Kantonsschule Ausserschwyz

Maturaarbeit Oktober 2014

Die Auswirkung der Parameter Geschwindigkeit, Druck und Bodenbeschaffenheit auf die Rolldistanz eines Fussballs

Autorin oder Autor, Klasse:

Ivan Theiler, 4f

Adresse:

Egglirain 4, 8832 Wilen bei Wollerau

Betreuende Lehrperson:

Stefan Walser

1

Abstract

In meiner Maturaarbeit beschäftige ich mich mit der Rolldistanz eines Fussballs unter verschiedenen

Konditionen.

Durch

Veränderung

der

Parameter

Geschwindigkeit,

Bodenbeschaffenheit und Luftdruck des Fussballs variierten die Rolldistanzen zwischen den verschiedenen Konditionen. Dies galt es zu untersuchen, wobei ich den Schwerpunkt meiner Berechnungen auf den Parameter Luftdruck legte. Im Vergleich der Stärke der Reibung des Betons mit derjenigen des Rasens

war klar ersichtlich, dass der Rasen mit seinen

Grashalmen einen viel grösseren Widerstand gegenüber dem Fussball bietet, als der Beton mit seinen kleinen Spitzen auf der Oberfläche. Der Luftdruck im Inneren des Fussballs spielt eine essentielle Rolle für die Rolldistanz. Durch die Verformung, wegen des niedrigen Luftdrucks, wird die Hohlkugel annähernd zu einem Hohlzylinder. Die Trägheit wird dadurch verändert, dies führt zu einem Verlust von Energie und damit, auch zu einem Verlust der Rolldistanz.

1

2

Inhaltsverzeichnis

1

Abstract ............................................................................................................................................. 1

2

Inhaltsverzeichnis ............................................................................................................................. 2

3

Vorwort .............................................................................................................................................. 3

4

Einleitung .......................................................................................................................................... 4

5

Material ............................................................................................................................................. 5

6

Vorgehen .......................................................................................................................................... 6

7

Resultate ........................................................................................................................................... 7 7.1

Berechnungen............................................................................................................................ 7

7.2 Messungen .................................................................................................................................... 7 8

Diskussion....................................................................................................................................... 10 8.1

Fehler bei der Messung ........................................................................................................... 10

8.2

Reibung auf Beton ................................................................................................................... 10

8.3

Rollreibung ............................................................................................................................... 11

8.4

Reibung auf Rasen .................................................................................................................. 12

8.5

Anelastisches Verhalten .......................................................................................................... 13

8.6

Vergleich Rasen und Beton .................................................................................................... 13

8.7

Auswirkung des Luftdrucks ..................................................................................................... 13

8.7.1

Probleme bei der Messung ............................................................................................... 14

8.7.2

Abhängigkeit vom Material ............................................................................................... 14

8.8

Drehmoment ............................................................................................................................ 15

8.9

Rollwiderstand mit einer DGL berechnen ................................................................................ 16

9

Zusammenfassung ......................................................................................................................... 18

10 Schlusswort ...................................................................................................................................... 19 11

Quellenverzeichnis ....................................................................................................................... 20

11.1

Literaturverzeichnis ............................................................................................................... 20

11.2

Internetquellen ....................................................................................................................... 20

11.3

Abbildungsverzeichnis ........................................................................................................... 21

12

Eigenständigkeitserklärung .......................................................................................................... 22

2

3

Vorwort

Als Ende Oktober 2012 der Startschuss für die Ausarbeitung der Maturaarbeit fiel, hatte ich noch keine fixe Idee, worüber ich meine Maturaarbeit schreiben sollte. Mir kamen immer wieder kleinere Themen in den Sinn, die mein Interesse weckten, jedoch blieben diese stets auf halber Strecke liegen. Für mich war klar, dass ich eine naturwissenschaftliche Arbeit schreiben möchte. Ich interessier mich schon seit vielen Jahren für die verschieden wirkenden Kräfte einer Bewegung. Dieses Interesse war auch der Ausschlag gebende Punkt für meine Wahl des Schwerpunktfaches Mathematik und Physik in der Kantonsschule Ausserschwyz. Ich suchte das Gespräch mit meinem Mathematik und Physiklehrer, Herrn Stefan Walser. Er brachte mich auf die Idee, die Rollbewegung eines Fussballs zu beobachten und die verschiedenen Kräfte zu untersuchen. Da ich selber ein Fussballfan bin, erweckte diese Idee mein Interesse. Wir spezifizierten diese Idee in einem weiteren Gespräch und entwickelten somit ein für mich passendes Thema. Ich danke Herrn Walser, der mir stets geholfen hat und mich bei meinen Ideen unterstützt hat.

