Technische Universit¨at M¨ unchen Fakult¨at f¨ ur Physik
Vorlesungsskript Sommersemester 2015
Theoretische Physik 3 Quantenmechanik Nach der Vorlesung von Prof. Dr. rer. nat. Bj¨ orn Garbrecht Studentische Mitschrift von: Florian R¨ohrer ¨ Uberarbeitet von: Andrea Meraner Gabriele Semino
Vorbemerkung Die vorliegende Zusammenstellung basiert auf handgeschriebenen Notizen zur Vorlesungsvorbereitung. Sie entspricht daher einem ersten Zugang zur Quantenmechanik und soll dabei von Studierenden im zweiten Jahr weitgehend vollst¨andig nachvollziehbar sein. Dementsprechend wird Wert gelegt auf eine genaue und wenn m¨ oglich komplette Darstellung der mathematischen Grundlagen und der relevanten Herleitungen. Als Beispiele dienen die allbekannten exakt l¨osbaren Probleme der Quantenmechanik, u.a. Potentialtopf, harmonischer Oszillator und schließlich das Wasserstoffatom. Klarerweise ist dieses Skript kein Lehrbuch. Seine Ver¨offentlichung dient dem Hauptzweck, m¨ogliche Unklarheiten in der Vorlesung und damit unn¨otige Reibungsverluste beim Erlernen der Methoden und Konzepte der Quantenmechanik auszur¨aumen. Ebenso handelt es sich hier nicht um Originalmaterial, sondern es wurde sich in den B¨ uchern von Cohen-Tanoudji, Messiah, Nolting, Sakurai und Schwabl bedient. Die inhaltliche Auswahl ist dadurch beeinflusst, dass Themen wie zeitabh¨angige St¨orungstheorie, Streutheorie und ggf. die Interpretation des Messprozesses sowie das Pfadintegral in der Quantenmechanik II behandelt werden. Im achten Kapitel wird besonderes Gewicht auf die Zerlegung von Tensorprodukten in irreduzible Darstellungen der Drehgruppe gelegt, da diese Technik in vielen Bereichen – nicht nur in der Kern- und Teilchenphysik – von großer Wichtigkeit und hohem Anwendungsnutzen ist. Der Dozent bedankt sich zun¨ achst bei den H¨orerinnen und H¨orern f¨ ur interessante Fragen in der Vorlesung sowie zu Hinweisen zu Unklarheiten und zu Fehlern. Die vorliegende maschinengeschriebene Version des Skripts wurde von Herrn F. R¨ohrer mit Unterst¨ utzung der Herren A. Meraner und G. Semino in vorz¨ uglicher Weise ausgef¨ uhrt. Diese soll nicht zuletzt auch als Grundlage f¨ ur weitere Erg¨anzungen und Verbesserungen in der Zukunft dienen.
Garching, im Juli 2015
Bj¨ orn Garbrecht
i
Inhaltsverzeichnis 1 Induktive Begr¨ undung der Quantenmechanik: Wellenfunktion und Schr¨ odingergleichung 1.1 Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Planck’sche Strahlungsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Photoelektrischer Effekt (Hertz 1887) . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Compton-Effekt (1925) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Bau der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Wellenfunktion und Schr¨ odingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Schr¨ odinger-Gleichung im Potential und zeitunabh¨angiger Fall 1.2.4 Kontinuit¨ atsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Impulsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 Orts-Impulsunsch¨ arfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Einfache eindimensionale Probleme 2.1 Vor¨ uberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Allgemeine Folgerungen aus der eindimensionalen 2.4 Unendlich tiefer Potentialtopf . . . . . . . . . . . 2.5 Potentialschwelle und Tunneleffekt . . . . . . . . 3 Formalismus der Quantenmechanik 3.1 Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Kontinuierliche Basiszust¨ ande . . . . . . . 3.4 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . 3.5 Bemerkungen zu Operatoren . . . . . . . 3.6 Zeitentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Postulate der Quantenmechanik . . . . . . 3.8 Unsch¨ arferelation . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Korrespondenzprinzip und Ehrenfest’sches 4 Der 4.1 4.2 4.3 4.4
harmonische Oszillator Analytische Methode . Algebraische Methode Diskussion . . . . . . . Koh¨ arente Zust¨ ande .
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1 1 1 3 4 5 5 6 7 8 8 9 10 13 15 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schr¨odingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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19 19 20 22 25 26
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30 30 33 34 35 38 39 40 41 41
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5 Drehimpuls 5.1 Gemeinsame Eigenzust¨ ande von kommutierenden 5.2 Definition des Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . 5.3 Algebraische Relationen und Spektrum . . . . . . 5.4 Bahndrehimpuls und Kugelfl¨ achenfunktionen . . 5.5 Drehimpuls und Drehungen . . . . . . . . . . . .
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45 45 48 50 51
Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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53 53 54 55 57 62
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6 Zentralpotential und Wasserstoffatom 66 6.1 Zentralpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 6.2 Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3 Zweik¨ orperproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7 Ankopplung an das elektromagnetische Feld 7.1 Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . 7.2 Bewegung im konstanten Magnetfeld . . 7.3 Normaler Zeeman-Effekt . . . . . . . . . 7.4 Freie Bewegung im Magnetfeld . . . . . 7.5 Eichtransformation . . . . . . . . . . . . 7.6 Aharonov-Bohm Effekt . . . . . . . . . . 8 Spin 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14
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78 78 79 80 81 82 83
und Addition von Drehimpulsen 85 Direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Intrinsischer Drehimpuls (Spin 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Stern-Gerlach-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Magnetisches Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Drehungen von Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Drehmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Addition von Drehimpulsen: Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Addition allgemeiner Drehimpulse und Bestimmung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten 95 Tensoroperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Produkte Sph¨ arischer Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Das Wigner-Eckart-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Elektrische Multipolmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Fermionen und Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9 N¨ aherungsverfahren 9.1 Zeitunabh¨ angige St¨ orungstheorie . . . . . . . 9.2 Stark-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Relativistische Korrekturen . . . . . . . . . . 9.4 Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Ritz’sches Variationsprinzip . . . . . . . . . . 9.6 WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)-Methode .
