1. Calcular las siguientes integrales potenciales (se recomienda hacer la comprobación): a) g) m)

∫

1 dx x2

b)

∫

t3 dt t2

h)

x

n)

∫

dx

x

c)

∫x

∫

x2 3 dx x1 3

i)

∫

3

∫

x dx x

∫

x

dx

d)

3

j)

x dx 3

x

4

x

∫

p)

x dx

1

∫x 3

∫

dx

23

x 2 dx x+2

e)

∫ t t dt

f)

∫x x

k)

∫ ( t ) dt

l)

∫

2 3

2

3

3

j) 3 x

7

5

6

d)

3 4 h) 3 x

2

3 8 f) 3 x

e) t /6

k) t /7

l) 2

m) 2 x

x

5

dx

x dx x

dx

x

g) t /2

3

n) 3

3

x

12

o) 12 x

3

i) 6

4

8 3

23

x

c)

23

3

6

b) x /36

o) 5 x 5 3 3

(Soluc: a) –1/x

∫

x5 dx 6

3

25

p) 2 x + 4 x

25

6

x11 11

)

3

2. Calcular las siguientes integrales de funciones compuestas: a)

∫ (x + 1) dx

b)

∫ (7x + 5) dx

c)

∫ 2x (x

f)

∫ x (x

g)

∫ (2x + 1)

h)

∫ x (x

k)

∫t

m)

∫x

2

2

2

3

+ 2) dx

1 dt + 2t + 1

l)

2

−3

dx

dx

∫ x +3x +3x +1 3

2

p)

∫

x2 dx (x + 1)4

q)

∫

u)

∫ cos x sen x dx

v)

∫ cos x sen x dx

z)

∫

3

ln2 x dx x

α)

1 3x + 1

3

d)

+ 1)−7 dx

i)

1 + x 2 dx

2

1

∫x

∫

∫ (x

2

+ 3) dt

2x + 1 dx + x + 1)2

∫

x x2 + 1 dx x2 + 1

∫

arctg x

y)

∫ sen x dx

δ)

∫

∫ 1+ x

∫

j)

2

t)

x) γ)

∫ t (t

x +1 dx x +1

∫ senx cos x dx lnx dx x

e)

o) (x +1)(x2 + 2x +5)6dx

1 − x 2 dx

∫

β)

dx

2

s)

2

3

∫ (2x + 1)

r) (16x + 1) (8x2 + x − 5) dx w)

1 dx x ln2 x

∫ 3x (x +1) dx

n)

∫

dx 2

∫

2

+ 1) dx

2

2

dx

arcsen2 x 1-x

dx

2

cos x 2

dx 1− x arcsen2x 2

ε) (*) arctg x 2 dx 4+ x2

∫

(Soluc: a) (x+1) /3 3

g) m)

3

b) (7x+5) /21

−1 4(2x + 1)2

(1 + x ) 2

h)

−1 18 (x 3 + 1)6

(1 − x )

3

2

n) −

3

3

2

2

3

c) (x +1) /2 i)

−1 2(2x + 1) 2

2

d) (x +1) /2 −1 j) 2 x + x +1 7

o) (x +2x+5) /14

p)

−1 9(x + 1)3 3

3 2

2

3

2

2

e) (t +3) /4 k) −1 t +1 q)

2 3x + 1 3 3

x2 + 1

u) sen x/2 o -cos x/2

v) sen x/3

w) –cos x/3

3

α) –1/lnx

β) ln x/2

2

3 γ) arc sen x

s) 2 x + 1

t)

y) –cosec x

z) ln x/3

3 2 ε) arctg x 2

4

)

3

2

f) (x +2) /6 l)

−1 2(x + 1)2 2

2

r) (8x +x-5) /2 2 x) arc tg x 2 −1 δ) arc sen x

NOTA: En todas las soluciones se omite, por razones de espacio, la cte. de integración C.

