Kantonsschule Solothurn

Exponential- und Logarithmusfunktion RYS

Vermischte Aufgaben als Probevorbereitung Posten 1 Aufgabe 1 Gegeben:

f(x) = 2x

g(x) = log3(x)

a. Stelle die Funktion grafisch dar. b. Verschiebe die Kurve um 2 Einheiten nach oben und um 3 Einheiten nach links. Wie lautet die neue Funktionsgleichung? c. Spiegle die Kurve an der x-Achse. Wie lautet die neue Funktionsgleichung? d. Spiegle die Kurve an der y-Achse. Wie lautet die neue Funktionsgleichung? e. Spiegle die Kurve an der 1. Winkelhalbierenden. Wie lautet die neue Funktionsgleichung? f. Bestimme bei allen Funktionsgleichungen den Definitions- und den Wertebereich.

Aufgabe 2 Das Schaubild einer Funktion der Form f(x) = c∙ax geht durch P(2 | 0.5) und Q(3 | 2.5). Bestimme a und c.

Aufgabe 3 a. b. c. d. e.

In welchem Punkt schneidet das Schaubild der Funktion f(x) = 0.4∙10x die y-Achse? Wo schneidet das Schaubild die Parallele zur y-Achse durch A(2 | 0)? Wo schneidet das Schaubild die Parallele zur x-Achse durch B(0 | 3)? Für welche x-Werte sind die Funktionswerte kleiner als 0.1? Für welche x-Werte sind sie grösser als 400?

Aufgabe 4 a. Berechne für f(x) = 2∙1.5x die Funktionswerte f(2) und f(3). b. Um wie viel Prozent ist f(3) grösser als f(2)? c. Zeige: Bei dieser Zuordnungsvorschrift ist f(x + 1) stets um 50 % grösser als f(x).

Aufgabe 5 Wie gross ist die einer Exponentialfunktion f(x) = ax die Basis a, wenn für alle x der Funktionswert f(x + 1) stets a) um 20 % grosser ist als f(x) b) um 5 % kleiner ist als f(x) c) halb so gross ist wie f(x).

Posten 2 1. Medikament-Aufgabe Bei einer Operation wird für die Narkose ein Medikament verwendet, das mit einer Halbwertszeit von 40 Minuten abgebaut wird. a. Welche Funktion erfasst den Zusammenhang von verstrichener Zeit und noch vorhandener Medikamentenmenge (die Anfangsmenge sei N0), b. Wie viel Prozent des Medikaments zerfällt pro Minute? c. Wie viel Prozent sind nach 10 Minuten noch übrig? d. Eine Patientin erhält zuerst 2 mg des Medikaments, danach zweimal in Abständen von einer Stunde je 1 mg. Welche Menge ist nach der letzten Infusion insgesamt vorhanden? e. Die Patientin wacht auf, wenn weniger als 0.5 mg des Medikaments übrig sind. Wie lange nach der letzten Infusion ist das der Fall?

2. Nikotin-Aufgabe Nikotin wird im menschlichen Körper mit einer Halbwertszeit von 60 Minuten abgebaut. a. Welche Funktion erfasst den Zusammenhang von verstrichener Zeit und noch vorhandener Nikotinmenge (die Anfangsmenge sei N0)? b. Wie viel Prozent des vorhandenen Nikotins werden pro Minute abgebaut? c. Wie lange dauert es, bis noch 1 % der ursprünglichen Menge übrig ist? d. Beim Rauchen einer Zigarette gelangen 1.5 mg Nikotin ins Blut. Herr N. raucht drei Zigaretten im Abstand von je einer halben Stunde. Wie viel Nikotin befindet sich nach der dritten Zigarette in seinem Körper?

