i

Ecuaciones de primer grado M. Dolores Guadalupe Duarte Marinas José Navarro Cáceres e-LectoLibris

18 de febrero de 2014

Ecuaciones de primer grado Considera la siguiente expresión:

2x + 1 = 7, x = 3, siendo x. Por ejemplo 2 · 4 + 1 6= 7.

observa que sólo es cierta para

falsa

para cualquier otro valor de

para

x=4

vemos que

Fíjate ahora en la expresión

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1. Dale diferentes valores a

x = −3

x

y verás que se cumple siempre; por ejemplo para

se tiene:

((−3) + 1)2 = (−3)2 + 2(−3) + 1; (−2)2 = 9 − 6 + 1; 4 = 4. Una igualdad entre expresiones algebraicas que se verica para algunos valores de las variables se dice que es una

ecuación.

Si se cumple siempre,

sean cuales sean los valores de las variables, la llamaremos

identidad.

Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de las variables que cumplen la igualdad.

Una ecuación en la que sólo hay una variable y ésta aparece únicamente elevada a uno diremos que es una conoce por

ecuación lineal.

ecuación de primer grado, 1

también se la

2

La igualdad entre expresiones algebraicas

Ejemplo 0.1.

3x − 4 = 6 + 8x es una ecuación de primer grado. Sin embargo

x2 + 1 = 10 no lo es porque

x

aparece elevada a

2

(se trata de una ecuación segundo

grado que estudiaremos en cursos posteriores). A cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados de la igualdad las llamaremos

miembros.

sería el primer miembro y

En la primera parte del ejemplo anterior,

6 + 8x

3x − 4

el segundo.

Cada uno de los monomios que aparecen en la ecuación se denominan

términos.

En el ejemplo anterior

3x, −4, 5

y

8x

son términos de la ecuación.

A partir de ahora nos referiremos en exclusiva a ecuaciones de primer grado. La variable que aparece en la ecuación y de la cual deseamos conocer el valor que hace que se cumpla la igualdad se llama

solución.

En la primera parte del ejemplo anterior

solución es

x = −2

x

incógnita

y al valor

es la incógnita y la

como puedes comprobar fácilmente.

Dos o más ecuaciones diremos que son equivalentes si tienen la misma solución. Ejemplo 0.2.

Las ecuaciones

que ambas tienen por solución

2x − 4 = 0 x = 2.

y

3x = 6

son equivalentes puesto

Si a una ecuación le sumamos (o restamos) a cada uno de los miembros un mismo número se obtiene una ecuación equivalente. Ejemplo 0.3.

La ecuación

segunda se obtiene sumando

x − 2 = 7 es equivalente 2 a ambos miembros.

a

x=9

puesto que la

Si en una ecuación multiplicamos (o dividimos) cada uno de los miembros un mismo número distinto de cero se obtiene una ecuación equivalente. Ejemplo 0.4.

La ecuación

5x = 30 es equivalente a x = 6 5 ambos miembros.

segunda se obtiene dividiendo por

puesto que la

3

Resolución de ecuaciones de primer grado Como ya hemos dicho, resolver una ecuación es hallar el valor de la incógnita que hace que se cumpla la igualdad, es decir hallar la solución. En general el procedimiento consistirá en lo que denominamos despejar la incógnita, es decir, dejar la incógnita con coeciente 1 en uno de los lados de la igualdad; en este caso la solución será el valor numérico que aparece en el otro lado de la igualdad. Resuelve la ecuación:

Ejemplo 0.5.

Para aislar la el término

−2

x

x − 2 = 5.

en el primer miembro de la ecuación necesitamos quitar

y para ellos sumamos a cada miembro de la ecuación

+2

obteniéndose:

x − 2 + 2 = 5 + 2, de donde

x=7 que será la solución. Normalmente no será necesario indicarlo con tanto detalle y bastará proceder así:

x − 2 = 5, x = 5 + 2, x=7 es decir quitamos un número que está sumando (restando) en un miembro de la ecuación y lo ponemos restando (sumando) en el otro miembro. Ejemplo 0.6.

Resuelve la ecuación:

x + 9 = 4.

Al igual que en el ejemplo anterior:

x = 4 − 9, luego

x = −5. Ejemplo 0.7.

