2.5.2

Aplicaciones f´ısicas

El estudio anal´ıtico del comportamiento de muchos sistemas en F´ısica conduce a ecuaciones lineales. Un ejemplo t´ıpico en Mec´ anica son los osciladores arm´onicos: 1. El oscilador arm´ onico simple: su ecuaci´on es my 00 + ky = 0

Ecuaciones Diferenciales.

34

2. El oscilador arm´ onico amortiguado: su ecuaci´on es my 00 + βy 0 + ky = 0 3. El oscilador arm´ onico (amortiguado) forzado: su ecuaci´on es my 00 + βy 0 + ky = F (t) En todos los casos se trata de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. (Su resoluci´on ha sido tratada en los cursos de F´ısica). El estudio anal´ıtico del comportamiento de muchos sistemas el´ectricos conduce tambi´en a ecuaciones lineales. Un ejemplo t´ıpico son los circuitos el´ectricos RCL, cuya ecuaci´on es: LI 00 + RI 0 +

1 dE I= C dt

que es, tambi´en, una ecuaci´ on lineal con coeficientes constantes. (Su resoluci´on ha sido tratada en los cursos de F´ısica).

Chapter 3

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales 3.1

Introducci´ on

En este cap´ıtulo se va a tratar del estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden y, en particular, de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Se comenzar´ a dando una serie de conceptos y resultados sobre sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden en general para, inmediatamente, entrar en el estudio de los del tipo lineal. Concretamente se investigar´ an las soluciones de los sistemas lineales homog´eneos y posteriormente de los no homog´eneos, donde se incluir´ a la exposici´ on del m´etodo de variaci´on de constantes para encontrar soluciones particulares de la ecuaci´ on completa. Despu´es se considerar´a el problema de obtener la soluci´on general de los sistemas lineales con coeficientes constantes, para lo cual se analizar´an, primero, los de tipo homog´eneo (estudi´ andose los dos casos posibles: matriz del sistema diagonalizable y no diagonalizable) y, despu´es, el caso general (incluyendo el m´etodo del anulador para hallar una soluci´on particular). Igual que en los cap´ıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precisi´on m´as concreta, se asumir´ a que todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.

3.2 3.2.1

Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden Definiciones fundamentales. Teorema de existencia y unicidad de soluciones

Definici´ on 16 Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden que, expresado en forma impl´ıcita, es F1 (t, x1 (t), . . . , xn (t), x01 (t), . . . , x0n (t))

= .. .

0

Fn (t, x1 (t), . . . , xn (t), x01 (t), . . . , x0n (t))

=

0

o bien, expresado en forma expl´ıcita 1 , dx1 dt

= f1 (t, x1 (t), . . . , xn (t)) .. .

dxn dt 1 Que

= fn (t, x1 (t), . . . , xn (t))

es como se dar´ an en adelante.

35

Ecuaciones Diferenciales.

36

Se denomina soluci´ on del sistema a cualquier familia de funciones x1 (t) . . . , xn (t) diferenciables en I ⊂ R que satisfaga id´enticamente las ecuaciones del sistema Es muy habitual utilizar la notaci´ on vectorial: introduciendo los vectores x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) ,

x0 (t) = (x01 (t), . . . , x0n (t))

,

f (t, x(t)) = (f1 (t, x(t)), . . . , fn (t, x(t)))

el sistema se puede escribir en forma compacta como x0 (t) = f (t, x(t)) Escrito de esta manera, un sistema de ecuaciones de primer orden tiene un aspecto an´alogo a las ecuaciones de primer orden. Esta analog´ıa no es meramente formal. En efecto; lo que interesa es hallar la soluci´on al problema de valor inicial dx1 dt

= f1 (t, x1 (t), . . . , xn (t)) .. .

dxn = fn (t, x1 (t), . . . , xn (t)) dt x1 (t0 ) = x01 , . . . , xn (t0 ) = x0n que, expresado en forma vectorial, es x0 (t) = f (t, x(t))

;

x(t0 ) = x0

(3.1)

Entonces, el teorema de existencia y unicidad de soluciones (teorema 5) se establece en los mismos t´erminos que para una s´ ola ecuaci´ on. Con esta notaci´on su enunciado ser´ıa: Teorema 12 (de existencia y unicidad local para sistemas de 1er orden): Consid´erese el problema de valor inicial (3.1) y sea un rect´ angulo D ⊂ R × Rn con centro en (t0 , x0 ). Si f1 , . . . , fn son funciones continuas y ∂fi lipschitzianas en D (para lo cual es suficiente con que fi , (i, j = 1, . . . , n) sean funciones continuas en ∂xj D), entonces existe una u ´nica soluci´ on del problema, x(t), definida en un cierto intervalo (t0 − δ, t0 + δ) ⊂ R

Comentario: • A partir de aqu´ı los teoremas relativos a prolongaci´on de las soluciones se establecen tambi´en de manera an´ aloga al caso de una s´ ola ecuaci´ on. La soluci´ on x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) del problema de valor inicial determina en el espacio eucl´ıdeo R×Rn , de coordenadas {t, x1 , . . . , xn }, una curva diferencial que es la curva integral del sistema. Cuando se cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad, por cada punto de dicho espacio pasa una s´ola curva integral del sistema, el conjunto de las cuales forma una familia de curvas dependiente de n par´ametros que constituyen la soluci´ on general del sistema.

3.2.2

Sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales de orden superior

Como ya se vio (proposici´ on 6), toda ecuaci´on diferencial de orden n (expresada en forma normal) x(n) (t) = f (t, x(t), x0 (t), . . . , x(n−1) (t))

Ecuaciones Diferenciales.

37

es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden dx dt

= x1 (t) .. .

dxn−2 = xn−1 (t) dt dxn = f (t, x1 (t), . . . , xn (t)) dt y, dado un conjunto de condiciones iniciales de la ecuaci´on lineal, t0

,

x(t0 ) = x0

,

x0 (t0 ) = x10

,

...

x(n−1) (t0 ) = xn−1 0

,

se tienen como condiciones iniciales para el sistema t0

,

x(t0 ) = x0

,

x1 (t0 ) = x10

,

...

,

xn−1 (t0 ) = xn−1 0

Este resultado se puede generalizar a sistemas como sigue: Proposici´ on 17 Todo sistema de n ecuaciones diferenciales de ´ ordenes r1 , . . . , rn (expresado en forma normal) (r )

(r −1)

x1 1 (t)

= .. .

f1 (t; x1 (t), . . . , x1 1

n) x(r n (t)

=

fn (t; x1 (t), . . . , x1 1

n −1) (t); . . . , xn (t), . . . , x(r (t)) n

(r −1)

(t); . . . , xn (t), . . . , xn(rn −1) (t))

es equivalente a un sistema de r1 + . . . + rn ecuaciones diferenciales de primer orden. ( Dem. ) Basta aplicar la proposici´ on 6 y reducir cada ecuaci´on del sistema inicial a un subsistema de ri ecuaciones de primer orden. Tambi´en se puede plantear el problema rec´ıproco; es decir, si es posible , a partir de un sistema de n ecuaciones de primer orden, obtener una ecuaci´on de orden n equivalente, cuya integraci´on permita resolver el sistema. La respuesta es afirmativa (bajo ciertas condiciones) y el proceso constituye, adem´as, uno de los m´etodos fundamentales de integraci´ on de sistemas ecuaciones diferenciales. El m´etodo, en l´ıneas generales ser´ıa el siguiente: 1. Se construye un sistema formado por las ecuaciones del sistema inicial y derivadas de ´estas. 2. Se excluyen (por sustituci´ on) todas las funciones inc´ognita salvo una, que aparecer´a como la u ´nica inc´ ognita de una ecuaci´ on de orden superior. 3. Se integra esta u ´ltima ecuaci´ on (si es posible), determinando dicha funci´on inc´ognita. 4. Se determinan (en lo posible) las restantes funciones inc´ognita sin integrar, utilizando las ecuaciones del sistema original y sus derivadas. (V´eanse ejemplos de aplicaci´ on en la colecci´on de problemas).

3.3 3.3.1

Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales Conceptos generales

Definici´ on 17 Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal es un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, que, expresado en forma expl´ıcita, es dx1 dt

= g11 (t)x1 (t) + . . . + g1n (t)xn (t) + f1 (t)

Ecuaciones Diferenciales.

38 .. . dxn dt

= gn1 (t)x1 (t) + . . . + gnn (t)xn (t) + fn (t)

o en forma vectorial, x0 (t) = A(t)x(t) + f (t)

x0 (t) − A(t)x(t) = f (t)

o bien

donde se han introducido las funciones vectoriales x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) , x0 (t) = (x01 (t), . . . , x0n (t))  1  g1 (t) . . . g1n (t)  ..  y la matriz A(t) =  ... .  g11 (t)

...

,

f (t)) = (f1 (t), . . . , fn (t))

g1n (t)

El sistema es un sistema lineal homog´eneo sii f (t) = 0. Al igual que ya se hizo con las ecuaciones lineales, se puede traducir la ecuaci´on lineal al lenguaje de operadores. As´ı, si se considera I ⊆ R, se puede definir el operador vectorial L

:

C∞ (I, Rn ) −→ x(t) 7→

C∞ (I, Rn ) x (t) − A(t)x(t) 0

esto es, L(x(t)) := x0 (t) − A(t)x(t) del cual puede probarse con facilidad que es lineal y permite escribir la ecuaci´on (2.2) como L(x(t)) = f (t)

(3.2)

L(x(t)) = 0

(3.3)

o en el caso homog´eneo (con lo que el nombre dado queda justificado). La cuesti´ on de la de la existencia y unicidad de soluciones para estos sistemas tiene la siguiente respuesta: Teorema 13 (de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones lineales): Consid´erese el sistema (3.2) con la condici´ on inicial x(t0 ) = (x01 , . . . , x0n ) ≡ x0 y tal que las funciones fi (t), gij (t) son continuas en un cierto intervalo I = (x0 − a, x0 + a) (con 0 < a). Entonces existe una u ´nica soluci´ on x(t) definida en el intervalo I, que es derivable con continuidad hasta el orden n. (En particular, si los coeficientes funcionales son continuos en todo R, entonces la existencia y unicidad de la soluci´ on est´ a garantizada tambi´en en todo R). ( Dem. ) Se basa en los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para sistemas de ecuaciones de primer orden (teorema 12) y para ecuaciones diferenciales lineales (teorema 6).

3.3.2

Soluciones de los sistemas de primer orden lineales

Comenzaremos el estudio de las soluciones de los sistemas de primer orden lineales con el siguiente resultado: Proposici´ on 18 Sea el sistema de primer orden lineal (3.2) y x1 (t) ∈ C∞ (I, Rn ) una soluci´ on. Entonces 2 ∞ x (t) ∈ C (I, Rn ) es soluci´ on del sistema si, y s´ olo si, x2 (t)−x1 (t) ∈ Ker L; esto es, es soluci´ on del sistema lineal homog´eneo asociado L(x(t)) = 0.

Ecuaciones Diferenciales.

( Dem. )

39

Si L(x1 (t)) = f (t) y L(x2 (t)) = f (t) entonces L(x2 (t) − x1 (t)) = L(x2 (t)) − L(x1 (t)) = f (t) − f (t) = 0

Rec´ıprocamente, si x2 (t) − x1 (t) ∈ Ker L entonces 0 = L(x2 (t) − x1 (t)) = L(x2 (t)) − L(x1 (t))

⇒

f (t) = L(x2 (t)) = L(x1 (t))

Corolario 1 La soluci´ on general del sistema de primer orden lineal (3.2) est´ a dada por x(t) = xP (t)+Ker L donde xP (t) es una soluci´ on particular cualquiera del sistema y Ker L designa la soluci´ on general del sistema lineal homog´eneo asociado. ( Dem. )

Inmediata. (V´ease tambi´en la demostraci´on de la proposici´on 2).

Teniendo en cuenta que Ker L es un subespacio vectorial de C∞ (I, Rn ), es inmediato probar el siguiente resultado: Proposici´ on 19 Sea el sistema de primer orden lineal homog´eneo (3.3). Entonces cualquier combinaci´ on lineal de soluciones del sistema es tambi´en soluci´ on. Y para finalizar este estudio preliminar se tiene: Proposici´ on 20 Sea el sistema de primer orden lineal homog´eneo (3.3). Sea la funci´ on vectorial compleja z(t) ∈ C∞ (I, Cn ), que se puede expresar como z(t) = u(t) + iv(t), donde u(t), v(t) ∈ C∞ (I, Rn ) (son funciones vectoriales reales). Entonces z(t) es una soluci´ on compleja del sistema si, y s´ olo si, u(t), v(t) son tambi´en soluciones (reales); es decir, las partes real e imaginaria de la soluci´ on son soluciones por separado.

( Dem. )

Evidente ya que 0 = L(z(t)) = L(u(t) + iv(t)) = L(u(t)) + iL(v(t))

⇔

L(u(t)) = 0 , L(v(t)) = 0

puesto que u(t), v(t) son funciones vectoriales reales.

3.3.3

Dependencia e independencia lineal de soluciones

Se van a introducir, a continuaci´ on, algunos conceptos y resultados sobre dependencia e independencia lineal de soluciones de sistemas de primer orden lineales. Definici´ on 18 Dado un conjunto de funciones vectoriales {x1 (t), . . . , xn (t)} ⊂ C∞ (I, Rn ), estas funciones son linealmente independientes sii, ∀t ∈ I, se cumple que, si α1 , . . . , αn ∈ R, α1 x1 (t) + . . . + αn xn (t) = 0

⇐⇒

α1 = . . . = αn = 0

Como primer resultado se tiene: Proposici´ on 21 Sea el conjunto de funciones vectoriales de C∞ (I, Rn ) x1 (t)

= .. .

(x11 (t), . . . , x1n (t))

xn (t)

=

(xn1 (t), . . . , xnn (t))

Ecuaciones Diferenciales.

40

y el determinante x11 (t)  det (x1 (t), . . . , xn (t)) ≡ det  ... 

x1n (t)

... ...

 xn1 (t) ..  . 

xnn (x)

Si det (x1 (t), . . . , xn (t)) 6= 0 para alg´ un t ∈ I, entonces las funciones x1 (t), . . . , xn (t) son linealmente independientes en I. Equivalentemente, si x1 (t), . . . , xn (t) son linealmente dependientes en I entonces det (x1 (t), . . . , xn (t) = 0, ∀t ∈ I. ( Dem. ) Evidente, ya que el sistema α1 x1 (t) + . . . + αn xn (t) = 0 ha de tener soluci´on α1 , . . . , αn no trivial para todo t ∈ I. El rec´ıproco de este enunciado no es cierto, en general, a menos que se imponga alguna hip´otesis adicional, tal como se ver´ a posteriormente. Ejemplo: • En R, consid´erense las funciones x1 (t) = (0, cos t)

;

x2 (t) = (0, sin t)

se tiene que det (x1 (t), x2 (t)) = 0, ∀t ∈ R y, sin embargo, se trata de dos funciones linealmente independientes, ya que       0 0 0 α1 x1 (t) + α2 x2 (t) = + = α1 cos t α2 sin t α1 cos t + α2 sin t y el resultado es nulo ∀t ∈ R si, y s´ olo si, α1 = α2 = 0.

3.3.4

Soluci´ on del sistema lineal homog´ eneo. Matriz Fundamental

Teniendo en cuenta lo expuesto en los apartados precedentes, ahora se puede probar que: Proposici´ on 22 Para cualquier operador L (de orden n) con coeficientes continuos se tiene que dim (Ker L) = n. ( Dem. ) iniciales

Sea {e1 , . . . , en } una base de Rn y t0 ∈ R. Consid´erense los siguientes problemas de valores   L(x(t)) = 0 L(x(t)) = 0 ; ... ; x(t0 ) = e1 x(t0 ) = en

y sean x1 (t), . . . , xn (t) ∈ C∞ (I, Rn ) las soluciones u ´nicas respectivas. Entonces det (x1 (t0 ), . . . , xn (t0 )) = det (e1 , . . . , en ) 6= 0 ya que e1 , . . . , en son vectores constantes y linealmente independientes, luego tambi´en x1 (t), . . . , xn (t) lo son. S´ olo queda probar que son tambi´en un sistema generador. Para ello consid´erese cualquier soluci´ on x(t) del sistema; ser´ a x(t0 ) = λ1 e1 + . . . + λn en lo que significa que x(t) es soluci´ on del problema de valor inicial  L(x(t)) = 0 x(t0 ) = λ1 e1 + . . . + λn en pero tambi´en λ1 x1 (t) + . . . + λn xn (t) es soluci´on de dicho problema, por tanto, como la soluci´on es u ´nica, se concluye que x(t) = λ1 x1 (t) + . . . + λn xn (t)

Ecuaciones Diferenciales.

41

luego {x1 (t), . . . , xn (t)} es un sistema generador de dim (Ker L) y, por consiguiente, forman base, con lo cual dim (Ker L) = n. Como corolario inmediato de esta proposici´on se tiene: Teorema 14 Sea el sistema de primer orden lineal homog´eneo con coeficientes continuos (3.3) y sean x1 (t), . . . , xn (t) ∈ C∞ (I, Rn ) soluciones linealmente independientes del mismo. Entonces la soluci´ on general es una combinaci´ on lineal de ellas (con coeficientes constantes) xH (t) = λ1 x1 (t) + . . . + λn xn (t) Finalmente, se puede enunciar el resultado an´alogo al del teorema 7: Teorema 15 Sea el conjunto de funciones vectoriales {x1 (t), . . . , xn (t)} ⊂ C∞ (I, Rn ). Si x1 (t), . . . , xn (t) son linealmente independientes en I y adem´ as son soluciones de un sistema lineal homog´eneo, L(x(t)) = 0, con coeficientes continuos, entonces det (x1 (t), . . . , xn (t)) 6= 0, ∀t ∈ I. ( Dem. ) Sup´ ongase que ∃t0 ∈ I tal que det (x1 (t0 ), . . . , xn (t0 )) = 0, entonces existen λ1 , . . . , λn ∈ R, no todos nulos, tales que λ1 x1 (t0 ) + . . . + λn xn (t0 ) = 0 y, en consecuencia, x(t) = λ1 x1 (t) + . . . + λn xn (t) es soluci´ on del problema de valores iniciales  L(x(t)) = 0 x(t0 ) = 0 Pero x(t) = 0 es tambi´en soluci´ on, y como ´esta ha de ser u ´nica, hay que concluir que, ∀t ∈ I, λ1 x1 (t) + . . . + λn xn (t) = 0 con los λi no todos nulos; en consecuencia x1 (t), . . . , xn (t) son linealmente dependientes, contra la hip´ otesis. La contradicci´ on proviene de suponer que ∃t0 ∈ I tal que det (x1 (t0 ), . . . , xn (t0 )) = 0; luego 1 n det (x (t), . . . , x (t)) 6= 0, ∀t ∈ I. Teniendo presentes estos resultados, el siguiente concepto es el s´ımil para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homog´eneos de la noci´ on de sistema fundamental de soluciones de una ecuaci´on lineal homog´enea. Definici´ on 19 Una matriz fundamental de un sistema de n ecuaciones de primer orden lineal homog´eneo con coeficientes constantes (3.3) es toda matriz de orden n cuyas columnas son soluciones linealmente independientes del sistema:  1  x1 (t) . . . xn1 (t)  ..  V (t) =  ... .  x1n (t)

...

xnn (x)

Las propiedades m´ as relevantes de las matrices fundamentales (cuya demostraci´on es inmediata tras lo expuesto en este apartado) son las siguientes: Proposici´ on 23 Sea V (t) una matriz fundamental de un sistema de primer orden lineal homog´eneo (3.3). Entonces 1. det V (t) 6= 0, ∀t. 2. La soluci´ on general de L(x(t)) = 0 es x(t) = V (t)c con c ∈ Rn . 3. Si M es cualquier matriz constante tal que det M 6= 0, entonces V (t)M es tambi´en una matriz fundamental.

Ecuaciones Diferenciales.

3.3.5

42

Soluci´ on del sistema lineal completo. M´ etodo de variaci´ on de constantes

Analicemos, ahora, el problema de hallar la soluci´on general del sistema lineal completo. Como en el caso de una ecuaci´ on diferencial lineal completa, el m´etodo consiste en partir de una matriz fundamental del sistema; es decir, de n soluciones linealmente independientes conocidas del sistema lineal homog´eneo asociado (esto es, su soluci´ on general), de modo que para tener la soluci´on general del sistema lineal completo basta con obtener una soluci´ on particular del mismo. Entonces: Proposici´ on 24 Sea un sistema lineal completo de n ecuaciones diferenciales de primer orden (con coeficientes continuos), L(x(t)) = f (t), y sea {x1 (t), . . . , xn (t)} un sistema de soluciones linealmente independientes del sistema lineal homog´eneo asociado L(x(t)) = 0. Entonces, una soluci´ on particular del sistema lineal completo es la combinaci´ on lineal (con coeficientes funcionales)  1   x1 (t) . . . xn1 (t) C1 (t) n X  ..   ..  ≡ V (t)C(t) xP (t) = Ci (t)xi (t) =  ... .  .  x1n (t)

i=1

...

xnn (x)

Cn (t)

donde las funciones Ci (x) se obtienen a partir de la soluci´ on del sistema V (t)C0 (t) = f (t); esto es,  1  0    x1 (t) . . . xn1 (t) C1 (x) f1 (t)  .. ..   ..  =  ..   . .  .   .  x1n (t)

...

xnn (t)

Cn0 (x)

(3.4)

fn (t)

( Dem. )

La demostraci´ on se basa nuevamente en la aplicaci´on del m´etodo de variaci´on de constantes o de n X Lagrange. El m´etodo consiste en suponer que una soluci´on particular es xP (t) = Ci (t)xi (t) . Derivando i=1

esta expresi´ on y sustituyendo en la expresi´on del sistema lineal completo resulta L(xP (t)) = x0P (t) − A(t)xP (t) =

n X

Ci0 (t)xi (t) +

i=1

n X

0

Ci (t)xi (t) −

i=1

n X

Ci (t)A(t)xi (t) = f (t)

i=1

0

Pero L(xi (t)) = 0, ∀i, luego xi (t) = A(t)xi (t) y, por tanto, para que xP (t) = de la ecuaci´ on lineal completa es suficiente con que L(xP (t)) =

n X

Pn

i=1

Ci (t)xi (t) sea soluci´ on

Ci0 (t)xi (t) = f (t)

i=1

expresi´ on que, en forma expl´ıcita es el sistema (3.4), el cual es compatible y determinado, ya que {x1 (t), . . . , xn (t)} es un conjunto de soluciones linealmente independientes del sistema homog´eneo y, por tanto, det (x1 (t), . . . , xn (t)) 6= 0, ∀t ∈ I, luego existe soluci´on {Ci0 (t)} y de aqu´ı {Ci (t)}.

3.4

3.4.1

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes Ideas generales

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal con coeficientes constantes es un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que, expresado en forma expl´ıcita, es dx1 dt

= a11 x1 (t) + . . . + an1 xn (t) + f1 (x) .. .

dxn dt

= a1n x1 (t) + . . . + ann xn (t) + fn (x)

Ecuaciones Diferenciales.

43

con aij ∈ R (y fj ∈ C∞ (R)). En forma vectorial se tiene x0 (t) = Ax(t) + f (t)

o bien x0 (t) − Ax(t) = f (t)

donde la matriz de coeficientes es constante a11  .. A= . 

a1n

... ...

 an1 ..  . 

