IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B

ECUACIONES DE PRIMER GRADO PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO 1. Eliminar paréntesis (si los hay) 2. Eliminar denominadores (si los hay) 3. Trasponer términos (“las x en un lado de la igualdad y los números en el otro”) 4. Reducir términos semejantes 5. Despejar la incógnita 6. Comprobar la solución

EJEMPLOS 1) Resuelve la ecuación de primer grado: − 3( x − 2) − (1 + x) = 2( x − 3) + 5


Eliminamos los paréntesis y reducimos términos semejantes: semejantes

− 3x + 6 − 1 − x = 2 x − 6 + 5 ⇒ − 4 x + 5 = 2 x − 1


Trasponemos términos: − 4 x − 2 x = −1 − 5




Reducimos términos semejantes: − 6 x = −6




Despejamos la incógnita: x =




Comprobamos la solución:

−6 ⇒ x =1 −6

− 3(1 − 2) − (1 + 1) = −3(−1) − 2 = 3 − 2 = 1  − 3(1 − 2) − (1 + 1) = 2(1 − 3) + 5 ⇒ 2(1 − 3) + 5 = 2(−2) + 5 = −4 + 5 = 1 

⇒ x = 1 es la solución de la ecuación 2) Resuelve la ecuación de primer grado: 2( x − 2) − (1 − x ) = 3( x − 1) − 9


Eliminamos los paréntesis y reducimos términos semejantes: semejantes

2 x − 4 − 1 + x = 3 x − 3 − 9 ⇒ 3 x − 5 = 3 x − 12


Trasponemos términos: 3 x − 3 x = −12 + 5




Reducimos términos semejantes: 0 ⋅ x = −7 ⇒ La ecuación no tiene solución; no existe ningún número real que al multiplicarlo por 0 de – 7.

3) Resuelve la ecuación de primer grado: 2( x − 2) − (1 − x ) = 3( x − 1) − 2


Eliminamos los paréntesis y reducimos términos semejantes: semejantes

2 x − 4 − 1 + x = 3x − 3 − 2 ⇒ 3x − 5 = 3x − 5


Trasponemos términos: 3 x − 3 x = 5 − 5




Reducimos términos semejantes: 0 ⋅ x = 0 ⇒ La ecuación tiene infinitas soluciones; cualquier número real es solución porque el producto de cualquier número real por 0 es 0. 1

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B

4) Resuelve la ecuación de primer grado:


x−3 − 1 − 2x 4− x −2− =− 5 15 3

Reducimos las fracciones a mínimo común denominador.

m.c.m.(5,3,15) = 15 (Dividimos denominador común entre el denominador correspondiente y multiplicamos el resultado por el numerador) Recuerda que el signo "−" delante de una fracción afecta a todos los términos del numerador; de ahí que es mejor dejar la multiplicación indicada con el paréntesis y quitarlo en el siguiente paso:

3 ⋅ ( x − 3) − 15 ⋅ (2) − 1⋅ (4 − x) 5 ⋅ (−1 − 2 x) =− 15 15


Eliminamos los denominadores (por ser iguales) y nos queda la ecuación:

3( x − 3) − 15 ⋅ (2) − 1 ⋅ (4 − x) = −5 ⋅ (−1 − 2 x)


Eliminamos paréntesis y reducimos términos semejantes: semejantes

3 x − 9 − 30 − 4 + x = 5 + 10 x ⇒ 4 x − 43 = 5 + 10 x


Trasponemos términos: 4 x − 10 x = 5 + 43




Reducimos términos semejantes: − 6 x = 48




Despejamos la incógnita: x =




Comprobamos la solución:

48 ⇒ x = −8 −6

−8−3 4 − (−8) − 11 12 − 33 − 30 − 12 75  −2− = −2− = =− = −5 4 − (−8) − 1 − 2(−8) −8−3 5 15 5 15 15 15 −2− =− ⇒  − 1 − 2(−8) − 1 + 16 15 5 15 3  − =− = − = −5  3 3 3 ⇒ x = −8 es la solución de la ecuación

5) Resuelve la ecuación de primer grado:

2 x − 3 3( x − 1) 2(3 − x) 5 − − =− 6 4 6 8 2 x − 3 3x − 3 6 − 2 x 5 − − =− 6 4 6 8




Eliminamos los paréntesis de los denominadores:




Reducimos las fracciones a mínimo común denominador.

m.c.m.(6,4,8) = 24 (Dividimos ividimos denominador común entre el denominador correspondiente y multiplicamos el resultado por el numerador) Recuerda que el signo "−" delante de una fracción afecta a todos los términos del numerador; de ahí que es mejor dejar la multiplicación indicada con el paréntesis y quitarlo en el siguiente paso:

4(2 x − 3) − 6(3x − 3) − 4(6 − 2 x) 3 ⋅ (5) =− 24 24

2

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas




TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B

Eliminamos los denominadores (por ser iguales) y nos queda la l ecuación:

4(2 x − 3) − 6(3x − 3) − 4(6 − 2 x) = −3 ⋅ (5)


Eliminamos paréntesis y reducimos términos semejantes: semejantes

8 x − 12 − 18 x + 18 − 24 + 8 x = −15 ⇒ −2 x − 18 = −15


Trasponemos términos: − 2 x = −15 + 18




Reducimos términos semejantes: − 2 x = 3




Despejamos la incógnita: x = −




Comprobamos la solución:

3 2

3  3  3    5 9 − 15 3⋅−  2 ⋅  2 ⋅  −  − 3 3 ⋅  − − 1 2 ⋅  3 +  6 − 2 2 2 2 2   −  =  −   = −1 − 2 − 9 = −1 + 15 − 9 = −  −  6 6 4 6 4 6 8 6 6 4 15 5 3 − 24 + 45 − 36 =− = − ⇒ x = − es la solución de la ecuación 24 24 8 2

( x − 3) 2 ( x − 1)( x + 1) − ( x + 5) 2 6) Resuelve la ecuación de primer grado: − − =0 6 4 12


Eliminamos los paréntesis de los denominadores (observa que son identidades notables):

x 2 − 6 x + 9 x 2 − 1 − x 2 − 10 x − 25 − − =0 6 4 12


Reducimos las fracciones a mínimo común denominador. m.c.m.(6,4,12) = 12

2( x 2 − 6 x + 9) − 3( x 2 − 1) − 1(− x 2 − 10 x − 25) 0 = 12 12


Eliminamos los denominadores (por ser iguales) y nos queda la ecuación:

2( x 2 − 6 x + 9) − 3( x 2 − 1) − 1(− x 2 − 10 x − 25) = 0


Eliminamos paréntesis y reducimos términos semejantes: semejantes

2 x 2 − 12 x + 18 − 3 x 2 + 3 + x 2 + 10 x + 25 = 0 ⇒ −2 x + 46 = 0


Trasponemos términos: − 2 x = −46




Despejamos la incógnita: x =




Comprobamos la solución:

− 46 ⇒ x = 23 −2

(23 − 3) 2 (23 − 1)(23 + 1) − (23 + 5) 2 (20) 2 22 ⋅ 24 − (28) 2 400 528 784 − − = − − = − + = 4 6 4 12 6 4 12 6 12 800 − 1584 + 784 0 = = = 0 ⇒ x = 23 es la solución de la ecuación 12 12 3

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B

ECUACIONES DE 2º GRADO La forma general de una ecuación de segundo grado es: ax + bx + c = 0 2

•

Si b ≠ 0 y c ≠ 0 ⇒ COMPLETA

•

Si b = 0 ò c = 0 (ò ambos) ⇒ INCOMPLETA

1. RESOLUCIÓN Para resolver ecuaciones de 2º grado utilizamos la fórmula:

x=

con a ≠ 0

− b ± b 2 − 4ac 2a

Ejemplos a) − 2 x 2 − 5 x + 3 = 0 ⇒ a = −2

b = −5

c=3

 x= 5 ± (−5) 2 − 4 ⋅ (−2) ⋅ 3 5 ± 25 + 24 5 ± 49 5 ± 7  x= = = = = −4 −4 −4  2 ⋅ (−2)  x = b) x 2 − 3 x + 5 = 0 ⇒ a = 1

b = −3

5+7 ⇒ x = −3 −4 5−7 −2 1 = ⇒x= −4 −4 2

c=5

3 ± (−3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 3 ± 9 − 20 3 ± − 11 x= = = ⇒ La ecuación no tiene solución real 2 ⋅1 2 2 c)

4x2 + 4x + 1 = 0 ⇒ a = 4

b=4

c =1

−4+0 4 1  x= =− ⇒x=−  − 4 ± (4) − 4 ⋅ 4 ⋅ 1 − 4 ± 16 − 16 − 4 ± 0 − 4 ± 0  8 8 2 x= = = = = 2⋅4 8 8 8 x = − 4 − 7 = − 4 ⇒ x = − 1  8 8 2 2

d) (2 x + 1)2 − ( x − 1)( x + 1) = 1 La ecuación tiene que estar en forma general, por eso desarrollamos las identidades notables y reducimos términos semejantes.

