UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL DEPARTAMENTO DE CURSO BÁSICO EL CÁLCULO SUPERIOR EN EL ENTORNO MATLAB

• APLICACIONES AL ALGEBRA LINEAL (CONTINUACION) o ESPACIOS VECTORIALES o PRODUCTO INTERIOR o COMBINACION LINEAL o TRANSFORMACIONES LINEALES o AUTOVALORES Y AUTOVECTORES Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta

PERIODO ACADEMICO 2011

TRANSFORMACIONES LINEALES Las transformaciones lineales son una clase especial de funciones entre espacios vectoriales, aquellas que preservan las operaciones del espacio vectorial. Serán útiles los siguientes comandos: FUNCION Z=null(A,’r’) Z=null(A) Q=orth(A) [E,base]=RREF(A)

SIGNIFICADO Devuelve una base estándar para el espacio nulo obtenida a partir de la reducción de filas A*Z es un estimado de la nulidad de A Da una Base ortonormal del núcleo de A (Z’Z=I). El número de columnas de Z es la nulidad de A Da una base ortonormal para el rango de A (Q’Q=I). Las columnas de Q generan el mismo espacio que las columnas de A, y el número de columnas de Q es el rango de A Devuelve la forma escalonada de A y una posible base del espacio de columnas de A

⎡x⎤ ⎡ 4 1 −2 − 3 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ y 4 3 Sea T : IR → IR tal que T ( x, y , z , w ) = 2 1 1 −4 ⎢ ⎥ . Hallar una base para el núcleo de T y su ⎢ ⎥⎢z⎥ ⎢⎣ 6 0 −9 9 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣ w⎦ r dimensión. Determinar la imagen del vector v = ( −1, 2, 4,3) . Hallar una base para la imagen de T y su dimensión. Definimos la matriz A

Hallamos la base del núcleo

Definimos la transpuesta del vector de origen

Hallamos la imagen del vector

v = ( −1, 2, 4, 3)

T = ⎡⎣3 × 4 ⎤⎦ ⎡⎣ 4 × 1⎤⎦ = [3 × 1] Para la base de la imagen. Escalonamos la transpuesta de la matriz A

>> A=[4 1 -2 -3;2 1 1 -4;6 0 -9 9] A= 4 1 -2 -3 2 1 1 -4 6 0 -9 9 >> B=null(A,'r') B= 1.5000 -4.0000 1.0000 0 >> v=[-1 2 4 3]' v= -1 2 4 3 >> imagen=A*v imagen = -19 -8 -15 >> rref(A') ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

⎧⎛ 3 ⎞⎫ BN = ⎨⎜ , −4,1⎟ ⎬ ⎠⎭ ⎩⎝ 2 Nulidad = 1

vimagen = ( −19, −8, −15 )

BIMG = {(1, 0, 0 ) , ( 0,1, 0 ) , ( 0, 0,1)} Rango = 3

TRABAJO PRÁCTICO TRANSFORMACIONES LINEALES CON MATLAB 1. Dado

T : IR 5 → IR 6 una aplicación lineal tal que: T ( 0, 2,1, 0,5 ) = (1, 2,1, 7,1, −1) T (1, 2, 0,1,1) = ( 3,5,1, 4, 2, 0 ) T ( 0, 0,1, 2, −2 ) = ( 3,3,1,1, 2, 2 ) . T (1, −2,1, 2, 0 ) = ( 4,1,8,1,5, 2 )

a) Hallar

la

imagen

de

T (1,1,1,1,1) = (1,3,5, −2, 4,1) r r los vectores: v1 = ( 2, 2,3,5, 4 ) ∧ v 2 = ( 4, 2,3,5,3)

tal

que

T ( x, y ) = ( x + y , x − y ) . b) Hallar una base para el núcleo y una base para la imagen de la transformación 2.n Dada la transformación lineal

T : IR 5 → IR 4 definida por T ( x, y , z , w, u ) = ( x − y , y − z , z − w, w − u )

determinar la matriz asociada a T respecto de las bases. •

B1 = {(1, 2, 3, 4, 5 ) , ( 0,1, 2,3, 4 ) , ( 0, 0,1, 2, 3) , ( 0, 0, 0,1, 2 ) , ( 0, 0, 0, 0,1)} B2 = {(1,1,1,1) , (1, 2,1, 2 ) , ( 0, 0, 0,1) , (1, 3, −1, 3)} .

