GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 2011–12. MATEMÁTICAS II. DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA II Lección 4. Funciones de varias variables. Derivadas parciales.

2. Derivadas parciales y derivadas direccionales de un campo escalar. El cálculo de varias variables es básicamente el cálculo de una variable, aplicado a varias variables de una en una. En particular, cuando mantenemos constante todas las variables de una función menos una de las variables independientes y derivamos respecto de esa variable obtenemos una derivada parcial. En esta sección definiremos las derivadas parciales y las interpretaremos geométricamente. Además estudiaremos la forma de calcularlas mediante la aplicación de las reglas para la derivación de funciones de una variable. DEFINICIÓN. Sea f : ( x, y ) ∈ U ⊆ \ 2 → f ( x, y ) ∈ \ una función de dos variables y consideremos un punto ( x0 , y0 ) interior al conjunto U . Sean h > 0 y k > 0 números suficientemente pequeños de forma que los puntos ( x0 + h, y0 ) y ( x0 , y0 + k ) sean puntos de U . La derivada parcial de f con respecto a x en el punto ( x0 , y0 ) es, si existe el siguiente límite, el número definido por

f x ( x0 , y0 ) := lim h →0

f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 ) . h

La derivada parcial de f con respecto a y en el punto ( x0 , y0 ) es, si existe el siguiente límite, el f ( x0 , y0 + k ) − f ( x0 , y0 ) número definido por f y ( x0 , y0 ) := lim . k →0 k

OBSERVACIÓN (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA). Consideramos un punto P = ( x0 , y0 , z0 ) en la gráfica de la función f , de manera que z0 = f ( x0 , y0 ), y cortamos dicha superficie con el plano de ecuación y = y0 , obteniendo una curva en dicho plano. Observemos el siguiente gráfico donde mostramos el corte del plano y = y0 con la gráfica de la función z = f ( x, y ).

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Un trozo pequeño de esta curva puede ser parametrizado por la función C (t ) = (t , y0 , f (t , y0 )), donde t ∈ ( x0 − r , x0 + r ) y tomando r > 0 suficientemente pequeño. Observemos que los puntos de esta curva están en el plano y = y0 y en la superficie z = f ( x, y ). El punto P = ( x0 , y0 , z0 ) se obtiene para el valor del parámetro t = x0 . Si llamamos z (t ) = f (t , y0 ), el vector tangente a esta curva en el punto P viene dado por C ′( x0 ) = (1, 0, z ′( x0 )), siendo entonces z′( x0 ) la pendiente de la recta tangente a esta curva en P. Calculemos el valor z′( x0 ). Por definición z′( x0 ) := lim h →0

z ( x0 + h) − z ( x0 ) f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 ) = lim = f x ( x0 , y0 ). → h 0 h h

Entonces la derivada parcial f x ( x0 , y0 ) es la pendiente de la recta tangente a esta curva en P y el vector tangente a la curva C en el punto P = ( x0 , y0 , z0 ) es (1, 0, f x ( x0 , y0 )). Análogamente, la derivada parcial f y ( x0 , y0 ) es la pendiente en el punto P de la recta tangente a la

curva que resulta de cortar la gráfica de f con el plano de ecuación x = x0 . El vector tangente a esta otra curva en el punto P = ( x0 , y0 , z0 ) viene dado ahora por (0,1, f y ( x0 , y0 )).

Observemos, para finalizar esta interpretación geométrica, que el vector producto vectorial de los vectores (1, 0, f x ( x0 , y0 ) ) , ( 0,1, f y ( x0 , y0 ) ) , esto es, el vector (− f x ( x0 , y0 ), − f y ( x0 , y0 ),1) es un vec-

{

}

tor normal a los vectores tangentes a estas dos curvas en la superficie y, por tanto, será un vector normal a la superficie en el punto P = ( x0 , y0 , z0 ).

