Lista de Cálculo Diferencial e Integral I Derivadas 1. Use a denição para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaixo. x−1 2x + 3 √ (b) f (x) = x + 1

(d) f (x) = ln (x + 1)

(c) f (t) = cos( 2t )

(f) f (x) = sin(3x)

(a) f (x) =

(e) f (x) = sinh (ax) ,

a∈R

Nos exercícios de (2) a (4) é dado f (x) e o ponto x0 . Pede-se: (a) (b) (c) (d)

um esboço do gráco de f ; as derivadas laterais de f no ponto x0 ; f é derivável em x0 ? Se for, quanto vale f 0 (x0 )? O gráco de f admite reta tangente no ponto (x0 , f (x0 ))? Se sim, determine a equação da reta tangente neste ponto.

2. f (x) =



3. f (x) =



se x < 1 se x ≥ 1

x2 + 2 2x + 1

se x < 2 se x ≥ 2

x2 − 4 √ x−2

4. f (x) = 1 − 32 x − 13

x0 = 1



x0 = 2 2 9

x0 =

5. Considere f (x) = |x2 − x − 6|. (a) Faça o gráco de f . (b) Por intuição, diga se o gráco admite reta tangente ou não nos pontos (−2, 0) e (3, 0). (c) Obtenha a resposta do item (b), fazendo as contas. 6. Sejam f (x) =



se x 6= 0 se x = 0

x sin(1/x) 0

e g(x) =



x2 sin(1/x) 0

se x 6= 0 . se x = 0

(a) Mostre que f , apesar de ser contínua, não é derivável em 0. (b) Mostre que g é derivável em 0. Quanto é g 0 (0)? se x < 1 . se x ≥ 1 Acompanhe o raciocínio: Como f é constante para x < 1 e também para x > 1, segue que f−0 (1) = 0 e que f+0 (1) = 0. Logo, f 0 (1). Mas f é descontínua no ponto 1 e, pelo teorema visto em sala, f não é derivável em 1! Explique qual é o erro.

7. Considere a função f (x) =



−3 3

1

3x2 , se x ≤ 2 . Determine, se possível, os valores das ax + b, se x > 2 constantes a e b para que f seja uma função derivável em x = 2.

8. Seja f a função denida por f (x) =



9. Suponha que f uma função contínua em a e que g(x) = (x − a)f (x). Mostre que g é derivável em a. Determine g 0 (a). 10. Mostre que a derivada de uma função par é uma função ímpar e a derivada de uma função ímpar é uma função par, se estas derivadas existirem. 11. Sejam f, g funções deriváveis em R e seja h = f ◦ g . Mostre que se g é par, então h0 (0) = 0. 12. Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simples. √

(a) f (x) =

(3x2

+ 2x −

4)(x4

− 5)

(n) f (x) = cossec (2x )

(b) f (x) = (−2x2 + 1)3 (c) f (t) = t2 +

√

(m) f (x) = ln( x) + ln x

(o) f (x) = e−2x ln x

2 t2

(p) f (x) = ex ln(x)

(x + 1)3 (d) f (x) = √ x3 √ (e) f (x) = (1 + 3 x)3

√

(q) f (x) = sec( x − 1) (r) f (x) = 24x ecos(x)

(f) f (x) = ln (9x + 4) (g) f (x) = ln(sin2 (x))

(s) f (x) = cotg (1 − x2 )

(h) f (x) = sinh(x2 )

(t) f (x) = xln(x) + ln(ln(x))

(i) f (x) = xex − ex

(u) f (x) = sech (2x)

x(x2

(j) f (x) = √

− 1) 1 − x2

(v) f (x) = xx

(k) f (x) = 32x + log2 (4x2 )

2

(w) f (x) = 3tan(5x)

(l) f (x) = x ln x

(x) f (x) = ex

x

13. Nos exercícios de (a) a (l) determine y 0 = f 0 (x), com as simplicações possíveis, sendo y = f (x) a expressão dada. 3 (a) x ln y − y ln x = 1 (g) y = 3arcsin(x ) (b) exy − x3 + 3y 2 = 11

(h) y = (1 + arccos(3x))3

(c) 8x2 + y 2 = 10

(i) y = ln(arctan(x2 ))

(d) y = x sin y

(j) y 2 = e−3x tg x

(e) (y 2 − 9)4 = (4x2 + 3x − 1)2

(k) y = arctan(3x − 5)