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112 112 114 116 117 119 120
1 Induktive Begr¨ undung der Quantenmechanik: Wellenfunktion und Schr¨ odingergleichung 1.1 Historisches Ende des 19. Jahrhunderts werden physikalische Ph¨anomene mit zwei Theorien erkl¨art: • Newton’sche Mechanik → Punktteilchen • Maxwell’sche Elektrodynamik → Felder (→ elektromagnetische Wellen) Es blieben noch zwei große Fragen: • Sind Strahlung und Materie grundlegend verschiedene Dinge? • Ist die Physik nun abgeschlossen? Die folgenden experimentellen und theoretischen Befunde beantworten diese beiden Fragen mit Nein: 1.1.1 Planck’sche Strahlungsformel Ein idealisiertes Modell f¨ ur thermische Strahlungsquellen ist der schwarze K¨orper“: ” → absorbiert s¨ amtliche einfallende Strahlung (keine Reflektion) unabh¨anging von der Wellenl¨ ange → im Modell realisiert als Hohlraum (fasse dies z.B. als Struktur in der Oberfl¨ ache einer rußgeschw¨arzten Platte auf)
• Temperatur T der Wand im thermischen Gleichgewicht mit der Strahlung im Inneren. • Energiedichte dieser Strahlung: ρ=
1 ~ ~ ~ ·B ~ E·D+H 2
(1.1.1)
• spektrale Energiedichte: u(ω) =
dρ ⇔ ρ= dω
ˆ
∞
u(ω) dω
mit Frequenz
0
ω 2π
(1.1.2)
Dieses Spektrum soll mittels der durchs Loch entweichenden Strahlung beobachtet werden. Empirisch gab Wien (1896) folgendes Gesetz an: ω→∞
ω
u(ω) −→ A · e−g T
mit den Konstanten A, g
Rayleigh (1900) leitete dagegen eine Formel f¨ ur kleine ω her: • Hohlraum sei W¨ urfel der Kantenl¨ange a
1
(1.1.3)
~ • E-Feld verschwindet in den W¨ anden ~ = ~ε · sin(~k · ~x) E
(1.1.4)
mit dem Polarisationsvektor ~ε⊥~k (→ 2 Polarisationen) und mit ki a = ni π, wobei ni ∈ N. Durch Umformen der Wellenl¨ ange λ= erh¨alt man
2π ω 2πc ⇔ |~k| = = ω c |~k|
πc ω= a
(1.1.5)
q n21 + n22 + n33
(1.1.6)
1 4π 3 a3 ω 3 · |~n| = 2 3 8 3 6π c
(1.1.7)
Zahl der Wellen mit Kreisfrequenz ≤ ω: N (ω) =
mit dem Faktor 1/8, da man nur den positiven Oktanten“ der Kugel betrachtet. ” a3 ω 2 dN (ω) = 2 3 dω 2π c
(1.1.8)
Wegen des Gleichverteilungssatzes ist die Energie pro Welle gleich kB T , also gilt
u(ω) =
ω2 kB T π 2 c3
(1.1.9)
Rayleigh-Jeans-Gesetz
Hierbei wurde durch das Volumen a3 dividiert und der Faktor 2 f¨ ur die beiden Polarisationszust¨ande ber¨ ucksichtigt. Bei genauerer Betrachtung bemerkt man jedoch, dass das Integral ˆ ∞ u(ω) dω = ∞ (1.1.10) 0
divergiert ( Ultraviolettkatastrophe“). Dieses Problem f¨ uhrte dann Planck (1900) zu folgender ” Annahme: Planck’sche Hypothese Die W¨ande bestehen aus Oszillatoren, welche Energien nur in Vielfachen von ~ω abgeben bzw. aufnehmen. Die Gr¨ oße h = 2π~ hat die Einheit einer Wirkung und heißt Planck’sches Wirkungsquantum. Im Gegensatz zur klassischen Physik k¨onnen Energien nur in gequantelten Paketen emittiert/absorbiert werden. Insbesondere ist die Energieportion proportional zur Frequenz. Diese Hypothese f¨ uhrt zur Planck’schen Strahlungsformel, welche in der statistischen Physik genauer hergeleitet wird: • N0 sei die Zahl der Wandoszillatoren • Von den gesamten N0 Oszillatoren seien N0 (n) im Energiezustand n~ω ⇒ N0 =
∞ X
N0 (n) ⇒ Gesamtenergie:
E=
n=0
∞ X
n~ωN0 (n)
(1.1.11)
n=0
Die mittlere Energie pro Oszillator ist also gegeben durch: ˆ= E E N0
2
(1.1.12)
• Boltzmann-Statistik: N0 (n) ∝ e−βn~ω ( kanonische Dichtematrix“) mit β = ” ∞ X
ˆ= ⇒ E
n~ωe−βn~ω
n=0 ∞ X
e−βn~ω
∞ X d =− ln e−βn~ω dβ
1 kB T
!
n=0
n=0
d = ln x − dβ
1 1 − e−β~ω
=
~ωe−β~ω ~ω = β~ω 1 − e−β~ω e −1
(1.1.13)
geom. Reihe
Im thermischen Gleichgewicht entspricht die Energieverteilung der Wandoszillatoren der der Strahlung (→ statistische Physik). Macht man also in Rayleighs Herleitung die Ersetzung kB T −→
~ω eβ~ω − 1
(1.1.14)
so erh¨alt man: u(ω) =
1 ~ω 3 · β~ω 2 3 π c e −1
(1.1.15)
Planck’sches Strahlungsgesetz
F¨ ur kleine ω ergibt sich mit einer Taylorreihen-Entwicklung ~ω 1 ~ω = = kB T ≈ 1 + β~ω − 1 β eβ~ω − 1
(1.1.16)
wie beim Rayleigh-Jeans-Gesetz. Die Plank’sche Strahlungsformel beschreibt erfolgreich die Grenzf¨ alle Rayleigh-Jeans und Wien.
1900 gilt damit als Geburtsjahr der Quantenmechanik. Bald darauf wird die physikalische Tragweite der von Planck zun¨ achst als Hilfskonstruktion (h f¨ ur hilfs-“) aufgefassten Energiequantelung ” und des Zusammenhangs zwischen Frequenz und Energie deutlich. 1.1.2 Photoelektrischer Effekt (Hertz 1887) • Strahlung von Licht der Kreisfrequenz ω f¨allt auf eine Metalloberfl¨ache ⇒ Emission von Elektronen mit maximaler kinetischer Energie 1 Emax = me v 2 = ~ω − W (1.1.17) 2
3
• klassische Erwartung: ~= cE ~ ~ Energiestromdichte S 4π × H sollte Emission der Elektronen erst nach einer bestimmten Zeit bewirken. Außerdem sollte Emax unbegrenzt sein. Tats¨achlich setzt aber die Emission sofort ein und Emax ist klar begrenzt. → Lichtquantenhypothese (Einstein 1905): Licht besteht aus Photonen der Energie ~ω - wie bei der Herleitung des Planck’schen Strahlungsgesetzes. 1.1.3 Compton-Effekt (1925) • Viererimpuls in der speziellen Relativit¨atstheorie: mc γ m~v γ
1 p0 E p= = c = p~ p~ m: Ruhemasse → m2 =
1 c2
2 p0 − p~ 2 =
!
