Anexo
7. Anexo 7.1. Definiciones de potencia Las definiciones de potencia en sistemas eléctricos bajo condiciones sinusoidales han sido bien establecidas (conocidas como definiciones clásicas y descritas a posteriori). No hay divergencias entre los resultados en el dominio del tiempo y la frecuencia. La potencia eléctrica es la cantidad de energía eléctrica que se transporta o consume en una determinada unidad de tiempo. Viene determinada por la expresión (7.3), resultado del producto de tensión e intensidad instantánea que corresponden respectivamente a las relaciones (7.1) y (7.2). √2 · · sin √2 · · sin
Donde: -
·
7.1
7.2
7.3
: valor eficaz de . : valor eficaz de . : desfase de . Se suele tomar la tensión como origen de fase: 0. : desfase de respecto la tensión si ésta es el origen de fase.
La potencia eléctrica instantánea puede ser reescrita en términos de los valores eficaces y desfases de tensión e intensidad. Suponiendo que se toma la tensión como origen de fase, se tiene como expresión de la potencia instantánea la siguiente relación: · · · · 2
7.4
En la expresión (2.4) se identifica un término constante, relativo a la potencia activa, y otro término variable en el tiempo, correspondiente a la potencia reactiva. Se define la potencia activa como la parte de la potencia instantánea que realiza trabajo neto. Es decir, es el promedio en un periodo T de la potencia instantánea, 1 $ " # ! %
7.5
· ·
7.6
integral que coincide con el término constante de la potencia instantánea:
Anexo
La potencia reactiva es la parte de la potencia que no es potencia activa, por lo tanto corresponde a la parte variable de la potencia instantánea. Dicha parte tiene promedio nulo en el tiempo, 1 $ " · · 2 # 0 ! %
7.7
( · ·
7.8
de forma que la potencia reactiva no realiza trabajo. Aun así, se trata cuantitativamente, a fin de poner de manifiesto que se necesita una intensidad para poder transportar dicha potencia reactiva, la intensidad reactiva, intensidad que inevitablemente produce pérdidas y caídas de tensión indeseadas. La expresión (7.8) permite cuantificar la potencia reactiva.
A veces se hace uso de los términos de intensidad activa y de intensidad reactiva. Es intuitivo que estas intensidades están asociadas respectivamente a las potencias activa y reactiva o imaginaria. Las expresiones (7.9)-(7.10) muestran las relaciones existentes entre las potencias y las intensidades asociadas. · · · *+,-.*
( · · · 01*+,-.*
7.9
7.10
La potencia aparente no es más que una combinación de las anteriores. Tiene la siguiente formulación: 2 · 3 S
4
(4
7.11
Q
P
Figura 7.1 Triángulo de potencias. Régimen sinusoidal.
La Figura 7.1 ilustra el carácter ortogonal o la independencia entre la potencia activa y reactiva, implicando la posibilidad de compensar reactiva sin afectar a la activa. Queda de manifiesto que compensar potencia reactiva es compensar la componente reactiva de la intensidad y viceversa. Se define el factor de potencia 5 como la relación entre P y S. Esta relación es un indicador que muestra la eficiencia de la transmisión de potencia. Es deseable que esté lo más próximo a la unidad, así la corriente será la mínima necesaria para alcanzar
Anexo
un determinado objetivo de potencia activa, alcanzando mejor eficiencia energética y económica. 5 62
7.12
Hoy día, en sistemas de potencia distorsionados, no es tan trivial la definición de las distintas potencias. La potencia activa es medida fácilmente y por tanto contrastada y verificada su formulación, no deja de ser el promedio de la potencia instantánea. Es la potencia verdadera, la que realiza trabajo. En cambio para la potencia reactiva no existe una definición universal aceptada o normalizada. Hoy día hay discusiones alrededor de ella. Se verán sólo dos formulaciones diferentes. Indicar que bajo condiciones no sinusoidales las potencias aparente y reactiva no indican exactamente la eficiencia de un sistema eléctrico tal y como ocurre en los sistemas no distorsionados. Para los siguientes análisis es conveniente expresar las magnitudes distorsionadas como un sumatorio extendido al orden de armónico, 7 8 7 8
7 8 7 8
donde: -
9
√2 · 8 · cos 8
8:;
9
√2 · 8 · 8
8:;
7.13
7.14
8 : valor eficaz del armónico de tensión n-ésimo. 8 : valor eficaz del armónico de intensidad n-ésimo. 8 : fase de la tensión armónica correspondiente. Si se toma cada armónico de tensión como origen de fase, entonces 8 0. 8 : fase de la intensidad armónica correspondiente (fase respecto la tensión si 8 0).
