Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales y direccionales
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
1
Derivadas parciales
2
Derivadas direccionales
3
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales (de campos escalares de dos variables) ´ Sea A = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] un rectangulo de R2 , es decir, n o [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] = (x, y ) ∈ R2 : x ∈ [a1 , b1 ], y ∈ [a2 , b2 ] ´ y sea f una funcion f : A ⊆ R2 −→ R Sea (x0 , y0 ) un punto perteneciente a (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) (es decir, al interior de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1 variable:
´ Fijado y0 ∈ [a2 , b2 ], podemos definir la funcion fy0 : [a1 , b1 ] −→ R,
fy0 (x) = f (x, y0 ).
´ Fijado x0 ∈ [a1 , b1 ], podemos definir la funcion fx0 : [a2 , b2 ] −→ R,
fx0 (y) = f (x0 , y).
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales (de campos escalares de dos variables) ´ Sea A = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] un rectangulo de R2 , es decir, n o [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] = (x, y ) ∈ R2 : x ∈ [a1 , b1 ], y ∈ [a2 , b2 ] ´ y sea f una funcion f : A ⊆ R2 −→ R Sea (x0 , y0 ) un punto perteneciente a (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) (es decir, al interior de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1 variable:
´ Fijado y0 ∈ [a2 , b2 ], podemos definir la funcion fy0 : [a1 , b1 ] −→ R,
fy0 (x) = f (x, y0 ).
´ Fijado x0 ∈ [a1 , b1 ], podemos definir la funcion fx0 : [a2 , b2 ] −→ R,
fx0 (y) = f (x0 , y).
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales (de campos escalares de dos variables) ´ Sea A = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] un rectangulo de R2 , es decir, n o [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] = (x, y ) ∈ R2 : x ∈ [a1 , b1 ], y ∈ [a2 , b2 ] ´ y sea f una funcion f : A ⊆ R2 −→ R Sea (x0 , y0 ) un punto perteneciente a (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) (es decir, al interior de A). Fijando cada una de las variables se obtienen dos funciones de 1 variable:
´ Fijado y0 ∈ [a2 , b2 ], podemos definir la funcion fy0 : [a1 , b1 ] −→ R,
fy0 (x) = f (x, y0 ).
´ Fijado x0 ∈ [a1 , b1 ], podemos definir la funcion fx0 : [a2 , b2 ] −→ R,
fx0 (y) = f (x0 , y).
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)
f1/3 (x) = 5 − x 2 − 3(1/3)2
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)
f−2 (y) = 5 − (−2)2 − 3y 2
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivada parcial respecto de x
fy0 : [a1 , b1 ] −→ R,
fy0 (x) = f (x, y0 )
´ de una variable (la x). Si fy0 es diferenciable en es una funcion el punto x0 ∈ (a1 , b1 ), es decir, si existe el fy0 (x0 + h) − fy0 (x0 ) f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) = l´ım h h h→0 h→0 l´ım
a ese l´ımite lo llamamos Derivada Parcial Primera de primer orden de f en (x0 , y0 ) o Derivada Parcial respecto de x de f en ´ (x0 , y0 ), y se representa por D1 f (x0 , y0 ) o bien en notacion ∂f ´ clasica por ∂x (x0 , y0 ).
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivada parcial respecto de x
fx0 : [a2 , b2 ] −→ R,
fx0 (y) = f (x0 , y),
´ real de una variable real (la y ). Si fx0 es que es una funcion diferenciable en el punto y0 ∈ (a2 , b2 ), es decir, si existe el fx0 (y0 + h) − fx0 (y0 ) f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 ) = l´ım h h h→0 h→0 l´ım
a ese l´ımite lo llamamos Derivada Parcial Segunda de primer orden de f en (x0 , y0 ) o Derivada Parcial respecto de y de f en ´ (x0 , y0 ) , y se representa por D2 f (x0 , y0 ) o bien, en notacion ∂f ´ clasica, por ∂y (x0 , y0 ).