(3.5)

an1

Tambi´en se puede traducir al lenguaje de operadores poniendo L(x(t)) := x0 (t)−Ax(t), con lo que el sistema se expresa igual que en el caso general L(x(t)) = f (t) El sistema es un sistema lineal homog´eneo sii f (t) = 0; esto es, L(x(t)) = 0 Los resultados expuestos para el caso general siguen siendo v´alidos, por supuesto. En concreto, la soluci´ on general de un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden lineal con coeficientes constantes est´ a dada por x(t) = xP (t)+Ker L donde xP (t) es una soluci´on particular cualquiera del sistema y Ker L designa la soluci´ on general del sistema lineal homog´eneo asociado. Como, adem´as, para el operador L del sistema se tiene que dim (Ker L) = n, dicha soluci´on general ser´a del tipo x(t) = xH (t) + xP (t) = λ1 x1 (t) + . . . + λn xn (t) + xP (t) En general la forma m´ as sencilla de integrar un sistema de esta ´ındole suele ser convertirlo en una s´ ola ecuaci´ on de orden superior, que ser´ a necesariamente lineal con coeficientes constantes; siguiendo el m´etodo expuesto en el apartado 3.2.2. Sin embargo, existen m´etodos para calcular una matriz fundamental (esto es, un sistema fundamental de soluciones) del sistema homog´eneo asociado a un sistema lineal con coeficientes constantes. De aqu´ı se obtiene directamente la soluci´on general del sistema homog´eneo y, por aplicaci´ on del m´etodo de variaci´ on de las constantes, una soluci´on particular del sistema completo. Estudiaremos dichos m´etodos a continuaci´ on.

3.4.2

Estudio del sistema homog´ eneo (con matriz del sistema diagonalizable)

Se va a analizar el problema de hallar la soluci´on general de un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes L(x(t)) ≡ x0 (t) − Ax(t) = 0

(3.6)

donde A es una matriz de constantes como (3.5). Comenzaremos considerando el caso en que la matriz A del sistema es diagonalizable. Esta situaci´ on se presenta cuando todas las ra´ıces λ del polinomio caracter´ıstico de A tienen multiplicidad algebraica (multiplicidad de la ra´ız) es igual a la dimensi´on del subespacio de vectores propios asociados a ese valor propio; es decir, es igual a dim ker (A − λ Id). El primer resultado es el siguiente: Proposici´ on 25 Sea el sistema lineal homog´eneo con coeficientes constantes (3.6) y sea v ≡ (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn un vector propio de A de valor propio real λ ∈ R. Entonces x(t) = eλt v = eλt (v1 , . . . , vn ) ∈ C∞ (I, Rn ) es soluci´ on (real) del sistema.

Ecuaciones Diferenciales.

( Dem. )

44

Basta con sustituir d λt e v − A(eλt v) = λeλt v − eλt Av = λeλt v − eλt λv = 0 dt

L(eλt v) =

Si el vector y el valor propio no son reales, el resultado se establece de forma similar. Proposici´ on 26 Sea el sistema lineal homog´eneo con coeficientes constantes (3.6) y sea v ≡ (v1 , . . . , vn ) ∈ Cn un vector propio de A de valor propio λ = α + iβ ∈ C, (α, β ∈ R). Entonces x(t) = eλt v = eλt (v1 , . . . , vn ) ∈ C∞ (I, Cn ) es soluci´ on (compleja) del sistema. ( Dem. )

Igual que en el caso anterior.

Dado que el sistema de ecuaciones diferenciales es de coeficientes y funciones reales, tambi´en sus soluciones han de poder expresarse por medio de funciones reales; luego en este u ´ltimo caso hay que ver como obtener soluciones reales a partir de la soluci´ on compleja hallada. Entonces: Proposici´ on 27 Sea el sistema lineal homog´eneo con coeficientes constantes (3.6) y sea v ≡ (v1 , . . . , vn ) ∈ Cn un vector propio de A de valor propio complejo λ = α + iβ ∈ C, (α, β ∈ R). Entonces v ≡ v1 + iv2 , con v 1 , v 2 ∈ Rn , y x1 (t)

=

Re (x(t)) = eαt cos βt v1 − eαt sin βt v2 ∈ C∞ (I, Rn )

x2 (t)

=

Im (x(t)) = eαt sin βt v1 + eαt cos βt v2 ∈ C∞ (I, Rn )

son soluciones (reales) linealmente independientes del sistema. ( Dem. )

La primera parte es una consecuencia del resultado anterior y de la proposici´on 20.

Veamos que son linealmente independientes. Si λ = α + iβ es valor propio del vector propio v = v1 + iv2 (con v1 , v2 ∈ Rn ), tambi´en lo es su conjugada ¯ = α − iβ, del vector propio v ¯ = v1 − iv2 . En efecto, ya que λ Av = λv

⇒

¯v ¯v = A¯ A¯ v = λ¯

¯ entonces v y v ¯ son vectores linealmente (pues A = A¯ por ser los coeficientes del sistema reales). Como λ 6= λ, independientes por ser vectores propios de autovalores diferentes, luego 0

6=

¯ ) = det (v1 + iv2 , v1 − iv2 ) = det (v1 , v1 − iv2 ) + det (iv2 , v1 − iv2 ) det (v, v

=

det (v1 , v1 ) − i det (v1 , v2 ) + i det (v2 , v1 ) + det (v2 , v2 ) = −2i det (v1 , v2 )

de donde det (v1 , v2 ) 6= 0 y, por tanto, v1 , v2 son linealmente independientes. Teniendo ´esto en cuenta resulta det (x1 (t), x2 (t))

=

det (eαt cos βt v1 − eαt sin βt v2 , eαt sin βt v1 + eαt cos βt v2 )

= e2αt cos βt sin βtdet (v1 , v1 ) + e2αt cos2 βt det (v1 , v2 ) −e2αt sin2 βt det (v2 , v1 ) − e2αt cos βt sin βt det (v2 , v2 ) = e2αt det (v1 , v2 )(sin2 βt + cos2 βt) = e2αt det (v1 , v2 ) 6= 0 luego x1 (t), x2 (t) son linealmente independientes. Teniendo todo ´esto en cuenta, para obtener la soluci´on general de un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes har´a falta u ´nicamente disponer de n vectores propios de A linealmente independientes. Entonces:

Ecuaciones Diferenciales.

45

Teorema 16 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes (3.6). Sea v1 , . . . , vn una base de vectores (en Rn o en Cn ) formada por vectores propios de A y λ1 , . . . , λn sus valores propios respectivos, (que pueden ser reales o complejos, distintos o repetidos). Entonces las funciones x1 (t) = eλ1 t v1 , . . . , xn (t) = eλn t vn forman una base de ker L (quiz´ as en C) y, por consiguiente, det (x1 (t), . . . , xn (t)) 6= 0, ∀t. ( Dem. )

Se obtiene como consecuencia inmediata de los anteriores resultados.

Observaci´ on: • En el caso en que la base de la proposici´on anterior no sea real, es posible hallar una base de funciones ¯ i , cuyos reales aplicando la proposici´ on 27. En efecto, consid´erese el vector propio vi y su conjugado v ¯ i , respectivamente. Tomando la parte real e imaginaria de autovalores son λi ∈ C y su conjugado λ eλi t vi se obtienen dos funciones reales linealmente independientes, mientras que si se toman la parte ¯ ¯ i se obtienen dos funciones reales linealmente independientes entre si, pero real e imaginaria de eλi t v linealmente dependientes de las dos anteriores (de este modo, el n´ umero final de funciones soluci´ on es el mismo). Concluyendo, la soluci´ on general de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes se obtiene del siguiente modo: 1. Se calculan los valores y vectores propios de la matriz A del sistema. 2. Para cada vector propio vi se construye la funci´on xi (t) = eλi t vi (y si es complejo, a partir de ´el o su conjugado, las funciones reales xi1 (t) = Re (xi (t)), xi2 (t) = Im (xi (t))). 3. Si se tienen n vectores propios linealmente independientes (esto es, la matriz A es diagonalizable), se construye la soluci´ on general como una combinaci´on lineal (con coeficientes constantes) de las anteriores funciones.

3.4.3

Estudio del sistema homog´ eneo (con matriz del sistema no diagonalizable)

En el caso en que la matriz A de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes no sea diagonalizable, no va a ser posible hallar una base de Rn o Cn formada por vectores propios de la misma y, por consiguiente, no es aplicable el teorema 16 para encontrar la soluci´on general del sistema. Esta situaci´ on se presenta cuando hay alguna ra´ız λ del polinomio caracter´ıstico de A cuya multiplicidad algebraica (multiplicidad de la ra´ız) es mayor que la dimensi´on del subespacio de vectores propios asociados a ese valor propio; es decir, mayor que dim ker (A − λ Id). Para resolver este problema se intentar´a seguir un m´etodo an´alogo al caso de las ecuaciones diferenciales de orden superior cuando hab´ıa alguna ra´ız del polinomio caracter´ıstico con multiplicidad mayor que 1. En n−1 X tal caso, se tratar´ a de encontrar soluciones del tipo x(t) = vi ti eλt . i=0

En primer lugar se tiene: Lema 4 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes (3.6) tal que el polinomio caracter´ıstico de A tiene una o varias ra´ıces λ de multiplicidad µ ≥ 1. Entonces dim ker (A − λ Id)µ = µ. ( Dem. ) Por simplicidad, se demostrar´a para el caso en que el polinomio caracter´ıstico de A tiene una s´ ola ra´ız λ de multiplicidad µ = n. El polinomio caracter´ıstico de la matriz A, P(A) = (−1)n (x − λ)n , anula dicha matriz (teorema de Cayley-Hamilton), luego (A − λ Id)n = 0 y de aqu´ı dim ker (A − λ Id)n = n − rg (A − λ Id)n = n

Ecuaciones Diferenciales.

46

En el caso en que haya m´ as de una ra´ız la demostraci´on se generaliza de manera inmediata. Como ya se ha dicho, la situaci´ on de partida es que no existe una base de Rn o Cn formada por vectores propios, ya que dim ker (A − λ Id) < µ. Como ker (A − λ Id) ⊆ ker (A − λ Id)2 ⊆ . . . ⊆ ker (A − λ Id)m ⊆ . . . ⊆ ker (A − λ Id)µ resulta que las respectivas dimensiones de estos subespacios verifican las desigualdades d1 < d2 < . . . < dm = dm+1 = . . . = dµ = µ Entonces, el procedimiento se basa en hallar una base de ker (A − λ Id)µ , para lo cual se puede seguir el siguiente procedimiento: 1. Hallar una base de ker (A − λ Id). 2. Completar la base hallada hasta obtener una de ker (A − λ Id)2 . 3. Iterar el proceso hasta obtener una base de ker (A − λ Id)µ . Entonces la obtenci´ on de la soluci´ on general se basa en el siguiente resultado: Proposici´ on 28 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes (3.6). Sea λ una ra´ız del polinomio caracter´ıstico de la matriz del sistema A, de multiplicidad µ > 1, y sean v1 , . . . , vr vectores de una base de ker (A − λ Id)µ pero que no pertenecen a ker (A − λ Id)µ−1 . Entonces, para cada vector vj (j = 1, . . . , r), las funciones xj1 (t)

= eλt (A − λ Id)µ−1 vj

xj2 (t)

= eλt (t(A − λ Id)µ−1 vj + (A − λ Id)µ−2 vj )   2 t (A − λ Id)µ−1 vj + t(A − λ Id)µ−2 vj + (A − λ Id)µ−3 vj xj3 (t) = eλt 2! .. .   m−1 t µ−1 j j j j λt (A − λ Id) v + . . . + t(A − λ Id)v + v xm (t) = e (m − 1)! son linealmente independientes y, adem´ as, son la soluciones del sistema homog´eneo. ( Dem. )

En primer lugar, estas funciones son linealmente independientes, pues det(xj1 (0), . . . , xjm (0)) = det((A − λ Id)µ−1 vj , . . . , (A − λ Id)vj , vj ) 6= 0

pues los vectores columna son linealmente independientes. En efecto, α1 (A − λ Id)µ−1 vj + . . . + αµ−1 (A − λ Id)vj + αµ vj µ−1

0 = (A − λ Id)

µ−1 j

(α1 (A − λ Id)

j

j

v + . . . + αµ−1 (A − λ Id)v + αµ v )

=

0

=⇒

= αµ (A − λ Id)µ−1 vj

y como (A − λ Id)µ−1 vj 6= 0 esto implica que αµ = 0. Repitiendo el razonamiento multiplicando por el factor (A − λ Id)µ−2 se obtendr´ıa que αµ−1 = 0 e iterando el proceso lo mismo para el resto de coeficientes αi . Adem´ as son soluciones del sistema homog´eneo, pues 0

xji (t) = λxji (t) + xji−1 (t) de donde

y

(A − λ Id)xji (t) = xji−1 (t) 0

Axji (t) = λxji (t) + xji−1 (t) = xji (t)

De esta manera, el c´ alculo de n soluciones linealmente independientes de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes en el caso en que la matriz A del sistema no es diagonalizable se resuelve aplicando los siguientes pasos:

Ecuaciones Diferenciales.

47

1. Hallar todos los valores propios de A. Entonces, para cada valor propio λ (con multiplicidad µ > 1): 2. Se buscan todos los vectores propios de A, esto es, los vectores vj0 (j0 = 1, . . . , d1 ) de una base de ker (A − λ Id). Si A tiene s´ olo d1 < n vectores propios linealmente independientes, de acuerdo con los resultados del apartado anterior, se dispone de d1 soluciones linealmente independientes del tipo eλt vj0 3. Se buscan todos los vectores vj1 (j1 = 1, . . . , d2 − d1 ) de una base de ker (A − λ Id)2 tales que (A − λ Id)2 vj1 = 0

pero

(A − λ Id)vj1 6= 0

De acuerdo con la anterior proposici´on, para cada uno de estos vectores hay una soluci´on del tipo eλt (t(A − λ Id)vj1 + vj1 ) y todas ellas (d2 − d1 ) son linealmente independientes entre si y en relaci´on a las d1 del punto anterior. 4. Si a´ un no se tienen n soluciones linealmente independientes, se buscan todos los vectores vj2 (j2 = 1, . . . , d3 − d2 − d1 ) de una base de ker (A − λ Id)3 tales que (A − λ Id)3 vj2 = 0

pero

(A − λ Id)2 vj2 6= 0

De acuerdo con la anterior proposici´on, para cada uno de estos vectores hay una soluci´on del tipo  2  t λt 2 j2 j2 j2 e (A − λ Id) v + t(A − λ Id)v + v 2! y todas ellas (d3 − d2 − d1 ) son linealmente independientes en relaci´on a las de los puntos anteriores (seg´ un se ha probado en la proposici´on precedente). 5. Se itera el proceso hasta completar las n soluciones linealmente independientes 2 . Comentario: • Otra manera equivalente de proceder ser´ıa la siguiente: se buscan todos los vectores vj (j = 1, . . . , µ) de una base de ker (A − λ Id)µ (que obviamente contendr´a vectores vj0 , vj1 , vj2 . . . de bases de ker (A − λ Id), ker (A − λ Id)2 , . . . respectivamente). Entonces, para cada uno de esos vectores hay una soluci´ on del tipo   t2 2 j λt j j e v + t(A − λ Id)v + (A − λ Id) v + . . . 2! y todas ellas son linealmente independientes. Obs´ervese que cuando vj coincide con alguno de los vectores vj0 , vj1 , vj2 . . . se van obteniendo, en particular, las soluciones anteriores de manera sucesiva.

3.4.4

Estudio del caso general

Finalmente, se va a analizar el problema de encontrar la soluci´on general de un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal no homog´eneo con coeficientes constantes L(x(t)) ≡ x0 (t) − Ax(t) = f (t)

(3.7)

donde A es una matriz de constantes como (3.5). La u ´nica cuesti´ on es c´ omo hallar una soluci´on particular del sistema. Para ello se puede utilizar el m´etodo de variaci´ on de constantes. Sin embargo, al igual que ya se hizo en el caso de la ecuaci´on diferencial lineal con coeficientes constantes, tambi´en se puede emplear el m´etodo del anulador o de la conjetura prudente, cuando el t´ermino independiente f (t) tiene la propiedad de que se anula bajo la acci´on de alg´ un operador vectorial con coeficientes constantes. Daremos, a continuaci´ on, el resultado de la aplicaci´on de dicho m´etodo en un caso particular: 2 A este respecto, existe un resultado de Algebra ´ lineal que garantiza que este algoritmo siempre funciona, dando adem´ as una cota superior del n´ umero de pasos que se requiere para alcanzar el objetivo (v´ ease M. Braun, Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones, Grupo Ed. Iberoam´ erica (1990))

Ecuaciones Diferenciales.

48

Proposici´ on 29 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineal no homog´eneo con coeficientes constantes (3.7). Si f (t) = eλt (vp tp + . . . + v1 t + v0 ) donde λ no es valor propio de la matriz del sistema A y vi ∈ Rn (0 ≤ i ≤ p), entonces una soluci´ on particular del sistema es xP (t) = eλt (up tp + . . . + u1 t + u0 ) donde up

=

(λ Id − A)−1 vp

p−1

u

=

(λ Id − A)−1 (vp−1 − pup )

up−2

= .. .

(λ Id − A)−1 (vp−2 − (p − 1)up−1 )

u0

=

(λ Id − A)−1 (v0 − u1 )

(obs´ervese que (λ Id − A) es inversible ya que λ no es valor propio de A). ( Dem. )

Es una mera cuesti´ on de c´ alculo (algo tedioso).

(V´eanse ejemplos en la colecci´ on de problemas).

Chapter 4

Estudio Cualitativo de Ecuaciones Diferenciales 4.1

Introducci´ on

En este cap´ıtulo se va a abordar el estudio cualitativo de los sistemas de ecuaciones diferenciales (de primer orden). Se comenzar´ a dando una serie de conceptos generales que incluyen el planteamiento del problema y las primeras nociones y resultados de puntos de equilibrio, estabilidad y comportamiento asint´otico de soluciones, asi como los conceptos de espacio de fases, ´orbitas y curvas integrales de un sistema. Se estudia, a continuaci´ on, el problema de la estabilidad. Tras establecer con todo rigor la definici´on y un resultado de caracter general, se analiza primero la estabilidad de los sistemas lineales y, en particular, la de los sistemas lineales homog´eneos con coeficientes constantes, para pasar a investigar la de los sistemas lineales completos. Finalmente, se considera la estabilidad de sistemas aut´onomos en general y se da un resultado sobre estabilidad cuando se efectuan peque˜ nas variaciones del segundo miembro de una ecuaci´on diferencial. Igual que en los cap´ıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precisi´on m´as concreta, se asumir´ a que todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.

4.2 4.2.1

Conceptos generales Planteamiento del problema

En este cap´ıtulo se va a comenzar considerando sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden de tipo general x0 (t) = f (t, x(t)) (4.1) donde x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) ,

f (t, x(t)) = (f1 (t, x(t)), . . . , fn (t, x(t)))

siendo el segundo miembro una funci´ on vectorial, no necesariamente lineal, de las variables x1 , . . . , xn . Desgraciadamente, en general, no se conocen m´etodos anal´ıticos de resoluci´on de estas ecuaciones. Afortunadamente, en la mayor´ıa de los casos pr´acticos, no es necesario conocer expl´ıcitamente las soluciones del sistema, sino que basta con obtener resultados de tipo cualitativo sobre el comportamiento del sistema. Un ejemplo t´ıpico lo constituyen los modelos que describen la competencia entre especies (modelos depredador-presa o similares). El problema se plantea en los siguientes t´erminos: sean x1 (t) y x2 (t) las poblaciones (en funci´ on del tiempo) de dos especies que compiten entre si por los recursos existentes en su “habitat”, de tal manera que sus respectivas tasas de crecimiento-decrecimiento est´an regidas por un sistema 49

Ecuaciones Diferenciales.

50

de ecuaciones diferenciales del tipo (4.1). De modo general, no se va a estar interesado realmente en los valores precisos de x1 (t) y x2 (t) en cada instante t sino, m´as bien, en las propiedades cualitativas de estas funciones. Concretamente, se intentar´ a hallar respuesta a las siguientes cuestiones: 1. ¿Existen valores ξ1 , ξ2 de x1 (t) y x2 (t) respectivamente para los que ambas especies coexisten en un estado estable? En otra palabras, ¿existen ξ1 , ξ2 ∈ R tales que x1 (t) = ξ1 y x2 (t) = ξ2 es una soluci´ on de (4.1)? 2. Suponiendo que en un instante dado ambas especies est´an coexistiendo en equilibrio, ¿qu´e sucede si se incrementa ligeramente el n´ umero de miembros de una de ellas?: ¿contin´ ua habiendo equilibrio o una de ellas se impone sobre la otra? 3. Suponiendo que x1 (t) y x2 (t) tienen valores dados en t = 0; ¿que ocurre cuando t → ∞?: ¿prevalece una especie sobre la otra?, ¿se tiende a una situaci´on de equilibrio? o, como m´ınimo, ¿se tiende a una soluci´ on peri´ odica?

4.2.2

Puntos de equilibrio. Estabilidad. Comportamiento asint´ otico

Comenzaremos establececiendo la siguiente nomenclatura: Definici´ on 20 Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales de la forma (4.1). 1. Se denominan puntos de equilibrio del sistema a los puntos ξ ≡ (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn tales que x(t) ≡ (x1 (t), . . . , xn (t)) = (ξ1 , . . . , ξn ) ≡ ξ es soluci´ on del sistema. 2. Se dice que las soluciones son estables sii, dada una soluci´ on del sistema x1 (t), para toda otra soluci´ on 2 x (t) tal que para un valor inicial t0 y para todo i = 1, . . . , n, x1i (t0 ) y x2i (t0 ) tienen valores muy cercanos, se cumple que los valores x1i (t) y x2i (t) permanecen pr´ oximos, para todo t > t0 y para todo i = 1, . . . , n. 3. Si x(t) es una soluci´ on del sistema, se denomina comportamiento asint´otico de la misma a su comportamiento cuando t → ∞; es decir, al resultado de hacer lim x(t) . t→∞

As´ı pues, nuestro inter´es ser´ a estudiar las siguientes propiedades de las soluciones de (4.1): 1. Estudiar la existencia de los posibles puntos de equilibrio del sistema. 2. Estudiar la estabilidad de las soluciones. 3. Estudiar el comportamiento asint´ otico de las soluciones. Es importante destacar, a este respecto que, a menudo, se puede encontrar una respuesta satisfactoria a estas cuestiones sin necesidad de resolver expl´ıcitamente el sistema de ecuaciones. As´ı, en lo referente a la cuesti´ on de los puntos de equilibrio se tiene el resultado siguiente: Proposici´ on 30 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (4.1) en I ⊆ R. x0 ∈ Rn es un punto de equilibrio del sistema si, y s´ olo si, f (t, x0 ) = 0, ∀t ∈ I, (o bien f (x0 ) = 0, si f no depende expl´ıcitamente de t). ( Dem. ) Basta observar que, considerada una soluci´on x(t), se tiene que x0 (t) = 0 si, y s´olo si, x(t) = x0 ; esto es, es constante. Comentario:

Ecuaciones Diferenciales.

51

• Como consecuencia, obs´ervese que todo punto de equilibrio de un sistema es un punto cr´ıtico de las funciones x(t) soluci´ on (es decir, de las curvas integrales). El estudio de la estabilidad de las soluciones constituye el problema central de la teor´ıa cualitativa de las ecuaciones diferenciales, ya que tiene una importancia capital en todas las aplicaciones f´ısicas, debido al hecho de que no es posible, casi nunca, poder medir con exactitud las condiciones iniciales del problema. Conviene, por tanto, saber si peque˜ nas variaciones de ´estas alteran significativamente el comportamiento de las soluciones. La cuesti´ on de la estabilidad es usualmente muy dif´ıcil de analizar, ya que no se conoce expl´ıcitamente la soluci´ on del sistema. El u ´nico caso que es accesible al estudio es cuando la funci´on vectorial f no depende expl´ıcitamente de t. En tal caso: Definici´ on 21 Un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (4.1) es un sistema aut´onomo sii la funci´ on f no depende expl´ıcitamente de la variable independiente t. Incluso para sistemas aut´ onomos, s´ olo hay dos casos en los cuales se ha completado el estudio de la estabilidad: 1. Cuando f (x) = Ax; esto es, para sistemas lineales homog´eneos y completos con coeficientes constantes. 2. Cuando, no siendo el sistema lineal homog´eneo con coeficientes constantes, s´olo interesa el estudio de la estabilidad de las soluciones de equilibrio. ´ Estos ser´ an los que se estudiar´ an en el resto del cap´ıtulo. Puesto que, de acuerdo con lo dicho, en adelante s´olo se van a considerar sistemas aut´onomos, es importante destacar el siguiente resultado: Proposici´ on 31 Todo sistema de n ecuaciones diferenciales no aut´ onomo de la forma (4.1) puede transformarse en un sistema equivalente de n + 1 ecuaciones diferenciales aut´ onomo. ( Dem. )

Si el sistema no aut´ onomo de partida es dx1 dt

= f1 (t, x1 , . . . , xn ) .. .

dxn dt

= fn (t, x1 , . . . , xn )

basta con introducir la funci´ on x0 (t) = t, con lo cual se puede escribir el sistema como dx0 dt dx1 dt

=

1

=

f1 (x0 , x1 , . . . , xn )

.. . dxn dt

4.2.3

=

fn (x0 , x1 , . . . , xn )

´ Espacio de fases. Orbitas

Consid´erese un sistema de n ecuaciones diferenciales de la forma (4.1), con condiciones iniciales dadas x(t0 ) = x0 ≡ (x01 , . . . , x0n )

Ecuaciones Diferenciales.

52

Si las funciones f1 , . . . , fn no dependen expl´ıcitamente de t (sistema aut´onomo), se puede dar una interpretaci´ on de las soluciones x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) del problema que es particularmente c´omoda (y necesaria) para abordar el estudio de la estabilidad. As´ı, en el espacio eucl´ıdeo Rn , de coordenadas rectangulares {x1 , . . . , xn }, la soluci´ on x1 = x1 (t), . . . , xn = xn (t) determina la ley de movimiento de un punto que sigue una cierta trayectoria seg´ un la variaci´on del par´ametro t, que en esta interpretaci´on se identificar´ a con el tiempo. De este modo, la derivada x0 (t) representa la velocidad de un punto de la trayectoria y ´ x01 (t), . . . , x0n (t) sus componentes. Esta es una interpretaci´on muy natural y c´omoda en ciertos problemas de F´ısica y Mec´ anica. Entonces: Definici´ on 22 En la interpretaci´ on anterior,: 1. El sistema x0 (t) = f (t, x(t)) se denomina sistema din´amico. 2. El espacio E ⊆ Rn formado por todos los puntos que pueden ser condiciones iniciales de un sistema din´ amico se denomina espacio de fases del sistema. (Sus coordenadas son, por consiguiente, {x1 , . . . , xn }). 3. La curva (t, x(t)) = (t, x1 (t), . . . , xn (t)) ⊂ R × E se denomina trayectoria de fases u ´orbita del sistema. La curva x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) ⊂ E se denomina curva integral del sistema. 4. La representaci´ on de las o ´rbitas del sistema (en E) se denomina diagrama de fases del sistema. Un sistema din´ amico determina, pues, en el espacio Rn un campo de velocidades: x0 (t). • Si la funci´ on vectorial f = (f1 , . . . , fn ) depende expl´ıcitamente de t, entonces este campo de velocidades cambia con el tiempo y las trayectorias de fases pueden intersectarse. • Si, por el contrario, la funci´ on vectorial f = (f1 , . . . , fn ) no depende expl´ıcitamente de t, entonces el campo de velocidades es estacionario, es decir, no cambia con el tiempo. En este caso, se tiene el siguiente resultado: Proposici´ on 32 Sea un sistema din´ amico aut´ onomo cuyo espacio de fases es E ⊆ Rn y tal que se cumplen las hip´ otesis del teorema de existencia y unicidad. Entonces por cada punto x0 ∈ E del espacio de fases pasa una s´ ola trayectoria del sistema (es decir, las ´ orbitas de un sistema aut´ onomo no se cruzan en ning´ un punto). ( Dem. ) Sean x1 (t) y x2 (t) sendas soluciones tales que x1 (t0 ) = x0 y x2 (t1 ) = x0 . Entonces la primera es soluci´ on del problema de valor inicial x0 (t) = f (x(t)) ,

x(t0 ) = x0

x0 (t) = f (x(t)) ,

x(t1 ) = x0

y la segunda lo es de Entonces, teniendo en cuenta que el sistema es aut´onomo, resulta que x3 (t) := x2 (t + t1 − t0 ) es tambi´en soluci´ on del primer problema de valor inicial, por consiguiente se tendr´a que x3 (t) = x2 (t + t1 − t0 ) = x1 (t), por lo que las ´ orbitas de x1 (t) y x2 (t) han de ser las mismas. Ejemplo: • El sistema de ecuaciones

dx = −y dt

,

dy =x dt

tiene la siguiente familia de soluciones x(t) = a cos (t + b)

,

y(t) = a sin (t + b)

Ecuaciones Diferenciales.

53

luego las curvas integrales del sistema son h´elices en R3 C(t) = (t, a cos (t + b), a sin (t + b)) y, como se cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad, por cada punto (t, x, y) pasa una s´ ola curva integral. Si se considera t como par´ ametro, en el plano de fases R2 de coordenadas (x, y) se tiene como trayectorias de fases una familia de circunferencias con centro en el origen, c(t) = (a cos (t + b), a sin (t + b)) cada una de las cuales es la proyecci´ on de una curva integral del sistema. Como se cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad estas curvas no se cortan. Si se fija a se obtiene una trayectoria determinada, mientras que fijar b equivale a elegir el instante inicial; esto es, una parametrizaci´ on del movimiento en concreto. Obs´ervese que la ecuaci´ on de la trayectoria, x2 + y 2 = a2 , no depende de b, lo cual significa que para una misma trayectoria todos los movimientos (parametrizaciones del tipo t + b) son equivalentes. En el caso especial a = 0, la trayectoria se reduce a un punto que es un punto de reposo del sistema, dado que no evoluciona con t. Una de las ventajas de trabajar con las trayectorias u ´orbitas de un sistema en vez de con la soluci´ on misma del sistema (esto es, las curvas integrales), es que, a menudo, es posible conocer aqu´ellas sin necesidad de resolver el sistema; es decir, sin obtener las curvas integrales. En efecto, por simplicidad se va a mostrar el procedimiento en el caso particular de sistemas de dos ecuaciones (n = 2). Proposici´ on 33 Las ´ orbitas del sistema de ecuaciones diferenciales aut´ onomo dx dt dy dt

=

f (x, y)

=

g(x, y)

(4.2)

son las curvas integrales de la ecuaci´ on diferencial de primer orden g(x, y) dy = dx f (x, y)

(4.3)

( Dem. ) Sea x = x(t), y = y(t) una soluci´on del sistema dado y, por tanto, (x(t), y(t)) una ´orbita del sistema. Sea t = t1 tal que x0 (t1 ) 6= 0 entonces, de acuerdo con el teorema de la funci´on impl´ıcita, se puede despejar t como funci´ on de x en la primera ecuaci´on, t = t(x), en un entorno del punto x1 = x(t1 ). De este modo, para todo t pr´ oximo a t1 , la ´ orbita de la soluci´on dada, expresada en forma expl´ıcita, viene dada por la funci´ on y = y(t(x)) ≡ Y (x). Entonces, aplicando la regla de la cadena y el teorema de la funci´on inversa a esta funci´ on resulta dy dy dy dt g(x, y) dt = = dx = (4.4) dx dt dx f (x, y) dt cuya soluci´ on es, obviamente, y = Y (x)+C. Estas funciones, representadas en R2 son las curvas integrales de la ecuaci´ on (4.4) que, por construcci´ on, coinciden con las ´orbitas del sistema dado. Con ello queda probado el resultado. As´ı pues, para hallar las ´ orbitas del sistema aut´onomo de primer orden (4.2) basta con resolver la ecuaci´ on diferencial de primer orden (4.3). Esta ecuaci´on da la pendiente de la recta tangente a la trayectoria del sistema (4.2) que pasa por el punto (x, y), siempre que en dicho punto las funciones f y g no se anulen simultaneamente (si as´ı fuera el caso, el punto en cuesti´on ser´ıa un punto cr´ıtico y por ´el no pasar´ıa ninguna orbita). ´ Comentarios: • Obs´ervese que hay una sutil diferencia entre las ´orbitas de (4.2) y las curvas integrales de (4.3), y es que, mientras que las primeras son curvas orientadas (con la orientaci´on natural dada por la parametrizaci´ on), las segundas no lo son.

Ecuaciones Diferenciales.

54

• De la ecuaci´ on de las trayectorias obtenida de esta manera, que por tanto est´an dadas, en general, en forma impl´ıcita, podr´ a obtenerse la soluci´on del sistema de partida s´olo si es posible hallar una parametrizaci´ on de dicha familia de curvas que satisfaga el sistema original.

4.2.4

Estabilidad y estabilidad asint´ otica de soluciones

En esta secci´ on se comienza a analizar el problema de la estabilidad de los sistema de ecuaciones diferenciales (aut´ onomos). x0 (t) = f (x(t)) (4.5) Empezaremos precisando algo m´ as la noci´on de estabilidad establecida en la definici´on 20. Definici´ on 23 (Liapunov): Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales (aut´ onomo o no) y una soluci´ on (´ orbita) del sistema x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)). 1. x(t) es una soluci´ on estable sii, para todo ε ∈ R+ , existe δ ≡ δ(ε) ∈ R+ tal que, para cualquier soluci´ on y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) que en t0 satisfaga que |yi (t0 )−xi (t0 )| < δ, (para todo i = 1, . . . , n), se cumple que |yi (t) − xi (t)| < ε, en cualquier t > t0 . 2. x(t) es una soluci´ on asint´ oticamente estable sii: (a) Es una soluci´ on estable. (b) Existe δ ∈ R+ tal que, para cualquier soluci´ on y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) que en t0 satisfaga que |yi (t0 ) − xi (t0 )| < δ, (para todo i = 1, . . . , n), se cumple que lim |yi (t) − xi (t)| = 0

t→∞

Obs´ervese que una soluci´ on es asint´ oticamente estable si, y s´olo si, cualquier otra que en t0 permanece pr´ oxima a la dada, para cualquier otro valor t > t0 , no s´olo sigue permaneciendo pr´oxima, sino que adem´ as se confunde con la inicial cuando t → ∞. Ejemplo: Consid´erese el sistema formado por el p´endulo simple en el plano. Su ecuaci´ on de movimiento es

d2 θ g + sin θ = 0 dt2 l que, poniendo x1 = θ, se transforma en el siguiente sistema de primer orden: dx1 = x2 dt

;

dx2 g = − sin x1 dt l

Este sistema tiene dos soluciones de equilibrio que son x1 = 0

,

x2 = 0

y

x1 = π

,

x2 = 0

las cuales tienen muy diferentes propiedades: • Si se perturba ligeramente la primera de ellas (bien desplazando el p´endulo de su posici´ on de equilibrio, bien imprimi´endole una peque˜ na velocidad), el p´endulo ejecuta peque˜ nas oscilaciones en torno a x1 = 0. Se dice, entonces, que esta posici´ on es de equilibrio estable. • Si se perturba ligeramente la segunda de ellas (de cualquiera de ambos modos), o bien el p´endulo ejecuta oscilaciones de gran amplitud en torno a x1 = 0, o bien gira indefinidamente. Se dice, entonces, que esta posici´ on es de equilibrio inestable. En las siguientes secciones se analizar´a la estabilidad y la estabilidad asint´otica de las soluciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y, en particular, con coeficientes constantes, ya que en este caso es posible hallar la soluci´ on anal´ıticamente.

Ecuaciones Diferenciales.

4.3

55

Estabilidad de sistemas lineales

4.3.1

Estabilidad de sistemas lineales homog´ eneos

Consid´erese un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo x0 (t) = A(t)x(t)

(4.6)

Un sistema de estas caracter´ısticas siempre tiene como soluci´on particular x0 (t) = 0. Entonces, el siguiente teorema relaciona la estabilidad de cualquier soluci´on con la de ´esta. Teorema 17 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo del tipo (4.6). 1. Si la soluci´ on x(t) = 0 es estable, entonces cualquier otra soluci´ on es tambi´en estable. 2. Si la soluci´ on x(t) = 0 es asint´ oticamente estable, entonces cualquier otra soluci´ on es tambi´en asint´ oticamente estable. 3. Si la soluci´ on x(t) = 0 es inestable, entonces cualquier otra soluci´ on es tambi´en inestable. 4. Si la soluci´ on x(t) = 0 es estable pero no asint´ oticamente estable, entonces cualquier otra soluci´ on es tambi´en estable pero no asint´ oticamente estable. ( Dem. ) 1. Si la soluci´ on x0 (t) = 0 es estable, entonces, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, para toda soluci´on y(t) tal que |yi (t0 )| < δ (∀i), se cumple que |yi (t)| < ε, ∀t > t0 . Sea x(t) cualquier otra soluci´ on. Se ha de probar que es estable. Sea ε > 0 y cualquier soluci´ on z(t) tal que |zi (t0 ) − xi (t)| < δ (∀i), entonces, tomando y(t) := x(t) − z(t) es tambi´en soluci´on (por ser el sistema lineal) y satisface las condiciones del p´arrafo anterior, luego se tiene que, ∀t > t0 y ∀i |yi (t)| = |zi (t0 ) − xi (t)| < ε 2. Si la soluci´ on x0 (t) = 0 es asint´ oticamente estable entonces es estable por definici´on y, por el apartado anterior, cualquier soluci´ on x(t) es tambi´en estable. Hay que ver que tambi´en lo es asint´oticamente. Por serlo x0 (t) = 0, ∃δ > 0 tal que, para toda soluci´on y(t) tal que |yi (t0 )| < δ (∀i), se cumple que lim |yi (t)| = 0 . Sea cualquier soluci´on z(t) tal que |zi (t0 ) − xi (t)| < δ (∀i), entonces, tomando t→∞

y(t) := x(t) − z(t) es tambi´en soluci´on (por ser el sistema lineal) y satisface las condiciones del p´ arrafo anterior, luego se tiene que lim |yi (t)| = lim |zi (t0 ) − xi (t)| = 0 t→∞

t→∞

3. Se va a probar la negaci´ on del enunciado; esto es, que si existe alguna soluci´on x(t) estable, entonces x0 (t) = 0 es estable. Sea y(t) una soluci´ on cualquiera pr´ oxima a x0 (t) = 0 en t0 , entonces z(t) = y(t) + x(t) es otra soluci´ on (por ser el sistema lineal) pr´ oxima a x(t) en t0 y, por consiguiente, para todo t (ya que x(t) es estable). Por tanto, y(t) permanece pr´ oxima a x0 (t) = 0 para todo t > t0 , luego x0 (t) = 0 es estable. 4. An´ aloga a la del apartado anterior.

As´ı pues, para estudiar la estabilidad de un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo basta con analizar la de la soluci´ on nula. En el siguiente apartado se har´a este an´alisis para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homog´eneos con coeficientes constantes.

Ecuaciones Diferenciales.

4.3.2

56

Estabilidad de sistemas lineales homog´ eneos con coeficientes constantes

Consid´erese un sistema de ecuaciones diferenciales lineal homog´eneo con coeficientes constantes (y, por tanto, aut´ onomo) x0 (t) = Ax(t) (4.7) Vamos a estudiar, por simplicidad, el caso en que A ∈ M2×2 (R); es decir, sistemas de dos ecuaciones diferenciales (a fin de poder hacer razonamientos sobre sus ´orbitas, que est´an en el plano R2 ). Expl´ıcitamente escrito el sistema es dx dt dy dt

=

a11 x(t) + a21 y(t)

=

a12 x(t) + a22 y(t)

y se pueden distinguir los siguientes casos: 1. A tiene valores propios reales, λ1 , λ2 ∈ R, y det A 6= 0 (es decir, ninguno de ellos es nulo). En este caso, el u ´nico punto de equilibrio del sistema es (0, 0). Se pueden distinguir los siguientes subcasos: (a) λ1 > λ2 > 0 (ambos son positivos y distintos). Si v1 , v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la soluci´on general es   x(t) x(t) = c1 eλ1 t v1 + c2 eλ2 t v2 ≡ y(t) • Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo). • Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → 0. Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´on inestable, luego toda soluci´ on es inestable. Se dice, entonces, que el punto de equilibrio es un nodo inestable. (b) λ1 < λ2 < 0 (ambos son negativos y distintos). Si v1 , v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la soluci´on general es   x(t) λ1 t 1 λ2 t 2 x(t) = c1 e v + c2 e v ≡ y(t) • Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → 0. • Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo). Entonces, del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´ on asint´ oticamente estable, luego toda soluci´on es asint´oticamente estable. Se dice, entonces, que el punto de equilibrio es un nodo estable. (c) λ1 < 0 < λ2 (uno es positivo y otro negativo). Si v1 , v2 ∈ R2 son los vectores propios correspondientes, la soluci´on general es   x(t) λ1 t 1 λ2 t 2 x(t) = c1 e v + c2 e v ≡ y(t) Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´on inestable, luego toda soluci´ on es inestable. Se dice, en este caso, que el punto de equilibrio es un punto de silla. (d) λ1 = λ2 ≡ λ > 0 (ambos son positivos e iguales). Hay que distinguir dos posibilidades: i. Hay dos vectores propios v1 , v2 linealmente independientes; esto es, dim ker (A − λId) = 2. En este caso la soluci´ on general es   x(t) 1 2 λt x(t) = (c1 v + c2 v )e ≡ y(t)

Ecuaciones Diferenciales.

57

• Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo). • Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → 0. Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´ on inestable, luego toda soluci´on es inestable. El punto de equilibrio es un nodo inestable. ii. Hay un s´ olo vector propio v1 ∈ R2 linealmente independiente; esto es, dim ker (A − λId) = 1. Se completa una base de R2 con un segundo vector v2 por el m´etodo descrito en el cap´ıtulo anterior, de modo que la soluci´on general es   x(t) x(t) = (c1 v1 + c2 (tv1 + v2 ))eλt ≡ y(t) • Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo). • Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → 0. Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´ on inestable, luego toda soluci´on es inestable. El punto de equilibrio es un nodo inestable. (e) λ1 = λ2 ≡ λ < 0 (ambos son negativos e iguales). Hay que distinguir dos posibilidades: i. Hay dos vectores propios v1 , v2 linealmente independientes; esto es, dim ker (A − λId) = 2. En este caso la soluci´ on general es   x(t) 1 2 λt x(t) = (c1 v + c2 v )e ≡ y(t) • Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → 0. • Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo). Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´ on asint´ oticamente estable, luego toda soluci´on es asint´oticamente estable. El punto de equilibrio es un nodo estable. ii. Hay un s´ olo vector propio v1 ∈ R2 linealmente independiente; esto es, dim ker (A − λId) = 1. Se completa una base de R2 con un segundo vector v2 por el m´etodo descrito en el cap´ıtulo anterior, de modo que la soluci´on general es   x(t) 1 1 2 λt x(t) = (c1 v + c2 (tv + v ))e ≡ y(t) • Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → 0. • Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo). Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´ on asint´ oticamente estable, luego toda soluci´on es asint´oticamente estable. El punto de equilibrio es un nodo estable. 2. A tiene valores propios complejos, α ± iβ ∈ C, y det A 6= 0 (es decir, ninguno de ellos es nulo). El u ´nico punto de equilibrio del sistema sigue siendo (0, 0). Sean v1 ± iv2 (con v1 , v2 ∈ R2 ) los vectores propios correspondientes a ambos autovalores. La soluci´ on del sistema es   x(t) x(t) = eαt ((c1 cos βt + c2 sin βt)v1 + (c2 cos βt − c1 sin βt)v1 ) ≡ y(t) Hay que distinguir los siguientes subcasos: (a) α > 0. • Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo). • Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → 0.

Ecuaciones Diferenciales.

58

Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´on inestable, luego toda soluci´ on es inestable. Se dice que el punto de equilibrio es un foco inestable. (b) α < 0. • Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → 0. • Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo). Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´ on asint´ oticamente estable, luego toda soluci´on es asint´oticamente estable. Se dice que el punto de equilibrio es un foco estable. (c) α = 0. En este caso, la soluci´ on del sistema es x(t) = (c1 cos βt + c2 sin βt)v1 + (c2 cos βt − c1 sin βt)v1 ≡



x(t) y(t)



luego las soluciones son ´ orbitas peri´odicas y, por tanto, son curvas cerradas 1 . Del diagrama de fases formado por las trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´on estable pero no asint´ oticamente estable, luego toda soluci´on es estable pero no asint´oticamente estable. Se dice que el punto de equilibrio es un centro. 3. det A = 0. En este caso hay, al menos, un valor propio que es nulo. Hay diversos casos a analizar: (a) λ1 = 0, λ2 6= 0 (el segundo valor propio es no nulo). En este caso dim ker A = 1. Sea, entonces, v1 un vector base de ker A y sea v2 un vector propio correspondiente al valor propio λ2 . Entonces la soluci´on general es   x(t) 1 λ2 t 2 x(t) = c1 v + c2 e v ≡ y(t) Se distinguen los dos siguientes casos: i. λ2 > 0. Analizando en detalle la soluci´on se tiene que x(t) = c1 v11 + c2 eλ2 t v12

,

y(t) = c1 v21 + c2 eλ2 t v22

Si c2 6= 0, eliminando el factor exponencial de ambas ecuaciones resulta v21 (y − c1 v21 ) = v22 (x − c1 v11 ) que es la ecuaci´ on de una familia de rectas paralelas (cuyo vector director es v2 . Obs´ervese que, en este caso: • Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo). • Si t → −∞ entonces x(t) → c1 v11 , y(t) → c1 v21 . Si c2 = 0 se obtiene x(t) = c1 v11 , y(t) = c1 v21 que es una familia uniparam´etrica de puntos de equilibrio (inestable), los cuales se hallan sobre la recta que pasa por el origen y tiene por vector director v1 . Del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´ on inestable, luego toda soluci´on es inestable. Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio inestable. ii. λ2 < 0. El an´ alisis es an´ alogo al del caso anterior salvo que ahora, cuando c2 6= 0, • Si t → +∞ entonces x(t) → c1 v11 , y(t) → c1 v21 . • Si t → −∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo o negativo). 1 Obs´ ervese

que no existen los l´ımites de x(t), y(t) cuando t → ∞.

Ecuaciones Diferenciales.

