Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg
Wintersemester 16/17 Sitzung vom 7. Dezember 2016
Ein klassischer Mathematikerwitz
Ein Soziologe, ein Physiker und ein Mathematiker fahren mit dem Zug in ein fernes Land. Kurz nachdem sie die Grenze passiert haben, sehen sie ein schwarzes Schaf. Meint der Soziologe: Wir können jetzt annehmen, dass alle Schafe in diesem Land schwarz sind. Der Physiker: Nein, das ist falsch. Wir können lediglich behaupten, dass ein Schaf in diesem Land schwarz ist. Der Mathematiker: Auch das ist falsch. Wir können lediglich sagen, dass es in diesem Land ein Schaf gibt, das von mindestens einer Seite schwarz ist. (Zitiert nach https://www.mathematik.ch/witze/)
Grenzen der Ausdrucksweise der Aussagenlogik
Sätze wie Alle Schafe in diesem Land sind schwarz und (Mindestens) ein Schaf in diesem Land ist schwarz können in der Aussagenlogik nur durch einzelne Aussagenvariablen (z. B. A und B ) wiedergegeben werden. Dabei geht der Zusammenhang verloren. Wunsch: erweiterte Sprachmöglichkeiten, um
I die Struktur atomarer Aussagen wiedergeben zu können I und Quanti zierungen wie alle, mindestens ein ausdrücken zu können. eine Lösungsmöglichkeit ist die sogenannte Prädikatenlogik genauer: Prädikate(n)logik erster Stufe manchmal auch Quantorenlogik genannt
Prädikatenlogik: Gegenstandbereiche
Idee: Man möchte über Strukturen sprechen können. Eine Struktur
M
besteht aus einer (nicht-leeren) Menge M von
Objekten (Individuen, Elementen), die Universum der Struktur oder Individuenbereich oder Gegenstandsbereich heiÿt. Die Elemente von M können konkrete oder abstrakte Objekte sein; Lebewesen, Gegenstände, Vorstellungen, Ideen, . . . Wichtig: Es muss klar entschieden sein, ob ein Objekt zu M gehört und ob zwei Objekte identisch sind (genauer vielleicht: ob zwei Bezeichnungen auf das gleiche Objekt verweisen oder nicht). Beispielsweise muss, wenn die Objekte Farben sind, klar sein, welche Farbschattierungen identi ziert werden zu einer Farbe wie hellblau.
Prädikatenlogik: Strukturen
Für jede Struktur werden spezielle Ausdrucksmöglichkeiten in einer prädikatenlogischen Sprache (im engeren Sinne)
L
festgelegt:
Spezielle Objekte der Struktur bekommen Namen, dafür werden Konstanten(zeichen) benutzt (kleine lateinische Buchstaben):
c
d
e ...
c0
c1 . . .
c0 . . .
Spezielle Teilmengen der Struktur bekommen Namen, dafür werden Prädikate
1 (auch einstellige Relationszeichen genannt) benutzt
(groÿe lateinische Buchstaben):
P
Q ...
P0
P1 . . .
P0 . . .
Spezielle Beziehungen in der Struktur bekommen Namen, dafür werden (mehrstellige) Relationszeichen benutzt (ebenfalls groÿe
lateinische Buchstaben). 1
in der Verwendung wie
Prädikatswein, Prädikatsexamen,. . .
Prädikatenlogik: Relationen
Ein Relationszeichen steht für eine Relation, d. h. für eine Beziehung zwischen Elementen der Struktur. (Zum Beispiel . . . ist gröÿer als . . . . . . sitzt zwischen . . . und . . . . . . sind miteinander befreundet) In der Prädikatenlogik werden nur Relationen mit einer festen Stelligkeit betrachtet das ist die Anzahl der Elemente, über die die Relation etwas aussagt. Die Zeichen für Relationen unterschiedlicher Stelligkeit unterscheiden sich nicht; die Stelligkeit muss daher an separater Stelle festgeschrieben werden. Prädikate kann man als einstellige Relationszeichen auffassen, Aussagenvariablen als nullstellige Relationszeichen. Es ist also nicht mehr so, dass A, B etc. automatisch Aussagenvariablen sind!
Prädikatenlogik: Spezielles
Ich führe die Prädikatenlogik als Erweiterung der Aussagenlogik ein. Die meisten Autoren lassen in der Prädikatenlogik aber keine Aussagenvariablen mehr zu. Im allgemeinen gibt es in der prädikatenlogische Sprache noch sogenannte Funktionszeichen (zum Beispiel um in der Mathematik Funktionen wie Addition oder Mutliplikation ausdrücken zu können). Im Alltag kommen echte Funktionen aber sehr selten vor (funktionale Ausdrücke wie Mutter von . . . , rechter Nachbar
von . . . , Vorgänger von . . . sind oft nur partiell de niert!). Ich lasse die Funktionszeichen daher weg; die Ausdrucksstärke verringert sich dadurch nicht. Relationszeichen sind in Anwendungen in der Regel ein-, zwei- und bestenfalls dreistellig.
Die formale Sprache der Prädikatenlogik: Zeichen
Benutzt werden folgende Zeichen:
fester Anteil I die aussagenlogischen Junktoren
>
I die Quantoren: der Existenzquantor I Individuenvariablen I Klammern
(
)
v
w
x
∃
⊥
¬
∨
∧
→
und der Allquantor
y
und Gleichheitszeichen
z
v0
=
I die Konstanten und Relationszeichen der konkreten
L
(inklusive Aussagenvariablen und Prädikate) Junktoren und Quantoren heiÿen manchmal logische Zeichen, Klammern und Gleichheitszeichen nicht-logische Zeichen
∀
v1 . . .
variabler Anteil prädikatenlogischen Sprache
↔
Die formale Sprache der Prädikatenlogik: Terme
Terme bezeichnen Elemente einer Struktur.
L-Terme
sind
I alle Individuenvariablen I alle Konstanten in
L
(In der Prädikantenlogik mit Funktionszeichen sind Terme komplizierter . . . )
Die formale Sprache der Prädikatenlogik: atomare Formeln
Die folgenden Zeichenketten sind prädikatenlogische und zwar atomare prädikatenlogische
L-Formeln,
L-Formeln,
weil sie nicht aus
einfacheren Formeln aufgebaut sind.
I
>
I
τ1 = τ2 ,
und
⊥ wenn
τ1
und
τ2 L-Terme
sind
I R τ1 . . . τn , wenn R ein n-stelliges Relationszeichen in
τ1 ,
...,
τn L-Terme
sind
I (insbesondere):
P
τ,
wenn P ein Prädikat in
L
ist und
A, wenn A eine Aussagenvariable in
L
τ
ein
ist
L-Term.
L
ist und
Die formale Sprache der Prädikatenlogik
Beliebige prädikatenlogische
L-Formeln
entstehen aus den
atomaren Formeln durch folgende Zusammensetzungsregeln:
I (Junktorenregeln): Wenn F und F 0 prädikatenlogische
L-Formeln sind, dann auch ¬F (F ∧ F 0 ) (F ∨ F 0 )
(F → F 0 )
I (Quantorenregeln): Wenn F eine prädikatenlogische
(F ↔ F 0 ) L-Formel
ist und v eine (beliebige) Individuenvariable, dann sind auch
∃v F und prädikatenlogische L-Formeln.
∀v F
Alternativ zu den Junktorenregeln könnte man allgemeiner fordern:
Wenn man in einer aussagenlogischen Formel die Aussagenvariablen
L-Formeln L-Formel.
durch prädikatenlogische prädikatenlogische
ersetzt, erhält man wieder eine