1 mit γ = q 1−
(1.1.18)
~v 2 c2
p2 c2
• F¨ ur Photonen beobachtet man stets |~v | = c → Lichtgeschwindigkeit! → Bilde Grenzfall mit p0 = |~ p | = ~c ω = ~|~k| und m = 0, wobei |~k| = 2π λ ist. Das Photon ist ein masseloses Teilchen. • Betrachte nun den Stoß eines Photons γ an einem ruhenden Elektron e− :
Viererimpulserhaltung:
p + q = p0 + q 0 =
~|~k| ~~k
!
me c + ~ = 0
! p ~|~k 0 | p~ 02 + m2e c2 + p~ 0 ~~k 0
(1.1.19) 2
Subtrahiere p0 und bilde auf beiden Seiten das Viererimpulsquadrat (v 2 = v 0 − ~v 2 ): − 2~2 (|~k||~k 0 | − ~k · ~k 0 ) + 2~me c(|~k| − |~k 0 |) + m2e c2 = m2e c2
mit 1 − cos ϑ = 2 sin2
⇒ λ0 − λ =
ϑ 2
~ ~ ~0 ⇒ |~k| − |~k 0 | = |k||k |(1 − cos ϑ) me c 2π und |~k| = . λ
4π~ ϑ ϑ sin2 = 4πλc sin2 me c 2 2
4
(1.1.22)
ComptonVerschiebung
(1.1.20) (1.1.21)
mit der Compton-Wellenl¨ ange λc =
~ me c
= 3,86 · 10−11 cm.
• Die experimentelle Best¨ atigung dieses Effekts verifiziert die Teilchennatur des Photons sowie die Beziehungen zwischen Energie und Frequenz sowie Impuls und Wellenl¨ ange. 1.1.4 Materiewellen • Strahlung zeigt Materieeigenschaften. ~
• Laut De Broglie (1924) gilt auch umgekehrt: Materie zeigt Welleneigenschaften ∝ e−iωt+ik·~x E = ~ω = hν
(1.1.23)
h p~ = ~~k oder |~ p| = λ
(1.1.24)
• Experimenteller Nachweis mittels Interferenz-Experimente: Davisson & Germer (1927) am Nickel-Einkristall, J¨onsson (1959) am Doppelspalt Die De Broglie Relationen ergeben sich auch als Grenzfall f¨ ur freie Zust¨ande aus allgemeineren quantenmechanischen Gesetzen, welche schon sehr fr¨ uh zur Beschreibung gebundener Zust¨ande erfolgreich waren. 1.1.5 Bau der Atome • Thomson’sches Atommodell: positive & negative Ladungen sind kontinuierlich u ¨ber den Atomradius ausgedehnt. • Geiger & Marsden (1909): α−Teilchen werden an Goldfolie nur selten und dann zu großen Winkeln gestreut. Rutherford gelingt die quantitative Beschreibung unter der Annahme, dass der Kern eine positive Punktladung ist, welche ein Coulomb-Potential erzeugt. ⇒ Planetenmodell“(1911): Elektronen auf Kreisbahnen um den Kern. Klassisch w¨ urde man ” jedoch Energieverlust durch Dipolstrahlung und schließlich Sturz des Elektrons in den Kern erwarten. Außerdem: keine Erkl¨ arung f¨ ur diskrete Emissions-/Absorptionslinien. • Bohr’sches Postulat (1913):¸ klassische Bahnen m¨ ussen p~ · d~x = 2π~n erf¨ ullen und es soll keine Strahlung abgegeben werden. Jedoch keine grundlegende Begr¨ undung.
¨aquivalente Darstellungen (1926) Schr¨ odinger’sche Wellenmechanik: → konstante Operatoren, zeitliche Entwicklung des Zustands (Wellenfunktion) (1925) Heisenberg’sche Matrizenmechanik: → Bewegungsgleichung f¨ ur Operatoren (Matrizen)
•
1926 gelingt Schr¨ odinger dann die L¨osung des Wasserstoffproblems, welches auch das wichtigste konkrete in der Quantenmechanik I vorgestellte Resultat ist.
5
• Aufgrund unserer Straßenadresse erw¨ahnen wir noch den Franck-Hertz-Versuch (1913):
Elektronen bewegen sich im elektrischen Feld zwischen Kathode und Gitter. Anschließend durchlaufen sie die Gegenspannung zur Anode. – Bei Erh¨ ohung der Spannung zwischen G und K steigt der Strom zun¨achst an. – Bei ca. 5 V reicht die kinetische Energie der Elektronen aus, um das Hg anzuregen. Sie geben also Energie ab und die verbleibende Energie ist nicht mehr hinreichend, um die Gegenspannung zu durchlaufen. – Das ganze wiederholt sich bei ca. 10 V (die Anregungsenergie wird auf der halben Strecke erreicht), 15 V etc. Fazit • Die Quantenmechanik wurde zun¨achst heuristisch eingef¨ uhrt um einzelne, der ansonsten erfolgreichen klassischen Physik widersprechende, Befunde zu erkl¨aren. • Es zeigt sich aber, dass die Quantenmechanik auch die Struktur und Eigenschaften der Materie beschreibt (Gegenw¨ artige grundlegende Theorie: Standardmodell der Teilchenphysik). Sie ist somit auch Grundlage der modernen Chemie, Molekularbiologie, Elektronik, Materialwissenschaften, ... → radikale Erweiterung der Fragestellungen und Anwendungen der Physik. • Wir wollen in diesem Semester die Grundlagen dieser f¨ ur die modernen Naturwissenschaften und die Technik wesentlichen Theorie vermitteln.
1.2 Wellenfunktion und Schr¨ odingergleichung In diesem Kapitel werden die grundlegenden Annahmen und mathematischen Strukturen der Quantenmechanik schrittweise eingef¨ uhrt. Nach ersten Beispielen im Kapitel 2 folgt eine systematische und verallgemeinerte Zusammenfassung der Grundlagen der Quantenmechanik im Kapitel 3. Status in der klassischen Physik: • Maxwell’sche Feldtheorie beschreibt nicht die Teilcheneigenschaft der Photonen. • Newton’sche Mechanik/Einsteins Spezielle Relativit¨atstheorie beschreibt nicht die Welleneigenschaft von Materieteilchen. → Eine neue Theorie, welche diesen Welle-Teilchen-Dualismus in konsistenter Weise umfasst, wird ben¨otigt.
6
1.2.1 Wellenfunktion und Wahrscheinlichkeit • Betrachte das J¨ onsson’sche Doppelspaltexperiment mit Elektronen (analog zum Young’schen Experiment mit Licht).
