´ Ingenier´ıa Matematica FACULTAD DE CIENCIAS ´ F´ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Calculo Diferencial e Integral 08-2

Importante: Visita regularmente http://www.dim.uchile.cl/~calculo. Ah´ı encontrar´as las gu´ıas de ejercicios y problemas, adem´ as de informaci´on Ingenier´ıa acerca Matem´ atica de cu´ al ser´a la din´ amica del curso.

Universidad de Chile

SEMANA 3: DERIVADAS

2. Derivadas 2.1. Funciones derivables Las funciones m´as simples de analizar son las funciones afines a(x) = n + mx. Ahora bi´en, muchas funciones no lineales son “aproximadamente afines” cuando se las observa en una peque˜ na vecindad en torno a un punto. Por ejemplo, a simple vista, el gr´ afico de f (x) = sin(x) en el intervalo [−0,1, 0,1] es pr´acticamente indistinguible del gr´ afico de a(x) = x. De hecho, la diferencia m´axima entre ambas funciones es del orden de 1.7e-04, vale decir menos del 0.1 % del largo del intervalo. −4

2 0.1

0.1

0.08

0.08

0.06

0.06

0.04

0.04

x 10

1.5

1

0.5 0.02

0.02

0

0

−0.02

−0.02

−0.04

−0.04

−0.06

−0.06

−0.08

−0.08

0

−0.5

−1

−1.5

−0.1 −0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

f (x) = sin(x)

0.06

0.08

0.1

−0.1 −0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

−2 −0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

o(x) = sin(x) − x

a(x) = x

El mismo ejercicio en el intervalo [−0,01, 0,01] arroja diferencias inferiores al 0.001 % del largo del intervalo. Observando intervalos m´as y m´as peque˜ nos en torno a 0 las discrepancias se hacen cada vez menos perceptibles, de manera que la funci´on af´ı n a(x) = x es una muy buena aproximaci´on de la funci´on sin(x) cerca de 0. Esto corresponde simplemente al hecho que l´ım sin(x)/x = 1, lo cual x→0

se puede escribir tambi´en en la forma sin(x) = x + o(x) donde el “error” o(x) es peque˜ no comparado con x: l´ım o(x)/x = 0. x→0

M´as generalmente consideremos una funci´on f : (a, b) → y x ¯ ∈ (a, b). Supongamos que deseamos encontrar una funci´on af´ı n a(x) = n + mx que sea una “buena” aproximaci´on de f (x) en torno a x ¯, es decir f (x) ∼ a(x)

para

x∼x ¯.

Es razonable imponer de partida que ambas funciones entreguen el mismo valor para x = x ¯, vale decir, a debe ser de la forma a(x) = f (¯ x) + m(x − x ¯). Con esto, la propiedad de aproximaci´on se escribe f (x) ∼ f (¯ x) + m(x − x ¯) y por lo tanto la pendiente m debe ser tal que m ∼ q(x) :=

f (x) − f (¯ x) . x−x ¯

20

0.1

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Universidad de Chile Dado que nos interesa la propiedad de aproximaci´on para x cercano a x ¯, es razonable escoger m como el l´ı mite de los cuocientes q(x) cuando x tiende a x ¯. Geom´etricamente, q(x) corresponde a la pendiente de la recta secante al gr´ afico de f como muestra la figura, y el proceso l´ı mite se interpreta como la b´ usqueda de la recta tangente al gr´ afico de f en x ¯.

m f(x) q(x) f(x)

x

x

Definici´ on 2.1. Diremos que f : (a, b) → es derivable en el punto x ¯ ∈ (a, b), si existe el l´ı mite f (x) − f (¯ x) . l´ım x→¯ x x−x ¯ Dicho l´ı mite se denota f ′ (¯ x) o bi´en

df x) dx (¯

y se llama derivada de f en x ¯.