Resuelve la ecuación:

3x − 4 = 11.

4

Para aislar la término

−4,

x

en el primer miembro de la ecuación necesitamos quitar el

como ya hemos visto antes:

3x = 11 + 4, 3x = 15, y ahora tenemos que convertir el coeciente cada miembro de la ecuación por

3

en un

1;

para ello dividimos

3:

1 1 · 3x = · 15, 3 3 3 15 ·x= , 3 3 de donde

x=5 que será la solución. Al igual que antes normalmente simplicaremos el proceso en la forma:

3x = 15, 15 , 3 x = 5,

x=

es decir quitamos un número que está multiplicando (dividiendo) en un miembro de la ecuación y lo ponemos dividiendo (multiplicando) en el otro miembro. Ejemplo 0.8.

Resuelve la ecuación:

Procediendo como antes:

x + 2 = −3. 5

x + 2 = −3, 5 x = −3 − 2, 5 x = −5, 5 x = 5 · (−5), x = −25,

que será la solución.

5

Ejemplo 0.9.

Resuelve la ecuación:

3x + 7 = −x + 15.

En primer lugar pasamos todos lo términos que contienen

x

a uno de los

miembros de la ecuación y lo términos que no la contienen (términos independientes) al otro:

3x + 7 = −x + 15, 3x + x = 15 − 7, operamos:

4x = 8, y despejamos la incógnita:

8 x= , 4 x = 2. Procedimiento para resolver ecuaciones de primer grado

Seguimos, si son necesarios, los siguientes pasos: 1. Operamos respetando el orden de prioridad de las operaciones. 2. Llevamos todos los términos en los que aparece la incógnita en uno de los miembros y los términos independientes en el otro. 3. Volvemos a operar si es necesario. 4. Despejamos la incógnita y tendremos la solución.

Ejercicios 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) d)

x+4=7 2x − 5 = 7

b)

x − 3 = 15 + 2 = −25

e)−3x

c) f)

x + 2 = −7 2x + 23 = −12

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

3x − 4x = 2 − 2x + 8 2x + 2 − x = 3 − x + 5 e)2 − 4x + 2x = −5x − 4 a)

b)

c)

d) f)

5x + 3 = −4x + 21 4x − 2x − 3 = 2x + 5 − 1 13x + 20 = −12x + 70

Veamos ahora algunos ejemplos en los que aparecen paréntesis o denominadores.

6

Ejemplo 0.10.

Resuelve la ecuación

2 · (x − 3) = x − 14

Procedemos a operar quitando el paréntesis del primer miembro:

2x − 6 = x − 14, ahora pasamos todos los términos con incógnitas a un miembro y los términos independientes al otro:

2x − x = −14 + 6, y por lo tanto

x = −8. Ejemplo 0.11.

Resuelve la ecuación

(2x + 3) − 5 · (x − 1) = 2x + 3 · (x + 1)

Procedemos a operar quitando los paréntesis tanto del primer miembro como del segundo:

(2x + 3) − (5x − 5) = 2x + (3x + 3), 2x + 3 − 5x + 5 = 2x + 3x + 3, ahora pasamos todos los términos con incógnitas a un miembro y los términos independientes al otro:

2x − 5x − 2x − 3x = 3 − 3 − 5, −8x = −5, de donde

x= Ejemplo 0.12.

−5 5 = . −8 8

Resuelve la ecuación

3x 5

−2=x+

1 2

En primer lugar procederemos a quitar los denominadores; para ello multiplicamos ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, en nuestro caso

mcm(5, 2) = 10,

1 3x −2=x+ , 5 2     3x 1 10 · − 2 = 10 · x + , 5 2 30x 10 − 20 = 10x + , 5 2

7

6x − 20 = 10x + 5, ahora pasamos todos los términos con incógnitas a un miembro y los términos independientes al otro y operamos:

6x − 10x = 20 + 5, −4x = 25, y por lo tanto

x=

25 25 =− . −4 4

Ejercicios 1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

2(3x + 2) = x − 1 c) 5(x − 1) + 3(2x + 2) = −x e)−(x − 1) + 2x = 4(2x − 4) a)

x + 3(2x + 5) = x d) −(x − 3) = 4(x + 5) f ) 3(x + 1) − (x + 1) = −3 + x b)

