A. Mathematische Grundlagen und Formeln

In diesem Anhang sind die wichtigsten mathematischen Zusammenhänge und Formeln zusammengestellt, die in diesem Buch ben€otigt werden. Auf eine ausführliche Darstellung wird bewusst verzichtet und auf Standardwerke der Ingenieurmathematik verwiesen. Einige ausgewählte Lehrbücher sind im Inhaltsverzeichnis angegeben.

A.1 Skalar- und Vektorfeld Ein Feld bezeichnet einen Raumbereich, in dem jedem Punkt (Ort) • die Stärke (Skalarfeld) • die Stärke und die Richtung (Vektorfeld) einer physikalischen Gr€oße zugeordnet ist. Skalarfeld Die Funktion φ(r) ordnet jedem Punkt r einen skalaren Wert zu, wie z. B. Temperatur, Druck, elektrisches, Potential usw. Zur Veranschaulichung von Skalarfeldern dienen Niveaulinien (2D) bzw. Niveaufl€achen (3D), auf denen das Feld einen konstanten Wert φ0, φ1, φ2 hat (Abb. A.1). Im elektrischen Feld werden diese auch als Äquipotentiallinien bzw. -fl€achen bezeichnet. Wählt man eine konstante Differenz zwischen den Niveaulinien/ -flächen, d. h. (φ1
φ0) ¼ (φ2
φ1) ¼ . . ., so veranschaulicht der Abstand zwischen ihnen die Stärke der Änderung des Feldes. Vektorfeld Die Vektorfunktion E(r) ordnet jedem Ort r einen Vektor zu (3 ortsabhängige skalare Funktionen), wie z. B. Kraft, Str€omungsgeschwindigkeit, elektrische Feldstärke, usw. Ausgeschrieben in kartesischen Koordinaten (x, y, z):

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2018 M. Leone, Theoretische Elektrotechnik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18317-2

413

414

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Abb. A.1 Veranschaulichung von Skalarfeldern durch Niveauflächen

ϕ2 ϕ1 ϕ0 r

Abb. A.2 Veranschaulichung von Vektorfeldern durch Feldlinien

E(r)

r

E ð r Þ ¼ E x ð r Þ ex þ E y ð r Þ ey þ E z ð r Þ ez : Zur Veranschaulichung von Vektorfeldern dienen Feldlinien. Das sind Linien, die in jedem Punkt tangential zum Feldvektor verlaufen (Abb. A.2). Zeichnet man die Feldlinien so, das zwischen ihnen jeweils der gleiche Vektorfluss durchtritt (siehe Abschn. A.4.2), so veranschaulicht die Feldliniendichte die Stärke des Vektors.

A.2 Vektoralgebra Zerlegung des Vektors A(r) in seine kartesischen Komponenten (Abb. A.3): 0

1 Ax A ¼ @ Ay A ¼ Ax ex þ Ay ey þ Az ez : Az

ðA:1Þ

Betrag eines Vektors: jA j ¼ A ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A2x þ A2y þ A2z :

ðA:2Þ

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

415

Abb. A.3 Kartesische Komponenten eines Vektors A

z y r

x

Azez A Axex

Ay.ey

Einheitsvektoren:   jex j ¼ ey  ¼ jez j ¼ 1:

ðA:3Þ

Einheitsvektor in Richtung des Vektors A: eA ¼

A jA j

bzw:

A ¼ A eA :

ðA:4Þ

Produkt mit Skalar λ: λ A ¼ λ A eA ðVektorÞ:

ðA:5Þ

Skalarprodukt Das Skalar- oder auch innere Produkt zweier Vektoren A und B ist das Produkt der beiden zueinander parallelen Komponenten Abb. A.4). Das Ergebnis ist ein Skalar. A  B ¼ A B cos ð∡A; BÞ ¼ A B cos α:

ðA:6Þ

In Komponentenform: 0

1 0 1 Ax Bx @ Ay A  @ By A ¼ Ax Bx þ Ay By þ Az Bz : Az Bz

ðA:7Þ

B

Abb. A.4 Skalarprodukt

α B .cosα

A

416

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

A ×B

Abb. A.5 Vektorprodukt

en B a A

Das Skalarprodukt ist kommutativ, d. h: A  B ¼ B  A. Spezialfälle: A  B ¼ AB

,

AkB

ðparallelÞ

AB ¼ 0

,

A⊥B

ðorthogonalÞ:

Kreuzprodukt (Vektorprodukt) Das Kreuz- oder auch äußere Produkt zweier Vektoren A und B ergibt als Betrag das Produkt der beiden zueinander senkrechten Komponenten, d.h. die von den beiden Vektoren aufgespannte Fläche. Das Ergebnis ist ein Vektor, der senkrecht auf der Fläche steht. Die Richtung (Normalen-Einheitsvektor en) ergibt sich durch Drehung von A nach B im Rechtsschraubensinn (Abb. A.5): A  B ¼ A B sin α en.

(A.8)

In Komponentenform (Determinantenregel):  1 0 1  ex Ax Bx  @ Ay A  @ By A ¼  Ax   Bx Az Bz 0

ey Ay By

 ez    Az  ¼ Ay Bz
Az By ex þ ðAz Bx
Ax Bz Þ ey ðA:9Þ Bz    þ Ax By
Ay Bx ez :

Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ, d. h.: A  B 6¼

BA ¼


A  B:

Spezialfälle: A  B ¼ A B en

,

A⊥B

AB ¼ 0

,

A k B:

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

417

Spatprodukt Das Produkt   Ax  A  ðB  CÞ ¼  Bx  Cx

Ay By Cy

Az Bz Cz

    ¼ V  

ðA:10Þ

ergibt das Volumen V des durch die Vektoren A, B und C definierten Parallelepiped (Abb. A.6). Zyklische Vertauschung A  ðB  CÞ ¼ C  ðA  BÞ ¼ B  ðC  AÞ:

ðA:11Þ

Doppeltes Vektorprodukt A  ðB  CÞ ¼ B  ðA  CÞ
C  ðA  BÞ:

ðA:12Þ

Normal- und Tangentialkomponente eines Vektors zu einer Fläche Zerlegung eines Vektors A auf einer Fläche S mit Normalen-Einheitsvektor en ⊥ S (Abb. A.7):

Abb. A.6 Spatprodukt

A C

Abb. A.7 Zerlegung von A in Normal- und Tangentialkomponente zur Fläche S

A

An en

en×A

B

V

S At

418

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Normalkomponente: Tangentialkomponente:

An ¼ (en  A) en At ¼ (en  A)  en ¼ A(en  en)
en(en  A) ¼ A
An, unter Verwendung von Gl. (A.12). A ¼ An + At

A.3 Koordinatensysteme Vektoroperationen gelten allgemein im Raum ohne Angaben eines speziellen Bezugssystems. Bei der L€ osung einer konkreten Aufgabenstellung ben€otigt man ein Koordinatensystem, wie z. B. das kartesische Koordinatensystem. In einem orthogonalen krummlinigen Koordinatensystem (Abb. A.8) mit den Koordinaten u1,u2,u3 ist ein Punkt P eindeutig durch das Zahlentripel (u1,u2,u3), bzw. den Schnittpunkt der 3 Flächen u1 ¼ const., u2 ¼ const., u3 ¼ const. bestimmt. Einheitsvektoren (Basisvektoren): ei (i ¼ 1, 2, 3),  1 f u€ r i¼j mit e i  ej ¼ 0 f u€ r i 6¼ j e1  e2 ¼ e3 und e3  e1 ¼ e2 (orthogonales, rechtsdrehendes Koordinatensystem). e2  e3 ¼ e1 Komponenten des Vektors A: A ¼ A1 e1 þ A2 e2 þ A3 e3 : Addition/Subtraktion: A  B ¼ ðA1  B1 Þ e1 þ ðA2  B2 Þ e2 þ ðA3  B3 Þ e3 :

Abb. A.8. Orthogonales, krummliniges Koordinatensystem mit den Koordinatenflächen ui ¼ const.

u3 u3 = const.

e3 e1

e2 P u1= const. u1

u1 u3 = const.

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

419

Multiplikation mit Skalar λ: λ  A ¼ λ A1 e1 þ λ A2 e2 þ λ A3 e3 : Skalarprodukt: A  B ¼ A1 B1 þ A2 B2 þ A3 B3 : Vektorprodukt:   e1  A  B ¼  A1  B1

 e3  A3  ¼ ðA2 B3
A3 B2 Þ e1 þ ðA3 B1
A1 B3 Þ e2 B3  þ ðA1 B2
A2 B1 Þ e3 :

e2 A2 B2

Ein Problem, das gewisse räumliche Symmetrien aufwirft, lässt sich einfach durch ein entsprechendes Koordinatensystem ausdrücken, z.B. durch Zylinder- oder Kugelkoordinaten bei Zylinder- bzw. Kugelsymmetrien. Eine Behandlung mit kartesischen Koordinaten ist zwar immer m€oglich, führt aber in den meisten Fällen zu unn€otig komplizierten Ausdrücken.

A.3.1 Kartesisches Koordinatensystem (Abb. A.9) Basisvektoren: Ortsvektor:

ex, ey, ez. r ¼ xp ex + yp ey + zp ez.

Differentielles Wegelement: dr ¼ dx ex þ dy ey þ dz ez :

ðA:13Þ

Vektorielles (gerichtetes) Flächenelement auf den Koordinatenflächen in Richtung der Flächennormalen (Abb. A.10): dAx ¼ dydz ex dAy ¼ dxdz ey

ðA:14Þ

dAz ¼ dxdy ez : Differentielles Volumenelement: dV ¼ dxdy dz:

ðA:15Þ

420

a)

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

z

z

b)

y = const.

x = const. ez

P (xp, yp, zp) r

ex

z = const. zp

P ey

y

y

xp x

yp

x

Abb. A.9 Punkt P im kartesischen Koordinatensystem (a) Koordinatendarstellung, (b) Koordinatenflächen x, y, z ¼ const.

Abb. A.10 Differentielle Wegund Flächenelemente und Volumenelement

z dAz dz dAy dAx r

dx dy

y x

A.3.2 Krummlinige orthogonale Koordinatensysteme Unter den krummlinigen Koordinatensystemen zeichnen sich die sog. orthogonalen Systeme dadurch aus, dass in jedem Punkt die Koordinatenlinien senkrecht aufeinander stehen, wie z. B. bei Zylinder- und Kugelkoordinaten.