3. Calcular las siguientes integrales de tipo logarítmico: a) f) k)

∫ 4x ∫

−1

dx

b)

2x 2 dx 6x3 + 1

g)

1 dx x ln x

l)

∫

1

∫ x − 1 dx 2x + 1 dx 2 x + x +1

h)

dx (1 + x ) arctg x

m)

∫ ∫

1

∫ 3x + 5 dx

c)

2

(Soluc: a) ln x

4

∫

1

x2 dx +2

d)

∫ ax + b dx

e)

∫x

x −1 dx 2 3x − 6x + 5

i)

ex dx 1 + ex

j)

∫ senx + cos x dx

1

n)

∫

1− x2 arcsenx

dx

∫

∫

sec 2 x dx 1 + tg x

d) ln (ax + b) a 1 j) ln senx + cosx

b) ln (x-1)

c) ln 3 3x + 5

g) ln (x 2 + x + 1)

h) ln 6 3x 2 − 6x + 5

i) ln (1 + e x )

m) ln (arcsen x)

n) ln (1 + tg x)

o) ln sen 2 x

3

senx − cos x

o) (*)

∫

cos

x

dx

x sen x

e) ln 3 x 3 + 2

f) ln 9 6x 3 + 1

k) ln (ln x)

l) ln (arctg x)

)

4. Calcular las siguientes integrales de tipo exponencial: a)

∫e

f)

∫

k) p)

−x

x ex

∫

dx 2

− 22

dx

1 lnx e dx x

∫ (6 )

x 2

b)

∫e

g)

∫ ∫

l) q)

dx

(Soluc: a) -1/e

x

2x

dx 2

x e-x dx

7x dx 5x 2x

x h) e + 1 3

i) e

x

∫

x 2 + x −1

j) e

-2x

x 2 ex

∫

+1

2x +1

dx

∫

i) (2x +1) ex +x−1 dx

dx

earctg x dx 1 + x2

n)

∫

2

earcsen x 1− x

2

dx

e)

∫e

j)

∫ cos x e

o)

∫ 12 dx

-2x +1

dx sen x

dx

x

∫ 5 9 dx x

x

d) e

2x+1

/2

e) –e

-2x+1

/2

f)

ex

2

− 22

g) −

2

sen x

k) x

l) e

x r) 45 ln 45

x q) (7 / 5) ln 7 5

p) 36 /ln36

3

∫e

d)

dx

−1 2 e 2x

c)

x

o) 12 /ln12

h)

r)

b) e /2

3

∫e

m)

sec 2 x etgx dx

∫

c)

tg x

m) e

arctg x

n) e

1 2 ex

arcsen x

)

5. Calcular las siguientes integrales trigonométricas sencillas: 1

x

a)

∫ cos(−2x) dx

b)

∫ 3 senx dx

c)

∫ cos 3 dx

d)

f)

∫ sen(−x + 1) dx

g)

∫ 3 cos(2x + 6) dx

h)

∫ x senx

dx

i)

k)

∫ xcos(−3x

l)

m)

∫2

dx

n)

p)

∫

2

− 5) dx

∫ 7x sen(4x 2

3

+ 5) dx

cos

2

x x

∫ sen (x +1) dx

∫ 2xcos(x

2

∫

sen x x

e)

∫ cos(2x + 5) dx

+ 255) dx

j)

∫ xsen(3x

dx

o) cos lnx dx

∫

2

+ 7) dx

x

cos (arctg x) dx 1+ x2

(Soluc:

a)

sen 2x 2

b) − cosx 3

c) 3 sen x 3

d) –cos (x+1)

e) sen (2x + 5) 2

f) cos (-x+1)

2

2

g) 3 sen(2x + 6) 2

h) − cos x

m) sen

n) −2 cos x

2 j) − cos (3x + 7) 6

2

i) sen(x +255)

2

x

o) sen (ln x )

p) sen(arctg x)

2 k) − sen (−3x − 5)

6

3 l) − 7cos (4x + 25)

12

)

6. Calcular las siguientes integrales por el método de sustitución o cambio de variable: a) d)

∫ ( x + 2)

10

x

∫ ( x + 1)

(Soluc:

3

x dx mediante x+2=t

b)

dx haciendo x+1=t

e)

a) ( x + 2) − 2 ( x + 2) 12

11

12

b)

11

 2   

( x − 1)

5

5

+

f) ( x + 1) + ( x + 1) + ... + ( x + 1) + x + 1 + Ln x 10

9

10

2

9

∫x ∫

2 x − 1 dx haciendo t =x-1

c)

x dx x +1

( x − 1)

3

3

   

f)

d) − 1 +

c) arc tg e x

x +1

1 2( x + 1)2

∫e ∫

dx + e− x

x

( x + 1)

con t=e

x

10

x

e) 2

(

dx

x − arctg x

)

)

2

Recordar algunos consejos:

1.