•

⎡1 0 0 2⎤ 3 ⎢ ⎥ ∧ IR 4 y las bases 3.y Sea la matriz A = 2 0 3 5 y las bases de IR ⎢ ⎥ ⎢⎣ 5 −2 1 1 ⎥⎦ • B1 = {(1,1,1,1) , (1,1,1, 0 ) , (1,1, 0, 0 ) , (1, 0, 0, 0 )} B2 = {(1, 2, 4 ) , ( 0, 2,1) , ( 3, 2, 3)} .

•

T : IR 4 → IR 3 4 3 4 3 b) Determinar la transformación lineal T : IR → IR , IR considera B1 , IR considera la base a) Determinar la transformación lineal canónica. 4.nDada la TL T

: IR 5 → IR 5 definida por T ( x, y , z , w, u ) = ( 2 x − y, 3 y + 4 w, z − y + u , x + u , 2u )

c) Hallar una base para el núcleo y una base para la imagen −1

d) Determinar la transformación lineal G que tiene como matriz asociada A respecto de las bases. • B1 = (1,1,1,1,1) , (1,1,1,1, 0 ) , (1,1,1, 0, 0 ) , (1,1, 0, 0, 0 ) , (1, 0, 0, 0, 0 ) •

B2

{ } = {( 2,1, 0,1, 0 ) , (1, 2, 0, 3, 0 ) , ( 0,1, 3,1, 0 ) , (1,1,1, 0, 0 ) , ( 0, 0, 0, 0,1)} .

2.n Dada la transformación lineal

T : IR 4 → IR 3 definida por la multiplicación de la matriz A

a) Determinar cual de los siguientes vectores están en el núcleo de T

⎛ 3⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 −8 v1 = ⎜ ⎟ ∨ v2 = ⎜ ⎟ ∧ ⎜ 2⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝ −8 ⎠

⎡ 4 1 −2 −3⎤ A = ⎢⎢ 2 1 1 −4 ⎥⎥ ⎢⎣ 6 0 −9 9 ⎥⎦

b) Encontrar además una base para el núcleo y la imagen e indicar sus dimensiones.

MODIFICACION DE FIGURAS Y CUERPOS POR MEDIO DE TRANSFORMACIONES LINEALES Modificación de figuras en el plano Los vectores y matrices se relacionan a través de la multiplicación matricial. Si A es una matriz fija de m × n , a

ur

r

cualquier vector de n ×1 le podemos asociar un vector y = A x principal ejemplo de una transformación lineal.

de

m ×1 . Y esta correspondencia es el

Las transformaciones lineales desempeñan un papel muy importante en muchas áreas de la ciencia e ingeniería y de la vida diaria, por ejemplo en el procesamiento de imágenes y gráficos en computadora. Supongamos que un dibujante emplea computadoras y álgebra lineal para transformar los dibujos.

Supongamos que trata de dar la sensación de movimientos a la primera imagen estirándola horizontalmente para llegar a la segunda imagen. Si el estiramiento necesario a lo largo del eje x ’s es del 100%. ¿cómo puede modelarlo matemáticamente y hacer que la computadora trace la imagen deseada?. El método debería ser independiente de la imagen ¿verdad?…. ¿Se le ocurre como resolver el problema?….. Un hecho importante de las transformaciones lineales es que ellas están completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de una base. Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, entonces se conoce el efecto sobre cualquier otro vector. Sigamos con nuestra bicicleta. Supongamos que queremos pasar de la figura 1 a la figura 3. Podemos ver esta relación de otra forma, definiendo una función de IR

2

en IR

2

que “transforma” el vector

( x, y )

en el vector

( 12 x, y ) , es decir: Sea

T:IR 2 → IR 2 una transformación lineal y supongamos que: T (1, 0 ) = (1, 0 ) ∧ T ( 0,1) = ( 12 ,1)

