Numerische Berechnung von LBS Dr.-Ing. H. Köppe 2. Vorlesung
Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen 2.Vorlesung Dr.-Ing. H. Köppe Institut für...
Numerische Berechnung von LBS Dr.-Ing. H. Köppe 2. Vorlesung
Numerische Berechnung von Leichtbaustrukturen 2.Vorlesung Dr.-Ing. H. Köppe Institut für Mechanik
15. Oktober 2014
Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)
Numerische Berechnung von LBS
15. Oktober 2014
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2. Vorlesung Numerische Berechnung von LBS Dr.-Ing. H. Köppe 2. Vorlesung
Folie 1 - Flächentragwerke
Definition Als Zugsysteme werden Tragwerke bezeichnet, in denen vorzugsweise Zugglieder die tragenden Elemente bilden. Im Zugglied als Konstruktionsteil ist eine der Hauptabmessungen um ein vielfaches größer als die sonstigen Abmessungen. Einer hohen Längssteifigkeit steht eine kleine Biege- und Verdrehsteifigkeit gegenüber. Zugsysteme
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Zugsysteme
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ebene ZS
räumliche ZS
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stat. best.
stat. unbest.
einknotig
vielknotig
konst. SpKr.
veränd. SpKr.
stat. best.
einknotig
symmetr. kreisförm.
vielknotig
ohne Kn.
orthogonal
nicht orth.
unsymmetr.
fächerförm..
m. RingLag.
1
stat. unbest.
m. RandZugGl.
Hajduk/Osiecki „Zugsysteme - Theorie und Berechnung"
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Folie 3 - Zugsysteme
Anmerkung Für die Berechnung von Zugsystemen ist es wesentlich, ob die Zugglieder durch eine konstante oder durch eine veränderliche Kraft gespannt werden,die von der äußeren Belastung des Systemes abhängen kann oder sich aus der Dehnung der einzelnen Zugglieder ergibt. Spannung durch konstante Spannkraft - Spanngewicht, hydraulische Winde usw. (a)
Spannung durch veränderliche Spannkraft - beidseitig befestigtes Seil (b)
(Kraft ändert sich durch Temperatur und äußerer Belastung)
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Folie 4 - Zugsysteme
Beispiel Ebene statisch unbestimmte Zugsysteme
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- Ebene statisch unbestimmte Systeme findet man bei Hängebrücken, Abhängungen von Rohrleitungen, Hilfskonstruktionen zur Versteifung von Auslegern, Brücken und Gerüsten usw.
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Folie 5 - Zugsysteme
Beispiel Ebene statisch unbestimmte Zugsysteme - Typisch für Seilbahnen, bei denen das Tragseil auf den Auflagerschuhen der Stützen gelagert ist oder bei elektrischen Leitungen, die über Isolatoren an Masten hängen.
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Folie 6 - Zugsysteme
Beispiel Räumliche Zugsysteme ohne Knoten
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- Typisches Beispiel Dach der Sporthalle in Tokio
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Folie 7 - Zugsysteme
Beispiel Räumliche unsymmetrische Zugsysteme mit einem Knoten
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- Im Knoten laufen mehrere Seile unterschiedlicher Länge zusammen. - Die Lage des Mittenknotens ergibt sich aus dem Gleichgewicht der wirkenden Horizontal- und Vertikalkräfte. - Typisches Beispiel für Seilbahnen deren Seile über hängende Stützen geführt werden.
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Folie 8 - Zugsysteme
Beispiel Räumliche unsymmetrische Zugsysteme mit einem Knoten
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- Im Knoten laufen mehrere Seile unterschiedlicher Länge zusammen. - Die Lage des Mittenknotens ergibt sich aus dem Gleichgewicht der wirkenden Horizontal- und Vertikalkräfte. - Typisches Beispiel für Seilbahnen deren Seile über hängende Stützen geführt werden.
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Folie 9 - Zugsysteme
Beispiel Räumliche symmetrische Zugsysteme mit einem Knoten
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- Die Kräfte der Zugglieder werden durch einen äußeren Ring aufgenommen - Zugglieder werden in der Mitte entweder durch einen Knoten ((a),(b)) oder einen Ring (c) zusammengeführt. - (b) und (c) sind in senkrechter Richtung nicht steif und deshalb anfällig gegen Wind.
