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Technik und Wirtschaft

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Mathematik

Aufgaben zu Mathematik 1 Studiengang Sensorik

Prof. Dr. T. Westermann Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft

Literatur/Theorie:

Thomas Westermann: Mathematik für Ingenieure Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch Springer-Verlag, 6. Auflage 2011 Stand 10.10.2011

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Mathematik

Aufgaben zur vollständigen Induktion Aufgabe 1 Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass a) 12 + 22 + 32 + ... + n 2 =

n

∑k

2

k =1

b) 20 + 21 + ... + 2 n =

n

∑2

k

=

1 n( n + 1)(2n + 1) 6

für alle n ∈ N

= 2n +1 − 1

für alle n ∈ N 0

k =1

c)

1 1 1 n + + ... + = 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n ( n + 1) n + 1

für alle n ∈ N

Lösung

Tipp

Aufgabe 2 Man zeige, dass für festes x ≠ 1 und jede natürliche Zahl n ∈ N 0 gilt (n + 1)

1−x ∑ x = 1−x k=0 n

k

Lösung

Tipp

*Aufgabe 3 Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass a) 2 n ≤ n ! für jedes n ≥ 4 n b) 2n + 1 ≤ 2 für n ≥ 3 3 ≤ n c) n 2 ≤ 2 n für jedes n ≠ 3 Lösung

Tipp

Aufgabe 4 Beweisen Sie durch vollständige Induktion:

1 1 1 1 (1 + ) = (1 + 1) ⋅ (1 + ) ⋅ (1 + ) ⋅ ... ⋅ (1 + ) = n + 1 k n 2 3 n b) ∑ i =1 (2i − 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n ² a)

c)

∏ ∑

n

k =1

n i=2

(i − 1)3 =

1 ( n − 1) 2 n 2 4

∑

n+5

i =6

für alle n ≥ 1. für alle n ≥ 2 .

1 n (n + 11) 2 n e) ∑ i =1 (4i − 1) = 3 + 5 + 7 + ... + (4n − 1) = 2n² + n d)

für alle n ≥ 1.

i=

für alle n ≥ 1. für alle n ≥ 1.

Lösung

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Aufgabe 5 a) Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten

⎡⎢ n ⎤ , ⎡⎢ n ⎤ , ⎢⎣ 0 ⎥⎥⎦ ⎢⎣ n ⎥⎥⎦

⎡⎢ 3⎤ , ⎡⎢ 3⎤ , ⎢⎣ 1⎥⎥⎦ ⎢⎣ 2⎥⎥⎦

⎡⎢ 4⎤ , ⎡⎢ 4⎤ , ⎢⎣ 0⎥⎥⎦ ⎢⎣ 1⎥⎥⎦ b) Entwickeln Sie die folgenden Binome ( x + 4)5

⎡⎢ 4⎤ , ⎡⎢ 4⎤ , ⎢⎣ 2⎥⎥⎦ ⎢⎣ 3⎥⎥⎦ (1 − 5 y ) 4

Lösung

⎡⎢ 4⎤ , ⎡⎢ 5⎤ , ..., ⎢⎣ 4⎥⎥⎦ ⎢⎣ 0⎥⎥⎦ (a 2 − 2b)3

⎡⎢ 5⎤ . ⎢⎣ 5⎥⎥⎦

Tipp

Aufgabe 6 Zeigen Sie durch Nachrechnen

∑

k=1

n−1

n−1

n

ak − 1 =

∑

k=0

∑

ak ;

k=0

n

ak + 1 =

∑ ak

k=1

Lösung

Aufgabe 7 1 ⎡n⎤ 1 ⎥⎥ k ≤ k! ⎣ k⎦ n

Man zeige durch Nachrechnen, dass ⎢⎢

für jedes n ∈ N

Lösung

10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Aufgaben zu Gleichungen und Ungleichungen Lösungen in Maple

Aufgabe 1 Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen: 2 2 2 a) 4 x + 8 x − 60 = 0 b) x − 4 x + 13 = 0 c) -1 = −9 ( x − 2 ) 2 d) 5 x + 20 x + 20 = 0

e) ( x − 1 ) ( x + 3 ) = 0 Lösung

Tipp

Aufgabe 2 Bestimmen Sie den Parameter c so, dass die Gleichung 2 x 2 + 4 x = c genau eine reelle Lösung besitzt. Lösung

Tipp

Aufgabe 3 Welche reellen Lösungen besitzen die folgenden Gleichungen? 3 2 a) −2 x + 8 x = 8 x

4 2 b) t − 13 t + 36 = 0

c)

1 ( 3 x2 − 6 ) ( x2 − 25 ) ( x + 3 ) = 0 2

Lösung

Aufgabe 4 Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen a)

−3 + 2 x = 2

b)

x2 + 4 = x − 2

c)

x−1 = x+1

Lösung

d)

2 x2 − 1 + x = 0

Tipp

Aufgabe 5 Welche reellen Lösungen besitzen die folgenden Betragsgleichungen 2 2 a) 2 x − 3 = x b) 4 − x = x c) 2 x + 4 = −( x − x − 6 )

2 *d) x − x = 24

Hinweis: Skizzieren Sie vor dem Lösen die linke und die rechte Seite der Gleichung. Verwenden Sie hierzu Maple! Lösung

Tipp

*Aufgabe 6 Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen 2 2 a) x < 2 x − 8 b) 0 ≤ x + x + 1 c) x ≤ x − 2 d) x < x − 4 Hinweis: Skizzieren Sie vor dem Lösen die linke und die rechte Seite der Ungleichung. Verwenden Sie hierzu Maple! Lösung

Tipp

Aufgabe 7 (Maple) Bestimmen Sie die reellen Lösungsmengen aus Aufgabe 1 - 6 graphisch und rechnerisch mit Maple durch den solve-Befehl. Lösungen in Maple

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Aufgaben zur Vektorrechnung Aufgabe 1 ⎡3⎤ ⎡ −2 ⎤ ⎡ −5 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Gegeben sind die Vektoren a = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ , b = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ , c = ⎢⎢ 1 ⎥⎥ . Man berechne die Vektoren und ihre ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣4⎦ ⎣4⎦ ⎣ −4 ⎦ Beträge von: a) s1 = 3 a − 5 b + 3 c

b) s2 = −2 ( b + 5 c ) + 5 ( a − 3 b )

c) s3 = 4 ( a − 2 b ) + 10 c

Lösung

Aufgabe 2 Welche Gegenkraft F hebt die vier Einzelkräfte F 1, F 2, F 3, F 4 in ihrer Gesamtkraft auf?

⎡200 ⎤ ⎢ ⎥ F1 = ⎢⎢110 ⎥⎥ N; ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣−50⎦

⎡−10⎤ ⎢ ⎥ F2 = ⎢⎢ 30 ⎥⎥ N; ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣−40⎦

⎡ 40⎤ ⎢ ⎥ F3 = ⎢⎢ 85⎥⎥ N; ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣120⎦

⎡ 30⎤ ⎢ ⎥ F4 = −⎢⎢ 50⎥⎥ N. ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 40⎦

Lösung

Aufgabe 3 Normieren Sie folgende Vektoren, d.h. bilden Sie die Richtungseinheitsvektoren:

⎡ 2⎤ ⎢ ⎥ a = ⎢⎢ 1⎥⎥ , ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 4⎦

⎡ -1 ⎤ ⎢ ⎥ c = ⎢⎢ 1 ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ -1 ⎦

b = 3 ex − 4 ey + 8 ez , Lösung

Tipp

Aufgabe 4 ⎡ -1 ⎤ ⎢ ⎥ Wie lautet der Einheitsvektor e , der die zum Vektor a = ⎢⎢ 4 ⎥⎥ entgegengesetzte Richtung hat? ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ −3 ⎦ Lösung

Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q, der vom Punkt P(3/ 1/ -5) in Richtung des Vektors

⎡3⎤ ⎢ ⎥ a = ⎢⎢ −5 ⎥⎥ 20 Längeneinheiten entfernt ist. ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣4⎦ Lösung

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Tipp

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Aufgabe 6 Bestimmen Sie die Koordinaten der Mitte Q von PP 1 2 mit P1 = (10 / 5 / − 1) und P2 = (1/ 2 / 5) . Lösung

Aufgabe 7 ⎡ 1⎤ ⎡ −3 ⎤ ⎡4⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Bilden Sie mit den Vektoren a = ⎢⎢ 1⎥⎥ ; b = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ; c = ⎢⎢ 10 ⎥⎥ die Skalarprodukte: ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 1⎦ ⎣4⎦ ⎣ −2 ⎦ a) a b b) ( a − 3 b ) 4 c c) ( a + b ) ( a − c ) Lösung

Aufgabe 8 Welche Winkel schließen die Vektoren a und b ein?