Queremos hallar T ( x, y ) para cualquier (x,y)∈ℜ

( x, y ) ∈ IR . Como T ( x, y ) = x (1, 0 ) + y ( 0,1) 2

2

Tomando transformaciones

(1)

es lineal tenemos

T ( x, y ) = T ⎡⎣ x (1, 0 ) + y ( 0,1) ⎤⎦ = xT (1, 0 ) + yT ( 0,1)

Por las condiciones dadas en (1)

T ( x, y ) = x T (1, 0 )

(1,0 )

⎛1 ⎞ ⎜ ,1⎟ ⎠

+ y T ( 0,1) ⎝ 2

= x (1, 0 ) + y ( 12 ,1)

De donde se tiene: 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎡ x + 2 y ⎤ ⎡1 2 ⎤ ⎡ x ⎤ T ( x, y ) = ⎜ x + y , y ⎟ = ⎢ = ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ 2 ⎝ ⎠ ⎣ y ⎦ ⎣0 1⎦ ⎣ y ⎦

Es una transformación lineal que satisface (1). Esta transformación se llama deslizamiento a lo largo del eje x ’s (cada punto se mueve a lo largo de la dirección x ’s una cantidad proporcional a la distancia del eje x ’s) Esta función preserva las operaciones del

r r r r r r r r T u + v = A u + v = A u + A v = T u +T v

(

)

(

)

, +, ⋅) en el sentido de que r r r r y T k ⋅ u = A k ⋅ u = k A ⋅ u = k ⋅ T u . Estas dos

espacio vectorial

() () () ()

propiedades caracterizarán a las transformaciones lineales.

( IR

2

( ) ( ) (

)

()

Las siguientes son matrices asociadas a algunas transformaciones respecto de la base canónica de IR TRANSFORMACION

MATRIZ ESTANDAR

Sea la transformación lineal el cual representa un cuadrado unitario:

⎡1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ T ( x, y ) = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦

⎡1 T ( x, y ) = ⎢ ⎣0

Reflexión sobre el eje x.

EFECTOS SOBRE EL CUADRADO UNITARIO

0⎤ ⎡ x ⎤ -1 ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦

y

y

⎡ −1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ T ( x, y ) = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 0 1⎦ ⎣ y ⎦

Reflexión sobre el eje y.

1

1

1

Reflexión origen.

respecto

al

Contracción o compresión horizontal.

Expansión horizontal.

Expansiónvertical.

-1

x

⎡ K 0⎤ ⎡ x ⎤ T ( x, y ) = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 0 1⎦ ⎣ y ⎦ 0 < k 1

⎡1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ T ( x, y ) = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣0 k ⎦ ⎣ y ⎦ 0 < k 1

2

k x

y Trasquilado horizontal o deslizamiento a lo largo del eje x.

⎡1 k ⎤ ⎡ x ⎤ T ( x, y ) = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦ k 0 y

Trasquilado vertical o deslizamiento a lo largo del eje y.

k

x

1

x

Modificación de figuras y cuerpos en el espacio Al igual que en el plano, se puede ver en el espacio tridimensional, los efectos que produce una determinada transformación lineal sobre una figura o un cuerpo. Para realizar la grafica d figuras o cuerpos se puede usar el comando plot3 COMANDO

ACLARACIÓN Dados los vectores y Z = [ z1

X = [ x1

z3 L z n ]

z2

( x3 , y3 , z3 ) ,…, ( xn , yn , zn )

>> plot3(X,Y,Z)

x2 dibuja

x3 L xn ] , Y = [ y1 los

puntos

y2

y3 L yn ]

( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) ,

y los une con un segmento de recta. De esto se deduce

que el vector X esta formado por las primeras componentes de tales puntos y el vector Y por las segundas componentes y el vector Z por las terceras componentes. Las siguientes son matrices asociadas de algunas transformaciones lineales en el espacio respecto de la base canónica de IR