Definiciones de Budeanu Budeanu trabaja con los valores eficaces de cada armónico individual de tensión ( 8 ) e intensidad (8 ) y el desfase entre las tensiones e intensidades armónicas (8 ). Propone unas expresiones de potencias resultado de una extensión de la Teoría Clásica. -
Potencia activa: Es el promedio de la potencia eléctrica instantánea. Contiene una parte relativa a la frecuencia fundamental y otra a un término de potencia activa asociada a los armónicos correspondientes. Sólo el producto de tensiones
Anexo
e intensidades de la misma frecuencia produce términos no nulos en el promedio. 1 $ " # 7 8 · 8 · 8 ! % 9
8:;
-
Potencia reactiva: Es una definición propia de Budeanu. 9
( 7 8 · 8 · 8 8:;
-
7.16
Potencia aparente: Producto de valores eficaces de tensión e intensidad 2
-
7.15
9
>7 84 8:;
9
· >7 84 8:;
Factor de potencia:
7.17
5 62
7.18
?4 2 4 @
7.19
Falta ubicar los productos cruzados de los valores eficaces. Éstos quedan introducidos en un nuevo término de potencia imaginaria, la distorsión de potencia D, debiéndose exclusivamente a contenidos armónicos y al igual que la potencia reactiva no realiza trabajo. 4
(4
Se define la potencia ficticia como la que no es activa. +
3( 4 ?4
7.20
Diversos autores ponen en evidencia las definiciones propuestas por Budeanu. Se debe a que la potencia reactiva y de distorsión no son ortogonales, es decir, son dependientes (gráficamente los ejes de potencia reactivo y de distorsión no forman ángulo recto, tal y como muestra la Figura 7.2). Por lo tanto una compensación de potencia reactiva no asegura que se alcance un valor de potencia aparente menor. Desde el punto de vista de la mitigación de armónicos, es deseable que se eliminen las potencias activa y reactiva (o las intensidades asociadas) relativas a los armónicos.
Anexo
24
D
D
S
P
Q
4
(4 ?4
S
Q Figura 7.2 Tetraedro de potencias. Conjunto de potencias de Budeanu.
No obstante, a día de hoy la definición de potencia reactiva vigente para la IEEE es la propuesta por Budeanu. Definiciones de Frize Frize propone un conjunto de potencias elaboradas con el valor eficaz de la intensidad (I) y el de tensión (V). La ventaja de esté recurso es que no se trabaja individualmente con cada armónico, aunque estos están implícitos en las valores eficaces de las magnitudes totales (Budeanu se basa en el valor eficaz de cada término armónico). Naturalmente, se sigue definiendo la potencia activa A como la media de la potencia instantánea: A
$
1 1 $ " # " · # ! ! % %
7.21
La potencia aparente la hace corresponder con el producto de valores eficaces de tensión e intensidad B · ). El factor de potencia es el cociente entre potencia activa y aparente (5 A ⁄ B ). Frize define la potencia reactiva D como la potencia obtenida que no contribuye a la potencia activa. Tiene la siguiente formulación: D
3
4 B
@
4 A
7.22
Queda patente la coincidencia entre Budeanu y Fritze a la hora de definir las potencias activa y la aparente. Sin embargo difieren en la definición de potencia reactiva.