De manera equivalente, f es derivable en x ¯ si existe una pendiente m = f ′ (¯ x) ′ tal que la funci´on af´ı n a(x) = f (¯ x) + f (¯ x)(x − x ¯) es una aproximaci´on de f en el sentido que f (x) = f (¯ x) + f ′ (¯ x)(x − x ¯) + o(x − x ¯) con l´ım o(h)/h = 0. Usando el cambio de variable h = x − x ¯, lo anterior puede h→0

escribirse equivalentemente

f (¯ x + h) − f (¯ x) h→0 h

f ′ (¯ x) = l´ım o tambi´en

f (¯ x + h) = f (¯ x) + f ′ (¯ x)h + o(h). Notemos que si f es derivable en x ¯ entonces es continua en dicho punto pues l´ım f (x) = l´ım [f (¯ x) + f ′ (¯ x)(x − x ¯) + o(x − x ¯)] = f (¯ x).

x→¯ x

x→¯ x

Ejemplo 2.1. Una funci´on af´ın f (x) = a + bx es obviamente derivable en todo punto x ¯∈ con f ′ (¯ x) = b. En particular las funciones constantes son derivables con derivada nula en todo punto.

Ejemplo 2.2. La funci´on f (x) = |x| es derivable en todo punto x ¯ 6= 0. De hecho, si x ¯>0 la funci´on f coincide con la funci´on g(x) = x en un entorno de x ¯ y por lo tanto f ′ (¯ x) = 1. Similarmente se tiene f ′ (¯ x) = −1 si x ¯ < 0. Para x ¯ = 0 la funci´on |x| no es derivable pues l´ım |h|/h no existe (los l´ı mites laterales son h→0

distintos).

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derivable en x ¯

f ′ (¯ x),

df (¯ x), dx

derivada de f en x ¯

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Universidad de Chile Ejemplo 2.3. La funci´on definida por f (x) = x sin(1/x) si x 6= 0 y f (0) = 0, es continua en x ¯ = 0 pero no es derivable en dicho punto pues [f (h) − f (0)]/h = sin(1/h) no converge cuando h → 0. Ejemplo 2.4. La funci´on f (x) = x2 es derivable en todo punto x ¯∈

, pues

f (¯ x + h) − f (¯ x) (¯ x + h)2 − x ¯2 2¯ xh + h2 = = = 2¯ x + h −→ 2¯ x h h h de modo que f ′ (¯ x) = 2¯ x.

Ejemplo 2.5. El ejemplo de motivaci´ on del cap´ı tulo muestra que la funci´on sin(x) es derivable en x ¯ = 0 con sin′ (0) = 1. M´as generalmente, esta funci´on es derivable en todo punto x ¯ ∈ y se tiene sin′ (¯ x) = cos(¯ x). En efecto, la f´ormula del seno de una suma de ´angulos nos da sin(¯ x + h) − sin(¯ x) sin(¯ x)(cos(h) − 1) + cos(¯ x) sin(h) = h h de modo que la conclusi´on se sigue de los l´ı mites conocidos : l´ım [cos(h) − h→0

1]/h = 0 y l´ım sin(h)/h = 1. h→0

Similarmente, cos(x) es derivable en todo punto x ¯∈

y se tiene

cos′ (¯ x) = − sin(¯ x). Esto resulta de la f´ormula del coseno de una suma de ´angulos que permite escribir cos(¯ x + h) − cos(¯ x) cos(¯ x)(cos(h) − 1) − sin(¯ x) sin(h) = . h h

Ejemplo 2.6. La funci´on exp(x) es derivable en todo punto x ¯ con exp′ (¯ x) = exp(¯ x). En efecto, dado que l´ımh→0 [exp(h) − 1]/h = 1 (l´ımite conocido), se tiene l´ım

h→0

exp(¯ x + h) − exp(¯ x) exp(h) − 1 = l´ım exp(¯ x) = exp(¯ x). h→0 h h 22

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Universidad de Chile Asimismo, el l´ı mite l´ımu→0 ln(1 + u)/u = 1 implica que ln(x) es derivable en todo punto x ¯ > 0 con ln′ (¯ x) = l´ım

h→0

ln(1 + u) 1 ln(1 + h/¯ x) ln(¯ x + h) − ln(¯ x) = l´ım = l´ım = . u→0 h→0 h h x ¯u x ¯

´ 2.2. Reglas de calculo de derivadas 2.2.1.