⎡3⎤ ⎡ 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a) a = ⎢⎢ 1 ⎥⎥ , b = ⎢⎢ 4⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ −2 ⎦ ⎣ 2⎦

⎡ 10 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ b) a = ⎢⎢ −5 ⎥⎥ , b = ⎢⎢ -1 ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 10 ⎦ ⎣−.5⎦ Lösung

c) a = ex − 2 ey + 5 ez , b = −ex − 10 ez Tipp

Aufgabe 9 Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren e1, e2, e3 ein orthonormales System bilden; d.h. die Vektoren stehen paarweise aufeinander senkrecht und besitzen die Länge 1:

⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ e1 = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ , e2 = 2 ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦

⎡ -1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ , e = ⎢ -1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 3 ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣1⎦ ⎣0⎦ Lösung

Aufgabe 10 Zeigen Sie: Die drei Vektoren bilden ein rechtwinkliges Dreieck, wenn

⎡1⎤ ⎢ ⎥ a = ⎢⎢ 4 ⎥⎥ , ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ −2 ⎦

⎡ −2 ⎤ ⎢ ⎥ b = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ , ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣3⎦

⎡ -1 ⎤ ⎢ ⎥ c = ⎢⎢ 6 ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣1⎦

Lösung

Aufgabe 11 Bestimmen Sie den Betrag und die Winkel mit den Koordinatenachsen für a :

⎡ 1⎤ ⎢ ⎥ a) a = ⎢⎢ 1⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 1⎦

⎡ 1⎤ ⎢ ⎥ b) a = ⎢⎢ 4⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 0⎦

⎡4⎤ ⎢ ⎥ c) a = ⎢⎢ 3 ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ −2 ⎦ Lösung

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Aufgabe 12 Durch die drei Punkte A = (1/ 4 / − 2) , B = (3 /1/ 0) und C = ( −1/1/ 2) wird ein Dreieck festgelegt. Berechnen Sie die Längen der drei Seiten, die Winkel im Dreieck sowie den Flächeninhalt. Lösung

Aufgabe 13 Berechnen Sie die Projektion des Vektors b in Richtung des Vektors

⎡2⎤ ⎢ ⎥ a = ⎢⎢ −2 ⎥⎥ für: ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣1⎦

⎡ −2 ⎤ ⎢ ⎥ b) b = ⎢⎢ 5 ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣0⎦

⎡ 5⎤ ⎢ ⎥ a) b = ⎢⎢ 1⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 3⎦ Lösung

⎡ 10 ⎤ ⎢ ⎥ c) b = ⎢⎢ 4 ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ −2 ⎦ Tipp

*Aufgabe 14 Ein Vektor a ist durch den Betrag a = 10 und α = 30 °, β = 60 °, 90 ° ≤ γ festgelegt. Wie lautet die Vektorkoordinaten von a ?

≤ 180 °

Lösung

*Aufgabe 15 Man bestimme die Richtungswinkel α, β , γ der Vektoren

⎡ 5⎤ ⎢ ⎥ a) a = ⎢⎢ 1⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 4⎦

⎡ −3 ⎤ ⎢ ⎥ b) a = ⎢⎢ 5 ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ −8 ⎦

⎡ 11 ⎤ ⎢ ⎥ c) a = ⎢⎢ −2 ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 10 ⎦ Lösung

Aufgabe 16 ⎡1⎤ ⎡2⎤ ⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Man berechne für a = ⎢ 4 ⎥ , b = ⎢ -1 ⎥ , c = ⎢⎢ 2⎥⎥ die Vektorprodukte: ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ −6 ⎦ ⎣2⎦ ⎣ 3⎦ a b a) x b) ( a − b ) x ( 3 c ) c) ( −a + 2 c ) x ( −b ) d) ( 2 a ) x ( −b + 5 c ) Lösung

10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Lösung

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*Aufgaben zur Anwendung der Vektorrechnung Aufgabe 1 (Resultierende Kraft). An einem Verteilermast greifen 4 Kräfte an, die in einer Ebene liegen. Ermitteln Sie rechnerisch den Betrag und die Richtung der Resultierenden FR = F1 + F2 + F3 + F4 ,

wenn F 1 = 380 N, F 2 = 400 N, F 3 = 300 N, F 4 = 440 N,

α = 80 °, β = 120 ° und γ = 70 °.

Lösung

Aufgabe 2 (Resultierende Kraft). Ein Wagen wird an drei Seilen gezogen. Wie groß müssen F 3 und α3 sein, damit am Wagen eine resultierende Kraft von 1000 N nur in x-Richtung wirkt? Gegeben: F 1 = 700 N, F 2 = 600 N, α1 = 60 °, α2 = −45 °.

Lösung

Aufgabe 3 ⎡2⎤ ⎢ ⎥ Gegeben sei ein Körper, der sich nur entlang der Richtung a = ⎢⎢ 1 ⎥⎥ bewegen kann. Auf diesen ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ −2 ⎦ ⎡ 20⎤ ⎢ ⎥ Körper wirkt eine Kraft F = ⎢⎢ 20⎥⎥ N. ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 10⎦ a) Wie groß ist der Betrag der Kraft F ? b) Welchen Winkel schließen der Kraftvektor und der Richtungsvektor ein? c) Welche Kraft wirkt auf den Körper in Richtung a ?

⎡ 5 ⎤ ⎢ ⎥ d) Man zeige, dass der Kraftvektor F 2 = ⎢⎢−12⎥⎥ senkrecht zu a steht. ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ -1 ⎦ Lösung

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Aufgabe 4 (Drehmoment). Ein starrer Körper in Form einer Kreisscheibe ist um eine Symetrieachse drehbar gelagert. Eine im Punkt P angreifende Kraft erzeugt ein Drehmoment M = r x F .

⎡1⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ Seien F = ⎢ -1 ⎥ N und r( P ) = ⎢⎢ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎣2⎦ ⎣ a) Welchen Winkel schließen r( P )

2⎤ ⎥ 1⎥⎥ m. ⎥ 1⎥⎦ und F ein? M und seinen Betrag. b) Man berechne das Drehmoment c) Welche Kraft F r wirkt in Richtung r( P ) ?

Lösung

Aufgabe 5 (Arbeit in konstantem Kraftfeld). Gegeben sind die Punkte A = (1/ − 1/ 2) , b = (2 /1/ 3) und C = (4 / 0 /1) . Unter der Einwirkung der konstanten Kraft F = (1/1/1) bewegt sich ein Massepunkt von A nach B . Wie groß ist die dabei verrichtete Arbeit (Kräfteeinheit 1N, Längeneinheit 1m), falls a) die Masse sich auf dem kürzesten Weg von A nach B bewegt? b) die Messe sich von A nach B längs der Strecken AC und CB bewegt? Lösung

Aufgabe 6 (Drehmoment). An einem Quader wirken 3 zu den Koordinatenachsen parallele Kräfte F 1 = 100 N, F 2 = 150 N

und F 3 = 120 N.

a) Man bestimme die resultierende Kraft F R und das Drehmoment M0 bezogen auf den Ursprung. b) Wie groß ist der Betrag von F R und M0 ?

