Numerische Berechnung von LBS Dr.-Ing. H. Köppe

Vorlesung Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen 7. Vorlesung Dr.-Ing. H. Köppe Institut für Mechanik

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Folie 1 - NM LB

Theorie zweiter Ordnung Angenommener Geltungsbereich für kleine Verformungen: wmax < 0.2h • Für bestimmte Aufgabenklassen reicht diese Annahme nicht mehr aus und führt zu ungenauen Ergebnissen • Erweiterung von der Theorie erster Ordnung auf Theorie zweiter Ordnung ⇒ Gleichgewicht am verformten System

⇒ Verformungen gelten weiterhin gegenüber den Abmessungen der Mittelfläche als klein : wmax < 5h • Theorie zweiter Ordnung bildet auch die Grundlage für Stabilitätsuntersuchungen an der Platte. ⇒ Ermittlung der kritischen Last

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Folie 2 - NM LB

Anmerkung Die durch die Verschiebung w der Platte hervorgerufene zusätzliche Dehnung und Verzerrung und die daraus resultierenden Spannungen (Membran- oder Scheibenspannungen) dürfen nicht mehr vernachlässigt werden. In die Gleichgewichtsbedingungen werden auch die Scheibenschnittgrößen. eingehen ⇒ Keine Entkopplung von Scheiben- und Plattenzustand Linearisierungen in den Beziehungen für Dehnungen und Gleitungen sind trotz „ großer “ Verformungen von w max < 5h möglich. Alle übrigen Voraussetzungen und Annahmen gelten wie für die dünne Platte mit kleinen Verformungen. Die darauf aufgebaute Theorie zur Berechnung dünner Platten mit großen Verformungen geht auf Theodore von Kármán zurück.

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Gleichgewichtsbedingungen

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• Von den sechs Gleichgewichtsbedingungen sind fünf identisch mit denen des Scheiben- und Platteproblems mit kleinen Verformungen : ⇒ Vernachlässigung von Größen, die klein von höherer Ordnung sind ⇒ Neigungen werden trotz großer Verschiebungen w als klein angenommen • Änderung des Kraftgleichgewichtes in z-Richtung Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)

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Folie 4 - NM LB

Gleichgewichtsbedingungen ↓z:

pn (x, y )dxdy + qx dy + qx,x dxdy − qx dy + qy dx + qy ,y dxdy −qy dx + nx w,x dy + nx,x w,x dxdy + nx w,xx dxdy − nx w,x dy +ny w,y dx + ny ,y w,y dxdy + ny w,yy dxdy − ny w,y dy

+nxy w,y dy + nxy ,x w,y dxdy + nxy w,yx dxdy − nxy w,y dy

+nyx w,x dx + nyx,y w,x dxdy + nyx w,xy dxdy − nyx w,x dy = 0 bzw. ↓z:

pn (x, y ) + qx,x + qy ,y + (nx,x + nyx,y )w,x +(ny ,y + nxy ,x )w,y + nx w,xx + ny w,yy +nxy w,yx + nyx w,xy = 0

mit

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nx,x + nyx,y = 0 ; ny ,y + nxy ,x = 0 ; nxy − nyx = 0

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Folie 5 - NM LB

Gleichgewichtsbedingungen Das Kräftegleichgewicht in z-Richtung wird dann: ↓ z : pn (x, y ) + qx,x + qy ,y + nx w,xx + ny w,yy + 2nxy w,xy = 0 Damit müssen für eine Platte mit großen Verformungen folgende Gleichgewichtsbedingungen erfüllt werden: Platte

Scheibe nx,x + nyx,y ny ,y + nxy ,x nxy − nyx

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=

0

=

0

=

0

pn (x, y ) + qx,x + qy ,y + nx w,xx +ny w,yy + 2nxy w,xy mx,x + myx,y − qx my ,y + mxy ,x − qy