3

4

Einleitung

Die Rollbewegung eines Fussballs ist in den letzten Jahren wieder in den Mittelpunkt des Interesses geraten. Im Jahr 2014 begann die Fussball-WM in Brasilien. Die Weltbevölkerung war wieder einmal im Fussballfieber. Brasilien musste sich mehrere Jahre im Voraus darauf vorbereiten, sie bauten neue Stadien, Hotels, Strassen etc. Zur gleichen Zeit entwickelte Adidas neues Material für die WM. Wissenschaftler und Designer setzten sich zusammen und gestalteten einen neuen Fussball. Nebst Untersuchungen zu Design und Material des Fussballs, stellten die Wissenschaftler auch Forschungen an, die sich auf den perfekten Druck des Balls bezogen. Für das Fussballspiel ist es essentiell, dass der Fussball möglichst weit rollt, nachdem eine Kraft auf ihn ausgeübt wurde. Mit meiner Arbeit möchte ich den genauen

Ablauf

der

Rollbewegung

eines

Fussballs

auf

verschiedenen

Bodenbeschaffenheiten mit den dazugehörenden Kräften untersuchen und den Ablauf für die Leser dieser Arbeit veranschaulichen. Hierfür untersuche ich die Untergründe Rasen und Beton. Auf diesen habe ich Messungen unternommen, bei denen ich den Luftdruck und die Geschwindigkeit verändert habe. In dieser Arbeit ist der Schwerpunkt der Berechnungen auf den Druck gesetzt.

4

5

Material

Rampe: Für meine Feldarbeit benötigte ich eine konstante Geschwindigkeit. Dafür baute ich zwei Rampen aus je zwei Holzstücken. Das Holzbrett „a“ ist 20cm breit und 60cm lang. Das Holzbrett „b“ ist 30cm lang und 20cm breit. b

a

Rampe „A“

(Abb. 1)

Bei der zweiten Rampe ist das Holzbrett „a“ 20cm breit und 60cm lang. Das Holzbrett „c“ ist 20cm breit und 20cm lang. c

a

Rampe „B“

(Abb. 2)

Kompressor: Damit ich den Luftdruck messen konnte, benutzte ich den Luftdruckkompressor meines Nachbars. Es ist ein Kompressor der Marke Güde, welcher mit einem Aufsatz für Bälle ausgestattet ist. Dieser Aufsatz besitzt eine Anzeige für den Überdruck innerhalb des Fussballs. Fussball: Ich benutzte für alle Messungen den gleichen Fussball. Es ist ein V-Power Fussball, welcher als Werbegeschenk der Shell AG verteilt wird. Er hat einen Durchmesser von (21±0.5)cm. Messband: Als Messband verwendete ich ein Rollmeter von X-TEC, welches über eine Messdistanz von 5m verfügt. Boden: Für meine Messungen benötigte ich einen Rasen- und einen Betonplatz, welche möglichst horizontal verlaufen. Ich entschied mich für den Fussballplatz und den Rollhockeyplatz in der Sportanlage Chrummen in Freienbach SZ.

5

Objektiv gesehen sind diese Plätze ohne Unebenheiten, jedoch kann man geringfügige Unebenheiten nicht vollumfänglich ausschliessen. Ich gehe in meiner weiteren Arbeit davon aus, dass diese Plätze ohne Unebenheiten sind. Wetterkonditionen: Während meiner Messungen waren Untergrund und Material trocken. Ausserdem waren die Untergründe nicht sonderlich durch Sonnenlicht erhitzt, oder durch Schnee und Eis bedeckt. Für genauere Rückschlüsse wurden die Messungen am 17.05.2014 und am 25.05.2014 durchgeführt.

6

Vorgehen

Um eine möglichst konstante Geschwindigkeit zu bekommen, setzte ich den Fussball bei jeder Messung an der oberen Kante des Holzbrettes „a“ an. Ich wiederholte jede Messung 10-mal, damit ich aus diesen Messungen ein Mittelwert ziehen konnte und somit ein genaueres Ergebnis erzielen konnte. Diesen Vorgang führte ich mit jeder Kondition durch.

