Matrices y determinantes

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Ejemplo • ¿Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? • ¿Cuál es el elemento a21, b23, c42?

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Tipos de matrices • • • • • • •

Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna Matriz nula Matriz vertical Matriz horizontal Matriz negativa de A u opuesta de A Matriz cuadrada – Diagonal principal – Diagonal secundaria

• ¿Qué tipo de matrices son las siguientes?

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• Matrices cuadradas – Matriz triangular superior – Matriz triangular inferior – Matriz diagonal – Matriz identidad

• ¿Qué tipo de matrices son las siguientes?

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Suma de matrices • suma o resta de matrices (de las mismas dimensiones) es la aplicación que asocia a cada par de matrices otra matriz de las mismas dimensiones cuyos elementos se obtienen sumando o restando término a término los elementos correspondientes en dichas matrices.

•

Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí

Propiedades de la suma y resta • Conmutativa: A + B = B + A • Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C • Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente. • Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

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Ejemplo 1. • Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices:

• Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años. • ¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total? • Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001 con los datos del ejemplo anterior.

Ejemplo 2 • Calcula x, y, z en la suma:

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Ejemplo 3 • Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad:

Multiplicación por un escalar • Dada una matriz cualquiera A y un numero real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un numero real).

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Propiedades de la multiplicación por un escalar • Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·B • Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)·A= k·A + d·A • Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·A • Elemento neutro, el número 1: 1·A=A

Ejemplos

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Matriz transpuesta • La transpuesta de una matriz A de m x n , es la matriz de n x m que se obtiene al intercambiar los renglones por las columnas y se denota por AT

Propiedades

Matriz simétrica:

A = At

Matriz antisimétrica

A = − At

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Ejercicios • Verificar que la matriz A es simétrica

• Verificar que la matriz B es antisimétrica

Ejercicios

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problemas • Algebra lineal, Stanley I. Grossman, 5ª. Edición. Mc.GrawHill – Problemas 1.5 (Pág. 56): I-VI – Problemas 31, 39, 44 y 45 (Pág. 57).

Multiplicación de matrices Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A·B , es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B

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Multiplicación de matrices • Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p, entonces el producto A·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo: • “El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”

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Matriz inversa • Dada una matriz cuadrada de orden n, cualquiera, existe su inversa X, para el producto de matrices, tal que:

A. X = I n • Se dice que A es invertible si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y denotada por A y tal que

A. A−1 = I n

A−1. A = I n

• Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

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Método Gauss-Jordan • Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A−1. • Se llama transformación elemental en una matriz a: – T1) Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero. – T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo. – T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre sí.

Ejemplo 1 • Hallar la inversa de:

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Ejemplo 2 • Calcular la inversa de

Ejercicios • Calcular la matriz inversa por el método Gauss-Jordan de las siguientes matrices

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Determinante de una matriz 2x2 • Si es una matriz 2 x 2 se define el determinante de la matriz A, y se expresa como det(A) o bien |A|, como el número:

Ejemplo • Hallar los siguientes determinantes:

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Menor complementario • Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de A,aij , como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j en la que se encuentra dicho elemento aij. Se representa por Mij .

Adjunto de un elemento • adjunto de un elemento aij de A como el número:

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Determinante de una matriz nxn • Dada una matriz cuadrada A de tamaño n se define su determinante como la suma del producto de los elementos de una línea cualquiera de la matriz (fila o columna) elegida, por sus correspondientes adjuntos.

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Ejercicios • Hallar los determinantes de las siguientes matrices:

Regla de Sarrus • Existe otra forma de hallar un determinante 3x3 la cual es:

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Propiedades de los determinantes • Si una matriz tiene una línea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero. • Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales, su determinante es nulo. • Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. • Si multiplicamos todos los elementos de una linea de un determinante por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. • Si a una línea de una matriz se le suma otra línea multiplicada por un numero, el determinante no cambia. • El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta, • Si A tiene matriz inversa, A−1, se verifica que:

Relación entre la matriz inversa y sus determinates • Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒ |A| = 0.

A

−1

( Adj ( A)) =

T

A

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• Hallar la inversa de

Regla de Cramer Se aplica para resolver sistemas de ecuaciones nxn y su procedimiento es: • Hallar la matriz ampliada (A X= b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones. • Calcular el determinante de A. • Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: – ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes; – dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita; – continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

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• Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones usando la regla de Cramer:

3x − 2 y = 1 x + 5y = 3

3x − y = 8 x + 3y = 2

3x + 2 y − z = 4 2x − y + 2z = 3 x + 3 y + 2 z = −5

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