Ejercicios 1.- Simplificar: a) d)

a x2 a2 x5

x  x2 x2  x3

b)

x 2 x  1 x x  1 x  1

e)

4  x2 x2

c)

x 2  5x x  x  5 2

f)

9x 2  4 9 x 2  12 x  4

2.- Calcular: a)

c)

80

x x3  x2 x2 4  x2 x2  9

˜

x 2  6x  9 x 2  4x  4

b)

d)

1 2

x  10 x  25 x 2 x  1 2

x  5x  6

y



1 x5

x2  x x2  9

3.7 Práctico: Expresiones Algebraicas Ejercicio 1: Expresar con un monomio el área de la parte sombreada.

x x

Ejercicio 2: a) Verificar que el área del trapecio de la figura es A = 2xy. x

b) Expresar la diagonal mayor del trapecio utilizando x e y.

y 3x

Ejercicio 3: Expresar el área de las figuras siguientes mediante un polinomio. a)

b)

3

x 2x

x

x 10 x

Ejercicio 4: Expresar el área lateral, el área total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos, mediante un polinomio. a)

b) 3x

x+3 x

x-1

x

x

Ejercicio 5: Hallar la suma y diferencia de los polinomios: P ( x ) Q( x )

4x 3  5x 2  6x  4 2x 3  4 x 2  x  5

Ejercicio 6: ¿Cuánto debe valer x para que al sustituirla en cada una de las casillas resulte un cuadrado mágico? x-1

3x - 2

4 - (1- x)

3x

10 -(x+2)

x-2

x+1

2x - 3

3x - 1

La suma de las filas, de las columnas y de las diagonales debe ser la misma.

Ejercicio 7: Efectuar con los siguientes polinomios las operaciones que se indican: A( x )

3x 4  8x 2  5 ;

D( x )

x3  8;

B( x ) E( x )

x 2  x  1;

C( x )

2x 3  x 2  5 x  3

x  2;

F( x )

x2

a) A + C - B

b) C - 2D

d) A ˜ B

e) A ˜ B – E ˜ F

1 B 2 f) E ˜ C + D ˜ F

g) A y C

h) D y B

i) B y E ˜ F

c) 3C - 4D +

Ejercicio 8: Determinar los valores de a y b para que el polinomio:

Q( x )

3a  b  5 x 2  4a  b  9 x

sea idénticamente nulo.

81

Ejercicio 9: ¿Existe un único polinomio del tipo P(x) = ax3 + bx + c , tal que satisface la condición que P(1) + P(-1) = 6? Ejercicio 10: Calcular:







a) x 2  2 x  1

2



b) x 3  x 2  x  1

2

Ejercicio 11: Encuentre, si es posible, los coeficientes a, b, c y d, de tal manera que los polinomios P(x) = x4 + 2x3 + ax2 + bx + 1 y Q(x) = (x2 + cx +d )2 sean iguales. Ejercicio 12: Calcular las siguientes divisiones y expresarlas en la forma r D C d d

 c) x

  2 x  3 y x

a) x 6  4 x 4  x 2 y x 3  2 x 2 3

 x2

2



1 3 1· § b) ¨ 3 x 3  x 2  x  ¸ y 2 x  4 2 4 2¹ ©







4 x 2  x  5 y el resto

Ejercicio 13: En una división de polinomios el cociente es C( x ) es R( x )



d)  8 x 5  16 x 2  8 x y 2 x 3  x 2  1

1

x 3  x  1?

3 x  7 . ¿Cuál es el dividendo, si el divisor es d ( x )

Ejercicio14: Encontrar m de modo que la siguiente división sea exacta: ( 6 x 2  mx  15 ) y ( 2 x  3 )

Ejercicio 15:

Aplicar la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones:





a) 3 x 3  x 2  x  1 y x  1

c)

x

4



 x 2  2 y x  2





e) 2 x 4  x 3  3 x  5 y x  2





b) x 5  10 x  7 y x  3 1 3 1· § d) ¨ x 3  x 2  x  ¸ y x  1 2 4 2¹ ©





f) x 5  243 y x  3

Ejercicio 16: En el polinomio A( x ) x 5  2 x 4  x 3  3 x 2  kx  3 ¿cuánto vale k, si A(-1) = -2? Ejercicio 17: Dado el polinomio Q( x ) 2 x 3  4 x 2  x  5 , calcular Q(1). ¿Cuál es el resto de dividir Q(x) por (x – 1)? Ejercicio 18: Determinar, sin efectuar la división, en que casos el dividendo es múltiplo del divisor:

 c) x e) x g) x

y x  a y x  a y x  a

a) x 5  a 5 y x  a 5

 a5

4

 a4

4

 a4

 d) x  a y x  a f) x  a y x  a h) x  a y x  a b) x 5  a 5 y x  a 5

5

4

4

4

Observa los resultados obtenidos, ¿puedes generalizarlos?