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

421

Zur Bestimmung der differentiellen Längen- und Flächenelemente, sowie des Volumenelements werden die Transformationsformeln zwischen den Koordinaten u1, u2, u3 und den kartesischen Koordinaten x, y, z ben€otigt, d. h.: x ¼ xðu1 ; u2 u3 Þ,

y ¼ yðu1 ; u2 u3 Þ,

z ¼ zðu1 ; u2 u3 Þ:

Das differentielle Wegelement dsi in Richtung ui (i ¼ 1, 2, 3) erhält man aus dem totalen Differenzial des Ortsvektors: dsi ¼

∂xðu1 ; u2 ; u3 Þ ∂yðu1 ; u2 ; u3 Þ ∂zðu1 ; u2 ; u3 Þ dui ex þ dui ey þ dui ez , ∂ui ∂ui ∂ui

bzw. in skalarer Form:    ∂r    dui ¼ hi dui , dsi ¼  ∂ui 

ðA:16Þ

mit dem Metrikfaktor (metrischer Koeffizient, Lamé-Koeffizient) in Koordinatenrichtung i:      ∂r   ∂x ∂y ∂z     hi ¼  ¼  ex þ ey þ ez ∂ui  ∂ui ∂ui ∂ui  sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2  2  2 ffi ∂x ∂y ∂z ¼ : þ þ ∂ui ∂ui ∂ui

ðA:17Þ

Für das kartesische Koordinatensystem (A.3.1) ergibt sich speziell h1 ¼ h2 ¼ h3 ¼ 1:

ðA:18Þ

Für die drei Basisvektoren erhält man damit: ei ¼

∂r=∂ui 1 ∂r ¼ : j∂r=∂ui j hi ∂ui

ðA:19Þ

Dementsprechend ergibt sich für das differentielle Wegelement: ds ¼ h1 du1 e1 þ h2 du2 e2 þ h3 du3 e3 :

ðA:20Þ

422

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Abb. A.11 Differentielle Wegund Flächenelemente und Volumenelement in einem krummlinigen, orthogonalen Koordinatensystem

u3 dA3 ds2 ds3 dA2

r dA1

u2

ds1

u1

Die differentiellen Flächenelemente dAi erhält man durch Multiplikation der beiden Wegelemente dsj, dsk mit dem dazu senkrechten Einheitsvektor in i-Richtung (i,j,k ¼ 1,2,3): dA1 ¼ h2 h3 du2 du3 e1 dA2 ¼ h3 h1 du3 du1 e2

ðA:21Þ

dA3 ¼ h1 h2 du1 du2 e3 Das Produkt der drei Längenelemente ergibt das differentielle Volumenelement (Abb. A.11): dV ¼ h1 h2 h3 du1 du2 du3 :

ðA:22Þ

A.3.3 Zylinderkoordinatensystem Transformation (Abb. A.12): x ¼ xðρ; ϕ; zÞ ¼ ρ cos ϕ y ¼ yðρ; ϕ; zÞ ¼ ρ sin ϕ z ¼ zðρ; ϕ; zÞ ¼ z:

ðA:23Þ

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

a

423

b

z

z r = const.

P (rp, fp, zp)

z = const.

r

ez

zp

ef er

fp

y

y

rp x

x

f = const.

Abb. A.12 Punkt P im Zylinderkoordinatensystem (a) Koordinatendarstellung, (b) Koordinatenflächen ρ, ϕ, z ¼ const.

Metrische Koeffizienten (A.17): h1 ¼ hρ ¼

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi





∂x ∂ρ

2

þ

∂y ∂ρ

2

þ

∂z ∂ρ

2

¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð cos ϕÞ2 þ ð sin ϕÞ2 þ ð0Þ2

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2  2  2ffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ∂x ∂y ∂z h2 ¼ h ϕ ¼ ¼ ð
ρ sin ϕÞ2 þ ðρ cos ϕÞ2 þ ð0Þ2 þ þ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2  2  2ffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ∂x ∂y ∂z ¼ ð 0Þ 2 þ ð 0Þ 2 þ ð 1Þ 2 þ þ h3 ¼ hz ¼ ∂z ∂z ∂z hρ ¼ 1,

hϕ ¼ ρ,

hz ¼ 1:

ðA:24Þ

Basisvektoren (A.19): e 1 ¼ eρ ¼

1 ∂r hρ ∂ρ

e 2 ¼ eϕ ¼

1 ∂r hϕ ∂ϕ

e 3 ¼ ez ¼

1 ∂r : hz ∂z

eρ ¼ cos ϕ ex þ sin ϕ ey eϕ ¼
sin ϕ ex þ cos ϕ ey ez ¼ ez :

ðA:25Þ

424

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Abb. A.13 Differentielle Wegund Flächenelemente und Volumenelement im Zylinderkoordinatensystem

z dAz ρdφ

dAρ

dz r

dAφ

dρ y

x

Ortsvektor (Abb. A.12): r ¼ ρ eρ þ z ez :

ðA:26Þ

Differentielles Wegelement (A.20) mit (A.24): ds ¼ dρ eρ þ ρ dϕ eϕ þ dz ez :

ðA:27Þ

Differentielle Flächenelemente (A.21): dAρ ¼ ρ dϕ dz eρ dAϕ ¼ dρ dz eϕ

ðA:28Þ

dAz ¼ ρ dρ dϕ ez : Differentielles Volumenelement (A.22) mit (A.24) (Abb. A.13): dV ¼ ρ dρ dϕ dz:

ðA:29Þ

A.3.4 Kugelkoordinatensystem Transformation (Abb. A.14): x ¼ xðr; θ; ϕÞ ¼ r sin θ cos ϕ y ¼ yðr; θ; ϕÞ ¼ r sin θ sin ϕ z ¼ zðr; θ; ϕÞ ¼ r cos θ:

ðA:30Þ

A. Mathematische Grundlagen und Formeln a

425 b

z

z

q = const.

P (rp, qp, fp)

qp

rp

er

ef eq

fp

y

y

x

x

r = const.

f = const.

Abb. A.14 Punkt P im Kugelkoordinatensystem (a) Koordinatendarstellung, (b) Koordinatenflächen ρ, ϕ, z ¼ const.

Metrische Koeffizienten (A.17): s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2  2  2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ∂x ∂y ∂z ¼ ð sin θ cos ϕÞ2 þ ð sin θ sin ϕÞ2 þ ð cos θÞ2 h1 ¼ hr ¼ þ þ ∂r ∂r ∂r sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2  2  2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ∂x ∂y ∂z h2 ¼ hθ ¼ þ þ ¼ ðr cos θ cos ϕÞ2 þ ðr cos θ sin ϕÞ2 þ ð
r sin θÞ2 ∂θ ∂θ ∂θ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2  2  2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ∂x ∂y ∂z h3 ¼ hϕ ¼ þ þ ¼ ð
r sin θ sin ϕÞ2 þ ðr sin θ cos ϕÞ2 þ 02 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

hr ¼ 1,

hθ ¼ r,

hϕ ¼ r sin θ:

Basisvektoren (A.19): e1 ¼ er ¼

1 ∂r hr ∂r

e2 ¼ eθ ¼

1 ∂r hθ ∂θ

e3 ¼ eϕ ¼

1 ∂r hϕ ∂ϕ

ðA:31Þ

426

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Abb. A.15 Differentielle Wegund Flächenelemente und Volumenelement im KugelKoordinatensystem

z r sinqdf dr

r

r dq

dr

dAr dAf

dAq y

x

er ¼ sin θ cos ϕ ex þ sin θ sin ϕ ey þ cos θ ez eθ ¼ cos θ cos ϕ ex þ cos θ sin ϕ ey
sin θ ez eϕ ¼
sin ϕ ex þ cos ϕ ey :

ðA:32Þ

Ortsvektor (Abb. A.14): r ¼ r er :

ðA:33Þ

Differentielles Wegelement (A.20) mit (A.31): ds ¼ dr er þ r dθ eθ þ r sin θ dϕ eϕ :

ðA:34Þ

Differentielle Flächenelemente (A.21) mit (A.31): dAr ¼ r2 sin θ dθ dϕ er dAθ ¼ r sin θ dr dϕ eθ

ðA:35Þ

dAϕ ¼ r dr dθ eϕ : Differentielles Volumenelement (A.22) mit (A.31) (Abb. A.15): dV ¼ r2 sin θ dr dθ dϕ:

ðA:36Þ

A.3.5 Koordinatentransformation Gegeben seien zwei Koordinatensysteme L und M mit den Basen e1L , e2L , e3L (System L) und e1M , e2M , e3M (System M). Ein Vektor A im Raum hat in den beiden Koordinatensystemen L und M unterschiedliche Komponenten, die mit AL und AM bezeichnet werden sollen.

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

427

Die i-te Komponente von AL (System L) aus den Komponenten von AM (Systems M) erhält man durch Skalarmultiplikation mit dem entsprechenden Einheitsvektor eiL, d. h.: AiL ¼ AM  eiL ¼ A1M e1M  eiL þ A2M e2M  eiL þ A3M e3M  eiL : In Matrixschreibweise: h i h i AL ¼ eiL  ejM  AM ¼ T M!L  AM ; i, j ¼ 1, 2, 3: ij h i Mit der Transformationsmatrix: T M!L (Transformation von M nach L). ij Beispiel A.1: Kartesische Koordinaten → Zylinderkoordinaten

        Aρ ¼ Ax ex þ Ay ey þ Az ez  eρ ¼ Ax ex  eρ þ Ay ey  eρ þ Az ez  eρ

mit: ex  eρ ¼ cos ϕ,

ey  eρ ¼ sin ϕ,

ez  eρ ¼ 0.

        Aϕ ¼ Ax ex þ Ay ey þ Az ez  eϕ ¼ Ax ex  eϕ þ Ay ey  eϕ þ Az ez  eϕ mit: (ex  eϕ) ¼
sin ϕ,

(ey  eϕ) ¼ cos ϕ,

(ez  eϕ) ¼ 0.

    Az ¼ Ax ex þ Ay ey þ Az ez  ez ¼ Ax ðex  ez Þ þ Ay ey  ez þ Az ðez  ez Þ mit: (ex  ez) ¼ 0, (ey  ez) ¼ 0, (ez  ez) ¼ 1 0 1 0 1 0 1 Aρ cos ϕ sin ϕ 0 Ax ) @ Aϕ A ¼ @
sin ϕ cos ϕ 0 A  @ Ay A. 0 0 1 Az Az Transformation der Einheitsvektoren: 0 1 0 1 1 eρ ¼ cos ϕ ex þ sin ϕ ey Ax Einsetzen: @ Ay A ¼ @ 1 A ergibt eϕ ¼
sin ϕ ex þ cos ϕ ey 1 Az e z ¼ ez :

A.4 Vektoranalysis A.4.1 Linienintegral Integration der tangentialen Komponente Aes des ortsabhängigen Vektors A(r) entlang eines Weges s im Raum ergibt ein Skalar φ:

428

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

A(ri)

Abb. A.16 Integration des Vektors A entlang des Weges s

P2 es,i

Ds s

ri

P1

Z φ¼

Z A  ds ¼

s

A  es ds:

ðA:37Þ

s

Das Integral kann als Grenzwert der unendlichen Summe über die infinitesimalen Wegelemente Δs ! 0 aufgefasst werden (Abb. A.16), d. h.: R P A  es ds ¼ lim Aðri Þ  es, i Δs. Δs!0

s

i!1

Ist der Integrationspfad s geschlossen (P1 ¼ P2), so bezeichnet man das Integral auch als Ringintegral oder Zirkulation und verwendet das Symbol I φ ¼ A  ds: ðA:38Þ s

Betrachtet man als Vektorfeld beispielsweise das homogene Kraftfeld Fg der Gravitation in Erdbodennähe, das auf eine Einheitsmasse wirkt (Abb. A.17), so ergibt das Linienintegral (A.37) die potenzielle Energie des K€orpers (Kraft  Weg) zwischen P1 und P2. Dementsprechend hat das Linienintegral den maximalen Wert φmax, wenn in jedem Punkt entlang s Fg || es, bzw. φ ¼ 0, wenn überall Fg ⊥ es. Bei einer konkreten Berechnung des Linienintegrals (A.37) entlang eines beliebigen Pfades s im Raum muss dieser im Allgemeinen in Parameterform vorliegen: s ¼ frðuÞj u1  u  u2 g: Das differentielle Wegelement ds ergibt sich aus dem totalen Differenzial über r(u) zu   ∂r ds ¼ du: ∂u Die explizite Form des Wegintegrals lautet damit: Zu2 φ ¼ u1



 ∂r AðrðuÞÞ  d u: ∂u

A. Mathematische Grundlagen und Formeln Abb. A.17 Linienintegral φ entlang Weg s. (a) φ ¼ φmax (b) φ ¼ 0

429

a

P1

b P1

s

P2

Fg

s

P2

Fg

Verläuft der Integrationsweg s parallel zu einer Koordinatenrichtung ui, so erhält man entsprechend (A.16) bzw. (A.20) mit dsi ¼ hi dui ei: Zu2 φ ¼

A  e i hi d ui : u1

Beispiel A.2: Wegintegral entlang eines Kreisbogens

In einem homogenen Feld A ¼ A ex soll das Wegintegral Z A  ds

φ ¼ s

entlang eines Kreisbogens s mit dem Radius ρ, definiert durch den Anfangs- und Endwinkel ϕ1 und ϕ2 (Zylinderkoordinaten), berechnet werden. Wegelement in ϕ-Richtung entlang Kreisring (A.27): ds ¼ ρ dϕ eϕ : Durch Einsetzen erhält man mit ex  eϕ ¼
sin ϕ Z φ¼

Zϕ2 A  ds ¼

s


Aρ

sin ϕ dϕ ¼ A ρ ð cos ϕ2
cos ϕ1 Þ: ϕ1

Für den geschlossenen Ring (ϕ1 ¼ ϕ2) folgt unmittelbar: I A  ds ¼ 0:

φ¼ s

Diese gilt allgemein für die Klasse der konservativen Felder, zu den das homogene Feld zählt.

