Escuela de Ciencias de la Computación – UTPL Fundamentos Matemáticos Autores: Ing. Germania Rodríguez, Ing. Ricardo Blacio

UNIDAD 7: MATRICES Y DETERMINANTES En la presente unidad estudiaremos un tema muy importante dentro de la carrera de Informática como son las matrices y determinantes, conocimiento que tiene aplicación en varias asignaturas y de manera especial las concernientes al ámbito de programación. Por lo que le invito a poner su mejor esfuerzo para aprender estos interesantes contenidos. Comencemos entonces con el primer tema.

7.1 Álgebra de matrices Revise su texto básico en el capítulo 9, el apartado 9.6, Álgebra de matrices, o si tiene la posibilidad visite el siguiente enlace web disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

Con la lectura que usted realizó seguramente se pudo dar cuenta que con las matrices se pueden desarrollar algunas operaciones como:
Suma: dos matrices se pueden sumar solo si tienen el mismo tamaño.

Veamos el siguiente ejercicio, en el que sumaremos dos matrices. 6 −1 3 1
= 2  = −1 5 0 6 0  −3 4 

El resultado de la suma es el siguiente: 6+3
+  = 2 + (−1) −3 + 6

−1 + 1 9 0 =  1 5 0+5  3 4  4 + 0 

Como puede darse cuenta en el ejercicio, el tamaño de la matriz A y B son iguales; luego se suman los elementos de cada una de ellas, para dar lugar otra matriz de igual tamaño.

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Algo que debemos aclarar es lo siguiente:  Dos matrices son iguales si y solo si tienen el mismo tamaño y sus elementos correspondientes son iguales.  Cuando en una matriz todos sus elementos son 0, a esta matriz le llamamos nula.
Inverso aditivo: Cuando los elementos de la primera matriz con respecto a los de la segunda son de igual valor absoluto, pero de signo contrario tenemos un inverso aditivo. Recuerde que ambas matrices deben ser de igual tamaño.

Para entender mejor esta parte revisemos el siguiente ejercicio. 6
= 2 −3

−1 0 4 

−6 1 −
= −2 0  3 −4 

Con esto podemos decir lo siguiente A= (aij) entonces su inverso aditivo es –A= (- aij). Es importante recordar que dentro de la suma de matrices existen algunas propiedades; con seguridad usted ya las identifico a través de la lectura que realizó, sino es así analícelas nuevamente en su texto básico.
Resta: Otra de las operaciones es la resta de matrices, esto lo podemos ver en el siguiente ejemplo.

Tomemos como base las matrices que utilizamos anteriormente y realicemos su resta. 6
= 2 −3

−1 3   =  0 −1 4  6

1 5 0 

El resultado de la resta es el siguiente:

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6−3
−  = 2 − (−1) −3 − 6

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−1 − 1 3 −2 =  3 −5 0−5  −9 4  4 − 0 


Producto de un escalar por una matriz: Al multiplicar un escalar por una matriz se obtiene otra matriz de igual tamaño. Regrese nuevamente a su texto básico para revisar y analizar las propiedades que se dan dentro del producto de un escalar por una matriz.

Analicemos el siguiente ejercicio en el que se pide multiplicar un escalar 2 por una matriz A. 6 −1 2
=  2 0 −3 4  El resultado de la multiplicación es:

2.6 2. −1 12 −2 = 4 2
=  2.2 0 2.0  −6 8  2. −3 2.4 


Producto de matrices: Para poder multiplicar dos matrices se debe verificar la siguiente condición: “Que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz”, si se cumple esto, se puede realizar la multiplicación.

