PRUEBAS DE SELECTIVIDAD. Función real de variable real. Derivabilidad y Rectas tangentes. − .x + 4 4 EJERCICIO 1.- Sea la función f (x ) = x x 2 − 4x + 1
si
x2
. Halle el valor de a para que dicha función
sea continua y estudie la derivabilidad de f para ese valor de a.
1 − 2x 2 si EJERCICIO 5.- Sea la función f (x ) = x 2 − 2ax + 3 si - x 2 − 2ax − 15 si
x ≤1 1< x ≤ 3 x>3
a) Calcule el valor de a para que f sea continua en x = 1. b) Para a =2 estudie la continuidad y la derivabilidad de f.
EJERCICIO 6.- El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la función B(t) expresada a continuación 1 2 8 t − t + 5 B(t ) = `t + 1 2
si
0≤t≤6 , t es el tiempo transcurrido en meses.
si
6 < t ≤ 12
Estudie la derivabilidad de la función al cabo de 6 meses. 1/5
EJERCICIO 7.- Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g(x ) = −2e 3 x en el punto de abscisa x = 0. EJERCICIO 8.- De la función f se sabe que su función derivada es f´( x ) = 3 x 2 − 8 x + 5. Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (1, 1), calcule la ecuación de la recta tangente en dicho punto. EJERCICIO 9.- Calcule la ecuación de la recta tangente a la función g( x ) = 3 x 2 − 2x + 1, en el punto de abscisa x = 1. EJERCICIO 10.- Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de
enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses: t 2 P( t ) = 100t - 250 t+5
si 0 ≤ t ≤ 5 si t > 5
.
a) Estudie la continuidad de la función P. b) Estudie la derivabilidad de P en t =5. c) ¿En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50?
EJERCICIO 11. ax 2 + 3 x si x ≤ 2 a) Sea la función f ( x ) = . Determine los valores de a y b, para que la función f sea x 2 − bx − 4 si x > 2 derivable en x = 2. x+2 b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g( x ) = en el punto de x −1 abscisa x = 0.
EJERCICIO 11.- Determine los valores que han de tomar a y b para que la función − x 2 + ax − 7 si x < 1 f ( x) = sea derivable en R. 4x − b si x ≥ 1 EJERCICIO 12.- Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) f ( x ) = e 3 x ⋅ ln(2x − 5). b) g( x ) =
3 2x x2 − 1
.
c) h( x ) = (3 x 2 + 5 x − 1)6 + x 2 − ln x. EJERCICIO 13.- Sea la función f (x ) = 2x 2 −
1 3 x . Calcule el punto de la gráfica en el que la pendiente de 3
EJERCICIO 14.- Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) f (x ) =
e3x 1+ x2
.
{(
)}
b) g(x ) = ln x 1 + 3 x 2 . c) h(x ) = 2 5 x +
1 x2
.
EJERCICIO 15.- Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 2
1 − 2x 2 − 5x a) f (x ) = + 3 x2
(
b) g(x ) = (3 x + 2)2 ·ln 1 + x 2
)
x2 si x ≤ 0 2 EJERCICIO 16.- Sea la función f (x ) = x 3 − 4 x 2 si 0 < x ≤ 4 . 4 1− si x > 4 x a) Estudie su continuidad y derivabilidad. b) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 2. 2 si x ≤ 1 EJERCICIO 17.- Se la función f (x ) = x . x 2 − 4 x + 5 si x > 1 a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función. b) Represéntela gráficamente. EJERICIO 18.- Sean las funciones: x 3 − x 2 + 2 si − 1 ≤ x ≤ 0 − x 2 + x + 2 si − 1 ≤ x ≤ 0 f (x ) = , h(x ) = . − x 3 − x 2 + 2 si 0 < x ≤ 1 − x 2 − x + 2 si 0 < x ≤ 1 a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f en x = 0. b) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función h en x = 0. c) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un arco redondeado (sin picos) de un túnel, indique, razonadamente, la que corresponde a la catedral y la que corresponde al túnel. d) Represéntela gráficamente.
EJERICICIO 19.- Halle las funciones derivadas de las funciones definidas por las siguientes expresiones:
(
a ) f (x ) = 2x 2 − 3
)
b ) g(x ) =
3
ln(x ) x
c ) h(x ) = x · e 3 x
EJERICICIO 20.-
1 − 2x si x ≤ 0 a) Sea la función f (x ) = 1 . Estudie su continuidad y su derivabilidad. si x > 0 x +1 x −1 b) Se consideran las funciones: g(x ) = (2x + 1)3 , h(x ) = x . Halle sus funciones derivadas. 2 EJERCICIO 21.- la función derivada de una función f viene dada por f ' (x ) = 3 x 2 − 12 x + 9 . Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2, 5), calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto. EJERCICIO 22.- Sea la función f (x ) = x 3 + x 2 + x . Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.
x 2 + x si x < 0 EJERCICIO 23.- Sea la función f (x ) = x . Analice la continuidad y la derivabilidad de la si x ≥ 0 x +1 función en su dominio.
EJERCICIO 24.- Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C(t ) = −0.2t 2 + 4t + 25,
0 ≤ t ≤ 25
(t = años transcurridos desde el año 2000).
Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función C(t) en t = 8. Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento. 3 x si x ≤ 1 EJERCICIO 25.- Sea la función f (x ) = . x 2 − 6 x + 8 si x > 1 a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f. b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 3. EJERCICIO 26.- Sea la función f (x ) = x 3 − 1 . Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene pendiente 3.
− x + 1 si x < 1 EJERCICIO 27.- Sea la función real de variable real f (x ) = x − 1 si x ≥ 1 a) Represente gráficamente la función. b) Estudie la continuidad de la función. c) Estudie la derivabilidad de la función. EJERCICIO 28.- Sea la función f (x ) =
x −1 . Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la 2x − 1
función f en el puno (0, 1). e −x si x ≤ 0 EJERICICIO 29.- Sea la función f : R → R definida mediante f (x ) = . x 3 − x + 1 si x > 0 a) ¿Es f continua en x = 0? ¿Es continua en su dominio? b) ¿Es f derivable en x = 0? ¿Es derivable en su dominio? c) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. EJERCICIO 30.- Calcule la derivada de las siguientes funciones:
