Equation Chapter 1 Section 1

Die Asynchronmaschine Theorie Teil 2

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Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 1 

Ortskurve des Ständerstromes ...................................................................................... 3  1.1  Ossanna-Kreis .......................................................................................................... 3  1.2  Ossanna-Kreis der Leistungen ................................................................................. 4  1.3  Messtechnische Erfassung des Ossanna-Kreises ................................................... 5  1.4  Abweichungen zwischen Berechnung und Messung ............................................... 7 

2 

Selbsterregte Asynchrongeneratoren ........................................................................... 9 

3 

Literaturverzeichnis ...................................................................................................... 13 

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1 Ortskurve des Ständerstromes 1.1 Ossanna-Kreis Die Ortskurve des Ständerstromes besteht aus den Endpunkten des komplexen Stromzeigers I1 in der Gauss’schen Zahlenebene in Abhängigkeit vom Schlupf s (−∞ ≤ s ≤ ∞). Im ersten Teil der Theorie zur Asynchronmaschine wird das T - Ersatzschaltbild nach Abb. 1 mit den zugehörigen Spannungsgleichungen

U 1 = I 1 (R1 + jX1 ) + I ′2 ⋅ jX1h

(1.1)

⎛ R′ ⎞ 0 = I 1 ⋅ jX1h + I ′2 ⎜ s + jX 2′ ⎟ s ⎝ ⎠

(1.2)

und

hergeleitet, wobei die Reaktanzen X1 = X1h + X1σ und X‘2 = X1h + X‘2σ betragen.

Abb. 1: T - Ersatzschaltbild der ASM im stationären Betrieb.

Aus diesen beiden Gleichungen lässt sich nun die Ortskurve direkt berechnen: 1

I1 = U1 ⋅ R1 + j ( X1σ

I1 = U1 ⋅

X1h 2 + X1h ) + R2′ / s + j ( X 2′σ + X1h ) 1

X1h R1 + jX1 + R2′ / s + jX 2′ 2

= U1 ⋅

=

1 = U 1 ⋅ Y (s ) Z (s )

(1.3)

Wird der Strangspannungszeiger U1 in die reelle Achse der Gauss’schen Zahlenebene gelegt, so entspricht die Ortskurve des Ständerstromes gerade der Ortskurve der Admittanz Y(s), die aus der Inversion der Ortskurve der Impedanz Z(s) hervorgeht. Abb. 2 zeigt die Ortskurve des Ständerstromes I1(s), die in der Literatur auch Ossanna-Kreis oder Heyland-

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Kreis genannt wird. Die Projektion des Stromzeigers I1 auf die reelle Achse liefert den Wirkanteil, während die Projektion auf die imaginäre Achse den Blindanteil des Ständerstromes darstellt. Aus dem Ossanna-Kreis sind weiterhin folgende Aspekte ersichtlich: • Die Asynchronmaschine kann als Motor, Generator und Bremse arbeiten. • Die Asynchronmaschine bezieht immer induktive Blindleistung aus dem Netz.

Abb. 2: Ossanna-Kreis der Ströme.

1.2 Ossanna-Kreis der Leistungen Mit der Definition der komplexen Scheinleistung gemäss *

S1 = P1 + jQ1 = 3 ⋅ U 1 ⋅ I 1

(1.4)

folgt unter der Voraussetzung U1 = U1 die Ortskurve der Scheinleistung aus der konjugiertkomplexen Ortskurve der Ständerströme zu: S1 = 3 ⋅ U1 ⋅ I1*

(1.5)

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In der Praxis genügt es dabei, die negative imaginäre Achse mit der positiven im Kreisdiagramm der Ströme zu tauschen. Bei der genannten Definition der Scheinleistung wird induktive Blindleistung mit positivem und kapazitive mit negativem Vorzeichen aufgetragen. Im Ossanna-Kreis ist deutlich erkennbar, dass die Asynchronmaschine stets ein Verbraucher induktiver Blindleistung ist. Für die in Abb. 2 eingezeichneten Betriebsbereiche gilt im einzelnen: a)

Motorbetrieb (0 ≤ s ≤ 1):

Elektrische Leistung wird aufgenommen, mechanische Leistung wird abgegeben.

b)

Generatorbetrieb (s´´ ≤ s ≤ s´):

Mechanische Leistung wird aufgenommen, elektrische wird abgegeben.

c)

Bremsbetrieb (1 ≤ s < ∞):

Elektrische und mechanische Leistung werden aufgenommen, die gesamte Leistung wird in der Maschine in Wärme umgesetzt.

