Wahl des fachsystematischen  Schwerpunktes     (alle Lehrämter)      Thema 1: 

Funktionales Denken und Veränderung 

Thema 2: 

Daten, Zufall und Statistik 

Thema 3: 

Komplexe Zahlen 

Thema 4: 

Zahlentheorie 

Thema 5: 

Algebra 

Thema 6: 

Codierung und Kryptologie 

Thema 7: 

Diskrete Mathematik 

Thema 8: 

Lineare Algebra 

Thema 9: 

Elementare Topologie 

          Stand 07.06.2015 

PH Karlsruhe   Institut für Mathematik und Informatik   

   

Staatsexamensthemen Fachsystematik  Stand 2014‐11 

Thema 1      Funktionales Denken und Veränderung  Inhalte:  ‐ Supremum, Supremumsprinzip  ‐ Euklidischer Abstand, Umgebungen, Hausdorff‐Eigenschaft  ‐ Reelle Funktionen, Monotonie, Umkehrfunktion  ‐ Folgen  o geometrische, arithmetische Folgen und Teilfolgen  o Beschränktheit und Konvergenz von Folgen (‐lontik)  o Konvergenzsätze und –kriterien  o Häufungswerte  o Intervallschachtelungen  ‐ unendliche Reihe  o geometrische, arithmetische und harmonische Reihe  o Konvergenz von unendlichen Reihen  o Konvergenzsätze und –kriterien  ‐ Funktionen  o Stetigkeit von Funktionen (‐‐Definition)  o Nullstellen‐ und Zwischenwertsatz von Bolzano  o Extremalsatz  o Differenzierbarkeit  o Mittelwertsätze  Kompetenzen:  ‐ Folgen und Reihen auf Konvergenz untersuchen  ‐ Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen  ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden  ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen  ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben können   ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen  ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und  sicher durchführen  ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Beweisideen angeben  ‐ Logische Fehler in Beweisen finden  ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen  ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten)  ‐ Fachsprache sicher verwenden  Veranstaltungen:  ‐ Mathematik 1   ‐ Fachdidaktik (Funktionen)  ‐ Fachsystematik (Funktionales Denken und Veränderung)  Literatur:  ‐ Borys (2013). Skriptum zur Vorlesung „Funktionales Denken und Veränderung“  ‐ Büchter, A., Henn, H.‐W., & Padberg, F. (2010). Elementare Analysis. Spektrum  Akademischer Verlag  ‐ Dobner, H.‐J. & Engelmann, B. (2007). Analysis 1. Grundlagen und Differenzialrechnung.  München Wien: Fachbuchverlag Leipzig im Carl‐Hanser‐Verlag  ‐ Heuser, H. (2009). Lehrbuch der Analysis Teil 1 (17. Auflage). Vieweg+Teubner  ‐ Junek, H. (1998). Analysis. Teubner 

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Staatsexamensthemen Fachsystematik  Stand 2014‐11 

Thema 2      Daten, Zufall und Statistik  Inhalte:  ‐ Zufall philosophisch betrachtet und Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung  ‐ Beschreibende Statistik: Skalen, Mittelwerte und Streuungsmaße und ihre Eigenschaften  ‐ Wahrscheinlichkeitsräume: Zufallsexperimente und Axiomensystem  ‐ Empirisches Gesetz der großen Zahlen  ‐ Kombinatorik: Produktregel und kombinatorische Grundaufgaben  ‐ Laplace‐Wahrscheinlichkeit, mehrstufige Zufallsexperimente und Pfadregeln  ‐ Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit  ‐ Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz  ‐ Bernoulli‐Experimente und Binomialverteilung  ‐ Chi‐Quadrat‐Test  ‐ Empirische Datenerhebung  ‐ Diagrammtypen  ‐ Bivariante Datenverteilungen  ‐ Regression, Korrelation und Varianzanalyse   ‐ Kontingenzanalyse  ‐ Rangkorrelation  Kompetenzen:  ‐ Definitionen wiedergeben, anwenden, Beispiele und Gegenbeispiele angeben  ‐ Sätze wiedergeben, anschaulich begründen, Beispiele und Gegenbeispiele angeben  ‐ Problemlösekompetenz zeigen: Gegebene Aussagen auf Wahrheit prüfen  ‐ Transferleistungen: Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten auf neue Probleme anwenden  ‐ Fachsprache beherrschen und sicher anwenden  ‐ Erworbenes Wissen mit veränderten Parametern wiedergeben  ‐ Statistische Darstellungen analysieren können  ‐ Geeignete statische Verfahren zur Datenaufbereitung auswählen und verwenden können  Veranstaltungen:  ‐ Fachsystematik (Daten und Zufall)  ‐ Mathematik Didaktische Forschung I ‐ Statistik  Literatur:  ‐ Maier, P. H. (2014). Daten und Zufall – Statistik, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit  (Vorlesungsskript)  ‐ Kütting, H. & Sauer, Martin J. (2011). Elementare Stochastik ‐ Mathematische Grundlagen und  didaktische Konzepte. Reihe: Mathematik Primarstufe. (Springer‐Verlag / Spektrum –  Akademischer Verlag) Heidelberg & Berlin, 3. Auflage  ‐ Borys, Th. (2014). Beschreibende Statistik (Vorlesungsskript)  ‐ Burkschat, M., u.a. (2004). Beschreibende Statistik. Berlin Heidelberg: Springer‐Verlag     