Anexo
7.2. Acondicionamiento de potencia El acondicionamiento de potencia se refiere, además del filtrado, a la corrección del factor de potencia, regulación de tensión, reducción de parpadeo o Flicker, entre otros; además de sus combinaciones. Luego, el término acondicionamiento de potencia es más amplio que el filtrado de armónicos. Una parte de este trabajo se centra en el acondicionamiento de la potencia desde el punto de vista del filtrado de armónicos y la compensación de reactiva. Se discutirá la versatilidad de los métodos propuestos a la hora de acondicionar la potencia
7.3. Transformación de magnitudes trifásicas a coordenadas ortogonales Las magnitudes trifásicas sinusoidales equilibradas de tensión e intensidad, de línea o fase, quedan perfectamente definidas si se conoce la amplitud v (ver Figura 7.4) y la frecuencia angular o pulsación de la magnitud correspondiente, cuyo valor se considera constante en el tiempo. Así, se puede conformar un vector amplitud E que gira a la frecuencia fundamental u otra múltiplo de ésta en caso de sistemas distorsionados, realizando una trayectoria circular. Dicho vector se puede descomponer-proyectar en diferentes sistemas de referencia. El más común es el sistema estático de tres ejes a 120°. Bajo estas condiciones se habla de un sistema de referencia trifásico o sistema abc. Se define el ángulo G, como el ángulo girado por el vector amplitud: G " #
7.23
G G%
7.24
En régimen permanente se considera constante la velocidad angular, y por lo tanto el ángulo queda determinado como:
La Figura 7.3 muestra un ejemplo de descomposición del vector giratorio E en coordenadas abc, para un instante concreto, instante que se relaciona con el ángulo girado mediante la expresión (7.23). La proyección de E viene dada por la expresión 7.25. La Figura 7.4 muestra una particularización para un ángulo G H⁄3. I*J+
cos G * 2H KJ L · Mcos G @ 63N + cos G 2H63
7.25
Anexo
b E
J
*
120°
+
G G%
a
120°
c Figura 7.3 Sistema de referencia estático trifásico. Secuencia directa. 2H 3
* J
a
c
b
2
+ H 3
H 2
2H 2
3H 2
4H 2
Figura 7.4 Sistema trifásico de secuencia directa. Particularización G . O P
Un sentido de giro inverso (de E implicaría que la magnitud trifásica asociada corresponde a secuencia inversa. Además, si se da el caso de un sistema desequilibrado, el módulo |E| sería variable.
A continuación se describirán y analizarán las ventajas e inconvenientes de dos alternativas propuestas de descomposición-proyección que permitirán expresar las magnitudes eléctricas de un sistema trifásico en un sistema de referencia bifásico ortogonal, la Transformación de Clarke y la Transformación de Park.
Anexo
7.3.1. Transformación de Clarke
El vector E puede ser descompuesto-proyectado en un sistema de referencia ortogonal y estacionario (inmóvil) llamado R o estacionario. Dicho vector realiza una trayectoria circular respecto el origen de coordenadas del sistema de referencia R. La principal ventaja respecto al sistema de referencia trifásico es la reducción del número de variables del problema, simplificándose tanto los modelos como sus cálculos asociados. La Figura 7.5 muestra la descomposición del vector E en un sistema de referencia R y las vínculos geométricos que permitirán obtener una de las posibles relaciones entre las coordenadas abc y R. R
b
E
bbbbE a |E|
G
` bbbbE
a
c
Figura 7.5 Sistemas de referencia R y trifásico de secuencia directa.
Dado que E es un vector bidimensional giratorio, éste puede expresarse mediante un número complejo y por lo tanto utilizarse el algebra asociada a estos números. E |E|S TU |E|S TVW,XUY ZS[E\ ]^_[E\ ` ]a
7.26
Donde k representa el orden de armónico en caso de un sistema trifásico distorsionado, tomando valores positivos y/o negativos para secuencia directa e inversa respectivamente. Normalmente se parte de las medidas instantáneas de magnitudes trifásicas de tensión e intensidad, y no del vector E . La Transformación de Clarke permite cambiar de un sistema de referencia trifásico a un sistema R. Matemáticamente es un cambio de base, mediante una transformación
Anexo
matricial. Los desarrollos posteriores estarán referidos a una variable vectorial genérica x, pudiendo ser tanto tensiones como intensidades, simples o de fase. La expresión (2.27) permite realizar la transformación. c`ad Donde:
e` Kea L f*J+g`ad · c*J+ ed 1
k f*J+g`ad h263 · j 0
1 i 62
@ 162
7.27
@16 2 @√36 √36 n 2 2m 16 2
16 2l
7.28
En el caso de un sistema trifásico sin neutro, como el que se considera en el presente trabajo, la transformación anterior se simplifica. El motivo causante de dicha simplificación es la ausencia de componente o, que está asociada a la componente homopolar. Como resultado se tendrá un sistema bifásico en vez de un sistema trifásico, lo que conlleva una simplificación. ed e* eJ e+ 0 4
7.29
e` c`a pe q f*J+g`a · c*J+ d
7.30
;
Para sistemas trifásicos sin neutro se usará una expresión simplificada (7.30) a la hora de ejecutar la transformación.