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+ = = =

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0 0 0

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Folie 6 - NM LB

Verzerrungs-Verformungsbeziehungen Bei der Ermittlung der Verzerrungs-Verformungs-Beziehungen der Platte mit großen Verformungen müssen zusätzlich zu den Verzerrungsgrößen der Platte mit kleinen Verformungen die • Verzerrungsgrößen der Plattenmittelfläche infolge der Verformungen vx in x-Richtung und vy in y -Richtung durch die Scheibenschnittgrößen und • Verzerrungen der Mittelfläche infolge der Verschiebung w berücksichtigt werden. Die Verzerrungen können somit allgemein wie folgt aufgeschrieben werden: x

=

y

=

γxy

=

−

− −

zw,xx

+

vx,x

+

xm

zw,yy

+

vy ,y

+

ym

2zw,xy

+

vx,y + vy ,x

+

γxym

Verzerrungen durch Plattenbiegung Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)

Verzerrungen durch Scheibenschnittgrößen

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Verzerrungen der Mittelfläche durch Verschiebung w 28. Oktober 2014

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Folie 7 - NM LB

Verzerrungs-Verformungsbeziehungen Von den Verzerrungen sind die Anteile durch die Verschiebung w der Schalenmittelfläche unbekannt. Diese Zusammenhänge lassen sich an einem verformten differentiellen Element der Mittelfläche ableiten. Man kann folgende Beziehungen ableiten: xm = 12 (w,x )2 ;

ym = 12 (w,y )2 ;

γxym = w,x w,y

Daraus folgt: x

=

y

=

γxy

=

−

− −

zw,xx

+

vx,x

zw,yy

+

vy ,y

2zw,xy

+

vx,y + vy ,x

Verzerrungen durch Plattenbiegung

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Verzerrungen durch Scheibenschnittgrößen

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+ + +

1 2 w 2 ,x 1 2 w 2 ,y w,x w,y

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Folie 8 - NM LB

Materialgleichungen Die Stoffgesetze der Platte mit kleinen Verformungen gelten auch bei großen Verformungen: x =

1 E (σx

− νσy ) + αT ; y = E1 (σy − νσx ) + αT ; τ γxy = γyx = Gxy ;

oder E E σx = 1−ν σy = 1−ν τxy = G γxy 2 (x + νy ); 2 (y + νx ); Einsetzen der Verformungsbeziehungen in die Materialgleichung : Ez E 2 2 σx = 1−ν 2 (w,xx +νw,yy )+ 2(1−ν 2 ) (2vx,x +2νvy ,y +w,x +νw,y ) Ez E 2 2 1−ν 2 (w,yy +νw,xx )+ 2(1−ν 2 ) (2vy ,y +2νvx,x +w,y +νw,x ) Ez E w,xy + 2(1+ν) (vy ,y + vx,x + w,y w,x ) τxy = τyx = − 1+ν

σy =

Das erste Glied (der Biegespannungszustand) ist identisch mit der Platte mit kleinen Verformungen. Der zweite Anteil (Scheiben- oder Membranspannungszustand) beschreibt die Spannungsänderung infolge der berücksichtigten großer Verformungen. Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)

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Folie 9 - NM LB

Schnittgrößen Nach dem Einsetzen der Spannungen in die Gleichungen für die Momente ergeben sich die gleichen Zusammenhänge wie bei kleinen Verformungen: mx = −K (w,xx + νw,yy ); my = −K (w,yy + νw,xx ); mxy = −(1 − ν)Kw,xy Nach dem Einsetzen der Spannungen in die Gleichungen für die Schnittkräfte erhält man folgende Zusammenhänge : nx =

Eh 2(1−ν 2 ) (2vx,x

+ 2νvy ,y + w,x2 + νw,y2 )

ny =

Eh 2(1−ν 2 ) (2vy ,y

+ 2νvx,x + w,y2 + νw,x2 )

nxy =

Eh 2(1+ν) (vx,x

+ vy ,y + w,x w,y )