6

7

Resultate

7.1

Berechnungen

Die Masse des Fussballs beträgt: m = 368g (Für 1bar Überdruck) Die Veränderung der Masse bei weniger Luftdruck ist vernachlässigbar. Anfangsgeschwindigkeit: vo Energieerhaltung: 𝑚

∙𝑔∙ℎ =

Auflösen nach vo: √2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

1 2

∙ 𝑚 ∙ 𝑣𝑜2 𝑔 = 9.81 𝑚⁄ 2 𝑠

= 𝑣𝑜

𝑣𝑜𝐴 = √(2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ𝛼 ) 𝑣𝑜𝐴 = 2.4 𝑚⁄𝑠 𝑣𝑜𝐵 = √(2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ𝛽 ) 𝑣𝑜𝐵 = 1.98 𝑚⁄𝑠1.

7.2 Messungen Resultate der Messungen des Fussballs mit 1bar Druck und der Rampe „A“: Rasen: 1.52 1.54 (in Meter)

1.58

1.45

1.53 1.56 (Abb. 3)

1.64

(

Ø = (1.55 ± 0.05)m

𝛿𝑙 𝑙

1.59

1.46

1.63

0.05𝑚

= 1.55𝑚 = 0.032 = 3.2%)

Beton: 9.31 9.25 (in Meter)

9.23

9.38

9.37 9.33 (Abb. 4)

9.38

(

Ø = (9.32 ± 0.1)m

7

𝛿𝑙 𝑙

9.34 0.10𝑚

9.29

= 9.32𝑚 = 0.012 = 1.2%)

9.35

Resultate mit 1bar Druck und der Rampe „B“: Rasen: 1.19 1.24 (in Meter)

1.14

1.23

1.16 1.12 (Abb. 5)

1.26

(

Ø = (1.19 ± 0.05)m

𝛿𝑙 𝑙

1.09

1.17

1.28

0.05𝑚

= 1.19𝑚 = 0.042 = 4.2%)

Beton: 6.01 6.04 (in Meter)

6.13

5.94

6.07 6.03 (Abb. 6)

6.16

(

Ø = (6.04 ± 0.1)m

𝛿𝑙 𝑙

5.92

6.09

6.03

0.10𝑚

= 6.04𝑚 = 0.017 = 1.7%)

Resultate mit 0.7bar Druck und der Rampe „A“: Rasen: 1.34 1.28 (in Meter)

1.36

1.44

1.35 1.41 (Abb. 7)

1.32

(

Ø = (1.37 ± 0.05)m

𝛿𝑙 𝑙

1.39

1.42

1.43

0.05𝑚

= 1.26𝑚 = 0.036 = 3.6%)

Beton: 8.42 8.35 (in Meter)

8.48

8.33

8.50 8.45 (Abb. 8)

8.43

(

Ø = (8.42 ± 0.1)m

𝛿𝑙 𝑙

8.52

8.38

8.35

0.10𝑚

= 8.42𝑚 = 0.012 = 1.2%)

Resultate mit 0.7bar Überdruck und der Rampe „B“: Rasen: 0.88 0.94 (in Meter)

1.01

0.96

0.86 0.97 (Abb. 9)

1.03

(

Ø = (0.97 ± 0.05)m

8

𝛿𝑙 𝑙

0.95 0.05𝑚

1.04

= 0.97𝑚 = 0.052 = 5.2%)

1.07

Beton: 5.72 5.83 (in Meter)

5.78

5.67

5.69 5.81 (Abb. 10)

5.75

(

Ø = (5.76 ± 0.1)m

𝛿𝑙 𝑙

5.65

5.84

5.86

0.10𝑚

= 5.76𝑚 = 0.017 = 1.7%)

Resultate mit 0.5bar Überdruck und der Rampe „A“: Rasen: 1.22 1.18 (in Meter)

1.24

1.25

1.16 1.26 (Abb. 11)

1.15

(

Ø = (1.21 ± 0.1)m

𝛿𝑙 𝑙

1.27

1.22

1.19

0.05𝑚

= 4.37𝑚 = 0.041 = 4.1%)

Beton: 4.30 4.27 (in Meter)

4.34

4.28

4.25 4.36 (Abb. 12)

4.35

(

Ø = (4.32 ± 0.1)m

𝛿𝑙 𝑙

4.38

4.29

4.39

0.10𝑚

= 4.37𝑚 = 0.023 = 2.3%)

Resultate mit 0.5bar Überdruck und der Rampe „B“: Rasen: 0.97 1.04 (in Meter)

1.02

0.96

0.94 1.11 (Abb. 13)

1.09

(

Ø = (1.04 ± 0.05)m

𝛿𝑙 𝑙

1.08

1.12

1.09

0.05𝑚

= 4.37𝑚 = 0.048 = 4.8%)

Beton: 3.74 3.78 (in Meter)

3.76

3.67

3.69 3.81 (Abb. 14)