• Einzelne Elektronen hinterlassen einen schwarzen Punkt auf dem Schirm. ~
• De Broglie: Elektronen haben Wellenfunktion ψ = Ce−iωt+ik·~x mit ω =
E ~
und ~k = ~p~ .
• Ein Spalt offen: Es entsteht kein Interferenzmuster. Die Punktdichte ist ∝ |ψ|2 = |ψ1 |2
• Beide Spalte offen: → Interferenzmuster. Die Punktdichte ist ∝ |ψ|2 = |ψ1 +ψ2 |2 . Es ergeben sich Maxima f¨ ur (k~1 −k~2 )·~x = 2πn mit n ∈ Z. ¨ • Die Wellenfunktion ψ ergibt sich als Uberlagerung (Summe) der Wellenfunktionen, welche von den einzelnen Spalten ausgehen. Wir merken aber an, dass diese Interferenz nicht notwendig durch verschiedene Elektronen zustandekommt. Man kann auch einzelne Elektronen nacheinander durch den Doppelspalt senden und erh¨alt das gleiche Resultat. Hypothese: Die Wellenfunktion ψ(~x, t) ergibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung ρ(~x, t) = |ψ(~x, t)|2 . Genauer gesagt ist ρ(~x, t) d3 x die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron im Volumenelement d3 x zu beobachten. Fazit: Die Wellenfunktion unterliegt einer deterministischen Gleichung (d.h. der im Folgenden erl¨auterten Schr¨odingergleichung). Konzeptionell neu ist aber, dass die Messung nur Wahrscheinlichkeitsaussagen trifft, wobei der Beobachter oder das Messger¨at als klassisches physikalisches System idealisiert wird und nicht als Teil des Quantensystems betrachtet wird. Bei einer genaueren Behandlung des Messprozesses unterscheiden sich verschiedene Interpretationen der Quantenmechanik, welche allerdings identische physikalische Vorhersagen treffen. Zu einer vertieften Diskussion ist es aber n¨ utzlich, die Theorie zun¨ achst in konkreten Einzelheiten zu entwickeln und anhand von Beispielen Intuition zu gewinnen. Letztlich erm¨oglicht die Wahrscheinlichkeitsdeutung der Wellenfunktion die konsistente Behandlung des Welle-Teilchen-Dualismus, so dass wir diese als erfolgreiche Hypothese akzeptieren.
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1.2.2 Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur freie Teilchen Nach De Broglie lautet die Wellenfunktion i
~
i
ψ = C · e−iωt+ik·~x = C · e− ~ Et+ ~ p~·~x
(1.2.1)
wobei C eine Konstante ist. Verlangt man den nicht-relativistischen Zusammenhang E = ist ψ L¨osung der Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur ein freies Teilchen der Masse m:
i~
~2 ~ 2 ∂ ψ(~x, t) = − ∇ ψ(~x, t) ∂t 2m
(1.2.2)
p ~2 2m ,
so
Schr¨ odinger-Gleichung fu ¨ r ein freies Teilchen der Masse m
Die Normierung ist dabei so gew¨ ahlt, dass auf beiden Seiten die kinetische Energie die Wellenfunktion multipliziert. Die Ableitungsoperatoren erzeugen offenbar Faktoren von Energie oder Impuls. Wir k¨onnen identifizieren: Energie
E ←→ i~
∂ ≡E ∂t
Energieoperator
(1.2.3)
Impuls
~ ≡ p~ p~ ←→ −i~∇
Impulsoperator
(1.2.4)
Wir verwenden das gleiche Symbol f¨ ur eine klassische Gr¨oße wie f¨ ur den zugeordneten quantenmechanischen Operator. Was gemeint ist, sollte stets aus dem Kontext hervorgehen. Es best¨ unde auch die M¨ oglichkeit der Wahl einer 2. Zeitableitung, was zu einer relativistischen Wellengleichung (Klein-Gordon-Gleichung) f¨ uhren w¨ urde. Dies ist jedoch problematisch, da • negative Energien auftreten, • keine Kontinuit¨ atsgleichung (notwendig zur Wahrscheinlichkeitsinterpretation, siehe unten im Abschnitt 1.2.4) gilt. In der Quantenfeldtheorie gelingt aber letztlich doch eine relativistische Formulierung. 1.2.3 Schr¨ odinger-Gleichung im Potential und zeitunabh¨ angiger Fall Die Hamilton-Funktion
p~ 2 + V (~x) (1.2.5) 2m gibt in der klassischen Mechanik die Energie eines Teilchens am Ort ~x im Potential V (~x) an. Die Ersetzung des Impulses p~ durch den Impulsoperator ergibt: H=
H=
p~ 2 ~2 ~ 2 + V (~x) = − ∇ + V (~x) 2m 2m
(1.2.6)
Hamilton-Operator
Anwendung von H auf ψ ergibt ψ mal die Energie. Wir erhalten die Schr¨odinger-Gleichung i~
∂ ψ(~x, t) = Hψ(~x, t) ∂t
8
(1.2.7)
oder auch ihre ber¨ uhmte Form:
∂ i~ ψ(~x, t) = ∂t
~2 ~ 2 ∇ + V (~x) ψ(~x, t) − 2m
Schr¨ odinger-Gleichung im Potential
(1.2.8)
Ein wichtiger Spezialfall: V (~x) h¨ angt nicht explizit von der Zeit ab. In diesem Fall f¨ uhrt der Separationsansatz ψ(~x, t) = f (t)ψ(~x) zu 1 ∂ 1 i~ f (t) = Hψ(~x) f (t) ∂t ψ(~x)
(1.2.9)