59

Entonces, del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´ on estable pero no asint´oticamente estable, luego toda soluci´on es estable pero no asint´ oticamente estable. Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio estable. (b) λ1 = λ2 = 0 (ambos valores propios son nulos). Hay dos casos posibles: i. dim ker A = 1. Sea, entonces, v1 un vector base de ker A y sea v2 un segundo vector que completa una base de R2 . La soluci´ on general es   x(t) x(t) = (c1 + c2 t)v1 + c2 v2 ≡ y(t) Si c2 6= 0, se trata de una familia de rectas paralelas (con vector director v1 ), para la cual • Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (positivo cuando c2 > 0 y negativo cuando c2 < 0). • Si t → +∞ entonces x(t), y(t) → ∞ (negativo cuando c2 > 0 y positivo cuando c2 < 0). Si c2 = 0 es una familia de puntos de equilibrio (inestable), los cuales se hallan sobre la recta que pasa por el origen y tiene por vector director v1 . Del diagrama de fases formado por estas trayectorias se observa que x0 (t) = 0 es soluci´ on inestable, luego toda soluci´on es inestable. Se dice que el punto de equilibrio es de equilibrio inestable. ii. dim ker A = 2. Sea, entonces, v1 , v2 una base de ker A = R2 . La soluci´on general es   x(t) x(t) = c1 v1 + c2 v2 ≡ y(t) que son todos los puntos del plano. Por consiguiente todos ellos son soluciones estables pero no asint´ oticamente estables. Se trata de puntos de equilibrio indiferente. A modo de resumen se tiene: • Las soluciones son asint´ oticamente estables en todos los casos en que todos los valores propios tienen parte real negativa (casos 1.b, 1.e.i, 1.e.ii y 2.b). • Las soluciones son estables pero no asint´oticamente estables en todos los casos en que hay valores propios que tienen parte real negativa y tambi´en los hay con parte real nula, pero en este u ´ltimo caso se cumple que dim ker (A − λId) = µ (multiplicidad de λ). (casos 2.c, 3.a.ii y 3.b.ii). • Las soluciones son inestables en todos los casos en que hay alg´ un valor propio que tiene parte real positiva o nula, pero en este u ´ltimo caso se cumple que dim ker (A − λId) < µ (multiplicidad de λ). (casos 1.a, 1.c, 1.d.i, 1.d.ii, 2.a, 3.a.i y 3.b.i). Todo ello se puede generalizar a sistemas lineales homog´eneos con coeficientes constantes de dn ecuaciones, enunciando el siguiente resultado: Teorema 18 Sea un sistema lineal homog´eneo con coeficientes constantes del tipo (4.7) con A ∈ Mn×n (R). 1. Las soluciones del sistema son estables y asint´ oticamente estables si, y s´ olo si, todos los valores propios tienen parte real negativa. 2. Las soluciones del sistema son estables pero no asint´ oticamnete estables si, y s´ olo si, todos los valores propios tienen parte real no positiva y hay alguno con parte real nula tal que dim ker (A − λId) = µ (multiplicidad del valor propio como raiz del polinomio caracter´ıstico).

Ecuaciones Diferenciales.

60

3. Las soluciones del sistema son inestables si, y s´ olo si, alg´ un valor propio tiene parte real positiva o nula pero, en este u ´ltimo caso, dim ker (A − λId) < µ (multiplicidad del valor propio como raiz del polinomio caracter´ıstico) 2 .

Este teorema permite obtener resultados sobre la estabilidad de estos sistemas sin necesidad de hallar la soluci´ on: basta con estudiar las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica del sistema.

4.3.3

Criterio de Routh-Hurwitz

Seg´ un se acaba de ver en el apartado anterior, el problema del estudio de la estabilidad de los sistemas de ecuaciones lineales homog´eneos con coeficientes constantes se ha reducido al an´alisis de los signos de las partes reales de los valores propios o ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica. Pero si ´esta es de grado elevado, su soluci´ on puede ser muy dif´ıcil. Es por ello que conviene disponer de m´etodos que permitan discernir el signo de la parte real de las ra´ıces sin necesidad de resolver la ecuaci´on caracter´ıstica. El m´as significativo ´ de ellos es el siguiente teorema de Algebra lineal (que se enuncia sin demostrar): Teorema 19 (de Hurwitz): Sea un polinomio de grado n con coeficientes reales bn xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0 con bn > 0. La c.n.s. para que todas sus ra´ıces tengan parte real negativa es que todos los menores principales (∆i ) de la siguiente matriz (de orden n) sean positivos b

n−1

 bn−3   bn−5  .  .  .   0  0 0

bn

0 bn−1 bn−3 .. .

0 bn

0 0

bn−2 bn−4 .. . 0 0 0

bn−1 .. .

0 0 bn .. .

... ... ...

0 0 0 .. .

0 0 0 .. .

0 0 0 .. .

0 0 0 .. .

bn−2 .. .

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

... ... ...

b0 0 0

b1 0 0

b2 b0 0

b3 b1 0

0 0 0 .. .



       b4   b2 b0

Esta matriz se denomina matriz de Hurwitz. Comentarios: • Obs´ervese que ∆n = b0 ∆n−1 , por lo que, si ∆n−1 > 0, entonces ∆n > 0 ⇔ b0 > 0. • Para polinomios de grado alto la aplicaci´on de este criterio es complicada y existen otros alternativos y de m´ as f´ acil ejecuci´ on para estos casos.

4.3.4

Estabilidad de sistemas lineales completos con coeficientes constantes

Consid´erese ahora un sistema de ecuaciones diferenciales lineal completo con coeficientes constantes x0 (t) = Ax(t) + f (t)

(4.8)

En lo que se refiere a la estabilidad de sus soluciones, se tiene el siguiente resultado: Proposici´ on 34 Sea un sistema lineal completo. La estabilidad de sus soluciones es equivalente a la estabilidad de la soluci´ on de equilibrio x0 (t) = 0 del sistema lineal homog´eneo asociado x0 (t) = Ax(t). 2 Este

enunciado es equivalente al primero.

Ecuaciones Diferenciales.

61

( Dem. ) En efecto, sean x1 (t) y x2 (t) dos soluciones del sistema completo pr´oximas entre si en t0 , entonces x2 (t) − x1 (t) es soluci´ on de x0 (t) = Ax(t), y el resultado es inmediato. A continuaci´ on vamos a utilizar ´este y los anteriores resultados para analizar la estabilidad de las soluciones de una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n. Proposici´ on 35 La estabilidad de las soluciones de una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + . . . + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = f (t) depende de las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´ on p(λ) := λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 En concreto, si A es la matriz del sistema lineal de primer orden con coeficientes constantes equivalente a esta ecuaci´ on, se tiene que p(λ) = det(A − λId), y entonces: 1. Las soluciones de la ecuaci´ on son estables y asint´ oticamente estables si, y s´ olo si, todas las ra´ıces tienen parte real negativa. 2. Las soluciones de la ecuaci´ on son estables si, y s´ olo si, todas las ra´ıces tienen parte real no positiva y hay alguno con parte real nula tal que dim ker (A − λId) = µ (multiplicidad de la ra´ız). 3. Las soluciones de la ecuaci´ on son inestables si, y s´ olo si, alguna ra´ız tiene parte real positiva o nula pero, en este u ´ltimo caso, dim ker (A − λId) < µ (multiplicidad de la ra´ız) 3 . ( Dem. ) La clave de la demostraci´ on est´a en convertir la ecuaci´on lineal de orden n en un sistema de n ecuaciones lineales de primer orden dx0 dt dx1 dt

= x1 (t) = x2 (t) .. .

dxn−2 dt dxn−1 dt

= xn−1 (t) = −an−1 xn−1 (t) − . . . − a1 x1 (t) − a0 x0 (t) + f (t)

donde x0 = y, x1 = y 0 , . . . , xn−1 = y (n−1) ; esto es, en forma vectorial, x(t) = Ax(t) + f (t) siendo

0  0  . . A=  .  0 −a0 

1 0 .. .

0 1 .. .

... ...

0 −a1

0 −a2

... ...

0 0 .. .

0 0 .. .

0 −an−2

1 −an−1

     

 0  0   .  .  f (t) =   .   0  f (t) 

;

Entonces s´ olo queda por probar que el polinomio caracter´ıstico de la matriz A y el de la ecuaci´on lineal dada son el mismo, con lo que el resultado es una consecuencia inmediata de la proposici´on 34 y el teorema 18. Dicha prueba se hace por inducci´ on: • Si n = 2: Entonces  A= 3 Este

0 −a0

1 −a1

enunciado es equivalente al primero.

 ⇒

det (A − λId) = λ2 + a1 λ + a0 ≡ p(2) (λ)

Ecuaciones Diferenciales.

62

• Si es cierto para n − 1, entonces es cierto para n: Por hip´otesis de inducci´on, para n − 1 se tiene p(n−1) (λ) := λn−1 + an−2 λn−2 + . . . + a1 λ + a0 y para n, desarrollando el determinante de la matriz A − λId por la primera columna det (A − λId) = −λ(−1)n (λn−1 + an−2 λn−2 + . . . + a1 λ + a0 ) y de ah´ı el resultado.

4.4

Estabilidad de sistemas no lineales

4.4.1

Estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas aut´ onomos no lineales

El estudio de la estabilidad de las soluciones de sistemas no lineales s´olo est´a completado para las soluciones de equilibrio. Para abordar el estudio de la estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas aut´onomos no lineales se consideran primero los sistemas “casi lineales” aut´onomos del tipo x0 (t) = Ax(t) + g(x(t))

(4.9)

con A ∈ Mn×n (R) (matriz de constantes). Entonces: Definici´ on 24 Dado un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo (4.9), se denomina sistema linealizado asociado al mismo a x0 (t) = Ax(t) Y se tiene el siguiente resultado (que se enuncia sin demostraci´on). Teorema 20 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo (4.9), tal que 1. g(0) = 0. 2.

g(x(t)) g(x(t)) es una funci´ on continua y lim =0. x→0 kx(t)k kx(t)k

Entonces la soluci´ on de equilibrio x0 (t) = 0 del sistema linealizado es tambi´en una soluci´ on de equilibrio del sistema y: 1. Si todos los valores propios de A tienen parte real negativa entonces la soluci´ on de equilibrio x0 (t) = 0 del sistema es asint´ oticamente estable. 2. Si la matriz A tiene alg´ un valor propio con parte real positiva entonces la soluci´ on de equilibrio x0 (t) = 0 del sistema es inestable. 3. En el resto de los casos no se puede asegurar nada sobre la estabilidad de la soluci´ on de equilibrio x0 (t) = 0 del sistema.

Teniendo esto en cuenta, el estudio de la estabilidad de las soluciones de equilibrio de sistemas aut´ onomos no lineales pasa por la “linealizaci´ on” de los mismos.

Ecuaciones Diferenciales.

63

Proposici´ on 36 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales aut´ onomo (no lineal) dx(t) = f (x(t)) dt

(4.10)

y sea x0 un punto de equilibrio cualquiera del sistema (esto es, tal que f (x0 ) = 0). Entonces, la estabilidad de la soluci´ on de equilibrio xeq (t) = x0 es equivalente 4 a la estabilidad de la soluci´ on de equilibrio z0 (t) = 0 del sistema   dz(t) ∂fi = z(t) + g(z(t)) (4.11) dt ∂xj x=x0 donde g es una funci´ on que contiene s´ olo t´erminos cuadr´ aticos o de orden superior en zk y verifica que g(z(t)) lim =0. z→0 kz(t)k ( Dem. )

Desarrollando f (x) por Taylor en un entorno de x0 , y teniendo en cuenta que f (x0 ) = 0,     ∂fi ∂fi 0 0 z(t) + g(z(t)) = z(t) + g(z(t)) f (x) = f (z + x ) = f (x ) + ∂xk x=x0 ∂xj x=x0

g(z(t)) = 0 , y como x) = z + x0 , se tiene que z→0 kz(t)k

con lim

dx(t) dz(t) = = f (z + x0 ) dt dt de donde la ecuaci´ on (4.10) queda transformada en (4.11), y x = x0 es soluci´on de equilibrio de (4.10) si, y s´ olo si, z = 0 es soluci´ on de equilibrio de (4.11). De ah´ı el resultado. Por consiguiente, como corolario del teorema 20 y de esta proposici´on se obtiene que el estudio de la estabilidad de las soluciones de equilibrio de un sistema aut´onomo se basa en el an´alisis del signo de la parte real de los valores propios de la matriz jacobiana de la funci´on f en los puntos de equilibrio; esto es: Proposici´ on 37 Sea un sistema de ecuaciones diferenciales aut´ onomo (no lineal) dx(t) = f (x(t)) dt y sea x0 un punto de equilibrio cualquiera del sistema (esto es, tal que f (x0 ) = 0). Entonces: 

 ∂fi 1. Si todos los valores propios de la matriz tienen parte real negativa, entonces la soluci´ on ∂xj x=x0 eq 0 de equilibrio x (t) = x del sistema inicial es asint´ oticamente estable.   ∂fi tiene alg´ un valor propio con parte real positiva, entonces la soluci´ on de 2. Si la matriz ∂xj x=x0 equilibrio xeq (t) = x0 del sistema inicial es inestable. 3. En el resto de los casos no se puede asegurar nada sobre la estabilidad de la soluci´ on de equilibrio xeq (t) = x0 del sistema inicial. (V´eanse ejemplos de aplicaci´ on en la colecci´on de problemas).

4.4.2

Estabilidad respecto a variaciones del segundo miembro

En este u ´ltimo apartado se va a analizar brevemente el problema de la estabilidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales cuando el segundo miembro de la ecuaci´on sufre peque˜ nas variaciones. Se enuncia el resultado para el caso de una s´ ola ecuaci´on diferencial. 4 En

el sentido precisado en el teor. 20.

Ecuaciones Diferenciales.

64

Teorema 21 Consid´erense los problemas de valores iniciales en D ⊆ R2 y 0 (t) = f (t, y(t))

;

y(t0 ) = y0

y (t) = f (t, y(t)) + θ(t, y(t)

;

y(t0 ) = y0 + 0

0

tales que f y θ son funciones continuas y derivables, con derivadas continuas en D ⊆ R2 (con (t0 , y0 ), (t0 , y0 + 0 ) ∈ D). Sean ϕ(t) y ψ(t) soluciones respectivas de ambos problemas de valor inicial. Si existen M ∈ R+ ∂f y ε ∈ R+ (arbitrariamente peque˜ no) tales que ≤ M y |θ(t, y(t)| < ε, para todo (t, y) ∈ D, entonces ∂y |ψ(t) − ϕ(t)| ≤ 0 eM |t−t0 | + para todo t tal que (t, ϕ(t)), (t, ψ(t)) ∈ D. ( Dem. )

Es una consecuencia del lema de Gronwald.

ε M |t−t0 | (e − 1) M

Chapter 5

La Transformaci´ on de Laplace 5.1

Introducci´ on

La transformaci´ on de Laplace es un m´etodo directo y muy potente para la resoluci´on de problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Su uso permite transformar una ecuaci´ on diferencial (o un sistema) de esta ´ındole, junto con sus condiciones iniciales, en una ecuaci´ on algebraica. En particular se va a estudiar su aplicaci´on al caso de ecuaciones diferenciales con segundos miembros discontinuos, que es cuando este m´etodo se muestra especialmente u ´til. El uso de la transformaci´ on de Laplace en este contexto y, en particular su aplicaci´on a problemas de ingenier´ıa el´ectrica, comenz´ o en los a˜ nos treinta (siglo y medio despu´es de que Laplace introdujese su transformaci´ on), como consecuencia de los trabajos de Van der Pool y Doestch que llevaron a abandonar el m´etodo operacional de Heaviside, de aplicaci´on m´as restringida e inc´omoda y carente de una adecuada justificaci´ on en aquellos tiempos. En la primera secci´ on del cap´ıtulo se van a introducir los conceptos b´asicos y propiedades fundamentales sobre la transformaci´ on de Laplace, que se utilizar´an para calcular las transformadas de algunas funciones elementales. Tambi´en se estudiar´ a la cuesti´on de la inversi´on de la transformaci´on de Laplace por el m´etodo de descomposici´ on en fracciones simples. En la segunda secci´on se aplicar´an las nociones anteriores para la resoluci´ on de problemas de valor inicial planteados por ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones ´ıntegro-diferenciales con coeficientes constantes. El an´alisis de algunos casos especiales (excitaciones discontinuas y excitaciones puntuales) conducir´a a la introducci´on de la funci´on de Heaviside y la delta de Dirac. Finalmente se estudiar´a el producto de convoluci´on y su aplicaci´on a la resoluci´ on de problemas de valor inicial con excitaciones en cuya expresi´on aparecen varios t´erminos de forma diversa. Igual que en los cap´ıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precisi´on m´as concreta, se asumir´ a que todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.

5.2 5.2.1

Definiciones b´ asicas y propiedades Transformadas de Laplace

Comenzaremos definiendo formalmente la transformaci´on de Laplace. Definici´ on 25 Sea f : [0, ∞) ⊂ R → R. Se denomina transformada de Laplace de la funci´ on f (t) a la funci´ on F : R → R (si existe) definida del siguiente modo Z ∞ Z x F (s) := e−st f (t)dt := lim e−st f (t)dt x→∞

0

65

0

Ecuaciones Diferenciales.

66

En los ejemplos de c´ alculo que se muestran en la secci´on 5.2.3 puede observarse que la transformada de Laplace de una funci´ on dada puede no existir para algunos valores de s o, incluso, para ning´ un valor de s, tal como muestra el siguiente caso: Ejemplo: 2

• La funci´ on f (t) = et no admite transformada de Laplace ya que, para cualquier s, se tiene que 2

e−st et = et(t−s) > et para t > s + 1, luego para x > s + 1 Z x Z −st t2 e e dt > lim lim x→∞

0

x→∞

x

et dt = lim (ex − es+1 ) = +∞

s+1

x→∞

El siguiente resultado establece condiciones suficientes que garantizan la existencia de la transformada de Laplace y precisan su dominio de definici´on (esto es, los valores de s para los que existe). Teorema 22 (de existencia de la transformada de Laplace): Sea f : [0, ∞) ⊂ R → R tal que: 1. La restricci´ on de f a cualquier intervalo finito [0, x] ⊂ R es una funci´ on continua (por lo menos a trozos). 2. f es de orden exponencial γ; es decir, existe M ∈ R+ tal que |f (t)| ≤ M eγt , ∀t ∈ [0, ∞). Entonces la transformada de Laplace F (s) de f (t) existe ∀s ∈ (γ, ∞). Z ( Dem. )

La primera condici´ on garantiza la existencia de la integral

x

e−st f (t)dt para todo x > 0. S´ olo

0

es necesario, pues, garantizar la convergencia de la integral en el intervalo [0, ∞); pero, por ser f (t) de orden exponencial γ, se tendr´ a que para s > γ Z x Z x Z ∞ 1 −st −(s−γ)t (5.1) |e f (t)|dt ≤ M |e |dt ≤ M |e−(s−γ)t |dt = s−γ 0 0 0 independientemente de x, por lo que la integral impropia es absolutamente convergente y, por tanto, convergente. Definici´ on 26 f : [0, ∞) ⊂ R → R es una funci´on admisible sii: 1. La restricci´ on de f a cualquier intervalo finito [0, x] ⊂ R es una funci´ on continua (por lo menos a trozos). 2. f es de orden exponencial γ. Comentarios: • La clase de funciones admisibles es suficientemente amplia para la mayor´ıa de las aplicaciones. En ella se incluyen las funciones polin´ omicas, las exponenciales, las logar´ıtmicas y las peri´odicas que sean continuas a trozos en cada periodo. • Es inmediato probar, adem´ as, que la combinaci´on lineal y el producto de funciones admisibles es otra funci´ on admisible El siguiente resultado (cuya demostraci´on se omite) permitir´a invertir la transformaci´on de Laplace en muchas ocasiones, sin necesidad de recurrir a una f´ormula general de inversi´on que requiere integraci´ on en el campo complejo. Para ello bastar´ a con descomponer la funci´on F (s) en suma de funciones que sean transformadas de funciones conocidas, ya que: Teorema 23 (de unicidad de la transformada de Laplace): Si f (t), g(t) son funciones admisibles y F (s) = G(s), para todo s grande, entonces f (t) = g(t) en cada punto donde ambas son continuas. En particular, si f y g son continuas para todo t ≥ 0, entonces f = g.

Ecuaciones Diferenciales.

5.2.2

67

Primeras propiedades

Para estudiar las propiedades de la transformaci´on de Laplace resulta u ´til introducir el operador L

C∞ ([0, ∞)) f (t)

:

−→ 7→

C∞ (R) F (s)

Entonces, como primeras propiedades de las transformadas de Laplace se pueden establecer las siguientes: Proposici´ on 38 (Linealidad): L es un operador lineal; esto es, si f (t), g(t) son funciones admisibles, entonces af (t) + bg(t) (con a, b ∈ R) es tambi´en admisible y L(af (t) + bg(t)) = aL(f (t)) + bL(g(t) ≡ aF (s) + bG(s) ( Dem. )

En efecto ∞

Z L(af (t) + bg(t))

=

e

−st

Z

∞

(af (t) + bg(t))dt = a

−st

e

0

Z

∞

f (t)dt + b

0

e−st g(t)dt

0

= aL(f (t)) + bL(g(t) ≡ aF (s) + bG(s)

La siguiente propiedad es el fundamento de la aplicaci´on de las transformadas de Laplace a la resoluci´ on de ecuaciones diferenciales. As´ı, teniendo en cuenta que si f (t) es una funci´on derivable tal que f 0 (t) es admisible, entonces f (t) tambi´en lo es, se tiene: Proposici´ on 39 (Derivaci´ on): Sea f (t) una funci´ on derivable tal que f 0 (t) es admisible, entonces L(f 0 (t)) = sL(f (t)) − f (0) ≡ sF (s) − f (0)

(5.2)

y, en general, si f (t) es derivable hasta el orden n y f (n) (t) es una funci´ on admisible, entonces L(f (n) (t)) = sn F (s) − sn−1 f (0) − . . . − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0) ( Dem. )

Integrando por partes resulta Z ∞ Z ∞ 0 −st 0 −st L(f (t)) = e f (t)dt = e f (t) + s 0

0

=

∞

e−st f (t)dt

0

−f (0) + sL(f (t)) = sF (s) − f (0)

y, en general, procediendo por inducci´ on L(f (n) (t))

= sL(f (n−1) (t)) − f (n−1) (0) = s(sn−1 F (s) − sn−2 f (0) − . . . − f (n−2) (0)) − f (n−1) (0) = sn F (s) − sn−1 f (0) − . . . − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0)

Comentario: • En la anterior proposici´ on se asume que f (t) est´a definida en t = 0. De no ser as´ı, al ser f (t) admisible y, por tanto, continua a trozos, ha de existir f (0+ ) = lim+ f (t) y se tiene t→0

0

L(f (t))

Z =

lim

→0+

∞

e  +

−st 0

f (t)dt = lim (e →0+

−st

f (t)|∞ 

= −f (0 ) + sL(f (t)) ≡ sF (s) − f (0+ ) y lo mismo para el caso general.

Z +s 

∞

e−st f (t)dt)

Ecuaciones Diferenciales.