3.65

(

Ø = (3.74 ± 0.1)m

9

𝛿𝑙 𝑙

3.78

=

0.10𝑚 4.37𝑚

3.73

= 0.027 = 2.7%)

3.82

8

Diskussion

8.1

Fehler bei der Messung

Bei den für den Versuch erstellten Rampen ist der Winkel zwischen dem Holzbrett und dem Boden relativ gross. Dies führt dazu, dass der Fussball beim Übergang vom Holzbrett zum Boden in ein leichtes Hüpfen gerät. Dadurch könnten Veränderungen in der wirklichen Rolldistanz des Balles entstanden sein. Ein Verbesserungsvorschlag für weitere Arbeiten mit dem gleichen Experiment wäre ein weiteres Holzstück am Punkt C der Rampe anzubringen, um den Winkel zwischen dem und dem Boden zu verkleinern. Hierfür müssten noch weiter Nachforschungen betrieben werden, damit der optimale Winkel bekannt ist.

8.2

Reibung auf Beton

Definition von Reibung: Reibung ist die Hemmung einer Bewegung, die zwischen sich berührenden Festkörpern oder Teilchen auftritt. Der Rollhockeyplatz in der Sportanlage Chrummen besteht aus Asphaltbeton. Die Oberfläche von Asphaltbeton besteht aus einer hügeligen Fläche, welche durch die Gesteinskörnungen im Beton entstehen. Wie bereits in der Definition erwähnt, werden durch die Berührung zwischen dem Fussball und des Betons die kleinen Unebenheiten auf der Oberfläche des Fussballes und des Betons gegeneinander gedrückt. Diese Unebenheiten reiben nun gegeneinander, da sich der Fussball in eine Richtung bewegt und der Boden, goldene Regel der Mechanik, sich minimal in die andere Richtung bewegt.

(Abb. 15) Blau = Fussball

Rot = Betonboden

10

8.3

Rollreibung

Bei diesem Experiment handelt es sich um Rollreibung. Zu Beginn hat es noch Haftreibung, jedoch kann diese vernachlässigt werden, da das Holzbrett eine glatte Oberfläche hat. Die Gleitreibung kann auch ausgeschlossen werden, weil sich der Fussball immer gedreht hat und nicht rutschte. Der Rollwiderstand wird wie folgt berechnet: FR = c ∙ F R N In der Literatur wird der Rollwiderstandskoeffizient cR nur für Motorradreifen auf Asphalt angegeben. Dieser beträgt 0.015−0.021. Ein Motorrad braucht Reifen mit einem Profil, damit der Motorradfahrer in der Kurve möglichst viel Reibung zwischen dem Reifen und dem Boden hat, ist dies nicht der Fall rutscht das Motorrad unter ihm hinweg. Bei einem Fussball ist die Oberfläche des Materials möglichst glatt. Damit möchte man eine möglichst weite Rolldistanz erreichen. Dadurch, dass der Motorradreifen mehr Profil hat und der Fussball kein Profil besitzt, liegt es nahe, dass der Rollwiderstandskoeffizient bei einem Fussball auf Asphalt kleiner ist als 0.015−0.02. „Der Rollwiderstandskoeffizient (auch:

Rollwiderstandsbeiwert,

Rollreibungsbeiwert

usw.) cR ist eine dimensionslose (einheitenfreie) Zahl, die nur von Materialeigenschaften und Geometrie des abrollenden Körpers und der Fahrbahn abhängt.“2 Der Rollwiderstandskoeffizient setzt sich aus folgendem zusammen: 𝑐𝑅

= 𝑑⁄𝑅

„d“ ist die Strecke, welche zurückgelegt wird und „R“ ist der Radius des rollenden Körpers. Die Reibungskraft „FR“ ist direkt vom Radius „R“ des rollenden Körpers abhängig. Im Gegensatz dazu hat bei der Haft- oder der Gleit-Reibung die Grösse der Körper keinen Einfluss. Ein weiteres Indiz dafür, dass der Rollwiderstandskoeffizient nicht 0.015−0.02 beträgt, ist, dass der Fussball einen wesentlich kleineren Radius im Vergleich zum Motorradreifen hat. Dies würde bedeuten, dass der Wert grösser ist, als die vorhin genannte Zahl.

