Loyce  Engler    

AMDM  Lesson  Plan  02/18,  21,  22,  23  

Topic:      Using  Functions  in  Models  and  Decision  Making:  Cyclical  Functions     Objective:  Students  model  real-­‐world  data  using  cyclical  or  sinusoidal  models.  Students  interpret   cyclical  models  in  the  context  of  the  situation.  Students  use  cyclical  models  to  make  predictions  and   draw  conclusions.  Students  discuss  various  types  of  limitations  that  occur  in  models,  including   problems  with  extrapolating  outside  the  data  with  models  that  fit  the  data  but  do  not  adhere  to   known  principles  or  natural  laws.   Prerequisite  Skills:   •   Making  a  scatterplot  with  or  without  technology     •   Analyzing  regression  models     •   Understanding  characteristics  of  linear  functions   Resources  and  Materials:   Graphing  calculator,  colored  pencils   Vocabulary   amplitude,  cyclical  model,  frequency,  parameter,  period,  regression  model,  scatterplot,  sinusoidal   function     Engage:  Student  Activity  Sheet  4:  Length  of  Daylight     •   Old  Ideas:  Scatterplots,  regression,  intersection  points,  transformations     •   New  Ideas:  Sinusoidal  function,  sinusoidal  regression,  period,  amplitude   Explore:  

V.B  Student  Activity  Sheet  4:  Length  of  Daylight  

Opening  the  Lesson   Using  a  globe,  ask  students  to  locate  the  following:   Houston,  Texas;  Philadelphia,  Pennsylvania;  Winnipeg,  Manitoba,  Canada;  and  Porto  Alegre,  Brazil.   Ask  students  to  identify  the  locations  in  terms  of  latitude  and  longitude.  Have  students  describe  the   seasons  in  the  first  three  cities  based  on  where  they  are  on  the  globe,  mentioning  that  in  the  next   activity,  they  will  look  at  seasons  in  the  fourth  city  .   Framing  Questions   •   Which  city  would  you  expect  to  be  the  warmest  during  the  summer?  have  the  longest  days   during  the  summer?  be  the  coldest  during  the  winter?  have  the  longest  days  during  the  winter?   Note   Consider  having  students  work  Part  A  [Houston]  as  a  class,  and  jigsaw  Parts  B  and  C  [Philadelphia  and   Winnipeg,  respectively],  perhaps  also  including  Quito  [0o  latitude]  or  other  cities  from  Extension   Question  8  at  the  end  of  Student  Activity  Sheet  4.  For  the  jigsaw,  students  work  in  groups  on  different   cities  and  present  them  to  the  class  on  transparencies  laid  on  top  of  one  another  to  note  any  patterns.   Part  A  Question  1:   Whole-­class  discussion.   1.  After  students  have  discussed  the  Framing  questions,  distribute  Student  Activity  Sheet  4.   2.  Introduce  the  activity  by  having  a  student  read  the  introductory  paragraphs  or  by  summarizing  the   information.   3.  Pose  the  Introductory  question  to  students  and  allow  them  a  minute  or  two  to  record  their   thoughts  on  the  activity  sheet.  Allow  some  time  for  a  short  whole-­‐class  discussion.  The  accuracy  of   students’  responses  at  this  point  is  not  as  important  as  their  reasoning.  Affirm  all  reasonable   responses,  knowing  that  students  will  have  the  opportunity  to  revisit  their  predictions  after  analyzing   some  data.   4.  This  activity  is  broken  into  four  parts.  The  first  three  parts  analyze  and  compare  data  for  cities  at   three  different  latitudes  in  the  Northern  Hemisphere.  The  last  part  connects  the  sinusoidal  regression   models  to  the  general  form  of  a  sinusoidal  function  and  explains  the  different  parameters  in  terms  of   the  context  of  the  problem.  

