Aufgabe 1

(8 + 2 Punkte)

Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zuf¨allig ausgew¨ahlter Teilnehmer i) Sonnenbrand oder Knieschmerzen hat? (Hinweis: Sollten Sie zu keinem Ergebnis kommen, setzen Sie diese Wahrscheinlichkeit im Folgenden gleich 0.6.) ¯ ∩ S) ¯ = 8/20 = 0.4 P (K) = 8/20 = 0.4 P (S) = 6/20 = 0.3 P (K ¯ ¯ ⇒ P (K ∪ S) = 1 − P (K ∩ S) = 1 − 0.4 = 0.6

ii) Knieschmerzen und Sonnenbrand aufweist? (Hinweis: Sollten Sie zu keinem Ergebnis kommen, setzen Sie diese Wahrscheinlichkeit im Folgenden gleich 0.1.) P (K ∩ S) = P (K) + P (S) − P (K ∪ S) = 0.4 + 0.3 − 0.6 = 0.1

iii) der Knieschmerzen hat, keinen Sonnenbrand hat? ¯ ¯ P (S|K) = 1 − P (S|K) = 1 − P (S∩K) = 1 − 0.1 = 0.75 P (K)

0.4

iv) Sonnenbrand, aber keine Knieschmerzen hat? ¯ = P (S\K) = P (S) − P (S ∩ K) = 0.3 − 0.1 = 0.2 P (S ∩ K) b) Zeigen Sie, dass die Ereignisse “Knieschmerzen” und “Sonnenbrand” stochastisch abh¨angig sind. P (K) · P (S) = 0.4 · 0.3 = 0.12 6= P (K ∩ S) = 0.1

(3 + 1 + 2 + 4 Punkte)

Aufgabe 2

Gegeben sei die (diskrete) Zufallsvariable Y , die die Werte 1, 2, 3, 4 annehmen kann. Betrachten Sie folgende Funktion:  y(b−y) f¨ ur y ∈ {1, 2, 3, 4} 20 f (y) = P (Y = y) = 0 sonst. a) Wie muss b gew¨ahlt werden, damit es sich bei f (y) um eine Wahrscheinlichkeitsfunktion handelt? (Hinweis: Falls Sie zu keiner L¨osung kommen, verwenden Sie im Folgenden b = 5.) P Es muss gelten: i f (yi ) = 1 1 [1(b − 1) + 2(b − 2) + 3(b − 3) + 4(b − 4)] = 1 20 1 ⇔ 20 (10b − 30) = 1 ⇔ b = 5. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable Y genau den Wert 3 annimmt. P (Y = 3) =

3(5−3) 20

= 0.3

c) Berechnen Sie den Erwartungswert von Y . P E(Y ) = 4i=1 yi f (yi ) = 1 · 0.2 + 2 · 0.3 + 3 · 0.3 + 4 · 0.2 = 2.5

d) Berechnen und  0      0.2 0.5 F (y) =   0.8    1

zeichnen Sie die Verteilungsfunktion FY (y). f¨ ur f¨ ur f¨ ur f¨ ur f¨ ur

y