1 2

http://elweb.info/dokuwiki/doku.php?id=rollwiderstand http://elweb.info/dokuwiki/doku.php?id=rollwiderstand

11

Ausserdem hat der Luftdruck auch einen direkten Einfluss auf die Reibung, aber auf dies komme ich im Kapitel Luftdruck zurück. Der Radius hat einen direkten Einfluss auf den Rollwiderstandskoeffizient, weshalb ich darauf schliesse, dass der Wert mehr als 0.0150.02 beträgt. Das Profil hat sicherlich auch einen Einfluss, jedoch spielt der Radius eine grössere Rolle.

8.4

Reibung auf Rasen

Aus den Messungen ist deutlich ersichtlich, dass der Fussball eine kleinere Distanz auf dem Rasen zurücklegt, als auf dem Beton. Beim Rollen auf einem Rasen überrollt der Fussball jedes Grashalm auf seinem Weg. Auf diesem Weg kann man davon ausgehen, dass der Fussball keinen Kontakt mit dem Erdreich hat. Dies ist nur gegeben so lange es eine komplette Rasenfläche ohne Löcher ist. Damit der Fussball überhaupt auf dem Rasen rollen kann, muss er die Grashalme vor sich nach unten biegen. Dieses nach unten biegen braucht für jeden Grashalm eine gewisse Kraft. Das bedeutet, dass der Fussball so lange rollt, wie er noch genug Kraft hat, um die Grashalme vor sich zu biegen. Wie viel Energie es braucht, um ein Grashalm zu biegen müsste noch untersucht werden. Ausserdem ist nicht bekannt, ob es verschiedene Grassorten gibt, welche stabiler sind. Es gilt noch zu beachten, dass der Fussball über verbogene Grashalme rollt, diese könnten eine unebene Fläche bilden, welche zusätzlich die Geschwindigkeit des Balls verlangsamt. Das Problem mit dem Hüpfen nach dem Verlassen der Rampe ist bei der Rasenfläche minimal, da der Rasen ein sehr guter Dämpfer im Vergleich zu Beton ist. Ein weiteres Problem ist, dass nach mehreren Versuchen durch Wiederholungen im Gras eine Bahn entstanden ist, welche den Fussball weiter rollen lässt. Die Grashalme wurden mehrere Male in die gleiche Richtung gebogen, dadurch sind sie bereits leicht gebogen bevor der Ball sie berührt. Die Grashalme bieten somit einen geringeren Widerstand gegen den rollenden Fussball. Dies würde erklären, weshalb die Rolldistanz nach mehreren Versuchen ansteigt, wie in der Tabelle mit den Messdaten ersichtlich ist.

12

8.5

Anelastisches Verhalten

Ein Grashalm ist ein elastischer Körper, der sich durch die Krafteinwirkung des Fussballs verbiegt. Die Elastizität eines Grashalms ist so lange gegeben, wie der Halm intakt bleibt. „Das Hooke-Gesetz gilt nur bis zu einer bestimmten Grenze, der Proportionalitätsgrenze. Bis zur Elastizitätsgrenze biegt sich der Grashalm immer wieder zurück. Überschreitet man diese Grenze bleiben Innere Umlagerungen und Gefügeänderungen auch nach der Entspannung dauernde Formänderungen zurück.“3

8.6

Vergleich Rasen und Beton

Die Wiese verlangsamt die Geschwindigkeit des Fussballs im Vergleich mit dem Beton auf die gleiche Art, jedoch geschieht dies bei der Wiese in einem grösserem Massstab. Beim Beton verursachen die kleinen Unebenheiten auf der Oberfläche einen Widerstand gegen die kleinen Unebenheiten auf dem Fussball. Bei der Wiese verursachen die einzelnen Grashalme einen Widerstand gegen den Fussball. Der Grössenunterschied ist enorm, weshalb auch die Reibungskoeffizienten enorme Unterschiede aufweisen. In der Tabelle ist ersichtlich, dass der Rolldistanz auf Beton um einiges länger ist als die Rolldistanz auf dem Fussballplatz.

8.7

Auswirkung des Luftdrucks

Ein Fussball ist ein elastischer Körper, bis zu einer gewissen Untergrenze an Überdruck innerhalb des Balls. Bei meiner Feldarbeit ist diese Grenze nie unterschritten, weshalb man von einer andauernden Elastizität ausgehen kann. Durch die drei verschiedenen Luftdrücke innerhalb des Fussballs, wird die Auflagefläche des rollenden Balls grösser oder kleiner. Diese Verformung während der Rollbewegung wird auch Walkarbeit genannt. „Walken ist die Verformung von Werkstoffen durch mechanisches Bearbeiten wie Kneten, Drücken oder Ziehen.“1 Die Rollreibung entsteht, wie bereits vorstehend erläutert, durch die Verformung des Bodens und des Balls. Durch die Veränderung des Luftdrucks beeinflusse ich nicht nur die

3

Christian, Gerthsen: Gerthsen Physik. 24. Springer. 2010.S.143.