(4 x 2 + 4 x + 1) − ( x 2 − 1) = 1 ⇒ 4 x 2 + 4 x + 1 − x 2 + 1 = 1 ⇒

⇒ 3x 2 + 4 x + 1 = 0 ⇒ a = 3

b=4

c =1

−4+2 −2 1  x= = ⇒x=− − 4 ± (4) 2 − 4 ⋅ 3 ⋅1 − 4 ± 16 − 12 − 4 ± 4 − 4 ± 2  6 6 3 x= = = = = 2⋅3 6 6 6  x = − 4 − 2 = − 6 ⇒ x = −1  6 6

4

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

1.1.

TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B

ECUACIONES INCOMPLETAS

Aunque también se pueden resolver con la fórmula hay métodos más sencillos para resolver las ecuaciones de 2º grado incompletas Tipo I → c=0 (sacamos factor común “x”) ”) 1) 3 x 2 − 5 x = 0

x = 0  x ⋅ (3x − 5) = 0 ⇒  5 3x − 5 = 0 ⇒ 3x = 5 ⇒ x = 3 2 2) − 2 x − 7 x = 0

x = 0  x ⋅ (−2 x − 7) = 0 ⇒  7 − 2 x − 7 = 0 ⇒ −2 x = 7 ⇒ x = − 2 3) (2 x + 3) 2 − (3x − 1)( x − 8) = 1 La ecuación tiene que estar en forma general, por eso operamos y reducimos términos semejantes.

(4 x 2 + 12 x + 9) − (3x 2 − 24 x − x + 8) = 1 ⇒ 4 x 2 + 12 x + 9 − 3x 2 + 24x + x − 8 − 1 = 0 ⇒ x 2 − 37 x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ x ⋅ ( x − 37) = 0 ⇒   x − 37 = 0 ⇒ x = 37 Tipo II → b=0 (Despejamos x2 y calculamos la raíz cuadrada) 1) 2 x 2 − 32 = 0 ⇒ 2 x 2 = 32 ⇒ x 2 =

 x = −4 32 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = ± 16 ⇒  2 x = 4

2) − 3 x 2 + 15 = 0 ⇒ −3 x 2 = −15 ⇒ x 2 =

− 15  x = − 5 ⇒ x2 = 5 ⇒ x = ± 5 ⇒  −3  x = 5

3) (3 x − 1)2 − ( x + 1) 2 = −8 x − 8 La ecuación tiene que estar en forma general, por eso desarrollamos las identidades notables y reducimos términos semejantes.

(9 x 2 − 6 x + 1) − ( x 2 + 2 x + 1) = −8x − 8 ⇒ 9 x 2 − 6 x + 1 − x 2 − 2 x − 1 + 8 x + 8 = 0 ⇒ 8 x 2 + 8 = 0 ⇒ ⇒ 8 x 2 = −8 ⇒ x 2 =

−8 ⇒ x 2 = −1 ⇒ x = − 1 ⇒ no tiene solución real 8

5

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B

2. DISCUSIÓN Si observas los ejemplos anteriores te darás cuenta que cuando resolvemos una ecuación de 2º grado nos podemos encontrar con tres casos:
Que tenga dos soluciones reales distintas (ejemplos a y d)
Que tenga una única solución real (ejemplo c)
Que no tenga solución real (ejemplo b)  El número de soluciones de una ecuación de segundo grado depende del valor de ∆ = b − 4ac que recibe el nombre 2

de DISCRIMINANTE ANTE DE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO.

• Si ∆ = b2 − 4ac > 0 ⇒ La ecuación tiene 2 solucionesreales distintas • Si ∆ = b2 − 4ac = 0 ⇒ La ecuación tiene una única solución real (doble)

• Si ∆ = b2 − 4ac < 0 ⇒ La ecuación no tiene solución real 3. RELACIÓN ENTRE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO

 x1  x2

Sea ax 2 + bx + c = 0 una ecuación de 2º grado con soluciones 

c   x1 ⋅ x2 = a Se verifica que  x + x = − b  1 2 a Ejemplo

3x 2 + 4 x + 1 = 0 ⇒ a = 3

b=4

c =1

−4+2 −2 1  x1 = = ⇒ x1 = −  − 4 ± (4) − 4 ⋅ 3 ⋅ 1 − 4 ± 16 − 12 − 4 ± 4 − 4 ± 2  6 6 3 x= = = = = 2⋅3 6 6 6  x = − 4 − 2 = − 6 ⇒ x = −1 2  2 6 6 2

1 1 c   x1 ⋅ x2 = − 3 ⋅ (−1) = 3 ⇒ x1 ⋅ x2 = a   x + x = − 1 + (−1) = − 4 ⇒ x + x = − b 1 2  1 2 3 3 a

6