Lösung

10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Aufgaben zur linearen Gleichungssystemen Aufgabe 1 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme a) 4 x1 + 2 x2 + 4 x3 = 10 b) 2 x1 + x2 + x3 = 7

x1 + x2 + x3 = 3 2 x1 + 3 x2 + 3 x3 = 8

c) 2 x1 + x2 + x3 = 7

2 x1 + 2 x2 + x3 = 10 3 x1 + x3 = 5 Lösung

2 x1 + x2 + x3 = 8 3 x1 + x3 = 5 Tipp

Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Systeme: x1 − 3 x2 + x3 = −3 b) x1 + x2 + x3 = 6 c) a)

−3 x 1 +

x2 + x3 = 5

x1 + 2 x2 + x3 = 7 2 x1 + x2 + 2 x3 = 11

x1 + x2 + x3 = 7 x1 + 2 x2 + x3 = 7 2 x1 + x2 + 2 x3 = 11

Lösung

Aufgabe 3 Man bestimme die Lösungsmenge der folgenden Systeme x1 − x2 + x3 = 1 c) x1 − x2 + x3 = 1 a) 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 4 b) −3 x1 + 3 x 2 − 3 x 3 = −3 −3 x1 + 3 x2 − 3 x3 = -1 5 x1 − 5 x2 + 5 x3 = 5 5 x1 − 5 x2 + 5 x3 = 5 Lösung

Aufgabe 4 Welche Aussagen gelten für die entsprechenden homogenen Systeme? Lösung

Aufgabe 5 (Maple) Lösen Sie Aufgabe 1-4 in Maple mit dem solve-Befehl. Maple

10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Aufgaben zu Matrizen und Determinanten Lösungen in Maple

Aufgabe 1 Transponieren Sie die Matrizen

⎡1 ⎢ A = ⎢⎢−5 ⎢⎢ ⎣4

5 1 0

3⎤ ⎥ 0⎥⎥ ; ⎥ 1⎥⎦

3 B = ⎡⎢⎢ ⎣4

1 −5

Lösung

⎡3 ⎢ C = ⎢⎢2 ⎢⎢ ⎣8

−2⎤ ⎥ ; 0 ⎥⎦

−2⎤ ⎥ 5 ⎥⎥ . ⎥ 10⎥⎦

Tipp

Aufgabe 2 Welche der folgenden Matrizen sind symmetrisch?

⎡⎢ 0 ⎢ -1 A = ⎢⎢ ⎢−4 ⎢ ⎢0 ⎣

1 0 3 −5

4 −3 0 8

0⎤ ⎥ 5 ⎥⎥ ⎥ ; −8⎥⎥ 0 ⎥⎦

⎡5 ⎢ B = ⎢⎢ 0 ⎢⎢ ⎣−3

0 5 7

−3⎤ ⎥ 7 ⎥⎥ ; ⎥ 1 ⎥⎦

⎡ 0 −a ⎢ C = ⎢⎢−a 0 ⎢⎢ ⎣−b 1

−b⎤ ⎥ -1 ⎥⎥ . ⎥ 0 ⎥⎦

Lösung

Aufgabe 3 Man berechne für die Matrizen

3 A = ⎡⎢⎢ ⎣-1

4 5

⎡−3 ⎢ B = ⎢⎢ 1 ⎢⎢ ⎣0

0⎤ ⎥ , 3⎥⎦

3⎤ ⎥ -1⎥⎥ ⎥ 2 ⎥⎦

und

die folgenden Ausdrücke (falls möglich) t t t a) 2 A + C − B b) A − B − 3 C

1 C = ⎡⎢⎢ ⎣2

4 1

0⎤ ⎥ . 3⎥⎦

c) A − 2 C + B .

Lösung

Aufgabe 4 Berechnen Sie A2 = A A , B 2 = B B , A B und B A für die Matrizen

⎡3 ⎢ A = ⎢⎢ 1 ⎢⎢ ⎣0

4 5 1

⎡1 ⎢ B = ⎢⎢−2 ⎢⎢ ⎣−4

2⎤ ⎥ 3⎥⎥ , ⎥ 0⎥⎦

5 1 0

3⎤ ⎥ 0⎥⎥ . ⎥ 3⎥⎦

Lösung

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Aufgabe 5 Invertieren Sie die Matrizen

⎛ 1 2 3⎞ ⎛ −1 1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜ −2 −3 1 ⎟ , C =⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ −1 1 −2 ⎠ und prüfen Sie nach, dass Matrix mal inverse Matrix die Einheitsmatrix ergibt. ⎛ 1 −2 ⎞ A=⎜ ⎟, ⎝ 2 −3 ⎠

Lösung

Aufgabe 6 Für welche Werte von a ist die Matrix D invertierbar?

⎛ 1 a 3⎞ ⎜ ⎟ D = ⎜ −2 a 1 ⎟ ⎜ −1 0 a ⎟ ⎝ ⎠ Lösung

Aufgabe 7 Bestimmen Sie die Determinanten von:

⎡ a) A = ⎢⎢

2 ⎣4

⎡ b) B = ⎢⎢

3⎤ ⎥ −5⎥⎦

a ⎣b

⎡ c) C = ⎢⎢

a⎤ ⎥ b ⎥⎦

3 ⎣x

11 ⎤ ⎥. 2 x⎥⎦

Lösung

Aufgabe 8

Für welche reellen Parameter λ verschwinden die Determinanten

⎡1 − λ a) ⎢⎢ ⎣ 1

−2 ⎤ ⎥ ; −2 − λ ⎥⎦

⎡1 − λ ⎢ b) ⎢⎢ 0 ⎢⎢ ⎣ 0

2 3−λ 0

0 ⎤ ⎥ 1 ⎥⎥ . ⎥ 2 − λ⎥⎦

Lösung

Aufgabe 9 Begründen Sie ohne Rechnung, warum die Determinanten folgender Matrizen Null sind

⎡1 ⎢⎢ −4 A = ⎢⎢ ⎢⎢ 1 ⎢2 ⎣

−2 8 -1

3⎤ ⎥ 0⎥⎥ ⎥, ⎥ 3⎥⎥ ⎦

⎡1 ⎢ B = ⎢⎢5 ⎢⎢ ⎣0

0 0 0

−2⎤ ⎥ 3 ⎥⎥ , ⎥ 4 ⎥⎦

⎡⎢1 ⎢0 C = ⎢⎢ ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎣

4 2 4 1

−3 3 −3 1

6⎤ ⎥ 8⎥⎥ ⎥. 6⎥⎥ 1⎥⎦

Lösung

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Aufgabe 10 Man berechne

⎡1 ⎢ ⎢−2 det( A ) = ⎢⎢ ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎣

0 1 4 2

⎡1 ⎢ ⎢1 det( B ) = ⎢⎢ ⎢0 ⎢ ⎢4 ⎣

3 4⎤ ⎥ 0 3⎥⎥ ⎥ ; 1 5⎥⎥ 2 0⎥⎦

0 2 1 1

5 2 3 2

3⎤ ⎥ 1 ⎥⎥ ⎥ . 1 ⎥⎥ −3⎥⎦

Lösung

*Aufgabe 11 (Vierpolschaltung). Gegeben ist ein elektrischer Vierpol, wie im untenstehenden Bild gezeichnet.

a) Stellen Sie über die Knoten- und Maschenregel einen Zusammenhang her, welcher die Eingangsgrößen u0 und i0 nur in Abhängigkeit der Ausgangsgrößen u1 und i1 darstellt. (2 Gleichungen für die 2 Größen u0 und i0 !) b) Gehen Sie zur Verknüpfungsmatrix über und zeigen Sie, dass der Zusammenhang aus a) gegeben ist durch

⎡⎢ R2 + R3 ⎢⎢ R2 ⎡⎢ u0 ⎤⎥ ⎡⎢ u1 ⎤⎥ ⎢⎢ = M mit M = ⎢ i ⎥ ⎢ i ⎥ ⎢⎢ R + R + R ⎢ 0 ⎥ ⎢ 1 ⎥ 2 3 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ 1 ⎢⎢ R R 1 2 ⎣

⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ R1 + R2 ⎥⎥ ⎥ R1 ⎥⎥ ⎦ c) Für die folgende Rechnung seien die Widerstände gegeben durch R1 = R2 = 1Ω , R3 = 2Ω . Wie groß sind die Eingangsströme, wenn u1 = 2 V , i1 = 1 A ? R3

d) Bekannt sind jetzt die Eingangsdaten i0 = 2 A und u0 = 4 V . Wie groß sind die zugehörigen

Ausgangswerte? e) Es werden 3 gleiche Vierpole hintereinander geschaltet.