Somit lassen sich die Spannungen in folgender Form aufschreiben: n n σx = h123 zmx + nhx ; σy = h123 zmy + hy ; τxy = h123 zmxy + hxy ; Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)

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Folie 10 - NM LB

Anmerkung Die Spannungen in einer Platte mit großen Verformungen sind somit die Überlagerung eines Biegespannungszustandes (1. Glied in Gleichung) mit einem Membranspannungszustand (2. Glied in Gleichung). Allerdings können die entsprechenden Schnittgrößen nicht getrennt voneinander berechnet werden, da beide Spannungszustände gekoppelt sind (vgl. Gleichgewichtsbedingungen).

Differentialgleichung Für die Rechteckplatte ergibt sich folgende Differentialgleichung zur Bestimmung der Verschiebung w (x, y ): K ΔΔw (x, y ) = pn (x, y ) + nx w,xx + ny w,yy + 2nxy w,xy In der Differentialgleichung sind noch die unbekannten Scheibenschnittgrößen nx , ny , nxy enthalten. Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)

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Folie 11 - NM LB

Differentialgleichung Für ihre Berechnung führt man zweckmäßig eine sogenannte Spannungsfunktion F (x, y ) ein, die mit den Schnittgrößen des Scheibenspannungszustandes verknüpft ist: nx = hF,yy ; ny = hF,xx ; nxy = nyx = −hF,xy Mit der Einführung der Spannungsfunktion F (x, y ) sind die beiden Scheibengleichgewichtsbedingungen nx,x + nyx,y = 0;

ny ,y + nxy ,x = 0

erfüllt. Die noch unbekannte Spannungsfunktion F (x, y ) wird aus der folgenden Differentialgleichung bestimmt: 2 − w,xx w,yy ) ΔΔF (x, y ) = E (w,xy

Die gekoppelten Gleichungen sind die nichtlinearen Differentialgleichungen für die Plattenverschiebung w (x, y ) bei großen Verformungen in kartesischen Koordinaten.

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Differentialgleichungen Diese gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen werden auch als Kármánsche Differentialgleichungen bezeichnet. Kartesische Koordinaten : K ΔΔw (x, y ) = pn (x, y ) + h(F,yy w,xx + F,xx w,yy − 2F,xy w,xy ) 2 ΔΔF (x, y ) = E (w,xy − w,xx w,yy )

Zylinder-Koordinaten :

K ΔΔw (r ) = pn (r ) + hr (w,r F,r ),r E ΔΔF (r ) = − 2r (w,r2 )r

Anmerkung Die gekoppelten Differentialgleichungen sind nichtlinear infolge 2 des Gliedes w,xy (w,r2 ) der rechten Seite der Differentialgleichung für F (x, y ) Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)

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Anmerkung Eine allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen kann nicht angegeben werden. Meist werden nur Näherungslösungen (z. B. nach Ritz oder Galerkin) möglich sein. Als Randbedingungen lassen sich an jedem Rand vier Bedingungen formulieren: • zwei Randbedingungen für das Scheibenproblem • zwei Randbedingungen für das Plattenproblem

Beim Plattenproblem wird wieder aus der Querkraft und dem Drillmoment eine Ersatzquerkraft gebildet Aus den Kármánschen Differentialgleichungen lassen sich einige Sonderfälle bei bestimmten Voraussetzungen ableiten. Die entstehenden Differentialgleichungen sind unter Umständen dann einfacher zu lösen.

