f x n ) 2 1 Gleichung (*) f' x 1 f'' x 1

mathphys-online Das Newtonsche Näherungsverfahren, Teil 2 Theorie 2 - Konvergenzkriterium xn 1 = xn  Allgemeine Lösung:   f'  xn f xn    ...
Author: Reiner Michel
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mathphys-online Das Newtonsche Näherungsverfahren, Teil 2 Theorie 2 - Konvergenzkriterium xn 1 = xn 

Allgemeine Lösung:

  f'  xn f xn

 

 f' xn  0

Nach der Fachliteratur (Bronstein/Semendjajew) darf man hier von einer Cauchy-Folge sprechen. Der Algorithmus wird als Funktion h aufgefasst. Umbenennung: xn 1 = h ( x)  xn = x ⇒

h ( x) = x 

f ( x) f' ( x)

f' ( x)  f' ( x)  f ( x)  f'' ( x)

Berechnung der Ableitungsfunktion:

h' ( x) = 1 

Vereinfachungen:

h' ( x) = 1  1 

( f' ( x) )

f ( x)  f'' ( x) ( f' ( x) )

h' ( x) =

2

2

f ( x)  f'' ( x) ( f' ( x) )

2

Konvergenz (nach Cauchy) liegt vor, wenn Folgendes gilt:

h' ( x)  1



f ( x)  f'' ( x) ( f' ( x) )

2

1

Falls x 1 eine einfache Nullstelle ist, so gilt: Multiplizieren von (*) führt zu:

Gleichung (*)

 

 

f' x1  0  h' x1  0

f ( x)  f'' ( x)  ( f' ( x) )

2

Für den Startwert x 1 muss also gelten: Konvergenzbedingung:

   

f x1  f'' x1

  2

 f' x1

Bemerkungen Das Verfahren kann immer dann angewendet werden, wenn der Nenner der Rekursions formel ungleich Null ist, also keine horizontalen Tangenten vorliegen. Das Newtonsche Verfahren versagt in der Regel, wenn die Tangente an den Graphen der Funktion f in der Nähe der Nullstelle nahezu parallel zur x-Achse verläuft. Das gilt auch dann, wenn nahe der Nullstelle eine Extremstelle oder eine Wendestelle mit nahezu horizontaler Wendetangente liegt. Außerdem darf die Nullstelle vom Startwert nicht zu weit entfernt sein.

___________________________ Newton-Verfahren, Teil 2 Konvergenz und Aufgaben Seite 1 von 6

mathphys-online Aufgabe 1





1 3 x  2  x  5 mit x ∈ IR. 10 Zeigen Sie mit Begründung, dass für den Startwert x1  3 das Konvergenzkriterium erfüllt ist, Gegeben ist der Funktionsterm f ( x) 

dagegen nicht für den Startwert x2  1.

f' ( x) 

1. Ableitung:

d

2

f ( x) 

dx f'' ( x) 

2. Ableitung:

d

f' ( x) 

dx Startwert:

linke Seite:

rechte Seite:

3x

10



1 5

3x 5

x1  3

   

f x1  f'' x1

 2.88

f'x12  6.25

Kriterium  "erfüllt"

Startwert: linke Seite: rechte Seite:

x2  1

   

f x2  f'' x2

 0.24

f'x22  0.01

Kriterium  "nicht erfüllt" Starwert in der Umgebung der horizontalen Tangente. Ergebnis Das Newton'sche Näherungsverfahren muss nicht notwendigerweise zum Erfolg führen. Oft genügt jedoch eine andere, günstigere Wahl des Startwertes.