Wie lautet der Zusammenhang zwischen ( i0, u0 ) und ( i3, u3 )? Lösung

10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Aufgaben zu Matrizen und LGS Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass die folgenden linearen Gleichungssysteme genau eine Lösung besitzen und bestimmen Sie deren Lösung mit der Cramer'schen Regel. a)

x1 + 2 x2

10 b) ⎡⎢⎢

=3

⎣ 4

x1 + 7 x2 + 4 x3 = 18 3 x1 + 13 x3 + 4 x3 = 30

−3⎤ ⎡⎢ x1 ⎤⎥ ⎡ 4⎤ =⎢ ⎥. ⎥ 5 ⎥⎦ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎣ 3⎥⎦ ⎣ ⎦

Lösung

Aufgabe 2 Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme

⎡ 1⎤ ⎢ ⎥ a) A x = ⎢⎢ 0⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 0⎦ ⎡3 ⎢ wenn A = ⎢⎢1 ⎢⎢ ⎣0

1 2 1

4⎤ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥ −2⎥⎦

⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ b) A x = ⎢⎢ 1⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 0⎦ ⎡ x1 ⎤⎥ ⎢⎢ ⎥ und x = ⎢⎢ x2 ⎥⎥ . ⎥ ⎢ ⎢⎢ x ⎥⎥ 3 ⎦ ⎣

⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ c) A x = ⎢⎢ 0⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 1⎦

Lösung

Aufgabe 3 Man berechne die inverse Matrizen zu

⎡4 ⎢ a) B = ⎢⎢2 ⎢⎢ ⎣3

5 0 1

-1⎤ ⎥ 1 ⎥⎥ ⎥ 0 ⎥⎦

⎡3 ⎢ b) C = ⎢⎢1 ⎢⎢ ⎣0

1 2 1

4⎤ ⎥ 0 ⎥⎥ . ⎥ −2⎥⎦

Lösung

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Aufgabe 4 Lösen Sie die linearen Gleichungssysteme

⎡ 5⎤ ⎢ ⎥ a) B x = ⎢⎢ 2⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 3⎦ ⎡4 ⎢ wenn B = ⎢⎢2 ⎢⎢ ⎣3

5 0 1

⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ b) B x = ⎢⎢ 1⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 1⎦ -1⎤ ⎥ 1 ⎥⎥ . ⎥ 0 ⎥⎦

⎡ 1⎤ ⎢ ⎥ c) B x = ⎢⎢ 1⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 0⎦

⎡ 0⎤ ⎢ ⎥ d) B x = ⎢⎢ 1⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ 0⎦

Lösung

Aufgabe 5 Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:

⎡2 ⎢ ⎢⎢4 ⎢ ⎢4 ⎢ ⎢2 ⎣

1 3 2 4

1 2 5 1

2 5 5 5+a

: 1⎤ ⎥ : 1⎥⎥ ⎥ (*) : 0⎥⎥ : b⎥⎦

a) Für welche Werte von a ist (*) eindeutig lösbar? b) Für welche Werte von a und b hat das LGS keine Lösung? c) Für welche Werte von a und b hat das LGS unendlich viele Lösungen? d) Berechnen Sie det(A). e) Invertieren Sie die Matrix A für a = 1 . Lösung

Aufgabe 6 Bestimmen Sie t ∈ R so, dass det( A ) = 0 :

⎡t − 2 ⎢ a) A = ⎢⎢ 2 ⎢⎢ ⎣ 0

3 t−1 0

4 ⎤ ⎥ 2 ⎥⎥ ⎥ t − 4⎥⎦

⎡t − 1 ⎢ b) A = ⎢⎢ −5 ⎢⎢ ⎣ −5

2 t+6 5

−2 ⎤ ⎥ −2 ⎥⎥ . ⎥ t − 3⎥⎦

Lösung

*Aufgabe 7 (Chemische Reaktion). Aus Quarz ( SiO2 ) und Natronlauge ( NaOH ) entsteht Natriumsilikat ( Na2 SiO3 ) und Wasser ( H2 O ):

x1 SiO2 + x2 NaOH -> x3 Na2 SiO3 + x4 H2 O . Stellen Sie für die Anteile der Stoffe x1, x2, x3, x4 für welche die Reaktion abläuft ein LGS auf und

zeigen Sie, dass das LGS nicht eindeutig lösbar ist. Wie lauten mögliche Lösungen? Lösung

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Mathematik

*Aufgabe 8 (Feder-Masse-System). Zwei Schwinger mit Massen m1 und m2 und gleicher Federkonstanten c1 sind über eine dritte Feder c2 gekoppelt.

a) Stellen Sie für die Auslenkungen s1( t ) und s2( t ) die Bewegungsgleichung auf. b) Wählen Sie als Ansatz für die Lösungen s1( t ) und s2( t ) zwei Schwingungen mit gleicher Frequenz

s1( t ) = x1 cos( ω t ) s2( t ) = x2 cos( ω t )

und bestimmen Sie zwei Gleichungen, in denen nur noch x1, x2 und ω auftreten. c) Wie lauten die Frequenzen für c1 = c2 = c und m1 = m2 = m ? d) Bestimmen Sie die zugehörigen Auslenkungen x1 und x2 . *e) Wie lauten die Frequenzen für c1 = c2 = c und m1 = 2 m2 ? *f) Bestimmen Sie die zugehörigen Auslenkungen x1 und x2 . Lösung

10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Lösung

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Mathematik

Aufgaben zur Linearen Unabhängigkeit Lösungen in Maple

Aufgabe 1 ⎡ 2⎤ ⎡1⎤ ⎡ 3⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Spannen die Vektoren a1 = ⎢⎢ 1⎥⎥ , a2 = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ , a3 = ⎢⎢ 1⎥⎥ den R3 auf? ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎣ −2 ⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ 3⎦ Lösung

Tipp

Aufgabe 2 Sind die folgenden Vektoren des R 4 linear unabhängig?

