An tioq uia

N´umeros reales

Instituto de Matem´aticas* Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Unviersidad de Anquioquia Medell´ın, 24 de julio de 2011

1.

Introducci´ on

El matem´atico alem´ an Julius Wilhelm Richard Dedekind (6 de octubre de 1831 - 12 de febrero de 1916), realiz´ o importantes aportes en ´algebra abstracta, teor´ıa de n´ umeros y en proporcionar una fundamentaci´on rigurosa de los n´ umeros reales.

2.

Sistemas num´ ericos

ad

de

Una de sus contribuciones principales fue publicada en 1872, en un art´ıculo en el que caracteriz´o los n´ umeros reales como un cuerpo ordenado y completo. El traFigura 1 bajo de Dedekind sobre n´ umeros naturales fue tambi´en de vital importancia en la fundamentaci´on de la teor´ıa de conjuntos, junto con Frege y Cantor, proporcionando un caracter de rigurosidad de los llamados Axiomas de Peano (publicados por Peano un a˜ no m´as tarde). El conjunto de los n´ umeros reales se donota con el s´ımbolo R y en esta clase estudiaremos sus propiedades.

2.1.

rsid

Los n´ umeros reales son utilizados en una gran variedad de problemas matem´aticos para representar cantidades discretas y continuas como distancias, tiempos, velocidades, aceleraciones, temperaturas, etc. Dependiendo de las cantidades que deseemos medir, podemos encontrar los siguientes sistemas num´ericos:

N´ umeros naturales

ive

Los n´ umeros naturales son 1, 2, 3, . . . Surgen de la necesidad de contar o enumerar objetos, sirven para designar el n´ umero de elementos de algunos conjuntos y constituyen el fundamento a la aritm´etica. El conjunto de los n´ umeros naturales se denota con el s´ımbolo N: N = {1, 2, 3, . . .}

y

N0 = {0, 1, 2, . . .} = N ∪ {0}

Un

El cero (0) representa el n´ umero de elementos del conjunto vac´ıo y muchos autores no lo consideran un n´ umero entero.

b

0

* Esta

b

1

b

b

2

3

b

b

b

n

b

n+1

obra es distribuida bajo una licencia Creative Commons Atribuci´ on - No comercial 2.5 Colombia.

1

2

2.2.

N´ umeros enteros

An tioq uia

Instituto de Matem´ aticas, Universidad de Antioquia

Los n´ umeros enteros est´ an formados por los n´ umeros naturales 1, 2, 3, . . . y por sus inversos aditivos −1, −2, −3, . . . El conjunto de los n´ umeros naturales se denota por el s´ımbolo (Z): Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}

A diferencia de lo que ocurre en N, la resta de dos n´ umeros enteros siempre es un n´ umero entero. Observemos que el conjunto de los n´ umeros naturales es un subconjunto del conjunto de lo n´ umeros enteros, en s´ımbolos: N ⊂ Z.

b

b

b

b

−n

b

−3

−2

b

−1

b

b

0

1

b

b

2

3

b

b

b

n

Los n´ umeros enteros se clasifican en enteros positivos (Z+ ) y en enteros negativos (Z− ): Z+ = {1, 2, 3, . . .} = N

Z− = {. . . , −3, −2, −1}

2.3.

de

y Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}.

N´ umeros racionales

ad

Los n´ umeros raciones se pueden representar como el cociente de dos enteros, el t´ermino “racional” hace referencia a “raz´on”, “proporci´on” o “fracci´on”: nm o Q= : m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0 n

b

−1

rsid

Todo entero n se puede escribir como el n´ umero racional n/1 y en consecuencia Z ⊂ Q. b

− 14

b

b

0

1 2

b

b

b

b

1

7 4

2

3

Los n´ umeros racionales admiten una representaci´on decimal finita o infinita pero peri´odica:

2.4.

y

177 = 3.2181818 . . . = 3.218 55

ive

9 = 2.25 4

N´ umeros irracionales

Un

Los n´ umeros que no son racionales se denominan n´ umeros irracionales. El conjunto de los n´ umeros irracionales se denota mediante el s´ımbolo Q∗ o tambi´en I Ejemplos de n´ umeros irracionales son el n´ umero on entre la circunferencia de un c´ırculo y su √ e (base del logaritmo natural), π (la raz´ di´ametro) y 2 (la diagonal de un cuadrado de lado 1) entre otros. Las representaciones decimales de estos n´ umeros son siempre infinitas y no repetitivas: 1. π = 3.1415926535897 . . . √ 2. 2 = 1.4142135623731 . . .