430

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

A.4.2 Oberflächenintegral (Vektorfluss) Integration des ortsabhängigen Vektors B(r) über eine Fläche A im Raum, d. h. die in jedem Punkt zu A normale Komponente Ben ergibt den sog. Vektorfluss Ψ: ZZ

ZZ B  dA ¼

Ψ ¼ A

B  en dA:

ðA:39Þ

A

Das Integral kann als Grenzwert der unendlichen Summe über die infinitesimalen Oberflächenelemente ΔA ! 0 aufgefasst werden (Abb. A.18), d. h.: ZZ B  en dA ¼ lim

ΔA!0

A

X

Bðri Þ  en, i ΔA:

i!1

Ist die Integrationsfläche A geschlossen, so bezeichnet man das Integral auch als H€ ullenintegral und verwendet das Symbol ðð Ψ ¼  B  dA:

ðA:40Þ

A

Zur Veranschaulichung des Flussintegrals (A.39) dient beispielsweise das Geschwindigkeitsfeld v(r) einer Wasserstr€omung. Das Flussintegral (A.39) über v ist in diesem Fall der pro Zeiteinheit durch die Fläche hindurchtretende Rauminhalt. Dementsprechend hat der Fluss den maximalen Wert Ψmax, wenn in jedem Punkt auf der Fläche v || en, bzw. Ψ ¼ 0, wenn überall v ⊥ en (Abb. A.19). Bei einer konkreten Berechnung des Oberflächenintegrals (A.39) auf einer beliebigen Fläche A im Raum muss diese im Allgemeinen in Parameterform vorliegen:

Abb. A.18 Integration des Vektors B über eine Oberfläche A

B(ri)

en,i DAi

ri

A

A. Mathematische Grundlagen und Formeln Abb. A.19 Vektorfluss ψ durch Fläche A (a) ψ ¼ ψmax (b) ψ ¼ 0

431

a)

b) dA A

dA A

 A¼

v

v

   u1  u  u2  : rðu; vÞ v1  v  v2

Das vektorielle Flächenelement dA ergibt sich aus dem Kreuzprodukt (A.8) der beiden Wegelemente, die durch das entsprechende totale Differenzial über den parametrisierten Ortsvektor r(u,v) gegeben sind:  dA ¼

 ∂r ∂r  d u d v: ∂u ∂v

Die explizite Form des Wegintegrals lautet damit: 

Zv2 Zu2 Ψ ¼

Bðrðu; vÞÞ v1

u1

 ∂r ∂r  d u d v: ∂u ∂v

Ist die Integrationsfläche Teil einer Koordinatenfl€ache ui ¼ const., so erhält man entsprechend (A.16) bzw. (A.21) mit dAi ¼ hj hk duj duk ei: Zuk, 2 Zuj , 2 Ψ ¼

Bðrðui ; uk ÞÞ hj hk duj duk ei : uk , 1

uj , 1

Beispiel A.3: Vektorfluss durch Zylindermantelfläche

In einem homogenen Feld B ¼ B ei soll das Flächenintegral ZZ B  dA

Ψ¼ A

über einen Teil der Zylindermantelfläche mit Radius ρ und z ¼ 0. . .h, definiert durch den Anfangs- und Endwinkel ϕ1 und ϕ2 (Zylinderkoordinaten), berechnet werden.

432

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Flächenelement in ρ-Richtung auf dem Zylinder (A.28): dAρ ¼ ρ dϕ dz  eρ : Durch Einsetzen erhält man mit ex  eρ ¼ cos ϕ Zh Zϕ2

ZZ B  dA ¼ B ρ

Ψ¼

cos ϕ dϕ dz ¼ B ρ h ð sin ϕ2
sin ϕ1 Þ: z¼0

A

ϕ1

Für den vollständigen Zylindermantel (ϕ1 ¼ ϕ2) folgt unmittelbar: ZZ B  dA ¼ 0:

Ψ¼ A

Der durch den Zylindermantel eintretende Fluss ist gleich dem austretenden Fluss. Dies gilt allgemein für jede geschlossene Hülle in sog. quellenfreien Feldern, zu den das homogene Feld zählt.

A.4.3 Volumenintegral Integration der ortsabhängigen skalaren Dichtefunktion q(r) innerhalb eines Volumens V ergibt die Gesamtmenge Q: ððð Q ¼

ρ dV ¼ lim

ΔV !0

V

X

qðri Þ ΔV i :

ðA:41Þ

i!1

Das Integral kann als Grenzwert der unendlichen Summe über die infinitesimalen Volumenelemente ΔV ! 0 aufgefasst werden (Abb. A.20). Das Skalarfeld q(r) ist häufig eine Dichtefunktion, wie z. B. der Ladung. Das Volumenintegral ergibt dann die im Volumen V insgesamt befindliche Ladung Q. Bei einer konkreten Berechnung des Integrals (A.41) über ein beliebiges Volumen V muss dieser im Allgemeinen in Parameterform (u,v,w) vorliegen. Das Volumenelement dV ergibt sich dann durch das Spatprodukt (A.10) der drei durch die entsprechenden totalen Differentiale gegebenen Wegelemente (Betrag der Funktional- bzw. Jacobi Determinante):    ∂ðx; y; zÞ    du dvd w: dV ¼  ∂ðu; v; wÞ

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

433

Abb. A.20 Integration der Quelldichte q über ein Volumen V

q(r) DVi ri

V

Die explizite Form des Volumenintegrals lautet damit: Zw2 Zv2 Zu2 Q ¼ w1

v1

u1

   ∂ðx; y; zÞ    du dvd w: qðu; v; wÞ  ∂ðu; v; wÞ

Fallen die Begrenzungen des Integrationsvolumens V mit den Koordinatenfl€achen ui ¼ const. zusammen, so erhält man entsprechend (A.16) bzw. (A.21) mit dV ¼ hi hj hk dui duj duk: Zuk, 2 Zuj, 2 Zui, 2 Q ¼

qðu1 ; u2 ; u3 Þ hi hj hk dui duj duk : uk , 1

u j, 1

ui, 1

Beispiel A.4: Integration über Kugelvolumen

Für eine homogene Ladungsdichte-Funktion q ¼ q0 (θ  π/2) und q ¼
q0 (θ > π/2) soll das Volumenintegral ððð Q ¼

q dV V

über einen Teil eines Kugelvolumens mit Radius R, θ ¼ θ1. . .θ2 und ϕ ¼ 0. . .2π berechnet werden. Volumenelement in Kugelkoordinaten (A.35): dV ¼ r2 sin θ dr dθ dϕ: Einsetzen ergibt beispielsweise für die obere Halbkugel (θ1 ¼ 0, θ2 ¼ π/2): 2 π R3 q0 Q¼ 3

Zθ2 sin θ d θ ¼ θ1

2 π R3 2 π R3 q0 ð cos 0
cos π=2Þ ¼ q0 3 3

434

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

und für die ganze Kugel (θ1 ¼ 0, θ2 ¼ π) mit q ¼  q0 0

1 Zπ=2 Zπ 3 2πR B 2 π R3 C 2πR q0 @ sin θ dθ
q0
q0 ð cos π=2
cos πÞ ¼ 0: Q¼ sin θ d θA ¼ 3 3 3 3

0

π=2

In diesem Fall ist die Summe aus den beiden gleich großen aber entgegengesetzten Ladungen in der oberen und unteren Halbkugel gleich Null.

A.4.4 Skalare Differentiation von Vektoren Differentiation eines Vektors A nach einer Variablen x: ∂Ay ∂A ∂Ax ∂Az ¼ ex þ ey þ ez : ∂x ∂x ∂x ∂x Bei einem Skalar- oder Vektorprodukt zweier Vektoren A und B wendet man die Produktregel der Differenzialrechnung an, d. h.: ∂ðA  BÞ ∂A ∂B ¼ BþA , ∂x ∂x ∂x bzw. ∂ðA  BÞ ∂A ∂B ¼ BþA : ∂x ∂x ∂x

A.4.5 Der Gradient Für ein Skalarfeld in einem beliebigen Koordinatensystem φðrÞ ¼ φðu1 ; u2 ; u3 Þ beträgt die infinitesimale Änderung dφ bei Verschiebung um ein Wegelement ds ¼ ds1e1 + ds2e2 + ds3e3:

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

dφ ¼

435

∂φ ∂φ ∂φ ds1 þ ds2 þ ds3 : ∂s1 ∂s2 ∂s3

Mit dsi ¼ hi dui (A.16) resultiert dφ ¼

1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ ds1 þ ds2 þ ds3 : h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3

Das Wegelement ds lässt sich durch das Skalarprodukt  dφ ¼

1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ e1 þ e2 þ e3 h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3

  ds ≔

grad φ  ds

ðA:42Þ

von den Ableitungen trennen und definiert den vollständigen vektoriellen Differentialausdruck als Gradient von φ: grad φ ≔

1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ e1 þ e2 þ e3 Gradient von φðVektorÞ: h1 ∂u1 h2 ∂u2 h3 ∂u3

ðA:43Þ

Demzufolge erhält man die maximale Änderung von dφ bei ds || grad φ. Der Gradient steht deshalb stets senkrecht auf den Niveaulinien φ ¼ const. und gibt die Richtung und den Wert der st€ arksten Änderungsrate von φ an (Abb. A.21). Für die Änderungsrate von φ in jede andere Richtung, gegeben durch den Einheitsvektor en erhält man en  grad φ 

∂φ ∂n

ðRichtungsableitung Þ:

ðA:44Þ

Zur Veranschaulichung des Gradienten dient beispielsweise ein Temperaturfeld T(r) oder auch die relative H€ohe über Meeresspiegel h(r). In jedem Punkt erhält man durch grad T bzw. grad h Richtung und Betrag der stärksten Temperatur- bzw. H€ohenzunahme. Abb. A.21 Der Gradient von φ

grad j

.

ds j = const.