⎡⎢ 2 ⎤⎥ ⎢ -1 ⎥ a1 = ⎢⎢ ⎥⎥ , ⎢ 3 ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎣ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ a2 = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0⎤ ⎥ 1⎥⎥ ⎥, 0⎥⎥ 2⎥⎦

⎡ ⎢ ⎢ a3 = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

3⎤ ⎥ 0⎥⎥ ⎥, 1⎥⎥ 4⎥⎦

⎡ 5 ⎤⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −2 a4 = ⎢⎢ ⎥⎥ . ⎢ 2 ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎣ ⎦

Lösung

Aufgabe 3 Im R 4 sind die Vektoren

0⎤ ⎡⎢ ⎡ 1 ⎤⎥ ⎡ 0 ⎤⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎢ ⎢ 1⎥ -1 ⎥ −2 ⎥ ⎥ , a3 = ⎢⎢ ⎥ , a4 = ⎢⎢ ⎥ , b = ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎥⎥ ⎢ 1 ⎥⎥ 2⎥⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ 3⎦ 0 0 ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ gegeben. Man stelle b als Linearkombination von a1, a2, a3, a4 dar. ⎡⎢ ⎢ a1 = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎥ ⎢ 0⎥ ⎥ , a2 = ⎢⎢ ⎢ 1⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3⎦ ⎣

0⎤ ⎥ 5⎥⎥ ⎥ 2⎥⎥ 6⎥⎦

Lösung

Aufgabe 4 Untersuchen Sie folgende Vektoren des R5 auf lineare Abhängigkeit:

⎡ ⎢⎢ ⎢⎢ a1 = ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎢⎣

1⎤ ⎡ ⎢⎢ ⎥ 0⎥⎥ ⎢⎢ ⎥ 0⎥⎥ , a2 = ⎢⎢ ⎢⎢ 0⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ 1⎦ ⎣

0⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ 0⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ , 1⎥ a3 = ⎢⎢ ⎢ 1⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢ 1⎦ ⎣

1⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ 0⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ , 0⎥ a4 = ⎢⎢ ⎢ 1⎥⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣

0⎤ ⎡ ⎢⎢ ⎥ 0⎥⎥ ⎢⎢ ⎥ 0⎥⎥ , a5 = ⎢⎢ ⎢⎢ 1⎥⎥ ⎢⎢ ⎥ 0⎥⎦ ⎣

0⎤ ⎥ 1⎥⎥ ⎥ 1⎥⎥ . 1⎥⎥ ⎥ 1⎥⎦

Lösung

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Mathematik

Aufgabe 5 Ist b im Erzeugnis von a1, a2, a3 ?

⎡ ⎢ a) b = ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎢ b) b = ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣

2⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ 0⎤ ⎡ 1⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2⎥ , a1 = ⎢ 1⎥ , a2 = ⎢ 1⎥ , a3 = ⎢⎢ 0⎥⎥ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ 1⎥⎦ ⎣ 0⎦ ⎣ 0⎦ ⎣ 1⎦ 1⎤ 1 0 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 1⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0⎥⎥ , a1 = ⎢⎢ 1⎥⎥ , a2 = ⎢⎢ 1⎥⎥ , a3 = ⎢⎢ 0⎥⎥ . ⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ 0⎥⎦ ⎣ 1⎦ ⎣ 0⎦ ⎣ 1⎦ Lösung

Tipp

Aufgabe 6 Zeigen Sie, dass die Vektoren a, b, c eine Basis des R3 bilden und stellen Sie d als Linearkombination von a, b, c dar:

⎡ 3⎤ ⎡5⎤ ⎡ −2 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a = ⎢⎢ 4⎥⎥ , b = ⎢⎢ -1 ⎥⎥ , c = ⎢⎢ 2 ⎥⎥ , d = ⎢⎢−11⎥⎥ . ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎣ 3⎦ ⎣0⎦ ⎣ −3 ⎦ ⎣ −3 ⎥⎦ Lösung

10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Lösung

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Aufgaben zu allgemeinen Funktionseigenschaften Aufgabe 1 Berechnen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der folgenden Funktionen 2 a) f( x ) = x − 1

d) f( x ) =

x−1 x+1

x2 c) f( x ) = 4 x2 − 16 x f) f( x ) = 2 x +1

b) y = ln x e) f( x ) = e

x

Lösung

Tipp

Aufgabe 2 Man bestimme das Symmetrieverhalten von 2 a) f( x ) = 4 x − 16 2 d) f( x ) = x − 16

x3

b) f( x ) =

c) f( x ) = sin( x ) cos( x )

x2 + 1 x2 − 1 e) f( x ) = 1 + x2 Lösung

f) f( x ) =

1 x−1

Tipp

Aufgabe 3 Untersuchen Sie die Funktionen auf Monotonie, indem Sie den Graphen der Funktion (mit Maple) skizzieren 4 a) y = x

3 c) y = x + 2 x

b) y = x − 1 für x 1

d) y = e

(2 x)

Lösung

Aufgabe 4 Geben Sie zu dem in Aufgabe A1 bestimmten maximalen Definitionsbereich den Wertebereich der folgenden Funktionen an, indem Sie die Funktionen grob skizzieren a) f( x ) =

x2 − 1

b) y = ln x

c) f( x ) = e

x

Lösung

Aufgabe 5 Geben Sie zu dem in Aufgabe A1 bestimmten maximalen Definitionsbereich den Wertebereich der folgenden Funktionen an, indem Sie den Funktionsgraphen diskutieren. Verwenden Sie Maple, um die Graphen der Funktionen zu skizzieren. a) f( x ) =

x2 4 x − 16 2

b) f( x ) =

x−1 x+1

*c) f( x ) =

x x +1 2

Lösung

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Mathematik

Aufgabe 6 Schränken Sie den Zielbereich auf den Wertebereich ein und bestimmen Sie die Umkehrfunktion von a) f : R > 0 → ? mit x 6 y = c) f : R → ?

1 2x ⎛ 1⎞ ⎜ x− ⎟ 2⎠

mit x 6 y = 2e⎝

*e) f : R >1 → ? mit x 6 y =

b) f : R ≥ 0 → ? mit x 6 y = 3 x d) f : R ≥−1 → ? mit x 6 y =

x −1 x +1

x x +1 2

Lösung

Tipp

Aufgabe

Lösung

10-Minuten-Aufgaben

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Aufgaben zu Polynomen Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Polynomfunktion kleinsten Grades, welche durch die folgenden Punkte geht: (-3 / 11); (-1 / 7); (0 / 5); (4 / -3) Lösung

Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen: 3 2 a) f( x ) = x + 2 x − 13 x + 10 3 2 b) f( x ) = x − x + 2 4 3 2 c) f( x ) = x − 2 x − 25 x + 50 x

Lösung

Aufgabe 3 Man berechne mit dem Horner-Schema den Funktionswert der Funktion f(x) an der Stelle x0 für: 3 2 a) f( x ) = x − 2 x − 3 x + 1

;

x0 = 2

4 3 2 b) f( x ) = .1 x + x + 2 x − 4

;

x0 = 3 Lösung

Aufgabe 4 Geben Sie Polynomfunktionen an, die keine Nullstellen besitzen. Lösung

Aufgabe 5 Man berechne mit dem Newton-Schema das Polynom vom Grade ≤ 3 , welches durch die Wertepaare (0 / 1); (1 / 0); (2 / 5); (-1 / 2) geht. Lösung

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Aufgabe 6 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion und geben Sie die Linearfaktorzerlegung an. 3 2 a) f( x ) = 3 x + 3 x − 3 x − 3 4 2 b) f( x ) = x − 13 x + 36

Lösung

Aufgabe 7 a) Welches Polynom möglichst niedrigen Grades geht durch die Wertepaare: (-1, 0); (0, 1); (1, 2); (2, 6)? b) Welches Polynom möglichst niedrigen Grades geht durch die Wertepaare: (-1, 0); (0, 1); (1, 2); (2, 6); (-2, -4)? Lösung

Aufgabe 8 (Transferaufgabe) 2 2 a) Zeichnen Sie die Funktion ( x − 2 ) + 1 durch Verschiebung von x . 2 2 2 b) Zeichnen Sie die Funktion 4 ( x − 2 ) bzw. ( 4 x − 2 ) durch Skalierung von x . c) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit Maple Lösung

Aufgabe 9 (Transferaufgabe) n n Begründen Sie, dass x − 1 den Linearfaktor x − 1 enthält. Für welche n ∈ N enthält x − 1 den

Linearfaktor x + 1 ? Für welche n ∈ N ist x − 1 ein Linearfaktor von

x n − x n −1 + x n − 2 − ...(−1) n ? 10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Lösung