5.  Ask  students  to  work  through  all  of  Part  A,  pausing  at  the  end  for  a  short  whole-­‐class  debriefing.   6.  In  Part  A,  students  generate  graphs  and  analyze  data  for  Houston,  a  city  near  30°N  latitude.   7.  Students  will  use  the  blank  graph  for  Length  of  Daylight  for  Cities.  The  axes  are  already  labeled,  so   students  need  to  plot  only  the  points  for  the  ordered  pairs  in  the  table.   8.  Students  plot  the  length  of  daylight  (in  minutes)  according  to  the  day  number.  The  date  and  length   of  daylight  in  hours  and  minutes  are  provided  for  reference  points.   9.  It  is  important  that  students  make  a  paper-­‐and-­‐pencil  scatterplot  for  this  activity,  since  they  will   see  important  points  (such  as  maxima,  minima,  and  intersections)  more  easily  on  the  paper  graph   than  on  the  calculator  screen  or  other  projection  device.   Question  2:   Students  work  in  pairs  or  small  groups.   1.  Students  use  their  graphing  calculators  to  make  a  scatterplot  similar  to  the  one  they  drew  on  paper   in  Question  1.  The  graphing  calculator  is  necessary  so  that  students  can  more  easily  develop  a   regression  model  describing  the  relationship  between  the  length  of  daylight  and  the  day  of  the  year.   2.  The  sinusoidal  regression  model  calculates  a  function  that  can  be  used  to  predict  the  length  of   daylight  for  any  given  day  of  the  year.  The  data  provided  are  for  2009  and  include  rounding  to  the   nearest  minute.  Because  of  rounding  and  other  astronomical  nuances  in  the  data,  the  regression   model  will  not  exactly  match  the  data  in  the  table.  Therefore,  answers  in  subsequent  questions  will  be   close  to  key  values  and  dates  but  may  not  be  exactly  the  same.   3.  The  calculator  usually  returns  regression  models  in  the  form  y  =  Asin(Bx  –  C)  +  D.  Typically,   precalculus  and  calculus  textbooks  present  the  general  form  of  a  sinusoidal  equation  to  be  y  =   Asin[B(x  –  C)]  +  D.  The  differences  in  the  two  forms  are  subtle  but  important.   In  both  forms,  B  represents  the  angular  frequency  of  the  sinusoidal  function.  The  difference  lies  in   what  C  represents  in  each  form.  In  the  first  form  (generated  by  the  calculator),  C  is  the  product  of  the   angular  frequency  and  the  horizontal  shift  of  the  parent  function,  y  =  sinx.  In  the  second  form,  B  is   factored  so  that  C  represents  only  the  horizontal  shift  of  the  parent  function.   You  may  need  to  assist  students  with  factoring  B  from  the  calculator-­‐generated  regression  equation  if   choosing  to  bring  to  the  class  a  discussion  of  the  horizontal  shift.  This  discussion  can  be  modified  or   omitted,  depending  on  the  needs  and  previous  experience  of  your  students.   Question  3:   Students  work  in  pairs  or  small  groups.   1.  For  this  question,  students  are  being  asked  to  generate  a  sinusoidal  regression  model  from  the  data   they  entered  into  their  calculator.  There  are  many  ways  to  do  this  for  different  styles  of  graphing   calculator.   2.  Be  sure  that  students  record  their  regression  model  in  the  Summary  Table  so  that  they  are  better   able  to  make  comparisons  in  subsequent  parts  of  the  activity.  Rounding  to  the  nearest  hundredth  is   sufficient  for  representing  these  comparisons  in  the  table.  However,  for  making  predictions  and   calculating  particular  values  (such  as  maximum  or  minimum  values),  students  should  use  the  exact   values  generated  by  their  calculator.  Some  calculator  models  allow  for  pasting  in  the  exact  values.  