40 Derivadas Parciales (parte 2) Ejercicio: Si

donde

y

. Determinar

Solución:

Consideraremos ahora la situación en la que , pero cada una de las variables e es función de dos variables y . En este caso tiene sentido el problema de determinar TEOREMA (Regla de la Cadena ) Sean funciones que admiten primeras derivadas parciales en y sea diferenciable en . Entonces tiene primeras derivadas parciales dadas por : i) ii)

EJEMPLO

Si

, en donde y

Usando la Regla de la Cadena , se tiene :

determinar

41 z s

s

s

Análogamente :

Para recordar la Regla de la cadena se puede usar el diagrama del

OBSERVACION árbol Ejercicio Demuestre que si

(

z 2 r)

+

1 ( r2

z

con

e

Solución

Entonces

¡ Justifique !

La Regla de la Cadena puede aplicarse a funciones compuestas de cualquier número de variables y es posible construir diagramas de árbol como ayuda para formular la derivada parcial solicitada. El siguiente Teorema garantiza la validez de la generalización. TEOREMA (Regla

de

la

Cadena Caso General) Supóngase que es una función diferenciable y que cada una de las variables , ... , es una función de variables , ......, de tal manera que todas las derivadas parciales existen ( de cada

,

,.....

, ,....

y y

. Entonces

es función para

42 EJEMPLO

Escribir la regla de la cadena para el caso en que

y

Usaremos el diagrama de árbol, que en lo sucesivo no contendrá en las ramas la correspondiente derivada parcial. En este caso

Entonces

EJEMPLO

Escribir la regla de la cadena para el caso en que )

y

En este caso el diagrama de árbol está dado por

La regla de la cadena adquiere importancia cuando se necesita calcular la derivada parcial de una función diferenciable definida en términos generales solamente a través de un argumento. Por ejemplo : Sea

probar que

43

Aquí el diagrama de árbol corresponde a :

Lo importante de distinguir aquí es que puede ser cualquier función diferenciable : etc Se probará que independiente de la selección de , se mantiene el resultado En efecto : 2

Por lo tanto : El ejemplo anterior muestra que la regla de la cadena es una valiosa herramienta matemática que permite plantear enunciados generales acerca de las derivadas parciales de un número infinito de funciones formadas de la misma manera . Esta situación tiene aplicaciones en el campo de las soluciones de ecuaciones que contienen derivadas parciales. EJEMPLO 4.8

Si

demostrar que

Antes que cualquier cosa el alumno debe distinguir que es una función de tres variables y que puede ser cualquier función diferenciable que no se necesita conocer explícitamente. Al introducir las variables de se conforma un esquema de sustitución, esto es : , donde , , Por consiguiente el diagrama de árbol que queda

44

Entonces :

Análogamente :

(

1)

Finalmente :

EJEMPLO

La ecuación diferencial parcial constante

es una clásica ecuación para matemáticos, físicos e ingenieros y aparece en los estudios de la luz o el sonido. En este caso es una función diferenciable de y . Demostrar que cualquier función diferenciable de la forma satisface la ecuación de la onda. Usando la estrategia del ejemplo anterior hacemos diagrama de árbol queda

de modo que el

45

Entonces :

En general la determinación de las segundas derivadas parciales para funciones compuestas no es una cosa directa, pero en este caso particular se ve facilitado Recordemos que pero

, tomándose

como una función de

y .

Entonces :

En este caso el diagrama de árbol queda :

Entonces

Notar que en este caso el resultado obtenido puede alcanzarse más directamente reemplazando por en la expresión obtenida anteriormente. En efecto

Luego :

Para calcular expresión

recurrimos a esta última técnica, esto es, reemplazar Entonces

por

en la

46

Comparando las segundas derivadas parciales, se tiene que 2

Se propone al alumno verificar que de la onda , de modo que

también es solución de la ecuación sigue siendo solución

DERIVACION IMPLICITA Aunque en la II Unidad de Cálculo I se introdujo la técnica para derivar funciones ( ) definidas implícitamente por la ecuación , ahora es posible describir más completamente tal procedimiento mediante la regla de la cadena. En efecto, definamos la función compuesta por con entonces

De la definición de función implícita, se tiene que de modo que . Además como entonces

para todo

Por lo tanto :

Si

entonces

Este análisis se puede resumir en TEOREMA

Si una ecuación función derivable ( ) tal que

define implícitamente a una , entonces

47

EJEMPLO

Encontrar

suponiendo que

satisface la ecuación

Supongamos

, entonces

Aplicando el Teorema se tiene :

En el contexto de funciones de dos o más variables, debemos considerar una ecuación de la forma que define implícitamente a una función, por ejemplo, . Esto significa que para todo ( ) . Si es diferenciable y las derivadas parciales y existen entonces es posible usar la regla de la cadena para determinar las derivadas parciales y , sin que sea necesario despejar de la ecuación TEOREMA

EJEMPLO

. El siguiente teorema garantiza tal situación :

Si una ecuación función diferenciable de entonces :

