ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES Ejercicio 1 Considera las matrices

(a) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial (b) Resuelve la ecuación matricial dada para .

?

Ejercicio 2 Considera las matrices (a) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de para los que la matriz no tiene inversa. (b) Resuelve el sistema e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones. Ejercicio 3 (a) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada (b) Dada la matriz

de orden 3 vale -2 ¿Cuánto vale el determinante de la matriz

, ¿para qué valores de

la matriz

?

no tiene inversa?

Ejercicio 4 Dadas las matrices

halla la matriz

que cumple que

Ejercicio 5 Dada la matriz (a) Determina los valores de para los que la matriz (b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de para

tiene inversa. .

Ejercicio 6 Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) El determinante de . (b) El determinante de (c) El determinante de . (d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1 - C3, 2C3 y C2. Ejercicio 7 Considera la matriz

donde

es un número real.

(a) ¿Para qué valores de x existe (b) Resuelve, si es posible, la ecuación

? Para los valores de x obtenidos, calcula la matriz .

Ejercicio 8 Considera las matrices

(a) ¿Para qué valores de existe la matriz ? (b) Siendo , calcula y resuelve el sistema (c) Resuelve el sistema para .

.

Ejercicio 9 Sabiendo que

calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (a)

.

(b) (c) Ejercicio 10 (a) Sabiendo que la matriz

tiene rango 2, ¿cuál es el valor de ?

(b) Resuelve el sistema de ecuaciones

Ejercicio 11 (a) Sabiendo que

y que

; calcula los siguientes determinantes:

(b) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que . Calcula (c) Sea C una matriz cuadrada tal que . >Puede ser ? Razona la respuesta.

.

Ejercicio 12 Se sabe que

Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: (a) (b) (c) Ejercicio 13 Considera las matrices

(a) Calcula , , y (b) Razona cuales de las matrices correspondiente matriz inversa.

, siendo , y las matrices transpuestas de y , respectivamente. y tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la

Ejercicio 14 Sean las matrices (a) ¿Tiene inversa? En caso afirmativo, calcúlala. (b) Determina la matriz X que cumple que Ejercicio 15 Halla la matriz

, siendo

la matriz transpuesta de .

que cumple que

siendo Ejercicio 16 Sea la matriz identidad de orden 3 y sea (a) Determina el valor de b para el que (b) Para b = 2 halla la matriz X que cumple que

. , donde

Ejercicio 17 Sea la matriz identidad de orden 2 y sea (a) Halla los valores de para los que la matriz (b) Halla los valores de y para los que

no tiene inversa. .

denota la matriz transpuesta de .

Ejercicio 18 Sabiendo que

; calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

(a) (b) (c)

Ejercicio 19 Resuelve

, siendo

la matriz traspuesta de

y

Ejercicio 21 Considera

, siendo a un número real.

(a) Calcula el valor de a para que (b) Calcula, en función de a, los determinantes de y , siendo la traspuesta de . (c) ¿Existe algún valor de a para el que la matriz sea simétrica? Razona la respuesta. Ejercicio 22 Resuelve

Ejercicio 23 Sea

(a) Determina los valores de (b) Para y siendo

para los que la matriz , resuelve

tiene inversa.

Ejercicio 24 Sea

y sea la matriz identidad de orden dos.

(a) Calcula los valores (b) Calcula

tales que

.

.

Ejercicio 25 Considera las matrices

(a) Halla el valor de (b) Resuelve

para

para el que la matriz .

no tiene inversa.

Ejercicio 26 Considera las matrices (a) Halla, si existe, la matriz inversa de (b) Calcula, si existen, los números reales

. e y que verifican:

Ejercicio 27 Sean la matriz identidad de orden 2 y (a) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que (b) Para , halla la matriz tal que – , donde Ejercicio 28 Considera la matriz (a) Determina la matriz . (b) Determina los valores de para los que la matriz (c) Calcula para .

tiene inversa.

, donde es la matriz nula de orden 2. denota la matriz traspuesta de .

Ejercicio 29 (a) Calcula la matriz inversa de (b) Escribe en forma matricial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz

hallada en el apartado anterior,

Ejercicio 30 Considera las matrices

y

(a) Determina los valores de para los que la matriz tiene inversa. (b) Para = 1, calcula y resuelve la ecuación matricial . Ejercicio 31 (a) Calcula el valor de (b) Si

para el que la matriz

verifica la relación

es una matriz cuadrada que verifica la relación

y determina

, determina la expresión de

para dicho valor de

en función de

.

y de .

Ejercicio 32 Sea A la matriz

e la matriz identidad de orden 3.

(a) Calcula los valores de para los que el determinante de (b) Calcula la matriz inversa de A − 2I para = −2.

es cero.

Ejercicio 33 Dadas las matrices

Calcula la matriz

que verifica

(

es la matriz traspuesta de ).

Ejercicio 34 Sea la matriz identidad de orden 3 y

. Calcula, si existe, el valor de k para el cual

–

es la matriz nula.

Ejercicio 35 Dadas las matrices

y

(a) Calcula, si existen, la matriz inversa de (b) Resuelve la ecuación matricial

y la de . ; donde denota la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 36 Dada la matriz (a) Estudia el rango de en función de los valores del parámetro . (b) Para , halla la matriz inversa de . Ejercicio 37 Sean y matrices que verifican . a) Si las matrices son cuadradas de orden 3 y se sabe que el determinante de determinante de las matrices y . b)

Si

es 3, el de

es -1 y el de

es 6, calcule el

. Calcule la matriz .