3

Rotación alrededor del eje x un ángulo

θ

Rotación alrededor del eje y un ángulo θ

Rotación alrededor del eje

z un ángulo θ

Expansión para un factor k > 1 Contracción para un factor 0 < k

Proyección sobre el plano

Proyección sobre el plano

> P=[0 0]'; >> Q=[2 5]'; >> R=[6 3]'; >> T=[P Q R P] T=

5 4.5 4 3.5 3 2.5

0 2 6 0 0 5 3 0 >> x=T(1,:); >> y=T(2,:); >> plot(x,y) >> A=[3 0;0 1] A= 3 0 0 1 >> Im=A*T; >> hold on >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> plot(x1,y1,'g')

2 1.5 1 0.5 0

0

1

2

3

4

5

6

5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

2

4

6

8

10

Para el mismo triangulo realizar una expansión a lo largo del eje y con un factor de escala Solución. La matriz asociada a la >> P=[0 0]'; 10 transformación es: >> Q=[2 5]'; 9 >> R=[6 3]'; 8 >> T=[P Q R P]; ⎡1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ 7 >> x=T(1,:); T ( x, y ) = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 6 >> y=T(2,:); ⎣0 2⎦ ⎣ y ⎦ 5 >> plot(x,y) ; 4 >> A=[1 0;0 2]; 3 >> Im=A*T; 2 >> hold on; 1 >> x1=Im(1,:); 0 0 1 2 3 4 >> y1=Im(2,:); >> plot(x1,y1,'r') >> grid

12

14

16

18

k = 2.

Realizar el trasquilado horizontal o deslizamiento a lo largo del eje x con un factor de escala Solución. La matriz asociada a la >> P=[0 0]'; transformación es: >> Q=[2 5]'; 5 >> R=[6 3]'; 4.5 >> T=[P Q R P]; 4 ⎡1 −5⎤ ⎡ x ⎤ >> x=T(1,:); T ( x, y ) = ⎢ 3.5 ⎥⎢ ⎥ >> y=T(2,:); 3 ⎣0 1 ⎦ ⎣ y ⎦ >> plot(x,y) ; 2.5 k > A=[1 -5;0 1]; 2 >> Im=A*T; 1.5 k = −5 >> hold on; 1 0.5 >> x1=Im(1,:); 0 >> y1=Im(2,:); -25 -20 -15 -10 -5 0 >> plot(x1,y1,'r') >> grid

5

6

k = −5

5

10

Realizar una rotación de 45ª a la porción de la parábola

⎡ cos θ Solución. La matriz asociada a la TL es: T ( x, y ) = ⎢ ⎣ − senθ Dibujamos la parábola original La matriz asociada Forma la matriz cuya primera fila esta compuesta por las abscisas y la segunda fila por las ordenadas de los puntos de la parábola

Calcula la imagen de los puntos

y = x 2 + 2 en el intervalo [ −2, 2] . ⎡ cos π senθ ⎤ ⎡ x ⎤ 4 ⇒ T ( x, y ) = ⎢ ⎢ − sen π cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦ ⎢⎣ 4

π sen ⎤ ⎡ x ⎤ 4⎥ π ⎥ ⎢ y⎥ cos ⎥ ⎣ ⎦ 4⎦

>> x=-2:.1:2; >> y=4*x.^2+2; >> plot(x,y); >> A=[cos(pi/4) sin(pi/4) ;-sin(pi/4) cos(pi/4)]; 18

>> puntos=[x;y];

16 14 12

>> puntosIm=A*puntos; >> hold on;

Forma el vector de abscisas y coordenadas de los puntos de la imagen

>> x1=puntosIm(1,:); >> y1=puntosIm(2,:);

Grafica la parábola rotada

>> plot(x1,y1,'r') >> grid

10 8 6 4 2 0

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

3 3 Dado el tetraedro de vértices P=(-1,6,0), Q=(0,2,0),R =(2,4,0), y S=(0,4,5). Aplicar la TL T : IR → IR tal que T ( x, y, z ) = (5 x,5 y,5 z ) (La transformación T produce una expansión a lo largo del eje y ) EXPANSION POR UN FACTOR