Encontrar

y

define implícitamente a una tal que en el dominio

suponiendo que

Supongamos

, entonces

Aplicando el Teorema se tiene : y

DERIVADA DIRECCIONAL

satisface la ecuación

48 Recuérdese que si como :

entonces las derivadas parciales

y

, se definen

lim lim

y representan las razones de cambio de en direcciones paralelas a los ejes coordenados e , es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j . Interesa ahora estudiar la razón de cambio de en cualquier dirección, esto debe conducir al concepto de derivada direccional que está íntimamente relacionado con el concepto de gradiente. Usando la notación p y algebra de vectores se pueden escribir las derivadas parciales anteriores del siguiente modo p

lim

p

i

p

p

lim

p

j

p

Notar que para conseguir nuestro propósito, bastará reemplazar los vectores i y j por un vector unitario arbitrario u de dirección arbitraria . Se tiene entonces. DEFINICION 6.1

Sea una función y u un vector unitario arbitrario contenido en . Se llama DERIVADA DIRECCIONAL de en p en la dirección de u , que se denota por p , al límite u p u p p lim si es que este límite existe

En la Figura

se presenta la interpretación geométrica de

p

p

49

Notar que el vector u determina una recta en el plano que pasa por ( , ). El plano que contiene a y es perpendicular al plano intersecta a la superficie en una curva . Entonces la pendiente de la tangente a en el punto ( coincide con . OBSERVACION p j p

i) Se confirma facilmente que

i

p

p

y que

ii La definición se puede generalizar en forma directa para una función de 3 o más variables. El siguiente Teorema permite caracterizar el concepto de derivada direccional mediante el concepto de gradiente y se entregará en su expresión más general. TEOREMA Sea

una función con derivadas parciales continuas en una vecindad de p . Entonces tiene una derivada direccional en p en la dirección de un vector unitario u dada por p p u

El resultado anterior se puede particularizar para el caso de funciones de 2 o 3 variables. En efecto a) Si entonces p mientras que si la dirección de u está dada por una recta que forma un angulo con la parte positiva del eje (Ver Figura 6.2) entonces u es un vector unitario en la dirección de (también es posible obtener el vector unitario u dividiendo por la correspondiente norma) Por lo tanto

50 EJEMPLO Dado hallar la derivada direccional de en ¿Cuál es el valor de esta derivada en el punto (2, 1)? Calculamos primero

Enseguida calculamos el vector unitario u Por lo tanto u

En particular si (

)

u

(2,

) , se tiene :

u

EJEMPLO Encontrar la derivada direccional de en la dirección del vector a i j En este caso : ,

en el punto ( , )

entonces

Además el vector unitario u en la dirección de a está dado por u u

a a

, esto es :

i j

Por lo tanto : 1,4

u

,

b) Si entonces p mientras que si la dirección de u está dada por la de una recta cuyos ángulos directores son y entonces el vector unitario u en la dirección de está dado por u analogamente al caso se puede obtener el vector unitario u dividiendo por la correspondiente norma) Por lo tanto u

EJEMPLO Dada la función direccional en el punto (1,0,2), en la dirección que va a

hallar la derivada (5,3,3)

51

En este caso , como

se tiene que

,

Entonces

Por otra parte la dirección u

está dada por a

luego

a a

Por lo tanto : u (1

En muchas aplicaciones es importante encontrar la dirección en que la función aumenta más rapidamente y también calcular la razón de cambio máxima. El siguiente Teorema proporciona esta información : TEOREMA

Sea una función diferenciable en un punto p entonces i) El valor máximo de la derivada direccional en p es p el valor mínimo es p ii) La razón de cambio máxima de en p se alcanza en la dirección de p ( la tasa mínima en p

EJEMPLO Suponga que la temperatura en un punto ( ) del espacio tridimensional está dada por en donde se mide en °C y en metros ¿En qué dirección aumenta más rapidamente la temperatura en el punto (1,1, 2)? ¿Cuál es el valor de la máxima razón de aumento? Como entonces

,

52

Por lo tanto, la temperatura gradiente (1,1, 2) ( .

aumenta más rapidamente en la dirección del vector , lo que equivale a la dirección del vector

Por otra parte, la máxima razón de aumento de la temperatura está dada por :

MAXIMOS Y MÍNIMOS

TEOREMA

(CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARCIALES) Supóngase que ( ) tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de ( , ) y que ( ) Sea i) Si > y relativo ii) Si > y relativo iii) Si < iv) Si

EJEMPLO ( )

Determinar

los

(

,

)


(

,

) es un valor mínimo

( , ) es un punto de silla de el criterio no proporciona información

valores

extremos

relativos

Primero se localizan los puntos críticos estacionarios. En efecto (

)

(

O sea : (

)

de

la

función

53 De la segunda ecuación

o

Reemplazando en la primera se tiene : (

)

o

+

o

Por lo tanto los puntos críticos estacionarios son : (

), (

, (

) y (

)

Enseguida se calculan las segundas derivadas parciales de ,

y

(

). En efecto :

,

, Luego :

Por lo tanto : Para ( ) : relativo

(

)

>

,

(

)

Para ( ) : relativo.

(

)

>

,

(

)

Para (

(

)

Para (

) : ) :

(

< )

(