68

La inversi´ on de la transformaci´ on de Laplace se ver´a facilitada en gran medida por las siguientes propiedades: Proposici´ on 40 (Integraci´ on): Si f (u) una funci´ on integrable y admisible (con transformada de Laplace Z t f (u)du es admisible y F (s)), entonces 0 t

Z L

 f (u)du

=

0

Z ( Dem. )

t

Poniendo g(t) =

propiedad de derivaci´ on

F (s) s

f (u)du se tiene que g 0 (t) = f (t) con g(0) = 0, por lo que utilizando la

0

Z

0

F (s) = L(g (t)) = sL(g(t)) = sL

t

 f (u)du

0

Proposici´ on 41 (Valores inicial y final): Si f (t) es una funci´ on admisible (con transformada de Laplace F (s)) cuya derivada es admisible y existen los l´ımites de f (t) cuando t → 0+ y t → +∞, entonces 1.

lim F (s) = 0 .

s→+∞

2. lim+ f (t) = lim sF (s) . s→+∞

t→0

3.

lim f (t) = lim sF (s) .

t→+∞

( Dem. )

s→0

En efecto.

1. Es una consecuencia inmediata de la acotaci´on |F (s)| ≤

M , que se obtiene, a su vez, de la acotaci´ on s−γ

(5.1). 2. Se parte de la propiedad de derivaci´on expresada como L(f 0 (t)) = sF (s) − lim f (t) t→0+

Haciendo s → +∞ y teniendo en cuenta que, al ser f 0 (t) admisible, se tiene que lim L(f 0 (t)) = 0 , el t→0+

resultado es inmediato. 3. Se parte de nuevo de la propiedad de derivaci´on escrita ahora en la forma Z x L(f 0 (t)) = lim e−st f 0 (t)dt = sF (s) − f (0) x→+∞

0

de donde, haciendo s → +∞, se obtiene lim sF (s) − f (0)

s→0

Z x Z x lim lim e−st f 0 (t)dt = lim lim e−st f 0 (t)dt x→+∞ s→0 0 s→0 x→+∞ 0 Z x = lim f 0 (t)dt = lim f (x) − f (0) = lim f (t) − f (0)

=

x→+∞

0

x→+∞

t→+∞

(Se ha utilizado el hecho de que es posible intercambiar el orden de ejecuci´on de los l´ımites, por estar F (s) definida en un entorno de s = 0).

Ecuaciones Diferenciales.

69

Proposici´ on 42 (Multiplicaci´ on por t): Si f (t) es una funci´ on admisible (con transformada de Laplace F (s)), entonces dF (s) L(tf (t)) = − ds ( Dem. )

En efecto, pues dF (s) d = ds ds

∞

Z

e

−st

Z f (t)dt = −

0

∞

e−st tf (t)dt

0

f (t) es una funci´ on admisible, para lo cual, si f (t) es admisible (con t f (t) transformada de Laplace F (s)), es suficiente con que exista lim+ , entonces t t→0   Z ∞ f (t) L = F (u)du t s

Proposici´ on 43 (Divisi´ on por t): Si

( Dem. )

Si g(t) =

f (t) se tiene que f (t) = tg(t), y utilizando la propiedad anterior t F (s) = −

de donde Z ∞ Z F (u)du = lim x→+∞

s

x

Z F (u)du = lim

x→+∞

s

s

x

dG(s) ds

dG(u) du = lim (G(s) − G(x)) = G(s) = L − x→+∞ du



f (t) t



donde se ha utilizado la propiedad 1 de la proposici´on 41. Proposici´ on 44 (Multiplicaci´ on por eat ): Si f (t) es una funci´ on admisible (con transformada de Laplace F (s)), entonces L(eat f (t)) = F (s − a) ( Dem. )

En efecto, pues L(eat f (t)) =

Z

∞

e−st eat f (t)dt =

Z

0

∞

e−(s−a)t f (t)dt = F (s − a)

0

Proposici´ on 45 (Traslaci´ on): Si f (t) es una funci´ on admisible (con transformada de Laplace F (s)), entonces la funci´ on  f (t − a) si t ≥ a f˜(t) = 0 si t < a es admisible y L(f˜(t)) = e−as F (s) ( Dem. )

En efecto, pues L(f˜(t)) =

Z

∞

e−st f˜(t)dt =

0

Z

∞

e−st f (t − a)dt = (∗)

a

y haciendo t − a = u, Z (∗) = 0

∞

e−su e−sa f (u)du = e−as F (s)

Ecuaciones Diferenciales.

70

Proposici´ on 46 (Cambio de escala): Si f (t) es una funci´ on admisible (con transformada de Laplace F (s)) y a > 0, entonces 1 s L(f (at)) = F a a ( Dem. )

En efecto, haciendo at = u Z ∞ Z 1 ∞ −su 1 s L(f (at)) = e−st f (at)dt = e a f (u)du = F a 0 a a 0

Proposici´ on 47 (Funciones peri´ odicas): Si f (t) es una funci´ on admisible peri´ odica de periodo T ; es decir, f (t + T ) = f (t), entonces R T −st e f (t)dt L(f (t)) = 0 1 − e−sT ( Dem. )

En efecto, Z

∞

e−st f (t)dt =

L(f (t)) =

y haciendo t = T + u en la u ´ltima integral Z T Z −st (∗) = e f (t)dt + 0

Z

e−st f (t)dt +

∞

Z

e−st f (t)dt = (∗)

T

∞

e−s(T +u) f (T + u)du

0 T

∞

Z

e−st f (t)dt + e−sT

0

5.2.3

T

0

0

=

Z

e−su f (u)du =

T

Z

0

e−st f (t)dt + e−sT F (s)

0

Transformadas de Laplace de algunas funciones elementales

Vamos a utilizar algunas de las propiedades expuestas para calcular, a modo de ejemplo, las transformadas de Laplace de algunas funciones elementales. 1. f (t) = 1. Z L(1) :=

∞

e−st dt = lim

x→∞

0

x

Z

1 1 − e−sx = x→∞ s s

e−st dt = lim

0

si s > 0, no existiendo si s ≤ 0. 2. f (t) = tn . Para n = 1 se tiene

Z L(t) :=

∞

e

−st

Z tdt = lim

0

x→∞

x

e−st tdt =

0

1 s2

si s > 0, no existiendo si s ≤ 0. (Tambi´en se obtiene a partir del primer resultado y usando la propiedad de multiplicaci´ on por t). Para n = 2, partiendo del anterior resultado y usando la propiedad de multiplicaci´on por t, L(t2 ) = −

d 1 2 = 3 2 ds s s

Finalmente, por inducci´ on L(tn ) = −

d d (n − 1)! n! L(tn−1 ) = − = n+1 ds ds sn s

Ecuaciones Diferenciales.

71

3. f (t) = tn eat . Partiendo del resultado anterior y usando la propiedad de multiplicaci´on por eat : n! (s − a)n+1

L(tn eat ) = 4. f (t) = eat . L(eat ) :=

∞

Z

e−st eat dt = lim

x→∞

0

Z

x

e−(s−a)t dt =

0

1 s−a

si s > a, no existiendo si s ≤ a. (Tambi´en se obtiene a partir del primer resultado y usando la propiedad de multiplicaci´ on por eat ). 5. f (t) = cos bt , g(t) = sin bt. Sus transformadas de Laplace se pueden determinar directamente como en los otros ejemplos, pero es m´ as c´ omodo utilizar la f´ ormula de Euler: Z ∞ Z ∞ L(cos bt) + iL(sin bt) := e−st cos btdt + i e−st sin btdt 0 0 Z ∞ Z ∞ s + ib 1 = 2 = e−st (cos bt + i sin bt)dt = e−st eibt dt = s − ib s + b2 0 0 e igualando partes real e imaginaria se obtiene L(cos bt)

=

L(sin bt)

=

s s2 + b2 b 2 s + b2

6. f (t) = eat cos bt , g(t) = eat sin bt. Partiendo del resultado anterior y usando la propiedad de multiplicaci´on por eat : L(eat cos bt)

=

L(eat sin bt)

=

s−a (s − a)2 + b2 b (s − a)2 + b2

7. f (t) = t cos bt , g(t) = t sin bt. Partiendo del mismo resultado que antes y usando la propiedad de multiplicaci´on por t: L(t cos bt)

=

L(t sin bt)

=

s2 − b2 (s2 + b2 )2 2bs (s2 + b2 )2

Comentario: • Naturalmente el uso de las propiedades expuestas puede reiterarse. As´ı, p. ej., para obtener la transformada de Laplace de la funci´on Z t f (t) = e−u u sin udu 0

se parte de la transformada de f (t) = sin t y basta con aplicar sucesivamente las propiedades de multiplicaci´ on por t, de multiplicaci´on por eat y de integraci´on, para obtener Z t  2(s + 1) −u L e u sin udu = s((s + 1)2 + 1)2 0

Ecuaciones Diferenciales.

5.2.4

72

Inversi´ on (por descomposici´ on en fracciones simples)

Se va a estudiar, finalmente, el problema de invertir la transformaci´on de Laplace. En general ello requiere considerar s como variable compleja e integrar en el plano complejo. Afortunadamente, en muchos casos de las aplicaciones, la transformada de Laplace es una funci´on racional con el polinomio del numerador de grado menor que el del denominador (´esto es una consecuencia de la propiedad del valor inicial (1)). En tales casos es m´ as f´ acil invertir la transformaci´on utilizando el m´etodo que a continuaci´on se describe. P (s) , donde P (s) y Q(s) son polinomios con coeficientes reales y Q(s) grado (P (s)) < grado (Q(s)). El procedimiento consiste en descomponer la funci´on en suma de fracciones simples. Entonces, pueden darse los siguientes casos, seg´ un las caracter´ısticas de las ra´ıces de Q(s): Sea la funci´ on racional F (s) =

1. Si α ∈ R es una ra´ız de Q(s) con multiplicidad µ, entonces en la descomposici´on en fracciones simples aparecen los factores A1 s−α

,

A2 (s − α)2

,

...

,

Aµ (s − α)µ

(Ak ∈ R)

y, de acuerdo con los resultados del apartado anterior, para cada uno de ellos se tiene, en general, ∀k = 1, . . . , µ,   Ak (k − 1)! Ak Ak k−1 αt = =L t e (s − α)k (k − 1)! (s − α)k (k − 1)! 2. Si α + iβ ∈ C es una ra´ız de Q(s), tambi´en lo es su conjugada α − iβ ∈ C, ambas con la misma multiplicidad µ. Entonces se pueden englobar los factores correspondientes a estas dos ra´ıces en un s´ olo sumando, debi´endose distinguir los siguientes casos: (a) Si la multiplicidad es µ = 1: Entonces el t´ermino correspondiente a estas ra´ıces que aparece en la descomposici´ on en fracciones simples es   As + B A(s − α) Aα + B β Aα + B αt αt e sin βt = + = L Ae cos βt + (s − α)2 + β 2 (s − α)2 + β 2 β (s − α)2 + β 2 β (b) Si la multiplicidad es µ = 2: Entonces, en la descomposici´on en fracciones simples correspondiente a estas ra´ıces aparece, adem´ as del anterior, el t´ermino Cs + D C 2β(s − α) 1 = + (Cα + D) 2 2 2 2 2 2 ((s − α) + β ) 2β ((s − α) + β ) ((s − α)2 + β 2 )2 Para el primer sumando se tiene
2β(s − α) = L eαt t sin βt ((s − α)2 + β 2 )2 y para el segundo 1 ((s − α)2 + β 2 )2

= = =

1 (s − α)2 + β 2 − (s − α)2 + β 2 2β 2 ((s − α)2 + β 2 )2 1 β 1 (s − α)2 − β 2 − 3 3 2 2 2β (s − α) + β 2β ((s − α)2 + β 2 )2 1 1 L(eαt sin βt) − 2 L(eαt t cos βt) 3 2β 2β

(c) Si la multiplicidad es µ > 2, entonces la inversi´on de los correspondientes t´erminos es m´as c´ omoda si se utilizan los m´etodos de convoluci´on que se expondr´an al final del cap´ıtulo. Comentario: • Obs´ervese que, al expresar la funci´ on racional como suma de fracciones simples e invertir la transformaci´ on de Laplace, se est´ a haciendo uso de la propiedad expresada en el teorema de unicidad de la transformada de Laplace.

Ecuaciones Diferenciales.

73

• El c´ alculo de los coeficientes que aparecen en la descomposici´on en fracciones simples puede hacerse por el conocido m´etodo de coeficientes indeterminados. Sin embargo, para los t´erminos correspondientes a ra´ıces reales (y, en particular, cuando son simples) es m´as c´omodo el siguiente m´etodo: Si α ∈ R es una ra´ız de Q(s) con multiplicidad µ, se tiene µ

P (s) X Ak + R(s) = Q(s) (s − α)k k=1

donde R(s) es una funci´ on racional cuyo denominador ya no contiene la ra´ız α. Multiplicando ambos miembros por (s − α)µ se obtiene µ

X P (s) = Ak (s − α)µ−k + (s − α)µ R(s) µ Q(s)/(s − α) k=1

e identificando el segundo miembro como el desarrollo de Taylor del primero, se obtiene que   d P (s) P (s) , Aµ−1 = Aµ = Q(s)/(s − α)µ s=α ds Q(s)/(s − α)µ s=α y, en general 1 dµ−k Ak = (µ − k)! dsµ−k

5.3 5.3.1



P (s) Q(s)/(s − α)µ



s=α

Aplicaci´ on a la resoluci´ on de ecuaciones diferenciales Resoluci´ on de problemas de valor inicial de ecuaciones y sistemas con coeficientes constantes

Utilizando u ´nicamente las propiedades de linealidad y de derivaci´on de la transformaci´on de Laplace, se est´ a ya en condiciones de resolver algunos problemas de valor inicial para: 1. Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. 2. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. 3. Ecuaciones ´ıntegro-diferenciales. (V´eanse ejemplos en la colecci´ on de problemas).

5.3.2

Excitaciones discontinuas: Funci´ on de Heaviside

El uso de la transformada de Laplace para la resoluci´on de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales se˜ nalados en el apartado anterior muestra toda su eficacia cuando la funci´on que aparece en el t´ermino independiente de la ecuaci´ on (o sistema) presenta discontinuidades de salto en uno o varios puntos de su dominio 1 . Para tratar este tipo de problemas con el m´etodo de la transformaci´on de Laplace es de gran utilidad la siguiente funci´ on: Definici´ on 27 Se denomina funci´ on de Heaviside o funci´on de salto unidad a la funci´ on  0 si 0 ≤ t < a u(t − a) ≡ ua (t) = 1 si a ≤ t Si a = 0 se escribe simplemente u(t). 1 Ello

corresponde a que el sistema modelado por dicha ecuaci´ on presente saltos bruscos en uno o varios instantes.

Ecuaciones Diferenciales.

74

El resultado de mayor inter´es para nosotros es: Proposici´ on 48 La transformada de Laplace de ua (t) es L(ua (t)) = En particular L(u(t)) = ( Dem. )

e−sa s

1 . s

Inmediata, pues Z

∞

L(ua (t)) :=

e−st ua (t)dt =

0

Z

∞

e−st dt =

a

e−sa s

Comentarios: • Una funci´ on que presente discontinuidades de salto tal como   f1 (t) si 0 ≤ t < a f2 (t) si a ≤ t < b f (t) =  f3 (t) si b ≤ t se puede expresar en t´erminos de la funci´on de Heaviside de la siguiente forma f (t)

= f1 (t)(u(t) − u(t − a)) + f2 (t)(u(t − a) − u(t − b)) + f3 (t)u(t − b) = f1 (t) + (f2 (t) − f1 (t))u(t − a) + (f3 (t) − f2 (t))u(t − b)

• La propiedad de traslaci´ on puede expresarse ahora en t´erminos de la funci´on de Heaviside como L(f˜(t)) = L(u(t − a)f (t − a)) = e−as F (s) (donde F (s) = L(f (t))), f´ ormula que permite el c´alculo de la transformada de Laplace de una funci´ on con discontinuidades de salto y tambi´en su inversi´on. (V´eanse ejemplos en la colecci´ on de problemas).

5.3.3

Delta de Dirac

Hay muchas aplicaciones cuya modelizaci´on matem´atica conduce a ecuaciones diferenciales lineales (con coeficientes constantes) en las que la funci´on f (t) del t´ermino independiente es nula fuera de un estrecho intervalo [a, a + ] en el que toma valores arbitrariamente grandes. Normalmente, adem´as, estos valores son Z β desconocidos, disponi´endose u ´nicamente del valor de la integral I = f (t)dt (si α ≤ a < a +  ≤ β). α

Este tipo de situaciones se presenta en problemas de naturaleza impulsiva. Por ejemplo, en un sistema mec´ anico formado por una masa sujeta mediante un resorte el´astico, al golpear con un martillo en un instante t = a, comunicando un impulso de valor I durante un breve intervalo de tiempo [a, a + ], en el cual el martillo est´ a en contacto con la masa (en este caso, f (t) representa la fuerza aplicada en ese lapso de tiempo). Tambi´en en el caso de un circuito el´ectrico RCL, cuya ecuaci´on Z dI 1 t e(t) = RI + L + I(τ )dτ dt C 0 se deriva para obtener la ecuaci´ on diferencial L

d2 I dI 1 de +R + I= = f (t) dt2 dt C dt

Ecuaciones Diferenciales.

75

cuando la tensi´ on cambia bruscamente en el instante α (de hecho entre α y α + ) desde un valor e0 hasta el valor e0 + I. Para tratar estas situaciones se va a considerar el caso ideal que se obtiene al hacer que  → 0. Fijando I = 1, si f → f0 , esta “funci´ on” f0 deber´ıa satisfacer Z f0 (t) = 0

para t 6= α

β

;

si α ≤ a < β

f0 (t)dt = 1 α

condiciones que no puede verificar ninguna funci´on ordinaria. Obs´ervese, no obstante, que lo que realmente interesa no es obtener el valor del l´ımite de f cuando  → 0, sino resolver el problema de valor inicial a2 y 00 (t) + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = f (t)

;

y(0) = 0

y 0 (0) = 0

,

(5.3)

para el caso  → 0, y que en la resoluci´ on de un problema como ´este (que para simplificar se ha tomado con condiciones iniciales homog´eneas) no es preciso conocer los valores de f (t) sino simplemente el valor de Z β g(t)f (t)dt , donde g(t) es una funci´on continua. En efecto, la soluci´on de (5.3) integrales de la forma α

obtenida por el m´etodo de variaci´ on de constantes a partir de dos soluciones y1 e y2 de la ecuaci´on lineal homog´enea asociada es, como se puede comprobar, Z t Z t −y2 (τ ) y1 (τ ) y(t) = y1 (t) f (τ )dτ + y2 (t) f (τ )dτ 0 a2 W (τ ) 0 a2 W (τ ) An´ alogamente, la resoluci´ on del problema de valor inicial (5.3) utilizando la transformaci´on de Laplace conduce a la ecuaci´ on Z ∞ 2 (a2 s + a1 s + a0 )Y (s) = F (s) = e−st f (t)dt 0

de donde se obtiene Y (s) e, invirtiendo, y(t). En ambos casos f (t) s´olo interviene como integrando multiplicado por una funci´ on continua. Z β As´ı pues, para resolver el caso ideal planteado ( → 0) hay que calcular lim g(t)f (t)dt cuando g(t) →0

es una funci´ on continua. Se tiene:

α

Lema 5 Si g(t) es continua en [α, β], entonces Z

β

lim

→0

 g(t)f (t)dt =

α

g(a) si α ≤ a < β 0 en otro caso

( Dem. ) Si α es tal que α ≤ a < β, para  suficientemente peque˜ no α ≤ a < a +  < β, y como f (t) = 0 para t 6∈ [a, a + ], Z β Z a+ g(t)f (t)dt = g(t)f (t)dt α

a

Ahora, con m = min g(t) y M = max g(t) , se tiene [a,a+]

[a,a+]

Z

a+

a+

Z f (t)dt ≤

m

Z g(t)f (t)dt ≤ M

a

a

es decir

a+

f (t)dt a

a+

Z m ≤

g(t)f (t)dt ≤ M a

pero como g es continua, cuando  → 0, tanto m como M tienden a g(a), luego Z

β

lim

→0

g(t)f (t)dt = g(a) α

Ecuaciones Diferenciales.

76

Si a ≥ β entonces f (t) = 0 en [α, β], y si a ≤ α entonces, para  suficientemente peque˜ no, a +  < a, luego tambi´en f (t) = 0 en [α, β], por tanto Z β g(t)f (t)dt = 0 lim →0

α

Este resultado permite considerar el caso ideal  → 0 (en que f → f0 ) en la situaci´on descrita. Para ello se define la siguiente “funci´ on” 2 : Definici´ on 28 Se denomina delta de Dirac a la “funci´ on” δ(t − a) tal que, para toda funci´ on continua g(t) en [α, β], verifica que  Z β g(a) si α ≤ a < β g(t)δ(t − a)dt = 0 en otro caso α Con esta definici´ on, el caso  → 0 en un problema de valor inicial como (5.3) (pero con condiciones iniciales cualesquiera) conduce a la ecuaci´on a2 y 00 (t) + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = Iδ(t − a)

;

y(0) = y0

,

y 0 (0) = y1

para cuya resoluci´ on basta con conocer L(δ(t − a)). Proposici´ on 49 La transformada de Laplace de δ(t − a) es L(δ(t − a)) = e−sa En particular, para a = 0, L(δ(t)) = 1 . ( Dem. )

Inmediata, pues de la propia definici´on se obtiene que Z ∞ L(δ(t − a)) := e−st δ(t − a)dt = e−sa 0

(V´eanse ejemplos en la colecci´ on de problemas).

5.3.4

Convoluci´ on y sistemas lineales

A menudo se presenta el problema de determinar la respuesta de un sistema sometido a varias excitaciones de diverso tipo simult´ aneamente. Consid´erese como modelo el caso en que la formulaci´on matem´atica del sistema conduce al problema de valor inicial (5.3) a2 y 00 (t) + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = f (t)

;

y(0) = 0 ,

y 0 (0) = 0

(5.4)

con f (t) conteniendo diferentes expresiones tipos de funciones (para simplificar se han considerado condiciones iniciales homog´eneas). Su resoluci´ on mediante la transformada de Laplace lleva a Y (s) =

1 F (s) ≡ H(s)F (s) a2 s2 + a1 s + a0

(5.5)

y s´ olo resta invertir la transformaci´ on de Laplace para obtener y(t). Sin embargo, ser´ıa deseable hacerlo de tal forma que al cambiar f (t) y, por tanto F (s), no hubiera que rehacer todos los c´alculos. Para ello, se 1 comienza observando que en la anterior expresi´on H(s) = es la transformada de Laplace de a2 s2 + a1 s + a0 la funci´ on h(t), soluci´ on del problema de valor inicial dado cuando F (s) = 1, es decir, cuando f (t) = δ(t). Entonces: a2 h00 (t) + a1 h0 (t) + a0 h(t) = δ(t) ; h(0) = 0 , h0 (0) = 0 2 Realmente

no se trata de una verdadera funci´ on en el sentido ordinario, sino de una distribuci´ on.

Ecuaciones Diferenciales.