See   the  AMDM  calculator  supplements  posted  on  the  Moodle  sites  for  support  from  different  calculator   manufacturers  (http://amdmsupport.org).   3.  Some  graphing  calculators  include  values  for  r,  a  correlation  coefficient,  when  computing  a   regression  equation.  It  is  important  to  remind  students  that  r  describes  only  the  strength  of  a  linear   fit.  For  nonlinear  regression  models,  the  interpretations  are  not  as  clean  as  with  linear  models.  For  the   purposes  of  this  course,  consider  avoiding  the  use  of  r  as  a  correlation  coefficient  to  evaluate  the   strength  of  nonlinear  models.   Questions  4  and  5:   Students  work  in  pairs  or  small  groups.   1.  The  purpose  of  Question  4  is  to  verify  that  the  regression  model  describes  the  data.  Using  graphs  is   one  way  to  do  so,  and  students  will  use  the  graph  in  subsequent  questions  to  identify  key  features  of  

the  relationship  between  length  of  daylight  and  day  of  year.   2.  Another  way  to  verify  the  fit  of  a  regression  model  is  to  use  the  function  table  feature,  if  possible,  of   the  graphing  calculator.  Compare  the  values  of  the  dependent  variable  that  are  calculated  by  the   regression  model  to  the  actual  data  in  the  table.   3.  For  Question  5,  students  sketch  their  regression  model  onto  their  paper-­‐and-­‐pencil  scatterplot.  It   may  be  helpful  to  color  code  the  graphs  using  colored  pencils.   Question  6:   Students  work  in  pairs  or  small  groups.   Whole-­class  discussion.   1.  Astronomical  Check:  Generally,  the  day  with  the  greatest  length  of  daylight  is  the  summer  solstice,   and  the  day  with  the  least  length  of  daylight  is  the  winter  solstice.  For  2009,  the  summer  solstice  is   June  20  and  the  winter  solstice  is  December  21.  These  dates  vary  slightly  from  year  to  year  due  to  the   fact  that  Earth’s  orbit  around  the  sun  actually  takes  365.25  days.   2.  At  the  end  of  Part  A,  pause  to  be  sure  that  students  understand  the  following:   •  how  to  interpret  the  scatterplot,  and     •  what  the  maximum  and  minimum  values  of  the  length  of  daylight  represent.   Part  B   Questions  1–4:   Students  work  in  pairs  or  small  groups.   1.  In  Part  B,  students  repeat  the  process  that  they  used  in  Part  A  to  analyze  the  data  for  Philadelphia.   As  with  Part  A,  students  can  proceed  through  the  activity  in  pairs  or  small  groups  or  you  can  lead  the   class  through  the  activity  step  by  step  while  students  work  in  pairs  or  small  groups.  Either  way,  pause   at  the  end  of  Part  B  for  a  short  debriefing  before  moving  on  to  Part  C.   2.  Using  the  same  graph,  have  students  repeat  their  procedure  for  creating  a  scatterplot  of  the  length   of  daylight  by  day  of  the  year  for  Philadelphia,  a  city  at  40°N  latitude.  It  is  helpful  to  use  a  second   colored  pencil  for  the  scatterplot.   Question  5:   Students  work  in  pairs  or  small  groups.   1.  Have  students  pause  to  note  the  similarities  and  differences  in  the  regression  models  they  recorded   on  the  Summary  Table.  At  this  point,  they  may  only  notice  that  parameter  A  is  different  for  the  two   models,  but  the  other  three  parameters  are  very  close  to  each  other.  These  similarities  and  differences   are  explored  in  greater  detail  in  Part  D.   Questions  6  and  7:   Students  work  in  pairs  or  small  groups.   1.  Because  of  rounding  errors  and  other  differences  in  the  data  set,  the  day  for  Philadelphia’s   minimum  length  of  daylight  is  different  than  the  day  for  Houston’s  minimum  length  of  daylight,  and   neither  of  these  is  the  winter  solstice.  Question  6  is  important  because  it  sets  the  stage  for  students  to   compare  Philadelphia  and  Houston  in  Question  7.   Reflection  Question  8:   Whole-­class  discussion.   1.  Students  revisit  their  predictions  from  the  Introductory  question  at  the  beginning  of  Student   Activity  Sheet  4.  Students  whose  predictions  are  affirmed  should  be  able  to  explain  why  their   predictions  are  correct.  Students  whose  predictions  are  refuted  should  be  able  to  explain  why  their   predictions  are  incorrect.   2.  Pause  after  the  Reflection  question  to  establish  a  common  understanding  that  the  maximum  length   of  daylight  for  Philadelphia  is  greater  than  the  maximum  length  of  daylight  for  Houston.   Questions  9  and  10:   Students  work  in  pairs  or  small  groups.   1.  Technology:  Students  can  use  their  graphing  calculator  to  find  the  coordinates  of  the  two   intersection  points  of  the  regression  models  for  Houston  and  Philadelphia.  Depending  on  their  prior  

experiences,  students  may  struggle  with  isolating  each  intersection  point.   2.  For  Question  10,  students  should  recognize  that  each  intersection  point  represents  a  day  when   Houston  and  Philadelphia  have  the  same  length  of  daylight.  Astronomically,  those  days  are  the  spring   and  vernal  (autumnal)  equinoxes.   Reflection  Question  11:   Students  work  in  pairs  or  individually.   1.  Allow  students  to  generalize  when  Houston  or  Philadelphia  has  the  greater  or  lesser  length  of   daylight.   2.  Have  students  use  their  paper-­‐and-­‐pencil  graphs  to  more  easily  see  which  graph  has  greater  y-­‐ values  for  which  time  interval.  Use  the  intersection  points  to  create  time  intervals.  Be  sure  students   notice  that  after  Day  365,  the  cycle  repeats  itself  for  the  next  year.   Questions  12  and  13:   Students  work  in  pairs  or  individually.   1.  Data  for  the  approximate  latitudes  of  Houston,  Philadelphia,  and  Winnipeg  are  found  at  the   beginning  of  Student  Activity  Sheet  4.   Question  14:   Whole-­class  discussion.   1.  This  question  provides  a  transition  from  Part  B  to  Part  C,  when  students  repeat  their  modeling   process  for  data  describing  the  length  of  daylight  by  day  for  Winnipeg.   2.  Pause  for  a  short  debriefing  to  be  sure  that  students  have  common  understanding  about  the   following:   •  What  happens  to  the  length  of  daylight  during  the  summer  for  cities  that  are  farther  north?  (The   length  of  daylight  increases.)   •  What  happens  to  the  length  of  daylight  during  the  winter  for  cities  that  are  farther  north?  (The  length   of  daylight  decreases.)   •  Why  do  you  think  this  is  so?  (Because  of  the  tilt  of  the  Earth’s  axis,  cities  closer  to  the  equator  have   lengths  of  daylight  that  vary  less  throughout  the  year.  For  cities  that  are  closer  to  the  North  Pole,   there  is  more  variation  between  the  minimum  and  maximum  lengths  of  daylight.)   Part  C   Questions  1–4:   Students  work  in  pairs  or  small  groups.   1.  In  Part  C,  students  add  a  scatterplot  and  regression  model  for  Winnipeg  to  their  collection.  As  with   Parts  A  and  B,  students  can  proceed  through  the  activity  or  you  can  lead  the  class  through  the  activity   step  by  step.  Pause  at  the  end  of  Part  C  for  a  short  debriefing  before  moving  on  to  Part  D.   2.  Using  the  same  graph,  have  students  repeat  the  procedure  for  creating  a  scatterplot  of  length  of   daylight  by  day  of  year  for  Winnipeg,  a  city  at  50°N  latitude.  It  is  helpful  to  use  a  third  colored  pencil   for  the  scatterplot.   Question  5:   Students  work  in  pairs  or  individually.   1.  