En las integrales NO inmediatas en las que haya

2.

“ “

“

“

RADICANDO=t

“

“

“

, suele funcionar el cambio RADICANDO=t

“ aparezcan

2

de distinto índice, puede funcionar el cambio

mcm de los índices x

x

3.

En las integrales NO inmediatas en las que aparezca a , puede ensayarse a =t

4.

Para integrales trigonométricas NO inmediatas ver los cambios vistos en el tema.

7. Calcular las siguientes integrales de tipo arco tangente: a)

f) k)

∫ ∫

1 dx 2 x + 2x + 2

ax dx 1 + ax

g)

3x + 27

∫ 1+ (3x + 27)

4

(Soluc:

b)

dx

l)

∫

1 dx 2 9x + 6x + 2

c)

∫

2x dx 1 + 4x

h)

1

∫ 3+ x

2

m)

dx

b) arctg (3x + 1)

a) arctg(x+1)

∫

3x dx 1 + 9x

i)

∫ 4x

2

1 dx + 4x + 2 d) arctg e

∫

ex dx 1+ e2x 1

∫

n)

x (1 + x)

i) 2arctg x

2

j)

∫ x (1 + ln

2

1

2

x)

dx

1

2

x

e) x

x f) ln(1 + a )

j) arctg(lnx)

2 k) arctg(3x + 27)

l)

ln a 3 x arctg 3 3

6

n) 1 arctg x

2

∫ 1 + tg x dx

∫ x +4 dx

ln 3

m) 1 arctg(2x + 1)

dx

sec 2 x

e)

4

x h) arctg3

ln 2

d)

4 c) arctg x

3 x g) arctg2

∫

x3 dx 1 + x8

)

2

8. Calcular las siguientes integrales de tipo neperiano-arco tangente: a)

∫x

f)

∫x

k)

∫x

2

2

x dx + 2x + 17

b)

∫x

x+3 dx − 2x + 5

g)

∫x

2x + 4 dx 2 +4

2

x −1 dx + 2x + 2

2x + 7 dx + x +1

2

x +1

c)

∫ x + x +1 dx

h)

∫x

2

2

x dx + 2x + 3

d)

∫x

i)

∫x

2

2

x +1 dx + 6x + 13

e)

∫ 25 + x

x +1

x +1 dx − 6x + 13

j)

∫x

2

2

dx

2x + 5 dx − 4x + 13

(Soluc:

a) ln x 2 + 2x + 17 − 1 arctg x + 1

b) ln x 2 + 2x + 2 − 2arctg(x + 1)

d) ln x 2 + 6x + 13 − arctg x + 3

e) ln x 2 + 25 + 1 arctg x 5 5

f) ln x 2 − 2x + 5 + 2 arctg x − 1

g) ln(x 2 + x + 1) + 4 3 arctg 2x + 1

h) ln x 2 + 2x + 3 − 2 arctg x + 1

i) ln x 2 − 6x + 13 + 2 arctg x − 3

j) ln(x 2 − 4x + 13) + 3 arctg x − 2

k) ln(x 2 + 4) + 2 arctg x

4

c) ln x 2 + x + 1 + 3 arctg 2x + 1

4

3

2

2

2

3

3

3

2

2

)

2

9. Calcular por partes las siguientes integrales: a)

∫ x lnx dx

b)

∫

x lnx dx

c)

∫ x lnx dx

d)

f)

∫ ln(x + 1) dx

g)

∫ arc cos x dx

h)

∫x

i)

k)

∫e

l)

m)

∫x

x

sen x dx

(Soluc:

∫ (x

2

+ 1) e- x dx

2

2

cosx dx

3

∫ ln x dx 2

∫x e 3

∫x e

n)

cosx 2 dx

-x2

2

dx

2x +1

dx

e)

∫x e

j)

∫ (x

o)