(f) cos2 (3yx) − ln(xy) = 0

(l) y = arcsin( x)

14. Seja f (x) =

√

√

√1 . x

2

(a) Determine o coeciente angular da reta tangente ao gráco de y = f (x), no ponto de abscissa x = 1. (b) Determine a equação da reta tangente no ponto mencionado. (c) Determine os pontos da curva y = f (x) em que a reta tangente tem inclinação de 60◦ . 15. Determine as coordenadas dos pontos da curva f (x) = x3 − x2 + 2x em que a reta tangente é paralela ao eixo x. 16. Mostre que as retas tangentes à curva f (x) = um ângulo reto.

π sin x em x = π e x = −π , interceptam-se formando x

17. Determine as abscissas dos pontos do gráco de y = 3x − cos (2x) , nos quais as retas tangentes são perpendiculares a reta r : 2x + 4y = 5. √

18. Dada a curva f (x) = − x − 1. Determine a equação da reta normal a esta curva no ponto em que a reta tangente é paralela à reta r : x + 2y − 5 = 0. 19. Seja x2 + xy + y 2 = 3 uma curva, se existir determine as equações das retas tangentes a esta curva e que sejam paralelas a retas r : x + y = 1. 20. Se existir, escreva a equação da reta normal a curva x2 + 4 y = 4x − x3 e que passe pela origem do sistema cartesiano.


21. Mostre que as retas tangentes às curvas 4y 3 − x2 y − x + 5y = 0 e x4 − 4y 3 + 5x + y = 0, na origem, são perpendiculares. 22. Determine a equação da reta normal à curva C : xy 2 + y 3 = 2x − 2y + 2 no ponto em que a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor. 23. Seja P o ponto de interseção das curvas C1 : 2x2 + 3y 2 = 5 e C1 : y 2 = x3 . Mostre que as retas tangentes às curvas C1 e C2 são perpendiculares no ponto P . 1 x

24. Se f (x) = , obtenha uma fórmula para f (n) (x) onde n é um inteiro positivo. Quanto é f (n) (1)? 25. Determine a expressão da derivada n-ésima em cada caso: (a) f (x) = eax , com a ∈ R∗ . (b) f (x) = (a + bx)m , com a, b ∈ R∗ e m ∈ N∗ x x+1 (d) f (x) = ln(2x − 3)

(c) f (x) =

26. Sejam f : R → R uma função diferenciável duas vezes e g : R → R dada por g(x) = f (x + 2 cos(3x)). (a) Determine g 00 (x). (b) Se f 0 (2) = 1 e f 00 (2) = 8, calcule g 00 (0). 27. Considere a função g (x) = cos x. [f (x)]2 ,, onde f : R → R é duas vezes diferenciável. Se f (0) = −1 e f 0 (0) = f ” (0) = 2, determine g 00 (0) . 28. Determine: 3



(a) f 0 (0) sabendo que f sin x −

√

3 2



= f (3x − π) + 3x − π.

(b) a fução g sabendo que (f ◦ g)0 (x) = 24x + 34, f (x) = 3x2 − x − 1 e g 0 (x) = 2. (c) (g ◦ f ◦ h)0 (2) , sabendo que f (0) = 1, h (2) = 0, g 0 (1) = 5 e f 0 (0) = h0 (2) = 2. 29. Determine a constante k para que y(x) = kcotgh(x)sech(x) seja solução da equação diferencial yy 0 + cotgh(x)cossech2 (x) = 0.

30. Determine o valor das constantes A e B para que a função y = A sin(2x) + B cos(2x) seja solução da equação diferencial y 00 + y 0 − 2y = sin(2x). 31. Seja C √ uma circunferência com centro na origem e raio igual a 2. Mostre que a tangente a C no ponto P (1, 3) é ortogonal a reta r que passa pela origem e pelo ponto P.

Respostas 1.