77

Definici´ on 29 Dado un problema de valor inicial a2 y 00 (t) + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = f (t)

;

y(0) = y0

,

y 0 (0) = y1

se denomina funci´ on de transferencia o respuesta impulsional del sistema a la funci´ on h(t) soluci´ on del problema de valor inicial a2 h00 (t) + a1 h0 (t) + a0 h(t) = δ(t) esto es a la funci´ on cuya transformada de Laplace es

;

h(0) = 0

,

h0 (0) = 0

(5.6)

1 . a2 s2 + a1 s + a0

Comentario: • N´ otese que s´ olo pueden darse los siguientes casos: 1. La soluci´ on general de la ecuaci´on (5.6) es h(t) = (c1 cos bt+c2 sin bt)eat , si las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico asociado son del tipo λ = a + bi. En este caso, la soluci´ on particular del problema de valor inicial da c1 = 0. 2. La soluci´ on general de la ecuaci´on (5.6) es h(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t , si las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico son λ1 , λ2 ∈ R, con λ1 6= λ2 . En este caso, la soluci´ on particular del problema de valor inicial da c1 = −c2 . 3. La soluci´ on general de la ecuaci´on (5.6) es h(t) = c1 eλt + c2 teλt , si las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico son λ1 = λ2 ≡ λ ∈ R. En este caso, la soluci´ on particular del problema de valor inicial da c1 = 0. • Obs´ervese que la funci´ on de transferencia de un sistema depende u ´nicamente de “la parte fija” del problema, correspondiente a los coeficientes ai . La expresi´ on (5.5) sugiere que y(t) est´e relacionada directamente con h(t) y f (t). Se trata de discernir c´ omo. En general se tiene que y(t) 6= h(t)f (t), ya que L(h(t)f (t)) 6= L(h(t))L(f (t)). El resultado correcto es: Proposici´ on 50 El problema de valor inicial (5.4) (cuya resoluci´ on por el m´etodo de Laplace conduce a la expresi´ on (5.5)) tiene como soluci´ on la funci´ on Z t Z t y(t) ' f (τ )h(t − τ )u(t − τ )dτ = f (τ )h(t − τ )dτ 0

( Dem. )

0

Se va a aproximar la funci´ on f (t) mediante f (t) '

N −1 X

f (ti )(u(t − ti ) − u(t − ti+1 ))

i=1

y, a su vez, se va a utilizar la aproximaci´ on u(t − ti ) − u(t − ti+1 ) ' ∆ti δ(t − ti ) con lo que, si ci = f (ti )∆ti , f (t) '

N −1 X

ci δ(t − ti )

i=1

A continuaci´ on se van a utilizar dos propiedades b´asicas de las soluciones de problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales lineales. En primer lugar, es v´alido el principio de superposici´on, por lo que la soluci´ on correspondiente a una combinaci´on lineal de excitaciones es la correspondiente combinaci´on de las soluciones a cada una de las excitaciones. As´ı pues, se puede aproximar la soluci´on y(t) por y(t) '

N −1 X i=1

ci yi (t)

Ecuaciones Diferenciales.

78

donde yi (t) son las soluciones de a2 y 00 (t) + a1 y 0 (t) + a0 y(t) = δ(t − ti )

;

y(0) = 0 ,

y 0 (0) = 0

En segundo lugar, por la propiedad de invariancia en el tiempo del sistema se ha de tener que yi (t) = h(t − ti )u(t − ti ), lo que se traduce en L(yi (t)) = H(s)L(δ(t − ti )) = H(s)e−sti obteni´endose, as´ı, que y(t) '

N −1 X

f (ti )∆ti h(t − ti )u(t − ti+1 )

i=1

El segundo miembro de esta expresi´ on puede verse como una suma de Riemann, por lo que, al hacer N → ∞ y max{∆ti , 0 ≤ i ≤ N − 1} → 0, se tendr´a Z t Z t f (τ )h(t − τ )dτ f (τ )h(t − τ )u(t − τ )dτ = y(t) ' 0

0

ya que u(t − τ ) = 1 para τ < t. Definici´ on 30 Dadas dos funciones f (t) y g(t), se denomina producto de convoluci´on de las mismas a la funci´ on (si existe) Z t f (τ )g(t − τ )dτ (f ∗ g)(t) := 0

De la discusi´ on precedente se obtiene inmediatamente el siguiente resultado: Teorema 24 (de Convoluci´ on): Si f (t) y g(t) son funciones admisibles, entonces f (t) ∗ g(t) tambi´en lo es y L((f ∗ g)(t)) = L(f (t))L(g(t)) Comentario: • El producto de convoluci´ on es muy u ´til para invertir la transformaci´on de Laplace, ya que, del teorema de convoluci´ on se obtiene de inmediato que si Y (s) = F (s)G(s) y f (t) = L−1 (F (s) y g(t) = L−1 (G(s)) entonces y(t) = L−1 (Y (s)) = (f ∗ g)(t)). Utilizando la definici´ on y/0 este teorema es inmediato comprobar las siguientes propiedades: Proposici´ on 51 Sean f (t), g(t) y h(t) funciones admisibles, entonces: 1. (f ∗ g)(t) = (g ∗ f )(t). 2. (f ∗ (g + h))(t)) = (f ∗ g)(t) + (f ∗ h)(t). 3. ((f ∗ g) ∗ h)(t)) = (f ∗ (g ∗ h))(t). 4. (δ ∗ f )(t) = f (t). Teniendo presente todo ´esto, se puede ahora afirmar que la soluci´on del problema de valor inicial (5.4) es Z t y(t) = (f ∗ h)(t)) = f (τ )h(t − τ )dτ 0

y si se modifica f (t) s´ olo ser´ a necesario modificar, en consecuencia, el c´alculo del producto de convoluci´ on con la funci´ on de transferencia del sistema. (V´eanse ejemplos en la colecci´ on de problemas).

Chapter 6

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales 6.1

Introducci´ on

Igual que en los cap´ıtulos anteriores, siempre que no se haga alguna precisi´on m´as concreta, se asumir´ a que todas las funciones son diferenciables con continuidad hasta el orden que se desee.

6.2 6.2.1

Ecuaciones en derivadas parciales y problemas de contorno Definiciones b´ asicas

Antes de comenzar conviene recordar que, como se defini´o en el primer cap´ıtulo, una ecuaci´on diferencial es una relaci´ on entre una funci´ on (suficientemente derivable), sus variables y una o varias derivadas sucesivas de la funci´ on. En forma impl´ıcita es una expresi´on del tipo F (x, y(x), y 0 (x), . . . , y (n) (x)) = 0 Entonces: Definici´ on 31 Se denomina ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales a una ecuaci´ on diferencial en la que la funci´ on inc´ ognita es de varias variables, u ≡ u(x1 , . . . , xn ). Esto es, una expresi´ on del tipo:   ∂2u ∂u ∂u ∂ 2 u ∂2u , ,..., , ,..., 2 ,... = 0 F x1 , . . . , x n , ∂x1 ∂xn ∂xk1 ∂x1 ∂x2 ∂xn (Las ecuaciones en derivadas parciales se suelen expresar siempre en forma impl´ıcita). 1. Se denomina orden de la ecuaci´ on al de la derivada de mayor orden que interviene en la ecuaci´ on. 2. Se denomina grado de la ecuaci´ on al exponente de la derivada de mayor orden. Igual que con las ecuaciones diferenciales ordinarias, se van a tratar, en particular, las ecuaciones en derivadas parciales de tipo lineal: Definici´ on 32 Una ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales es de tipo lineal sii es de primer grado en la funci´ on inc´ ognita u y en sus derivadas parciales. Se suele escribir L(u) = f (donde u y f son funciones de varias variables y L es un operador lineal que puede contener en su expresi´ on funciones de las variables independientes). La ecuaci´ on lineal es homog´enea sii no tiene t´ermino independiente; esto es, f = 0. 79

Ecuaciones Diferenciales.

80

Ejemplos: • Una ecuaci´ on en derivadas parciales lineal es, por ejemplo, 2

donde L = 2

∂u ∂u ∂2u + xy 2 − ex = f (x, y) ∂x ∂x ∂y

∂ ∂2 ∂ + xy 2 − ex . ∂x ∂x ∂y

• No es una ecuaci´ on en derivadas parciales lineal la siguiente u

ya que L = u

∂2u ∂u + xy = f (x, y) ∂x ∂x∂y

∂ ∂2 + xy no es un operador lineal, como puede comprobarse f´ acilmente. ∂x ∂x∂y

En este cap´ıtulo se prestar´ a especial atenci´on a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden ya que, como se ver´ a, son las que aparecen en las principales aplicaciones.

6.2.2

Problemas de contorno. Tipos de condiciones de contorno y de valor inicial

En el contexto de este cap´ıtulo, un problema de contorno consiste en resolver una ecuaci´on diferencial en derivadas parciales, esto es, en hallar una funci´on u que satisfaga dicha ecuaci´on en alg´ un dominio de las variables independientes, asi como ciertas condiciones de la funci´on y/o sus derivadas parciales en el contorno de este dominio. Tambi´en se acostumbra a exigir condiciones de continuidad de u y sus derivadas en el dominio en cuesti´ on y su contorno. Las condiciones de contorno que se van a considerar principalmente son las siguientes: Definici´ on 33 Un problema de contorno es lineal sii la ecuaci´ on en derivadas parciales a la que est´ a asociado es lineal y las propias condiciones de contorno tambi´en son lineales. Se tiene, por tanto: e.d.p. lineal: Conds. cont. lineales:

L(u) = f L1 (u) = f1 , . . . , Lk (u) = fk

Si f1 = . . . = fk = 0 se dice que las condiciones de contorno son homog´eneas. Ejemplo: • En el recinto 0 < x < 1, y > 0 se define e.d.p. lineal: Conds. cont. lineales:

∂2u ∂2u − = sin πx ∂y 2 ∂x2 L1 (u(x, 0)) := u(x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1 ∂u L2 (u(x, 0)) := (x, 0) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1 ∂x L3 (u(0, y)) := u(0, y) = 0 , y ≥ 0 L(u(x, y)) :=

L4 (u(1, y)) := u(1, y) = 0 , y ≥ 0 En este ejemplo se tiene f = sin πx, f1 = f2 = f3 = f4 = 0; luego las condiciones de contorno son lineales y homog´eneas. Igual que en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, se tiene el siguiente resultado:

Ecuaciones Diferenciales.

81

Proposici´ on 52 (Principio de superposici´on de soluciones): Sea una ecuaci´ on en derivadas parciales lineal y homog´enea L(u) = 0. Si u1 , . . . , un son soluciones, entonces: 1. Cualquier combinaci´ on lineal de las mismas, u =

n X

ck uk , es tambi´en soluci´ on.

k=1

2. Si u1 , . . . , un son soluciones que satisfacen una condici´ on de contorno lineal y homog´enea, entonces n X cualquier combinaci´ on lineal de las mismas, u = ck uk , satisface tambi´en la condici´ on dada. k=1

( Dem. )

Evidente pues, por ser L lineal L(u) = L(

n X

ck u k ) =

k=1

n X

ck L(uk ) = 0

k=1

y la segunda parte de la proposici´ on es inmediata. A continuaci´ on se van a introducir las diversas maneras en que pueden presentarse las condiciones de contorno. Definici´ on 34 Un problema de contorno es de tipo Dirichlet sii las condiciones de contorno consisten en dar los valores de la funci´ on inc´ ognita u en el contorno del dominio de definici´ on del problema. Definici´ on 35 Un problema de contorno es de tipo Newmann sii las condiciones de contorno consisten en ∂u de la funci´ on inc´ ognita u, en la direcci´ on normal al contorno dar los valores de la derivada direccional ∂n del dominio de definici´ on del problema, sobre los puntos de dicho contorno. Definici´ on 36 Un problema de contorno es de tipo mixto sii las condiciones de contorno consisten en ∂u (en la dar los valores de una combinaci´ on lineal de la funci´ on inc´ ognita u y de la derivada direccional ∂n direcci´ on normal al contorno del dominio de definici´ on del problema) sobre los puntos de dicho contorno. Es decir, de ∂u hu + ∂n donde h es una constante arbitraria o una funci´ on de las variables independientes. Definici´ on 37 Un problema de contorno es de tipo Cauchy sii la ecuaci´ on en derivadas parciales es de segundo orden en alguna de las variables (p. ej., y) y las condiciones de contorno consisten en dar los ∂u valores de la funci´ on inc´ ognita u y de la derivada parcial en y = 0. ∂y M’as adelante se ver´ a c´ omo se resuelven diversos tipos de ecuaciones en derivadas parciales sometidas a diferentes clases de condiciones de contorno.

6.2.3

Clasificaci´ on de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales

Consid´erese una ecuaci´ on en derivadas parciales de segundo orden lineal homog´enea con coeficientes constantes. Por simplicidad se tratar´ a la cuesti´on en dos dimensiones; esto es, se supondr´a que la funci´ on inc´ ognita depende de dos variables, u = u(x, y). Con estas hip´otesis, se est´an considerando ecuaciones cuya expresi´ on general es L(u) := A

∂2u ∂2u ∂u ∂u ∂2u +B +C 2 +D +E + Fu = 0 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

(6.1)

donde A, B, C, D, E, F ∈ R son constantes. En estas condiciones se tiene el siguiente resultado general:

Ecuaciones Diferenciales.

82

Proposici´ on 53 Toda ecuaci´ on en derivadas parciales de segundo orden lineal con coeficientes constantes (en dos dimensiones) del tipo (6.1) puede convertirse (por medio de transformaciones lineales) en una de los tres siguientes tipos: 1. Una ecuaci´ on lineal con coeficientes constantes con un u ´nico t´ermino de segundo orden en el que aparecen las derivadas parciales cruzadas de la funci´ on inc´ ognita. 2. Una ecuaci´ on lineal con coeficientes constantes con un u ´nico t´ermino de segundo orden en el que no aparecen las derivadas parciales cruzadas de la funci´ on inc´ ognita. 3. Una ecuaci´ on lineal con coeficientes constantes con dos t´erminos de segundo orden (con el mismo coeficiente) en los que no aparecen las derivadas parciales cruzadas de la funci´ on inc´ ognita. ( Dem. )

Si se efect´ ua el siguiente cambio lineal de coordenadas t = αx + βy

,

s = µx + λy

(6.2)

(con α, β, µ, λ ∈ R par´ ametros arbitrarios) y se designa por u ˜=u ˜(t, s) a la funci´on transformada de u(x, y), se tiene que ∂u ∂x ∂u ∂y ∂2u ∂x2 ∂2u ∂x∂y ∂2u ∂y 2

= = = = =

∂u ˜ ∂u ˜ +µ ∂t ∂s ∂u ˜ ∂u ˜ β +λ ∂t ∂s 2 ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂ u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ α2 2 + αµ + µα + µ2 2 = α2 2 + 2αµ + µ2 2 ∂t ∂t∂s ∂s∂t ∂s ∂t ∂t∂s ∂s ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ αβ 2 + αλ + µβ + µλ 2 = 2αβ 2 + (αλ + µβ) + 2µλ 2 ∂t ∂t∂s ∂s∂t ∂s ∂t ∂t∂s ∂s ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ ∂2u ˜ β 2 2 + βλ + λβ + λ2 2 = β 2 2 + 2βλ + λ2 2 ∂t ∂t∂s ∂s∂t ∂s ∂t ∂t∂s ∂s α

con lo que la ecuaci´ on (6.1) se transforma en 0

=

∂2u ∂2u ∂2u 2 2 + (2αµA + (αλ + µβ)B + 2βλC) + (µ A + µλB + λ C) + ∂t2 ∂t∂s ∂s2 ∂u ∂u D(α + β) + E(µ + λ) + Fu ∂t ∂s (α2 A + αβB + β 2 C)

Analicemos la forma de los t´erminos de segundo orden, de manera que se obtenga una de las tres opciones consideradas. 1. La ecuaci´ on tiene un s´ olo t´ermino de segundo orden en el que aparecen las derivadas parciales cruzadas de la funci´ on inc´ ognita. Hay dos posibilidades: (a) Si A = C = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformaci´on (6.2). (b) Sup´ ongase que A 6= 0 (y/o C 6= 0). Entonces ha de tenerse que α2 A + αβB + β 2 C = 0 ,

µ2 A + µλB + λ2 C = 0

o, equivalentemente  2   α α A+ B+C =0 , β β

 µ 2 λ

A+

µ λ

B+C =0

de donde, despejando, se obtiene la siguiente relaci´on   µ p p α 1 1 = (−B ± B 2 − 4AC) , = (−B ∓ B 2 − 4AC) β 2A λ 2A

(6.3)

Ecuaciones Diferenciales.

83

(en una de las igualdades se toma el signo + y en la otra el −). Para que la transformaci´on (6.2) α µ no sea singular ha de ser 6= , por lo que la ecuaci´on adopta la forma deseada β λ B

∂2u ˜ ∂u ˜ ∂u ˜ + D0 + E0 + Fu ˜=0 ∂t∂s ∂t ∂s

si, y s´ olo si, B 2 − 4AC > 0. 2. La ecuaci´ on tiene un s´ olo t´ermino de segundo orden en el que no aparecen las derivadas parciales cruzadas de la funci´ on inc´ ognita. Hay dos posibilidades: (a) Si B = C = 0 ´ o B = A = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformaci´ on (6.2). (b) Suponiendo de nuevo que A 6= 0 (y/o C 6= 0), entonces ha de tenerse que α2 A + αβB + β 2 C = 0 ,

2αµA + (αλ + µβ)B + 2βλC = 0

−B α = , con lo que se β 2A logra la anulaci´ on del primer coeficiente. Por otra parte, si se toma µ = 1 y λ = 0; es decir, se realiza la transformaci´ on t = −Bx + 2Ay , s = x Si B 2 − 4AC = 0, de la primera de las expresiones (6.3) se obtiene que

la segunda ecuaci´ on se reduce a 2αA + βB = 0 con lo que se obtiene una ecuaci´on en derivadas parciales del tipo 1 : A

∂u ˜ ∂u ˜ ∂2u ˜ + D0 + E0 + Fu ˜=0 2 ∂s ∂t ∂s

3. La ecuaci´ on tiene dos t´erminos de segundo orden en los que no aparecen las derivadas parciales cruzadas de la funci´ on inc´ ognita. Hay dos posibilidades: (a) Si B = 0 el resultado es directo sin necesidad de realizar la transformaci´on (6.2). (b) Si B 6= 0, la transformaci´ on −Bx + 2Ay t= √ 4AC − B 2

,

s=x

(es pues necesario que B 2 − 4AC < 0) convierte la ecuaci´on en derivadas parciales inicial en una de la forma  2  ∂ u ˜ ∂2u ˜ ∂u ˜ ∂u ˜ A + + D0 + E0 + Fu ˜=0 ∂t2 ∂s2 ∂t ∂s

La discusi´ on precedente da origen a la siguiente definici´on que clasifica las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden lineales con coeficientes constantes: Definici´ on 38 Dada una ecuaci´ on en derivadas parciales de segundo orden lineal homog´enea con coeficientes constantes (en dos dimensiones) del tipo (6.1). 1. La ecuaci´ on es del tipo hiperb´ olico (y el operador lineal L es hiperb´olico) sii B 2 − 4AC > 0; es decir, es del primer tipo: ∂2u ∂u ∂u +D +E + Fu = 0 ∂x∂y ∂x ∂y 1 Si

se desea que el t´ ermino que aparezca sea

∂2u ˜ , el an´ alisis a efectuar es an´ alogo. ∂t2

Ecuaciones Diferenciales.

84

2. La ecuaci´ on es del tipo parab´ olico (y el operador lineal L es parab´olico) sii B 2 − 4AC = 0; es decir, es del segundo tipo: ∂u ∂2u ∂u +D +E + Fu = 0 ∂x2 ∂x ∂y 3. La ecuaci´ on es del tipo el´ıptico (y el operador lineal L es el´ıptico) sii B 2 − 4AC < 0; es decir, es del tercer tipo: ∂u ∂u ∂2u ∂2u + 2 +D +E + Fu = 0 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

Comentario: • Esta clasificaci´ on es de gran relevancia ya que, para cada clase de ecuaci´on, el tipo de condici´ on de contorno y la naturaleza de la soluci´on son diferentes (como ya se ver´a). Adem´as, cada una de ellas corresponde, en las aplicaciones, a un tipo diferente de problema f´ısico: 1. Las hiperb´ olicas describen problemas de vibraciones (y requieren dos condiciones iniciales, adem´ as de las de contorno). 2. Las parab´ olicas describen problemas de difusi´on (y requieren una condici´on inicial, adem´as de las de contorno). 3. Las el´ıpticas describen problemas de estados de equilibrio (y no requieren condiciones iniciales, adem´ as de las de contorno). Antes de abordar el estudio y resoluci´on de estos tipos de ecuaciones sometidos a diferentes condiciones de contorno, es preciso dar algunas nociones sobre las series de funciones trigonom´etricas conocidas como series de Fourier.

6.3 6.3.1

Series de Fourier y funciones ortogonales Series y coeficientes de Fourier

En el estudio de muchos problemas f´ısicos que se modelizan por medio de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (p. ej., problemas de vibraciones mec´anicas, conducci´on del calor, transmisi´on de ondas, electromagnetismo, etc.) es necesario trabajar con series de funciones trigonom´etricas del tipo f (x) =

∞ X 1 a0 + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1

(6.4)

Aparte de ello, el estudio puramente te´ orico de estas series ha influido notablemente en el desarrollo del ana´ alisis matem´ atico en los u ´ltimos 250 a˜ nos. Una ventaja de estas series es que son capaces de representar funciones de tipo muy general con muchas discontinuidades (como, p. ej., las funciones discontinuas de impulso en ingenier´ıa electr´onica); mientras que, p. ej., las series de potencias s´ olo pueden representar funciones de clase C∞ . Se va a comenzar su estudio presentando algunos c´alculos cl´asicos que fueron realizados inicialmente por Euler, y que se recogen en la siguiente: Proposici´ on 54 Sea una serie trigonom´etrica del tipo ∞ X 1 a0 + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1

(6.5)

Ecuaciones Diferenciales.

85

tal que converge uniformemente a una funci´ on f (x) en el intervalo [−π, π). Entonces los coeficientes de la serie son Z Z 1 π 1 π a0 = f (x)dx , an = f (x) cos nxdx (∀n ∈ N) π −π π −π Z 1 π f (x) sin nxdx (∀n ∈ N) (6.6) bn = π −π ( Dem. ) Por ser la serie uniformemente convergente en [−π, π) es integrable t´ermino a t´ermino en dicho intervalo, por lo que, teniendo en cuenta que Z π Z π cos nxdx = 0 , sin nxdx = 0 (∀n ∈ N) −π

−π

la integraci´ on t´ermino a t´ermino conduce a Z π f (x)dx = a0 π

⇔

a0 =

−π

1 π

Z

π

f (x)dx −π

a0 es, por tanto, el valor medio de f (x) en el intervalo considerado). Multiplicando 2 ahora (6.4) por cos nx resulta (obs´ervese que el t´ermino

f (x) cos nx =

1 a0 cos nx + a1 cos x cos nx + b1 sin x cos nx + . . . + an cos2 x + bn sin nx cos nx + . . . (6.7) 2

y, teniendo en cuenta las relaciones trigonom´etricas sin mx cos nx

=

cos mx cos nx

=

sin mx sin nx

=

es f´ acil comprobar que Z π

1 (sin (m − n)x + sin (m + n)x) 2 1 (cos (m − n)x + cos (m + n)x) 2 1 (cos (m − n)x − cos (m + n)x) 2

Z

π

sin mx cos nxdx = 0 , −π

cos mx cos nxdx = 0

(si m 6= n)

;

−π

por lo que, integrando t´ermino a t´ermino (6.7) se obtiene Z π Z π f (x) cos nxdx = an cos2 nxdx = an π −π

⇔

an =

−π

1 π

Z

π

f (x) cos nxdx −π

Realizando un proceso an´ alogo, pero multiplicando por sin nx y usando que Z π sin mx sin nxdx = 0 ; (si m 6= n) −π

se llega a que Z

π

Z

π

f (x) sin nxdx = bn −π

−π

sin2 nxdx = bn π

⇔

bn =

1 π

Z

π

f (x) sin nxdx −π

La situaci´ on presentada en esta proposici´on es, no obstante, demasiado restrictiva, ya que se asume que la serie trigonom´etrica es uniformemente convergente a la funci´on f (x) o, lo que es lo mismo, que esta funci´ on es desarrollable por medio de una serie trigonom´etrica uniformemente convergente. Estas hip´otesis no estar´ an, en general, aseguradas previamente y, por consiguiente, tampoco la existencia de los coeficientes an y bn . El punto de vista que se va a tomar ser´ a, pues, dada una funci´on f (x), definir los coeficientes mediante las expresiones (6.6) y, con ellos, construir la serie trigonom´etrica (6.5).