 

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Staatsexamensthemen Fachsystematik  Stand 2014‐11 

Thema 3    Komplexe Zahlen  Inhalte:  ‐ Körper der komplexen Zahlen  o Historische Entstehung  o Von den natürlichen Zahlen zu den komplexen Zahlen  o Körper der komplexen Zahlen  o Rechnen mit komplexen Zahlen  ‐ Geometrische Darstellung komplexer Zahlen  o Gaußsche Zahlenebene  o Betrag komplexer Zahlen  o Polarkoordinaten  o Formeln von Moivre und Euler  ‐ Algebraische Eigenschaften der komplexen Zahlen  o Quadratische Wurzeln und Gleichungen  o Einheitswurzeln  o Allgemeine Wurzeln  o Kubische Gleichungen  o Fundamentalsatz der Algebra  Kompetenzen:  ‐ mit komplexen Zahlen rechnerisch und algebraisch umgehen können  ‐ Unterschiede und Gemeinsamkeiten von reellen Zahlen und komplexen Zahlen  herausarbeiten können  ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden  ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen können  ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben können   ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen  ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und  sicher durchführen können  ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Beweisideen angeben können  ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten)  ‐ Fachsprache sicher verwenden  Veranstaltungen:  ‐ Mathematik 1   ‐ Fachsystematik (Algebra)  ‐ Fachsystematik (komplexe Zahlen)  Literatur:  ‐ Engel, J. (2009) Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. München: Oldenbourg  ‐ Bewersdorff, J. (2009): Algebra für Einsteiger. Wiesbaden: Vieweg+Teubner  ‐ Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, Ch., Kockelkorn, U., Lichtenberger, K., Stachel, H. (2010):  Mathematik (2. Auflage). Heidelberg: Spektrum, Akad. Verl.     

 

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Staatsexamensthemen Fachsystematik  Stand 2014‐11 

Thema 4      Zahlentheorie  Inhalte:  ‐ Konstruktion der natürlichen Zahlen  ‐ Geometrische Reihe  ‐ Binomialkoeffizienten  ‐ Stellenwertsysteme  ‐ Primzahlen (auch: Satz Euklid; Mersennesche & Fermatsche Primzahlen)  ‐ Hauptsatz der Arithmetik  ‐ Teilbarkeit  ‐ Kongruenzen und Restklassen (auch: Nullteiler, Restklassensysteme)  ‐ Chinesischer Restsatz  ‐ (multiplikative) Zahlentheoretische Funktionen (Teilerfunktion, Teilersumme, Phi‐Funktion)    Kompetenzen:  ‐ Definitionen widergeben und passend anwenden  ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache widergeben und begründen können  ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben   ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen  ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und  sicher durchführen  ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Teilschritte begründen können  ‐ Logische Fehler in Beweisen finden  ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen  ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten)  ‐ Fachsprache sicher verwenden    Veranstaltungen:  ‐ Mathematik 1   ‐ Fachdidaktik (Zahlen und Operationen 1)  ‐ Fachdidaktik (Zahlen und Operationen 2)  ‐ Fachsystematik (Zahlentheorie)    Literatur:  ‐ Reiss, K. & Schmieder, G. (2000). Basiswissen Zahlentheorie.  ‐ Padberg, F. (2010). Zahlentheorie und Arithmetik. Heidelberg: Spektrum     