Revisemos el siguiente ejercicio, en donde se halle AB: 2 1
= −7 0


 = 

4 −2 0 0 −3  = 1 1 −2  −2 4   0 0 5 −3 −1 0 

(2.4) + (1.1) + (0.0) + (−3. −3) (2. −2) + (1.1) + (0.0) + (−3. −1) (2.0) + (1. −2) + (0.5) + (−3.0)  (−7.4) + (0.1) + (−2.0) + (4. −3) (−7. −2) + (0.1) + (−2.0) + (4. −1) (−7.0) + (0. −2) + (−2.5) + (4.0) 

8+1+0+9 −4 + 1 + 0 + 3 0 + (−2) + 0 + 0
 =   −28 + 0 + 0 + (−12) 14 + 0 + 0 + (−4) 0 + 0 + (−10) + 0  18
 =  −40

0 10

−2  −10 

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Como se puede apreciar en el ejercicio el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, por lo tanto, se puede realizar la operación, en la que se multiplica cada elemento de la fila de la primera matriz con cada elemento de la columna de la segunda matriz y luego se suman estos valores. Algo importante que debe tener presente es que en el producto de matrices no se cumple la propiedad conmutativa, por lo tanto A.B ≠ B.A 7.2 Inversa de una matriz

Acuda al texto básico y lea en el capítulo 9, el apartado 9.7: Inversa de una matriz.

A través de la lectura que realizó se requiere tener claro lo que es una matriz identidad, la definición de la inversa de una matriz; así como revisar minuciosamente los ejercicios resueltos que le propone el autor del libro. Algo que debe tener presente es que no todas las matrices cuadradas tienen una inversa.

Para ver cómo aplicar este tema, revisemos el siguiente ejercicio, en el que hallaremos la solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la inversa. " + 3# = 0 ! # − 5$ = 3 % 2" + $ = −1

En donde tendríamos la matriz de:
Coeficientes:


Variables

1
= 0 2

3 0 1 −5 0 1

" & = '#( $

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Términos independientes

0 = 3  −1

Ahora encontraremos la inversa de la matriz A-1

1 3 0 1 0 0
)* = 0 1 −5 +0 1 0% 2 0 1 0 0 1

1 0 0

Procedimiento

3 1 −6

0 1 −5 + 0 1 −2

0 0 1 0% 0 1

15 1 −3 1 −5 + 0 1 −2 0 15 1 −3 1 −5 + 0 −29 −2 6 −3 1 0 15 1 1 0 1 −5 + 0 0 0 1 2/29 −6/29 1 0 0 1 0 0

0 1 −6 0 1 0

0 0% 1 0 0% 1 0 0 % −1/29

1 0 0 −1/29 3/29 15/29 0 1 0 + 10/29 −1/29 −5/29% 0 0 1 2/29 −6/29 −1/29


)*

−1/29 =  10/29 2/29

Desarrollo -2R1 + R3 = R3

-3R2 + R1 = R1

6R2 + R3 = R3

-1/29R3 = R3

5R3 + R2 = R2 -15R3 + R1 = R1

3/29 15/29 −1 −1/29 −5/29 = 1/29  10 −6/29 −1/29 2

3 −1 −6

15 −5 −1

Además se puede comprobar que la matriz original por su inversa nos da como resultado la matriz de identidad o viceversa (AA-1 = I3 = A-1A). Tengan en cuenta que I3 es la matriz de identidad de orden 3. Y por último multiplicamos la matriz inversa con la matriz de términos independientes para obtener el resultado de nuestro sistema de ecuaciones, esto nos quedaría:

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−-/./ " −6 −1 3 15 0 '#( = 1/29  10 −1 −5  3  = 1/29  2  =  ././  $ −01/./ −17 2 −6 −1 −1 Por tanto: x = -6/29, y = 2/29, z = -17/29. 7.1 Determinantes

Avancemos en la lectura a un nuevo tema, para lo cual le invito a estudiar en su texto básico el capítulo 9, el apartado 9.8: Determinantes, o si tiene la posibilidad visite el siguiente enlace web disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

Conviene que usted ponga atención en la definición del determinante de segundo grado, y se dará cuenta de la facilidad de encontrar dicho determinante. Otro de los conceptos es la definición de menores y cofactores que nos ayuda a encontrar el determinante de una matriz cuadrada de mayor orden, estas explicaciones están en su texto básico.