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Folie 14 - Zugsysteme
Ursache des Dehnungsverlaufes liegt in der Änderung der Seilstruktur. • Gleichmäßige Ausrichtung der Seile • Erhöhung des Steigungswinkels der Drähte. • Abbau von Anfangsspannungen aus dem Herstellungsprozeß ⇒ Hysterese eines Stahleiles ist bedeutend größer als bei einen auf Zug beanspruchten Drahtes gleichen Durchmessers. Aus der Charakteristik des Spannungs-Dehnungsverlaufes ergeben sich Unterschiede im Elastizitätsmodul zwischen neuen und länger im Einsatz befindlichen Seilen. • Totaler Elastizitätsmodul Etot - nach einmalige Belastung • Wahrer Elastizitätsmodul Eel - nach mehrmaliger Be- und Entlastung
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Folie 15 - Zugsysteme
Einfluss der Anzahl der Lastwechsel auf den tatsächlichen Wert des Elastizitätsmoduls (Litzenseil - 8 Litzen) mit Hanfeinlage Anzahl der Lastwechsel 1 Belastung bis 10 σB Belastung bis
Bei den Berechnungen geht man davon aus, dass das Hooksche Gesetz gilt Zur Korrektur des Elastizitätsmoduls wir ein Faktor k eingeführt ES = kE E ist der Elastizitätsmodul von Stahl (E = 2.0...2.1 105 ) Beispiele für den Koorekturfaktor k: - Litzenseil (6 Litzen) mit organischer Einlage : k = 0.4...0.6 - Litzenseil mit Stahleinlage : k = 0.5 - Spiralseil : k = 0.65...0.85 Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)
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Folie 16 - Zugsysteme
Zugglieder erfahren aufgrund von Belastungen unterschiedliche Verformungen: - Elastische Verformungen - Plastische Verformungen - Kriechverformungen
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Folie 17 - Zugsysteme
Annahmen Seile und Ketten können nur Zugkräfte aufnehmen. Seile und Ketten sind „biegeschlaff“ und können somit keine Querkräfte und Biegemomente aufnehmen. Zur Berechnung der Zusammenhänge zwischen den äußeren Belastungen und den inneren Kräften betrachten wir ein zwischen den Punkten A und B aufgehangenes Seil. Die Gleichgewichtsbedingungen werden dann für einem differentiell kleines Seilelement der Länge ds aufgeschrieben.
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Folie 18 - Zugsysteme
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Gleichgewichtsbedingungen:
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→x
:
FH2 − FH1 = 0
↓y
:
FQ + dFQ − FQ + q(x)dx = 0
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yC
:
FH1 dy − FQ
dx 2
(1)
− FQ
dx 2
− dFQ
(2) dx 2
= 0 (3)
Aus Gleichung (1) folgt : FH1 = FH2 = FH
(4)
Aus Gleichung (2) folgt : qx = −
dFQ 0 = FQ dx
(5)
Unter Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung (dFQ dx 2 ) folgt aus Gleichung (3): FQ = FH
dy dx
(6)
Nach Differentiation der Gleichung (6) erhält man : 0 FQ = FH Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)
d2 y dx 2
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Folie 19 - Zugsysteme
Differentialgleichung für den Seildurchhang y (x): qx = FH y 00
(8)
Nach zweifacher Integration erhält man die Lösung für die Seillinie : Z y (x) = −
1 FH
Z
(q(x)dx
dx + C1 x + C2
(9)
Es ist zu erkennen, dass sich bei q(x) = konst. für die Seilline eine Parabel ergibt. Ersetzt man die Streckenlast q(x) durch die Eigenlast γ [N/mm] erhält man folgende Lösung für die Kettenlinie: Gleichgewichtsbedingungen:
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→x
:
FH2 − FH1 = 0
(10)
↓y
:
FQ + dFQ − FQ + γds = 0
(11)
yC
:
FH1 dy − FQ
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dx 2
− FQ
dx 2
− dFQ
dx 2
= 0 (12)
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Folie 20 - Zugsysteme
Unter Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung (dFQ dx 2 ) folgt aus Gleichung (12):
Dr.-Ing. H. Köppe
FQ = FH
dy = FH y 0 dx
(13)
2. Vorlesung
Für das differentielle Längenelement ds erhält man : ds =
p
dx 2 + dy 2 =
p 1 + y 02 dx
(14)
Damit ergibt sich aus Gleichung (11): γ
p dFQ 0 = FQ 1 + y 02 dx = − dx
(15)
Mit FQ0 = FH y 00 erhält man aus Gleichung (15): γ
p dFQ 1 + y 02 dx = − = FH y 00 dx
Mit der Substitution y 0 = u und der Abkürzung a = p aus (16) : 0 2 au = −
oder : √ Dr.-Ing. H. Köppe (IFME)
du 1 + u2
(16) FH γ
ensteht
1+u
=−
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dx a
(17)
(18) 15. Oktober 2014
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2. Vorlesung Numerische Berechnung von LBS
Daraus folgt die Lösung: arcsinh u = −
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Folie 21 - Zugsysteme
x + C1 a
(19)
Die Umkehrung lautet: x x u = sinh − + C1 = − sinh − C1 a a
Ersetzt man in (20) u = y 0 erhält man : y 0 = − sinh
x − C1 a
(20)
(21)
Nach nochmaliger Integration von (21) wird: y (x) = −a cosh
