Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 1.3.1 1.3.2

Einleitung Vorgehensweise bei der FEM .................................. Verschiedene Elementtypen ................................... Beispiele zur Finite-Elemente-Methode ..................... Beispiel zu nichtlinearen Problemen ......................... Beispiele zur Optimierung ......................................

3 5 10 10 11

2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.7 2.7.1 2.8 2.8.1 2.8.2 2.9 2.9.1

Mathematische Grundlagen Schreibweisen ..................................................... Vektoren ........................................................... Definition eines n dimensionalen Vektors ................... Skalarprodukt ..................................................... Kreuzprodukt ..................................................... Ableitung von Vektoren ........................................ Der Nabla-Vektor ................................................ Der Gradientenvektor ........................................... Divergenz und Laplace-Operator.............................. Matrizen ........................................................... Definition einer Matrix.......................................... Rechenregeln...................................................... Transponierte Matrix............................................ Orthogonale Matrix ............................................. Die Dyade (Tensor zweiter Stufe) ............................ Differentialoperator ............................................. Tensor h¨oherer Stufe ........................................... Felder .............................................................. Skalarfelder ....................................................... Das Vektorfeld als Gradient des Skalarfeldes .............. Das dyadische Feld .............................................. Lineare Transformation ......................................... Transformation eines Vektors .................................. Transformation einer Dyade (Tensor zweiter Stufe)....... Beispiele zur Transformation .................................. Funktionale........................................................ Diskretisierung des Funktionals ............................... Dreieckskoordinaten ............................................ Ableitungen in Dreieckskoordinaten (Jakobi-Matrix) ..... Integration in Dreieckskoordinaten ........................... Numerische Integration (Quadratur) ......................... Numerische Integration f¨ ur eindimensionale Probleme ...

19 20 20 20 20 21 22 22 23 23 23 24 26 27 27 28 28 28 28 29 29 32 32 34 34 36 38 39 41 44 45 45

X

Inhaltsverzeichnis

2.9.2 2.10 2.10.1 2.10.2 2.10.3 2.10.4 2.10.5 2.10.6 2.11 2.12

Numerische Integration in Dreieckskoordinaten ............ Lineare Gleichungssysteme bei der FEM .................... Definition der Bandbreite ...................................... Rechenzeiten zur L¨osung linearer Gleichungssysteme ..... Positiv definite Matrix ......................................... Das Verfahren von Cholesky .................................. Kondition linearer Gleichungssysteme ....................... Zwangsbedingungen bei linearen Gleichungssystemen .... N¨aherungsfehler bei der FEM ................................ Das Tonti-Diagramm............................................

46 48 48 49 50 51 53 56 57 58

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.2 3.2.1 3.2.2

Beschreibung elastostatischer Probleme Die Grundgleichungen der Elastizit¨atstheorie............... Verkn¨ upfung der Verschiebungen mit den Dehnungen ... Das Stoffgesetz................................................... Gleichgewichtsbedingungen .................................... Randbedingungen ................................................ Das Tonti-Diagramm des elastostatischen Problems...... Verkn¨ upfung der Grundgleichungen der Elastostatik...... Das Prinzip virtueller Verr¨ uckungen.......................... Das Prinzip vom Gesamtpotential ............................ Beispiel zum Prinzip des Gesamtpotentials .................

63 63 64 64 64 65 66 67 67 69

4 4.1 4.1.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 4.4.5 4.4.6 4.4.7

Das Verfahren von Ritz Aufpr¨agen der wesentlichen Randbedingungen ............. Beispiel zu den wesentlichen Randbedingungen............ Eindimensionale Stabprobleme ................................ Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Beispiel zum eindimensionalen Stab ......................... Eindimensionale Balkenprobleme ............................. Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials .............................. Scheibenproblem ................................................. Verschiebungsans¨atze ........................................... Wesentliche Randbedingungen ................................ Dehnungen und Spannungen der Scheibe ................... Diskretisierung der Form¨anderungsarbeit.................... Diskretisierung des Potentials der ¨außeren Lasten......... Variation des Gesamtpotentials ............................... Kragbalken als Scheibenproblem ..............................

74 75 77 77 78 79 81 81 81 82 86 87 87 88 89 90 91 91

Inhaltsverzeichnis

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.1.6 5.1.7 5.1.8 5.1.9 5.1.10 5.1.11 5.1.12 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5

Stabelemente Das eindimensionale Stabelement ............................ Problemdefinition ................................................ Das Tonti-Diagramm des Stabes ............................. Das Funktional des Stabproblemes ........................... Diskretisierung des Funktionals des Stabes ................. Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zum eindimensionalen Stab.......................... Direkte Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix .......... Erstellung der Gesamtsteifigkeitsmatrix (allgemein) ...... ¨ Ubungsaufgaben zum eindimensionalen Stab .............. Variable Querschnittsfl¨ache des Stabelementes ............ Eindimensionales Stabelement mit n Knoten .............. Eindimensionaler Stab mit drei bzw. vier Knoten ........ Das zwei- und dreidimensionale Stabelement ............. Das zweidimensionale Stabelement .......................... Beispiel zum zweidimensionalen Stabproblem ............. Optimierung einer Stabstruktur ............................... ¨ Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Stab ............. Das dreidimensionale Stabelement ..........................