Ecuaciones Diferenciales.

86

Definici´ on 39 Dada una funci´ on f (x) integrable 2 en [−π, π), se denominan coeficientes de Fourier de f (x) a los valores an , bn obtenidos mediante las expresiones (6.6) y serie de Fourier de f (x) a la serie trigonom´etrica ∞ X 1 a0 + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1 y como corolario de la proposici´ on anterior se tiene: Corollary 1 Dadas dos funciones f (x), g(x) integrables en [−π, π), los coeficientes de Fourier de αf (x) + βg(x) (α, β ∈ R) son la suma de α veces los de f (x) y β veces los de g(x). Es de desear que la serie de Fourier de una funci´on f (x) converja (uniformemente) y tenga como suma la funci´ on dada (cumpli´endose, por tanto, la igualdad (6.4)). Desgraciadamente no siempre ocurre as´ı y hay muchas funciones integrables (e incluso continuas) cuya serie de Fourier diverge en uno o m´as puntos. Comentario: • Del mismo modo que una serie de Fourier no tiene por qu´e ser convergente, una serie trigonom´etrica no tiene por qu´e ser serie de Fourier de alguna funci´on; esto es, los coeficientes de dicha serie no podr´ıan obtenerse mediante expresiones del tipo (6.6) para ninguna funci´on f (x) (ni aun tomando como funci´ on la suma de dicha serie, en el caso de que fuera convergente). Ejemplo:

• La serie

6.3.2

∞ X

sin nx converge ∀x ∈ R pero se sabe que no es de Fourier. log (1 + n) n=1

Convergencia de series de Fourier

El problema fundamental consiste, pues, en investigar las propiedades de una funci´on integrable que garanticen que su serie de Fourier, no s´ olo es convergente, sino que tiene dicha funci´on como suma. En primer lugar, de la igualdad (6.4) y observando que cada t´ermino de la serie trigonom´etrica que en ella aparece tiene periodicidad 2π, se obtiene de inmediato que: ∞ X 1 a0 + (an cos nx + bn sin nx) es la serie de Fourier de una funci´ on f (x) y converge 2 n=1 sumando f (x) (es decir, se cumple la igualdad (6.4)), entonces f (x) es peri´ odica de periodo 2π.

Proposici´ on 55 Si

Puede tambi´en demostrarse que: Lema 6 Sea f (x) una funci´ on tal que 3 : 1. f (x) est´ a acotada. 2. f (x) tiene un n´ umero finito de puntos de discontinuidad. 3. f (x) tiene un n´ umero finito de m´ aximos y m´ınimos. Entonces todos los puntos de discontinuidad de f (x) son simples; es decir, existen los l´ımites laterales f (x+ ) y f (x− ) de f (x) en todos los puntos x de su dominio. 2 Obs´ ervese 3 Estas

que no es necesario que sea una funci´ on continua. condiciones se denominan condiciones de Dirichlet.

Ecuaciones Diferenciales.

87

Y a partir de aqu´ı, el siguiente resultado (que se enuncia sin demostraci´on): Teorema 25 (de Dirichlet): Sea f (x) una funci´ on definida en el intervalo I = [−π, π), tal que: 1. f (x) est´ a acotada en I. 2. f (x) tiene un n´ umero finito de puntos de discontinuidad en I. 3. f (x) tiene un n´ umero finito de m´ aximos y m´ınimos en I. 4. Fuera de [−π, π) est´ a definida por periodicidad; es decir, es peri´ odica de periodo 2π. 1 (f (x+ ) + f (x− )) en todos los puntos x ∈ R y, 2 por tanto, converge a la funci´ on f (x) en todos los puntos donde la funci´ on es continua. Entonces existe la serie de Fourier de f (x), que converge a

(En particular, si en los puntos de discontinuidad la funci´ on se define tomando el valor medio de sus l´ımites laterales en dichos puntos, la serie de Fourier converge a la funci´ on en todos los puntos del dominio). Comentario: • Obs´ervese que la continuidad de una funci´on no es, por tanto, condici´on necesaria ni suficiente para la convergencia de su serie de Fourier (si ´esta existe). De este modo, puede darse el caso de que una funci´on discontinua sea representable por una serie de Fourier en todos los puntos de su dominio, siempre que sus discontinuidades sean simples y se comporte suficientemente bien entre los puntos de discontinuidad. Ejemplo: • Para la funci´ on  f (x) =

0 π

si −π ≤ x < 0 si 0 ≤ x < π

se tiene que a0

=

an

=

bn

=

es decir, b2n = 0 y b2n−1 =

Z 0  Z π 1 0dx + πdx = π π −π 0 Z 1 π π cos nxdx = 0 (n ≥ 1) π 0 Z π 1 1 π sin nxdx = (1 − (−1)n ) π 0 n

(n ≥ 1)

2 ; por consiguiente la serie de Fourier de esta funci´ on es 2n − 1   π sin 3x sin 5x + 2 sin x + + + ... 2 3 5

Esta serie converge a la funci´ on dada en todos los puntos de los intervalos (−π, 0) ∪ (0, π), pero no en los puntos de discontinuidad −π, 0, π donde su suma vale π/2. Si la funci´ on se extiende por periodicidad a todo R, el resultado sobre la convergencia de la serie es el mismo en todos los intervalos [(2n − 1)π, (2n + 1)π) (n ∈ Z − {0}).

Ecuaciones Diferenciales.

6.3.3

88

Funciones pares e impares

En los apartados anteriores se ha trabajado con funciones definidas en el intervalo [−π, π) y extendidas por periodicidad fuera de ese intervalo. En estos casos, tambi´en podr´ıa haberse tomado como intervalo de trabajo [0, 2π) u otro cualquiera de longitud 2π. Sin embargo, el haber tomado la primera opci´on (intervalo sim´etrico respecto al origen) tiene notorias ventajas a la hora de explotar las propiedades de simetr´ıa o antisimetr´ıa de las funciones. As´ı, como primer resultado se tiene: Proposici´ on 56 Sea f (x) una funci´ on integrable en [−π, π). 1. f (x) es una funci´ on par si, y s´ olo si, sus coeficientes de Fourier son Z 2 π f (x) cos nxdx , bn = 0 an = π 0 es decir, su serie de Fourier contiene s´ olo t´erminos en cos nx. 2. f (x) es una funci´ on impar si, y s´ olo si, sus coeficientes de Fourier son Z 2 π an = 0 , bn = f (x) sin nxdx π 0 es decir, su serie de Fourier contiene s´ olo t´erminos en sin nx. ( Dem. )

Inmediata.

Y de aqu´ı: Definici´ on 40 Una serie de Fourier se dice que es de tipo seno para x (resp. de tipo coseno para x) sii s´ olo contiene t´erminos en sin nx (resp. en cos nx). Y como caso particular del teorema de Dirichlet en este contexto se tiene: Teorema 26 (de Dirichlet): Sea f (x) una funci´ on definida en el intervalo I = [0, π), tal que satisfaga las condiciones de Dirichlet en I 4 . Entonces f (x) se puede desarrollar en una serie de Fourier de tipo coseno o de tipo seno, con la salvedad, en este u ´ltimo caso, de que la serie no puede converger a f (x) en los puntos x = 0, π, . . . , nπ, . . ., a menos que la funci´ on tome valor 0 en ellos. ( Dem. )

Es una consecuencia directa del teorema de Dirichlet.

Comentario: • Para hallar la serie de Fourier de tipo seno de f (x), se redefine la funci´on f (x) (si es necesario) d´ andole el valor 0 en x = 0, π y extendi´endola, a continuaci´on, al intervalo [−π, 0) de manera que la funci´ on extendida en [−π, π) sea impar. Fuera de este intervalo se define por periodicidad (si es necesario). • De igual forma, para hallar la serie de Fourier de tipo coseno de f (x), se extiende la funci´on al intervalo [−π, 0) de manera que la funci´ on extendida en [−π, π) sea par. Fuera de este intervalo se define por periodicidad (si es necesario). Ejemplo: • Para la funci´ on f (x) = cos x definida en [0, π), la serie de Fourier de tipo seno es ∞ 8 X n sin 2nx π n=1 4n2 − 1

mientras que la de tipo coseno es simplemente la propia funci´ on. 4 N´ otese

que no se pide que sea par ni impar, ni tan siquiera peri´ odica, sino que s´ olo est´ e definida en ese intervalo verificando esas condiciones.

Ecuaciones Diferenciales.

6.3.4

89

Extensi´ on a intervalos arbitrarios

Hasta el momento todo lo que se ha enunciado sobre series de Fourier es v´alido para funciones definidas en el intervalo [−π, π) (y extendidas por periodicidad fuera de ´el). No obstante, en muchas aplicaciones ser´ a necesario manejar series de Fourier de funciones peri´odicas de periodo 2L definidas en el intervalo [−L, L) (con L > 0). Para obtener dichas series el procedimiento a seguir es el siguiente: πx Lt o, equivalentemente, x = . L π Con ello la funci´ on f (x), x ∈ [−L, L), peri´odica de periodo 2L, se transforma en f˜(t) = f (Lt/π) , t ∈ [−π, π), que es peri´ odica de periodo 2π.

1. Efectuar el cambio de variable t =

2. Si f (x) satisface las condiciones de Dirichlet en [−L, L), tambi´en lo hace f˜(t) en [−π, π). Entonces se desarrolla f˜(t) en serie de Fourier de la forma expuesta. 3. Se deshace el cambio de variable en la serie hallada a fin de obtener la serie de Fourier de f (x). Comentario: • Otra forma de obtener el mismo resultado consistir´ıa en calcular directamente la serie de Fourier de f (x), pero calculando los coeficientes de Fourier del siguiente modo: a0 =

1 L

Z

L

f (x)dx

,

an =

−L

bn =

1 L 1 L

Z

L

f (x) cos nxdx (∀n ∈ N) −L Z L

f (x) sin nxdx

(∀n ∈ N)

−L

aunque, en general es m´ as r´ apido el anterior procedimiento.

6.3.5

Funciones ortogonales: series de Fourier generalizadas

Definici´ on 41 Una sucesi´ on funcional {θn (x)} (n ∈ N) es una sucesi´on de funciones ortogonales sobre el intervalo [a, b] sii  Z b 0 si m 6= n θn (x)θm (x)dx = kn 6= 0 si m = n a La sucesi´ on se denomina ortonormal sii kn = 1, ∀n, y en tal caso, se dice que las funciones de la sucesi´ on est´ an normalizadas. Comentario: • Si la sucesi´ on funcional {θn (x)} es ortogonal pero no ortonormal entonces es inmediato observar que {φn (x)} con θn (x) φn (x) = √ kn es una sucesi´ on ortonormal 5 . Ejemplo: Z 5 Obs´ ervese

que kn > 0 ya que a

b

(θn (x))2 dx .

Ecuaciones Diferenciales.

90

• La sucesi´ on funcional 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . que se ha usado en los apartados anteriores para construir las series de Fourier de funciones, es ortogonal en el intervalo [−π, π] pero no en el [0, π], pues Z π 1 sin xdx = 2 6= 0 0

y dado que Z

π

Z 1dx = 2π

−π

π

Z

2

,

cos nxdx = π

π

,

−π

sin2 nxdx = π

−π

la sucesi´ on ortonormal en [−π, π] obtenida a partir de esta es 1 cos x sin x cos 2x sin 2x √ , √ , √ , √ , √ , ... π π π π 2π En el siglo XIX y principios del XX algunos matem´aticos y f´ısicos observaron que se pod´ıan construir series del tipo de Fourier utilizando cualquier sucesi´on de funciones ortogonales 6 . En efecto; sup´ongase que se tiene una sucesi´ on ortonormal {φn (x)} (n ∈ N) en [a, b] y una funci´on f (x) integrable en [a, b] y que se quiere desarrollar dicha funci´ on en una serie que converja a la funci´on, del siguiente modo f (x) =

∞ X

an φn (x)

(6.8)

n=1

Intentemos definir cu´ ales son los coeficientes an . Multiplicando ambos miembros de la igualdad por φn (x) se obtiene f (x)φn (x) = a1 φ1 (x)φn (x) + . . . + an φ2n (x) + . . . y, asumiendo que se puede integrar t´ermino a t´ermino y teniendo en cuenta la propiedad de ortonormalidad de las funciones φn (x), resulta Z

b

Z

b

f (x)φn (x)dx = an a

φ2n (x)dx = an

a

luego, tomando esto como modelo se puede definir: Definici´ on 42 Sea una sucesi´ on ortonormal {φn (x)} (n ∈ N) en [a, b] y una funci´ on f (x) integrable en [a, b]. Se denomina serie de Fourier generalizada de f (x) respecto a la sucesi´ on {φn (x)} a la serie ∞ X

an φn (x)

n=1

donde los coeficientes son Z an =

b

f (x)φn (x)dx a

y se denominan coeficientes de Fourier generalizados de f (x) respecto a la sucesi´ on {φn (x)}. Comentario: • Obs´ervese que, en el desarrollo anterior, se han asumido las hip´otesis de que la funci´on f (x) puede ser expresada por medio de una serie de la forma descrita y que dicha serie es integrable t´ermino a t´ermino. En realidad, estas dos condiciones no van a estar aseguradas de entrada para cualquier funci´on y, por tanto, la igualdad (6.8) no se va a cumplir en general (igual que ya ocurr´ıa con las series de Fourier ordinarias, que son un caso particular de ´estas). 6 Posteriormente, estas series pasaron a ser instrumentos indispensables de trabajo en muchas ramas de la f´ ısica matem´ atica, principalmente en Mec´ anica Cu´ antica.

Ecuaciones Diferenciales.

6.3.6

91

Convergencia en media cuadr´ atica de series de Fourier

Se va a estudiar, a continuaci´ on en qu´e condiciones se puede garantizar que una serie de Fourier generalizada converja a la funci´ on que la define. Previamente hay que introducir un nuevo concepto sobre convergencia de series de funciones. Sea una funci´ on f (x) y una sucesi´ on de funciones {pn (x)}, definidas todas ellas en [a, b] ∈ R. Si se desea aproximar f (x) por medio de los t´erminos de esta sucesi´on, cada uno de los n´ umeros |f (x) − pn (x)| y (f (x) − pn (x))2 da una medida del error de la aproximaci´on en el punto x. Sin embargo, puede ser preferible dar una medida del error que se refiera a todo el intervalo [a, b], lo cual puede conseguirse mediante las integrales Z b Z b |f (x) − pn (x)|dx , (f (x) − pn (x))2 dx a

a

siendo la segunda mejor elecci´ on que la primera ya que evita el valor absoluto en el integrando y hace m´ as convenientes los c´ alculos necesarios (como se ver´a). As´ı pues: Definici´ on 43 Dada una funci´ on f (x) y una sucesi´ on de funciones {pn (x)}, definidas e integrables en [a, b] ∈ R. 1. Se denomina error cuadr´ atico medio de f (x) por la sucesi´ on {pn (x)}

7

a

b

Z

(f (x) − pn (x))2 dx

En = a

2. Se dice que {pn (x)} converge en media a f (x) sii lim En := lim (f (x) − pn (x))2 = 0

n→∞

y se escribe

8

n→∞

l.i.m.n→∞ pn (x) = f (x) .

Comentario: • El error cuadr´ atico medio es justamente el cuadrado de la norma kf − pn k en el espacio m´etrico de funciones integrables en [a, b]. Por consiguiente, la convergencia en media de {pn (x)} a f (x) es equivalente a la convergencia de esta sucesi´on al l´ımite f (x) en ese espacio m´etrico; es decir d(f, pn ) = kf − pn k → 0

(n → ∞)

El resultado crucial de este apartado es el siguiente: Teorema 27 Sea una funci´ on f (x) y una sucesi´ on ortonormal de funciones {φn (x)}, definidas e integrables en [a, b] ∈ R. Para cada entero positivo k, la k-´esima suma parcial de la serie de Fourier generalizada de k X f (x) respecto a la sucesi´ on {φn (x)}; es decir, an φn (x) , produce un error cuadr´ atico medio n=1

Z

b

[f (x) −

Ekmin = a

k X

an φn (x)]2 dx

(6.9)

n=1

que es menor que el de cualquier otra combinaci´ on lineal pk =

k X

bn φn (x) .

n=1 7 Esta terminolog´ ıa es adecuada por cuanto, si se divide En por b − a, se obtiene el valor medio del error cuadr´ atico (f (x) − pn (x))2 de la aproximaci´ on. 8 l.i.m. significa l´ ımite in media.

Ecuaciones Diferenciales.

( Dem. )

92

Se trata de minimizar el error cuadr´atico medio b

Z

b

Z

(f (x) − pk (x))2 dx =

Ek =

(f (x) −

a

a

k X

bn φn (x))2 dx

n=1

mediante una adecuada elecci´ on de los coeficientes bn . Desarrollando el cuadrado del integrando se tiene b

Z

Z

2

b

f (x) dx − 2

Ek = a

f (x) a

k X

b

Z bn φn (x)dx +

( a

n=1

k X

bn φn (x))2 dx

n=1

Z Recordando que los coeficientes de Fourier de f (x) respecto a la sucesi´on {φn (x)} son an =

b

f (x) a

k X

f (x)φn (x)dx a

, la segunda integral del desarrollo es Z

b

bn φn (x)dx =

n=1

k X

b

Z bn

f (x)φn (x)dx = a

n=1

k X

bn an

n=1

mientras que la tercera, teniendo en cuenta la ortonormalidad de las funciones φn (x), se transforma en Z

b

( a

k X

bn φn (x))2 dx =

b

Z

( a

n=1

k X

bn φn (x))(

n=1

k X

b

Z bn φn (x))dx =

k X

b2n φn (x)2 dx =

a n=1

n=1

k X

b2n

n=1

De este modo resulta Z Ek =

b

f (x)2 dx − 2

a

k X

bn an +

n=1

k X

b2n =

Z

k X

b

f (x)2 dx −

a

n=1

n=1

a2n +

k X

(bn − an )2

n=1

y, observando que los t´erminos de la u ´ltima suma son (bn − an )2 ≥ 0, se obtiene finalmente que Ek es m´ınimo en el caso en que bn = an . A partir de este teorema se obtiene: Teorema 28 Sea una funci´ on f (x) y una sucesi´ on ortonormal de funciones {φn (x)}, definidas e integrables en [a, b] ∈ R. Si los n´ umeros an son los coeficientes de Fourier de f (x) respecto a la sucesi´ on {φn (x)}, ∞ X entonces la serie num´erica a2n es convergente y satisface la desigualdad de Bessel: n=1 ∞ X

a2n ≤

Z

b

(f (x))2 dx

a

n=1

( Dem. ) De acuerdo con el teorema anterior, como En ≥ 0para toda elecci´on de bn , es claro que el valor m´ınimo de En (que ocurre cuando bn = an ) es tambi´en no negativo; lugo (6.9) implica que Z

b 2

(f (x)) dx − a

k X

a2n

≥0

n=1

⇔

k X n=1

a2n

Z ≤

b

(f (x))2 dx

a

de donde, al hacer k → ∞, se obtiene el resultado. Y, como el t´ermino n-´esimo de una serie convergente ha de tender a 0 cuando n → ∞, se tiene como corolario que: Teorema 29 Sea una funci´ on f (x) y una sucesi´ on ortonormal de funciones {φn (x)}, definidas e integrables en [a, b] ∈ R. Si los n´ umeros an son los coeficientes de Fourier de f (x) respecto a la sucesi´ on {φn (x)}, entonces lim an = 0 . n→∞

Ecuaciones Diferenciales.

93

Con estos resultados se est´ a ya en condiciones de responder a la pregunta de bajo qu´e condiciones la serie de Fourier (generalizada) de una funci´ on converge en media a dicha funci´on o, lo que es equivalente, cuando las sumas parciales de la mencionada serie convergen en media a la funci´on. La respuesta es: Teorema 30 Sea una funci´ on f (x) y una sucesi´ on ortonormal de funciones {φn (x)}, definidas e integrables en [a, b] ∈ R. La serie de Fourier generalizada de f (x) respecto a la sucesi´ on {φn (x)} converge en media a f (x); es decir, k X l.i.m.k→∞ an φn (x) = f (x) (6.10) n=1

si, y s´ olo si, la desigualdad de Bessel se transforma en la identidad de Parseval: ∞ X

a2n =

Z

b

(f (x))2 dx

a

n=1

( Dem. ) Teniendo en cuenta el teorema 27, es evidente que la expresi´on (6.10) es v´alida si, y s´ olo si, Ek → 0 cuando k → ∞, y de la f´ ormula (6.9) se obtiene que ello es equivalente a que se satisfaga la igualdad en la desigualdad de Bessel: Z b ∞ X 2 an − (f (x))2 dx = 0 n=1

a

que es la identidad de Parseval. Definici´ on 44 Una sucesi´ on ortonormal de funciones {φn (x)}, definidas e integrables en [a, b] ∈ R se dice que es completa sii para cualquier funci´ on f (x) (integrable en [a, b] ∈ R) su serie de Fourier generalizada respecto a la sucesi´ on {φn (x)} converge en media a f (x); es decir, se verifica la expresi´ on (6.10). As´ı pues, una sucesi´ on ortonormal completa en [a, b] es u ´til para construir aproximaciones en media cuadr´ atica de funciones integrables en [a, b]. Finalmente se enuncia (sin demostraci´on) el siguiente resultado: Teorema 31 La sucesi´ on ortonormal trigonom´etrica 1 cos x sin x cos 2x sin 2x √ , √ , √ , √ , √ , ... π π π π 2π es completa en [π, π). Por consiguiente, toda funci´ on integrable en [−π, π) puede ser aproximada por su serie de Fourier (en el sentido de que dicha serie converge en media cuadr´ atica a la funci´ on dada) 9 . Comentario: • Recordemos ahora que, dado un espacio vectorial eucl´ıdeo E y una base de vectores ortonormales {ui }, cualquier vector v ∈ E se puede expresar como una combinaci´on X v= αi ui (6.11) i

con los coeficientes determinados mediante las expresiones αi = hv, ui i

(6.12)

9 Conviene recordar que esta afirmaci´ on es falsa si se considera la convergencia puntual, como ya se ha visto en alguno de los ejemplos dados en los apartados anteriores.

Ecuaciones Diferenciales.