Donde:
f*J+g`a h263 · M
1
@ 162
0 @ √362
@ 162
√36 N 2
7.31
La Transformación de Clarke es la esencia de uno de los métodos de cálculo de intensidades de referencia del presente trabajo, bajo el nombre de Teoría pq, expuesto en el apartado 3.2.2.1.
Anexo
7.3.2. Transformación de Park La Transformación de Park permite expresar las magnitudes trifásicas en un sistema de referencia ortogonal y giratorio (móvil). También es conocida como transformación dq o síncrona. Si bien la Transformación de Clarke permite reducir el número de variables, Park permite además, ver magnitudes trifásicas que varían sinusoidalmente en el tiempo, como constantes, siempre y cuando la frecuencia de la señal coincida con la frecuencia de giro de los ejes de referencia dq. Naturalmente, es más fácil trabajar con valores de magnitudes constantes que con variaciones sinusoidales. No obstante, si las magnitudes contienen armónicos, las magnitudes transformadas se verán variables en el tiempo, ya que contiene frecuencias distintas y en general superiores a la fundamental. En concreto habrá oscilaciones respecto el promedio correspondiente a la componente fundamental. Aún así, es interesante expresar las magnitudes en dicha referencia ya que en ellas quedará perfectamente perceptible el contenido armónico de las señales en cuestión: todo lo que difiera del valor promedio corresponderá a componentes armónicas indeseadas. Esta característica dará pié tanto a uno de los procedimientos de cálculo de intensidades de referencia estudiado en este trabajo (expuesto en el apartado 3.2.2.2.), como a una estrategia de control (apartado 3.2.3.) para la compensación a través de su inyección en el punto PCC. Se presenta una complejidad adicional a la hora de realizar la transformación, la necesidad de conocer el ángulo de la magnitud de alterna en todo instante de tiempo. Hay diversas técnicas de cálculo. En este trabajo se propone su cálculo mediante un PLL (del inglés Phase-Loked-Loop), cuya técnica se discutirá apartado 3.2.2.4.. Se define G como el ángulo girado por el vector amplitud: G " # G%
7.32
La Figura 7.6 muestra una de las posibles relaciones gráficas existentes entre un sistema de referencia abc y un sistema de referencia dq. En ella, el vector E gira a la misma velocidad angular que el sistema de referencia dq. De esta forma se verá invariante en el tiempo, ya que gira solidariamente con el sistema nuevo de referencia. Se puede elegir libremente el reparto de E tanto en componente d como q, seleccionando un ángulo Gr determinado mediante una adecuada actuación en el PLL (actuación discutida en el apartado 3.2.2.4.).
Anexo
b E Gr
q D bbbbE
d G
s bbbbE
a
c Figura 7.6 Sistema de referencia dq y trifásico de secuencia directa.