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OBSERVACIÓN (CÁLCULO DE DERIVADAS PARCIALES). Siguiendo un argumento similar al que hemos usado en la interpretación geométrica de las derivadas parciales, fijado el punto ( x0 , y0 ), podemos definir una función de una variable ϕ : x ∈ ( x0 − r , x0 + r ) → ϕ ( x) := f ( x, y0 ) ∈ \, siendo r > 0 suficientemente pequeño. Entonces la función ϕ es derivable en x0 si, y sólo si, existe la derivada parcial de f con respecto a x en el punto ( x0 , y0 ). Esto se debe a que

ϕ ( x0 + h) − ϕ ( x0 ) h

=

f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 ) . h

Además, en caso de existir esta derivada, se verifica que ϕ ′( x0 ) = f x ( x0 , y0 ). O sea, la derivada parcial de f con respecto a x en el punto ( x0 , y0 ) se calcula derivando la función f con respecto a su variable x mientras mantenemos su variable y constante e igual a y0 . Esto permite trasladar las reglas de derivación en una variable a derivadas parciales. Si existen las derivadas parciales de dos funciones f y g con respecto de x en el punto ( x0 , y0 ), entonces se verifica que ( f + g ) x ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 ) + g x ( x0 , y0 ), ( fg ) x ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 ) g ( x0 , y0 ) + f ( x0 , y0 ) g x ( x0 , y0 ), ⎛ f ⎞ f x ( x0 , y0 ) g ( x0 , y0 ) − f ( x0 , y0 ) g x ( x0 , y0 ) , si g ( x0 , y0 ) ≠ 0. ⎜ ⎟ ( x0 , y0 ) = g ( x0 , y0 ) 2 ⎝ g ⎠x

Análogamente, la derivada parcial de f con respecto a y en el punto ( x0 , y0 ) se calcula derivando la función f con respecto a su variable y mientras mantenemos su variable x constante e igual a x0 . La derivada parcial con respecto a y tiene reglas de derivación análogas a las que hemos descrito anteriormente para la derivación respecto de x. EJEMPLO. 1) Vamos ahora a calcular las derivadas parciales de la función f ( x, y ) = x 2 + 2 xy − y 2 en el punto (1, 2). Derivando f ( x, y ) con respecto a x obtenemos que f x ( x, y ) = 2 x + 2 y. Por tanto, f x (1, 2) = 6. Derivando f ( x, y ) con respecto a y obtenemos que f y ( x, y ) = 2 − 2 y. Por tanto, f y (1, 2) = −2. 2) Podemos calcular las derivadas parciales en un punto arbitrario. Consideremos la función f ( x, y ) = sen( x + y ) cos( x − y ). Entonces, derivando la función f ( x, y ) con respecto a x obtenemos que f x ( x, y ) = cos( x + y ) cos( x − y ) − sen( x + y ) sen( x − y ). Derivando ahora con respecto a y obtenemos que f y ( x, y ) = cos( x + y ) cos( x − y ) + sen( x + y ) sen( x − y ). NOTACIÓN. Hay otras notaciones muy extendidas para las derivadas parciales. Por ejemplo, si ex-

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presamos una tercera variable z como función de x e y, digamos z = f ( x, y ), entonces podemos ∂f ∂z escribir las derivadas parciales de las siguientes maneras: f x = y, análogamen= Dx f = z x = ∂x ∂x ∂f ∂z te, f y = = Dy f = z y = . ∂y ∂y

⎧0, xy = 0, EJEMPLO. La función f ( x, y ) = ⎨ es discontinua en ( 0, 0 ) . Sin embargo, existen las deri⎩ 1, xy ≠ 0 vadas parciales f x (0, 0) = 0 y f y (0, 0) = 0.

Derivada direccional. La derivada parcial con respecto a x resulta de analizar el ritmo de variación de la función f cuando nos acercamos a ( x0 , y0 ) manteniendo la segunda coordenada constante; o sea, cuando nos acercamos a dicho punto según la dirección marcada por el vector (1, 0). Análogamente, la derivada parcial con respecto a y nos da la tasa de cambio de f al acercarnos al punto ( x0 , y0 ) según la dirección marcada por el vector (0,1). Más generalmente, consideremos el

punto ( x0 , y0 ) interior al conjunto U ⊆ \ 2 donde está definida la función f y un vector unitario u = (u1 , u2 ), es decir, tal que u = 1.