Die linke Seite h¨ angt nur von t ab, die rechte Seite nur von ~x. Beide Seiten m¨ ussen deshalb gleich einer Konstanten E sein, welche wir mit der Energie des Zustandes identifizieren. i ∂ f (t) = Ef (t) ⇒ f (t) = e− ~ Et+iϕ ∂t
⇒ i~
(1.2.10)
Die Phase ϕ ist eine Integrationskonstante. Wir werden noch sehen, dass diese unphysikalisch ist, d.h. beobachtbare Vorhersagen sind unabh¨anging von ϕ, weshalb wir z.B. ϕ = 0 w¨ahlen k¨onnen. F¨ ur den ortsabh¨ angigen Anteil erhalten wir die
Hψ(~x) = Eψ(~x)
zeitunabh¨ angige Schr¨ odinger-Gleichung
(1.2.11)
In Analogie zu Matrixgleichungen der linearen Algebra ist dies ein Eigenwertproblem, was wir noch formal und genauer erkl¨ aren werden. Die L¨osung dieses Eigenwertproblems zun¨achst f¨ ur einfache eindimensionale und letztlich f¨ ur das Coulombpotential in drei Dimensionen wird den gr¨oßten Raum dieser Vorlesung einnehmen. 1.2.4 Kontinuit¨ atsgleichung Betrachte zun¨ achst eine klassische Dichte ρ(~x, t) welche sich zeitlich gem¨aß des Geschwindigkeitsfeldes ~v (~x, t) entwickelt. Dann definieren wir die Stromdichte: ~j(~x, t) = ρ(~x, t)~v (~x, t). Die ¨ zeitliche Anderung des Inhalts eines Volumens V entspricht dem Fluß durch die Oberfl¨ache S ~ (Fl¨achenelement dA): ∂ ∂t
ˆ
˛
V
˛ ~=− ρ(~x, t)~v (~x, t) · dA
ρ(~x, t) d3 x = − S
~ ~j(~x, t) · dA
(1.2.12)
S
Mit dem Gauß’schen Integralsatz folgt: ∂ ∂t
ˆ
ˆ ~ · ~j(~x, t) d3 x ∇
3
ρ(~x, t) d x = − V
V
9
(1.2.13)
Da diese Gleichung f¨ ur beliebige V gelten soll, folgt: ∂ρ(~x, t) ~ ~ + ∇ · j(~x, t) = 0 ∂t
(1.2.14)
Kontinuit¨ atsgleichung
Ersetze nun klassisch −→ quantenmechanisch: ρ(~x, t) −→ ψ ∗ (~x, t)ψ(~x, t) p ~ ∗ ~j(~x, t) = ρ(~x, t)~v (~x, t) ⇒ ~j(~x, t) = Re ψ (~x, t) ψ(~x, t) m i h ~ ~ ∗ (~x, t) ψ(~x, t) ~ x, t) − ∇ψ = ψ ∗ (~x, t) ∇ψ(~ 2mi i h ~ · ~j = ~ ψ ∗ ∇ ~ 2ψ∗ ψ ~ 2ψ − ∇ ⇒ ∇ 2mi
(1.2.15)
(1.2.16) (1.2.17)
Andererseits folgt aus der Schr¨ odingergleichung: ∂ i i ρ = ψ˙ ∗ ψ + ψ ∗ ψ˙ = (Hψ ∗ )ψ − ψ ∗ (Hψ) ∂t ~ ~ i ~ h ~ 2 ∗ ~ 2 ψ = −∇ ~ · ~j(~x, t) = ∇ ψ ψ − ψ∗ ∇ 2mi
(1.2.18)
Wenn m¨oglich, normieren wir die Wellenfunktion auf eine Gesamtwahrscheinlichkeit von eins: ˆ ˆ 3 ρ(~x, t) d x = ψ ∗ (~x, t)ψ(~x, t) d3 x = 1 (1.2.19) wobei wir u ¨ber den gesamten Raum integrieren. Sofern der Teilchenfluss durch die Fl¨ache im Unendlichen verschwindet, gilt also: ˆ ˆ ∂ ∂ ρ(~x, t) d3 x = ψ ∗ (~x, t)ψ(~x, t) d3 x = 0 (1.2.20) ∂t ∂t Diese Eigenschaft der Wahrscheinlichkeitsdarstellung ist eine Konsequenz der Tatsache, dass die Schr¨odinger-Gleichung 1. Ordnung in der Zeit ist. Außerdem folgt aus der ersten Ordnung der Zeitableitung, dass zu einem gewissen Zeitpunkt t der Zustand des Systems v¨ollig durch die Wellenfunktion ψ(~x, t) charakterisiert ist (und nicht u ¨ber deren Zeitableitungen), da diese die notwendigen und hinreichenden Randbedingungen f¨ ur die Schr¨odinger-Gleichung definiert. 1.2.5 Wellenpakete ¨ Uberlege nun, inwiefern die Wellenmechanik die Bewegung einzelner freier Teilchen beschreibt. Da die Schr¨ odinger-Gleichung linear und homogen ist, ist die allgemeine L¨osung f¨ ur freie Teilchen eine Superposition der L¨ osungen aus dem Abschnitt 1.2.2: 1 ψ(~x, t) = (2π~)3
ˆ ϕ(~ p )e
p ~2 i p ~ ·~ x − t ~ 2m
d3 p mit ϕ(~ p ) : R3 −→ C
(1.2.21)
Eine solche Superposition verschiedener Impulszust¨ande bezeichnen wir als Wellenpaket. Als Beispiel betrachten wir ein eindimensionales Gauß’sches Wellenpaket: d2
ϕ(p) = A e− ~2 (p−p0 ) 10
2
(1.2.22)
Der dreidimensionale Fall ergibt sich als Produkt dreier eindimensionaler Pakete. A ⇒ ψ(x, t) = 2π~ A = 2π~
ˆ
p2 i d2 px− t 2 2m e− ~2 (p−p0 ) e ~
∞
dp
−∞
ˆ
− ∞
e
2 t d x d2 2 + i 2m~ p + i p2 +2 0 2~ p− ~2 p0 ~2 | {z } {z } |{z} =c
d2 ~2
|
=a
=b
dp
(1.2.23)
−∞
Mit einer quadratischen Erg¨ anzung folgt dann: r ˆ ∞ b 2 b2 π b2 −c A A −a p− a + a −c e dp = ψ(x, t) = ea dx x 2π~ 2π~ −∞ a ´ ∞ −αx2 √ π −∞
Wahrscheinlichkeitsdichte: |ψ(x, t)|2 =
e
=
α
b2 2Re a −c
A2
(1.2.24)
π e (2π~)2 |a|
(1.2.25)
Wir definieren nun: v=
p0 t~ und ∆ ≡ ∆(t) = m 2md2
⇒
a=
d2 ∆d2 + i ~2 ~2
⇒
|a|2 =
d4 (1 + ∆2 ) (1.2.26) ~4
und schreiben den Exponenten als: 2 2Re[(b2 − ac)a∗ ] ~4 1 d2 (x − vt)2 b − ac = =− 4 (x − vt)2 = − 2 2Re 2 2 4 a |a| d 1 + ∆ 2~ 2d (1 + ∆2 )
(1.2.27)
mit den Nebenrechnungen: b2 − ac =
x2 xd2 mv d4 2 2 td2 d4 2 2 m v − + i − m v − i mv 2 ~4 4~2 ~3 ~4 2~3
Re[(b2 − ac)a∗ ] = − Normierung:
x2 d2 xd2 tv t2 d2 2 d2 + − v = − (x − vt)2 4~4 2~4 4~4 4~4 ˆ
∞
!