1.3 Messtechnische Erfassung des Ossanna-Kreises Die exakte Konstruktion des Ossanna-Kreises bei bekannten Maschinenparametern unter Vernachlässigung der Eisenverluste ist in der entsprechenden Literatur, beispielsweise in [3] ausführlich erläutert. Im Folgenden wird eine vereinfachte Konstruktion vorgestellt, die im Rahmen der Mess- und Zeichenungenauigkeiten praktisch sehr brauchbare Ergebnisse liefert und für die Versuchsauswertung empfohlen wird (vgl. Abb. 3). Die Strangspannung wird in die reelle Achse der Gauss’schen Zahlenebene gelegt und die mittels Leerlauf- und Kurzschlussversuch gemessenen Zeiger des Leerlaufstromes I1,0 und des Kurzschlussstromes I1,K gezeichnet. Hieraus ergeben sich die beiden Punkte P0 und PK. Der Mittelpunkt des Kreises liegt nun näherungsweise auf einer Parallelen zur imaginären Achse durch den Punkt P0 und der Mittelsenkrechten der mechanischen Leistungslinie, der Strecke P0PK. Alternativ kann der Mittelpunkt aus dem Schnittpunkt zweier Mittelsenkrechten (aus drei Messpunkten) bestimmt werden.

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Abb. 3: Vereinfachte Konstruktion des Ossanna-Kreises.

Den messtechnisch nicht erfassbaren Punkt P∞ kann eingezeichnet werden, indem durch PK das Lot auf die imaginäre Achse gefällt und die Strecke PKD entsprechend dem Verhältnis der Ständer- und Rotorkupferverluste geteilt wird. Hierzu wird von der imaginären Achse die Strecke PCu,1 ∼ CD =

3 ⋅ I12,K ⋅ R1

(1.6)

mp

abgetragen (mP ist der Leistungsmassstab, s.u.). Der Punkt P∞ liegt dann auf dem zweiten Schnittpunkt der Drehmomentlinie, der Geraden durch P0 und C, mit dem Kreis. Die Strecke PKC entspricht den Kupferverlusten im Rotor

PCu,2 ∼ PK C =

( )

3 ⋅ I 2′,K

2

⋅ R2′

(1.7)

mp

woraus der Rotorwiderstand R‘2 bestimmt werden kann. Dabei gilt für den Rotorkurzschlussstrom:

2 Selbsterregte Asynchrongeneratoren

I2′,K = mI ⋅ P0 PK

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(1.8)

Die Massstäbe werden im einzelnen wie folgt ermittelt: •

Strommassstab:

mI = •

I1,K

Leistungsmassstab:

mP = 3 ⋅ U1 ⋅ mI •

(1.9)

0PK

(1.10)

Drehmomentmassstab:

mM =

mP min−1 m = 60 ⋅ −1 ⋅ P ΩS 2π nS s

(1.11)

Das Kippmoment MKipp im motorischen Betrieb entspricht der Strecke PKippB, der maximalen mechanischen Leistung Pm,max die Strecke PmaxA und dem Anlaufmoment MA die Strecke

PKC. Die Konstruktion der Betriebspunkte PKipp und Pmax erfolgt entsprechend der Darstellung in Abb. 3. Um den einzelnen Betriebspunkten konkrete Schlupfwerte zuzuordnen kann die Schlupfgerade konstruiert werden. Hierzu wird zunächst auf dem unteren Halbkreis ein beliebigen Bezugspunkt S gewählt und die Verbindungslinien P0S und P∞S gezeichnet. Parallel zur letzteren wird die Schlupfgerade gelegt, wobei der Schnittpunkt mit der Strecke P0S dem Schlupf s = 0 und der Schnittpunkt mit der Geraden durch S und PK dem Schlupf s = 1 entspricht. Vom Bezugspunkt S ausgehende Strahlen kennzeichnen auf dem Kreis jene Schlupfwerte, die durch die Schnittpunkte auf der Schlupfgeraden bestimmt sind. Die Skalierung der Schlupfwerte auf der Schlupfgeraden erfolgt dabei linear.

1.4 Abweichungen zwischen Berechnung und Messung Gegenüber der berechneten Stromortskurve können sich bei der real gemessenen Kurve teils beträchtliche Abweichungen ergeben. Dies hat folgende Gründe: 1. Alle Oberschwingungserscheinungen, die sich vor allem stark auf das Drehmoment auswirken können, werden nicht erfasst. 2. Die Widerstandswerte werden als konstant bei einer bestimmten Temperatur und einer bestimmten Frequenz angenommen. Frequenzabhängige Stromverdrängungsef-