DEFINICIÓN. Sea f : ( x, y ) ∈ U ⊆ \ 2 → f ( x, y ) ∈ \ una función de dos variables y consideremos un punto ( x0 , y0 ) interior al conjunto U . La derivada direccional de f en la dirección u, es, si existe el siguiente límite, el número definido por Du f ( x0 , y0 ) := lim h →0

f ( x0 + hu1 , y0 + hu2 ) − f ( x0 , y0 ) . h

OBSERVACIÓN (INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA). Consideramos un punto P = ( x0 , y0 , z0 ) en la gráfica de la función f , de manera que z0 = f ( x0 , y0 ), y cortamos dicha superficie z = f ( x, y ) con el

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plano π que pasa por el punto P = ( x0 , y0 , z0 ) paralelo al eje OZ y con vector director (u1 , u2 , 0), obteniendo una curva C en dicho plano y en la superficie.

Un trozo pequeño de esta curva puede ser parametrizado por la función C : t ∈ (−r , r ) ⊆ \ → C (t ) = ( x0 + tu1 , y0 + tu2 , z (t )) ∈ \ 3 ,

siendo r > 0 suficientemente pequeño y z (t ) = f ( x0 + tu1 , y0 + tu2 ). Observemos que los puntos de la curva están en el plano π y en la superficie z = f ( x, y ). El punto P se obtiene para t = 0. El vector tangente a esta curva en el punto P viene dado por C ′(0) = (u1 , u2 , z ′(0)), siendo entonces z′(0) la pendiente (medida en el plano π ) de la recta tangente a esta curva C en el punto P. Calz (h) − z (0) y puesto que este coculemos el valor z′(0). Por definición tenemos que z ′(0) := lim h →0 h f ( x0 + hu1 , y0 + hu2 ) − f ( x0 , y0 ) ciente incremental es , tenemos que z ′(0) = Du f ( x0 , y0 ). Esto quieh re decir que la derivada direccional Du f ( x0 , y0 ) representa la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto P. Derivadas parciales de orden superior. Cuando existen las derivadas parciales de una función f en cada punto ( x, y ) del dominio U (suponemos que el dominio es un conjunto abierto) se pueden definir las funciones derivadas parciales de f dadas por

f x : ( x, y ) ∈ U ⊆ \ 2 → f x ( x , y ) ∈ \

y

f y : ( x, y ) ∈ U ⊆ \ 2 → f y ( x, y ) ∈ \.

Las derivadas parciales de una función se suelen llamar derivadas parciales de primer orden. Nos planteamos ahora el proceso de derivación sucesiva, para lo que introduciremos los conceptos de derivadas parciales segundas, terceras, etc.

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DEFINICIÓN. Consideremos una función f : ( x, y ) ∈ U ⊆ \ 2 → f ( x, y ) ∈ \ para la que existen sus funciones derivadas parciales primeras, esto es, f x : ( x, y ) ∈ U ⊆ \ 2 → f x ( x, y ) ∈ \ y también f y : ( x, y ) ∈ U ⊆ \ 2 → f y ( x, y ) ∈ \. Las derivadas parciales de estas funciones f x y f y se llaman,

si existen, derivadas parciales segundas de f y pueden ser cuatro, cuyas notaciones habituales damos a continuación: ∂f x ∂ ∂f ∂ 2 f a) derivada parcial segunda de f respecto de x dos veces: = = = f xx = Dxx f . ∂x ∂x ∂x ∂x 2 b) derivada parcial segunda (o cruzada) de f primero respecto de x y luego de y : ∂f x ∂ ∂f ∂2 f = = = f xy = Dxy f . ∂y ∂y ∂x ∂y∂x

c) derivada parcial segunda (o cruzada) de f primero respecto de y y luego de x : ∂f y ∂x

=

∂ ∂f ∂2 f = = f yx = Dyx f . ∂x ∂y ∂x∂y

d) derivada parcial segunda de f respecto de y dos veces:

∂f y ∂y

=

∂ ∂f ∂ 2 f = = f yy = Dyy f . ∂y ∂y ∂y 2

Reiterando el proceso, a partir de las derivadas parciales segundas se definen las derivadas parciales terceras de f que son ocho. Estas son las siguientes f xxx :=

∂f xy ∂f xy ∂f yx ∂f yx ∂f yy ∂f yy ∂f xx ∂f , f xxy := xx , f xyx := , f xyy := , f yxx := , f yxy := , f yyx := , f yyy := . ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