>> T=[-1 0 2 -1 0 2 0 0 -1 ;6 2 4 6 4 4 2 4 6 ;0 0 0 0 5 0 0 5 0]; >> x=T(1,:);y=T(2,:);z=T(3,:); >> plot3(x,y,z,'b') >> title('EXPANSION POR UN FACTOR'); >> A=[2 0 0;0 2 0;0 0 2]; >> pt=A*T; >> hold on >> xt=pt(1,:);yt=pt(2,:);zt=pt(3,:); >> plot3(xt,yt,zt) >> grid

10 8 6 4 2 0 15 4

10 2 5

0 0

-2

Dado el triangulo de vértices P(2,3,-1) Q(5,0,-2) R(4,-2,0) aplique las siguientes transformaciones:

Solución. La matriz asociada a la transformación es:

⎡1 0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ T ( x, y, z ) = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ ⎢⎣0 0 −1⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦

T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( x, y , − z ) .

>> P=[2 3 -1]'; >> Q=[5 0 -2]'; >> R=[4 -2 0]'; >> T=[P Q R P]; >> x=T(1,:); >> y=T(2,:); >> z=T(3,:); >> plot3(x,y,z); >> A=[1 0 0;0 1 0;0 0 -1]; >> Im=A*T; >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> z1=Im(3,:); >> plot3(x1,y1,z1,'r') >> xlabel('eje x '); >> ylabel('eje y '); >> zlabel('eje z '); >> grid

2

1

eje z

Simetría respecto del plano XY definida por

0

-1

-2 4 5

2 4 0 eje y

3 -2

2

eje x

Solución. La matriz asociada a la transformación es:

⎡ −1 0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ T ( x, y, z ) = ⎢⎢ 0 −1 0 ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦

T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( − x, − y, − z ) .

>> P=[2 3 -1]'; >> Q=[5 0 -2]'; >> R=[4 -2 0]'; >> T=[P Q R P]; >> x=T(1,:); >> y=T(2,:); >> z=T(3,:); >> plot3(x,y,z); >> A=[-1 0 0;0 -1 0;0 0 -1]; >> Im=A*T; >> hold on; >> x1=Im(1,:); >> y1=Im(2,:); >> z1=Im(3,:); >> plot3(x1,y1,z1,'r') >> xlabel('eje x '); >> ylabel('eje y '); >> zlabel('eje z '); >> grid

Simetría respecto del eje Z definida por

2

1

eje z

Simetría respecto del origen definida por

0

-1

-2 4

5 2 0

0 -2 -4

eje y

-5

eje x

T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( − x, − y , z ) .

Solución. La matriz asociada a la transformación es:

eje z

>> P=[2 3 -1]'; >> Q=[5 0 -2]'; >> R=[4 -2 0]'; >> T=[P Q R P]; ⎡ −1 0 0 ⎤ ⎡ x ⎤ >> x=T(1,:); T ( x, y, z ) = ⎢⎢ 0 −1 0 ⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ >> y=T(2,:); 0 >> z=T(3,:); ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ -0.5 >> plot3(x,y,z); >> A=[-1 0 0;0 -1 0;0 0 1]; -1 >> Im=A*T; -1.5 >> hold on; >> x1=Im(1,:); -2 4 >> y1=Im(2,:); 2 0 >> z1=Im(3,:); -2 >> plot3(x1,y1,z1,'r') eje y >> xlabel('eje x '); >> ylabel('eje y '); >> zlabel('eje z '); >> grid 10. Para la figura mostrada en el plano (para esto considere usted las dimensiones mas adecuadas). Realizar un programa en Matlab el cual permita aplicarle cualquier transformación lineal ingresando desde el teclado la matriz asociada.

