UNIDAD 7

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado

Objetivo 3. Recordarás las propiedades de las igualdades para las cuatro operaciones

básicas

y

las

utilizarás

para

transformándola en una ecuación equivalente. Ejercicios resueltos:

Encuentra la solución de las ecuaciones dadas

1.)

1 3 x  3  x 1 2 4

1  3  4 x  3   4 x  1 2  4  2 x  12  3x  4 2 x  12  3x  12  3 x  4  3 x  12 2 x  3 x  4  12  x  16 x  16 Comprobación:

resolver

una

ecuación

1  16  3  3 (16)  1 2 4  8  3  12  1

 11  11 La solución es correcta.

2.) 16 x  3x  6  9 x   30 x   3x  2    x  3

16 x  3x  6  9 x   30 x   3 x  2  x  3 16 x  3 x  6  9 x  30 x  3x  2  x  3 4 x  6  26 x  5 4 x  6  26 x  6  26 x  5  26 x  6  22 x  11

 22 x  11   22  22 x

1 2

Comprobación

1  1   1    1     1    1    16   3   6  9    30    3   2     3  2  2   2    2     2    2   

9 3  7 7 8    6    15      2 2  2 2 80 

30  14 2

88 La solución es correcta.

3.)

 y  5 2   y  5  2  5 2 y 2  10 y  25  y 2  10 y  25  25

 20 y  25  20 y 25   20  20 y

5 4

Comprobación 2

2

 5    5     4   5    4   5  25       2

2

  5  20    5  20       25 4   4   625 225   25 16 16 400  25 16 25  25 La solución es correcta.

4.) ¿Para qué valor de a el conjunto de soluciones de la ecuación 2 x  a  7 x  5  3a , es  3 ?

2 3  a  7 3  5  3a  6  a  21  5  3a  6  a  3a  6  26  3a  3a  6  4a  20

 4a  20  4 4 a5

Objetivo 4. Resolverás ecuaciones de primer grado.

Ejercicios resueltos: Aplica el procedimiento de solución paso a paso para encontrar la raíz de las siguientes ecuaciones:

1.) 22 x  7   53  2 x   6  0

Paso 1.

22 x  7   53  2 x   6  0 4 x  14  15  10 x  6  0

Paso2.

4 x  10 x  14  15  6

Paso 3.

14 x  7

Paso 4.

x

7 14

x

Paso 5.

1 2

  1    1  22    7   53  2     6  0  2    2   2  8  52   6  0 16 – 16 = 0

2.)

x  3 x  4 3x  5   x x  5 x 2  5x Paso 1. Como x 2  5 x  x x  5 , la ecuación es equivalente a

 x  3  x  4  3x  5  x x  5   x x  5   x  x  5 2   x   x 5  x  5x 

x  5x  3  xx  4  3x  5 x 2  3x  5 x  15  x 2  4 x  3 x  5

Paso 2. x 2  x 2  3x  5 x  4 x  3 x  5  15

Paso 3. y Paso 4. x  10

Paso 5. Comprobación

 10  3  10  4 3 10  5    10  10  5  102  5 10   7  6  25    10  5 50 35 60 25   50 50 50 La solución es correcta.

3.)

x 1 x  4 3x  5   2 x x  5 x  5x

Paso 1.

x 1 x  4 3x  5   2 x x  5 x  5x

es equivalente a

 x  1  x  4  3x  5  x x  5   x x  5   x  x  5 2   x   x 5  x  5x 

x  5x  1  xx  4  3x  5 x 2  x  5x  5  x 2  4 x  3x  5 Paso 2. x 2  x 2  x  5 x  4 x  3x  5  5

Paso 3.

 x  0 → x  0 . Sin embargo, x no puede se cero porque dos de las fracciones de la ecuación original serían indeterminadas; entonces la ecuación propuesta no tiene solución.

4.)

a2  b2 b a  b   2bx x 2bx 2

2

Paso 1.

2

2bx  a 2bxb  2bx  bx  2bx  a2bx b 2

2

2

2





x a 2  b 2  2b 2 x  a  b

xa 2  xb 2  2 xb 2  a  b Pasos 2 y 3. xa 2  xb 2  a  b









x a2  b2  a  b

Paso 4.

x a2  b2 ab  2 2 2 a b a  b2 x

ab ab 1   2 2 a  ba  b a  b a b

Paso 5. Comprobación:

a2  b2 b a  b   2bx x 2bx 2 a2  b2 b ab   2 1 1  1  2b a  b a  b 2b a  b 

a

2



 b 2 a  b  a  ba  b  ba  b   2b 2b

a  b  a 

2





a  b  a 

2

2



  b2  a  b a  b    b   a  b   2b 2b  

 b 2  2b 2 2b

  a2  b2   a  b    2b

  

 a2  b2 a  b   2b

  a 2  b2   a  b    2b

  

La solución es correcta.