2

dx

− 2x − 1) e x dx

2

∫ (x

x

+ 1) sen 2x dx

2

b) 2 x 3 ln x − 4 x 3 3 9

3 3 c) x ln x − x 3 9

e) e (x -2x+2)

f) xln(x+1)-x+ln(x+1)

g) x arccos x − 1 − x 2

h) x senx+2xcosx-2senx

2 i) − x + 1 x

j) e x (x 2 − 4x + 3)

x k) e (senx − cos x)

2 l) − x + 2x + 3 x

2 2 a) x ln x − x

2 x

4

2

2e

2

m) 1 x 2 sen x 2 + 1 cos x 2 2

2

2

n) x e2 x +1 − x e2 x +1 + 1 e2 x +1 2 2 4

2

d) xln x-2xlnx+2x

2

2

e

)

10. Calcular las siguientes integrales racionales: a) e) i)

∫

2x + 1 dx x − 5x + 6

b)

∫

3x + 5 dx x − x2 − x + 1

f)

∫

2

3

7x2 + 3x + 5 dx x3 + x

j)

x 2 − 6x + 7 dx x − 4x 2 + x + 6

c)

∫

2x 3 − 5x 2 + 4x − 2 dx x 2 − 3x + 2

g)

∫

9x + 23 dx x + 6x + 9

∫

3

2

2x 2 − 4x + 1 dx x − 4x 2 + 5x − 2

n)

∫

x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 3 dx x 3 − 3x 2 + 4

r)

∫e

m)

∫

q)

∫

(Soluc:

3

7

(x − 2)

e) ln x + 1 − 4

x −1

2 h) ln (x + 2) − 3

(x − 1)

x −1

∫

2x 2 + 3 dx x + x2 − 2

h)

k)

∫

8x 2 − 2x − 1 dx x − x 2 + 4x − 4

l)

o)

∫x

3

3

2x + 1 dx +x−6

∫x

∫ ∫

1 dx − 5x

x 2 − 2x + 10 dx x3 − 3x + 2

x3 − 2x 2 + x − 1 dx x 2 − 3x + 2

x+2

∫ x − x − 6 dx

p)

2

2

2

dx +1 6

(x + 1)7

x−3

c) ln(x 2 − x − 2) − 1

x−2

d) ln 5 1 − 5 x

f) x 2 + x + ln[(x − 1)(x − 2)2 ]

g) ln (x − 1) 

x 2 + 2x + 2  − 2arctg(x + 1) 

i) ln  x 5 (x 2 + 1)  + 3arctg x  

j) ln(x + 3)9 +

4 x+3

2 l) x + x + ln(x 2 − 3x + 2) m) ln(x 2 − 3x + 2) − 1 2 x −1

p) ln(x − 3)

d)

x

3 b) ln x − 2

a) ln (x − 3) 5

x −1

2x 2 − 8x − 1 dx 2x 2 − 7x + 3

∫

2x2 − 4x + 3 dx x3 − 3x2 + 4

x2 1 q) + ln(x 2 − x − 2) − 2 x−2

n) x − ln

5

(x − 3)7

10

(2x − 1)

r) x − ln(e x + 1)

9

)

k) ln ( x − 1)· x 2 + 4 7  + 5 arctg x ( )  

o) ln(x 2 + x − 6)



2

2

11. Calcular las siguientes integrales trigonométricas no inmediatas, haciendo cambios o transformando los integrandos:

∫ sen x cos

g)

∫ cos

2

(Soluc:

2

2

x dx

sen x + tg x dx (Descomponer el integrando) cos x

b)

∫ sen x dx (Hacer cosx=t)

c)

∫

e)

∫ sec x dx

f)

∫ cos x ctg x dx

5

  

2

−

1

d)

x dx (Hacer senx=t)

5

x 2 1 n e s

∫ cos

= x 2 g t c r i u t i t s u S

a)

  

3x dx

5 a) sen x − 2 sen3 x + sen x

5 b) −cos x + 2 cos3 x − cos x

c) sec x − ln cos x

e) ln sen x + 1

f) − cos ec x − sen x

g) x + sen 6x

3

5

3

1 − sen x

5

2

d) x − sen4x 8 32

)