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Sonderfälle Kirchhoffsche Platte: Voraussetzung : Es sind nur Belastungen senkrecht zur Plattenmittelfläche und Biegemomente bei kleinen Verformungen vorhanden. ⇒ nx = ny = nxy = 0 somit F (x, y ) = 0 K ΔΔw (x, y ) = pn (x, y ) Platte mit Belastungen in der Mittelfläche bei kleinen Verformungen: Voraussetzung : Es sind Belastungen senkrecht zur Plattenmittelfläche, Biegemomente und Belastungen in der Plattenmittelfläche bei kleinen Verformungen vorhanden. ⇒ Spannungsfunktion F (x, y ) ist unabhängig von w (x, y ) ΔΔF (x, y ) = 0 K ΔΔw (x, y ) = pn (x, y ) + h(F,yy w,xx + F,xx w,yy − 2F,xy w,xy )

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Sonderfälle Die absolut biegsame Platte (Membran): Voraussetzung : Plattensteifigkeit so klein, dass K = 0 gesetzt werden kann. ⇒ Linke Seite der Plattendifferentialgleichung ist gleich 0 2 ΔΔF (x, y ) = E (w,xy − w,xx w,yy )

F,yy w,xx + F,xx w,yy − 2F,xy w,xy = −

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pn (x, y ) h

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Näherungslösungen Näherungsverfahren nach Ritz Das Ritzsche Verfahren ist bei entsprechender Erweiterung der Arbeitsanteile prinzipiell wie für die Platte mit kleinen Verformungen anwendbar • Ergänzung der Formänderungsarbeit W um die Arbeit der Scheibenschnittgrößen nx , ny und nxy • Ergänzung der Endwertarbeit Wa um die Arbeit der in die Plattenmittelfläche fallenden Belastungsgrößen • Die Ansatzfunktionen fi (x, y ) müssen nur die geometrischen Plattenrandbedingungen erfüllen. • Die geometrischen Scheibenrandbedingungen lassen sich durch entsprechende Bestimmung der bei der Lösung der Scheibendifferentialgleichung für F˜ (x, y ) anfallenden Integrationskonstanten erfüllen.

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Näherungslösungen Näherungsverfahren nach Galerkin Das Näherungsverfahren von Galerkin kann bei entsprechender Anpassung der Lösung auch für Platten mit großen Verformungen angewandt werden • Ausgangspunkt ist ein Näherungsansatz für die Verschiebung w ˜ (x, y ), bei dem die Ansatzfunktionen fi (x, y ) jetzt alle Plattenrandbedingungen (geometrische und dynamische) erfüllen müssen. • Die geometrischen Scheibenrandbedingungen lassen sich durch entsprechende Bestimmung der bei der Lösung der Scheibendifferentialgleichung für F˜ (x, y ) anfallenden Integrationskonstanten erfüllen. Lösungsstrategie: • Einsetzen des Näherungsansatzes w ˜ (x, y ) =

n P

i =1

ai fi in die

2 Differentialgleichung ΔΔF˜ = E (w ˜ ,xy −w ˜ ,xx w ˜ ,yy ) Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)

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Näherungslösungen Näherungsverfahren nach Galerkin • Ermittelung einer Näherungslösung für die Spannungsfunktion F˜ (x, y ) durch Integration der Differentialgleichung. • Bestimmung der Konstanten aus den Scheibenrandbedingungen . • Man erhält eine Näherung für die Spannungsfunktion F˜ (x, y ) in der nur die Koeffizienten ai unbekannt sind • Die ai lassen sich berechnen, indem die Näherung für die Spannungsfunktion F˜ (x, y ) in die geltende Galerkinschen Gleichungen R

A

˜,yy w ˜,xy w ˜,xx w {(K ΔΔw ˜ − h(F ˜ , xx − 2F ˜ , xy + F ˜ , yy ) − pn }fi dA = 0

mit i = 1, 2, ..., n eingesetzt werden.