5.) El numerador de una fracción es 4 unidades menor que el denominador. Si el numerador se duplica y el denominador se disminuye en 2 unidades, la suma de la fracción original y la nueva es 3. Encuentra la fracción original.

Sea x el denominador de la fracción, de modo que el numerador de la fracción sea (x – 4). Entonces, el enunciado se expresa simbólicamente como:

x  4 2  x  4  3 x x2

Paso 1.

2 x x  4    x  2  x  4 3 x x  2  2 x x  4    x  2 x  4     3x  x  2  x x  2  x x  2   

2 x 2  8x  x 2  4 x  2 x  8  3x 2  6 x

Paso 2.

2 x 2  x 2  3 x 2  8 x  4 x  2 x  6 x  8

Paso 3.

 8 x  8

Paso 4.

 8x  8  8 8 x 1

Paso 5.

Comprobación

21  4 1  4  3 1 2 1 6 3   63 3 1 1 La solución es correcta.

Objetivo 5. Resolverás ecuaciones de segundo grado por el método de factorización.

Ejercicios resueltos: Encuentra por factorización las raíces de las siguientes ecuaciones y analiza el resultado.

1.) 2 x 2  x  1  0 a  2 ; b  1 ; c  1 ; ac  2 – 2 x 1 = – 2; – 2 + 1 = –1

2x 2  2x  x  1  0 2 x x  1   x  1  0

2 x  1x  1  0 Si

2x  1  0 ;

2 x  1 ;

Si

x 1  0 ;

x2  1

x1  

1 2

Comprobación:

1 Para x1   : 2

2

1 1  1  1 2        1    1  0 2 2  2  2

Esta raíz satisface a la ecuación.

Para x 2  1 :

2

2 1  1  1  2 – 2 = 0

La segunda raíz también es solución de la ecuación.

2.) x 2  ax  bx  ab  0 ; a y b constantes x 2  b  a x  ab = 0 a  1 ; b  (b  a ) ; c   ab ;

 a b  ab ;

ac   ab

ab ba

x 2  ax  bx  ab  0 x x  a   b x  a   0

x  a x  b   0 Si

x  a  0 , x1  a

Si

xb  0,

x 2  b

Comprobación:

a 2  aa   ba   ab 

Para x1  a :

a 2  a 2  ba  ab  0

Este valor de la variable satisface a la ecuación.

b 2  a  b   b b   ab 

Para x 2  b :

También es solución de la ecuación.

3.)

x  4  2 x  1  1 x  4  2x  1  1



   2 x  1  1 x  4   2 x  1   2 2 x  1  1   1 x  4  2 x  1  2 2 x  1   1 x4

2

2

2

2

2 2x  1  2 x  1  1  x  4 2 2x  1  x  2

2

2x  1



2

  x  2

2

42 x  1  x 2  4 x  4

b 2  ab  b 2  ab  0

8x  4  x 2  4x  4  0  x 2  12 x  0  0 x 2  12 x  0 x x  12   0 x1  12 .

Si x  12  0 ;

La otra raíz se obtiene cuando x = 0, es decir que x 2  0

Comprobación: Para x1  12 :

12  4  212  1  16  25 = 4 – 5 = – 1 Este valor satisface a la ecuación.

Para x 2  0 :

0  4  2(0)  1  2 – 1 ≠ –1

El valor x  0 no satisface a la ecuación original, por lo tanto, la única raíz de la ecuación radical dada es 12. Esto se debe a que, al hacer las operaciones para despejar a la variable (al elevar al cuadrado ambos miembros), la ecuación que se obtiene no es equivalente a la original y se introdujo una raíz extraña.

Objetivo 6. Identificarás el discriminante de una ecuación de segundo grado y resolverás ecuaciones de segundo grado mediante la fórmula general.

Ejercicios resueltos:

1.) Determina el carácter de las raíces de la ecuación 5 x 2  7 x  8  0

a  5; b  7; c  8 2

b 2  4ac   7   458

= 49 – 160 = – 111 < 0. Las raíces son complejas y diferentes.