436

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Im elektrischen Potentialfeld φ(r) mit der Einheit Volt ergibt
grad φ ≕ E die elektrische Feldstärke E (Volt/Meter), d.h. Richtung und Betrag des stärksten Potenzialgef€alles. Der Gradient erzeugt also allgemein aus einem Skalarfeld φ das Vektorfeld E. Skalarfeld φðrÞ

! grad

Vektorfeld EðrÞ

Durch Einsetzen der entsprechenden Metrikfaktoren (A.18), (A.24), (A.31) in (A.43) erhält man die expliziten Formeln für das kartesische, zylindrische und sphärische Koordinatensystem: Kartesische Koordinaten (h1 ¼ h2 ¼ h3 ¼ 1): grad φ ¼

∂φ ∂φ ∂φ ex þ ey þ ez ∂x ∂y ∂z

ðA:45Þ

Zylinderkoordinaten (h1 ¼ h3 ¼ 1, h2 ¼ ρ): grad φ ¼

∂φ 1 ∂φ ∂φ eρ þ eϕ þ ez ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z

ðA:46Þ

Kugelkoordinaten (h1 ¼ 1, h2 ¼ r, h3 ¼ r  sin θ): grad φ ¼

∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ er þ eθ þ eϕ ∂r r ∂θ r  sin θ ∂ϕ

ðA:47Þ

A.4.6 Die Divergenz Ein wichtiges Merkmal für ein Vektorfeld ist das Vorhandensein von Quellen bzw. Senken, d.h. Orte aus denen Feldlinien entspringen bzw. in denen sie enden. Zur Quantifizierung der innerhalb eines Gebietes ΔV enthaltenen Quellenmenge oder -stärke ΔQ dient das Hüllenintegral (A.40) des Vektors D über die Oberfläche (mathematisch der Rand ∂) von ΔV: ðð ΔQ ¼  D  dA:

ðA:48Þ

∂ðΔV Þ

Hierbei ist gemäß dem Vorzeichenwechsel des Skalarproduktes DdA bei Einstr€omen der Feldlinien in ΔV hinein auch eine Senke (negative Quelle) erfasst. Gl. (A.48) entspricht

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

437

genau dem Gaußschen Gesetz (1.40), in dem Q für die Ladung und D für die elektrische Flussdichte steht. Ähnlich wie für die Masse oder die Ladung lässt sich durch Division von (A.48) durch ΔV und Grenzübergang ΔV ! 0 eine räumliche Quellendichte ðð ΔQ 1 q ¼ lim ¼ lim  D  dA ΔV !0 ΔV ΔV !0 ΔV ∂ðΔV Þ

definieren und nennt diese Operation die Divergenz des Vektorfeldes D: ðð 1  D  dA ΔV !0 ΔV

divD ≔ lim

Divergenz ðSkalarÞ:

ðA:49Þ

∂ðΔV Þ

Wie in Abb. A.22a veranschaulicht, ist die Divergenz in einem quellenfreien Gebiet Null, wie z. B. in einem homogenen Feld. Der insgesamt in das Volumen ΔV einstr€omende (negative) Vektorfluss ist gleich der Menge des ausstr€omenden Flusses (positiv). Dagegen resultiert für ein Gebiet, in dem sich Quellen befinden, d. h. aus dem zusätzliche Feldlinien entspringen bzw. Feldlinien münden, eine nicht verschwindende Divergenz (Abb. A.22b). Der insgesamt in das Volumen ΔV einstr€omende Vektorfluss ist in diesem Fall ungleich dem ausstr€ omenden. Die Anwendung der Divergenzoperation auf ein Vektorfeld D erzeugt also ein Skalarfeld q. Vektorfeld DðrÞ

div

!

Skalarfeld qðrÞ

Für die konkrete Berechnung der Divergenz nach der Definition (A.49) in einem krummlinigen, orthogonalen Koordinatensystem wird zunächst jeweils der Nettofluss aus einem Volumenelement ΔV entlang der drei zueinander senkrechten Koordinatenrichtungen berechnet.

a

D

D

b

DV

DV divD = 0

divD ¹ 0

Abb. A.22 Die Divergenz von D. (a) In einem quellen(divergenz)freien Feld (b) in einem quellbehafteten Feld

438

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Abb. A.23 Zur Berechnung des Nettoflusses ΔΨ1 entlang der Koordinate u1

u3 u2 -DA1

DA1 u1 u1+Du1

u1

Für den Nettofluss ΔΨ1 entlang der Koordinate u1 setzt man unter Berücksichtigung der entgegengesetzten Richtung der beiden gegenüberliegenden Flächenelemente ΔA1 (Abb. A.23) an: ΔΨ1 ¼ Dðu1 þ Δu1 ; u2 ; u3 Þ  ΔA1
Dðu1 ; u2 ; u3 Þ  ΔA1 :

Für das Skalarprodukt DdA an dem vom Bezugspunkt (u1, u2, u3) um Δu1 verschobenen Ort setzt man eine Taylorreihe bis zum linearen Term an, d.h.: Dðu1 þ Δu1 ; u2 ; u3 Þ  ΔA1 ¼ Dðu1 ; u2 ; u3 Þ  ΔA1 þ

∂ðD  ΔA1 Þ Δu1 : ∂u1

Mit dem Flächenelement (A.21) ΔA1 ¼ h2 h3 Δu2 Δu3 e1 erhält man für den Nettofluss in Richtung u1: ΔΨ1 ¼

∂ðD  ΔA1 Þ ∂ Δu1 ¼ ðh2 h3 D1 Þ Δu1 Δu2 Δu3 : ∂u1 ∂u1

Analog erhält man für die anderen beiden Komponenten in Richtung u2 und u3: ΔΨ2 ¼

∂ ðh1 h3 D2 ÞΔu1 Δu2 Δu3 ∂u2

ΔΨ3 ¼

∂ ðh2 h1 D3 Þ Δu1 Δu2 Δu3 : ∂u3

Aus der Summe der drei zueinander orthogonalen Teilflüsse ΔΨi und Grenzübergang ΔV ! 0, d. h.

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

div D ¼ lim

ΔV !0

439

ðð 3 X 1 1  D  dA ¼ lim ΔΨi , ΔV !0 h1 h2 h3 Δu1 Δu2 Δu3 ΔV i¼1 ∂ðΔV Þ

erhält man schließlich die Berechnungsformel für die nach (A.49) definierte Divergenz in einem krummlinigen, orthogonalen Koordinatensystem: div D ¼



1 ∂ ∂ ∂ ð h2 h3 D 1 Þ þ ðh1 h3 D2 Þ þ ðh2 h1 D3 Þ : h1 h2 h3 ∂u1 ∂u2 ∂u3

ðA:50Þ

Für das kartesische, zylindrische und sphärische Koordinatensystem erhält man durch Einsetzen der entsprechenden Metrikfaktoren (A.18), (A.24), (A.31) in (A.50) die expliziten Formeln: Kartesische Koordinaten (h1 ¼ h2 ¼ h3 ¼ 1): div D ¼

∂Dy ∂Dx ∂Dz þ þ ∂x ∂y ∂z

ðA:51Þ

Zylinderkoordinaten (h1 ¼ h3 ¼ 1, h2 ¼ ρ):   1 ∂ ρ Dρ 1 ∂Dϕ ∂Dz þ þ div D ¼ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z

ðA:52Þ

Kugelkoordinaten (h1 ¼ 1, h2 ¼ r, h3 ¼ r  sin θ): div D ¼

1 ∂ðr2 Dr Þ 1 ∂ð sin θ Dθ Þ 1 ∂Dϕ þ þ r2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ

ðA:53Þ

A.4.7 Die Rotation Ein weiteres wichtiges Merkmal eines Vektorfeldes ist das Vorhandensein von Wirbeln, d. h. Orte in denen Feldlinien enthalten sind, die in sich geschlossen sind (Wirbelfeld). Zur Quantifizierung der in einem Vektorfeld H, innerhalb eines beliebig orientierten, ebenen Flächenelements ΔA enthaltenen Wirbelstärke ΔW dient das Zirkulationsintegral (A.38) entlang des Umfanges ∂(ΔA): I ΔW ¼ en

H  ds: ∂ðΔAÞ

ðA:54Þ

440

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Abb. A.24 Zirkulation ΔW zur Fläche ΔA

DW DA en

ds s

Die Richtung von ΔW steht senkrecht auf ΔA und ist im Rechtsschraubensinn zur Integrationsrichtung orientiert (Abb. A.24). Gl. (A.54) entspricht genau dem Ampereschen Durchflutungsgesetz (II0 , Kap. 4), in dem H für die magnetische Feldstärke und W für den durch ΔA fließenden Strom nach Betrag und Richtung steht. Die in einem Punkt auf die Fläche bezogene Wirbelstärke (Wirbeldichte) in en-Richtung erhält man aus (A.54) und Grenzübergang ΔA ! 0: w ¼ lim

ΔA!0

ΔW 1 ¼ lim en ΔA!0 ΔA ΔA

I H  d s:

ðA:55Þ

∂ðΔAÞ

Im Falle des Ampere’schen Durchflutungsgesetzes entspricht w der Stromdichte J in die gewählte en-Richtung. Die in einem Punkt insgesamt vorhandene Wirbeldichte erhält man durch vektorielle Addition von drei zueinander senkrechten Wirbeldichten, jeweils entsprechend Gl. (A.55) mit en ¼ ei (i ¼ 1,2,3), und nennt diese Operation die Rotation von H: rot H ¼

3 X i¼1

1 ΔAi !0 ΔAi

I

ei lim

H  ds

Rotation ðVektorÞ:

ðA:56Þ

∂ðΔAi Þ

Wie in Abb. A.25a) veranschaulicht, ist die Rotation in einem wirbelfreien Feld Null, wie z.B. in einem homogenen Feld. Die beiden horizontalen Beiträge der Zirkulation (A.54) heben sich aufgrund des Richtungswechsels von ds auf, während die beiden vertikalen Beiträge jeweils Null sind. Dagegen sind die beiden Horizontalbeiträge in dem wirbelbehafteten Feld in Abb. A.25b) unterschiedlich groß. Die Überlagerung aller einzelnen Wirbel führt zu einer Verstärkung bzw. Schwächung des Feldes in vertikaler Richtung. Die Anwendung der Rotation auf ein Vektorfeld H erzeugt also ein Vektorfeld w. Vektorfeld HðrÞ

rot

!