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fekte und Temperaturveränderungen (Messungen an kalter Maschine) werden nicht berücksichtigt. 3. Die Blindwiderstände der Ersatzschaltung sind nicht wie angenommen konstant, sondern infolge der Eisensättigung stromabhängig. Dabei ist bei kleinen Schlupfwerten die Veränderung der Hauptreaktanz X1h und etwa ab dem Kippschlupf die der Streureaktanzen X1σ und X‘2σ zu beachten. Im Leerlaufpunkt P0 liegt die induzierte Spannung Uq0 (entspricht der Spannung über der Hauptreaktanz), bzw. die Leerlaufspannung U10 üblicherweise bereits im gekrümmten Teil der Magnetisierungskennlinie (vgl. Abb. 8). Sinkt nun bei Belastung durch den primären Spannungsabfall I1·(R1 + jX1σ) der Wert von Uq0, so reduziert sich der Durchflutungsbedarf überproportional. Dadurch ergeben sich bei kleineren Schlupfwerten, wo I1 noch stärker als bei s → 1 durch die Grösse der Hauptreaktanz

X1h mitbestimmt wird, in Wirklichkeit geringere Ströme als nach dem Kreisdiagramm (vgl. Abb. 4). Die Streureaktanz wird durch die magnetische Sättigung verringert, da bei Strömen wesentlich über dem Nennwert der Durchflutungsbedarf für den Eisenweg des Streuflusses nicht mehr vernachlässigt werden darf. Da der Strom bei s = 1 (Kurzschluss) hauptsächlich durch die Streureaktanzen begrenzt wird (I‘2 >> Iµ), nimmt der Kreisdurchmesser zum Punkt Pk* hin allmählich zu.

Re Pk*

U1 Pk I1 Im

P0

Abb. 4: Abweichung der Stromortskurve von der Kreisform.

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2 Selbsterregte Asynchrongeneratoren Rotiert der Läufer einer Asynchronmaschine durch einen entsprechenden Antrieb (z.B. Turbine) schneller als das Ständerdrehfeld wird die Asynchronmaschine vom Verbraucher zum Generator. Der Schlupf der Maschine nimmt dabei negative Werte an (s < 0). Die Umkehr der Energierichtung zeigt sich in der Ersatzschaltung dadurch, dass R‘2 /s < 0 und damit vom Verbraucher zur Energiequelle wird. Die Richtung der Blindkomponente des Ständerstromes bleibt allerdings unverändert: Die Asynchronmaschine kann ihren Magnetisierungsstrom nicht selber erzeugen! Im Netzbetrieb kann sie den benötigten Magnetisierungsstrom über die Zuleitung beziehen, da das Netz hauptsächlich durch Synchrongeneratoren gespeist wird und diese induktive Ströme liefern können. Das Betriebsverhalten im Generatorbetrieb am Drehstromnetz folgt aus der unteren Hälfte des Kreisdiagramms. Soll jedoch ein Asynchrongenerator ohne Netzanschluss alleine ein Inselnetz versorgen, muss ihm die notwendige Blindleistung z.B. mit einer Kondensatorbatterie zur Verfügung gestellt werden. Die sättigungsabhängige Maschinenhauptinduktivität L1h und die Kondensatoren bilden zusammen einen Schwingkreis, der bei angetriebenem Läufer durch einen Stromstoss oder den Restmagnetismus (Remanenz) zu aufklingenden Schwingungen angeregt werden kann. Die benötigte Kapazität lässt sich aus dem Ersatzschema der Asynchronmaschine nach Abb. 5 berechnen. Im Ersatzschema sind die Stator- und Rotorwiderstände zu den Impedanzen Z1 und Z‘2 zusammengefasst und ZL stellt die Lastimpedanz dar.

Abb. 5: Asynchronmaschine als Inselgenerator.

I 1 ⋅ ( Z L + Z 1 + Z h ) − I ′2 ⋅ Z h = 0

(2.1)

−I 1 ⋅ Z h + I ′2 ⋅ (Z h + Z ′2 ) = 0

(2.2)

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Damit das Gleichungssystem (2.1) / (2.2) von Null verschiedene Lösungen aufweist, muss die Koeffizientendeterminante |A| Null sein. (Dies ist die Selbsterregungsbedingung, d.h. das Gleichungssystem A·x = 0 hat in diesem Fall unendlich viele Lösungen). Werden die Längsimpedanzen der Maschine vernachlässigt, so folgt bei einer ohmsch-kapazitiven Last das in Abb. 6 gezeichnete Ersatzschema.

Abb. 6: Vereinfachte Ersatzschaltung der ASM im Inselbetrieb.