82

4

Ejercicio 19: Calcular los valores de m y n para que el polinomio x 3  6 x 2  mx  n sea divisible por:

x 2  x  12

Ejercicio 20: Hallar a y b en el polinomio 3 x 4  2 x 3  5 x 2  ax  b para que sea divisible por: x  2 y el polinomio cociente tenga por término independiente 4. Ejercicio 21: Al dividir un polinomio por x  1 se obtiene resto 5, y al dividirlo por x  2 el resto que se obtiene es –1. ¿Qué resto se obtendrá al dividir el

mismo polinomio por x  1 x  2 ? 2 son raíces del polinomio Ejercicio 22: Comprobar que 3, -3, -5 y 3

P ( x ) 3 x 4  13 x 3  37 x 2  117 x  90 y escribir su descomposición factorial. (Ayuda: Es muy laborioso determinar el valor numérico de P(x) para las raíces dadas, una manera menos complicada es aplicar la regla de Ruffini sucesivamente. Es decir, por ejemplo, para x = 3, si P(3) = 0, en el cociente de P(x) por (x – 3) se vuelve a aplicar Ruffini para x = -3 y así se continúa hasta terminar con todas las raíces)

Ejercicio 23: Escribir un polinomio cuyas raíces son: -3, 5 y –7. Ejercicio 24: Calcular las raíces de los siguientes polinomios: a) x 2  10 x  25

b) x 2  5 x  4

c) x 2  3

d) x  x 3

e) x 3  1

f) 3 x 2  2 x

Ejercicio 25: Encontrar un polinomio P(x): a) de grado 3 tal que P(0) = 10 y cuyas raíces sean 

2 ,1y5; 3

b) de grado 2 tal que P(2) = - 6 y cuyas raíces sean 2  2

y 2 2

Ejercicio 26: Factorear: a) x 3  7 x 2  16 x  12

b) 5 x 3  x 5

c) 4 x 4  13 x 2  9

d) 2 x 4  6 x 3  18 x 2  10 x

e) 6 x 2  18 x  12

f) 2 x 3  5 x 2  x  2

g) x 4  8 x 3  11x 2  32 x  60

h) x 3  2 x 2  x

i) 4 x 3  4 x 2  25 x  25

Ejercicio 27: Buscar dos polinomios divisibles por x  3 , x  5 y x  2 . Ejercicio 28: Si el lado x, de un cuadrado, aumenta en un 10 %, ¿en qué porcentaje aumenta la superficie?

x

x

83

Ejercicio 29: ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas racionales son irreducibles? 2x  3 x4

a)

x 2  16 x4

b)

x 3

c)

d)

x 2  6x  9

x3 1 x2  x 1

Ejercicio 30: Simplificar: a) d)

g)

j)

ax 3

15 x 3 y 4

b)

a2x 2

x 1

10 y 5 x 2 x 3  x  2 2

e)

x2 1 x3  x2  x

h)

5x 2  5x  5

4 x 2  12 x  9 9 x2  4

k)

8x 3

c)

x3  x2

f)

x 2  2x

x2  x

x  x2 x2  x  2

i)

x 2  2x  1 x4 1

x2  x  6

x 3  3 x 2  4 x  12

l)

1 x 2

22 x 2

x 3  2 x 2  9 x  18

Ejercicio 31: Determinar, entre las siguientes expresiones, las que son equivalentes: x4y

a)

b)

x5y 2

x 2  3x  2

c)

d)

2

x x2

x 2  2x  1 x2 1 x y ( x  1) 3 2

x y  x2y 2

Ejercicio 32: Reducir a común denominador: xy

a)

2

x y

y

;

2

3

x yx y

1

b)

2 2

2

x  2x  3

x2

;

2

x  4x  3

x

;

y x  y 3 x 3

;

x2  9

Ejercicio 33: Calcular y simplificar: a)

c)

2( x  3 ) x 2  2x  3 x5 2

x  4x  3





x3 x 2  4x  3 2x  6

d)

2

x  3x



Ejercicio 34: Al simplificar la expresión x 1  y 1 a) x + y

84

b)

xy xy

b)

c) xy



1

x x2  x 1 x2 1 x 2

x 1



1 2

x  2x  1

1

, es resultado que se obtiene es:

d)

1 xy

e)

xy xy

Ejercicio 35: Operar y simplificar: a)

x 2

x 4

˜

x3 1 2x

b)

2

3x  1 x

5

˜

x3

c)

2

9x  6x  1

x3  x

˜

2

x2  4

x  5x  6 x 2  x

Ejercicio 36: Operar y simplificar: 1 1 y 2 x  2 3 x  12

a)

b)

x3 x2  4

y

x 2  x  12

c)

x3  8

x3  x x2  x 1

y

4x 2  4

x2  x  2

Ejercicio 37: Resolver: a) 3  x 

x2 x3

b)

§ 1 2x c) ¨¨  1 x  1 x 2 © e)

g)

· § § x2 x· d) ¨  y ¸ y ¨¨1  ¸¸ ¸ © ¨ y y ¹ ¹ ©

· § 1· ¸¸ ˜ ¨1  ¸ x ¹ ¹ ©

3· § 1 · §  1¸ ˜ ¨ 3 x  ¸ f) ¨ x¹ © x 1 ¹ ©

x 1  2 x 5 x x  25 5 1 x 2  6x  9



1 x2  9



x · § x 1 · § 1   h) ¨ ¸˜¨ ¸ © x  1 x  1¹ © x  1 x  1¹

1 x 2  6x  9

ab c i) a(b  c ) a

j)

§ y 2 ·¸ x 3  y 3 k) ¨ x  y  ¨ x  y ¸¹ x 2 ©

m)

o)

y 2  6y  9 4y 2  4

y

x x  1 x 1 x

y2 9 2y  1  y 2

a1 1 a2   a  1 a3  1 a2  a  1

1

a( b  5 ) ab a 5

2x  3 · 25 § l) 26 x  6 ¨ 3 x  ¸ 5 © ¹ 169 x 2  9

n)

p)

x 4  1 2ax 2 x 4  x 2  1 1 ˜ ˜ ˜ 2x x 6  1 x 2  2 x  1 ax 5m 2

m 1 4



4 5  1 1 m 1 m 1 2 2

85

86