Wie rechne ich mit Ungleichungen? Die “do”s und “don’t”s mit Beispielen aus der Miniklausur Lukas Steenvoort
Addition (und Subtraktion1 ) Dies funktioniert ¨ahnlich wie bei Gleichungen – addieren wir denselben Ausdruck auf beiden ¨ Seiten, ist dies eine Aquivalenzumformung der Ungleichung, ver¨andert ihren Wert also nicht. −8
2x + 2
−10
x−5 y
x − 5 > 2x + 2 x − 5 > 2x + 2 x − 7 > 2x −7 > x
⇔ ⇔
|−2 |−x
−12 −14 −16 −10
−7 x
−5
Multiplikation (und Division2 ) Hier ist Vorsicht geboten – multiplizieren wir beide Seiten mit derselben positiven Zahl, ¨andert sich die Richtung des Ungleichheitszeichens nicht. Multiplikation mit einer negativen Zahl hingegen dreht das Ungleichheitszeichen um! Multiplizieren wir mit einem Ausdruck, uhren! dessen Vorzeichen wir nicht kennen, m¨ ussen wir eine Fallunterscheidung durchf¨ 10 −2x > 5 −2x > 5 x < − 52
| : (−2)
andere M¨ oglichkeit: ⇔ ⇔
−2x > 5 −5 > 2x − 25 > x
6 y
⇔
−2x
8
| + 2x − 5 |:2
5
4 2 0 −5
−4
−3
−2 x
1 2
Subtraktion von x ist nichts anderes als Addition von −x. Division durch x ist nichts anderes als Multiplikation mit x1 .
−1
0
Betr¨ age Eine kurze Erinnerung an die Definition der Betragsfunktion: y ( x f¨ ur x ≥ 0, |x| = −x f¨ ur x < 0. Der Betrag von x ∈ R ist stets nichtnegativ und ist der Abstand der Zahl x zur Zahl 0 auf der reellen Zahlengerade bzw. weniger formell ausgedr¨ uckt die Zahl, die herauskommt, wenn bei x das Vorzeichen wegf¨allt.
|x|
1
x 1
0
F¨ ur den Betrag sollte man sich merken: |x| < y ⇔ −y < x < y ⇔ (−y < x ∧ x < y). |2x − 1| −
1 2
24 > 24 > 24 243 4 81 > 4 9 > 2 >
147 + 4 |:3 √
B Betragsstriche!
Wichtig: Es gilt zwar |a| < b ⇔ −b < a < b, aber a < |b| ergibt zwei oder“-Ungleichungen. ” 9 7 x + > 2 2 9 7 9 7 ⇔ x+ > oder − x + > 2 2 2 2 7 9 7 9 7 9 − + x ⇔ x+ > − oder −x − > 2 2 2 2 2 2 ⇔ x > 1 oder −8 > x Die L¨osungsmenge ist somit gegeben durch {x ∈ R | x < −8 ∨ x > 1} = (−∞, −8)∪(1, ∞).