2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)

x x −5= −7 2 3

b)

x+1 =x+2 3

d)

2x − 3 x 1 =x+ − 5 3 15

e)1

−

x x =x− 2 6

c)

x 5 − x = −x + 2 4

f)

x x 2x + − =2 2 3 6

Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado Muchos problemas que nos encontramos se resuelven mediante el planteamiento y resolución de una ecuación de primer grado. En general debes seguir los siguientes pasos para resolver el problema: 1. Haz una lectura comprensiva del problema. Tras su lectura tantas veces como necesites deberías estar en condiciones de explicarlo sin mirar el texto aunque no recuerdes con exactitud los valores que aparecen en el enunciado. 2. Detecta qué es lo que quieres saber que será la incógnita. Ponle nombre, por ejemplo

x.

8

3. Convierte el enunciado del problema en una expresión algebraica, que en nuestro caso será una ecuación de primer grado. 4. Resuelvela aplicando los procedimientos vistos anteriormente. 5. Comprueba que la solución tiene sentido y responde exactamente a lo que querías saber. Ejemplo 0.13.

La edad de un padre es el doble de la edad de su hijo y la

suma de las edades de ambos es 63. ¾Cuántos años tiene el hijo? Si hacemos una lectura comprensiva del problema habremos detectado que nos pregunta por la edad del hijo que llamaremos

x

y que será la incógnita

de nuestro problema. Ahora pasamos el enunciado del problema a una expresión algebraica y se tiene, como fácilemente puedes comprobar, la siguiente ecuación:

2x + x = 63 que resolviendo tenemos que

x=

63 = 21. 3

Luego la edad del hijo es 21 años y la del padre, aunque no lo pide, es 42.

Ejercicios 1. La suma de un número más su doble más su mitad es 35. ¾De qué número se trata? 2. El doble del resultado de restar a un número 7 unidades es 8. ¾De qué número se trata? 3. Llevo en el monedero el doble de monedas de 1 euro que de 2 euros. Si en total llevo 28 euros en el monedero ¾cuántas monedas de 2 euros llevo?

9

Ejercicios propuestos 1. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) d)

x + 4 = 18 7x − 6 = 8x + 12

b)

−2x − 7 = 1 − 2 = 20 − 2x

c)

e)12x

f)

5x − 4 = 11 x − 3 + 5x = −x + 3

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

−(2x + 3) = 2x + 1 c) 4(3x + 1) − 2(6x + 3) = 14 e)−2(x + 4) − 3x = 2(x − 1) a)

3x − 2(5x + 1) = 2x + 7 d) 5(2x − 1) = 3(x − 6) f ) 7(x + 1) − 2(x + 1) = 1 − 2x b)

3. Resuelve las siguientes ecuaciones: a)

2x 4x −1= +2 3 9

b)

2x − 1 =x−2 5

c)

2x x−1 +x= 7 14

4. La suma de dos números consecutivos es 2029. ¾De qué números se trata? 5. La suma de dos números pares consecutivos es 1624. ¾De qué números se trata? 6. La suma de dos números impares consecutivos es 644. ¾De qué números se trata? 7. De un rectángulo sabemos que su base mide 3 m más que su altura. Si el perímetro es 10 m, ¾cuánto miden los lados? 8. En una clase de

31

alumnos, hay

5

chicas más que chicos. ¾Cuántas

chicas hay en la clase? 9. (Concurso Canguro Matemático, 2001.) Hace tres años, los trillizos Pablo, Simón y José, y su hermana Eva,

4

años mayor, sumaban

24

años en total. ¾Cuántos años tiene hoy Eva? 10. Entre Pedro y María transportan

8

libros, pero Pedro lleva dos libros

más que María. ¾Cuántos libros lleva Pedro? 11. Antonio tiene

257

euros y Rafael

123.

¾Cúantos euros debería dar An-

tonio a Rafael para que ambos tengan la misma cantidad? 12. (Concurso Canguro Matemático, 2004.) Los tres miembros de una familia de conejos se han comido en total

73

zanahorias. El padre se ha

comido cinco zanahorias más que la madre. El hijo se ha comido zanahorias. ¾Cuántas se ha comido la madre?

12