Theoretische Physik III (Elektrodynamik) Andreas Knorr
[email protected], PN 742 Technische Universität Berlin
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.1/38
I: Einführung: Geschichte/Vorkenntnisse
Elektrodynamik: Beschreibung des elektromagnetischen Felds, dessen Erzeugung, Ausbreitung und Wechselwirkung mit Ladungen
1. Geschichte / Vorkenntnisse C.A. Coulomb (1736-1806) Kraftgesetz für elektrischen Ladungen J.P Biot (1774-1862), S.Savart (1791-1841) Magnetfeld um stromdurchflossenen Leiter M.Faraday (1791-1867) Induktionsgesetz: Elektrisches Feld wird durch zeitliche Änderung des Magnetfelds erzeugt J.C.Maxwell(1831-1879) magnetische und elektrische Effekte vereinheitlicht H.A.Lorenz (1853-1928) Kraft auf Ladung im elektromagnetischen Feld H.Hertz (1857-1894) Nachweis elektromagnetischer Wellen A.Einstein (1879-1955) Elektrodynamik bewegter Körper N.Bohr (1885-1962), W.Heisenberg (1901-1976), ... Quantisierung der Ladungsträger N.Basov, C.Schawlow, C.Townes: Ausnutzung der stimulierten Emission Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.2/38 für Laser (1954-58)
Geschichte/Vorkenntnisse
Grundgleichungen der Elektrodynamik sind :
Maxwellgleichungen für die Felder (Felder resultieren aus Ladung, Strom)
Bewegungsgleichungen für bewegte Ladungen
(Beschleunigung der Ladungsträger resultiert aus WW mit Feldern)
selbstkonsistentes System Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.3/38
Ladungen und Ströme
¨ 2. Ladungen und Strome 2.1 Klassische mikroskopischen Punktladungen ist die Bahnkurve der i-ten Punktladung
a) Ladungsdichte: (Ladung pro Volumen)
b) Stromdichte: (Geschwindigkeit mal Ladung / Volumen)
Bahnkurve des i−ten Teilchen mit Ladung q i
ri(t)
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.4/38
Ladungen und Ströme
Strom und Ladung sind über die Kontinuitätsgleichung verbunden:
Kontinuitätgleichung
Die zeitliche Änderung der Ladungsdichte ist durch die Quellen der elektrischen Stromdichte bestimmt.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.5/38
Ladungen und Ströme
Stromdichtefluss durch die Oberfläche
Änderung der Ladg. in V
V (V)
dQ dt =−I
Aus der Kontinuitätsgleichung folgt das Gesetz von Erhaltung der Ladung. Integration über Volumen V:
Kontinuitätsgleichung beschreibt die Veränderung der Ladung Q im Volumen V durch Transport durch die Oberfläche (V), negatives Vorzeichnen beschreibt Dichteverringerung bei Strom I (Stromdichtefluß) durch die Oberfläche nach aussen
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.6/38
Ladungen und Ströme
2.2 Räumliche Mittlung
bisher : mikroskopische Adressierung einzelner Punktladungen Teilchen in makroskopischen Volumina i.a. aber sehr viele nicht allgemein lösbar Reduktion der Information nötig
Ansatz: Felder (typische Wellenlänge ) variieren schwach gegen den Teilchenabstand (z.B. Bohrradius im Angströmbereich als typische atomare Länge)
atomare Skala
davon abstrahieren
mesoskopische “Längenskala”
Wellenlänge Feldvariation
behalten als Grobraumskala Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.7/38
Ladungen und Ströme
r
g( r’−r )
dazu Einführung einer Mittelungsfunktion Symmetrie: ri−1
ri+1
r’
ri
mittlere Ladungsdichte : Damit wird durch mitteln über eine Raumbereich um die Stelle der Ausdehnung von aufgesammelt und eine Gesamtladung am Punkt gebildet. hat eine Ausdehnung gross gegen atomare Abstände, kleine gegen die Wellenlänge
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.8/38
Ladungen und Ströme
2.3 Klassische makroskopische Landungen und Ströme
a) Mittelung der Ladungsdichte : Einteilung der Ladungen in gebundene und freien Ladungen:
1)
n−tes Molekül
2)
rnj (t) rm (t) freibeweglich Index "m"
r (t) j(n)
rn (t)
j−tes Teilchen des n−ten Moleküls Index "j(n)",
rn zeigt auf "Mitte" (SP) des Moleküls
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.9/38
Ladungen und Ströme
Zeitargument unterdrückt
beschreibt ein verschmierte makroskopische Ladung, z.B. homogen geladenen Kugel (Einführung in die Theoretische Physik) angenommen Für gebundenen Ladungen :
=0, da Moleküle elektrisch neutral sind
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.10/38
Dipolmoment des n-ten Moleküls
partielle Integration
Ladungen und Ströme
Summe aller Dipolmomente am Grobraumpunkt
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.11/38
ohne angelegte E-Feld
.