M1 22/38

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Mathematik

Aufgaben zu Gebrochenrationale Funktionen Aufgabe 1 Bestimmen Sie Definitionslücken, Polstellen, Nullstellen und hebbare Lücken der folgenden Funktionen. a) y =

x2 + x − 2 x−2

x3 − 5 x2 − 2 x + 24 x3 + 3 x2 + 2 x x−1 d) y = ( x − 1 )2 ( x + 1 ) b) y =

x2 − 2 x + 1 c) y = x2 − 1 Lösung

Maple

Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Asymptoten für x → ∞ der folgenden gebrochenrationalen Funktionen

x3 + 4 x2 − 2 x + 4 a) y = x−2

c) y =

x3 + 4 x2 − 2 x + 4 ( x − 1 )2 x2 + x − 2 d) y = x + 4

b) y =

(2 x − 1) (3 x − 2) 5 x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8

Aufgabe 3 Bestimmen Sie für die folgenden gebrochenrationalen Funktionen: Nullstellen, Pole, Asymptoten im Unendlichen und skizzieren Sie grob den Funktionsverlauf

x2 − 4 x2 + 1 ( x − 1 ) ( x − 2 )2 *c) y = 3 x − 6 x2 + 12 x − 8

( x − 2 )3 x2 − 4 ( x − 1 )2 *d) y = ( x + 1 )2

a) y =

b) y =

Überprüfen Sie das Ergebnis graphisch mit Maple. Lösung

Maple

Aufgabe 4 Welche Funktion hat ein zur y-Achse (zum Ursprung) symmetrisches Schaubild?

1 a) x f)

1 2 b) x

x2 + 1

2 g) x x + 1

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1 c) x + 1 1 x (2 + 2 − x ) h) 2

1 d) x + 1 2

x e) x + 1 2

M1 23/38

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Mathematik

Aufgabe 5 (Transferaufgabe)

Geben Sie eine Funktion an, die in x = 4 und x = −2 eine senkrechte Asymptote hat und für x → ∞ die Funktion x 2 + 1 als Asymptote besitzt. Lösung

**Aufgabe 6 (Filterschaltungen) Für eine Schaltung 1. Ordnung (d.h. einer Schaltung mit einem Energiespeicher-Typ) kann das Amplitudenverhältnis von Ausgangs- zu Eingangsspannung bei Wechselströmen beschrieben werden durch die Funktion

H( w ) =

a0 + a1 i w

b0 + b1 i w

Dabei ist w die Frequenz der Eingangsspannung und i die imaginäre Einheit.

a) Zeigen Sie, dass man durch geeignete Wahl von a0 und a1 einen Tiefpass bzw. einen

Hochpass erhält. Ein Tiefpass hat die Eigenschaft lim H( w ) = 0 , H( 0 ) = 1 und ein w→∞

Hochpass hat die Eigenschaft lim H( w ) = 1 , H( 0 ) = 0 . w→∞

b) Ist es möglich, durch diese Funktion auch einen Bandpass oder eine Bandsperre zu beschreiben?

10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Lösung

M1 24/38

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Mathematik

Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusfunktionen Aufgabe 1 Skizzieren Sie (mit Maple) die Funktionen

ex

e

(x − 4)

e

(3 x)

e

;

( −x )

Lösung

e

( −2 x )

1−e

( −x )

Tipp

Aufgabe 2 (Entladen eines Kondensators). Wird ein Kondensator mit der Kapazität C über einen Ohmschen Widerstand R entladen, so nimmt seine Ladung Q exponentiell mit der Zeit ab: Q = Q0 e

⎛− t ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ RC⎠

.

Zu welchem Zeitpunkt sinkt die Ladung unter 10% ihres Anfangswerts Q0 ? Lösung

Aufgabe 3 (Stromkreis mit Induktivität L und Widerstand R). Beim Einschalten einer Gleichspannungsquelle erreicht der Strom infolge der Selbstinduktion erst nach einiger Zeit den nach dem Ohmschen Gesetz erwarteten Endwert i0 . Es gilt: ⎛− R t ⎞ ⎞ ⎛ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ L ⎠⎟ ⎟⎠ . i( t ) = i 0 ⎝ 1 − e Berechnen Sie für i0 = 4 A , R = 5 Ω , L = 2, 5 H den Zeitpunkt, bei dem die Stromstärke 95% des

Endzustandes erreicht hat. Geben Sie eine Skizze der Strom/Zeit-Funktion an. Lösung

Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion

y=ae

( −bx )

+2

so, dass die Punkte A=(0,10) und B=(5,3) auf der Kurve liegen. Lösung

Aufgabe 5 Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen a) e

2 (x − 2 x)

=2

x b) e + 2 e

( −x )

= 3 (Hinweis: Man setze t = e x )

Lösung

Aufgabe 6 Welche Lösung besitzt die logarithmische Gleichung

ln( x ) + 1.5 ln( x ) = ln( 2 x ) Lösung

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M1 25/38

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*Aufgabe 7 (Logarithmisches Dekrement). Eine gedämpfte Schwingung wird durch die Formel

x( t ) = A e

( −γ t )

sin( ω t + φ )

beschrieben. Skizzieren Sie qualitativ den Funktionsverlauf. Wie hängt der Funktionsverlauf von γ ab? Die Dämpfung γ kann durch Messung der Amplitude zweier aufeinanderfolgender Schwingungen bestimmt werden. T =

1 s sei die Periodendauer der gedämpften Schwingung, x( t0 ) = 200 und 100

x( t0 + T ) = 100 seien die Amplituden zweier aufeinanderfolgender Schwingungen. Bestimmen Sie die Dämpfung γ , indem Sie das Verhältnis der beiden Amplituden berechnen. Lösung

10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Lösung

M1 26/38

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Aufgaben zu Sinus- und Kosinusfunktionen Aufgabe 1 Man rechne vom Grad- ins Bogenmaß bzw. vom Bogen- ins Gradmaß um: Grad: 40.36° 278.19° Bogen: 1.4171 -5.6213 Lösung

Tipp

Aufgabe 2 Man leite aus dem Additionstheorem für den Kosinus die folgende Formel ab

sin 2 x + cos2 x = 1 Lösung

Aufgabe 3 Skizzieren Sie den Funktionsverlauf von

f( x ) = 2 cos( 2 x − π )

indem Sie von cos( x ) ausgehen. Lösung

Aufgabe 4 Berechnen Sie die Funktionswerte

⎛1 2 arcsin⎜⎜ ⎝ 2 π arctan⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ ⎝3⎠

arcsin( .5 ) arctan( −3.128 )

⎞⎟ ⎟⎠

arccos( .5 ) arccot( π )

⎛1 3 arccos⎜⎜ ⎝ 2 π arccot⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ ⎝2⎠

⎞⎟ ⎟⎠

Lösung

*Aufgabe 5 sin ( arccos( x ) ) = 1 − x 2 . (Hinweis: Man setze y = arccos( x ) ) Beweisen Sie die Formel

Lösung

Aufgabe 6 Man bestimme für die folgenden Funktionen Amplitude A, Periode p, Nullphase und Phasenverschiebung x0 : a) y = 2 sin(3 x −

π

b) y = 5 cos(2 x + 4.2)

) 6 c) y = 10 sin(π x − 3π )

d) y = 2.4 cos(4 x − π / 2) Lösung

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M1 27/38

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Mathematik

Aufgabe 7 (Schwingkreis). Skizzieren Sie den Spannungsverlauf eines Schwingkreises:

2πt − .2 π ⎞⎟⎟ f( t ) = 3 sin⎛⎜⎜ 50 ⎝ ⎠ Wie lautet die Kreisfrequenz ω bzw. die Frequenz f der Schwingung Lösung

10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Lösung

M1 28/38

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*Aufgaben zu Arcusfunktion Aufgabe 1 Berechnen Sie:

⎛ e) arccos⎜⎜

1 2 1 f) arccos ( 2

i) arctan( 1 )

j) arctan( − 3 )

a) arcsin( 1 )

1⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎟⎠

b) arcsin (

2 )