Vektorfeld wðrÞ

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

441

a

b H

H

rot H = 0

rot H ¹ 0

Abb. A.25 Die Komponente der Rotation von H senkrecht zur Zeichenebene. (a) In einem wirbelfreien Feld (b) in einem wirbelbehafteten Feld

Für die konkrete Berechnung der Rotation nach der Definition (A.56) in einem krummlinigen, orthogonalen Koordinatensystem wird jeweils die Wirbeldichte der drei zueinander senkrechten Koordinatenrichtungen berechnet und vektoriell addiert. Beispielsweise erhält man für das Umlaufintegral in der u1-Ebene (Abb. A.26):

I H  ds H 2 h2 Δu2
∂ðΔA1 Þ


H 3 h3 Δu3 þ

∂ðH 2 h2 Þ Δu3 Δu2 þ ∂u3

∂ ð H 3 h3 Þ H 3 h3 þ Δu2 Δu3 : ∂u2 H 2 h2 þ

Hierbei wird für das Produkt H2 h2 bzw. H3 h3 an dem vom Bezugspunkt (u1, u2, u3) um Δu2 bzw. Δu3 verschobenen Ort eine Taylorreihe bis zum linearen Term angesetzt. Vier Glieder heben sich auf und es verbleibt I H  ds ∂ðΔA1 Þ

∂ðH 3 h3 Þ ∂ðH 2 h2 Þ Δu2 Δu3
Δu3 Δu2 : ∂u2 ∂u3

Nach Division durch das Flächenelement ΔA1 ¼ h2 h3 Δu2 Δu3 und Grenzübergang erhält man für die Komponenten der Rotation in u1-Richtung: 1 ΔA1 !0 ΔA1

I H  ds ¼

lim

∂ðΔA1 Þ

¼

lim

Δu2 , Δu3 !0



1 ∂ðH 3 h3 Þ ∂ð H 2 h 2 Þ Δu2 Δu3
Δu2 Δu3 h2 h3 Δu2 Δu3 ∂u2 ∂u3

  1 ∂ðH 3 h3 Þ ∂ðH 2 h2 Þ
: h2 h3 ∂u2 ∂u3

Die analoge Berechnung der Komponenten in e2- und e3-Richtung ergibt insgesamt:

442

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Abb. A.26 Zur Berechnung des Wirbeldichte in Richtung der Koordinate u1

u3 h2Du2

u3+Du3

DA1 e1

h3Du3

u3 u2 u2+Du2

u1

u2





1 ∂ðH 3 h3 Þ ∂ðH 2 h2 Þ 1 ∂ðH 1 h1 Þ ∂ðH 3 h3 Þ e1 þ e2

h2 h3 ∂u2 ∂u3 h1 h3 ∂u3 ∂u1

1 ∂ðH 2 h2 Þ ∂ðH 1 h1 Þ e3 þ
h1 h2 ∂u1 ∂u2

rot H ¼

ðA:57Þ

oder in Determinantenform:   h1 e 1    ∂ 1  rot H ¼ h1 h2 h3  ∂u1   h H 1 1

h2 e 2 ∂ ∂u2 h2 H 2

 h3 e 3    ∂  : ∂u3   h H  3

ðA:58Þ

3

Für das kartesische, zylindrische und sphärische Koordinatensystem erhält man durch Einsetzen der entsprechenden Metrikfaktoren (A.18), (A.24), (A.31) in (A.57) die expliziten Formeln: Kartesische Koordinaten(h1 ¼ h2 ¼ h3 ¼ 1): rot H ¼

      ∂H y ∂H x ∂H z ∂H y ∂H x ∂H z


ex þ ey þ ez ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

ðA:59Þ

Zylinderkoordinaten(h1 ¼ h3 ¼ 1, h2 ¼ ρ):         ∂H ρ ∂H z ∂H ρ 1 ∂H z ∂H ϕ 1 ∂ ρHϕ


rot H ¼ eρ þ eϕ þ ez ðA:60Þ ρ ∂ϕ ρ ∂ρ ∂z ∂z ∂ρ ∂ϕ Kugelkoordinaten (h1 ¼ 1, h2 ¼ r, h3 ¼ r sin θ):

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

443

         ∂ H ϕ sin θ 1 ∂H θ 1 ∂H r 1 ∂ r Hϕ
eθ er þ
rot H ¼ ∂θ ∂ϕ r sin θ r sin θ ∂ϕ r ∂r   1 ∂ðr H θ Þ ∂H r eϕ þ
∂θ r ∂r

ðA:61Þ

A.4.8 Der Nabla-Operator Die Vektoroperationen grad, div und rot k€onnen formal als Anwendung des NablaOperators ∇ auf ein Skalarfeld φ oder ein Vektorfeld A angesehen werden: grad φ ¼ ∇φ divA ¼ ∇  A rot A ¼ ∇  A Am einfachsten geht dies in kartesischen Koordinaten, mit ∇¼

∂ ∂ ∂ ex þ ey þ ez ∂x ∂y ∂z

grad φ ¼ ∇φ ¼

∂φ ∂φ ∂φ ex þ ey þ ez ∂x ∂y ∂z

div A ¼ ∇  A ¼

∂Ax ∂Ay ∂Az þ þ ∂x ∂y ∂z

     rot A ¼ ∇  A ¼    

ex

ey

∂ ∂ ∂x ∂y

 ez    ∂  ¼ ∂z   A 

Ax Ay z       ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az


ex þ ey þ ez ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

Komplizierte Rechenoperationen der Vektoranalysis k€onnen mit dem Nabla-Operator durchgeführt werden (Nabla-Kalkül). ∇ ist ein linearer Operator, es gelten das Distributivgesetz und die Produktregel. Neben der differenzierenden Funktion ist ∇ auch ein Vektor.

444

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Anwendung auf die Summe zweier Felder gradðφ1 þ φ2 Þ ¼ ∇ðφ1 þ φ2 Þ ¼ ∇φ1 þ ∇φ2

ðA:62Þ

div ðA þ BÞ ¼ ∇  ðA þ BÞ ¼ ∇  A þ ∇  B

ðA:63Þ

rot ðA þ BÞ ¼ ∇  ðA þ BÞ ¼ ∇  A þ ∇  B

ðA:64Þ

Anwendung auf einfache Produkte grad ðφ1 φ2 Þ ¼ ∇ðφ1 φ2 Þ ¼ φ2 ∇φ1 þ φ1 ∇φ2 ¼ φ2 grad φ1 þ φ1 grad φ2

ðA:65Þ

div ðφ AÞ ¼ ∇  ðφ AÞ ¼ A  ∇φ þ φ∇  A ¼ A  grad φ þ φ div A

ðA:66Þ

rot ðφ AÞ ¼ ∇  ðφ AÞ ¼ ∇φ  A þ φ∇  A ¼ grad φ  A þ φ rot A

ðA:67Þ

Anwendung auf Skalar und Vektorprodukt ^

Die Kennzeichnung A gibt an, auf welche der beiden Vektoren der ∇-Operator gemäß Produktregel anzuwenden ist. ^   ^ grad ðA  BÞ ¼ ∇ A  B þ ∇ A  B ¼ B  ð∇  AÞ þ ðB  ∇ÞA þ A  ð∇  BÞ þ ðA  ∇ÞB gradðA  BÞ ¼ B  rotA þ ðB  gradÞA þ A  rotB þ ðA  gradÞB

ðA:68Þ

^   ^ Hierbei wurde für den Ausdruck ∇ A  B bzw. ∇ A  B die Rechenregel (A.12) für das doppelte Kreuzprodukt a  (b  c) ¼ b  (a  c)
c  (a  b)angewendet, d. h.: ^  B  ð∇  AÞ ¼ ∇ A  B
ðB  ∇ÞA  ^ A  ð∇  BÞ ¼ ∇ A  B
ðA  ∇ÞB ^ ^ ^ ^     div ðA  BÞ ¼ ∇  A  B þ ∇  A  B ¼ B  ∇  A
A  ∇  B

div ðA  BÞ ¼ B  rotA
A  rot B

ðA:69Þ

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

445

Hierbei wurde die zyklische Vertauschung (A.11) a  (b  c) ¼ c  (a  b) ¼ b  (c  a) angewendet. ^ ^   rot ðA  BÞ ¼ ∇  A  B þ ∇  A  B

¼ ðB  ∇ÞA
Bð∇  AÞ þ Að∇  BÞ
ðA  ∇ÞB rot ðA  BÞ ¼ ðB  gradÞA
B div A þ A div B
ðA  gradÞB

ðA:70Þ

Hierbei wurde die Rechenregel (A.12) für das doppelte Vektorprodukt angewendet.

A.4.9 Zweifache Vektoroperatoren Laplace-Operator Δφ ¼ ∇  ð∇φÞ       1 ∂ h2 h3 ∂φ ∂ h1 h3 ∂φ ∂ h1 h2 ∂φ ¼ þ þ h1 h2 h3 ∂u1 h1 ∂u1 ∂u2 h2 ∂u2 ∂u3 h3 ∂u3 Für das kartesische, zylindrische und sphärische Koordinatensystem erhält man durch Einsetzen der entsprechenden Metrikfaktoren (A.18), (A.24), (A.31) in (A.57) die expliziten Formeln: Kartesische Koordinaten (h1 ¼ h2 ¼ h3 ¼ 1): 2

Δφ ¼

2

2

∂ φ ∂ φ ∂ φ þ þ ∂x2 ∂y2 ∂z2

ðA:71Þ

Zylinderkoordinaten(h1 ¼ h3 ¼ 1, h2 ¼ ρ):   2 2 1 ∂ ∂φ 1 ∂ φ ∂ φ ρ þ Δφ ¼ þ 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ2 ∂z2

ðA:72Þ

Kugelkoordinaten (h1 ¼ 1, h2 ¼ r, h3 ¼ r sin θ): Δφ ¼

    2 1 ∂ 1 ∂ ∂φ 1 ∂ φ 2 ∂φ r sin θ þ þ r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ ∂θ r2 sin 2 θ ∂ϕ2

ðA:73Þ

446

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Rotation eines Gradientenfeldes Die Kombination von (A.58) mit (A.43) ergibt allgemein

∇  ð∇φÞ ¼

1 h1 h2 h3

  h1 e 1    ∂   ∂u1    ∂φ   ∂u1

h2 e 2 ∂ ∂u2 ∂φ ∂u2

 h3 e 3    ∂  ∂u3  ¼ 0,  ∂φ   ∂u3

unter der Voraussetzung, dass die Funktion φ analytisch ist, d. h. wenn gilt: 2

2

∂ φ ∂ φ ¼ : ∂ui ∂uj ∂uj ∂ui Es gilt also die Identität: rot ðgrad φÞ  0

Gradientenfelder sind wirbelfrei:

ðA:74Þ

Anschaulich kann man sich ein reines Gradientenfeld wie eine laminare Str€omung vorstellen, das von Quellen und Senken gespeist wird und deshalb keine Wirbel enthält. Divergenz der Rotation Durch Kombination von (A.50) mit (A.57) erhält man 



1 ∂ ∂ðh3 A3 Þ ∂ðh2 A2 Þ ∂ ∂ðh1 A1 Þ ∂ðh3 A3 Þ ∇  ð∇  A Þ ¼

þ h1 h2 h3 ∂u1 ∂u2 ∂u3 ∂u1

∂u2 ∂u3 ∂ ∂ðh2 A2 Þ ∂ðh1 A1 Þ þ
¼ 0: ∂u3 ∂u1 ∂u2 Sämtliche Glieder heben sich auf und man erhält die Identität: div ðrot AÞ  0

Wirbelfelder sind divergenz
ðquellenÞfrei:

ðA:75Þ

In einem reinen Wirbelfeld sind die Feldlinien stets in sich geschlossen, d. h. sie haben keine Quellen und Senken. Zweifache Rotation Mit der Regel (A.12) für das doppelte Vektorprodukt erhält man: ∇  ð ∇  A Þ ¼ ∇ð ∇  A Þ
ð ∇  ∇ Þ  A

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

447

rot ðrot AÞ ¼ gradðdiv AÞ
ΔA

ðA:76Þ

Anwendung des Δ-Operators auf einen Vektor A ΔA ¼ ∇  ∇A ¼ gradðdiv AÞ
rot ðrot AÞ Dieser Ausdruck besitzt nur in kartesischen Koordinaten die einfache Form:   ΔA ¼ ðΔAx Þ  ex þ ΔAy  ey þ ðΔAz Þ  ez ,

ðA:77Þ

mit 2

Δ¼

2

2

∂ ∂ ∂ þ 2 þ 2. 2 ∂x ∂y ∂z

A.5 Integralsätze A.5.1 Wegintegral eines Gradientenfeldes Für ein Gradientenfeld A ¼ grad φ ergibt das Linienintegral mit (A.42) Zb

Zb A  ds ¼

a

Zb ∇φ  ds ¼

a

dφ ¼ φðbÞ
φðaÞ, a

Zb grad φ  ds ¼ φðbÞ
φðaÞ :

ðA:78Þ

a

"

In einem Gradientenfeld ist der Wert eines Linienintegrals wegunabhängig, d. h. nur durch Anfangs- und Endpunkt bestimmt (konservatives Feld).