___________________________ Newton-Verfahren, Teil 2 Konvergenz und Aufgaben Seite 2 von 6

mathphys-online Aufgabe 2





1 3 2  8  x  20  x  34  x  21 mit x ∈ IR. 20 a) Zeigen Sie, dass es im Intervall ] 0 ; 2 [ eine Nullstelle gibt. b) Zeigen Sie, dass, ausgehend vom Startwert x1 = 2 , diese Nullstelle nicht bestimmt Gegeben ist der Funktionsterm f ( x) 

werden kann. c) Zeigen Sie, dass der Startwert x1 = 1 geeignet ist und bestimmen Sie die Nullstelle.

Teilaufgabe a) f ( 0)  1.05

f ( 1.8)  2.917

Vorzeichenwechsel, also existiert nach dem Nullstellensatz eine Nullstelle. Teilaufgabe b)

f' ( x) 

d

2

f ( x) 

dx

6x 5

 2x 

17 10

Startwert wählen:

Berechnung der falschen NS 3

x2

Iteration:

x1

xi 

2

2.0000000000

1

y-Achse

-1.5000000000 3

2

1

0

1

2

3

4

1 2

-1.5000000000 -1.5000000000 -1.5000000000

3 4 5 x-Achse

Lage der Nullstelle: xN  1.5000

Ergebnis Beim Startwert x1 verläuft die Kurve zu sehr in der Nähe der horizontalen Tangente.

Dadurch führt die Nullstelle x 2 der Tangente zu weit von der gesuchten Nullstelle weg und der Algorithmus bestimmt eine Nullstelle, die man gar nicht wollte.

___________________________ Newton-Verfahren, Teil 2 Konvergenz und Aufgaben Seite 3 von 6

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f' ( x) 

1. Ableitung:

d

2

f ( x) 

dx f'' ( x) 

2. Ableitung:

d

f' ( x) 

6x 5

 2x 

12  x 5

dx

17 10

2

x1  2

Startwert:

   

f x1  f'' x1

linke Seite:

 8.82

f'x12  0.81

rechte Seite:

Kriterium  "nicht erfüllt" Teilaufgabe c) x1  1

Startwert:

   

f x1  f'' x1

linke Seite:

 0.5

f'x12  6.25

rechte Seite:

Kriterium  "erfüllt" xi 1  xi 

  f'  xi f xi

Iteration: xi  1.0000000000 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000

___________________________ Newton-Verfahren, Teil 2 Konvergenz und Aufgaben Seite 4 von 6

Lage der Nullstelle:

xN  0.5000

mathphys-online Aufgabe 3 Gegeben ist der Funktionsterm f ( x) 

2  x if x  0



mit x ∈ IR .



2   x otherwise Zeigen Sie, dass das Konvergenzkriterium für keinen Startwert x1 erfüllt ist.

Startwert wählen:

Zyklisches Newton-Verfahren 4

x1

x2

3

Ergebnis:

2

xi 

1 y-Achse

-1.8 1.8 4

3

2

1

0 1

1

2

3

4

-1.8 1.8 -1.8

2 3 4 x-Achse

Ergebnis Hier liegt ein zyklisches Newton-Verfahren vor. Man kann den Startwert beliebig wählen, durch die Punktsymmetrie verläuft die Rechnung immer im Kreis. Hier hilft auch nicht eine andere Wahl des Startwertes. Durch die Punktsymmetrie bleibt das Verfahren immer zyklisch und konvergiert nicht.

Konkret:

x1  1.8

linke Seite:

f x1  f'' x1

rechte Seite:

   

 0.556

f'x12  0.556

___________________________ Newton-Verfahren, Teil 2 Konvergenz und Aufgaben Seite 5 von 6

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Kriterium  "nicht erfüllt" Allgemein:

Sei

F ( x)  2  x

x0  0

F' ( x) 

2

F'' ( x) 

2 x

2 3

4x

linke Seite:

rechte Seite:

   

F x0  F'' x0

F' x02



annehmen x0  0 

1 x0

1 x0

Kriterium nicht erfüllbar, denn beide Seiten sind identisch.

___________________________ Newton-Verfahren, Teil 2 Konvergenz und Aufgaben Seite 6 von 6

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