TEOREMA (IGUALDAD DE LAS DERIVADAS CRUZADAS). Consideremos una función de dos variables f : ( x, y ) ∈ U ⊆ \ 2 → f ( x, y ) ∈ \. Si las derivadas parciales de primer orden existen y son continuas y la derivada parcial cruzada f xy existe y es una función continua en U , entonces existe la otra derivada cruzada f yx y ambas coinciden. OBSERVACIÓN. También es cierto el resultado si intercambiamos los papeles de x e y, es decir, si las derivadas parciales de primer orden existen y son continuas y la derivada parcial cruzada f yx existe y es una función continua en U , entonces existe la otra derivada cruzada f xy y ambas coinciden. EJEMPLO. 1) La función f ( x, y ) = x3 y 2 − x 2 y 4 + 3 x5 y 7 tiene derivadas parciales y son f x ( x, y ) = 3 x 2 y 2 − 2 xy 4 + 15 x 4 y 7

y

f y ( x, y ) = 2 x3 y − 4 x 2 y 3 + 21x 5 y 6 .

Estas dos funciones son continuas, existe la derivada cruzada f xy ( x, y ) = 6 x 2 y − 8 xy 3 + 105 x 4 y 6 y es una función continua. El teorema de las derivadas cruzadas nos asegura que la otra derivada cruzada

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f yx ( x, y ) existe y coincide con f xy ( x, y ), como se comprueba con un simple cálculo.

2) En la mayoría de los casos, con las funciones que nosotros trabajaremos, se verifican las hipótesis del teorema de las derivadas cruzadas y, en consecuencia, las derivadas cruzadas coincidirán. Sin embargo, esto no es cierto en general. Por ejemplo, para la función f definida por ⎧ x 3 y − xy 3 , si ( x, y ) ≠ (0, 0) ⎪ f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0, si ( x, y ) = (0, 0) ⎩

tenemos que no coinciden las derivadas parciales cruzadas en el origen, es decir, se verifica que f xy (0, 0) ≠ f yx (0, 0). Este hecho se comprueba calculando estas derivadas con la definición, pero es un proceso complicado y no lo detallaremos aquí. EJERCICIO 1. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones

(1) f ( x, y ) = ( xy − 1) ,

(2) f ( x, y ) = x 2 + y 2 ,

2

(4) f ( x, y ) =

x+ y , xy − 1

(5) f ( x, y ) = arctan

y , x

(3) f ( x, y ) =

1 , x+ y

(6) f ( x, y ) = e − x sen( x + y ),

(8) f ( x, y ) = cos 2 ( 3 x − y 2 ) , (9) f ( x, y ) = x y .

(7) f ( x, y ) = e xy log y,

EJERCICIO 2. Escribe la definición de derivada parcial para una función de tres variables. EJERCICIO 3. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones (1) f ( x, y, z ) = x 2 + 2 zx − y 2 + z 2 y, (2) f ( x, y, z ) = log(1 + xyz − z 2 ), 1 (4) f ( x, y, z ) = arcsen( xyz ), , (3) f ( x, y, z ) = x2 + y 2 + z 2

(5) f ( x, y, z ) = e

(

− x2 + y 2 + z 2

),

(6) f ( x, y, z ) = tanh ( x + 3 y + 3 z ) .

EJERCICIO 4. Escribe la definición de derivada direccional para una función de tres variables. EJERCICIO 5. Calcula la derivada direccional de las siguientes funciones en los puntos y según las direcciones que se indican 1) f ( x, y ) = 2 xy − 3 y 2 , P = ( 5,5 ) , u = ( 4,3) , 3) f ( x, y, z ) = 3e x cos( yz ), P = ( 0, 0, 0 ) , u = ( 2,1, −2 ) ,

1⎞ ⎛ 2) f ( x, y ) = 2 x 2 + y 2 , P = ( −1,1) , u = ( 3, −4 ) , 4) f ( x, y, z ) = e yz + log( xz ), P = ⎜1, 0, ⎟ , u = (1, 2, 2 ) . 2⎠ ⎝ EJERCICIO 6. Escribe las definición de derivada parcial de segundo orden para una función de tres variables f ( x, y, z ), ¿cuántas hay?, ¿cuáles son iguales?

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