Daraus folgt für jedes geschlossene Linienintegral (Ringintegral), bei dem Anfangs- und Endpunkt identisch sind: I grad φ  ds ¼ 0:

ðA:79Þ

Das ist die integrale Formulierung der Wirbelfreiheit eines Gradientenfeldes nach Gl. (A.74).

448

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

A.5.2 Der Stokessche Integralsatz Betrachtet wird das Oberflächenintegral über das Vektorfeld rot E, das als unendliche Summe über alle infinitesimalen Flächenelemente ΔAi mit Normalen-Einheitsvektor ei aufgefasst werden kann (Abb. A.18): ZZ

ZZ rot E  dA ¼

A

X

ðrot EÞ  en dA ¼ lim

ΔAi !0

A

ðrot EÞi  en, i ΔAi :

i

Hierbei ist 1 ΔA!0 ΔA

I

en  rot E ¼ lim

E  ds ∂ðΔAÞ

die Komponente von rot E senkrecht zu ΔA, d.h. die Wirbeldichte (A.55) in dieser Richtung, und man erhält zunächst für das Flächenintegral über rot E die unendliche Summe über alle infinitesimalen Wirbeldichten über ΔAi: ZZ rot E  dA ¼ lim

ΔAi !0

A

X I i

E  ds:

∂ðΔAi Þ

Wie in Abb. A.27a für zwei angrenzende Flächenelemente ΔAi und ΔAj skizziert, heben sich in der Summe bis auf die Beiträge entlang des Randes von A alle inneren Ringintegrale aufgrund der gegensinnigen Integrationsrichtung auf und man erhält den Stokesschen Integralsatz: ZZ

I rot E  dA ¼

A

E  ds

Integralsatz von Stokes:

ðA:80Þ

∂A

Zu einer gegebenen Randlinie ∂A kann die zugeh€origen Fläche beliebige Formen haben (Abb. A.27b). "

Der Gesamtwirbel auf einer Fläche A ist gleich die Zirkulation entlang des Randes ∂A und unabhängig von der Form von A.

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

449

a)

b) A' DAi

DAj

A

¶A = ¶A' Abb. A.27 Zur Berechnung des Stokesschen Integralsatzes

Beispiel A.5: Beweis der Wirbelfreiheit von Gradientenfeldern

Mit dem Stokesschen Integralsatz lässt sich beispielsweise die Identität (A.74) rot ðgrad φÞ  0 allgemein und koordinatenunabhängig beweisen. Integration über eine beliebige Fläche A ergibt nach Anwendung des Stokesschen Integralsatzes (A.80) und der Regel (A.79) für ein Ringintegral über ein Gradientenfeld: ZZ I SIS rot ðgrad φÞ dA ¼ grad  ds ¼ 0. ∂A

A

Da dies gemäß des Stokesschen Integralsatzes für jede m€ogliche Fläche A zu einem gewählten Rand ∂A gilt, ist der Integrand (rotgradφ) selbst in jedem Punkt identisch Null.

A.5.3 Der Gaußsche Integralsatz Betrachtet wird das Volumenintegral über das Skalarfeld div D, das als unendliche Summe über alle infinitesimalen Volumenelemente ΔVi aufzufassen ist (Abb. A.28): ððð divD dV ¼ lim

ΔV i !0

V

X i

ðdiv DÞ ΔVi :

450

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

Abb. A.28 Zur Berechnung Gaußschen Integralsatzes

ΔVj en,j ΔVi

en,i

Durch Einsetzen der Definition (A.49) für die Divergenz ðð 1 div D ¼ lim D  dA ΔV !0 ΔV A

in die Summe erhält man für das Volumenintegral die unendliche Summe aller infinitesimalen Hüllenintegrale des Vektor D über die Volumenelemente ΔVi: ððð

X ðð X ðð divD dV ¼ lim  D  dA ¼ lim  D  en, i dA: ΔV i !0

V

i

ΔV i !0

∂V i

i

∂V i

Hierbei bezeichnet en,i den Normalen-Einheitsvektor auf den Oberflächen ∂Vi. Wie aus Abb. A.28 ersichtlich ist, heben sich alle inneren Teilflüsse, d. h. alle Teilflüsse angrenzender Flächenelemente (en,i ¼
en,j), auf und es verbleibt die Summe aller Teilflüsse auf der Oberfläche des Gesamtvolumens V. Man erhält somit den Gaußschen Integralsatz ððð ðð div D dV ¼ D  dA Integralsatz von Gauß: ðA:81Þ V

"

∂V

Die Summe aller Feldquellen und Senken in einem Volumen V ergibt den Hüllenfluss aus V.

Beispiel A.6: Beweis der Quellenfreiheit von Wirbelfeldern

Mit dem Gaußschen Integralsatz lässt sich beispielsweise die Identität (A.75) div rot D  0 allgemein und koordinatenunabhängig beweisen. Integration über ein beliebiges Volumen V ergibt nach sukzessiver Anwendung des Gaußschen und Stokesschen Integralsatzes (A.81) bzw. (A.80):

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

ððð

GIS

div ðrot DÞ dV ¼ V

451

ðð I SIS rot D  dA ¼

D  ds ¼ 0:

∂A!0

A

Hierbei ist A ¼ ∂V die geschlossene Oberfläche von V, die als Grenzfall einer ge€ offneten Oberfläche mit ∂A ! 0 im Stokesschen Satz behandelt werden kann. Da dies gemäß Gaußschen Integralsatzes für jedes Volumen V gilt, ist der Integrand selbst in jedem Punkt identisch Null.

A.5.4 Greensche Integralsätze Für ein Vektorfeld D ¼ φ1∇φ2 mit den beiden Skalarfeldern φ1, φ2 erhält man durch Einsetzen in den Gaußschen Integralsatz mit ∇  D ¼ ∇φ1  ∇φ2 þ φ1 Δφ2 nach der Produktregel (A.66) den 1. Greenschen Integralsatz: ððð

ðð ½grad φ1  grad φ2 þ φ1 Δφ2  dV ¼ ðφ1 grad φ2 Þ  dA:

ðA:82Þ

∂V

V

Vertauschen von φ1 und φ2und Subtraktion der beiden Integralsätze nach (A.82) ergibt den 2. Greenscher Integralsatz: ððð V

ðð ½φ1 Δφ2
φ2 Δφ1  dV ¼ ½φ1 grad φ2
φ2 grad φ1  dA:

ðA:83Þ

∂V

A.6 Hauptsatz der Vektoranalysis (Helmholtzsches Theorem) In einem Raumgebiet V ist ein Vektorfeld E(r) eindeutig bestimmt durch Angabe der Quellendichte :

div EðrÞ ¼ qðrÞ,

ðA:84Þ

Wirbeldichte :

rot EðrÞ ¼ wðrÞ

ðA:85Þ

und der Randbedingung für die Normalkomponente von E auf der Oberfläche ∂V (Abb. A.29):

452

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

en

Abb. A.29 Zum Hauptsatz der Vektoranalysis

V w(r)

E(r) q(r)

V

EðrÞ  en ¼ f ðrÞ,

r 2 ∂V ,

ðA:86Þ

Zur Veranschaulichung dient ein Hydrodynamisches Analogon: In einem Gefäß wird durch Quellen (Zuflüsse) bzw. Senken (Abflüsse) und Wirbel (Schaufelräder) ein stationäres Str€omungsfeld erzeugt. Die Lage und Stärke aller Quellen und Wirbel sowie die Randbedingungen auf den Wänden legen das sich einstellende Str€ omungsfeld in dem Gefäß eindeutig fest. Der Beweis geht von der Annahme von zwei L€osungen E1 und E2 aus, die jeweils die gleiche Quellen- und Wirbeldichte (A.84), (A.85) haben, sowie die Randbedingung (A.86) erfüllen. Mit rot E1 ¼ rot E2 ¼ w bzw. rot (E1
E2) ¼ 0 gilt gemäß der Identität rot (grad u)  0 (A.74): (E1
E2) ¼ grad u, mit einer Skalarfunktion u. Einsetzen in den 1. Greenschen Integralsatz (A.82) mit φ1 ¼ φ2 ¼ u ergibt ððð h ðð i ðgrad uÞ2 þ u Δu dV ¼ ðu grad uÞ  dA: V

A

Aufgrund der gleichen Quellendichte div E1 ¼ div E2 ¼ q beider Felder ergibt sich für Δu ¼ div ðgrad uÞ ¼ div ðE1
E2 Þ ¼ 0: Das Hüllenintegral ðð ðð ðu grad uÞ  dA ¼  u ðE1
E2 Þ  en dA ¼ 0 A

A

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

453

verschwindet ebenfalls, da beide Felder die Randbedingung (A.86) erfüllen, d.h. E1 en ¼ E2 en. Übrig bleibt die Beziehung ððð ðgrad uÞ2 dV ¼ 0, V

die aufgrund (grad u)2  0 nur erfüllt werden kann wenn der Integrand grad u ¼ E1
E2 identisch Null ist, d. h. also E1 ¼ E2 , was im Widerspruch zu der Annahme zweier unterschiedlicher L€osungen steht. "

Ein Vektorfeld ist durch Angabe seiner Quellen und Wirbel, sowie der Randbe€sungsgebiets eindeutig festgelegt. dingung auf den Grenzen des Lo

Insofern erfüllen die vier Maxwell-Gleichungen I–IV mit jeweils einer Divergenz- und einer Rotationsgleichung für das elektrische und magnetische Vektorfeld genau diese Aufgabe. Die Mannigfaltigkeit der L€osungen ergibt sich durch ihre gegenseitige Kopplung und durch unterschiedliche Randbedingungen.