40 y
24
20
3x2 + 21x > 24
x −8
−6
−4
−2
2
3x2 + 21x −20 M¨ oglichkeit 2: Nullstellenbestimmung. Zur Erinnerung: Die p, q-Formel folgt direkt durch quadratische Erg¨anzung und besagt: r p p 2 2 x + px + q = 0 ⇔ x = − ± −q 2 2 Wir behandeln die Ungleichung zun¨achst als Gleichung und l¨osen f¨ ur x: 3x2 + 21x = 24 ⇔ 3x + 21x − 24 = 0 ⇔ x2 + 7x − 8 = 0 2
⇔
x =
⇔
x =
⇔
x =
⇔
x =
⇔
x = −8 ∨
s 2 7 7 − (−8) − ± 2 2 r 49 7 +8 − ± 2 r4 81 7 − ± 2 4 7 9 − ± 2 2 x=1
| − 24| |:3 | p, q-Formel | p, q-Formel
Da quadratische Funktionen (wie alle reellen Polynome) stetig sind, erhalten wir genau drei Intervalle, auf denen das Vorzeichen jeweils gleich ist: (−∞, −8), (−8, 1) und (1, ∞). Untersuchen wir nun die Vorzeichen von 3x2 + 21x − 24 auf diesen Intervallen: Intervall I x ∈ I Funktionswert 3x2 + 21x − 24 Vorzeichen auf I 2 (−∞, −8) 10 3 · 10 + 21 · 10 − 24 = 300 + 210 − 24 = 486 > 0 positiv 2 (−8, 1) 0 3 · 0 + 21 · 0 − 24 = −24 < 0 negativ (1, ∞) 2 3 · 22 + 21 · 2 − 24 = 12 + 42 − 24 = 30 > 0 positiv Da 3x2 + 21x > 24 ⇔ 3x2 + 21x − 24 > 0 ⇔ (3x2 + 21x − 24 ist positiv) gilt, erhalten wir auch mit dieser Methode offensichtlich die L¨osungsmenge (−∞, −8) ∪ (1, ∞). Zusammenfassung. W¨ahrend wir in der Schule eher die p, q-Formel als die quadratische Erg¨anzung angewandt haben, ist letztere f¨ ur Ungleichungen offensichtlich die elegantere und bevorzugte Methode.
Die Aufgabe der Miniklausur – Version Viel Erfolg!“ ” 10 y
x x+3
8 6
x+3 x > x x+3
4
x+3 x −4
−3
−2
2 x −1
1
2
−2 x x+3 > | · x | · (x + 3) x x+3 An dieser Stelle m¨ ussen wir eine Fallunterscheidung durchf¨ uhren, da Multiplikation mit neg. Zahlen die Ungleichung umkehrt und wir die Vorzeichen von x und x + 3 nicht kennen. Fall VZ von x VZ von x + 3 1 x < −3 − − 2 −3 < x < 0 − + 0 | · x | · (x + 3) x x+3 ⇔ (x + 3)2 > x2 ⇔ x2 + 6x + 9 > x2 | − x2 − 9 ⇔ 6x > −9 |:6 3 ⇔ x > − . 2 3 Im Fall 1 steht x > − 2 im Widerspruch zur Voraussetzung x < −3, also erhalten wir keine L¨osungen. Im Fall 3 ist x > − 32 offenbar f¨ ur alle x > 0 wahr, also sind alle x > 0 L¨osungen. Im Fall 2 ist nur einer der beiden Faktoren negativ, also wird die Ungleichung umgekehrt: x+3 x > | · x | · (x + 3) x x+3 ⇔ (x + 3)2 < x2 | analog zu Fall 1 & 3 3 ⇔ x < − . 2 Somit erf¨ ullen alle −3 < x < 0 mit x < − 32 , also alle −3 < x < − 32 die Ungleichung. Insgesamt erhalten wir nun die L¨osung (−3, − 32 )∪(0, ∞) = {x ∈ R | −3 < x < − 23 ∨ x > 0}.