 

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Thema 5      Algebra  Inhalte:  ‐ Gruppen, Satz von Lagrange, Nebenklassen, Homomorphismen, Kern und Bild  ‐ Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit  ‐ Reelle Zahlen, Körper, angeordnete Körper  ‐ Ringe, Nullteiler, adjungieren, Polynomringe  ‐ Konstruktionen mit Zirkel und Lineal  ‐ Algebraische und transzendente Zahlen  ‐ Komplexe Zahlen, algebraische und geometrische Addition und Multiplikation  ‐ Konjugiert komplex, Vollständigkeit der komplexen Zahlen  ‐ Fundamentalsatz der Algebra mit Beweis    Kompetenzen:  ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden  ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen  ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben  ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen  ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und  sicher durchführen  ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Beweisideen angeben  ‐ Logische Fehler in Beweisen finden  ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen  ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten)  ‐ Fachsprache sicher verwenden    Veranstaltungen:  ‐ Mathematik 1   ‐ Fachsystematik (Komplexe Zahlen)  ‐ Fachsystematik (Algebra)    Literatur:  ‐ Rosebrock, S. (2010). Geometrische Gruppentheorie, 2. Auflage, vieweg+teubner.  ‐ Henn, H.‐W. (2012). Geometrie und Algebra im Wechselspiel, 2. Auflage, vieweg+teubner  ‐ J. Kramer. (2008). Zahlen für Einsteiger. vieweg Verlag.  ‐ C. Karpfinger, K. Meyerberg. (2009). Algebra. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg.       

 

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Thema 6      Codierung und Kryptologie  Inhalte:  ‐ Begriffsbestimmung: Codierung  ‐ spezielle Alphabete und Codes  o Blindenschrift  o Flaggenalphabet  o Morsecode  o Strichcodes  o Binäre Codes  o Datenkompression  o Codierungen bei der Bildbearbeitung  ‐ Terminologie der Kryptologie  ‐ Symmetrische Verschlüsselungsverfahren  o Transpositionsverfahren  o Monoalphabetischen Verschlüsselungen  o Polyalphabetische Verschlüsselungen  ‐ Asymmetrische Verfahren  o Einwegfunktionen  o Schlüsseltauschverfahren nach Diffie‐Hellman  o RSA‐Verschlüsselung  Kompetenzen:  ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden  ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen können  ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben können   ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen  ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen  ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten)  ‐ Fachsprache sicher verwenden  Veranstaltungen:  ‐ Mathematik 1   ‐ Fachsystematik (Codierung und Kryptologie)  Literatur:  ‐ Borys, T. (2011): Codierung und Kryptologie – Facetten einer anwendungsorientierten  Mathematik im Bildungsprozess. Teuber + Vieweg Wiesbaden  ‐ Schulz, R.‐H. (2003): Codierungstheorie. 2. Auflage, Friedr.Vieweg & Sohn Verlag/GWV  Fachverlag GmbH Wiesbaden  ‐ Beutelspacher, A.; Neumann, H.; Schwarzpaul, T. (2005): Kryptographie in Theorie und  Praxis, Friedrich Vieweg & Sohn/GWV Fachverlag Wiesbaden  ‐ Reiss, K. & Schmieder, G. (2000). Basiswissen Zahlentheorie.     

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Thema 7      Diskrete Mathematik  Inhalte:  ‐ Kombinatorik, Permutationen, Variationen, Kombinationen je mit und ohne Wiederholung  ‐ Binomialkoeffizienten  ‐ Inklusion‐Exklusion, Schubfachprinzip  ‐ Graphen, Bäume, Euler‐Charakteristik  ‐ Plättbare Graphen, Färbungen  ‐ 5‐Farbensatz mit Beweis  ‐ Minimale aufspannende Bäume (Algorithmus von Prim)  ‐ Travelling Salesman Problem und NP‐Vollständige Probleme  ‐ Adjazenzmatrizen    Kompetenzen:  ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden  ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen  ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben  ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen  ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und  sicher durchführen  ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Beweisideen angeben  ‐ Logische Fehler in Beweisen finden  ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen  ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten)  ‐ Fachsprache sicher verwenden    Veranstaltungen:  ‐ Mathematik 1   ‐ Fachsystematik (Daten und Zufall)  ‐ Fachsystematik (Diskrete Mathematik)    Literatur:  ‐ Matoušek/Nešetril. Diskrete Mathematik. Springer Verlag, 2002.  ‐ W.D. Wallis. A Beginner’s Guide to Graph Theory. Birkhäuser, 2000.  ‐ P. Gritzmann / R. Brandenberg. Das Geheimnis des kürzesten Weges. Springer Verlag, 2005.       