A.7 Übungsaufgaben UE-A.1 Koordinatentransformation – kartesisch/sphärisch Leiten Sie die Transformationsvorschriften für die Komponenten eines Vektors A von Kugelkoordinaten ins kartesische Koordinatensystem her. UE-A.2 Integrationsaufgaben a) Berechnen Sie für das homogene Vektorfeld B ¼ B 0 ez den Fluss RR Ψ ¼ B(r)  dA durch den Teil einer Kugeloberfläche A mit dem Radius r, ϕ ¼ 0. . .2π und θ ¼ 0. . .θe. Wie groß ist der Fluss durch die gesamte Kugeloberfläche? b) Berechnen Sie den Ladungsinhalt Q in einem Würfel mit Kantenlänge l und einer Ladungsverteilung   z qðrÞ ¼ q0 : l=2

454

zu a)

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

B0 ez

z

zu b)

dA A qe

l/2 l/2

y x

z

q(r)

l/2

y x

c) Berechnen Sie für das Vektorfeld A ¼ (Ax, Ay, Az) ¼ (2 x, 3x y,
z2). das Linienintegral R φ ¼ sA  d s entlang der vorgegebenen Raumkurve: s ¼ {r(u)| 0  u  1}, mit r ¼ (x, y, z) ¼ (3, 2u + 3, u). d) Berechnen Sie für das Vektorfeld B ¼ (Bx, By, Bz) ¼ (2x, 3x y,
y) den Vektorfluss RR Ψ¼ AB dA durch die vorgegebene offene Raumfläche: A ¼ {r(u, v)| 0  u  1, 0  v  2}, mit r ¼ (x, y, z) ¼ (uv, u2v,
2). UE-A.3 Berechnung des Gradienten a) grad (3x2 + 2yz) b) grad (ρ z2 sin ϕ) c) grad (r2 sin θ cos ϕ) UE-A.4 Berechnung der Divergenz a) div (sinx ex + cos y ey + tan z ez)   sin ϕ e þ cos ϕ e þ z e b) div ρ ϕ z ρ2   sin θ e þ cos ϕ e þ r e c) div r θ ϕ r2 UE-A.5 Berechnung der Rotation a) rot (x2 ex + xy ey + y2z ez) b) rot (ρ eρ + sin ϕ eϕ + z ez)   c) rot 1r er þ sin θ eθ þ cos ϕ eϕ

A. Mathematische Grundlagen und Formeln

455

UE-A.6 Zweifache Differentialoperatoren a) Zeigen Sie, dass gilt: Δð1=rÞ ¼ 0, f€ ur r 6¼ 0, wenn r der Abstand vom Koordinatenursprung ist. b) Verifizieren Sie die Beziehung div (rot A)  0 explizit am Beispiel des Vektorfeldes A ¼ x y2z ex + (y + x) ey + z2 cos x ez. UE-A.7 Integralsätze a) Verifizieren Sie für das Vektorfeld Dðx; y; zÞ ¼ den Gaußschen Integralsatz

x ex þ y ey þ z ez x2 þ y2 þ z 2

ÐÐ  D dV ¼ ∂V K D  d A für ein kugelf€ ormiges Volumen VK mit dem Radius R. ÐÐÐ

VK ∇

Hinweis: Verwenden Sie ein geeignetes Koordinatensystem! b) Verifizieren Sie für das Vektorfeld H(ρ, ϕ, z) ¼ ρ eϕ den Stokesschen Integralsatz H RR A (∇  Η)  d A ¼ ∂A Η  d s für eine Kreisfläche A mit dem Radius R in der ρ-ϕ-Ebene.

B. Lösungen zu den Übungsaufgaben

Im folgenden sind für die am Ende der Kapitel 1-7 und Anhang A aufgeführten Übungsaufgaben die L€osungen angegeben.

B.1 Elektromagnetische Feldtheorie UE-1.1: r¼

m v0 Q B

ðLamor-RadiusÞ

UE-1.2: qð r Þ ¼ Q 1 δð r
r 1 Þ þ Q 2 δð r
r 2 Þ þ Q 3 δð r
r 3 Þ þ Q 4 δð r
r 4 Þ mit r1 ¼ (2, 2)T, r2 ¼ (1,
2)T, r3 ¼ (
1,
2)T, r4 ¼ (1,
1)T a) Qges ¼ 4Q b) Qges ¼ 0 UE-1.3: a) I x ðxÞ ¼ I x ðx þ ΔxÞ þ κhb U 0 Δx ¼
κ hb U 0 , mitI x ðxÞjx¼l ¼ 0 I x ðxÞ ¼ κbh U 0 ðl
xÞ   c) I x ðxÞ ¼ U 0 R1 þ κbhðl
xÞ

b)

d dx I x ðxÞ

UE-1.4:

tan α1 ε1 π ¼ . Für ε2 ε1 : α1 ! 0, α2 ! 2 tan α2 ε2 tan α1 μ1 π ¼ . Für μ2 μ1 : α1 ! 0, α2 ! Für H: 2 tan α2 μ2

Für E:

# Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2018 M. Leone, Theoretische Elektrotechnik, https://doi.org/10.1007/978-3-658-18317-2

457

€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

458

UE-1.5:

8 t U0 < t 0 a) Eðt Þ ¼ E ðt Þez , mit E ðt Þ ¼ d : 1

0  t  t0

t > t0 8 1 0  t  t0 ερU0 < t0 Hðρ; t Þ ¼ H ðρ; t Þ eϕ , mit H ðρ; t Þ ¼ 2d : 0 t > t0 8 8 2 >1 2< 2 2< t 2 4 0  t  t0 επa U0 με πa U0 t0 t 20 b) W E ðt Þ ¼ , W M ðt Þ ¼ > 2d : 16 d : 1 t > t0 0

0  t  t0 t > t0

c) S(ρ, t) ¼ S(ρ, t) (
eρ), d. h. S zeigt in den Kondensator hinein. 8t 2< ε a U 0 t2 0  t  t0 S ðρ ¼ a; t Þ ¼ 0 2 d2 : 0 t > t0 8t ε a2 π U 20 < t 2 0  t  t 0 P ðt Þ ¼ 0 : d 0 t > t0 8t d ε a2 π U 20 < t 2 0  t  t 0 d) Pðt Þ ¼ ðW E þ W M Þ ¼ 0 : dt d 0 t > t0 UE-1.6: μ ρ ∂H a) Eðρ; t Þ ¼ Eðρ; t Þ eϕ , mit Eðρ; t Þ ¼
2 ∂t  2 2 ε μ 2 ∂H ðt Þ μ b) wE ðt Þ ¼ ρ und wM ðt Þ ¼ H 2 ðt Þ ∂t 2 8 c) wE ðt Þ ¼

ε μ2 2 2 2 μ ρ ω H 0 und wM ðt Þ ¼ H 0 2 4 16

   w ðt Þ  a ω 2 a 2  E  ¼ π > ; ρ1  ρ < ρ2 > ε1 > > ρ > < ln ðρ1 =ρ2 Þ þ ε ln ðρ2 =ρ3 Þ 2 : c) E ρ ðρÞ ¼ > U 1 0 > > ; ρ  ρ  ρ > 2 3 > ε2 > : ln ðρ1 =ρ2 Þ þ ln ðρ2 =ρ3 Þ ρ ε1 2π l C¼ 1 1 ε1 ln ðρ1 =ρ2 Þ þ ε2 ln ðρ2 =ρ3 Þ d) C ¼

1 ε1

!

2π l ln ðρ1 =ρ2 Þ þ ε12 ln ðρ2 =ρ3 Þ

UE-2.5: q2 b2 þ B2 und E1 (x) ¼ 0 2 ε0 q q q Bereich 2: φ2 ðxÞ ¼ 2 x2 þ 2 b x þ B2 und E2 ðxÞ ¼
2 ½x þ b ex 2 ε0 ε0 ε0 q1 2 q1 q1 Bereich 3: φ3 ðxÞ ¼
x þ a x þ B2 und E3 ðxÞ ¼ ½ x
a ex 2 ε0 ε0 ε0 q a2 Bereich 4: φ4 ðxÞ ¼ 1 þ B2 und E4 (x) ¼ 0 2 ε0 Das Potential ist bis auf B2 bestimmt. Zur Gewährleistung von φ(0) ¼ 0 kann B2 ¼ 0 gesetzt werden. Bereich 1: φ1 ðxÞ ¼


€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

461

UE-2.6: h x2 þ ðy þ hÞ2 a) φges ðx; yÞ ¼ E 0 y
ln 2 ln ð2h=R0 Þ x2 þ ðy
hÞ2    h hþy ln b) φges ðx ¼ 0; yÞ ¼ E 0 y
ln ð2h=R0 Þ h
y   2h2 1 E ðx ¼ 0; yÞ ¼ E 0 1
ln ð2h=R0 Þ h2
y2 c) η ¼ 0, 269 bei y ¼ 0, 9h η ¼ 0, 759 bei y ¼ 0

!!

UE-2.7: ql φ1
φ2       2 q r 2d 1 d1 þ d2 1
ε
β1 ln mit φ1 ¼
2π lε ln 0 þ α1 ln , α1 ¼ 1þε r , β1 ¼ r r r r 0 b b b 1 þ εr       εr
1 2εr ql r0 2d 2 d1 þ d2 , β2 ¼
α2 ln þ β2 ln und φ2 ¼
2π ε ε
ln , α2 ¼ rb rb rb 0 r εr þ 1 εr þ 1 π ε0 0  Kapazitätsbelag einer Doppelleitung im Freiraum b) εr ¼ 1 : C ¼  d1 þ d2 ln r0 2π ε0 0 εr ! 1 : C ¼   Kapazitätsbelag einer Leitung über leitender Ebene 2d 1 ln r0 0

a) C ¼

UE-2.8: a)

y

R

ql rs

rq j=0

x

€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

462

!  2   x q
x þ y2 xq
R ql ql ln  ln b) φðx; yÞ ¼
þ 2 4πε 2π ε R
R2 =xq x
R2 =xq þ y2 ! x
xq x
R2 =xq ql c) E x ðx; yÞ ¼
   2 2 π ε x
xq 2 þ y2 x
R2 =xq þ y2 ! ql y y E y ðx; yÞ ¼
   2 2 π ε x
xq 2 þ y2 x
R2 =xq þ y2 d) rq ¼ R + Δr und rs R
Δr Entsprechend der Spiegelung an einer ebenen Wand, haben die Linien- und Spiegelladung den gleichen Abstand von der Wand. UE-2.9: a) A

-Q

y

+Q

r1

r0 a a

r2

a a

x r2

+Q

b) φðrÞ ¼

B

-Q

  Q 1 1 1 1 þ

4π ε jr
r0 j jr
r2 j jr
r1 j jr
r3 j

! Q r
r0 r
r2 r
r1 r
r3 EðrÞ ¼ þ

4π ε jr
r0 j3 jr
r2 j3 jr
r1 j3 jr
r3 j3 mit r ¼ x ex + y ey, r0 ¼ r0(cosα ex + sin α ey), r1 ¼
r0(cosα ex
sin α ey), r2 ¼
r0(cosα ex + sin α ey), r3 ¼ r0(sinα ex
cos α ey) 3 Q r0 2 sin 2ϕ (Charakteristik eines Quadrupols) c) φðr; ϕÞ¼ 4 π ε r3

UE-2.10: 

 K0 ðk z ρÞI0 ðk z bÞ
K0 ðk z bÞI0 ðk z ρÞ φðρ; zÞ ¼ U 0 sin ðk z zÞ , K0 ðk z aÞI0 ðk z bÞ
K0 ðk z bÞI0 ðk z aÞ

mit k z ¼

2π h

€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

463

UE-2.11: a) φ(x, y) ¼ X(x)Y( y) ( A cos ðk x xÞ þ B sin ðk x xÞ ; k x 6¼ 0 XðxÞ ¼ A0 þ B0 x ; kx ¼ 0 ( mit ky ¼
jkx Ccoshðk x yÞ þ Dsinhðk x yÞ ; k x 6¼ 0 YðyÞ ¼ C 0 þ D0 x ; kx ¼ 0 1 X b) φðx; yÞ ¼ φm ðx; yÞ, mit φm ðx; yÞ ¼ K m sin ðm π x=aÞ sinhðm π y=aÞ m¼1

c) φðx; yÞ ¼ a 0 d) C¼

q0 sinhðm π=a yÞ sin ðm π=a xÞ coshðm π=a bÞ πε

Q0 8ε 1 ¼ π tanhð π b=aÞ 2W 0e 2

UE-2.12: a) v/u-System (Äquipotentiallinien bei v ¼ const.) 1 h b) v1 ¼
arcosh ðh=r0 Þ, v2 ¼ 0, c ¼ 2 cothðarcosh ðh=r0 ÞÞ 0 2π ε  c) C ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ln ðh=r0 Þ þ ðh=r0 Þ2
1 0

C ¼

> 0

2π ε (Dünndrahtnäherung) ln ð2h=r0 Þ

cothð2v1 Þ U 0 cosh2 ðv1 Þ h v1 Maximum befindet sich unterhalb des Drahtes und zeigt in negative y-Richtung.