Die Aufgabe der Miniklausur – Version Viel Erfolg!“ ” y 2
3 5 > x x−3
3 x−3
5 x
x −4 −2
2
4
6
8
10 12
−2 5 3 > | · x | · (x − 3) x x−3 An dieser Stelle m¨ ussen wir eine Fallunterscheidung durchf¨ uhren, da Multiplikation mit neg. Zahlen die Ungleichung umkehrt und wir die Vorzeichen von x und x − 3 nicht kennen. Fall VZ von x VZ von x − 3 1 x 15 |:2 15 ⇔ x > . 2 Im Fall 1 steht x > 15 im Widerspruch zur Voraussetzung x < 0, also erhalten wir keine 2 und somit nat¨ urlich alle x > 15 L¨osungen. L¨osungen. Im Fall 3 sind alle x > 3 mit x > 15 2 2 Im Fall 2 ist nur einer der beiden Faktoren negativ, also wird die Ungleichung umgekehrt: 5 3 > | · x | · (x − 3) x x−3 ⇔ 5(x − 3) < 3x | analog zu Fall 1 & 3 15 ⇔ x < . 2 Die Aussage x < 15 ist f¨ ur alle 0 < x < 3 wahr, also l¨osen alle 0 < x < 3 die Ungleichung. 2 , ∞) = {x ∈ R | 0 < x < 3 ∨ x > Insgesamt erhalten wir nun die L¨osung (0, 3) ∪ ( 15 2
15 }. 2
Die Aufgabe der Miniklausur – Version Viel Erfolg!“ ” 30 y
20
x2 − 6 x−5
x2 − 6 >2 x−5
10
2 x 2
4
6
8
10
2
x −6 > 2 | · (x − 5) x−5 An dieser Stelle m¨ ussen wir eine Fallunterscheidung durchf¨ uhren, da Multiplikation mit negativen Zahlen die Ungleichung umkehrt und wir das Vorzeichen von x − 5 nicht kennen. Fall VZ von x − 5 1 x 2 | · (x − 5) x−5 ⇔ x2 − 6 > 2x − 10 | analog zu Fall 1 ⇔ (x − 1)2 > −3. An dieser Stelle k¨onnen wir bereits aufh¨oren, da der Ausdruck (x − 1)2 offenbar f¨ ur jedes x ∈ R nichtnegativ ist und somit stets gr¨oßer als −3 ist. Somit sind alle x > 5 L¨osungen. Insgesamt erhalten wir also die L¨osung (5, ∞) = {x ∈ R | x > 5}. Anmerkung. Wir k¨ onnen auch die Nullstellenmethode anstatt quadratischer Erg¨anzung benutzen: q √ −2 2 x2 − 2x + 1 = −3 ⇔ x2 − 2x + 4 = 0 ⇔ x = − −2 ± − 4 = −1 ± −3; 2 2 somit hat die quadratische Funktion keine reellen Nullstellen3 und liegt, da der Leitkoeffizient positiv ist, komplett u ¨ber der x-Achse, ist also auf ganz R strikt positiv – somit ergeben sich auch hier im Fall 1 keine L¨ osungen (da x2 − 2x + 4 negativ sein m¨ usste) und im Fall 2 alle x > 5. 3
√ Auf keinen Fall ist hieraus etwas wie x > −1 + i 3“ zu folgern – dies ergibt n¨amlich keinen Sinn! ”
Die Aufgabe der Miniklausur – Version Viel Erfolg!“ ” 10 y
2x 2x + 3 2x >0 2x + 3
5
0 −4
−3
−2
x −1
1
2
−5 −10 2x > 0 | · (2x + 3) 2x + 3 An dieser Stelle m¨ ussen wir eine Fallunterscheidung durchf¨ uhren, da Multiplikation mit negativen Zahlen die Ungleichung umkehrt und wir das Vorzeichen von 2x+3 nicht kennen. Fall VZ von 2x + 3 3 1 x < −2 − 3 2 −2 < x + Im Fall 1 ist das Vorzeichen negativ, also wird die Ungleichung umgekehrt: 2x > 0 | · (2x + 3) 2x + 3 ⇔ 2x < 0 |:2 ⇔ x < 0. Die Aussage x < 0 ist offenbar f¨ ur alle x < − 23 wahr, also l¨osen alle x < − 32 die Ungleichung. Im Fall 2 ist das Vorzeichen positiv, also bleibt die Ungleichung so, wie sie ist: 2x > 0 | · (2x + 3) 2x + 3 ⇔ 2x > 0 |:2 ⇔ x > 0. Somit l¨osen alle x > − 23 mit x > 0 und somit genau alle x > 0 die Ungleichung. Insgesamt erhalten wir nun die L¨osung (−∞, − 23 ) ∪ (0, ∞) = {x ∈ R | −
3 2
< x ∨ x > 0}.