3. Exponentiell oder linear? Innerhalb einer Untersuchung soll überprüft werden, ob sich eine Bakterienkultur exponentiell oder linear vermehrt. Nach drei Tagen wurden 240 Bakterien gezählt, nach 10 Tagen waren es 359. a. Wie viele Bakterien sind nach 20 Tagen bei linearem und bei exponentiellem Wachstum jeweils vorhanden? b. Der Versuch begann mit 200 Bakterien. Berechne die prozentuale Abweichung zum Startwert des linearen und exponentiellen Wachstums. Entscheide welches Wachstum vermutlich vorliegt. c. Nach wie vielen Tagen hat sich der Bestand verzehnfacht, wenn hierbei von einem exponentiellen Wachstum ausgegangen wird? d. Ein wirksames Mittel schränkt das tägliche Wachstum auf 2 % ein. Wie viele Bakterien sind nach 31 Tagen vorhanden, wenn das Mittel zu Beginn der Untersuchung an 200 Bakterien eingesetzt wurde?

4. Hasenpopulation Im Jahre 1705 wurden 5 Hasen auf einer Pazifikinsel ausgesetzt, um die Frischfleischversorgung bei künftigen Besuchern zu sichern. Ein Jahr später wurden bereits 12 Hasen gesichtet. a. Bestimme die jährliche Zuwachsrate in Prozent. b. Wie viele Hasen wären bei der Annahme exponentiellem Wachstum im Jahre 1711 auf der Insel zu erwarten. c. Nach jeweils wie vielen Monaten verdoppelt sich der Bestand unter der Annahme exponentiellen Wachstums? d. Tatsächlich wurden auch Jahrzehnte nach der Aussetzung niemals mehr als 1oo Hasen auf der Insel gezählt. Setze logistisches Wachstum an und berechne den Änderungsfaktor k auf 4 Nachkommastellen genau. e. Wie viele Hasen wären im Jahr 1711 auf der Insel zu erwarten, wenn man den Ansatz für logistisches Wachstum verwendet.

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Posten 3 1. 2x = 5x – 1 2. 2x = 4x - 1 3. log(x + 1) – log(x) = 4 4. log(x) = 2log(x) + log(1 + x) 5. 0.75∙8x + 2.5 = 2∙8-x 6. 10∙3x - 1 + 2∙31 - x = 9 7. 9∙32x + 14 = 9∙3x + 1

Exponential- und Logarithmusfunktion RYS

Lösungen Posten 1 Aufgabe 1

a. b. c. d. e.

f(x) = 2x f(x) = 2x + 3 + 2 f(x) = - 2x f(x) = 2- x f-1(x) = log2(x)

D = R, W = ]0, +∞[ D = R, W = ]2, +∞[ D = R, W = ]0, -∞[ D = R, W = ]0, +∞[ D = ]0, +∞[, W = R

g(x) = log3(x) g(x) = log3(x + 3) + 2 g(x) = - log3(x) g(x) = log3(-x) g-1(x) = 3x

Aufgabe 2 a = 5, c = 0.02

Aufgabe 3 a) P(0 | 0.4) b) Q(2 | 40)

c) R(0.88 | 3) d) x < -0.6

e) x > 3

Aufgabe 4 F(2) = 4.5, f(3) = 6.75, 50 % b) f(x + 1) / f(x) = 1.5 also 50 %

Aufgabe 5 a) a= 1.2

b) a = 0.95

c) a = 0.5

(ax + 1 = a∙ax)

D = ]0, +∞[, W = R D = ]-3, +∞[, W = R D = ]0, +∞[, W = R D = ]0, -∞[, W = R D = R, W = ]0, +∞[

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Exponential- und Logarithmusfunktion RYS

Posten 2 1. Medikament-Aufgabe a. b. c. d. e.

N(t) = N0∙0.982821t 1.72 % 84.09 % 1.604 mg 67.3 Minuten

2. Nikotin-Aufgabe a. b. c. d.

N(t) = N0∙0.988514t 1.15 % 398.63 Minuten 3.31 mg

3. Exponentiell oder linear? a. b. c. d.

lin: 529 Bakterien 5.5 % 40 Tagen 369.52 Bakterien

4. Hasenpopulation a. b. c. d. e.

140 % 956 Hasen 9.5 Monaten k = 0.0095 94 Hasen

Posten 3 1. x = 1.76 2. x = 0.69 3. x = 0.0001 4. x = 2.7 / - 3.7 5. x = -0.19 6. x = 0.37 / 0.17 7. x = 0.77 / -0.37

exp.: 638.16 0.97 %