Creamos el programa transformacion con extensión m. que permite aplicar diversas transformaciones ingresando la matriz asociada desde el teclado

5 0 -4

-5

eje x

function M=transformacion(A) % linea que define la funcion %________________________________________________________ % Archivo de funcion que permite aplicar diversas transformaciones % lineales a % una figura dada, ingresando la matriz asociada desde el teclado %________________________________________________________ disp(' ______________________________________________________') disp('| Archivo de funcion que permite aplicar diversas transformaciones |') disp('| lineales a una figura dada, ingresando la matriz asociada |') disp('| desde el teclado |') disp(' _____________________________________________________') A=input('Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL lineal de R2 en R2: ')

dibuja la cara

t=-3:.01:3;x=cos(t)+1;y=sin(t)+1; plot(x,y,'r') grid axis equal hold on x1=[4 1 0 1 1 1 -1 1 3 4];y1=[-2 0 -2 -3 0 -4 -8 -4 -5 -8]; plot(x1,y1,'r') % forma la matriz de puntos Pcara=[x;y];Pcuerpo=[x1;y1];

dibuja el cuerpo

aplica una transformacion lineal de R2 en R2 cuya matriz asociada es la ingresada A

Imcara=A*Pcara; Imcuerpo=A*Pcuerpo; xim=Imcara(1,:);yim=Imcara(2,:);x1im=Imcuerpo(1,:);y1im=Imcuerpo(2,:); plot(xim,yim,x1im,y1im,'b') hold off

Llamamos al programa e introducimos la matriz de transformación y se de despliega la figura según su matriz asociada.

>> transformación Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2:

⎡0.5 0 ⎤ ⎡ x ⎤ T ( x, y ) = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 0 0.5⎦ ⎣ y ⎦

Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2: [0.5 0;0 0.5]

⎡ −1 T ( x, y ) = ⎢ ⎣0 ⎡1 T ( x, y ) = ⎢ ⎣5

0 ⎤ ⎡ x⎤ −1⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦

Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2: [-1 0;0 -1]

0⎤ ⎡ x ⎤ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ y ⎥⎦

Ingrese la matriz asociada entre corchetes a la TL de R2 en R2: [1 0;2 1]

Figura 3

Figura 2

Figura1 1

8

6

6

4

4

2

0 -1 -2 -3 -4

2

0

0

-2

-2

-4

-4

-6

-5 -6

-8

-6

-7 -8 -4

-2

0

Dada la helice

2

4

-8 -10

6

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

ur f ( t ) = ( sen ( t ) , cos ( t ) , t ) aplique la siguiente transformación dilatación T : IR 3 → IR 3

tal que T ( x, y , z ) = ( 2 x, 2 y , 2 z ) .

⎡2 Solución. La matriz asociada a la transformación es: T ( x, y, z ) = ⎢ 0 ⎢⎣ 0 Grafica la helice

Aplicamos la transformación que la expande un factor K=2 en todas las direcciones

>> t = 0:pi/50:10*pi; >> x=sin(t);y=cos(t);z=t; >> plot3(x,y,z,'m'); >> title('HELICE') >> grid >> hold on >> puntos=[x;y;z]; >> M=[2 0 0;0 2 0;0 0 2]; >> Im=M*puntos; >> xim=Im(1,:);yim=Im(2,:);zim=Im(3,:); >> plot3(xim,yim,zim,'r')

0 0⎤ ⎡ x ⎤ 2 0⎥ ⎢ y ⎥

0 2⎥ ⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ HELICE

80

60

40

20

0 2 1

2 1

0 0

-1

-1 -2

-2

TRABAJO PRÁCTICO MODIFICACION DE FIGURAS Y CUERPOS POR MEDIO DE TL CON MATLAB 1. Dibuje el cuadrilátero de vértices (0.1), (2,4) (4,4), (6,1) y luego aplique a este las siguientes transformaciones lineales. a) Expansión a lo largo del eje Y con un factor

k =5

b) Contracción en ambas direcciones con un factor de

k=

1 2

c) Reflexión respecto al eje x 2. Dibuje la figura de vértices (2,-2), (2,7), (4,5), (2,3) y aplique a estas las siguientes transformaciones lineales a) Expansión en ambas direcciones para un factor de b) Reflexión respecto al eje y

k =4 o

c) Rotación en sentido positivo con centro en el origen y un ángulo de 60 d) Reflexión respecto del origen y luego una expansión a lo largo del eje x con un factor

k =3

3. Dibuje la figura rellena de vértices (2,3), (3,1), (6,1), (7,3), (6,6), (4,3), (3,6) y aplique a esta las siguientes transformaciones lineales: a)

T : IR 2 → IR 2 tal que T ( x, y ) = ( x + y , x − y ) .

b)

T : IR 2 → IR 2 tal que T ( x, y ) = ( 2 x − 3 y, 5 y ) .