3. e = 2.71828183 . . . 4. 4.12122122212222 . . .

3

b

0

3.

1

√

b

2

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√ 2

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b

e 3 π

2

N´ umeros reales

4

El conjunto de los n´ umeros reales est´ a constituido por todos los n´ umeros racionales e irracionales. As´ı, R = Q ∪ Q∗ y N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Los n´ umeros reales los podemos considerar como “puntos” sobre una recta infinita: a cada punto de la recta le corresponde uno y s´olo un n´ umero real y rec´ıprocamente, a cada n´ umero real le corresponde un punto de la recta.

0

3.1.

b

b

b

1

3 2

2

Axiomas de campo

b

b

b

e 3 π

b

4

R

de

b

Propiedad 3.1 (Axiomas de campo). .

ad

En R existen dos operaciones llamadas suma (+) y producto (·) que satisfacen las siguientes propiedades:

1. Para cada par de n´ umeros reales a y b, la suma a + b es un n´ umero real.

3. La suma es asociativa:

a+b=b+a

rsid

2. La suma es conmutativa:

a + (b + c) = (a + b) + c

4. Existe un n´ umero real denotado por 0 (neutro aditivo) que satisface a + 0 = a 5. Para cada n´ umero real a, existe un u ´nico elemento denotado por −a (inverso aditivo) que satisface a + (−a) = 0.

ive

6. Para cada par de n´ umeros reales a y b, el producto a · b es un n´ umero real. 7. La producto es conmutativa: 8. La producto es asociativa:

a·b= b·a

a · (b · c) = (a · b) · c

9. 1 es el neutro multiplicativo y satisface 1 · a = a para todo a ∈ R.

Un

10. Si a 6= 0, a−1 es el inverso multiplicativo y satisface a · a−1 = 1 para todo a ∈ R. 11. La producto es distributiva sobre la suma: a · (b + c) = a · b + a · c

Observaci´ on 1 (Sobre axiomas de campo). .

y

(a + b) · c = a · c + b · c

4

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1. A la propiedad (3.1) se le denomina axiomas de campo de los n´ umeros reales.

on suma 2. Los axiomas (1)-(5) hacen referencia a las propiedades que satisface la operaci´

3. Los axiomas (6)-(10) hacen referencia a las propiedades que satisface la operaci´ on producto

4. El axioma (11) (propiedad distributiva), relaciona las propiedades de la suma con el producto. 5. Si a 6= 0, su inverso multiplicativo a−1 se denota por a−1 = a1 . 6. En lugar de escribir a · b, se acostumbra escribir ab.

7. En lugar de escribir a + (−b), se acostumbra escribir a − b. Ejemplo 3.1. Por la propiedad distribuitiva,

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd. Proposici´ on 3.2. Para todo a, b ∈ R se cumple que: 1. a · 0 = 0

de

2. si ab = 0, entonces a = 0 ´ o b = 0.

El inverso aditivo de todo n´ umero real satisface las siguientes propiedades: Proposici´ on 3.3 (Ley de los signos). Para todo a, b ∈ R se cumple que: 3. (−a)b = a(−b) = −(ab)

ad

1. (−1)a = −a 2. −(−a) = a

4. (−a)(−b) = ab

a·a

Por ejemplo,


4 −1 5

=

5 4

porque

4 5

·

5 4

−1

de un n´ umero real a 6= 0 se caracteriza por ser el

  1 = 1. =a a

= 1 y en general  m −1

=

1 n = m/n m

ive

n

3.2.