⎛⎛ ⎞ ⎞ c) arcsin⎜⎜ ⎜⎜ − ⎟⎟ 3 ⎟⎟ 2 ⎝⎝ ⎠ ⎠

d) arcsin( .481 )

3 )

g) arccos( -1 )

h) arccos( .8531 )

k) arccot⎛⎜

m) arccot (

1

1 ⎞ ⎜⎝ − 3 ⎟⎟⎠

Lösung

1 3

3 )

Tipp

Aufgabe 2 Bestimmen Sie aus dem folgenden Ausdruck x:

π b) arctan x = .7749 c) arccos x = 1.210 4 2 d) arccot x = 2.9208 e) ( arccos x ) = .25

a) arcsin x =

Lösung

Aufgabe 3 Zeigen Sie, dass für positive a innerhalb des Definitionsbereiches gilt: a) arcsin( a ) = arccos

1 − a2 ⎛1⎞ c) arccot( a ) = arctan⎜⎜ ⎟⎟ ⎝a⎠

b) arccos( a ) = arcsin

1 − a2 a ⎞ d) arcsin( a ) = arctan⎛⎜ ⎜ 1 − a 2 ⎟⎟ ⎝ ⎠ Lösung

Tipp

Aufgabe 4 Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: b) cos( arccos( x ) ) a) sin( arcsin( x ) ) e) sin( arctan( x ) ) d) cos( arcsin( x ) ) Lösung

c) sin( arccos( x ) ) f) tan( arccos( x ) ) Tipp

Aufgabe 5 Bestimmen Sie den Definitionsbereich und zeichnen Sie mit Maple die Funktion in diesem Definitionsbereich. Geben Sie anschließend den Wertebereich an. a) y = x + arccos( x )

b) y = x + arcsin( x )

c) y =

π + arcsin( x − 1 ) 2

Lösung

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Aufgaben zu Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Aufgabe 1 Für welche ganzzahligen n gelten die Ungleichungen: a)

( −6 ) 1 10 < n2

b)

( −8 ) 1 1 + 10 < + 1 n2

c)

( −10 ) 1 < 10 n+1

Lösung

Aufgabe 2 Bestimmen Sie den Grenzwert der Zahlenfolgen (an ) n für n → ∞

2n+1 a) an = 4n

; n∈N

b) an =

n2 + 4 n

; n∈N

c) an =

n2 + 4 n − 1 n2 − 3 n

; n∈N

Lösung

Aufgabe 3 Man zeige, dass die Folge an =

2n + 1 konvergiert. Prüfen Sie dies durch die Definition des 4n

Grenzwertbegriffs explizit nach! Lösung

Aufgabe 4 Man bestimme die Grenzwerte der Funktionsausdrücke: 3 2 a) lim x + 5 x − 3 x + 4

b) lim

x→ 1

x→ 0

x2 − 2 x x +3x 2

c) lim

x→ ∞

x 1 + x2

Lösung

Aufgabe 5 Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte: a) xlim →1 d) lim

x→ 2

x2 − 1

lim

x +1

b)

(x − 2) (3 x + 1) 4x−8

e) lim

2

x → ( −3 )

x→ 0

x2 − x − 12 x+3 1+x −1 x

c) lim

x→ 0

f) xlim →∞

sin( 2 x ) sin( x ) x2

x2 − 4 x + 1

Lösung

Aufgabe 6 Welchen Grenzwert besitzt die Funktion f( x ) =

1−x für x → 1 ? 1− x

Lösung

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Aufgabe 7

⎧x ⎩x − 2

Zeigen Sie, dass die Funktion f ( x) = ⎨

für x < 0 an der Stelle x0 = 0 unstetig ist. für x > 0 Lösung

Aufgabe 8 ⎧ x2 − 1 für x ≠ 1 ⎪ Man zeige, dass die Funktion f ( x ) = ⎨ x − 1 an der Stelle x0 = 1 stetig ist. ⎪ 2 für x = 1 ⎩ Lösung

Aufgabe 9 Lassen sich die Definitionslücken der Funktion f( x ) =

x2 − x x3 − x2 + x − 1

stetig heben?

Lösung

Aufgabe 10 Berechnen Sie den Grenzwert der Folgen

a = a) n

3 n2 + 4 n

3

n6 + n4 + 1

; n∈N

⎛ π n3 + n2 ⎞ ⎜ ⎟ sin b) ⎜⎜ 2 ( n 3 + 4 ) ⎟⎟ ⎝ ⎠

; n∈N

Lösung

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M1 31/38

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Aufgaben zu Differenzialrechnung Aufgabe 1 Bilden Sie die erste Ableitung von: a) y( x ) = 8 x7 − 10 x3 + c) y( l ) = 2

4

15

10 8 − x3 x7

l +3

5

b) y( x ) = 12 12

l −3

9

d) y( a ) =

5

a a α β f) y( x ) = x x

3

l +

20

4

6

x3 − 7 10

7

x4 + 11 x −

8 x3

l

3 2 e) y( x ) = ( x + x ) x

3

r *g) u( r ) = 3

Lösung

Tipp

Aufgabe 2 Bilden Sie die erste Ableitung von: a) y( x ) = 3 sin( 5 x )

b) y( x ) = cos( 3 x + 2 )

3 c) y( x ) = ( 3 x − 2 )

d) y( x ) =

4 e) y( x ) = ln( 5 x )

f) y( x ) = cot( x )

a+ x 2x−5

2 (4 x − 3 x + 2)

2 3 g) y( x ) = ( a + b x ) ( c + e x )

h) y( x ) = e

j) x( t ) = A sin( ω t + φ )

k) y( x ) = ln( sin( 2 x − 3 ) )

2 i) y( x ) = 10 ln( 1 + x )

l) y( x ) =

ln( x 2 − 1 )

Lösung

Aufgabe 3 Bilden Sie mit Hilfe der Methode logarithmisches Differenzieren die erste Ableitung von: x a) f1( x ) = x

d) f4( x ) = x

b) f2( x ) = x

a (x )

sin( x )

*e) f5( x ) = x

x (x )

x c) f3( x ) = ( x )

*f) f6( x ) = x

x

x (a )

Lösung

Aufgabe 4 Bilden Sie die erste Ableitung von: a) y( t ) = ln

a2 − t2

b) y = ln

1 − x2 1 + x2

⎛ ( x − 5 )3 ⎞ ⎟ ⎜ ( x + 1 )2 ⎟⎟ ⎝ ⎠

c) y = ln⎜⎜

Lösung

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M1 32/38

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Aufgabe 5 Gegeben seien die Funktionen:

sinh : R → R

mit

cosh : R → R

mit

tanh : R → R

mit

( −x ) 1 x (e −e ) 2 ( −x ) 1 cosh( x ) := ( ex + e ) 2 sinh( x ) tanh( x ) := cosh( x )

sinh( x ) :=

(Sinushyperbolikus) (Cosinushyperbolikus) (Tangenshyperbolikus).

a) Zeichnen Sie den Graphen der drei Hyperbolikusfunktionen. b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktionen. 2 2 c) Beweisen Sie die Formel: cosh x − sinh x = 1 . Lösung

Aufgabe 6 Berechnen Sie die Ableitungen der Arkusfunktionen arcsin( x ) , arccos( x ) , arctan( x ) , arccot( x ) als Ableitung der Umkehrfunktion der trigonometrischen Funktionen. Lösung

Aufgabe 7 Berechnen Sie die Ableitung der Area-Funktionen: Arsinh( x ) und Arcosh( x ) als Ableitung der Umkehrfunktion von sinh und cosh . Lösung

*Aufgabe 8 Beweisen Sie die Potenzregel

y( x ) = xn

⇒

y ' (x) = n x

(n − 1)

mit Hilfe der logarithmischen Differenziation oder mit vollständiger Induktion. Lösung

*Aufgabe 9 Bestimmen Sie die Ableitung der Funktionen a) y( t ) =

b) y( x ) = x

a sin 2 ( ω t + φ ) − 1

ln( x )