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.1.5 6.1.6 6.1.7 6.1.8 6.1.9 6.1.10 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.3 6.4

Balkenelemente Das eindimensionale Balkenelement .......................... Problemdefinition ................................................ Dehnungen und Spannungen im Balken .................... Das Tonti-Diagramm des Bernoulli-Balkens ............... Funktional des Balkenproblems .............................. Formfunktionen des eindimensionalen Balkens ............ Diskretisierung des Funktionals ............................... Variation des diskretisierten Funktionals ................... Bilden der Steifigkeitsmatrix .................................. Diskretisierung der Streckenlast............................... Schnittgr¨oßen des Balkenelementes .......................... Beispiel zum eindimensionalen Balken ....................... Zweiseitig gelagerter Balken mit Streckenlast .............. Konvergenztest beim zweiknotigen Balkenelement ........ Realisierung des Gelenkes u ¨ber eine Zwangsbedingung... ¨ Ubungsaufgaben zum eindimensionalen Balken ............ Balkenelement mit n Knoten und p Freiheitsgraden pro Knoten ............................................................ Das eindimensionale Balkenelement mit drei Knoten .....

6.4.1

XI

97 97 97 100 100 103 105 111 113 115 115 117 119 120 120 123 128 130 132

137 137 138 139 140 141 143 145 146 147 149 151 151 154 157 159 161 164

XII

Inhaltsverzeichnis

6.8.1 6.8.2

Das eindimensionale Balkenelement mit drei Freiheitsgraden pro Knoten .................................................. Balken mit unstetiger Kr¨ ummungsverteilung ............... Der Timoshenko-Balken ........................................ Konvergenztest Kragbalken .................................... Balkenbeispiel VII ................................................ Der elastisch gelagerte Balken ............................... Beispiel zum elastisch gelagerten Balken .................... Zweidimensionales Balkenelement ............................ Freiheitsgrade des zweidimensionalen Balkens ............. ¨ Uberlagerung der Dehnungen von Stab und Balken ...... Steifigkeitsmatrix ............................................... Transformation der Steifigkeitsmatrix........................ ¨ Beispiel und Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken ................................................................. Winkelproblem.................................................... ¨ Ubungsaufgaben zum zweidimensionalen Balken ..........

7 7.1 7.2 7.2.1 7.3 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.4.4 7.4.5 7.5 7.6

Scheibenproblem Problemdefinition ................................................ Die Grundgleichungen des Scheibenproblems ............. Die Feldgleichungen der Scheibe ............................. Das Funktional des Scheibenproblems ....................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Formfunktionen des Dreieckselementes ..................... Variation des diskretisierten Funktionals .................... Diskretisierung der Volumenkr¨afte............................ Diskretisierung der Streckenlasten ............................ Spannungen in der Scheibe .................................... Beispiele zum Scheibenproblem ............................... ¨ Ubungsaufgaben zur Scheibe ..................................

205 206 207 208 209 209 213 215 218 221 221 227

8 8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.3 8.4

Platten und Schalenelemente Problemdefinition ................................................ Grundbeziehungen der Platte.................................. Voraussetzungen bei der Kirchhoff-Platte .................. Kinematische Gr¨oßen der Platte .............................. Kr¨ ummungs-Momenten-Beziehung (Stoffgleichung) ...... Gleichgewichtsbeziehungen der Platte ....................... Randbedingungen der Platte .................................. Das Funktional der Platte ..................................... Anforderungen an das Plattenelement .......................

231 231 231 233 234 236 236 237 239

6.4.2 6.4.3 6.5 6.5.1 6.5.2 6.6 6.6.1 6.7 6.7.1 6.7.2 6.7.3 6.7.4 6.8

168 171 172 178 179 180 182 187 187 187 188 190 193 193 199

Inhaltsverzeichnis

8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3 8.5.4 8.5.5 8.5.6 8.5.7 8.6 8.7

Kompatibilit¨at (konforme Elemente) ......................... Starrk¨orperbewegung............................................ Konstanter Dehnungszustand (Verzerrungszustand) ...... Einige Dreiecksplattenelemente ............................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Ansatzfunktion f¨ ur die Durchbiegung ........................ Interpolationsbedingungen ..................................... Formfunktionen .................................................. Kr¨ ummungs-Verschiebungs-Beziehung....................... Steifigkeitsmatrix ................................................ Fl¨achenlast ........................................................ Streckenlast entlang einer Elementkante .................... Konvergenztest des Plattenelementes........................ Schalenelement ...................................................