r
in Dielektrika ist Null, im Feld in Ferroelektrika ist
ist eine Dipoldichte (Dipolmoment/Volumen)
Ladungen und Ströme
kartesische Koordinaten
ist der Quadrupoltensor, für das n-te Molekül gilt:
Wenn die Dipolmomente der Moleküle verschwindet, so muß man bis zur Quadrupoldichte entwickeln, die gemittelte Ladungsdichte ist:
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.12/38
Ladungen und Ströme
stellt homogen geladene Kugel dar, wenn N: Teilchenzahl im mesoskopischen Volumen V,
Durch der Mittelungsprozeß ist es möglich, die Materie durch räumlich lgs. veränderliche Größe zu beschreiben, solange die Längenskalen der beteiligten elektromagnetischen Felder noch die Mittlung über viele Teilchen erlauben, Bsp. Kugel:
gewählt wird
: Radius
b) Mittelung der Stromdichte
frei
ist verschmierter makroskopischer Strom.
z.B. homogener Linienstrom (Einf. f. Theor. Phys.) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.13/38
gebunden
Ladungen und Ströme
Zeitableitung der Dipoldichte
Annahme ruhender Moleküle
Quadrupolanteil
man erhält einen Anteil des Polarisationsstroms, einen Quadrupolanteil und einen Anteil der mit dem Drehimpuls der Teilchen zusammmenhängt
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makroskopischer Ladungsstrom
Magnetisierungsdichte:
Dipoldichte
Ladungen und Ströme
wobei l den Drehimpuls des ensprechenden Teilchens bezeichnet
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.15/38
Ladungen und Ströme
2.4 Quantisierung von Ladungsträgern und makroskopische Mittlung
(z.B. H-Atom Lösungen)
El-Feld
über Wahrscheinlichkeitsdichte darstellen mit , wobei:
Bestes Konzept: Zweite Quantisierung, führt zu weit, verwenden eine didaktische Vereinfachung:
freie Elektronen u. El-Feld W.W. in Molekülen gebundenen Elektronen
Mittelung:
für Teilchensorte “i” mit Ladung q
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.16/38
Ladungen und Ströme
, wobei
Mittlung am Bsp. gebundener Ladungen: Wellenfunktion (Einelektronenorbital) mittelt über ein Molekül Elektronenkoordinate wird dargestellt als der Ort des i-ten Moleküls ist: r’
ϕ (R i + r’)
m
Ri
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.17/38
Ladungen und Strömen
makroskopische El-Dichte am Ort
+ Quadrupolanteile
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.18/38
Ladungen und Ströme
Dipolmoment des Moleküls/Atoms zwischen Zustand m, m’.