Algebra de derivadas

Las propiedades algebraicas del l´ı mite nos permiten obtener reglas sencillas para calcular la derivada de una suma, producto y cuociente de funciones derivables.

Proposici´ on 2.1. Sean f, g : (a, b) → (a) f + g es derivable en x ¯ con

derivables en x ¯ ∈ (a, b). Entonces:

(f + g)′ (¯ x) = f ′ (¯ x) + g ′ (¯ x). (b) f g es derivable en x ¯ con (f g)′ (¯ x) = f ′ (¯ x)g(¯ x) + f (¯ x)g ′ (¯ x). (c) Si g(¯ x) 6= 0 entonces f /g es derivable en x ¯ con  ′ f f ′ (¯ x)g(¯ x) − f (¯ x)g ′ (¯ x) (¯ x) = . g g(¯ x)2 ´ n. La propiedad (a) resulta de la linealidad del l´ı mite junto con Demostracio (f + g)(x) − (f + g)(¯ x) f (x) − f (¯ x) g(x) − g(¯ x) = + . x−x ¯ x−x ¯ x−x ¯ An´alogamente, para ver (b) basta usar la identidad g(x) − g(¯ x) f (x) − f (¯ x) f (x)g(x) − f (¯ x)g(¯ x) = f (x) + g(¯ x) . x−x ¯ x−x ¯ x−x ¯ Observando que f es continua en x ¯ y usando ´algebra de l´ı mites resulta que el primer t´ermino de la suma anterior converge a f (¯ x)g ′ (¯ x), mientras que el ′ segundo t´ermino tiende a g(¯ x)f (¯ x). La propiedad (c) se obtiene de manera similar usando la descomposici´on   f (x) − f (¯ x) 1 g(x) − g(¯ x) f (x)/g(x) − f (¯ x)/g(¯ x) g(¯ x) . = − f (¯ x) x−x ¯ g(x)g(¯ x) x−x ¯ x−x ¯ 

23

´ Algebra de derivadas

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Universidad de Chile Ejemplo 2.7. Para cada n ∈ x ¯ ∈ con

, n ≥ 1, la funci´on fn (x) = xn es derivable en todo punto fn′ (¯ x) = n¯ xn−1 .

Los ejemplos de la secci´on anterior muestran que la f´ormula vale para n = 0, 1, 2. Probemos por inducci´on que la f´ormula es cierta para todo n ≥ 1. En efecto, si el resultado se tiene para un cierto n ≥ 1 entonces, de acuerdo a la proposici´on anterior la funci´on fn+1 (x) = xn+1 = xn · x = fn (x) · x es derivable en x ¯ con ′ fn+1 (¯ x) = fn′ (¯ x) · x ¯ + fn (¯ x) · 1 = n¯ xn−1 · x ¯+x ¯n = (n + 1)¯ xn

lo cual concluye el paso de inducci´on. Con esto, la f´ormula para la derivada de un cuociente implica que para n ∈ , n ≥ 1, la funci´on gn (x) = x−n = 1/xn es derivable en todo punto x ¯ 6= 0 con gn′ (¯ x) =

−n¯ xn−1 = −n¯ x−n−1 . (¯ xn )2

Ejemplo 2.8. Como corolario del ejemplo anterior se sigue que todo polinomio p(x) = a0 + a1 x + · · · + ak xk es derivable en todo punto x ¯ ∈ con p′ (¯ x) = a1 + 2a2 x ¯ + 3a3 x ¯2 + · · · + nan x ¯n−1 . Por ejemplo p(x) = 1+x3 +5x7 es derivable con p′ (¯ x) = 3¯ x2 +35¯ x6 . Asimismo, toda funci´on racional es derivable en su dominio. Por ejemplo f (x) = x/(1 − x2 ) es derivable en todo punto x ¯ ∈ \ {−1, +1}, con f ′ (¯ x) =