1 a

rsid

El inverso multiplicativo o rec´ıproco a−1 = u ´nico n´ umero que satisface

Axiomas de orden

Un

La representaci´on geom´etrica de los n´ umeros reales como puntos sobre una recta

a

b

R

nos permite establecer de manera “informal” un orden en R: si “a est´ a a la izquierda de b”, se dice que a es menor que b y se escribe a < b. De manera an´aloga, “si a est´ a a la derecha de b”, se dice que a es mayor que b y se escribe a > b. Esta idea intuitiva de ser “mayor que” (>) o “menor que” ( 0 y b > 0 =⇒ ab > 0.

2. a < b =⇒ a + c < b + c.

4. a > b y b > c =⇒ a > c.

Observaci´ on 2 (Sobre axiomas de orden). . 1. a > b significa lo mismo que b < a.

2. Un n´ umero real x se dice que es positivo si x > 0 y negativo si x < 0. 3. El n´ umero cero no es positivo ni negativo.

4. Los n´ umeros positivos est´ an ubicados a la “derecha” del cero y los negativos a la “izquierda”. 5. El conjunto formado por todos los n´ umeros positivos se donota con el s´ımbolo R+ .

de

6. El conjunto formado por todos los n´ umeros negativos se donota con el s´ımbolo R− . 7. Del axioma (1) se infiere que todo n´ umero real es positivo, negativo o cero. 8. El axioma (3) nos dice que el producto de n´ umeros positivos es positivo.

ad

9. Cuando tengamos que a < b y b < c escribiremos a < b < c.

A partir s´olo de los axiomas de orden se pueden demostrar formalmente enunciados intuitivamente evidentes como por ejemplo que 1 > 0. Otros enunciados que se pueden demostrar son:

rsid

Teorema 3.5. Para todo a, b, c ∈ R se cumple que: 1. a < b y c > 0 =⇒ ac < bc.

3. a 6= 0 =⇒ a2 > 0.

2. a < b y c < 0 =⇒ ac > bc.

4. a < b y c < d =⇒ a + c < b + d.

ive

De la propiedad (3) del teorema anterior (3.5), se deduce que NO existe un n´ umero real x tal que x2 = −1. Existen n´ umeros que satisfacen esta propiedad, no son n´ umeros reales y se denominan n´ umeros complejos. El conjunto de los n´ umeros complejos se denotada por C y tanto su definici´on como sus propiedades ser´an estudiadas m´as adelante. Teorema 3.6. Si a, b ∈ R y a < b, entonces −b < −a.

Un

Teorema 3.7. Si a, b ∈ R y ab > 0, entonces una de las siguientes condiciones se cumple: 1. a > 0 y b > 0.

2. a < 0 y b < 0.

El s´ımbolo a ≤ b indica que a < b ´ o a = b. Por ejemplo 1 ≤ 3 porque 1 < 3 mientras que π ≤ π porque π = π. De manera similar se define la relaci´on “≥”. La relaci´on ≤ satisface las siguientes propiedades:

6

Propiedad 3.8. Para todo a, b, c ∈ R se cumple que:

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1. Propiedad reflexiva: a ≤ a. 2. Propiedad antisim´etrica: a ≤ b y b ≤ a =⇒ a = b. 3. Propiedad transitiva: a ≤ b y b ≤ c =⇒ a ≤ c.

3.3.

Axioma de completitud

Hasta ahora hemos estudiado varios sistemas n´ umericos: N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

b

b

4.

Desigualdades

4.1.

Intervalos

1

bc

b

2

b

bc

e 3 π

2

b

4

rsid

0

bc

√

ad

√ 2

de

Cada uno de ellos posee propiedades bien definidas. Las propiedades (axiomas) de campo y orden de R por ejemplo, son v´alidas tambi´en en Q. Sin embargo, existe una propiedad (axioma) adicional que caracteriza a los n´ umeros reales y los diferencia de los otros sistemas num´ericos: se trata del axioma de completitud. La interpretaci´ on intuitiva de este axioma dice que la correspondencia biun´ıvoca entre n´ umeros reales y puntos de una recta que antes mencionamos, “llena” completamente la recta sin que falten ni sobren puntos. Con n´ umeros racionales √ por ejemplo, no logramos llenar la recta, quedan “huecos” como los puntos que corresponden a 2, π, etc. Se dice entonces que R es un campo ordenado y completo.