12

12. Calcular por el método más adecuado (entre paréntesis figura una ayuda) las siguientes integrales: 1

∫ (x − 1)

a)

2

dx (inmediata)

∫

d) (x2 − 2x − 3) lnx dx (por partes)

∫

6x + 8 dx (ln-arctg) x + 2x + 5

b)

∫ 3x

e)

∫x

x −1 dx (tipo ln) − 6x + 5

c)

∫ (x − 1) e

1 dx (raíces ℜ simples) −1

f)

∫x

x3 + 1 dx (raíces ℜ simples) x − 5x + 4

i)

∫ sec x dx (cambio senx=t) ∫ cos3x sen 3x dx (inmediata)

2

2

2

x

dx (por partes)

x+5 dx (raícesℜ simpl +x−2

h)

∫

1 + sen2 x dx (cambio senx=t) senx cos x

k)

∫ 1− cos x dx (transformar el integrando)

l)

m)

∫x

n)

∫ x arctgx dx (por partes)

o)

∫x

p)

∫

x−3 dx (ln-arctg) x 2 + 49

q)

∫

r)

∫ x ln(x +1) dx (por partes)

s)

∫

ln3 x dx (inmediata) x

t)

∫ sen(lnx) dx

u)

∫ x ln(x +1) − e  dx

∫

1 + 2x dx 1 + x2

w)

∫

y)

∫

x2 + 1 dx (hacer la división) x −1

z)

∫x

β)

∫

γ)

∫ xln x−2ln x−lnx+2 dx

g) j)

v)

∫

(Sol:

2

2

sen3x dx (por partes)

1 x −2 2

dx (tipo arcsen)

2

cosx

x4 − 3x2 − 3x − 2 dx (raícesℜ simples) x3 − x2 − 2x

1+ x dx (hacer la división) 1− x 2

1

3

a) −1

b) ln 6 3x 2 − 6x + 5

e) ln x − 1

f) ln

x −1

x +1

i) ln senx + 1 − ln 3 senx − 1 −

( x − 1)

9

x

c) xe –2e

2

2

e3x dx (por partes)

2

x)

∫

α)

∫

-x

x2 + x + 1 dx (hacer la división) x +1 7 + 2tgx dx cos2 x

(hacer ln x=t)

 x3  x3 x2 − x 2 − 3x  − + + 3x 2  3  9

x

d) ln x 

g) ln(x 2 + 2x + 5)3 + arctg x + 1

h) x 2

2

j) ln sen x 2

1 1 − 4(senx − 1) 4(senx + 1)

27

2

2

x+2

2 m) − x cos 3x + 2xsen3x + 2 cos 3x

3

x dx +9

3

2

3 l) sen 3x

k) -x-cosecx-ctgx

cos x

2 n) x arctg x − x + arctg x

2

( x − 4) 2 ( x − 1)

65

+ 5x + ln 3

9 2 3x 3x 3x o) x e − 2xe + 2e

3

3

9

p) ln(x 2 + 49) − 6 arctg x 7

7

4 s) ln x

2 q) x + x + lnx − ln 3 (x − 2)2 − ln 3 x + 1

2 r) x 2 ln x + 1 − x + x − ln x + 1

2 2 2 u) x ln x + 1 + ln x 2 + 1 − x + x + 1 x

v) arctgx+ln(x +1)

w) -x-ln(1-x)

z) ln x 2 + 9

α)

2

2

2

4

2

t) 1 x(sen ln x − cos ln x) 2

4

2

2

e

2 y) x + x + ln(x − 1)2

2

(7 + 2tgx)3 3

2 x) x + ln(x + 1) 2 2 γ) ln 6 (ln x − 2) (ln x + 1) 3

(ln x − 1)

)

2

13. Calcular la primitiva de f(x)=ln x que se anula en x=e 14. Determinar f(x) sabiendo que f ´´´(x)=24x, f(0)=0, f ´(0)=1 y f ´´(0)=2 2

4

2

(Soluc: f(x)=x +x +x)

15. Hallar un polinomio cuya derivada sea x +x-6 y tal que el valor de su máximo sea tres veces mayor que el de

su mínimo. (Soluc: p(x)=x3/3+x2/2-6x+71/4)