1+x ¯2 1 · (1 − x ¯2 ) − x ¯ · (−2¯ x) = . 2 2 (1 − x ¯ ) (1 − x ¯2 )2

Ejemplo 2.9. Las funciones tan(x) y cotan(x) son derivables en sus respectivos dominios y se tiene tan′ (¯ x) =

sec2 (¯ x),

cotan′ (¯ x) = −cosec2 (¯ x). La primera f´ormula por ejemplo es v´ alida para todo x ¯ 6∈ {π/2 + kπ : k ∈ }, y se obtiene usando la f´ormula de la derivada de un cuociente pues ′  sin′ (¯ x) cos(¯ x) − sin(¯ x) cos′ (¯ x) cos2 (¯ x) + sin2 (¯ x) 1 sin (¯ x) = = = . cos cos2 (¯ x) cos2 (¯ x) cos2 (¯ x)

24

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Universidad de Chile Ejemplo 2.10. La regla del cuociente implica que f (x) = exp(−x) es derivable en f ′ (x) = − exp(−x). De esto, usando ´ algebra de derivadas, se deduce sinh′ (¯ x) = ′

cosh (¯ x) = ′ tanh (¯ x) =

con

cosh(¯ x), sinh(¯ x), 1/ cosh2 (¯ x).

Ejemplo 2.11. La funci´on f (x) = exp(x)+x2 sin(x) es derivable en todo x ¯ ∈ . En efecto, las funciones x2 y sin(x) son derivables en todo , y por lo tanto lo mismo ocurre con su producto x2 sin(x). La suma de esta u ´ltima con la funci´on derivable exp(x), nos da la funci´on f (x) la cual resulta por lo tanto derivable en todo . El ´algebra de derivadas nos permite calcular f ′ (¯ x) = exp′ (¯ x) + 2¯ x sin(¯ x) + x ¯2 sin′ (¯ x) = exp(¯ x) + 2¯ x sin(¯ x) + x ¯2 cos(¯ x). En particular f ′ (1) ∼ 4,9415 y puesto que f (1) ∼ 3,5598 se obtiene que la aproximaci´on af´ı n de f (·) en x ¯ = 1 es la funci´on a(x) = 3,5598 + 4,9415(x − 1) = 4,9415x − 1,3818. 20

15 f(x)

10

y=4.94x−1.38

5

0

−5

2.2.2.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Regla de la cadena

La composici´on de funciones derivables sigue siendo derivable y existe una f´ormula sencilla para calcular su derivada: la regla de la derivaci´ on en cadena, o simplemente regla de la cadena. Teorema 2.1. Sea f : (a, b) → (c, d) derivable en x ¯ ∈ (a, b) y g : (c, d) → derivable en y¯ = f (¯ x) ∈ (c, d). Entonces g ◦ f es derivable en x ¯ con (g ◦ f )′ (¯ x) = g ′ (f (¯ x)) · f ′ (¯ x). 25

Regla de la cadena

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Universidad de Chile ´ n. Definiendo q(y) := [g(y) − g(¯ Demostracio y )]/[y − y¯] si y 6= y¯ y q(¯ y ) := ′ g (¯ y ) podemos escribir g(y) − g(¯ y ) = q(y)[y − y¯] con l´ımy→¯y q(y) = g ′ (¯ y ). De aqu´ı resulta l´ım

x→¯ x

g(f (x)) − g(f (¯ x)) f (x) − f (¯ x) = l´ım q(f (x)) = g ′ (¯ y )f ′ (¯ x). x→¯ x x−x ¯ x−x ¯



df Observaci´ on: Usando la notaci´ on dx para la derivada, la regla de la cadena adopta una forma m´as f´acil de recordar: si y = y(u) con u = u(x) entonces

dy du dy = . dx du dx

Ejemplo 2.12. Para a > 0, la funci´on f (x) = ax es derivable en todo

con

f ′ (¯ x) = ln(a)ax¯ . En efecto, por definici´on se tiene f (x) = exp(x ln(a)) la cual es la composici´on de la funci´on exp con la funci´on lineal g(x) = x ln(a). La regla de la cadena asegura que dicha composici´on es diferenciable y se tiene f ′ (¯ x) = exp′ (¯ x ln(a))g ′ (¯ x) = exp(¯ x ln(a)) ln(a) = ln(a)ax¯ .

