Ecuaciones de Segundo Grado Julio Yarasca UNI
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De nición Ecuacion de Segundo Grado Una ecuación de segundo grado es de la forma ax 2 + bx + c = 0
donde a, b, c ∈ R y a 6= 0
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De nición Ecuacion de Segundo Grado Una ecuación de segundo grado es de la forma ax 2 + bx + c = 0
donde a, b, c ∈ R y a 6= 0 Ejemplos 1. 2. 3. 4.
x 2 + 2x + 1 = 0
3 x 2 + 4x + 2 = 0 −x 2 − 1 = 0 7 x 2 + 9x = 0
5. 4x 3 + x 2 + 3x + 4 = 0 Julio Yarasca (UNI)
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Solución
Tenemos dos formas de como resolver una ecuación de segundo grado, por factorizacion( método de aspa simple) o por la fórmula general.
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Aspa Simple Aspa simple
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Aspa Simple Aspa simple
Ejemplo
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Fórmula general Fórmula general Sea una ecuación de segundo grado de la forma ax 2 + bx + c = 0
y x1 , x2 raíces de la ecuación entonces son de la forma x1 =
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−b +
√
b 2 − 4ac , 2a
x2 =
−b −
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√
b 2 − 4ac 2a
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Fórmula general Fórmula general Sea una ecuación de segundo grado de la forma ax 2 + bx + c = 0
y x1 , x2 raíces de la ecuación entonces son de la forma x1 =
−b +
√
b 2 − 4ac , 2a
x2 =
−b −
√
b 2 − 4ac 2a
Ejemplo Sea la ecuacion x 2 + 5x + 6 = 0 entonces a = 1, b = 5, c = 6 aplicando la fórmula general tenemos x1 =
−5 +
√
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52 − 4.1.6 = −2, 2.1
x2 =
−5 −
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√
52 − 4.1.6 = −3 2.1 April 15, 2015
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Discriminante De nición Sea la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0
se de ne su discriminante como ∆ = b 2 − 4ac
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Discriminante De nición Sea la ecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0
se de ne su discriminante como ∆ = b 2 − 4ac
Ejemplo Sea la ecuación su discriminante es
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2x 2 + 5x − 2 = 0 ∆ = 52 − (4.2. − 2) = 41 Ecuaciones de Segundo Grado
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Propiedades del Discriminante Propiedades El discriminante de una ecuación cuadratica nos permite estudiar el tipo de raíz que presenta la ecuación. 1. Si ∆ > 0, la ecuación tiene raices reales y diferentes. 2. Si ∆ = 0, la ecuación tiene raices reales e iguales. 3. Si ∆ < 0, la ecuación tiene raices complejas y conjugadas.
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Propiedades del Discriminante Propiedades El discriminante de una ecuación cuadratica nos permite estudiar el tipo de raíz que presenta la ecuación. 1. Si ∆ > 0, la ecuación tiene raices reales y diferentes. 2. Si ∆ = 0, la ecuación tiene raices reales e iguales. 3. Si ∆ < 0, la ecuación tiene raices complejas y conjugadas. Ejemplo 1. x 2 + 3x + 1 = 0 entonces ∆ = 32 − 4.1.1 = 5 > 0 tiene raices reales y diferentes. 2. x 2 + 2x + 1 = 0 entonces ∆ = 22 − 4.1.1 = 0 tiene raices reales e iguales. 3. x 2 + 2x + 3 = 0 entonces ∆ = 22 − 4.3.1 = −8 < 0 tiene raices complejas. Julio Yarasca (UNI)
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Teorema de Cardano Teorema de Cardano Sea la ecuación ax 2 + bx + c = 0 y x1 , x2 sus raíces, se cumple x1 + x2 = − x1 .x2 =
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b a
c a
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Teorema de Cardano Teorema de Cardano Sea la ecuación ax 2 + bx + c = 0 y x1 , x2 sus raíces, se cumple x1 + x2 = − x1 .x2 =
b a
c a
Ejemplo Sea la ecuación x 2 − 10x + 3 = 0 entonces la suma de sus raices es igual a −10 3 − = 10 y el producto = 3 1 1
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¾Cómo reconstruir una ecuación cuadrática ? Podemos formar una ecuación cuadratica a partir de sus rai¢es, sean las raíces x1 , x2 entonces la ecuación de segundo grado se puede escribir (x − x1 )(x − x2 ) = 0 x 2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0