Durch Ausmultiplizieren und Nullsetzen der Koeffizientendeterminante |A| lässt sich folgende Gleichung berechnen: j ωL1h ⋅ RL + RL ⋅ R2′ / s + j ωL1h ⋅ R2′ / s − ω 2 RL ⋅ C ⋅ L1h ⋅ R2′ / s = 0

(2.3)

Durch Koeffizientenvergleich folgt: Im:

L1h ⋅ RL + L1h ⋅ R2′ / s = 0

⇒ RL = −R2′ / s

(2.4)

Re:

RL ⋅ R2′ / s = ω 2RL ⋅ C ⋅ L1h ⋅ R2′ / s

⇒ ω = ±1/ C ⋅ L1h

(2.5)

Gleichung (2.4) bedeutet nun nichts anderes, als dass sich der Schwingkreis bei negativen Schlupfwerten entdämpft. Ausserdem lässt sich bei gegebener Drehzahl Ω der Maschine die Statorfrequenz ω1 der Maschine bestimmen: Sie wird mit Hilfe der Schlupfdefinition einer 2ppoligen Maschine p ⋅ Ω = ω1 ⋅ (1 − s )

(2.6)

zu:

ω1 = p ⋅ Ω ⋅

RL RL + R2′

Üblicherweise wird bei Leerlauf (RL → ∞) ω1 = 50 Hz gewählt.

(2.7)

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Abb. 7: Statorfrequenz als Funktion des Lastwiderstandes.

Aus Gleichung (2.5) lässt sich die benötigte Kapazität C berechnen: C=

1 ω ⋅ L1h 2 1

(2.8)

Der Wert der Maschinenhauptinduktivität L1h wird der Leerlaufkennlinie entnommen: L1h =

U10 ω1 ⋅ I10

(2.9)

Da L1h stark sättigungsabhängig ist, muss zur Berechnung von C für U10 die beim Generatorbetrieb maximal auftretende Klemmenspannung gewählt werden. Für eine ohmsch induktive Last entspricht sie gerade der gewünschten Leerlaufspannung des Generators. D.h. die Wahl der Kapazität C bestimmt die Leerlaufspannung des Inselnetzes. Die Leerlaufkennlinie ist dabei natürlich bei der später gewünschten Frequenz ω1 des Inselnetzes aufzunehmen. Mit Gleichung (2.9) folgt C zu: C=

I10 ω1 ⋅ U10

(2.10)

Wird der Generator hochgefahren schaukelt sich die Spannung solange auf bis sich ein stabiler Gleichgewichtszustand einstellt, welcher durch den Schnittpunkt P0 der Leerlaufkennlinie mit der Kondensatorgeraden festgelegt ist. Die Steigung α0 der Kondensatorgerade darf dabei nicht grösser sein als die Steigung der Leerlaufkennlinie.

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U1

Leerlaufkennlinie bei Belastung

P0

U10

Leerlaufkennlinie bei ω1

P1

Kondensatorgerade U1 = I1 / (ω1·C)

α0

α

tan α = 1/(ω1·C)

I1

Abb. 8: Grafische Ermittlung der Leerlaufspannung U10.

Bei Belastung der Maschine nimmt die Netzfrequenz gemäss Abb. 7 ab. Die neue Frequenz in Abb. 8 eingetragen (gestrichelte Linie), ergibt eine Schrumpfung der Leerlaufkennlinie in yRichtung einerseits (stärkerer Sättigungseffekt aufgrund der geringeren Frequenz) und eine Zunahme der Kondensatorgeraden andererseits. Damit entsteht ein neuer Arbeitspunkt P1. Bei weiter steigender Belastung sinkt die Spannung immer schneller ab.

3 Literaturverzeichnis

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3 Literaturverzeichnis

[1] Saniter, C.

Laborversuch Asynchronmaschine

Versuchsskript, TU Berlin, 2000.

[2] Vogel, J.

Elektrische Antriebstechnik

Hüthig, 6. Auflage, 1998. ISBN: 3-7785-2649-9. [3] Nürnberg, W.; Hanitsch, R.

Die Prüfung elektrischer Maschinen

Springer Verlag, 7. Auflage, 2001. ISBN: 3-540-41411-8. [4] Müller, G.; Ponick, B.

Grundlagen elektrischer Maschinen

Wiley VCH Verlag, 9. Auflage, 2005. ISBN: 3-527-40524-0. [5] Müller, G.

Theorie elektrischer Maschinen

VCH Verlag, 1995. ISBN: 3-527-28392-7. [6] Bödefeld, Th.; Sequenz, H.

Elektrische Maschinen

Springer Verlag, 8. Auflage, 1971. ISBN: 3-211-80971-6. [7] Fischer, R.

Elektrische Maschinen

Hanser Fachbuchverlag, 13. Auflage, 2006. ISBN: 3-446-40613-1. [8] Taegen, F.

Einführung in die Theorie der elektrischen Maschinen, Teil 2. Vieweg Verlag, 1971.

ISBN: 3-528-03542-0.