Have  students  pause  to  note  the  similarities  and  differences  in  the  three  regression  models  they   recorded  on  the  Summary  Table.  As  with  the  previous  models,  three  of  the  four  parameters  are  very   close  in  value,  but  the  fourth  parameter  (A)  increases  for  cities  that  are  located  farther  north.   2.  With  three  graphs  on  the  same  grid,  students  may  notice  that  all  three  graphs  intersect  at  or  near   the  same  points  and  that  the  graph  for  Winnipeg  has  the  highest  peak  (maximum  value)  in  the   middle  and  the  lowest  dips  (minimum  value)  at  the  tails  (or  ends  of  the  graph).   Question  6:   Students  work  in  pairs  or  individually.   1.  Because  of  rounding  errors  and  other  differences  in  the  data  set,  the  day  for  Winnipeg’s  minimum   length  of  daylight  is  different  than  the  day  for  Houston’s  and  Philadelphia’s  minimum  length  of   daylight,  and  none  of  these  is  the  winter  solstice.  Question  6  is  important  because  it  sets  the  stage  for  

students  to  compare  the  three  cities  in  Question  7.   Question  7:   Students  work  in  pairs  or  individually.   1.  Technically,  the  three  graphs  do  not  all  intersect  at  the  same  points;  they  intersect  near  one   another.  On  the  paper-­‐and-­‐pencil  graph,  students  see  that  the  three  graphs  intersect  near  one   another,  and  it  is  close  enough  for  them  to  decide  that  it  is  at  the  same  two  points.  For  the  purposes  of   this  activity,  that  is  enough.  Those  two  points  correspond  to  Day  77  (March  18)  and  Day  267   (September  24),  which  are  very  close  to  the  spring  equinox  and  vernal  (autumnal)  equinox,   respectively.   Questions  8  and  9:   Students  work  in  pairs  or  small  groups.   1.  Give  students  the  opportunity  to  respond  to  Questions  8  and  9.   2.  Once  students  have  recorded  their  thoughts,  facilitate  a  whole-­‐  class  discussion  of  the  two   questions.   3.  Question  8  asks  students  to  make  predictions  about  the  length  of  daylight  in  summer  and  winter  in   Seward,  Alaska,  which  is  10°  latitude  farther  north  than  Winnipeg.  This  exercise  helps  prepare   students  to  generalize  the  relationship  between  a  city’s  latitude  and  patterns  in  the  length  of  daylight   in  Question  9.   Whole-­class  discussion.   4.  After  a  discussion  of  Question  9,  students  should  understand  that  if  a  city  is  farther  from  the   equator,  the  maximum  and  minimum  values  for  the  length  of  daylight  in  a  year  are  more  extreme  than   the  values  for  cities  that  are  closer  to  the  equator.  In  other  words,  the  maximum  length  of  daylight  is   longer  for  cities  farther  from  the  equator  (even  though  the  maximum  occurs  on  the  same  day  for  all   cities,  June  21),  and  the  minimum  length  of  daylight  is  shorter  for  cities  farther  from  the  equator   (even  though  the  minimum  occurs  near  the  same  day  for  all  cities,  December  21).   Reflection  Question  10:   Students  work  in  pairs  or  small  groups.   Whole-­class  discussion.   1.  Students  are  asked  to  relate  this  scenario  and  the  resulting  data  and  graphical  representations  to   the  Singapore  Flyer  application  that  they  worked  with  in  Unit  IV,  “Using  Recursion  in  Models  and   Decision  Making.”   2.  Facilitate  a  class  discussion  of  their  responses,  as  time  allows.  This  comparison  of  different   scenarios  is  relevant  not  just  because  one  deals  with  heights  and  the  other  lengths  of  daylight.  Each   should  better  support  this  new  type  of  data  and  application  in  which  sinusoidal  regression  can  be   applied  as  readily  as  linear  and  other  nonlinear  regression  tools  can  be.   