94

Teniendo ´esto en mente, se puede establecer la siguiente analog´ıa: el conjunto de funciones integrables de Riemann en un intervalo [a, b] tiene estructura de espacio vectorial (de dimensi´on infinita) en el cual se puede definir el siguiente producto escalar de funciones Z b f (x)g(x)dx hf, gi := a

De este modo, una sucesi´ on de funciones ortonormales {φn (x)} se puede considerar como una base ortonormal de dicho espacio (respecto a este producto escalar) y el u ´ltimo teorema expresa el hecho de que cualquier funci´ on, elemento de este espacio, se puede expresar como combinaci´on de elementos de esta base, con los coeficientes determinados del mismo modo que en el caso de cualquier espacio eucl´ıdeo normal. Es en base a esta analog´ıa que la expresi´on (6.11) se puede denominar desarrollo en serie de Fourier del vector v respecto a la base {ui }, y los coeficientes de (6.12) coeficientes de Fourier del vector v respecto a la base {ui }.

6.4

Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden y su resoluci´ on

6.4.1

M´ etodo de separaci´ on de variables. Problema de Sturm-Liouville

Para resolver ecuaciones en derivadas parciales el m´etodo m´as simple es el denominado m´etodo de separaci´ on de variables, que consiste en asumir la siguiente hip´otesis: Hip´ otesis 1 (M´etodo de separaci´ on de variables): La soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales es factorizable en producto de funciones de cada una de las variables independientes Cuando se aplica este m´etodo para la resoluci´on de ecuaciones en derivadas parciales (en dos dimensiones, como son las que se van a estudiar), con condiciones de contorno (de tipo Dirichlet) lineales y homog´eneas, el problema queda reconvertido en un problema de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias, del cual se trata de hallar soluciones no triviales. En el caso m´as general , dicho problema se plantea en los siguientes t´erminos: Definici´ on 45 Se denomina problema de Sturm-Liouville al problema de resolver una ecuaci´ on diferencial ordinaria del tipo   dy(x) d p(x) + [λq(x) + f (x)]y(x) = 0 (∀x ∈ [a, b]) dx dx con condiciones de contorno lineales y homog´eneas. Si las condiciones de contorno consisten en dar los valores de la funci´on inc´ognita y(x) en los extremos del intervalo; esto es, y(a) e y(b), y las funciones p(x) y q(x) se restringen adecuadamente se tiene el siguiente resultado: Teorema 32 Sea el problema de contorno   dy(x) d p(x) + [λq(x) + f (x)]y(x) = 0 dx dx y(a) = y(b) = 0

(x ∈ [a, b])

tal que p(x) > 0 y q(x) > 0 y son funciones continuas en [a, b] (p(x) de clase C 1 ). Entonces existen soluciones no triviales a dicho problema si, y s´ olo si, existe una sucesi´ on creciente y positiva {λn } ⊂ R+ con lim λn = ∞ tal que el par´ ametro λ ∈ R coincide con alguno de estos valores λn . En tal caso, para n→∞

cada valor λn se tiene un problema de contorno cuya soluci´ on (no trivial) yn (x) es u ´nica salvo un factor constante arbitrario.

Ecuaciones Diferenciales.

95

Y se adopta la siguiente terminolog´ıa: Definici´ on 46 En el teorema anterior, los t´erminos de la sucesi´ on {λn } se denominan valores propios o autovalores y las funciones yn (x) correspondientes funciones propias o autofunciones del problema de contorno dado. En los tres casos que se van a analizar, el problema de Sturm-Liouville que se plantear´a es un caso particular del anterior en el que p(x) = q(x) = 1 y f (x) = 0: Corolario 2 Dado el problema de contorno d2 y(x) + λy(x) = 0 dx2

;

y(0) = 0 , y(L) = 0

• Si λ ≤ 0 entonces la u ´nica soluci´ on del problema es la trivial y(x) = 0. n2 π 2 , para alg´ un valor n ∈ N; en • Si λ > 0, el problema tiene soluci´ on no trivial si, y s´ olo si, λ = L2 cuyo caso dicha soluci´ on es la funci´ on y(x) = kn sin

nπ x L

(an ∈ R − {0})

(y cualquier otra que se obtenga multiplicando ´esta por un factor constante).

( Dem. )

6.4.2

Trivial (se propone como ejercicio).

Ecuaci´ on de ondas (o de la cuerda vibrante)

La primera ecuaci´ on que se va a estudiar es la que describe la transmisi´on de ondas en un medio. Como caso concreto se va a analizar la siguiente situaci´on: se tiene una cuerda tensa sujeta entre los puntos x = 0 y x = L, la cual se somete a una deformaci´on inicial representada por una curva plana f (x). La forma de la cuerda va a cambiar en funci´ on del tiempo y, por consiguiente, vendr´a representada por una funci´ on y = y(x, t). Tras hacer algunas hip´ otesis basadas en principios f´ısicos se encuentra que la ecuaci´ on del movimiento de los puntos de la cuerda es la siguiente ∂2y ∂2y − a2 2 = 0 2 ∂t ∂x en la cual a es una constante que depende de las caracter´ısticas f´ısicas del problema ecuaci´ on de la cuerda vibrante o ecuaci´ on de ondas unidimensional.

(6.13) 10

, y se denomina

Se trata, pues, de una ecuaci´ on en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homog´enea, con coeficientes constantes de tipo hiperb´ olico. (ya que, en este caso, B 2 − 4AC > 0, seg´ un la definici´on 38). Vamos a resolver pues el problema cl´ asico de f´ısica matem´atica que consiste en hallar la soluci´on a esta ecuaci´ on 11 . siguiendo el m´etodo de separaci´on de variables. Proposici´ on 57 (soluci´ on de Bernouilli de la ecuaci´on de ondas): Sea el problema de la cuerda vibrante, que se plantea en los siguientes t´erminos: H , donde H es la componente horizontal de la tensi´ on (que es constante si se asume que s´ olo hay ρ movimiento transversal) y ρ es la densidad. 11 Este problema fue propuesto por Daniel Bernouilli en 1753 y acabado de resolver por Euler en 1777 quien, de este modo, abri´ o el vasto campo del estudio de las series de Fourier. 10 Se

tiene que a2 =

Ecuaciones Diferenciales.

96

• Ecuaci´ on diferencial: la ecuaci´ on de ondas en una dimensi´ on (lineal, homog´enea e hiperb´ olica) 2 ∂2y 2∂ y − a =0 ∂t2 ∂x2

(x ∈ [0, L])

• Condiciones de contorno: Extremos fijos (condiciones de Dirichlet (lineales homog´eneas)) y(0, t) = 0

,

y(L, t) = 0

(6.14)

• Condiciones iniciales: Cuerda inicialmente en reposo de forma dada ∂y =0 ∂t t=0

,

y(x, 0) = f (x)

(6.15)

donde f (x) es una funci´ on desarrollable en serie de Fourier en [0, L], con f (0) = f (L) = 0. Su soluci´ on es y(x, t) =

∞ X

bn sin

n=1

nπ nπ x cos at L L

(n ∈ N)

donde bn son los coeficientes de Fourier (de tipo seno) de la funci´ on f (x) en [0, L]. ( Dem. )

El punto de partida ser´ a, pues, asumir que y(x, t) = u(x)v(t)

de modo que, sustituyendo en la ecuaci´ on (6.13) a2 u00 (x)v(t) = u(x)v 00 (t)

⇒

u00 (x) 1 v 00 (t) = 2 u(x) a v(t)

Dado que cada miembro de esta u ´ltima ecuaci´on depende de una variable diferente, la igualdad s´olo puede ser cierta si, y s´ olo si, ambos son iguales a una constante λ ∈ R (constante de separaci´on); con lo cual se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´eneas con coeficientes constantes d2 u(x) − λu(x) = 0 , dx2

d2 v(t) − λa2 v(t) = 0 dt2

(6.16)

Para la primera de ellas, las condiciones de contorno (6.14) se traducen en u(0) = 0, u(L) = 0 y, en virtud del n2 π 2 corolario 2, las soluciones no triviales para u(x) se van a dar cuando λ = − 2 , y ser´an las autofunciones L un (x) = sin

nπ x L

Por otra parte, para cada uno de esos autovalores λ la segunda de las ecuaciones (6.16) tiene como soluci´ on general nπ nπ v(t) = c1 sin at + c2 cos at L L dv Pero para esta ecuaci´ on la primera de las condiciones iniciales (6.15) se traduce en que (0) = 0 , con lo dt que c1 = 0 y, por consiguiente, todas las funciones vn (x) = cos

nπ at L

son soluciones no triviales de dicho problema. De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo Kn yn (x, t) ≡ Kn un (x)vn (t) ≡= Kn sin

nπ nπ x cos at (Kn ∈ R − {0} , n ∈ N) L L

Ecuaciones Diferenciales.

97

son soluci´ on no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno inicialmente establecidas). Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 12 y(x, t) =

∞ X n=1

Kn sin

∞ X nπ nπ x cos at ≡ Kn yn (x, t) L L n=1

es tambi´en soluci´ on y satisface las condiciones de contorno (6.14) y la primera de las condiciones iniciales (6.15). S´ olo queda por imponer la segunda de las condiciones iniciales (6.15). Por una parte se tiene y(x, 0) =

∞ X

Kn sin

n=1

nπ x L

y por otra, desarrollando f (x) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, L], resulta f (x) =

∞ X

bn sin

n=1

nπ x L

con lo que y(x, 0) = f (x) lleva a que Kn = bn , ∀n ∈ N. Comentario: • Obs´ervese que la resoluci´ on completa de la ecuaci´on de ondas (esto es la obtenci´on de la soluci´ on con todas las constantes determinadas) requiere la imposici´on de condiciones de contorno (de tipo Dirichlet) y dos condiciones iniciales.

6.4.3

Ecuaci´ on del calor

El an´ alisis matem´ atico del problema de la conducci´on del calor en un cuerpo fu´e realizado por el f´ısico matem´ atico franc´es Fourier en un tratado de 1822. Bas´andose en datos experimentales f´ısicos y en razonamientos anal´ıticos dedujo que, si T (x, y, z, t) era la funci´on que describ´ıa la temperatura de un cuerpo en cada punto (x, y, z) y en cada instante t, se satisfac´ıa la siguiente expresi´on  2  ∂ T ∂2T ∂2T ∂T a2 + + = (6.17) 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂t en la cual a es una constante que depende de las caracter´ısticas f´ısicas del cuerpo en cuesti´on ecuaci´ on recibe el nombre de ecuaci´ on de transmisi´on del calor tridimensional,

13

. Esta

En el estudio que se va a hacer nos limitaremos a considerar el caso de transmisi´on del calor en una s´ ola dimensi´ on, en el que se toma la funci´ on T = T (x, t) y, por tanto, estudiaremos la ecuaci´on 1 ∂T ∂2T = 2 ∂x2 a ∂t Se trata, pues, de una ecuaci´ on en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homog´enea, con coeficientes constantes de tipo parab´ olico. Vamos a abordar ahora el problema de la resoluci´on de la ecuaci´on de transmisi´on del calor a lo largo de una barra de longitud L. Para ello se seguir´a el mismo m´etodo que para la ecuaci´on de ondas; es decir, el m´etodo de separaci´ on de variables. Con ello demostraremos el siguiente resultado: Proposici´ on 58 Sea el problema de la transmisi´ on del calor (en una dimensi´ on), que se plantea en los siguientes t´erminos: 12 Asumiendo 13 Se

la convergencia y derivabilidad t´ ermino a t´ ermino de dicha serie. K 2 tiene que a = , donde K es la conductividad t´ ermica, c es el calor espec´ıfico y ρ es la densidad. cρ

Ecuaciones Diferenciales.

98

• Ecuaci´ on diferencial: la ecuaci´ on de transmisi´on del calor unidimensional (lineal, homog´enea y parab´ olica) 1 ∂T ∂2T − 2 = 0 (x ∈ [0, L]) (6.18) ∂x2 a ∂t • Condiciones de contorno: mog´eneas))

Extremos a temperatura nula (condiciones de Dirichlet (lineales hoT (0, t) = 0

,

T (L, t) = 0

(6.19)

• Condici´ on inicial: Temperatura inicial dada T (x, 0) = f (x)

(6.20)

donde f (x) es una funci´ on desarrollable en serie de Fourier en [0, L], con f (0) = f (L) = 0. Su soluci´ on es T (x, t) =

∞ X

bn sin

n=1

nπ − n2 π2 2 a2 t xe L L

(n ∈ N)

donde bn son los coeficientes de Fourier (de tipo seno) de la funci´ on f (x) en [0, L]. ( Dem. )

El punto de partida ser´ a, pues, asumir que T (x, t) = u(x)v(t)

que, al sustituir en la ecuaci´ on (6.18), conducir´a a u00 (x) 1 v 0 (t) = 2 u(x) a v(t) y de aqu´ı se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´eneas con coeficientes constantes d2 u(x) − λu(x) = 0 , dx2

dv(t) − λa2 v(t) = 0 dt

(λ ∈ R)

(6.21)

Para la primera de ellas, las condiciones de contorno (6.19) se traducen en u(0) = 0, u(L) = 0 y, en virtud del n2 π 2 corolario 2, las soluciones no triviales para u(x) se van a dar cuando λ = − 2 , y ser´an las autofunciones L nπ un (x) = sin x (n ∈ N) L Por otra parte, para esos autovalores λ la segunda de las ecuaciones (6.21) tiene como soluci´on general no trivial las funciones n2 π 2 2 vn (t) = e− L2 a t (n ∈ N) De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo Kn Tn (x, t) ≡ Kn un (x)vn (t) ≡ Kn sin

nπ − n2 π2 2 a2 t xe L L

(Kn ∈ R − {0} , n ∈ N)

son soluci´ on no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno establecidas). Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 14 T (x, t) =

∞ X n=1

Kn sin

∞ nπ − n2 π2 2 a2 t X xe L ≡ Kn Tn (x, t) L n=1

es tambi´en soluci´ on y satisface las condiciones de contorno (6.19). S´olo queda por imponer la condici´ on inicial (6.20). Por una parte se tiene T (x, 0) =

∞ X n=1

14 Asumiendo

Kn sin

nπ x L

nuevamente la convergencia y derivabilidad t´ ermino a t´ ermino de dicha serie.

Ecuaciones Diferenciales.

99

y, por otro, desarrollando f (x) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, L], resulta f (x) =

∞ X

= bn sin

n=1

nπ x L

con lo que T (x, 0) = f (x) lleva a que Kn = bn , ∀n ∈ N. Comentario: • Obs´ervese que la resoluci´ on completa de la ecuaci´on del calor unidimensional (esto es la obtenci´ on de la soluci´ on con todas las constantes determinadas) requiere la imposici´on de condiciones de contorno (tipo Dirichlet) y una condici´ on inicial.

6.4.4

Ecuaci´ on de Laplace. Problema de Dirichlet

Como punto de partida para obtener la tercera de las ecuaciones que nos interesan, consid´erese la ecuaci´ on de transmisi´ on del calor (6.17) y, como caso particular de ella, una situaci´on en la que hay un estado estable. ∂ω = 0 y la ecuaci´on anterior se Entonces, denominando ω = ω(x, y, z) a la funci´on inc´ognita, se tiene que ∂t reduce a ∂2ω ∂2ω ∂2ω + + =0 (6.22) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 que se denomina ecuaci´ on de Laplace, y es una de la m´as importantes que aparecen en matem´atica aplicada. Nos vamos a limitar a considerar el caso bidimensional en el que se toma la funci´on ω = ω(x, y) y, por tanto, estudiaremos la ecuaci´ on ∂2ω ∂2ω + =0 ∂x2 ∂y 2 Se trata de una ecuaci´ on en derivadas parciales en dos dimensiones, lineal, homog´enea, con coeficientes constantes de tipo el´ıptico. La resoluci´ on de la ecuaci´ on de Laplace con unas condiciones de contorno dadas recibe el nombre de problema de Dirichlet y se puede enunciar as´ı: Definici´ on 47 Sean una regi´ on compacta D ⊂ Rn , con borde ∂D = C, y una funci´ on f : I ⊂ R → C ⊂ Rn , continua (al menos a trozos). Se denomina Problema de Dirichlet al problema de determinar una funci´ on continua (al menos a trozos) ω: D ⊂ Rn → R tal que: 1. Sea soluci´ on de la ecuaci´ on de Laplace en D (esto es, arm´onica). 2. Coincida con f sobre la frontera C de D. Vamos a resolver la ecuaci´ on de Laplace en el plano, primero en un rect´angulo, siguiendo nuevamente el m´etodo de separaci´ on de variables. Proposici´ on 59 Sea el problema de Dirichlet en un rect´ angulo del plano, que se plantea en los siguientes t´erminos: • Ecuaci´ on diferencial: la ecuaci´ on de Laplace en un rect´ angulo D ⊂ R2 (lineal, homog´enea y el´ıptica) ∂2ω ∂2ω + =0 ∂x2 ∂y 2

((x, y) ∈ [0, a] × [0, b])

(6.23)

• Condiciones de contorno: (condiciones de Dirichlet (lineales homog´eneas)) ω(x, 0) = 0

,

ω(x, b) = 0

,

ω(0, y) = 0

,

ω(a, y) = f (y)

donde f (y) es una funci´ on desarrollable en serie de Fourier en [0, b].

(6.24)

Ecuaciones Diferenciales.

100

Su soluci´ on es ω(x, y) =

∞ X

Kn sinh

n=1

donde Kn =

( Dem. )

nπ nπ x sin y b b

(n ∈ N)

bn , siendo bn son los coeficientes de Fourier (de tipo seno) de la funci´ on f (y) en [0, b). sinh nπ a

Asumiendo que ω(x, y) = u(x)v(y)

y sustituyendo en la ecuaci´ on (6.23) se llega a u00 (x) v 00 (y) =− u(x) v(y) y de aqu´ı se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´eneas con coeficientes constantes d2 u(x) − λu(x) = 0 dx2

,

d2 v(y) + λv(y) = 0 dy 2

(λ ∈ R)

(6.25)

Comencemos por resolver la segunda ecuaci´on, para la cual las dos primeras condiciones de contorno (6.24) se traducen en v(0) = 0, v(b) = 0 y, en virtud del corolario 2, las soluciones no triviales para v(y) se van a n2 π 2 an las autofunciones dar cuando λ = 2 , y ser´ b nπ vn (y) := sin y (n ∈ N) b Por otra parte, para esos autovalores λ la primera de las ecuaciones (6.25), junto con la condici´on de inicial u(0) = 0 en que se traduce la tercera de las condiciones de contorno (6.24), tiene como soluci´on general no trivial las funciones nπ un (x) = sinh x (n ∈ N) b De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo Kn ωn (x, t) ≡ Kn un (x)vn (y) ≡ Kn sinh

nπ nπ x sin y b b

(Kn ∈ R − {0} , n ∈ N)

son soluci´ on no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno establecidas). Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 15 ∞ X

∞ X nπ nπ ω(x, y) = Kn sinh x sin y≡ ωn (x, t) b b n=1 n=1

es tambi´en soluci´ on y satisface las tres primeras condiciones de contorno (6.24). S´ olo queda por imponer la u ´ltima condici´on de contorno (6.24). Por una parte se tiene ω(a, y) =

∞ X

Kn sinh

n=1

nπ nπ a sin y b b

y, por otro, desarrollando f (y) en serie de Fourier de tipo seno en el intervalo [0, b], resulta f (y) =

∞ X n=1

con lo que ω(a, y) = f (y) lleva a que Kn =

bn sin

nπ x b

bn , ∀n ∈ N. sinh nπ b a

Vamos a resolver, a continuaci´ on, la ecuaci´on de Laplace en un c´ırculo (esto es, la ecuaci´on de Laplace en coordenadas polares), siguiendo otra vez el m´etodo de separaci´on de variables. Se tiene el siguiente resultado: 15 Asumiendo

la convergencia y derivabilidad t´ ermino a t´ ermino de dicha serie.

Ecuaciones Diferenciales.

101

Proposici´ on 60 Sea el problema de Dirichlet en un c´ırculo del plano, que se plantea en los siguientes t´erminos: • Ecuaci´ on diferencial: la ecuaci´ on de Laplace en coordenadas polares, en el c´ırculo unidad (lineal, homog´enea y el´ıptica) 1 ∂ 2 ω 1 ∂ω ∂2ω + 2 2 + =0 2 ∂r r ∂θ r ∂r

((r, θ) ∈ D = {(r, θ) ∈ R2 | 0 < r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2π}

(6.26)

• Condici´ on de contorno: (condici´ on de Dirichlet (lineal homog´enea)) ω(1, θ) = f (θ)

(6.27)

donde f (θ) es una funci´ on desarrollable en serie de Fourier en el intervalo [0, 2π]. Su soluci´ on es ω(r, θ) =

∞ X 1 a0 + rn (an cos nθ + bn sin nθ) 2 n=1

(n ∈ N)

donde an , bn son los coeficientes de Fourier de la funci´ on f (θ). ( Dem. )

Asumiendo que ω(r, θ) = u(r)v(θ)

y sustituyendo en la ecuaci´ on (6.26) se llega a v 00 (θ) r2 u00 (r) + ru0 (r) =− u(r) v(θ) y de aqu´ı se obtienen las dos ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homog´eneas con coeficientes constantes du(r) d2 v(θ) d2 u(r) r2 + r − λu(r) = 0 , + λv(θ) = 0 (λ ∈ R) (6.28) dr2 dr dθ2 Comencemos por resolver la segunda ecuaci´on, que est´a definida en [0, 2π] y,por tanto, en virtud del corolario 2, las soluciones no triviales para v(θ) se van a dar cuando λ = n2 , y ser´an las combinaciones lineales (n ∈ Z+ )

v(θ) = An cos nθ + Bn sin nθ

Por otra parte, para esos autovalores λ la primera de las ecuaciones (6.28) se convierte en r2

du(r) d2 u(r) +r − n2 u(r) = 0 2 dr dr

que es una ecuaci´ on de Euler cuyas soluciones no triviales son u(r)

= A + B log r

u(r)

n

= Ar + Br

−n

si n = 0 si n ∈ N

como se desea que u(r) sea continua en r = 0, ha de ser B = 0, con lo que resulta la soluci´on general no trivial de esta ecuaci´ on son las funciones un (r) = rn

(n ∈ Z+ )

De esta manera se tiene que todas las funciones del tipo ω0 (r, θ) son constantes y valen 12 A0 , y ωn (r, θ) = rn (An cos nθ + Bn sin nθ)

(An , Bn ∈ R , n ∈ N)

son soluci´ on no trivial del problema inicialmente planteado (con las condiciones de contorno establecidas). Entonces se puede considerar que toda serie del tipo 16 ω(r, θ) = 16 Asumiendo

∞ ∞ X X 1 1 A0 + rn (An cos nθ + Bn sin nθ) ≡ A0 + ωn (r, t) 2 2 n=1 n=1

la convergencia y derivabilidad t´ ermino a t´ ermino de dicha serie.

Ecuaciones Diferenciales.

102

es tambi´en soluci´ on. S´ olo queda por imponer la condici´ on de contorno (6.27). Por una parte se tiene ω(1, θ) =

∞ X 1 A0 + (An cos nθ + Bn sin nθ) 2 n=1

y, por otro, desarrollando f (θ) en serie de Fourier en el intervalo [0, 2π], resulta f (θ) =

∞ X 1 A0 + (an cos nθ + bn sin nθ) 2 n=1

con lo que ω(1, θ) = f (θ) lleva a que An = an y Bn = bn , ∀n ∈ Z+ . Comentario: • Obs´ervese que la resoluci´ on completa de la ecuaci´on de Laplace bidimensional (esto es la obtenci´ on de la soluci´ on con todas las constantes determinadas) no requiere la imposici´on de condiciones iniciales adicionales a las condiciones de contorno (de tipo Dirichlet).