d) E max ¼ j

UE-2.13: a) x ¼ c sin(u) cosh(v), y ¼ c cos(u) sinh(v) v/u-System, da Linien für v ¼ const. Ellipsen entsprechen U     arcosh ac1
arcosh ac2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c) c ¼ a21
b21 0 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1∗   Mv x þ jy 2 A d) E ðzÞ ¼
j @1= 1
c c b) M v ¼

€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

464

E ð a1 ; 0Þ ¼


0

e) C ¼ ε

Mv 1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi (reell entspricht x-Richtung) 2 c a1
1 >0 a21
b21 0

1

2π

0

1

a2 C a1 ffi ;A
arcoshBqffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ;A arcosh@qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi @ 2 2 2 2 a1
b1 a1
b1 UE-2.14: a) Spiegel-Ersatzanordnung y +ql

r

2r0 -ql

2h1

e = e0

x 2h2 +ql

-ql

    2h1=2 1 1 h1 þ h2 ln ln und α12 ¼ α21 ¼ 2πε0 2πε0 r0 h1
h2   2h2=1 2πε0 ln α22=11
α12 ðh1 þ h2 Þ=ðh1
h2 Þ c) C 011=22 ¼ ¼       2 α11 α22
α212 2h1 2h2 h1 þ h2 ln ln
ln r0 r0 h1
h2   h1 þ h2 2πε0 ln α12 h1
h2 C 012 ¼ C 021 ¼ ¼       2 2 α11 α22
α12 2h1 2h2 h1 þ h2 ln ln
ln r0 r0 h1
h2 d) Kapazitives Ersatzschaltbild b) α11=22 ¼

€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

465

y +ql C'12 +ql

C'11

C'22 k®¥

ql ð h1
h2 Þ cos θ 2πε0 r q ð h1
h2 Þ mit leitender Ebene: φðrÞ ¼ l cos θ πε0 r

e) ohne leitende Ebene: φðrÞ ¼

B.3 Das stationäre Strömungsfeld UE-3.1: π h κ ln ðra =ri Þ 1 ln ðra =ri Þ b) R ¼ h π κ

a) R ¼

κ d A κ hdr ¼ l ðr Þ πr 0 1
1 Zra κh d rA π @ ¼ ¼ π r κ h ln ðra =ri Þ

c) Azimutale Speisung: d G ¼ Z R¼


1 dG

ri

Radiale Speisung: d R ¼ Z R¼

1 dR ¼ κhπ

Zra ri

dr κ AðrÞ

¼ κ hd rπ r

dr 1 ¼ ln ðra =ri Þ r κhπ

UE-3.2:   1 ra 2π κ h ln h und I ðhÞ ¼ U 2π κ h ln ðra =ri Þ ri   I2 ra P ln b) P ¼ und R ¼ 2 2π h κ ri I   K ra ln c) R ¼
K h 2π κ0 ð1
e Þ ri a) R ¼

x

€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

466

UE-3.3: a) Spiegelersatzanordnung I' h

k

h -I'

2πκ ln ð2h=r0 Þ ε 0 ε c) RC ¼ ; mit C ¼ ln ð2π 2h=r0 Þ κ 0

b) G ¼

UE-3.4: E 0 a3 ð2 cos θ er þ sin θ eθ Þ 2r3 2 9 J0 PV , max 9 und ¼ ¼ ¼ 2, 25 4κ 4 PV , 0

a) Ea ¼ E 0 ez
b) PV , max

und

Ei¼

3 J0 E 0 ez mit E 0 ¼ 2 κ

B.4 Magnetostatische Felder UE-4.1: Bereich 1 (0  r  r1): Hϕ1 ¼ 0

  1 I 1 r2
r21  2  2πr r2
r21 I1 Bereich 3 (r2 < r  r3): H ϕ3 ¼ 2πr   I 2 r2
r23 I1  
Bereich 4 (r3 < r  r4): H ϕ4 ¼ 2πr 2πr r24
r23 I1
I2 Bereich 5 (r > r4): H ϕ5 ¼ 2πr

Bereich 2 (r1 < r  r2): H ϕ2 ¼

UE-4.2: pffiffiffi 2I Hy ¼ πa UE-4.3:

0

1

I B 1 1 C a) H z ðzÞ ¼ R2 @qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3 þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3 A 2 R2 þ ðz þ R=2Þ2 R2 þ ðz
R=2Þ2

€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

H z ðzÞjz¼0

467

  I R2 I d ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3 0, 72 und H z ðzÞ ¼0 R dz z¼0 R2 þ ðR=2Þ2 0 1

I B 1 1 C b) H z ðzÞ ¼ R2 @qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi3 A 2 2 2 R2 þ ðz þ R=2Þ R2 þ ðz
R=2Þ   d 3 I R3 I Hz(z)|z ¼ 0 ¼ 0 und H z ðzÞ ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi5
0, 86 2 dz 2 R z¼0 R2 þ ðR=2Þ2 UE-4.4:

    JA x
b xþb arctan a) H x ðx; yÞ ¼
arctan y y 2π ! 2 JA ð x þ bÞ þ y 2 ln H y ðx; yÞ ¼ 4π ð x
bÞ 2 þ y 2 b) Feldstärkeverlauf

Feldlinien

Hy

-b

y

b

x

x

JA lim H y ðx; yÞ ¼ 0 und lim H x ðx; yÞ ¼
2 b!1 b!1 Homogenfeld eines unbegrenzten Flächenstroms. J Ab d) H x ’
π y Feldstärke eines Linienstroms mit Gesamtstrom des Bandleiters I ¼ 2 b JA.

c)

UE-4.5:

    μ0 d
r0 μ0 d ln ln , a) L ¼ r0 π r0 π μ 0 b) Li ¼ 4π 0

UE-4.6:

f u€ r d r0

 

 

pffiffiffi

pffiffiffi 2μ a 2a 2μ a 2a ln ln a) Lii ¼
ln 1 þ 2 þ 2
2
1; 467 π r0 π r0

€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

468

b) Lij

μ a4 , π h3

f u€ r h a

UE-4.7: a) B ¼

b)

1 A1

2 N 1 I 1 þ A2AþA N 2I 2

1 a 3a 1 δ A1 þ A1 þA2 þ μ A1

A1 A2 þA1 1 μ0 μrel

0

I1 A2 N 2 ¼
I2 A1 N 1

c) L11 ¼

N 21 þRmL ÞRm3 Rm1 þ ðRRm2m2þR mL þRm3

1 3a 1 a
δ 1 a , Rm2 ¼ , RmL ¼ μ1 Aδ1 , Rm3 ¼ μ 1μ 0 0 rel μ0 μrel A1 μ0 μrel A1 μ0 μrel A1 N 1N 2 Rm2 þ RmL ¼ ðRm2 þRmL ÞRm3 R þ RmL þ Rm3 m2 Rm1 þ

Rm1 ¼ d) L12

Rm2 þRmL þRm3

UE-4.8: a) Spiegelquellen-Anordnung y I

h

I

x

z -d/2

aI

d/2

-h

aI

   0  μ0 I ρ ρ ln 1 þ α ln 1 0 2π ρ2 ρ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 ρ1 ¼ ðx þ d=2Þ þ ðy
hÞ , ρ2 ¼ ðx
d=2Þ2 þ ðy
hÞ2 , qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 0 0 ρ1 ¼ ðx þ d=2Þ þ ðy þ hÞ , ρ2 ¼ ðx
d=2Þ2 þ ðy þ hÞ2

b) Az ðx; yÞ ¼


3a A2

€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

469

Näherung für große Abstände: μ I d cos ϕ ð1 þ αÞ, f u€r ρ d, h Az ðρ; ϕÞ
0 2π ρ  I d ð1 þ αÞ  c) Hðρ; ϕÞ sin ϕ eρ
cos ϕ eϕ 2 2π ρ Feld eines magnetischen Liniendipols mit Gesamtstrom I (1+ α) 0

d) L ¼

μ0 2π

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d d 2 þð2hÞ2 ln a 2h

UE-4.9: a) Az ¼ const. (auf der Wand) y h

h h

h

x

z h

h h

h

  μI ρ ρ ln 1 3 b) Az ðx; yÞ ¼
2π ρ2 ρ4 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ρ1 ¼ ð x
h Þ þ ð y
h Þ 2 , ρ 2 ¼ ð x þ h Þ 2 þ ð y
h Þ 2 , qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ρ3 ¼ ð x þ h Þ 2 þ ð y þ h Þ 2 , ρ 4 ¼ ð x
h Þ 2 þ ð y þ h Þ 2   μI h 2 cos ð2γ Þ c) Az ðρ; γ Þ π ρ  μ I 2h2  d) Bðρ; ϕÞ ¼ cos ð2ϕÞ eρ þ sin ð2ϕÞ eϕ 3 πρ

y

B

z x

€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

470

UE-4.10:  A cos ðk x xÞ þ B sin ðk x xÞ ; k x 6¼ 0 a) X ¼ ; ky ¼ 0 Ao þ B0 x  Ccoshðk x yÞ þ Dsinhðk x yÞ ; k y ¼ jk x 6¼ 0 Y¼ ; k y ¼ jk x ¼ 0 C o þ D0 y mπ

mπ

x sinh y , mit K m1 ¼ Bm1 Dm1 b) φm1 ¼ K m1 sin a

a mπ mπ x e
a y , mit K m2 ¼ Bm2 C m2 φm2 ¼ K m2 sin a c) L€ osungen nur für m ¼ 1:  
πb K 11 ¼ M 0 aπ e a und K 12 ¼ M 0 aπ sinh πab π

π

π

π i h π d) H1 ðx; yÞ ¼
M 0 e
ab cos x sinh y ex þ sin x cosh y ey a a a a π h π π π π i H2 ðx; yÞ ¼
M 0 sinh b cos x e
ay ex
sin x e
ay ey a a a UE-4.11: a) φm ðr; θ; ϕÞ ¼

1 X n

φm, i ðr; θ; ϕÞ ¼

h i Gn C n rn þ Dn r
ðnþ1Þ Pn ð cos θÞ

1 X

Gi, n rn Pn ð cos θÞ

n¼0

φm, a ðr; θ; ϕÞ ¼
H 0 r cos θ þ

1 X n¼0

b)

c)

d)

e)

G a, n

1 Pn ð cos θÞ rnþ1

3 μa φm, i ¼
H 0 z μi þ 2 μa μ
μa 3 cos θ φm, a ¼
H 0 z þ H 0 i a r2 μi þ 2μa 3μa Hi ¼ H0 (Homogenfeld) μi þ 2μa μ
μ a a3 Ha ¼ H0 þ H 0 i ð2 cos θ er þ sin θ eθ Þ μi þ 2μa r3 Im Außenraum Feld eines magn. Punktdipols mit dem Dipolmoment: μ
μa m ¼ 4πa3 H 0 i μi þ 2μa Hi 3 3 ¼ H 0 μi =μa þ 2 2 Bi 3 μi =μa 3μ a!0 ¼ B0 μi =μa þ 2 2μi Minimum bei θ ¼ 0, π: Ha ¼ 0 Ha 3 ¼ Maximum bei θ ¼ 3/2 π: H0 2

€sungen zu den Übungsaufgaben B. Lo

B.5 Elektromagnetische Diffusionsfelder UE-5.1:

H NI 0 J0 jγ ρ , mit H 0 ¼ 2π r2 J0 jγ r1 1 ρ 2 1þj ρ 2 δ b) H z ðρÞ H 0 f u€r > 1  J DC  δ e