Part  D   Questions  1  and  2:   Whole-­class  discussion.   1.  Part  D  provides  students  an  opportunity  to  make  connections  among  their  regression  models,  the   parent  function  for  a  sinusoidal  curve,  and  the  situation  of  the  problem.  Depending  on  the  experience   level  of  students  and  the  amount  of  time  spent  on  Parts  A–C,  Part  D  could  become  an  optional   extension  activity.  If  you  chose  not  to  address  the  factored  form  earlier,  Part  D  could  be  a  place  to   have  a  discussion  about  the  factored  form  of  the  function.   2.  Questions  1  and  2  connect  the  amplitude  of  the  regression  models  to  the  situation.  The  amplitude   (A)  is  the  only  parameter  that  changed  among  the  three  models.   3.  Have  students  answer  Question  1.  Be  sure  that  they  connect  the  quotient  of  113.5  to  the  amplitude   of  the  regression  model.   4.  Have  students  answer  Question  2.  Give  them  some  time  to  do  the  computations  with  a  calculator   and  compare  their  results  to  the  regression  models  on  the  Summary  Table.   Questions  3  and  4:  

Students  work  in  pairs  or  individually.   1.  Questions  3  and  4  connect  the  frequency  and  period  of  the  regression  models  to  the  situation.  The   period  for  each  model  is  365,  the  number  of  days  in  one  year.  The  frequency  is  2π  divided  by  365.   2.  Have  students  answer  Question  3.  They  should  notice  that  the  result,  rounded  to  the  nearest   hundredth,  is  the  same  as  the  frequency  for  all  three  cities.   3.  Have  students  answer  Question  4.  Be  sure  that  they  connect  the  period  of  365  days  to  the  length  of   a  year,  which  is  the  time  it  takes  Earth  to  complete  one  orbit  around  the  sun.   Question  5:   Students  work  in  pairs  or  individually.   1.  Question  5  connects  the  regression  models  to  a  horizontal  shift  of  the  sine  parent  function.   2.  Have  students  answer  Question  5.  The  horizontal  translation  by  a  factor  related  to  Day  77  (the   spring  equinox)  occurs  because  the  sine  parent  function  begins  at  (0,  0).  To  use  a  sine  function  to   model  the  length  of  daylight,  the  starting  point  of  the  sine  function  needs  to  be  shifted  77  units  to  the   right.   Question  6:   Students  work  in  pairs  or  individually.   1.  Question  6  connects  the  vertical  translation  of  the  parent  function  to  the  situation.   2.  Have  students  answer  Question  6.  The  average  length  of  daylight  is  12  hours,  and  the  maximum  and   minimum  values  vary,  according  to  the  amplitude,  in  an  up-­‐and-­‐down  cycle  from  this  number.   Question  7:   Students  work  in  pairs  or  individually.   1.  Question  7  helps  answer  why  three  of  the  four  parameters  do  not  change  from  city  to  city  whereas   the  fourth  parameter,  the  amplitude,  does.   2.  Have  students  answer  Question  7.  The  values  of  B  (frequency),  C  (horizontal  translation),  and  D   (vertical  translation)  all  include  information  that  is  true  for  Earth  in  general—number  of  days  in  a   year,  defining  a  beginning  point  as  the  spring  equinox,  and  the  number  of  minutes  in  12  hours—and   that  does  not  depend  on  a  specific  location.   3.  The  fourth  parameter,  A  (amplitude),  depends  on  the  city’s  latitude.  The  farther  a  city  is  from  the   equator  (the  closer  it  is  to  the  pole),  the  greater  the  amplitude,  because  the  difference  between  the   maximum  and  minimum  lengths  of  daylight  is  greater  as  you  move  toward  the  pole.   Extension  Question  8:   Students  work  in  pairs  or  individually.   1.  Have  students  investigate  different  locations.  Have  a  gallery  walk  so  that  each  group  can  share  its   findings.