13

Auflagefläche, sondern auch direkt die Rollreibung. Beim Überdruck von 1bar ist die Auflagefläche am kleinsten. Die grösste Auflagefläche hat der Fussball mit 0.5bar Überdruck. Bei dieser Abbildung ist „G“ die Gewichtskraft, „C“ ist das Drehmoment und „v“ ist die Geschwindigkeit. Die gelbe Fläche zeigt der Ort der Verformung. Weil sich der Fussball dreht werden immer wieder neue Teile verformt. Nach Entlastung geht die Verformung zurück. Obwohl wir uns im elastischen Bereich bewegen, findet die Verformung nicht ganz ohne Arbeit statt. Dies lässt darauf schliessen, dass je mehr Auflagefläche also Verformungen entstehen, mehr Arbeit pro Umdrehung verbraucht wird. (Abb. 16)

8.7.1 Probleme bei der Messung Es ist mit meinen Mitteln nicht möglich die verschiedenen Auflageflächen zu messen, weshalb diese nur abgeschätzt werden können. Dies könnte in einem weiteren Experiment gemessen werden. Ein Idee dafür wäre: Den Fussball auf einer Glasscheibe rollen zu lassen und unterhalb dieser Glasscheibe Masseinheiten notieren. Nun könnte man eine Videokamera unterhalb der Scheibe montieren, welche die ganze Rollbewegung aufnimmt. Dieses Videomaterial würde dann die Grösse der Auflagefläche preisgeben.

8.7.2 Abhängigkeit vom Material Wie stark sich der Ball verformt hängt natürlich nicht nur vom Luftdruck ab, sondern auch vom Material. Lässt man eine Glaskugel auf einer Glasscheibe rollen, ist keine Verformung für das menschliche Auge sichtbar. Trotzdem verformen sich sowohl die Kugel, als auch die Glasscheibe. Die Reibung bei diesem Beispiel ist sehr klein, da es fast keine Unebenheiten auf der Fläche gibt und minimale Walkarbeit entsteht.

14

8.8

Drehmoment

Der Fussball bewegt sich nicht nur nach vorne, sondern rotiert auch um sich selbst, sonst wäre es eine Gleit- oder Rutschbewegung. Diese Kraft nennt man Drehmoment. Die Formel für das Drehmoment ist: 𝑀

=𝐼∙𝛼

„α“ ist die Winkelbeschleunigung des Fussballs. Die Winkelbeschleunigung muss berechnet werden, weil die Geschwindigkeit des Fussballs ständig verändert wird. Bei konstanter Geschwindigkeit würde die Winkelgeschwindigkeit die Winkelbeschleunigung ersetzen. Die Winkelbeschleunigung lässt sich aus der Zeit und der Winkelgeschwindigkeit berechnen:

𝛼 = 𝜔⁄𝑡

(1.1)

Die Formel für die Winkelgeschwindigkeit ist: 𝜔

= 𝑣⁄𝑟

Also ist die Formel für die Winkelbeschleunigung: 𝛼

=

(1.2)

( 𝑣⁄𝑟 )

(1.3)

𝑡

„I“ ist das Trägheitsmoment des rotierenden Körpers. Das Trägheitsmoment gibt an, wie träge ein drehbar gelagerter Körper gegenüber der Änderung seines Bewegungszustandes ist. Die Formel für das Trägheitsmoment einer Hohlkugel ist: 𝐼

≈

2 3

∙ 𝑚 ∙ 𝑟2

(Achse

durch den Schwerpunkt) Für eine Hohlkugel ist das Trägheitsmoment nicht ganz korrekt, weil die Wandstärke nicht mit einbezogen wurde. Für einen Hohlzylinder: 𝐼

=

1 2

∙ 𝑚(𝑟12 + 𝑟22 )

(Achse durch den Schwerpunkt)

„r2“ ist in dieser Formel die Dicke der Aussenhülle. Es handelt sich bei beiden Körpern um den gleichen Fussball, weshalb die Masse und der Radius rausgestrichen werden können. Dies Ergibt folgende Resultate:

𝐼𝑍 =

1 2

𝐼𝐾 =

2 3

Dadurch, dass der Fussball weniger Luftdruck hat, wird er stärker verformt. Die Auflagefläche wird immer grösser. Grob gesehen verformt sich der Fussball zu einem 15