Ejemplo Sea las raíces x1 = −2 y x2 = −3 entonces la ecuación donde estas son raices es x 2 − (−2 + −3)x + (−2)(−3) = 0 x 2 + 5x + 6 = 0
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¾Cómo reconstruir una ecuación cuadrática ? Podemos formar una ecuación cuadratica a partir de sus rai¢es, sean las raíces x1 , x2 entonces la ecuación de segundo grado se puede escribir (x − x1 )(x − x2 ) = 0 x 2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 = 0
Ejemplo Sea las raíces x1 = −2 y x2 = −3 entonces la ecuación donde estas son raices es x 2 − (−2 + −3)x + (−2)(−3) = 0 x 2 + 5x + 6 = 0
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Ecuación Bicuadrada De nición Es una ecuación de la forma ax 4 + bx 2 + c = 0
donde a, b, c ∈ R y a 6= 0
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Ecuación Bicuadrada De nición Es una ecuación de la forma ax 4 + bx 2 + c = 0
donde a, b, c ∈ R y a 6= 0 Ejemplos 1. x 4 + 3x 2 + 2 = 0 2. x 4 + 3 = 0 3. x 4 + 2x 2 = 0 4. x 2 + 3 = 0
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Solución Solución Sea la ecuaciones bicuadrada de la forma ax 4 + bx 2 + c = 0
y x1 , x2 , x3 , x4 raíces de la ecuaciones entonce son de la forma s x1 =
−b +
√
b2
2a s
x3 = −
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−b +
√
b2
2a
− 4ac
− 4ac
s , x2 =
−b −
s , x4 = −
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√
−b −
b 2 − 4ac 2a √
b 2 − 4ac 2a
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Ejemplo Sea la ecuación
x 4 − 8x 2 − 9 = 0
Entonces a = 1, b = −8 y c = −9 , tenemos s x1 = s x2 = s x3 = − s x4 = − Julio Yarasca (UNI)
(−8)2 − 4.1.(−9)
−(−8) +
p
−(−8) −
p (−8)2 − 4.1.(−9)
−(−8) +
p
−(−8) −
p (−8)2 − 4.1.(−9)
2
2
(−8)2 − 4.1.(−9)
2
2
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=3
=i
= −3
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Propiedad
Sea la ecuación bicuadrada ax 4 + bx 2 + c = 0
Notemos que si m, n dos raíces de tal que m + n 6= 0 es decir m 6= −n. tenemos 1. C .S = {m, n, −m, −n} 2. m2 + n2 = − 3. m2 .n2 =
c a
b a
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¾Cómo reconstruir una ecuación Bicuadrática ?
Sea m, n dps raíces tal que su suma no sea cero(es decir m 6= −n), entonces la ecuación bicuadratica donde m y n son sus raices es: x 4 − (m2 + n2 )x 2 + m2 .n2 = 0
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Inecuaciones Cuadráticas
Son aquellas inecuaciones de la forma ax 2 + bx + c ≶ 0
donde a, b, c ∈ R y a 6= 0
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Propiedades
Trinomio siempre positivo Tenemos
ax 2 + bx + c > 0 ∀x ∈ R ⇐⇒ a > 0 y ∆ < 0
Trinomio siempre negativo Tenemos
ax 2 + bx + c < 0 ∀x ∈ R ⇐⇒ a < 0 y ∆ < 0
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Inecuaciones de grado superior
Son aquellas inecuaciones de la forma a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n−2 + · · · + an ≶ 0
donde a0 , a1 , a2 , · · · an ∈ R, n ≥ 3 y a0 6= 0
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Inecuaciones Racionales
Son aquellas inecuaciones de la forma a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n−2 + · · · + an ≶0 b0 x m + b1 x m−1 + b2 x m−2 + · · · + bm
donde a0 , a1 , a2 , · · · an , b0 , b1 , b2 , · · · bm ∈ R , m ≥ 1 y algún b1 , b2 , · · · bm−1 es distinto de cero.
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Existencia de Radicales
n impar
Si n es un número entero impar positivo y a un número real cualquiera, entonces hay un número único b tal que a = bn .El número b esta denotado √ por n a y se le llama n-ésima raíz de a. Ejemplos √
1. 3 27 = 3 √ 2. 5 −32 = 2
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n: par
Si n es un número entero positivo par, para cada número a ≥ 0 hay un número único b ≥ 0 tal que a = bn . El número no negativo b se denota √ por n a y se llama n-ésima raíz de a. Ejemplo √
1. 9 = 3 √ 2. 4 16 = 2
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Ecuación Irracional
La ecuación que contiene una incógnita bajo el signo del radica se llama ecuación irracional. En forma general es muy difícil señalar algún método universal de resolución de cualquiera ecuación irracional; sin embargo, se va a indicar procedimientos.
