Institut f¨ ur Geometrie und Praktische Mathematik H¨ ohere Mathematik IV (f¨ ur Elektrotechniker und Technische Informatiker) - Numerik - SS 2007 Dr. S. B¨ orm , Dr. M. Larin

Polynominterpolation

Aufgabe 1 Gegeben sei die Wertetabelle i 0 1 2 3 xi 0 1 2 4 . fi −3 1 2 7 a) Bestimmen Sie das Interpolationspolynom von Lagrange durch die obigen Wertepaare. b) Interpolieren Sie die Wertetabelle gem¨aß der Newton-Form. c) Wie lautet das Interpolationspolynom unter Hinzunahme des Punktes (x4, f4) = (−1, 1) bzw. der Punkte (x4, f4) = (−1, 1) und (x5, f5) = (3, 6)?

Polynominterpolation

P4(x) =

4 X j=0

2

f (xj ) lj4(x)

x−1 x−2 x−4 x+1 = (−3) · · · · 0−1 0−2 0−4 0+1 x−0 x−2 x−4 x+1 +1 · · · · 1−0 1−2 1−4 1+1 x−0 x−1 x−4 x+1 +2 · · · · 2−0 2−1 2−4 2+1 x−0 x−1 x−2 x+1 +7 · · · · 4−0 4−1 4−2 4+1 x−0 x−1 x−2 x−4 · · · +1 · −1 − 0 −1 − 1 −1 − 2 −1 − 4 7 4 83 3 53 2 83 = x − x + x + x − 3. 15 30 15 30

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Polynominterpolation: Lagrange-Form

Die Lagrangschen Grundpolynome lauten n Y x − xk `jn(x) = , j = 0, . . . , n. xi − xk k=0 k 6= j Sie haben die Eigenschaft `jn(xi) = δji,

i, j = 0, . . . , n,

wobei δji das Kronecker–Symbol bezeichnet. In der Lagrange-Darstellung lautet die Interpolationspolynom n X f (xj )`jn(x). Pn(x) = j=0

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Polynominterpolation: Newton-Form

Die Newton-Basis lautet w0(x) = 1, wk (x) =

k−1 Y

(x − xi),

i=0

mit k = 0, . . . , n. Die dividierten Differenzen berechnen sich rekursiv nach der Formel [x1,...,xn]f −[x0,...,xn−1]f [x0, . . . , xn]f = xn−x0

mit [xi]f = f (xi). Das Interpolationspolynom in der Newton–Form lautet n X Pn(x) = [x1, . . . , xk+1]f · wk (x). k=0

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Polynominterpolation

Aufgabe 2 Sei f (x) = ex und p(x) ∈ P3 dasjenige Polynom, das f (x) an den Stellen x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, interpoliert. a) Geben Sie p(x) in der Newton-Form an. b) Wie groß kann der Interpolationfehler im Interval [1, 2] h¨ochstens werden? c) Wie l¨aßt er sich an der Stelle x = 12 absch¨atzen und wie groß ist er tats¨achlich?

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Polynominterpolation: Fehlerabsch¨ atzung

F¨ur xi ∈ [a, b] und f ∈ Rn+1[a, b] gilt f (n+1)(ξ) · ωn+1(x), f (x) − Pn(x) = (n + 1)! wobei ξ ∈ [a, b] und ωn+1(x) = (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn). Die Fehlerabsch¨atzung auf [a, b]: f (n+1)(ξ) |f (x) − pn(x)| = · ωn+1(x) (n + 1)! f (n+1)(x) ≤ max · max |ωn+1(x)| x∈[a,b] (n + 1)! x∈[a,b]

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Polynominterpolation

Aufgabe 3 Die Funktion f (x) := 2 sin(3πx) soll durch Polynome an den St¨utzstellen x1 = 0, x2 =

1 1 1 , x3 = , x4 = 12 6 3

interpoliert werden. a) Werten Sie das Interpolationspolynom P (f |x1, x2, x4)(x) 1 mit dem Aitken-Neville-Schema an der Stelle x = 10 aus. b) Bestimmen Sie die Lagrange- und die Newton-Darstellung des Polynoms P (f |x1, x2, x3)(x). c) Werten Sie die Newton-Darstellung aus Teilaufgabe b) 1 und mit dem Horner-Schema an den Stellen y1 = 10 y2 = 18 aus. d) Sch¨atzen Sie den Interpolationsfehler |P (f |x1, x2, x3)(x) − f (x)| im Intervall [0, 16 ] ab. e) Ermitteln Sie das Interpolationspolynom P (f |x1, x2, x3, x4)(x). Welche Darstellung w¨ahlen Sie?

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Polynominterpolation: Horner-Schema

Zur Berechnung des Wertes des Polynom n X Pn(a) = ck wk (a) = c0 + (a − x0)(c1 k=0

+ . . . (cn−1 + (a − xn−1)cn) . . .)). mit ck = [x1, . . . , xk+1]f an der Stelle x = a benutzt man eine effiziente Methode Setze p := cn. F¨ur k = n − 1, . . . , 0 berechne s = ck + (a − xk )p

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Polynominterpolation: Neville-Aitken-Schema

Lemma 8.6. x−xi−k i−x P Pi,k = x −x Pi,k−1 + x x−x i i i−k i−k i−1,k−1 i−u (P = Pi,k−1 + u u−u i−1,k−1 − Pi,k−1) i i−k

f¨ur

0 ≤ k ≤ i ≤ n.

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Polynominterpolation

Aufgabe 4 Die Funktion Z x f (x) =

sin2(t) dt

0

soll im Intervall I = [0, π2 ] ¨aquidistant so tabelliert werden, daß bei linearer Interpolation der Interpolationsfehler f¨ur jedes x ∈ I kleiner als 0.25 · 10−4 ist. Wie groß darf der St¨utzstellenabstand h dann h¨ochstens sein und wieviele Funktionswerte m¨ussen in die Tabelle aufgenommen werden?

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Polynominterpolation

Aufgabe 5  Gegeben seien die reellen St¨utzstellen x0, x1, . . . , xn ∈ R mit x0 < x 1 < · · · < x n und eine stetige Funktion f : R → R. Das Interpolationspolynom P (f |x0, . . . , xn) ist eindeutig bestimmt.  Gegeben seien die reellen St¨utzstellen x0, x1, . . . , xn ∈ R mit x0 < x 1 < · · · < x n und eine stetige Funktion f : R → R. Sei τ ∈ S{0,1,...,n} eine Permutation der Punkte 0 bis n. Dann gilt P (f |x0, x1, . . . , xn) = P (f |xτ (0), xτ (1), . . . , xτ (n)).

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Polynominterpolation

Aufgabe 5  Seien [a, b] ⊂ R ein kompaktes Intervall und f : [a, b] → R (n + 1)-mal stetig differenzierbar. Dann l¨aßt sich der Approximationsfehler absch¨atzen durch |f (n)(x)| . max |f −Pn| ≤ max |ωn|· max x∈[a,b] x∈[a,b] x∈[a,b] (n + 1)!  Es sei li,n(x) die Lagrange–Grundpolynome zu den St¨utzstellen x0, . . . , xn, n ≥ 1, dann gilt n X (x + 1)n = li,n(x)(xi + 1) i=0

f¨ur alle x ∈ [x0, xn].