ive

Es muy com´ un en el d´ıa a d´ıa encontrarse con cantidades que oscilan entre ciertos valores; diversos son los fen´omenos que no poseen una soluci´on num´erica exacta (´ unica), lo cual nos lleva a la necesidad de limitar a cierto rango las posibles soluciones, basdos en estas necesidades recurrimos a la noci´on de intervalo, la cual se presenta a seguir. Definici´ on 4.1 (Intervalos). Sean a, b ∈ R con a ≤ b. 5. (a, ∞) = {x ∈ R : a < x}

2. [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

6. [a, ∞) = {x ∈ R : a ≤ x}

3. [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}

7. (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}

4. (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

8. (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}

Un

1. (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}

7

4.2.

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Valor absoluto

Definici´ on 4.2 (Valor absoluto). El valor absoluto de un n´ umero real x se define como  x, si x ≥ 0 |x| = −x, si x < 0 Ejemplo 4.1. |−5| = −(−5) = 5, |5| = 5.

El valor absoluto de un n´ umero nunca es negativo y satisface las siguientes propiedades: Propiedad 4.1 (valor absoluto). Para todo x, y ∈ R: 1. |x| ≥ 0

3. |x · y| = |x| · |y|

2. |x| = 0 si, y s´ olo si x = 0

4. |x|2 = x2

5. |x + y| ≤ |x| + |y| 6. |x − y| = |y − x|

|

5 unidades

| |

|

−5

de

Gracias a las propiedades anteriores, podemos utilizar el valor absoluto para medir distancias entre puntos de la recta real: el valor absoluto de un n´ umero real x corresponde a la distancia desde el punto que le corresponde a 0 hasta el punto que le corresponde a x: 5 unidades

0

|5|

ad

|−5|

| |

5

R

El valor absoluto |y − x| corresponde a la distancia entre ellos x e y: |

x

rsid

|y − x|

|

y

R

y de este modo, la distancia entre los puntos −2 y 4 es |4 − (−2)| = 6. Otra propiedad muy importante del valor absoluto es la siguiente: Propiedad 4.2 (valor absoluto). Para todo a, b ∈ R con b > 0:

ive

1. |a| < b si, y s´ olo si −b < a < b

2. |a| > b si, y s´ olo si a < −b ´ oa>b Ejemplo 4.2. .

Un

1. Si x > 3, entonces |x − 3| = x − 3, pues x − 3 > 0; pero si x < 3, entonces |x − 3| = −(x − 3), pues x − 3 < 0. 2. |3 + 2| = |5| = 5 = |3| + |2|, sin embargo |3 + (−2)| = |1| = 1 ≤ 5 = |3| + |−2| . En cada caso se cumple |x + y| ≤ |x| + |y| . 3. −1 2 =

|−1| |2|

=

1 2

= 21 .

8

5.

Exponentes y radicales

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Definici´ on 5.1. Para todo a ∈ R y todo entero positivo n, 1. an = |a · a{z· · · a}.

2. a0 = 1, si a 6= 0.

n veces

Ejemplo 5.1. . 1. 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

3. 62 = 6 × 6 = 36

2. 43 = 4 × 4 × 4 = 64

4. 3−2 =

Observaci´ on 3. .

1 an .

3. a−n =

1 32

=

1 3×3

=

1 9

1. Se denomina potencia al producto que resulta al multiplicar una cantidad o expresi´on por s´ı misma una o varias veces. Por ejemplo, 16 es potencia de 2 porque 24 = 16. 2. La operaci´ on cuya finalidad es hallar las potencias de un n´ umero se denomina potenciaci´ on o elevaci´ on a potencias.

3. a2 se lee “a elevado al cuadrado”, a3 se lee “a elevado al cubo”, an se lee “a elevado a la n”.

de

4. En la expresi´on an = b, a es la base, n es el exponente y b es la potencia. Propiedad 5.1 (Leyes de los exponentes). Para todo a, b ∈ R y m, n ∈ Z, 3. (ab)n = an bn
n n 4. ab = abn , b 6= 0.