Hohlzylinder. Dies hat zur Folge, dass das Trägheitsmoment kleiner wird. Der reale Wert des Trägheitsmoments für die Fussbälle mit 0.7 und 0.5bar Überdruck wird zwischen 2/3 und 1/2 liegen. Das Trägheitsmoment ist wahrscheinlich näher an 2/3, da es sich immer noch eher um eine Kugel handelt, als um einen Zylinder. Daraus lässt sich schliessen, dass die Kugel länger braucht, um zu beschleunigen als der Hohlzylinder, jedoch hat die Kugel am Ende der Rampe eine grössere Energie. Mit dem Drehimpuls lässt sich die Energie für die Hohlkugel am Ende der Rampe berechnen:

𝐸𝐺𝑒𝑠 =

1 1 ∙ 𝑚 ∙ 𝑣2 + ∙ 𝐼 ∙ 𝜔 2 2

Die Winkelgeschwindigkeit ist noch unbekannt. Sie kann durch die Energieerhaltung berechnet werden:

𝑚∙𝑔∙ℎ =

1 2

∙ 𝑚 ∙ 𝑣2 +

1 2

∙𝐼∙𝜔

(2.1)

Durch Umformung wird die Winkelgeschwindigkeit auf eine Seite genommen:

𝜔 =

1 2

(𝑚∙𝑔∙ℎ)−( ∙𝑚∙𝑣 2 ) 1

(2.2)

(2∙𝐼)

Die Winkelgeschwindigkeit kann nur für das Ende der Rampe berechnet werden, weil die Geschwindigkeit und die Zeit des Fussballs nach einer gewissen Distanz nicht bekannt ist.

8.9

Rollwiderstand mit einer DGL berechnen

Der Rollwiderstand liesse sich im Prinzip mit der Differentialrechnung der Bewegung von Newton berechnen.

𝑚 ∙ 𝑎 = −𝐹𝑅 „a“ ist die Änderung der Fahrgeschwindigkeit durch die Reibungskräfte, also

𝑎 =

𝑑𝑣 𝑑𝑡

Daraus lässt sich die ganze Differentialgleichung aufschreiben:

16

𝑚∙

𝑑𝑣 = −𝑐𝑅 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 𝑑𝑡

Luftwiderstand bei niedriger Geschwindigkeit nicht von belangen.

Dies ist eine Methode um einen annähernden Wert für den Rollwiderstandskoeffizient zu bekommen. Schon kleinere Ungenauigkeiten führen zu einer erheblichen Veränderung des Werts. Einen genauen Wert zu erhalten ist ein schier unmögliches Unterfangen, welches viel Zeit und technische Mittel benötigt.

17

9

Zusammenfassung

Durch die hohe Grashalmdichte pro Quadratmeter, bietet der Rasen einen enormen Widerstand gegen gegenüber dem Fussball. Jeder Grashalm muss vom Fussball umgebogen werden, damit er auf seiner Bahn weiterrollen kann. Dies führt zu einer starken Gegenkraft, welche die kurze Rolldistanz eines Fussballs auf dem Rasen erklärt. Ausserdem ist der Rasen eine unsichere Bodenoberfläche, weil die elastischen Grashalme eine längere Entspannungszeit nach mehrmaligem Biegen haben, somit ist die gleiche Reibungskraft nach mehreren Versuchen nicht gegeben. Der Beton ist eine Bodenoberfläche, welche objektiv betrachtet seine Beschaffenheit nicht verändert. Dadurch bietet der Beton gegenüber einem Fussball eine konstantere Reibungskraft, als der Rasen. Trotzdem kann die Betonoberfläche nach mehrmaligen Versuchen kleinste Veränderungen aufweisen, weil die kleinen Spitzen durch das Auftreffen des Fussballs abbrechen können. Jedoch fällt diese Veränderung bei den Messungen fast nicht ins Gewicht. Der Beton hat allgemein eine kleinere Reibungskraft, da die kleinen Spitzen der Oberfläche zu geringfügig sind, um einen grösseren Widerstand gegenüber dem Fussball zu bieten. Der Luftdruck innerhalb des Fussballs ist essentiell für die Rolldistanz. Unterschreitet der Druck eine Grenze, rollt der Fussball überhaupt nicht. Überschreitet der Druck eine Grenze, zerplatzt der Ball. Bei einem Druck dazwischen verformt sich der Fussball ständig während seiner Rollbewegung. Diese Verformung kann so weit gehen, dass der Ball keine Hohlkugel mehr ist sondern annähernd ein Hohlzylinder. Durch diese Veränderung der Form, verändert sich auch das Trägheitsmoment. Das Trägheitsmoment wird kleiner und führt somit zu einer Verkleinerung des Drehimpulses, welcher zur Gesamtenergie beiträgt. Dadurch wird der Fussball schneller durch die verschiedenen Reibungskräfte verlangsamt, was automatisch zu einer kürzeren Rolldistanz des Fussballs mit dem niedrigsten Luftdruck im Vergleich mit einem anderen Luftdruck führt. Ausserdem wird durch einen niedrigeren Druck die Auflagefläche vergrössert. Das Zurückformen oder auch Entspannen verbraucht bei diesem Vorgang Energie. Also wird noch zusätzlich Energie verbraucht, welche grösser wird, je kleiner der Luftdruck innerhalb des Fussballs ist. Damit wird die Rolldistanz noch mehr verringert.