4. Al triangulo de vértices (2,3,-1), (5,0,-2), (4,-2,0) y aplique las siguientes transformaciones lineales: a) Simetría respecto al plano

IP : XY definida por T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( x, y , − z ) .

b) Simetría respecto del origen, definidas por c) Simetría respecto del eje Z definida por

T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y, z ) = ( −3 x, −3 y, − z ) .

1 ⎞ ⎛ T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y, z ) = ⎜ − x, − y, z ⎟ . 2 ⎠ ⎝

5. Dada la figura de vértices (2,0,0), (1,5,3), (0,-3,4), (-6,5,3) Hallar su imagen respecto de la transformación lineal

T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( 2 x, 2 y, 2 z ) y a la figura resultante aplicar la transformación lineal

T : IR 3 → IR 3 tal que T ( x, y , z ) = ( x + y , y , x + y + z ) .. 6. Dibujar el tetraedro de vértices (2,4,0), (-1,6,0), (0,2,0), (0,4,5) y aplicar las siguientes transformaciones lineales:

z con un ángulo de 60o o b) Rotación alrededor del eje x un ángulo 30 o c) Rotación alrededor del eje y un ángulo de 45 a) Rotación alrededor del eje

7. Dibujar el triangulo de vértices (3,0,2), (1,-2,1), (0,1,3) y obtener su proyección a) Sobre el plano XY b) Sobre el plano XZ c) Sobre el plano YZ Rellenar cada una de las figuras proyectadas con un distinto color como se muestra en la figura de ejemplo.

; 8. Dibujar la carita de la figura (para esto considere usted las dimensiones mas adecuadas). y a esta aplicarle las siguientes transformaciones lineales: a) Simetría respecto al eje y b) Simetría respectó al eje x c) Trasquilado respecto al eje x para un factor

k =5

9. Dibujar la casita de la figura y a esta aplicarle las siguientes transformaciones lineales:

30o o b) Rotar la figura en sentido negativo un ángulo de 90 c) Simetría respecto al eje x d) Simetría respecto al eje y

a) Rotar la figura en sentido positivo un ángulo de

e) Simetría respecto al origen 10. Para las figuras mostrada en el plano (para esto considere usted las dimensiones mas adecuadas). Realizar un programa en Matlab el cual permita aplicarle cualquier transformación lineal ingresando desde el teclado la matriz asociada.

(

11. Para la curva en el espacio f ( t ) = cos t , sent ,3t le permita:

2

)

∧ t ∈ [ 0,10π ] . Aplicar una transformación lineal que

k =7 1 b) Contracción en todas las direcciones con un factor k = 3 12. Dibujar el cuadrado unitario definido por: D = [ 0,1] × [ 01] y luego aplicarle la transformación lineal, a) Expandirse en todas las direcciones con un factor

explicando claramente el resultado obtenido: a)

T : IR 2 → IR 2 tal que T ( x, y ) = ( 2 + x − 2 y ,1 + x + y ) . Y graficar.

b)

⎛ x− y x+ y⎞ T : IR 2 → IR 2 tal que T ( x, y ) = ⎜ , ⎟ . Y graficar. 2 ⎠ ⎝ 2

13. Realizar una rotación de 90ª, una reflexión respecto del origen, un desplazamiento a lo largo del eje x con un factor de escala k=10 a las siguientes curvas a)

x2 y 2 = 9 ( x2 + y 2 )

b)

r = 7 ( 3 + cos t )

c)

f (t ) = ( 2 − cos t ,5 + sent )

14. Realizar una rotación de 45ª, una expansión en todas sus direcciones con un factor de escala de k=7, una contracción en todas sus direcciones con un factor de escala k=-5 a las siguientes ecuaciones a) b)

8 x 2 + 15 y 2 + 5 z 2 = 102 f = ( t 4 − t 2 + 1, t , t 2 )