2. (am )n = amn

Ejemplo 5.2. .

2. b−4


5

= b−4·5 = b−20 =

1 , con b 6= 0. b20

5.

am an

= am−n ,

a 6= 0

6.

am an

=

1 an−m ,

a 6= 0

3. (3x)2 = 32 · x2 = 9x2 , con x 6= 0.

rsid

1. a−2 · a5 = a−2+5 = a3 , con a 6= 0.

ad

1. am an = am+n

4.

z −3 = z −3−(−5) = z 2 , con z 6= 0. z −5

ive

La operaci´ on inversa a la potenciaci´on se denomina radicaci´ on. La radicaci´on nos permite calcular la base de una potencia, conociendo el exponente y la potencia. Por ejemplo, la operaci´ on inversa de elevar al cuadrado un n´ umero se denomina encontrar una 2 ra´ız cuadrada del n´ u mero. Las ra´ ıces cuadradas de 25 son 5 y −5 porque 52 =√25 y (−5)√ = 25. √ se utiliza para designar la ra´ız cuadrada no negativa. As´ı, 25 = 5, 36 = 6, El s´ımbolo etc. En general, definimos la ra´ız n-´esima como se indica a continuaci´on:

Un

Definici´ on 5.2 (Ra´ız n-´esima). Si n es un n´ umero natural y a un n´ umero real, definimos de la siguiente forma: √ Si a = 0, entonces n a = 0 √ Si a > 0, entonces n a = b, si, y s´olo si, bn = a y b > 0. √ Si a < 0 y n es impar, entonces n a = b, si, y s´olo si, bn = a y b < 0. √ Si a < 0 y n es par, entonces n a no es un n´ umero real.

√ n a

9

Ejemplo 5.3. . √ 1. 5 32 = 2, porque 25 = 32 y 2 > 0. √ 2. −8 = −2, porque (−2)3 = −8 y −2 < 0. √ 3. −9 no es un n´ umero real.

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Instituto de Matem´ aticas, Universidad de Antioquia

Propiedad 5.2 (Propiedades de la ra´ız n-´esima). Para todo a ∈ R y n ∈ N, √ √ n umero real 1. ( n a) = a si n a es un n´ √ 2. n an = a si a ≥ 0

3.

√ n

4.

√ n

Observaci´ on 4. .

an = a si a < 0 y n es impar an = |a| si a < 0 y n es par

√ 1. Afirmar que x2 = x para todo n´ umero real x es falso. √ umero real x. 2. x2 = |x| para todo n´

Ejemplo 5.4. . p 1. 3 (−5)3 = −5

p (−5)2 = | − 5| = 5

3.

√ 52 = 5

de

2.

Ejemplo 5.5. . p √ √ √ 1. x2 y = x2 y = |x| y

2.

Exponentes racionales

rsid

5.1.

√ a

mn

ad

Propiedad 5.3 (Propiedades de la radicaci´on). Para todo a, b ∈ R y m, n ∈ N, q r √ √ √ √ n n n m √ a a n 1. ab = n a b n 3. a= = √ 2. n b b

p p p √ 4 4 x6 y 3 = 4 x4 x2 y 3 = x4 4 x2 y 3

Definici´ on 5.3 (Exponentes √ racionales). Para todo a ∈ R y todo par de enteros positivos m y n, con n ≥ 2 para el cual n a existe, definimos: 1. a1/n =

√ n a.

2. am/n =

ive

Ejemplo 5.6. . 

Referencias

32 243

2/5

=

r 5

32 243

!2

√ √ m n am = ( n a) .

3. a−m/n =

1 . am/n

 s  5 2  2 4 2 5  = 2 = = 3 3 9

Un

´ [1] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Algebra y Trigonometr´ıa con Geometr´ıa Anal´ıtica, und´ecima edici´ on, editorial Thomson, 2006. ´ [2] M. Sullivan., Algebra y Trigonometr´ıa, s´eptima edici´ on, editorial Pearson, 2006. [3] F.D. Demana, B.K. Waits, G.D. Foley, D. Kennedy, Prec´ alculo, s´eptima edici´ on, editorial Pearson, 2006.