Mit den Galerkinschen Gleichungen liegen n Gleichungen für die n unbekannten Koeffizienten ai vor. Die Gleichungen werden 3. Grades bezüglich der zu bestimmenden Koeffizienten ai . Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)

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Beispiel Ermittlung einer Näherungslösung nach Galerkin für eine eingespannte Kreisplatte mit konstanten Flächenlast p0 Gegeben: p0 = 0.05 N/mm2 ; R = 300 mm; E = 2.0105 N/mm2 ; ν = 0.3; h = 4 mm Gesucht : w (x, y )

Kármánsche Differentialgleichungen in Zylinder-Koordinaten : K ΔΔw (r ) = pn (r ) + hr (w,r F,r ),r E ΔΔF (r ) = − 2r (w,r2 )r

oder K K Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)





1 d r dr 1 d r dr

n n

d r dr d r dr

h h

1 d r dr 1 d r dr

 

r dwdr(r ) r dFdr(r )

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io

io

= pn (r ) + hr (w,r F,r ),r E = − 2r (w,r2 )r 28. Oktober 2014

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Beispiel Näherungsansatz: Lösung eingespannte Kreisplatte mit kleinen Verformungen  2 2 4 r 0R w (r ) = p64K R2 − 1  2 2 ⇒w ˜ (r ) = a1 Rr 2 − 1 Einsetzen des Ansatzes in die Differentialgleichung für die Spannungsfunktion und Integration : h 3 i 2Ea2 r r5 r7 + C2 2r F,r (r ) = − R 1 2R 3 − 3R 5 + 12R 7

Hinweis: Die Konstanten C1 = C3 = 0 , da die Verformung und Spannung für r = 0 endlich sein muss Mit der Lösung für die Ableitung der Spannungsfunktion F˜,r ergeben sich die Spannungen σr und σφ zu: σr = 1 F˜,r ; σφ = F˜,rr r

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Beispiel Zur Bestimmung der Konstanten C2 gilt die Scheibenrandbedingung: u(r = R) = 0 Mit u(r ) = r φ = F,r (r ) = −

r E (σφ

2Ea12 r 3 R [ 2R 3

F,rr (r ) = −

2Ea12 3r 2 R [ 2R 3

r E (F,rr

− νσr ) = − −

r5 3R 5 5r 4 3R 5

+

r7 12R 7 ]

ν E F,r )

+ C2 2r

7r 6 12R 7 ]

+

−

+

C2 2

Damit ergibt sich die Scheibenverschiebung u(r ) zu: 1 u(r ) = a12 ( 6R (3ν − 5) +

C2 R 2 (1−ν) ) 2E

Aus der Randbedingung u(r = R) = 0 erhält man für die Konstante C2 : C2 = Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)

a12 E 1 (1−ν)R 2 ( 3 (3ν

− 5))

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Beispiel Einsetzen der Spannungsfunktion F˜ (r ) in die Plattendifferentialgleichung: K ( 1 d {r d [ 1 d (r dw (r ) )]}) = pn (r ) + h (w,r F˜,r ),r r dr

dr r dr

r

dr

Nach Multiplikation der Gleichung mit r , nachfolgender Differentiation und Division der entstandenen Gleichung durch r entsteht: d 1 d K ( dr [ r dr (r d w˜dr(r ) )]) = 12 pn (r )r + hr (w ˜ ,r F˜,r ) + Cr4 Auf Grund endlicher Verschiebungen w für r = 0 muss gelten: C4 = 0 d 1 d Bilden von dr [ r dr (r d w˜dr(r ) )]: dw ˜ (r ) d 1 d dr [ r dr (r dr )]

Lösen der Galerkinschen Gleichung

= R

32a1 r R4

L1 (w ˜ , F˜ )fi ,r dA = 0:

(A)

L1 (w ˜ , F˜ ) = Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)

32a1 r R4

− 12 pn (r )r − hr (w ˜ ,r F˜,r ) +

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C4 r

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Beispiel Lösung der Galerkinschen Gleichung zur Bestimmung von a1 : 2 23−9ν a1 3 21 1−ν ( h )

+

a1 16 3(1−ν 2 ) ( h )

=

pn (r ) R 4 E (h)

Mit den Zahlenwerten erhält man als reelle Lösung für a1 : a1 = 3.792315139 mm

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