quantenmechanische Dipoldichte
physikalisch: quantenmechanische Übergangsamplitude erzeugt Dipoldichte P
als Summe über alle Atome an den Positionen mit Dipolmomenten und den zeitabhängigen Wahrscheinlichkeitsamplituden die Zeitverlauf der Übergänge beschreiben und g als stark lokalisiert auf mesoskopischer Ebene: zB: 1 Atom bei
Analog kann der Strom beschrieben werden: Magnetisierung/QuadrapolanteileTheoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.19/38
Bewegungsgl. f. die Ladungen
im elektromagnetische Feld
L
3.1 Klassische Bewegungsgleichungen Die Kraft, die auf geladenden Teilchen wirkt, ist die Lorenzkraft :
3. Bewegungsgleichungen fur ¨ die Ladungen
bzw. relativistisch:
L
Die Lorenzkraft kann genutzt werden, um die E, B-Felder vermittels einer Punktladung zu vermessen. Klassische Bewegungsgleichung für Ladungen im em. Feld :
L
Gemeinsam mit den Maxwellgln. stellen sie ein geschlossenes System dar.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.20/38
Bewegungsgl. f. die Ladungen
ww
N-Niveau System am Ort
Ansatz:
mit
3.2 Quantenmechanische Bewegungsgleichungen für ED der Moleküle In klassischer Beschreibung wird durch Newtongl. gegeben. In quantenmechanischer Beschreibung: (m: 1-N Niveaus) gesucht
und Int. über den Raum
Multipl. mit
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.21/38
Dipolmoment des Atoms/moleküls
Bewegungsgl. f. die Ladungen
Zur besseren Interpretation : 2-Niveaus 2
Zweiniveausysteme
Übergangswahrscheinlichkeitsamplitude von 1 nach 2
1
Besetzungswahrscheinlichkeit des Zustands 1, 2 analog
1.Term: freie Bewegung, 2.Term: Felder als Quellen des Übergangs
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.22/38
Bewegungsgl. f. die Ladungen
Anzahldichte der atomaren Systeme
Zahl der atomaren Systeme in
Mittlungsvolumen
Verallgemeinerung für viele Atome an Positionen
also für Ortsabhängigkeiten (phänomenologisch):
Interpretation von (Gleichungen später) als Besetzungswahrscheinlichkeit des Zustands i entspricht Pauli-Blocking (Fermionen!) für Gleichbesetzung ergibt sich keine Ankopplung an das Lichtfeld Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.23/38
Bewegungsgl. f. die Ladungen
Grenzfall der linearen Optik, oBdA:
Real, Imaginärteil:
stellt die Gleichung für die Dipoldichte P dar entspricht klassischem Oszillatorergebnis (nur im Grenzfall linearer Optik) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.24/38
Bewegungsgl. f. die Ladungen
im Frequenzraum
Definition der linearen Suszeptibilität
Ergebnis wird aber mit
erinnert an klassischen harmonischen Oszillator also der Inversion multipliziert (Rech-
nung ohne Probleme wenn diese zeitlich konstant), dieser Faktor ist nichtklassisch und bewirkt bei stärkerer Besetzung des oberen Niveaus im vergleich des oberen Niveaus einen Vorzeichenwechsel und damit den Wechsel von Absorption zu Verstärkung (stimulierte Emission), siehe späteres Kapitel
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.25/38
3.3 Quantenmechanische Bewegungsgleichungen für ED der Metalle Valenzelektronen sind freibeweglich, die Wellenfunktion daher
Bewegungsgl. f. die Ladungen
,
also in nullter Näherung freie Teilchen
in einem räumlich homogenen System darf der Strom nicht vom Ort . abhängen, also
Elektrons in diesem Zustand
), gwichtet mit dem Impuls
k besetzt zu haben (
der Strom ist gegeben als Summe über die Wahrscheinlichkeit den Zustand (Geschwindigkeit) des Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.26/38
Bewegungsgl. f. die Ladungen
fürt auf:
Berechnung der Übergangsamplituden
und auf die Leitfähigkeit und Suszeptibilität:
die Plasmafrequenz ist:
Diskussion in Übungsaufgabe
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.27/38
:
1
r φ( r) V
,
#
#
87
'
9
0
"
(
0
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1
6
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0
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5
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Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
4. Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
Berechnung in kartesische Koordinaten
φ( r +dx e x) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.28/38
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
grad
Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
#
#
#
von
wenn man sich
In der Mechanik konnte mit
#
Interpretation : Der Gradient beschreibt den Zuwachs im Raum um fortbewegt.