La expresión (7.33) permiten abordar el problema de transformar magnitudes trifásicas a magnitudes expresada en coordenadas dq. Como se mencionó anteriormente se requiere el conocimiento en todo instante de tiempo del ángulo G. es 7.33 csD% KeD L f*J+gsD% · c*J+ e% Donde:
f*J+gsD%
tG @ 2H63u k h263 · j@ G @ tG @ 2H63u 16 16 √2 √2 i G
tG 2H63u n @ tG 2H63um 16 √2 l
7.34
Al particularizar para un sistema trifásico sin neutro se produce una simplificación debido a que la componente 0 corresponde con la componente homopolar de la magnitud en cuestión, siendo nula en ausencia de conductor de neutro. Como resultado de tendrá un sistema bifásico. e%
1
√3
· e* eJ e+ 0
7.35
Para sistemas trifásicos sin neutros, se utilizará la expresión (7.36) a la hora de ejecutar la transformación. es csD pe q fvwxgyz · c*J+ D
7.36
Anexo
Donde: G tG @ 2H63u fvwxgyz h263 · K @ G @ tG @ 2H63u
tG 2H63u L @ tG 2H63u
7.37
En un sistema eléctrico distorsionado existe un bbbbE 8 asociado a cada armónico n-ésimo. La variable bidimensional resultado de la transformación puede expresarse como un número complejo que gira a una velocidad angular múltiplo de la fundamental mediante la relación (7.38), teniendo en cuenta que una de las componentes será constante en el tiempo (hay que tener cuidado a la hora de interpretar la transformada rápida de Fourier ya que ésta correspondería con la componente de E que gira a la misma velocidad que el sistema de referencia dq). TU TVW,XUY bbbbE 8 | bbbbE|S | bbbbE|S ZS[ bbbbE\ bbbbE\ 8 8 8 ]^_[ 8 8s ]8D 7.38
Donde k, que puede ser positiva y/o negativa para secuencia directa e inversa respectivamente, representa el orden de armónico y la frecuencia angular fundamental del sistema eléctrico.
7.4. Definiciones de potencia instantánea. Teoría pq La definición de potencia activa trifásica instantánea viene dada por la expresión (7.40). En sistemas trifásicos equilibrados y sin distorsión armónica es constante en el tiempo: * * J J + + I$*J+ {*J+ 3 .
7.40
Por otra parte la potencia reactiva trifásica instantánea, viene determinada por la expresión (7.41). También tiene valor constante en sistemas eléctricos equilibrados y sin distorsión. |
1
√3
}* @ J + + @ * J J @ + * ~
7.41
En caso de sistemas distorsionados aparecerá en las potencias un término armónico, que provocará que ambas potencias dejen de ser constantes en el tiempo, de forma que todo valor que diste del promedio de éstas corresponderá a dicho término. Ambas potencias instantáneas pueden ser reescritas en función de las tensiones de fase e intensidades de línea expresadas en coordenadas R.
Anexo
Así nace la Teoría pq, basada en la Transformación de Clarke. Esta teoría es la base de uno de los procedimientos de cálculo de intensidades de referencia utilizados en el presente trabajo (expuesto en apartado 3.2.2.1.), de ahí que se mencionen sus rasgos característicos, básicos y necesarios para posteriores análisis y desarrollos. Define sólo dos tipos de potencia instantánea, la real (p) y la imaginaria (q). Si el sistema eléctrico está distorsionado, todo el término armónico estará contenido la potencia real y/o imaginaria. ` ` a a
7.42)
` I`a p q f*J+g`a · I*J+ a
7.44)
| ` a @ a `
Donde:
` {`a f*J+g`a · {*J+ a
7.43)
7.45)
Define la potencia aparente instantánea como: t` ]a ut` ]a u
t` ` a a u ]t` a @ a ` u |
7.46)
Las potencias instantáneas activa y reactiva están dotadas de sentido físico. La potencia real describe el flujo de energía por unidad de tiempo intercambiado entre dos subsistemas. La potencia imaginaria es un intercambio energético por unidad de tiempo entre las distintas fases del sistema, pero sin intercambio de energía neto. Actuando adecuadamente sobre p y q (apartado 3.2.2.1.) se puede acondicionar la potencia del sistema desde el punto de vista de la mitigación de armónicos y/o la compensación de potencia reactiva. p
a b c q Figura 2.9 Potencia instantánea real (p) e imaginaria (q).