Ejemplo 2.13. Podemos tambi´en generalizar la regla de la derivada para las potencias al caso de potencias de exponente real. Sea a ∈ , a 6= 0. La funci´on f (x) = xa definida para x > 0 es derivable en todo x ¯ > 0 con f ′ (¯ x) = a¯ xa−1 . Para ver esto basta expresar f (x) = exp(a ln(x)) y aplicar la regla de la cadena para obtener f ′ (¯ x) = exp(a ln(¯ x)) En particular f (x) =

√

a a =x ¯a = a¯ xa−1 . x ¯ x ¯

x es derivable en todo x ¯ > 0 con 1 f ′ (¯ x) = √ . 2 x ¯

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Universidad de Chile q  Ejemplo 2.14. 2 La funci´on f (x) = tanh 1 + sin (x) es composici´on de funciones deriva-

bles. La regla de la cadena nos permite calcular: q  q ′ 1 + sin2 (x) 1 + sin2 (x) f ′ (x) = tanh′ cosh2

q

 ′ 1  q 1 + sin2 (x) 2 1 + sin2 (x) 2 1 + sin (x)

cosh2

q

sin(x) cos(x) q . 2 2 1 + sin (x) 1 + sin (x)

1

=

=

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Universidad de Chile 2.2.3.

Derivadas de funciones inversas

Teorema 2.2. Sea f : (a, b) → (c, d) biyectiva y continua. Si f es derivable en x ¯ ∈ (a, b) con f ′ (¯ x) 6= 0, entonces la funci´ on inversa f −1 : (c, d) → (a, b) es derivable en y¯ = f (¯ x) con (f −1 )′ (¯ y) =

1 1 = ′ −1 . f ′ (¯ x) f (f (¯ y ))

´ n. Del cap´ı tulo anterior sabemos que la funci´on inversa f −1 es Demostracio cont´ı nua. De este modo, definiendo x(y) = f −1 (y) se tiene l´ımy→¯y x(y) = x ¯, y por lo tanto x(y) − x ¯ 1 f −1 (y) − f −1 (¯ y) = l´ım = ′ . y→¯ y f (x(y)) − f (¯ y→¯ y y − y¯ x) f (¯ x) l´ım



df el resultado anterior adopta Observaci´ on: Nuevamente en la notaci´on dx una forma sugerente: si y = y(x) y x = x(y) representa la funci´on inversa, entonces dy dx = 1/ . dx dy

Ejemplo 2.15. La funci´on arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2], siendo la inversa de sin resulta derivable en todo punto y¯ ∈ (−1, 1). En efecto, en tal caso tenemos x ¯ = arcsin(¯ y ) ∈ (−π/2, π/2) y se tiene sin′ (¯ x) = cos(¯ x) 6= 0, con lo cual arcsin′ (¯ y) =

1 1 1 1 = =q =p . cos(¯ x) sin′ (¯ x) 2 1 − y¯2 1 − sin (¯ x)

Ejemplo 2.16. La funci´on tan : (−π/2, π/2) → es derivable en todo punto x ¯ ∈ (−π/2, π/2) con tan′ (¯ x) = 1/ cos2 (¯ x) > 0. Su inversa arctan : → (−π/2, π/2) es por lo tanto derivable en todo punto y¯ = tan(¯ x) y se tiene arctan′ (¯ y) =

1 1 1 = cos2 (¯ x) = . = ′ 2 tan (¯ x) 1 + y¯2 1 + tan (¯ x)

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(f −1 )′ (¯ y)

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Universidad de Chile Ejemplo 2.17. La inversa de tanh : (tanh−1 )′ (¯ y) =

→ (−1, 1) es derivable en todo punto y¯ ∈ (−1, 1) con 1 1 . = cosh2 (tanh−1 (¯ y )) = −1 1 − y¯2 tanh (tanh (¯ y )) ′

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