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)
∂f (x, y ) = −2x ∂x ∂f (−2, 1/3) = −2(−2) = 4 ∂x
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Ejemplo: f (x, y ) = 5 − x 2 − 3y 2 , P = (−2, 1/3, 2/3)
∂f (x, y ) = −6y ∂y ∂f (−2, 1/3) = −6(1/3) = −2 ∂y
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Ejemplo
Si f (x) = 2x sen(x 2 + y 2 ), entonces sus derivadas parciales en un punto (x, y ) ∈ R2 son: ∂f (x, y ) = 2 sen(x 2 + y 2 ) + 2x cos(x 2 + y 2 )2x ∂x ∂f (x, y) = 2x cos(x 2 + y 2 )2y ∂y Todo esto se generaliza a funciones de n variables . . .
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Ejemplo
Si f (x) = 2x sen(x 2 + y 2 ), entonces sus derivadas parciales en un punto (x, y ) ∈ R2 son: ∂f (x, y ) = 2 sen(x 2 + y 2 ) + 2x cos(x 2 + y 2 )2x ∂x ∂f (x, y) = 2x cos(x 2 + y 2 )2y ∂y Todo esto se generaliza a funciones de n variables . . .
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
´ Generalizacion
En general, para funciones con n variables, f (x1 , x2 , . . . , xn ), se ´ define su derivada parcial k -esima en el punto (x1 , x2 , . . . , xn ), que denotamos por Dk f (x1 , x2 , . . . , xn ) o bien por ∂f ∂xk (x1 , x2 , . . . , xn ) al l´ımite f (x1 , . . . , xk + h, . . . , xn ) − f (x1 , x2 , . . . , xn ) h h→0 l´ım
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
1
Derivadas parciales
2
Derivadas direccionales
3
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivada direccional La pendiente de la recta tangente (si existe) a la superficie ´ dada por v es definida por f en la direccion Dv f (x0 , y0 ) = l´ım
h→0
f ((x0 , y0 ) + h(v1 , v2 )) − f (x0 , y0 ) h
o bien f (x0 + hv1 , y0 + hv2 ) − f (x0 , y0 ) h h→0
Dv f (x0 , y0 ) = l´ım
y se llama derivada direccional de f en el punto (x0 , y0 ) en la ´ dada por v . direccion ´ Observacion:
∂f (x0 , y0 ) ∂x ∂f D(0,1) f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂y D(1,0) f (x0 , y0 ) =
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivada direccional La pendiente de la recta tangente (si existe) a la superficie ´ dada por v es definida por f en la direccion Dv f (x0 , y0 ) = l´ım
h→0
f ((x0 , y0 ) + h(v1 , v2 )) − f (x0 , y0 ) h
o bien f (x0 + hv1 , y0 + hv2 ) − f (x0 , y0 ) h h→0
Dv f (x0 , y0 ) = l´ım
y se llama derivada direccional de f en el punto (x0 , y0 ) en la ´ dada por v . direccion ´ Observacion:
∂f (x0 , y0 ) ∂x ∂f D(0,1) f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂y D(1,0) f (x0 , y0 ) =
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Casos ´ f : A ⊆ R2 −→ R y un punto (x0 , y0 ) interior Dada una funcion de su dominio A puede ocurrir, (a) que no existan las rectas tangentes en direcciones (ejemplo: cono) o (b) que s´ı existan las rectas tangentes en direcciones.
TODAS
TODAS
las
las
En este segundo caso, puede ocurrir, ´ todas las rectas tangentes en un (b.1) que no esten mismo plano (superficies regladas), o ´ todas las rectas tangentes en un (b.2) que s´ı esten mismo plano.