(2 x)

sin( x2 − 2 ) e c) y( x ) = ( x − 1 )3 ln 2 ( x + 3 ) e) y( x ) = a

d) y( x ) = sin( x )

ln( x − 3 )

x f) y = e

sin( x )

1+x 1−x

Lösung

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Aufgabe 10 Bilden Sie die ersten Ableitungen der implizit gegebenen Funktionen: 2 a) sin( y( x ) ) = y( x ) x

b) ln y( x ) − y( x ) − x = 0

c) e

( x y( x ) )

+ y3 ( x ) ln( x ) = cos( 2 x )

Lösung

Weitere Aufgaben zum Differenzieren Aufgabe 11 Bilden Sie jeweils die erste Ableitung. Was gibt die erste Ableitung an? e x + e− x 1. f ( x) = 3 x 2 ⋅ e −4 x 7. f ( x) = 1 + ex 6x f ( x) = (4 x + e − x ) 2 2. 8. f ( x) = 2 x + 36 2 3. f ( x) = ( x + cos( x)) 9. f ( x) = cos(2e − x + 1)

4. 5. 6.

f ( x) = (ax − sin(ax)) 2 f ( x) = (sin( x) + cos( x)) 2 f ( x) = x 2 ⋅ ln( x 2 + 1)

10. 11.

1 − x

f ( x) = x ⋅ e 2 f ( x) = sin(ln(2 x) + x 2 )

Lösung

Aufgabe 12 a) Wie lautet die 10. Ableitung von f ( x) = sin( x) ? b) Wie lautet die 9. Ableitung von f ( x ) = cos( x ) ? Lösung

Aufgabe 13

Bilden Sie die die ersten 4 Ableitungen von f ( x) = e − x ⋅ cos( x) . Lösung

Aufgabe 14 Bilden Sie die Ableitung der Funktionen a) f ( x) = x 4 ⋅ e x ⋅ cosh( x) b) f ( x) = x5 ⋅ ln( x)

c) f ( x) = (5 x ³ − 4 x)( x ² + 5 x )

Lösung

10-Minuten-Aufgaben Aufgabe

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Aufgaben zur Anwendung der Differenzialrechnung Aufgabe 1 Bestimmen Sie durch implizite Differenziation den Anstieg der Kreistangente im Punkt 2 2 P0 = (4, y0 >0) des Kreises ( x − 2 ) + ( y − 1 ) = 25 Lösung

Aufgabe 2 Gegeben seien die Funktionen: 5 b) f2( x ) = 3 ln( 1 + 3 x ) ; x0 = 3

a) f1( x ) =

1 + x4 ; x0 = 1 π c) y( x ) = 2 cos( x ) ; x0 = . 4 Man berechne für eine der Funktionen a) das totale Differential,

b) das totale Differential am Punkte x0

c) die Tangente im Punkte x0

d) die Linearisierung am Punkte x0

e) Man gebe einen Näherungswert für ( x0 +0.01) an und vergleiche mit dem exakten Wert. Lösung

Aufgabe 3 Ein gedämpftes Feder-Masse-System hat ein Weg-Zeit-Gesetz der Form

x( t ) = A e

( −γ t )

cos( ω t ) .

a) Man berechne die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt. b) Man gebe eine Bedingung für die Nebenmaxima an. Lösung

Aufgabe 4 Die potentielle Energie für ein Ion in einem Kristallgitter lautet näherungsweise

⎛ 2 a a2 ⎞ − 2 ⎟⎟ (D > 0). V( r ) = −D ⎜⎜ ⎜ r r ⎟⎠ ⎝ Man zeige, dass V( r ) an der Stelle r0 = a ein relatives Minimum besitzt. Lösung

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*Aufgabe 5 (Brechungsgesetz) Das Fermatsche Extremalprinzip besagt, dass das Licht den Weg zwischen zwei Punkten A und B in möglichst kurzer Zeit zurücklegt. Die Laufzeit t beträgt:

AO OB t= + = u1 u2 wenn u1 =

a 2 + x2 + u1

( d − x ) 2 + b2 u2

c c und u2 = die n1 n2

Lichtgeschwindigkeiten im Medium (1) bzw. (2) sind. Man leite das Brechungsgesetz ab. Lösung

Aufgabe 6 Bei der Spiegelabmessung mit Skala und Fernrohr wird bei festem Skalenabstand s der Ausschlag x gemessen. a) Wie beeinflusst ein nur kleiner Messfehler von x den Wert des Ausschlags α ? Es gilt die Beziehung

x α = arctan⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ . ⎝s⎠ s = 2 x = 250 dx = 1 m, mm, mm) ( Welches ist der relative Fehler? *b) Wenn sowohl der Ausschlag x mit einem Messfehler dx = 1 mm , als auch der Abstand s mit einem Messfehler ds = 3 mm behaftet sind, wie groß ist dann der absolut maximale Fehler bzw. der relative Fehler? Lösung

Aufgabe 7 Wo besitzen die folgenden Funktionen relative Extremwerte? 3 2 a) y = −8 x + 12 x + 18 x

4 2 b) z( t ) = t − 8 t + 16

*c) u( z ) = 1 + z + 1 − z

d) y( x ) = x e

e) y( x ) = sin( x ) cos( x )

*f) y( x ) =

( −x )

2 x − 2 x2 x2 − x − 6

Lösung

Aufgabe 8 Diskutieren Sie den Verlauf der folgenden Funktionen: a) y =

x2 + 1 x−3

*b) y =

( x − 1 )2 x+1

*c) y =

ln( x ) x

2 d) y = sin x

Lösung

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Aufgabe 9 Bestimmen Sie mit den Regeln von l'Hospital die folgenden Funktionswerte:

x2 − a 2 a) lim x−a x→ a

2 x² + a 2 x d) lim x →∞ 3 x ² − ax x2 − 2 + 2 cos( x ) g) lim x→ 0 x4 x j) lim x x→ 0

sin 2 x c) lim x → 0 1 − cos( x )

sin( 2 x ) b) lim x → 0 sin ( x ) e) lim

tan( x ) x−π

f) lim ln( x ) x

h) lim

1 1 − x sin( x )

i) lim

x→ π

x→ 0

k) lim ⎛⎜⎜ 1 + ⎞⎟⎟ x⎠ x→ ∞ ⎝

a

x→ 0

x→ 1

ln( x ) − x + 1 ( x − 1 )2

x

Lösung

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*Aufgaben zu Differenzialgleichungen 1. Ordnung Aufgabe 1 Wie lauten die allgemeinen Lösungen der folgenden homogenen linearen Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: a) y ′( x ) + 4 y ( x ) = 0

b) −3 y ′( x ) = 8 y ( x ) Lösung

c) ay ′( x ) − by ( x ) = 0; ( a ≠ 0) Tipp

Aufgabe 2 Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Anfangswertprobleme a) −3 y ′( x ) + 18 y ( x ) = 0 mit

y (0) = 5

d I (t ) + R I (t ) = 0 mit dt c) RCU (t ) + U (t ) = 0 mit

I (0) = I 0

b) L

U (0) = U 0 Lösung

Tipp

Aufgabe 3 Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der inhomogenen linearen Differenzialgleichungen 1. Ordnung b) 2 y′( x) + 4 y ( x ) = e 2 x

a) y ′( x ) + 2 y ( x ) = 4 x

Lösung

c) y ′( x ) + Tipp

Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Lösung der folgenden Anfangswertprobleme a) 2 y ′( x ) + y ( x ) = cos( x ) mit

y (0) = 0

b) LI(t ) + R I (t ) = U b

I (0) = 0

mit

c) RCU (t ) = −U (t ) + U b mit

U (0) = 0 Lösung

Tipp

Aufgabe

Lösung

10-Minuten-Aufgabe

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1 y ( x) = sin( x) 2