Para entender mejor el tema veamos el siguiente ejercicio, en el que encontraremos el determinante de la matriz A. 3 4
=2 0 1

−1 0 6 3

2 −3 0 −4

0 5 3 0 2

Para poder simplificar el proceso, observemos que con excepción de uno de todos los elementos la tercera fila o reglón son iguales a cero, por lo tanto, si expandimos por el tercer reglón tendremos un solo término diferente de cero, de la siguiente manera: |%5| = (0)
* + (6)
 + (0)
+ (0)
 = -56. %

Con:

56. = (−0)67. 86.

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6 . 86. = : −6 0 −:

9 ; .

Ahora vamos a expandir la matriz 86. , tomaremos como referencia la columna 1, quedándonos: 3 M  = 4 1

2 3 4

0 5 2

M**  

3 M   4 1

2 3 4

0 5 2

2 0 M*     2.2  4.0  4 4 2

3 M   4 1

2 3 4

0 5 2

2 0 M *     2.5  3.0  10 3 5

3 5   3.2  4.5  14 4 2

A**  1*7* M**  1. 14

A*  17* M*  1. 4

A *  1 7* M *  1. 10

Una vez expandida la matriz, aplicamos la definición del determinante de una matriz 3x3. |%>|  314  44  110  36% Luego reemplazamos el valor del determinante encontrado en el cofactor inicial. ? 6.  067. @6.  136  6Finalmente, el resultado del determinante de la matriz 4x4 es: |%5|  -56.  -6-% = -216 Espero que con el desarrollo de este ejercicio le haya quedado claro el tema, sino es así, revise nuevamente el contenido o consulte a sus profesores.

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7.2 Propiedades de los determinantes

Recurra una vez más al texto básico y lea en el capítulo, el apartado 9.9: Propiedades de los determinantes. En este tema se requiere debe tener muy claro las propiedades de los determinantes que se mencionan en el texto básico. Recuerde que para hallar el determinante de una matriz de orden superior a tres utilizando el procedimiento anterior, las operaciones se hacen muy largas, por eso debe analizar tanto la parte teórica como los ejercicios resueltos que el autor del texto le ofrece. El tema de la aplicación de los determinantes está enfocado a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales; dentro del cual se encuentra la Regla de Cramer, esto lo podemos ver en el siguiente ejercicio.

Resolver el siguiente sistema aplicando la regla de Crammer " + 3# = 0 ! # − 5$ = 3 % 2" + $ = −1 Como el sistema de ecuaciones tiene tres variables de incógnita, la regla de Cramer nos quedaría: |%A"|% |%A#|% |%A$|% "= % % , #= % % , $= % % |A| |A| |A| Luego encontrar el determinante de la matriz de coeficientes: 1 A = 0 2

3 0 1 −5 = −29 0 1

Posterior a esto encontrar el determinante de cada una de las variables: 0 3 0 A" =  3 1 −5 = 6 −1 0 1 = 17

1 A# = 0 2

0 3 −1

0 −5 = −2 1

1 3 A$ = 0 1 2 0

0 3 −1

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Y finalmente reemplazamos: |%A"|% 6 " % %  , |A| 29

|%A#|% 2 # % %  , |A| 29

|%A$|% 17 $ % %  |A| 29

Como pueden darse cuenta la regla de Cramer resulta ineficaz si se aplica a sistemas con un gran número de ecuaciones, ya que deben evaluarse muchos determinantes de matrices de orden alto.

Actividad recomendada
Analice y comprenda detenidamente los ejercicios resueltos que se encuentra en su texto básico de cada uno de los temas tratados en esta unidad.
Vaya al final de cada tema y desarrolle los ejercicios propuestos que le plantea el texto, realice los que crea usted necesarios.
Identifique y resuelva en su trabajo a distancia la parte objetiva o de ensayo que corresponda a los contenidos tratados. Hemos llegado al final de la unidad, así que le invito a determinar lo aprendido con la siguiente autoevaluación.

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