Anexo
Al margen de la Teoría pq, la Transformación de Park proporciona otras expresiones para las potencias instantáneas activa y reactiva. De forma análoga, son definidas en el dominio de Park. s s D D
Donde:
| D s @ s D
s IsD p q f*J+gsD · I*J+ D s {sD f*J+gsD · {*J+ D
7.47)
7.48) 7.49)
7.50)
7.5. Repercusión del valor de la constante de transformación de coordenadas Tanto en la Transformación de Clarke como la de Park se han utilizado una constante que multiplica todos los términos de la matriz de transformación. Este apartado tiene como objetivo la discusión de las ventajas e inconvenientes del valor de la constante, mostradas en la Tabla 7.1. Las constantes de transformación más usuales son 32⁄3 y 2⁄3. En este apartado se analizará como repercute dicha constante bajo tres aspectos: La transformación inversa, es decir, el paso de las magnitudes en referencias R o dq a ejes trifásicos. Las expresiones de las potencias trifásicas instantáneas de activa y reactiva. Escalado o repercusión en la forma de onda transformada. La constante de la transformación hace que el vector giratorio E ,que como se ha visto se proyecta en un sistema de referencia de tres o dos ejes, modifique su amplitud una cierta cantidad
Anexo
Cte.
32⁄3
2⁄ 3
Transf.
Inversa
T.Clarke
f
; f,
T.Park
f
; f,
T.Clarke
f
;
T.Park
f
;
T.Clarke
f
;
T.Park
f
;
1
3 , f 2 3 , f 2 2 , f 3 2 , f 3
` ` a a
z
Escalado
| a ` @ ` a
s s D D
| D s @ s D
32⁄3
Potencia instantánea trifásica
3 a a 2 `` 3 D D 2 ss
2 a a 3 `` 2 D D 3 ss
| | | |
3 @ ` a 2 a` 3 @ s D 2 Ds
2 @ ` a 3 a` 2 @ s D 3 Ds
32⁄3
1
1
3/2
3/2
Tabla 7.1 Repercusión de la constante de transformación.
7.6 Controlador Proporcional-Integral Un proporcional-integral (PI) es un mecanismo de control por realimentación utilizado en sistemas de control industriales. El controlador PI corrige el error entre un valor medido y el valor que se quiere obtener, calculando dicho error y emitiendo una acción correctora. El algoritmo de cálculo de un PI se basa en dos parámetros distintos: el proporcional y el integral. La suma de estas dos acciones es usada para inducir al sistema a ejecutar una determinada especificación de control. La respuesta del control puede ser descrita en términos del grado al cual el controlador llega al Set-Point (Set-Point es cualquier punto de referencia de alguna variable de un sistema de control automático) y del grado de oscilación del sistema. Nótese que el uso del PI para control no garantiza control óptimo del sistema o la estabilidad del mismo. Los controladores PI son particularmente comunes debido a que generalmente presentan insensibilidad ante ruido.
Anexo
01
S
@
S
- " S#
22!
Figura 2.22 Diagrama de bloques del controlador PI.
Para el correcto funcionamiento de un controlador PI que regule un sistema se necesita al menos: ◦ Un sensor que determine el estado del sistema. En el presente trabajo corresponde a equipos de medida de tensión e intensidad. ◦ Un controlador que genere la señal que gobierna al PWM. ◦ Un actuador que modifique al sistema de manera controlada, el propio PWM. El sensor proporciona una señal que representa el punto actual en el que se encuentra el sistema. El controlador lee una señal externa que representa el valor que se desea alcanzar (esta señal recibe el nombre de señal de referencia, la cual es de la misma naturaleza que la señal que proporciona el sensor) y le resta la señal medida, obteniendo así la señal de error, que determina en cada instante la diferencia que hay entre el valor deseado (referencia) y el valor medido. La señal de error es utilizada por cada uno de los dos componentes del controlador PI. La suma de las dos señales resultantes del controlador (la señal resultante de la suma de estas dos se llama variable manipulada) van a ser utilizada para gobernar al PWM de tal forma que la señal de error sea mínima, es decir que la señal medida consiga el valor deseado. La parte proporcional consiste en generar una actuación asociada al producto entre la señal de error y la constante proporcional ( ), de forma que hagan el error en estado estacionario casi nulo. El modo de control integral tiene como propósito disminuir y eliminar el error remanente en estado estacionario, provocado por el modo proporcional. El error integrado es multiplicado por una la constante de integración (- . Posteriormente, la respuesta integral es adicionada al modo proporcional para formar el control P+I con el propósito de
Anexo
obtener una respuesta estable del sistema sin error estacionario. Estas constantes son parte del diseño del controlador y deberán ser determinadas por medio de teoría clásica de control, simulaciones de prueba y error, etc.….