18

10 Schlusswort In dem folgenden Abschnitt analysiere ich mein naturwissenschaftliches Werk von einem kritischen Standpunkt aus und ziehe dann Bilanz. Würde ich in den Oktober 2013 zurückgesetzt werden, sähe meine Vorgehensweise anders aus. In erster Linie würde ich meine Feldarbeit im Voraus besser planen, um dadurch keine fehlenden Daten für die weitere Arbeit zu erhalten. Dafür hätte ich mich früher in den Stoff vertiefen sollen. Ausserdem bemerkte ich während des Schreibens meiner Arbeit, dass eine Menge technisches Wissen über das Word-Programm fehlt. Ich dachte, dass das Modul, welches wir in der 2. Klasse bearbeiten mussten, mich genügend vorbereitet hätte, jedoch wurde ich eines Besseren belehrt. Andererseits ist es meine Erste grössere Arbeit über ein Thema, welches ich mit einer etwas grösseren Feldarbeit alleine untersuche. Ich konnte viele neue Sachen entdecken und kennenlernen, welche mir in meiner weiteren beruflichen Laufbahn hoffentlich weiterhelfen können.

19

11

Quellenverzeichnis

11.1 Literaturverzeichnis DANIEL, HERBERT. 2012. Mechanik, Wellen, Wärme. Band 1. De Gruyter. Berlin. DANIEL, KÄLIN. 2013. SPF Physik. Skript. Rotation des starren Körpers. DIETER, MESCHEDE (Hrsg.). Christian, Gerthsen. 2010. Gerthsen Physik. Springer Verlag. 24. Auflage. Berlin/Heidelberg. DMK/DPK/DCK. 2009. Begriffe, Formeln, Tabellen. Orell Füssli. Zürich.

11.2 Internetquellen BERGE, OTTO ERNST. Anwendungen der Reibungsphysik. http://www.friedrichverlag.de/pdf_preview/d513025_1014.pdf. 18.07.2014. UNBEKANNTER AUTOR. Brazuca. http://de.wikipedia.org/wiki/Brazuca. 18.08.2014. UNBEKANNTER AUTOR. Beton. http://de.wikipedia.org/wiki/Beton. 18.08.2014. UNBEKANNTER AUTOR. Drehmoment. http://de.wikipedia.org/wiki/Drehmoment. 23.07.2014. UNBEKANNTER AUTOR. Luftwiderstand. http://www.arstechnica.de/index.html?name=http://www.arstechnica.de/auto/rolltest/ro lltest.html. 19.07.2014. UNBEKANNTER AUTOR. Rollwiderstand. http://elweb.info/dokuwiki/doku.php?id=rollwiderstand. 13.10.2014. UNBEKANNTER AUTOR. Rollwiderstand. http://de.wikipedia.org/wiki/Rollwiderstand#mediaviewer/File:Roulement1.jpg. 11.10.2014. UNBEKANNTER AUTOR. Rollwiderstand. http://www.chemie.de/lexikon/Rollwiderstand.html. 18.07.2014. UNBEKANNTER AUTOR. Trägheitsmoment. http://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsmoment.14.08.2014.

20

11.3 Abbildungsverzeichnis Abbildung 1-14:

Selbst erhobene Messung.

Abbildung 15:

Vergrössertes Bild der Reibung von Ivan Theiler.

Abbildung 16:

Rollbewegung mit Verformung aus http://de.wikipedia.org/wiki/Rollwiderstand#mediaviewer/ File:Roulement1.jpg (6.10.2014)

21

12

Eigenständigkeitserklärung

Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig und nur unter Benutzung der angegebenen Quellen verfasst habe und ich auf eine eventuelle Mithilfe Dritter in der Arbeit ausdrücklich hinweise.

Wilen, 20.Oktober 2014

................................................... Ivan Theiler

22