9 9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.2 9.2.1 9.2.2

Feldprobleme W¨arme¨ ubertragung .............................................. Die Poisson’sche Gleichung .................................... Randbedingungen ................................................ Das Funktional der W¨arme¨ ubertragung ..................... Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung ......................... Problemdefinition ................................................ Funktional des eindimensionalen W¨arme¨ ubertragungsproblems ............................................................... Diskretisierung des Funktionals ............................... Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zur eindimensionalen W¨arme¨ ubertragung......... ¨ Ubungsaufgaben: Eindimensionale W¨arme¨ ubertragung... Zweidimensionale W¨arme¨ ubertragung ...................... Problemdefinition ................................................ Randbedingungen bei der zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ............................................................ Diskretisierung des Funktionals .............................. Variation des Funktionals ...................................... Beispiel zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ....... ¨ Ubungsaufgaben zur zweidimensionalen W¨arme¨ ubertragung ................................................................ Torsion von prismatischen K¨orpern .......................... Funktional des Torsionsproblems.............................. Torsion eines Stabes mit quadratischem Querschnitt .....

9.2.3 9.2.4 9.2.5 9.2.6 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.4 9.5 9.6 9.6.1 9.6.2

XIII

239 240 241 241 243 243 244 247 248 249 250 250 251 253

263 263 263 264 265 265 266 266 270 271 276 277 277 278 279 286 288 293 295 298 298

XIV

Inhaltsverzeichnis

10.1 10.1.1 10.1.2 10.2 10.2.1 10.2.2 10.3 10.3.1 10.4 10.4.1 10.4.2

Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von St¨ aben und Balken Der eindimensionale Stab ...................................... 303 Massenmatrix des eindimensionalen Stabes................. 304 Eigenfrequenzen und Schwingungsformen................... 304 Beispiele zum eindimensionalen Stab ........................ 306 Einmassenschwinger ............................................. 306 Zweimassenschwinger ........................................... 307 Der eindimensionale Balken.................................... 310 Massenmatrix des eindimensionalen Balkens ............... 310 Beispiele zum eindimensionalen Balken...................... 311 Beidseitig gelenkig gelagerte Balken ......................... 311 Kragbalken ........................................................ 314

11 11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3 11.1.4 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4

Nichtlineare Probleme Große Verformungen ............................................ Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung ......................... Dehnungen f¨ ur Stab und Balken .............................. Stab mit großen Verformungen ............................... Balken mit großen Verformungen ............................. Knicken von St¨aben und Balken .............................. Beispiel zum Stabknicken ...................................... Beispiel zum Knicken von Balken............................. Die vier Eulerf¨alle ................................................ ¨ Ubungsaufgabe: Das dreiknotige Balkenelement...........

12 12.1 12.2 12.2.1 12.2.2 12.2.3

CALL for FEM Kurz¨ ubersicht u ¨ber die einzelnen Programme .............. Programmbeschreibungen ...................................... FEM GEN und FEM CAS...................................... Das Programm InterFEM ...................................... Das Verfahren von Ritz f¨ ur den eindimensionalen Stab (Ritz Stab) ........................................................ Das Verfahren von Ritz f¨ ur den Balken (Ritz Balken) .... Das Verfahren von Ritz f¨ ur die Scheibe (Ritz Scheibe) .. Eindimensionales Stabelement (Stab 1D)................... Eindimensionales Balkenelement (Balken 1D) ............. Dreiecksscheibenelement (Scheibe Dreieck) ................ Plattenelement (Platte) ........................................ Knicken eines eindimensionalen Balkens (Knicken Balken) Eigenfrequenzen und Schwingungsform des Balkens (Dynamik Balken) ....................................................

10

12.2.4 12.2.5 12.2.6 12.2.7 12.2.8 12.2.9 12.2.10 12.2.11

319 319 320 320 323 327 329 332 335 336

339 343 343 343 345 347 349 351 353 355 356 356 358

Inhaltsverzeichnis

12.2.12 Eindimensionale Feldprobleme (Feldprobleme 1D) ........ 12.2.13 Zweidimensionales Feldproblem (Feldprobleme 2D)....... 13 13.1 13.2 13.3

XV

359 360

Beispiele zu den Programmen Rahmen durch Federn gest¨ utzt ............................... 363 Scheibe gest¨ utzt durch eine Feder ............................ 364 W¨arme¨ ubertragung (Torsion) eines gleichseitigen Dreiecks (Quadrates)................................................. 367 Verwendete Formelzeichen und Symbole . . . . . . . . . . . .

370

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

381

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

385

Programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

393

http://www.springer.com/978-3-540-72235-9