Ejercicio 38 Sean las matrices

Determina la matriz

que verifica

.

Ejercicio 39 Sean F1, F2 , F3 , las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz de orden 3, cuyo determinante vale -2. Calcula, indicando las propiedades que utilices: (a) El determinante de . (b) El determinante de ( es la matriz traspuesta de ). (c) El determinante de . (d) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5F1 - F3, 3F3, F2.

Ejercicio 40 Dadas las matrices (a) Calcula, si existe, la inversa de la matriz . (b) Calcula las matrices e que satisfacen las ecuaciones matriciales

y

.

Ejercicio 41 Se consideran las matrices

y

, donde

es una constante e la matriz identidad de orden 2..

(a) Determina los valores de para los cuales la matriz no tiene inversa. (b) Calcula para . (c) Determina las constantes y para las que se cumple Ejercicio 42 Sean las matrices

(a) Indica los valores de para los que A es invertible. (b) Resuelve la ecuación matricial – para

.(

es la matriz traspuesta de ).

Ejercicio 43 Sea la matriz

(a) Comprueba que se verifica – . (b) Calcula . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). Ejercicio 44 Sean las matrices

(a) Determina los valores de para los que tiene inversa. (b) Calcula la inversa de A para = 1. (c) Resuelve, para , el sistema de ecuaciones . Ejercicio 45 Sean las matrices

Calcula la matriz

que cumpla la ecuación

.

Ejercicio 46 Considera las siguientes matrices (a) Calcula . (b) Resuelve la ecuación matricial Ejercicio 47 Obtén un vector no nulo

, donde I es la matriz identidad de orden 2 y

es la matriz traspuesta de .

, de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2.

Ejercicio 48 De la matriz (a) Halla

se sabe que y

(b) Calcula (c) Si B es una matriz cuadrada tal que

. Se pide: . Indica las propiedades que utilizas. , siendo la matriz identidad, halla

Ejercicio 49 Dada la matriz (a) Determina los valores de para los que la matriz no tiene inversa. (b) Para = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo la matriz identidad de orden 2.

Ejercicio 50 Sean y dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son (a) (b) (c) (d) , siendo la matriz traspuesta de . (e) El rango de

y

. Halla:

Ejercicio 51 Dada la matriz

(a) Demuestra que se verifica la igualdad (b) Justifica que es invertible y halla su inversa. (c) Calcula razonadamente .

siendo la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio 52 Considera las matrices

(a) ¿Hay algún valor de para el que no tiene inversa? (b) Para , resuelve la ecuación matricial

.

Ejercicio 53 Dadas las matrices

(a) Calcula el rango de según los diferentes valores de . (b) Razona para qué valores de el sistema homogéneo

tiene más de una solución.

Ejercicio 54 Dadas las matrices

(a) Calcula el rango de dependiendo de los valores de (b) Para , resuelve la ecuación matricial . Ejercicio 55 Sean las matrices (a) Calcula los valores de para los que la matriz inversa de A es (b) Para , determina la matriz que verifica la ecuación

, siendo

la matriz traspuesta de .

Ejercicio 56 Sean y dos matrices que verifican: (a) Halla las matrices (b) Resuelve la ecuación matricial de .

y

. , siendo la matriz identidad de orden 2 y

Ejercicio 57 Sea la matriz

(a) Determina los valores de para los que la matriz (b) Para , resuelve la ecuación matricial

tiene inversa, siendo la matriz identidad de orden 3. .

Ejercicio 58 Dada la matriz (a) Demuestra que y que (b) Calcula la matriz X que verifica la ecuación

, siendo I la matriz identidad de orden 2. .

la matriz traspuesta

Ejercicio 59 Considera las matrices

Determina, si existe, la matriz

que verifica

, siendo

Ejercicio 60 Encuentra la matriz X que satisface la ecuación

la matriz traspuesta de C.

, siendo

Ejercicio 61 Dada la matriz

, sea

la matriz que verifica que

(a) Comprueba que las matrices y (b) Resuelve la ecuación matricial

poseen inversas. .

Ejercicio 62 Sea la matriz (a) ¿Para qué valores del parámetro no existe la inversa de la matriz ? Justifica la respuesta. (b) Para , resuelve la ecuación matricial , donde denota la matriz identidad y

la matriz traspuesta de .

Ejercicio 63 Considera las matrices

(a) Halla . (b) Calcula la matriz que satisface (c) Halla el determinante de

( .

es la matriz traspuesta de ).

Ejercicio 64 Sabiendo que el determinante de una matriz

es 4, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las

propiedades que utilizas: (a) y (b)

Ejercicio 65 Sea una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es . Calcula: (a) El rango de . (b) El determinante de ( es la matriz traspuesta de ). (c) El determinante de . (d) El determinante de , donde es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de

.

Ejercicio 66 Sea (a) Determina los valores de para los que los vectores fila de (b) Estudia el rango de según los valores de . (c) Para , calcula la inversa de

son linealmente independientes.

Ejercicio 67 Sea (a) Comprueba que y calcula (b) Calcula y su inversa.

.

Ejercicio 68 Sean y las matrices (a) Calcula las matrices e para las que (b) Halla la matriz que verifica

y . ( denota la matriz identidad y

la matriz traspuesta de ).

Ejercicio 69 Considera las matrices (a) Calcula (b) Calcula

e tales que tal que

y

(

es la matriz traspuesta de ).

.

Ejercicio 70 Considera las matrices

a) Halla, si es posible, y . b) Halla el determinante de c) Calcula la matriz que satisface

siendo At la matriz traspuesta de . .