|ψ(~x, t)|2 dx = 1
(1.2.28) (1.2.29)
(1.2.30)
−∞
ˆ
∞
⇒
e
b2 −ac 2Re a
ˆ dx =
−∞
⇒
∞
e
−
(x−vt)2 2d2 (1+∆2 )
dx =
√
p 2πd 1 + ∆2
(1.2.31)
−∞
√ √ 1 A2 ~2 π 2 4 √ 2πd 1 + ∆ = 1 ⇒ A = (8πd ) {z } (2π~)2 d2 1 + ∆2 | | {z } dx Integral
(1.2.32)
Vorfaktor
Wahrscheinlichkeitsverteilung im Ortsraum: 2
1
|ψ(x, t)| = p e d 2π(1 + ∆2 )
−
(x−vt)2 2d2 (1+∆2 )
(1.2.33)
• Es ergibt sich wieder eine Gauß-Verteilung. • Gruppengeschwindigkeit am Maximum: ∂ω ∂ ~k 2 p0 vg = = = → klassisches Verhalten ∂k p=p0 ∂k 2m p=p0 m
11
(1.2.34)
• vgl. Phasengeschwindigkeit der einzelnen Wellen: vph =
ω ~k 2 1 p = = → wellenmechanisches Verhalten k 2m k 2m
(1.2.35)
• ∆ ∝ t nimmt zu −→ Wellenpaket fließt auseinander.
Ortsmittelwert und Schwankungsquadrat Erwartungswert:
ˆ
∞
f (x)|ψ(x, t)|2 dx
hf (x)i =
(1.2.36)
−∞
Ortsmittelwert: ˆ ∞ ˆ hxi = |ψ(x, t)|2 x dx = −∞
ˆ
∞
−∞
|ψ(x, t)|2 (x − vt) dx + | {z }
∞
|ψ(x, t)|2 vt dx = vt
(1.2.37)
−∞
gerade in (x−vt)
Schwankungsquadrat: ˆ
∞
(∆x)2 := h(x − hxi)2 i =
|ψ(x, t)|2 (x − vt)2 dx −∞
ˆ
1
∞
(x−vt)2 2 − 2d2 (1+∆2 ) vt) e
= p (x − dx d 2π(1 + ∆2 ) −∞ √ 1 π 2 = p [2d (1 + ∆2 )]3/2 = d2 (1 + ∆2 ) 2 d 2π(1 + ∆ ) 2 ⇒ ∆x = d
p 1 + ∆2
(1.2.38) (1.2.39)
Nebenrechnung: ˆ
∞
2 −αx2
x e −∞
d dx = − dα
ˆ
∞
e
−αx2
−∞
d dx = − dα
r
√ π π −3 = α 2 α 2
(1.2.40)
Zur besseren Einordnung sollen folgende Zahlenbeispiele dienen: 1. Ein makroskopischer K¨ orper mit der Masse m = 1 g soll mit einer mechanischen Einrichtung sehr genau platziert werden: d = 10−4 cm ∆=
t~ =1 2md2
~ = 1,055 · 10−27 ergs = 1,055 · 10−27 nach t =
g cm2 s
2md2 ≈ 2 · 1019 s ( Alter des Universums) ~
12
2. Ein Elektron mit m = 9,109 · 10−28 g: atomare L¨ angeskala: d = 10−8 cm ∆ = 1 nach t = 1,8 · 10−16 s ( Lebensdauer angeregter atomarer Zust¨ande) 1.2.6 Impulsraum Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im Volumen d3 x um den Ort ~x anzutreffen, ist ρ(~x, t) d3 x = |ψ(~x, t)| d3 x
(1.2.41)
Analog suchen wir nun die Wahrscheinlichkeit W (~ p, t) d3 p, ein Teilchen ´ im Impulsraumelement 3 d p um den Impuls p~ anzutreffen. Dabei beachten wir die Normierung W (~ p, t) d3 p = 1. Ziel: Entwickle ψ(~x, t) in Eigenfunktionen des Impulses und benutze diese zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten im Impulsraum. N¨ utzlich ist hierzu die im vorigen Abschnitt eingef¨ uhrte Funktion ϕ(~ p ): ˆ
i
p ~2
~·~ x− 2m t 1 ~ p ψ(~x, t) = ϕ(~ p )e d3 p (2π~)3 ˆ ˆ i 1 1 ~ p ~ ·~ x 3 ϕ(~ p, t)e ~ d p≡ ϕ(~k, t)eik·~x d3 k ≡ 3 3 (2π~) (2π)
(1.2.42)
Hierbei wurde im letzten Schritt p = ~k verwendet. Wir verwenden das gleiche Symbol ϕ f¨ ur verschiedene Varianten dieser Funktion, was wir durch die Argumente andeuten. Der unterste Ausdruck entspricht einer inversen Fouriertransformation. Zur Erinnerung: Funktionenr¨ aume und Fouriertransformation ˆ Norm: ||f ||p =
p
n
1
|f (x)| d x
p
(1.2.43)
Die Menge der Funktionen mit ||f ||p < ∞ heißt Lp (und bildet genaugenommen einen Banachraum, d.h. vollst¨ andig und normiert). F¨ ur f ∈ L1 existiert die Fouriertransformation ˆ ~ ˜ ~ f (k) = f (~x)e−ik·~x dn x Ist ebenso f˜ ∈ L1 , dann gilt die R¨ ucktransformation ˆ 1 ~ f (~k)eik·~x dn k f (~x) = n (2π)
(1.2.44)
(1.2.45)
In der Quantenmechanik ist vor allem der Fall f ∈ L2 relevant. In diesem Fall existiert n¨amlich ˆ ~ f˜(~k) = lim f (~x)e−ik·~x dn x (1.2.46) R→∞ |x| a
(2.2.2)
f¨ ur
|x| ≤ a
(2.2.3)
antisymmetrische L¨ osungen: A1 sin(qx) f¨ ur |x| ≤ a ψ(x) = ±A2 e∓κx f¨ ur x > < ±a
symmetrische L¨ osungen: S1 cos(qx) f¨ ur |x| ≤ a ψ(x) = S2 e∓κx f¨ ur x > < ±a
(2.2.4)
• Außenbereich: klassisch verboten, da V = 0 > E ist. Die exponentiell abfallenden L¨osungen wurden hier gew¨ ahlt, da nur diese normierbar sind. • Innenbereich: klassisch erlaubt, da V0 < E ist. → oszillatorische L¨ osungen. S1/2 und A1/2 sind Integrationskonstanten, die aus den Stetigkeitsbedingungen (Anschlussbedingungen) und der Normierung folgen. Zur Bestimmung des Spektrums ben¨otigen wir f¨ ur diese jedoch keine explizite L¨ osung. Anschlussbedingungen fu ¨ r symmetrische Lo ¨sungen: Betrachte x = a (x = −a folgt wegen der Symmetrie): ψ(x) stetig 0
ψ (x) stetig ⇒
κ tan(qa) = = q
r
⇒ ⇒
−E V0 + E
S1 cos(qa) = S2 e−κa
(2.2.5)
−κa