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Conjunto de valores admisibles Si en una ecuación intervienen radicales de la forma p n P(x)
Utilizaremos en conjunto de valores admisibles (C .V .A), este conjunto esta descrito por Consideración 1 Si n es par, soluciones donde P(x) ≥ 0. p Consideración 2 Si n es par, soluciones donde n P(x) ≥ 0. Consideración 3 Si n es impar, no existe ninguna restricción. Nota: Primero encontramos el conjunto de valores admisibles y luego pasamos resolver la ecuación.
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Ejemplos Ejemplo 1
√
Resolver la ecuación: x +2=3 Solución: Notemos que en este caso n es par y P(x) = x + 2, entonces el conjunto de valores admisibles para esta ecuación es C .V .A = {x ∈ R/x + 2 ≥ 0 ∧ 3 ≥ 0} = [−2, +∞i
Ahora empezemos a resolver la ecuación, elevendo al cuadrado tenemos √ ( x + 2)2 = 32 x + 2 = 9 =⇒ x = 7
Ahora como 7 pertenece al conjunto de valores admisibles, por lo tanto x = 7 es la solución de la ecuación. Julio Yarasca (UNI)
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Ejemplo 2 Resolver la ecuación
√
x + 5 = −1
Solución: Encontremos el conjunto de valores admisibles C .V .A = {x ∈ R/x + 5 ≥ 0 ∧ −1 ≥ 0} = ∅
Por lo tanto esta ecuación no tiene soluciones reales.
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Ejemplo 3 Resolver la ecuación
√
x − 2 = 2(x − 1)
3
Encontremos el conjunto de valores admisibles
C .V .A = {x ∈ R/3x − 2 ≥ 0 ∧ 2(x − 1) ≥ 0} = {x ∈ R/x ≥ = [1, +∞i Ahora elevando al cuadrado tenemos
2 3
∧ x ≥ 1}
√ ( 3x − 2)2 = (2(x − 1))2 ,
x − 2 = 4(x 2 − 2x + 1) = 4x 2 − 8x + 4
3
x − 2 = 4x 2 − 8x + 4 =⇒ 4x 2 − 11x + 6 = 0 =⇒ (x − 2)(4x − 3) = 0
3
Entonces ecuación
x =2∨x = es x = 2 .
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3 4
, ahora solo 2
∈ C .V .A,
por lo tanto la solución de la
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Inecuaciones Irracionales
La inecuación que contiene una incógnita bajo el signo del radical se llama inecuación irracional.
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Herramientas
Proposición 1 Si n es par se cumple que para todo x, y ∈ R √ n
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x+
√ n
y ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y ≥ 0
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Ejemplo 4 Resolver Entonces
√
x +2+
√
3−x ≥0
x + 2 ≥ 0∧3 − x ≥ 0 | {z } | {z } x≥−2
3≥x
Se tiene x ∈ [−2, 3] , por lo tanto el conjunto solución es C .S = [−2, 3]
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Proposición 2 Sean x, y ∈ R se cumple √
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x < y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ y > 0 ∧ x < y 2
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Ejemplo 5 Resolver
√ x −5 0 ∧ x − 5 < 32 x ≥5 x 0 √ 0 < x2 − x − 2 x + 2 < x ⇐⇒ 0 < (x − 2)(x + 1) | {z } h−∞,−1i∪h2,+∞i
Entonces el conjunto solución es C .S = h2, +∞i
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Proposición 3 Para todo y < 0 se cumple √
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x > y ⇐⇒ x ≥ 0
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Ejemplo 7 Resolver
√
x + 2 > −|x| − 1
Como −|x| − 1 < 0 tenemos x + 2 ≥ 0 =⇒ x ≥ −2
Por lo tanto el conjunto solución es C .S = [−2, +∞i
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Proposición 4 Para todo y > 0 se cumple √
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x > y ⇐⇒ x ≥ 0 ∧ x > y 2
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Ejemplo 8 Resolver Entonces
√ x +1>4 √
x + 1 > 4 ⇐⇒ x + 1 ≥ 0 ∧ x| + 1{z> 4}2 | {z } x≥−1
x>15
Entonces el conjunto solución es C .S = h15, +∞i
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Ejemplo 9 Resolver
p x 2 − 3x + 2 > 2 − x
En esta inecuacion tendremos 2 casos Caso 1 Si 2| − {z x < 0}, entonces 2 (2 − x)2 |
{z
2≥x
}
Entonces
C .S.1 = h2, +∞i
|
{z
}
x 2 −3x+2>4−4x+x 2 =⇒x>2
C .S.2 = ∅
Por lo tanto el conjunto solución es la unión C .S = C .S 1 ∪ C .S 2 = h2, +∞i Julio Yarasca (UNI)
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