 

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Thema 8      Lineare Algebra  Inhalte:  ‐ Vektoren, Skalarprodukt, Norm, Winkel  ‐ Gleichungen von Geraden und Ebenen  ‐ Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Elementarmatrizen, Inverse Matrizen, GL(n,R)  ‐ Vektorräume über reellen Zahlen und Teilräume  ‐ Lineare (Un‐)Abhängigkeit, Basis, Dimension, Basistransformationen  ‐ Rang von Matrizen  ‐ Affine Räume, Koordinatensysteme  ‐ Lineare Abbildungen, Kern und Bild  ‐ Zusammenhang von Gleichungssystemen und linearen Abbildungen    Kompetenzen:  ‐ Definitionen wiedergeben und passend anwenden  ‐ Wichtige Sätze in Fachsprache wiedergeben und begründen  ‐ Beispiele und Gegenbeispiele angeben  ‐ Gegebene Aussagen in Bezug auf Definitionen bzw. auf Wahrheit prüfen  ‐ Techniken des Beweisens (auch: Widerspruch, Induktion) situationsgerecht auswählen und  sicher durchführen  ‐ Komplexe Beweise nachvollziehen und Beweisideen angeben  ‐ Logische Fehler in Beweisen finden  ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen  ‐ Formeln herleiten und begründen (ggf. auf unterschiedlichen Repräsentationsarten)  ‐ Fachsprache sicher verwenden  ‐ Sachverhalte algebraisch und geometrisch interpretieren    Veranstaltungen:  ‐ Mathematik 1   ‐ Mathematik 2  ‐ Fachsystematik (Lineare Algebra)    Literatur:  ‐ Lang, Serge; Introduction to Linear Algebra; Springer Verlag (1986)  ‐ Filler, A.; Elementare Lineare Algebra; Spektrum Akademischer Verlag (2011).  ‐ Beutelsbacher, A.; Lineare Algebra; vieweg Verlag (2001).       

 

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Thema 9      Elementare Topologie    Inhalte:  ‐ Topologische Räume  ‐ Inneres, Abschluss, Rand  ‐ Metrische Räume  ‐ Stetige Abbildungen, Kreisfunktionen und Abbildungsgrad  ‐ Euler‐Charakterisitk, kompakte Räume  ‐ Homotopie  ‐ Fixpunktsätze  ‐ Einbettungen  ‐ Flächenklassifikation  ‐ Fundamentalsatz der Algebra mit Beweis  ‐ 3‐Mannigfaltigkeiten und die Struktur des Universums    Kompetenzen:  ‐ Definitionen wiedergeben, anwenden, Beispiele und Gegenbeispiele angeben  ‐ Sätze wiedergeben, anschaulich begründen, Beispiele und Gegenbeispiele angeben  ‐ Problemlösekompetenz zeigen: Gegebene Aussagen auf Wahrheit prüfen  ‐ Transferleistungen: Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten auf neue Probleme anwenden  ‐ Fachsprache beherrschen und sicher anwenden  ‐ Erworbenes Wissen mit veränderten Parametern wiedergeben  ‐ Bezüge zum Unterricht herstellen  ‐ Bezüge zwischen Geometrie und Topologie herstellen    Veranstaltungen:  ‐ Mathematik 1 & 2  ‐ Elementare Topologie    Literatur:  ‐ Adams/Franzosa; Introduction to Topology, Prentice Hall (2007)  ‐ J. Weeks; The shape of space; Chapman and Hall (2001)  ‐ J. Scott Carter; How surfaces intersect in space; World Scientific (1995)  ‐ Jean‐Pierre Petit: Die Abenteuer des Anselm Wüßtegern, Das Topologikon. Vieweg Verlag  (1995)  ‐ B. v. Querenburg, Mengentheoretische Topologie, 3. Auflage, Springer (2000)