Derivadas parciales
Caso (a)
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Caso (b.1): esculturas de Alfaro
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales
Caso (b.2)
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Plano tangente
En el ultimo caso (existen las rectas tangentes en TODAS las ´ ´ todas en un mismo plano), a este ´ direcciones y estan plano se le llama plano tangente a f en el punto (x0 , y0 ), y puede verse ´ es que su ecuacion z = f (x0 , y0 ) + D1 f (x0 , y0 )(x − x0 ) + D2 f (x0 , y0 )(y − y0 )
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas direccionales y continuidad
´ La existencia de las derivadas parciales en un punto o, mas aun, ´ de todas las derivadas direccionales, no implica la ´ en ese punto. continuidad de la funcion
2
Ejemplo: f (x, y) = x 2xy+y 4 si (x, y ) 6= (0, 0) y f (0, 0) = 0. Existen todas las derivadas direccionales en (0, 0) pero no es continua.
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
1
Derivadas parciales
2
Derivadas direccionales
3
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales de orden superior Si f (x) = 2x sen(x 2 + y 2 ), entonces su derivada parcial primera en cada (x, y ) es ∂f (x, y ) = 2 sen(x 2 + y 2 ) + 2x cos(x 2 + y 2 )2x ∂x ´ una funcion ´ de dos variables y tiene derivadas que es tambien parciales que son derivadas parciales de f de segundo orden: ∂2f (x, y ) = 12x cos(x 2 + y 2 ) − 8x 3 sen(x 2 + y 2 ) ∂x 2 ∂2f (x, y ) = 4y cos(x 2 + y 2 ) − 8x 2 y sen(x 2 + y 2 ) ∂y∂x
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales de orden superior Del mismo modo, como ∂f (x, y ) = 4xy cos(x 2 + y 2 )2x ∂y sus derivadas parciales son ∂2f (x, y ) = 4y cos(x 2 + y 2 ) − 8x 2 y sen(x 2 + y 2 ) ∂x∂y ∂2f (x, y) = 4x cos(x 2 + y 2 ) − 8xy 2 sen(x 2 + y 2 ) ∂y 2
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Derivadas parciales de orden superior En general, se definen las 4 derivadas parciales de f de segundo orden como: ∂ ∂2f (x, y) = ∂x 2 ∂x
∂2f ∂ (x, y) = ∂y 2 ∂y
∂ ∂2f (x, y ) = ∂y ∂x ∂y ∂2f ∂ (x, y ) = ∂x∂y ∂x
∂f ∂x
(x, y )
∂f (x, y ) ∂y ∂f (x, y ) ∂x ∂f (x, y ) ∂y
o bien
D11 f (x, y ) = D1 (D1 f ) (x, y )
o bien
D22 f (x, y ) = D2 (D2 f ) (x, y )
o bien
D12 f (x, y ) = D2 (D1 f ) (x, y )
o bien
D21 f (x, y ) = D1 (D2 f ) (x, y )
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Teorema de Schwarz
Teorema ∂2f ∂f es continua en un punto (x, y) y si existe en un ∂y ∂x ∂y ∂2f ∂2f entorno de (x, y ), entonces existe (x, y) = (x, y) ∂x∂y ∂y ∂x Si
Derivadas parciales
Derivadas direccionales
Derivadas parciales de orden superior
Todo lo anterior puede generalizarse a funciones de n ´ f (x1 , x2 , . . . , xn ) tiene n variables. As´ı, por ejemplo, una funcion derivadas parciales en cada punto (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , que denotamos por ∂f (x1 , x2 , . . . , xn ), k = 1, 2, . . . , n Dk f (x1 , x2 , . . . , xn ) o por ∂xk y tiene n2 derivadas parciales de segundo orden, que denotamos por Dij f (x1 , x2 , . . . , xn ) o por
∂2f (x1 , x2 , . . . , xn ), i, j = 1, 2, . . . , n ∂xj ∂xi
El Teorema de Schwartz nos asegura que, bajo ciertas condiciones de continuidad, las derivadas cruzadas coinciden: Dij f (x1 , x2 , . . . , xn ) = Dji f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∂2f ∂xj ∂xi
(x1 , x2 , . . . , xn ) =
∂2f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∂xi ∂xj
