INTEGRALES EN REGIONES POLARES 1 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES

INTEGRALES EN REGIONES POLARES 1 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES Hasta el momento hemos tratado integrales dobles en las cuales la región de ...
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INTEGRALES EN REGIONES POLARES 1 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES Hasta el momento hemos tratado integrales dobles en las cuales la región de integración es una región rectangular de la forma ⁄ *( ) + o es una región que se encuentra entre ⁄ *( ) dos funciones definida por ( ) ( )+. Ahora, trataremos integrales dobles las cuales se van a evaluar sobre una región circular o sobre una región comprendida entre dos círculos o parte de los círculos.

Región circular Se desea encontrar la integral doble ∫ ∫

Región corona circular (

)

donde R es una región

polar. Lo primero que se debe hacer es encontrar los límites de integración en el sistema de coordenadas polares, asi por ejemplo. Para la región circular

INTEGRALES EN REGIONES POLARES 2

los limites de integración en coordenadas rectangulares son √ √ . al tratar de realizar la integral con estos limites de integración nos podemos encontrar con integrales las cuales son un poco complejas para su determinación. Pues la integral es de la forma √

∫ ∫

(

)



Para simplificar este problema, se expresa la región como una región polar y se determinan los límites de integración en ese sistema. Para ello se tiene en cuenta que la región circular se obtiene al hacer rotar el un segmento de recta en torno al origen del sistema.

INTEGRALES EN REGIONES POLARES 3 Al determinar la región mediante la rotación del segmento se tiene que la longitud del segmento varia entre y el ángulo varia entre . Como sabemos las expresiones que relacionan las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares son:

Realizando sustituciones la integral queda en la forma:

(

∫ ∫

)

Para poder determinar la integral es necesario encontrar una expresión en coordenadas polares para el diferencial de área ( dA). Supóngase que se tiene la región polar y esta se divide en n subregiones

Tomando una de estas subregiones , , se tiene que su forma es aproximadamente una región rectangular en la cual la base es una diferencial de arco y su altura un diferencial de radio, es decir base = ; altura= , pero el arco es igual al producto del radio por el ángulo que determina , de donde , con lo que el diferencial de área es si el numero ro de subdivisiones tiende al infinito se llega a , con lo que la integral en coordenadas polares es





(

)

INTEGRALES EN REGIONES POLARES 4 Por lo tanto para encontrar una integral en coordenadas polares se debe. 1. Expresar la región en el sistema polar, y determinar los limites de integración. 2. Sustituir en la función integrando las coordenadas polares por su equivalente en coordenadas polares. 3. Reemplazar el diferencial de área por su equivalente en coordenadas polares 4. Evaluar la integral resultante. POR EJEMPLO, Evaluar la integral

∫∫

donde R es la región del

primer cuadrante comprendida entre los círculos

1. Dibujamos la región comprendida entre los círculos dados. Al tratar de evaluar la integral en coordenadas rectangulares esta se tiene que dividir en dos cuyos limites de integración son 1)





2)



INTEGRALES EN REGIONES POLARES 5 Los límites de integración en coordenadas polares son:

Realizando los cambios en la integral se tiene que:

∫ ∫ (

∫∫

∫∫

)(

)

∫ ∫

∫∫



∫∫

[∫



∫∫

[ ]



∫∫

[

∫∫

]



∫∫

∫∫

]

[

]

[

]

[

]

INTEGRALES EN REGIONES POLARES 6

∫∫

POR EJEMPLO, Evaluar la integral

donde R es la región

comprendida entre los círculos La región de integración se presenta en siguiente grafico.

Los límites de integración en coordenadas rectangulares son





La región en coordenadas polares se define como

Luego la integral queda en la forma

∫∫

∫ ∫ (

∫∫

∫ ∫

∫∫



∫∫



,

∫∫

0

)

. /

-

[ ]

.

/1 [

]

INTEGRALES EN REGIONES POLARES 7

,

∫∫

)- ,

(

POR EJEMPLO. Evaluar la integral doble

-

∫∫

donde R es la

región del plano limitada por el eje de



las equis y la curva

.

Dibujamos la región de integración Los límites coordenadas

de integración rectangulares

en son

√ Y en coordenadas polares son

Luego la integral polares es:

en

coordenadas

∫∫

∫ ∫

∫∫

∫ [

∫∫

[

∫∫

]∫

]

∫ [

], -

[ (

)

]

[

]

INTEGRALES EN REGIONES POLARES 8

ACTIVIDAD. EVALUAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES.

1) ∫ ∫



2) ∫ ∫

√ √

3) ∫ ∫



(

)

4) ∫ ∫



(

)

5) ∫ ∫



6) ∫ ∫ 7) ∫ ∫



√ √

√ √

(

)