5 (2x + 3)2 1 (b) f 0 (x) = √ 2 x+1 t cos( 2) (c) f 0 (t) = 2

(a) f 0 (x) =

2. (b) f−0 (1) = 2 = f+0 (1)

(d) f 0 (x) =

1 x+1

(e) f 0 (x) = a cosh (ax) , (f) f 0 (x) = 3 cos(3x) (c) Sim,

3. (b) f−0 (2) = 0 e f+0 (2) não existe

(d) sim,

f 0 (1) = 2

(c) Não

4. (b) f−0 (2/9) = 3/2 e f+0 (2/9) = −3/2

y = 2x + 1

(d) Não admite reta tangente

(c) Não

5. Não admite retas tangentes 6. (b) g 0 (0) = 0 8. a = 12 e b = −12. 12.

4

(d) Não admite reta tangente

a∈R

(a) f 0 (x) = 18x5 + 10x4 − 16x3 − 30x − 10

(n) f 0 (x) = −2x ln(2)cotg (2x )cossec (2x )

(b) f 0 (x) = −12x(1 − 2x2 )2 (c)

(o)

4 = 2t − 3 t

f 0 (t)

(d) f 0 (x) =

3(x +

=

e−2x



 1 − 2 ln x x

(p) f 0 (x) = xx (ln(x) + 1) 1)2 (x √

− 1)

(q)

x3

2x √ (1 + 3 x)2 0 √ (e) f (x) = 3 x2

(f) f 0 (x) =

f 0 (x)

f 0 (x)

√ √ tan( x − 1) sec( x − 1) √ = 2 x−1

(r) f 0 (x) = 16x ecos(x) (ln(16) − sin(x))

9 9x + 4

(s) f 0 (x) = 2xcossec 2 (1 − x2 )

(g) f 0 (x) = 2cotg (x) (h) f 0 (x) = 2x cosh(x2 )

(t) f 0 (x) =

(i) f 0 (x) = xex

(u) f 0 (x) = −2 tanh(2x)sech (2x)

2x2 − 1 (j) f 0 (x) = √ 1 − x2

(k)

f 0 (x)

=

9x ln(9)

(v) f 0 (x) = xx

2 log2 (e) + x

(m)

1 = 2x



1 √ +1 ln x



(a)

(b) y 0 (c) y 0 (d) y 0 (e) y 0 (f) y 0 14. (a) − 12

x

3

y(y − x ln y) = x(x − y ln x) 3x2 − yexy = 6y + xexy 8x =− y sin y = 1 − x cos y (4x2 + 3x − 1)(8x + 3) = 4(y 2 − 9)3 y =− x

(b) 2y + x = 3

(g)

y0

(h) y 0 (i) y 0 (j) y 0 (k) y 0 (l) y 0

(c) não existe

15. Não existem 16. Mostre que o produto dos coecientes angulares é -1. 17. x =

(2 ln(x) + 1)

(x) f 0 (x) = xx ex (ln(x) + 1)

13. y0

2 +1

(w) f 0 (x) = 5 ln(x)3tan(5x) sec2 (5x)

(l) f 0 (x) = 1 + ln x f 0 (x)

2 ln2 (x)xln(x) + 1 x ln(x)

7π 11π + kπ ou x = + kπ, k ∈ Z 12 12

18. y = 2x − 5 19. y = −x − 2 e y = −x + 2 5

3x2 ln(3)3arcsin(x ) √ = 1 − x6 9(1 + arccos(3x))2 √ =− 1 − 9x2 2x = arctan(x2 )(1 + x4 ) √ √ √ e−3x [−6 x tan( x) + sec2 ( x)] √ = 4y x 3 = 2 9x − 30x + 26 1 = √ 2 x − x2

20. y = −x 21. m1 =

1 e m2 = −5 5

22. y = −7x + 8 23. m1 = ±

2 3 e m2 = ∓ 3 2

24. f (n) (x) =

(−1)n n! e f (n) (1) = (−1)n n! xn+1

25. (a) f (n) (x) = an eax (b) f (n) (x) = m(m − 1)(m − 2) · · · (m − (n − 1))(a + bx)m−n bn , se n ≤ m e f (n) (x) = 0, se n > m (c) f (n) (x) =

(−1)n+1 n! (x + 1)n+1

(d) f (n) (x) =

(−1)n−1 2n (n − 1)! (2x − 3)n

26. (a) g 00 (x) = f 00 (x + 2 cos(3x))(1 − 6 sin(3x))2 − 18 cos(3x)f 0 (x + 2 cos(3x)) (b) g 00 (0) = −10 27. g 00 (0) = 3 28. (a) f 0 (0) = −

6 5

(b) g(x) = 2x + 3 (c) 20

29. k = −1 ou k = 1. 1 3 e B=− 20 20 √ √ 3 31. mt = − e mr = 3. 3

30. A = −

6