qS1 sin(qa) = κS2 e oder
20
qa tan(qa) = κa =
(2.2.6) a√ −2mE ~
(2.2.7)
Definiere die dimensionslosen Parameter ζ = ζ 2 − z2 =
a ~
√
2mV0 und z = qa:
a2 a2 a2 (2mV ) − (2mE + 2mV ) = − 2mE 0 0 ~2 ~2 ~2 p z tan(z) = ζ 2 − z 2
(2.2.8) (2.2.9)
Diese Gleichung l¨ asst sich nicht in geschlossener Form l¨osen. Es ist jedoch leicht, den Zusammenhang graphisch darzustellen:
blau: tan(z) p ζ 2 − z2 f¨ ur ζ = 2, 4, 8 rot: z
Man erkennt, dass es eine endliche Zahl von L¨osungen zn gibt. Diesen zugeordnet sind die diskreten Energiewerte ~2 zn2 2 2 En = − (ζ − z ) = −V (2.2.10) 1 − 0 n 2ma2 ζ2 Die Quantenmechanik liefert also eine Erkl¨arung f¨ ur die Beobachtung diskreter Energieniveaus. Wie wir sp¨ ater sehen werden, gilt dies insbesondere auch f¨ ur das Wasserstoffatom. Anschlussbedingungen fu osungen: ¨ r antisymmetrische L¨ Betrachte wieder x = a: ψ(x) stetig
⇒
A1 sin(qa) = A2 e−κa
0
(2.2.11) −κa
ψ (x) stetig ⇒ −qA1 cos(qa) = κA2 e r cos(qa) κ −E a√ ⇒ cot(qa) = =− =− oder qa cot(qa) = −κa = − −2mE sin(qa) q V0 + E ~ p ⇒ −z cot(z) = ζ 2 − z 2
(2.2.12) (2.2.13) (2.2.14)
Graphisch:
blau: − cot(z) p ζ 2 − z2 f¨ ur ζ = 2, 4, 8 rot: z
21
Wiederum gilt: En = −V0
z2 1 − n2 ζ
(2.2.15)
Zusammengefasst erhalten wir f¨ ur ζ = 8 folgende Eigenwerte. blau: Eigenwerte zu symmetrischen L¨osungen rot: Eigenwerte zu antisymmetrischen L¨osungen
Die Wellenfunktionen haben folgende Form:
Die Eigenfunktion zum n−ten Eigenwert hat also n − 1 Knoten (Nullstellen). Die Diskretisierung erweist sich also als Konsequenz der Normierbarkeit (|ψ(x)|2 −→ 0). Mit x→±∞
diesen Randbedingungen existieren f¨ ur den Potentialtopf nur endlich viele L¨osungen.
2.3 Allgemeine Folgerungen aus der eindimensionalen Schr¨ odingergleichung Der Potentialtopf mit Symmetrieeigenschaften und diskreten gebundenen Zust¨anden ist in der Tat exemplarisch. Die obigen Ergebnisse lassen sich jedoch in qualitativer Weise verallgemeinern.
22
Notiere nochmals die eindimensionale, zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung: ∂2 2m ψ(x) = 2 (V (x) − E) ψ(x) (2.3.1) 2 ∂x ~ Zun¨achst gibt es unendlich viele L¨ osungen, welche f¨ ur beliebige Energien E durch zwei Randbe0 dingungen (an ψ(x) und ψ (x) f¨ ur einen beliebigen Punkt x) eindeutig bestimmt sind. Jedoch: Mit den Randbedingungen ψ(x) −→ 0 existieren L¨osungen nur f¨ ur bestimmte Energien. x→±∞
Betrachte dazu folgende Situation: sei E < 0 (gebundener Zustand)
• L¨ose von links nach rechts“ f¨ ur verschiedene E < 0: ” B1 = 0 • Stetige Fortsetzung von ψ(x1 ) und
(2.3.2)
ψ 0 (x1 ) A2 = α2 (E)A1
(2.3.3)
B2 = β2 (E)A1
(2.3.4)
• Stetige Fortsetzung von ψ(x2 ) und ψ 0 (x2 ) A3 = α3 (E)A1
(2.3.5)
B3 = β3 (E)A1
(2.3.6)
• F¨ ur die Normierbarkeit fordern wir jedoch β3 (E) = 0. Dies ist jedoch nur m¨oglich f¨ ur diskrete Werte von β3 (E) (Abbildung rechts). • Dies ist auch anschaulich klar: Gehe von E < E0 aus und erh¨ohe E. Die Grundzustandslo ¨sung ψ0 (x) zum Eigenwert E0 hat keine Nullstellen (Knoten). Die Wellenfunktion ψ1 (x) zur n¨ achsth¨ oheren m¨ oglichen Energie E1 hat einen Knoten, usw. Knotensatz: Die zu En geh¨ orige Wellenfunktion hat n Knoten.
23
Wir werden sp¨ ater noch sehen, dass das Auftreten diskreter Energieniveaus f¨ ur gebundene Zust¨ ande in drei Dimensionen in ¨ ahnlicher Weise verstanden werden kann. Wronski-Determinante: Seien ψa,b (x) L¨ osungen der eindimensionalen Schr¨odinger-Gleichung zu den Eigenwerten Ea und Eb : 2m 00 2 2 ψa,b (x) + ka,b ψa,b (x) = 0 mit ka,b = 2 (Ea,b − V (x)) (2.3.7) ~ Multipliziere die Gleichung f¨ ur ψa mit ψb und umgekehrt und bilde die Differenz: 2m (Eb − Ea )ψa (x)ψb (x) ~2
ψa00 (x)ψb (x) − ψb00 (x)ψa (x) = (kb2 − ka2 )ψa (x)ψb (x) =
Integriere von x0 bis x1 > x0 und f¨ uhre die partielle Integration aus: ˆ x1 x ψa00 (x)ψb (x) − ψb00 (x)ψa (x) dx = ψa0 (x)ψb (x) − ψb0 (x)ψa (x) x10 x0 ˆ x1 − ψa0 (x)ψb0 (x) − ψb0 (x)ψa0 (x) dx
(2.3.8)
(2.3.9)
x0
Definiere die Wronski-Determinante: ψa (x) ψb (x) = ψa (x)ψ 0 (x) − ψb (x)ψa0 (x) W (ψa , ψb ; x) = 0 b ψa (x) ψb0 (x)
⇒
[W (ψa , ψb ; x)]xx10
2m = 2 (Ea − Eb ) ~
ˆ
(2.3.10)
x1
ψa (x)ψb (x) dx
(2.3.11)
x0
N¨ utzlicher Spezialfall: E = Ea = Eb
⇒
W (ψa , ψb ; x) = const.