#
aus dem vollständigen Differential folgt :
ein konservatives Vektorfeld dargestellt
werden, in der Elektrostatik das elektrische Feld.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.29/38
Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
%
87
:
9
%
div
b) Divergenz eines Vektorfelds :
Interpretation : Fluß/Volumen durch die Oberfläche (V) eines infinitisimalen Volumens V
ist also Maß für entstehende Feldlinien in diesem Punkt (Oberflächenelement nach außen), (Divergenz eines Felds “Quellstärke”)
div v ( r ,t)=
V( r )
dy
1
V ( r + ∆r)
2
Berechnung in kartesischen Koordinaten
dz r =(x,y,z)
dx Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.30/38
/
Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
Quellstärke (Divegenz) eines Vektorfelds in kartesischen Koordinaten.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.31/38
Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
/
:
9
/
Def. : rot
87
c) Rotation eines Vektorfelds :
Interpretation : Zirkulation/Volumen auf der Oberfläche eines infinitisimalen Volumens V
ist also Maß für die Wirbel, die in diesem Punkt vorliegen (Rotation eines Felds Wirbelstärke)
rot V =
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.32/38
rot /
/
/
rot /
Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.33/38
Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
4.2 Die mikroskopischen Maxwellgleichungen
und
werden durch die Maxwellgleichungen bestimmt.
Die Quelldichte des elektrischen Felds ist gegeben durch die
Die Felder
Ladungsdichte. Feldlinien können entstehen und vergehen.
Die Quelldichte des magnetischen Felds ist Null. Die Feldlinien sind geschlossen.
Die Wirbeldichte des elektrischen Felds ist gegeben durch
die zeitlichen Änderung des Magnetfelds. Das negative Vorzeichnen spiegelt die Lenzsche Regel. Die Wirbeldichte des magnetischen Felds ist
gegeben durch die zeitliche Änderung des elektrischen Felds und durch die Stromdichte. Maxwellgleichungen und klassischen Bewegungsgleichungen (mit Lorenzkraft) Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.34/38 beschreiben alle klassischen elektromagnetischen “Phänomene”
Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
Bemerkungen 1. QED: Ladungen und Felder werden quantenmech. beschrieben. “vollquantentheoretische Beschreibung” 2. Wenn nur Ladungsträger quantenmechanisch, die Felder klassisch beschrieben werden : “halbklassisch”, “semiklassisch” und sind noch nicht räumlich gemittelt. Daher heißt das obige System mikroskopische Maxwellgleichungen.
3.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.35/38
Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
m
dielektrisches Verschiebungsfeld
m
Mittelung und Ableitung vertauschen miteinander
a)
Eingehen von
4.3 Die makroskopischen Maxwellgleichungen
b)
Quelle des dielektrischen Verschiebungsfelds sind makroskopische Ladungen. Das magnetische Feld hat keine Quelle. Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.36/38
c)
Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
Die Wirbel des elektrischen Felds sind durch ein sich zeitlich veränderndes
d)
Magnetfeld gegeben.
(magnetische Feldstärke)
m
neues Feld
Die Wirbel der magnetischen Feldstärke sind durch den makroskopischen Strom und zeitlich veränderndes
gegeben.
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.37/38
Differentialoperatoren und Maxwellgleichungen
m
oder
m
ohne
Makroskopisch
Mikroskopisch
4.4 Zusammenfassung und Gegenüberstellung
oder
volle Dynamik auf allen
als gemittelte Größe (mesoskopische Skalen)
m
b) Mit
a) Mit als mikroskopische Ströme Längenskalen enthalten
m
m
Theoretische Physik III (Elektrodynamik) – p.38/38