2.) Determina el carácter de las raíces de la ecuación

x  42  2 x5 x  1  7x  2  x 2  8 x  16  10 x 2  2 x  7 x  14 x 2  10 x 2  8 x  2 x  7 x  16  14  0  9 x 2  17 x  2  0 a  9; b  17; c  2 2

b 2  4ac  17   4 9 2  = 289 + 72 = 361 > 0. Las raíces son reales y diferentes.

3.) Encuentra la fórmula para determinar las raíces de la ecuación general de segundo grado:

ax 2  bx  c  0 , a  0 . Pasa el término independiente al segundo miembro, completa un trinomio cuadrado en el primer miembro (sumando el mismo término en el segundo miembro para obtener una ecuación equivalente) y toma la raíz cuadrada de ambos miembros para despejar a la variable.

ax 2  bx  c ax 2  bx c  a a x2 

b c x a a 2

2

b c  b   b  x  x      a a  2a   2a  2

2

b  b2 c  x    2  2a  a 4a 

2

b  b 2  4ac  x    2a  4a 2 

x

b b 2  4ac  2a 2a

x

x

b b 2  4ac  2a 2a

 b  b 2  4ac 2a

Las raíces de la ecuación: ax 2  bx  c  0 , con a  0 , son

 b  b 2  4ac x1  2a

y

 b  b 2  4ac x2  2a

Encuentra el conjunto de soluciones de las siguientes ecuaciones, indicando el carácter de sus raíces:





4.) 9 x  1  3 x 2  5   x  3 x  2 

9 x  1  3x 2  15  x 2  2 x  3 x  6  3x 2  x 2  9 x  2 x  3x  1  15  6  0  2 x 2  8 x  10  0  x 2  4x  5  0

x

;

a  1; b  4; c  5

 4  16  4 15  4  36 46 = = 2 1 2 2

x1 

46  1 2

46 5 2

x2 

Comprobación Para x1  1 :





9(1)  1  3  1  5   1  3 1  2  2

 9  1  12  4 La solución es correcta.

Para x 2  5 :





2

9(5)  1  3 5  5  5  35  2  46  60  14 La solución es correcta.

x  4 2 x  5 x 2  53 5.)   4 5 5  x 2  53   x  4  2 x  5    20  20   20  4   5   5 





5 x  4   42 x  5  4 x 2  53

5 x  20  8 x  40  4 x 2  212  4 x 2  13 x  152 ;

x

 13 

a  4;

132  4 4152 2 4

x1 

 13  51 19 =  8 4

x2 

 13  52 = 8 8

b  13;

=

c  152

 13  169  2432  13  2601 = 8 8

Comprobación Para

x1  

19 : 4

2  1  19  1   19  1  19    4  2   5         53   4 4  5  4  5  4  

1  35  1  78        4 4  5 4   

1  487    5  16 

35 78 487   16 20 80

175 312 487   80 80 80

La solución satisface a la ecuación original.

Para x 2  8 :

1 8  4  1 28  5  1 82  53 4 5 5





4 6 11   4 5 5 20  24 44  20 20 También esta raíz satisface a la ecuación dada.

6.)

4 x 2 1  3 x 20 x   x 1 4 3  4x 2   1  3x   20 x    12 x  1 12 x  1   12 x  1   4   3   x 1

 

12 4 x 2  3 x  11  3x   4 x  120 x  48 x 2  3x  31  3 x   20 x4 x  4 

48 x 2  3x  9 x 2  3  9 x  80 x 2  80 x 48 x 2  9 x 2  80 x 2  3 x  9 x  80 x  3  0

 23 x 2  68 x  3  0 ;

x

a  23;

682  4 233 2 23

 68 

x1 

 68  70 1 =   46 23

x2 

 68  70 = 3  46

=

b  68;

c3

 68  4624  276  68  4900 =  46  46

7.) Una compañía de 180 soldados está formada en filas. El número de soldados de cada fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay y cuántos soldados en cada una?

Sean x el número de filas e y el número de soldados en cada fila.

xy  180 ;

y  x8

x x  8  180

x 2  8 x  180  0

x

8

82  41 180 21

x1 

 8  28  10 2

x2 

 8  28  18 2

=

 8  64  720  8  784 = 2 2

La segunda raíz no es válida puesto que se busca el número de filas en que están formados 180 soldados y éste no puede ser negativo.

Por lo tanto, la solución es : x  10 ;

y  x  8  10  8  18 .

Es decir, hay 10 filas y en cada una 18 soldados.