(2.3.12)
Weiterhin haben dann f¨ ur E −V (x = xr,s ) = 0 beide Wellenfunktionen die gleichen Umkehrpunkte 00 ψa,b (x = xr,s ) = 0 ˆ
xr,s +ε
xr,s −ε
ψa00 (x)ψb (x) − ψb00 (x)ψa (x) dx = 0 + O(ε2 ) = 2εW (ψa , ψb ; xr,s ) + O(ε2 )
⇒ W (ψa , ψb ; xr,s ) = 0
⇒
ψb0 (x) ψ 0 (x) = a ψb (x) ψa (x)
⇒
d ψa (x) log =0 dx ψb (x)
⇒ ψa (x) = cψb (x) mit c ∈ C
(2.3.13)
(2.3.14)
(2.3.15)
Sind ψa,b normiert, dann ist |c| = 1 und c eine irrelevante Phase. ¨ Mit diesen Uberlegungen folgt, dass zu jedem Eigenwert En genau ein Zustand geh¨ort. Man sagt dann, die diskreten Eigenwerte der eindimensionalen Schr¨odinger-Gleichung sind nicht entartet. (Diese Aussage ist andererseits auch anschaulich durch Betrachtung der obigen Funktion β3 (E) klar.)
24
2.4 Unendlich tiefer Potentialtopf Dieser Fall ist einfacher als der Topf endlicher Tiefe. Es ist jedoch m¨oglich und von Interesse das Spektrum analytisch anzugeben. • Potential wie f¨ ur endlichen Topf, jedoch gilt V0 → ∞. • Der Sprung von V (±a) ist unendlich ⇒ keine Stetigkeit von ψ 0 (x = ±a), sowie ψ(x) ≡ 0 f¨ ur |x| ≤ a. Gerade Zust¨ ande: ζ → ∞ und z tan z = ⇒
z0 =
p
ζ 2 − z2
⇒
ψ ∝ cos(qx)
π 3 5 n+1 , z2 = π, z4 = π, ... ⇒ zn = π 2 2 2 2
(2.4.1) (2.4.2)
mit z = qa erh¨ alt man
n+1 ψ(x) = N cos πx n = 0, 2, 4, ... 2a ˆ a 1 2 (n + 1)π x dx = a ⇒ N = √ cos 2a a −a
(2.4.3) (2.4.4)
Ungerade Zust¨ ande: ζ → ∞ und − z cot z = ⇒
p ζ 2 − z2
⇒
ψ ∝ sin(qx)
z1 = π, z3 = 2π, z5 = 3π, ... ⇒ zn =
n+1 π 2
(2.4.5) (2.4.6)
mit z = qa erh¨ alt man in diesem Fall
n+1 ψ(x) = N sin πx n = 1, 3, 5, ... 2a ˆ a (n + 1)π 1 sin2 x dx = a ⇒ N = √ 2a a −a
(2.4.7)
(2.4.8)
Energieeigenwerte (Spektrum): d2 2m ψ(x) = 2 (V (x) − E) ψ(x) dx2 ~
(2.4.9)
Abstand zum Boden des Potentials zn2 z2 z 2 ~2 ~2 z 2 ~2 π 2 En − (−V0 ) = −V0 1 − 2 − (−V0 ) = n2 V0 = 2 n V0 = 2 n = 2 (n + 1)2 (2.4.10) ζ ζ a 2mV0 2a m 8a m
25
2.5 Potentialschwelle und Tunneleffekt Als ein interessantes Beispiel f¨ ur ungebundene Zust¨ ande betrachten wir eine Potentialbarriere. V (x) = V0 · Θ(a − |x|)
(2.5.1)
und Zust¨ande mit 0 < E < V0 . • klassisch: Ein Teilchen, welches auf die Barriere st¨oßt wird reflektiert und erf¨ahrt eine Impulsumkehr. • quantenmechanisch: Neben der Reflexion tritt auch eine Transmission (Tunneln) durch den klassisch verbotenen Bereich auf. Wir k¨onnen unmittelbar die Wellenfunktion in folgender Form angeben: √ 2mE ikx −ikx k = f¨ ur x < −a Ae + Be ~ Ce−κx + Deκx f¨ ur − a ≤ x ≤ a ψ(x) = √ 2m(V0 −E) Eeikx + F e−ikx f¨ ur x > a κ= ~
(2.5.2)
Die Koeffizienten k¨ onnen mit den Stetigkeitsbedingungen bestimmt werden. Anschlussbedingung bei x = −a: Ae−ika + Beika = Ceκa + De−κa ik Ae−ika − Beika = −κ Ceκa − De−κa
(Folgt aus der Stetigkeit von ψ(x))
(2.5.3)
(Folgt aus der Stetigkeit von ψ 0 (x))
(2.5.4)
Dr¨ ucke dies mittels einer Matrix aus: κa −ika e e−κa A e eika C = iκ κa iκ −κa B D e−ika −eika e − e k k
⇒
A C = M (a) B D
mit
1 M (a) = 2
(2.5.5)
1+
iκ k
eκa+ika
1−
iκ k
e−κa+ika
1−
iκ k
eκa−ika
1+
iκ k
e−κa−ika
!
Wegen der Spiegelsymmetrie des Potentials folgt f¨ ur die Anschlussbedingung bei x = a: F C = M (−a) G D Insgesamt folgt somit: A F −1 = M (a)M (−a) B G
M (a)M
−1
cosh(2κa) + (−a) =
mit
iε 2
ε=
sinh(2κa) e2ika
− iη 2 sinh(2κa)
κ k − k κ
und
iη 2
η=
κ k + k κ
sinh(2κa)
cosh(2κa) −
iε 2
(2.5.6)
(2.5.7)
(2.5.8)
!
sinh(2κa) e−2ika (2.5.9)
Die Matrixoperationen lassen sich mit einiger Rechnung ohne technische Schwierigkeiten nachvollziehen.
26
∂ Wegen p = ~i ∂x sehen wir, dass die einzelnen Beitr¨age zur Wellenfunktion ein- bzw. auslaufende Teilchen beschreiben.
• Nimmt man an, dass nur von links Teilchen einlaufen, so folgt A 6= 0, G = 0: • Die Teilchen werden an der Barriere gestreut, so dass sie in beide Richtungen auslaufen (Transmission & Reflexion). Es gilt nun die Koeffizienten B und F zu bestimmen. Aus der ersten Spalte von M (a)M −1 (−a) erhalten wir iε A = F cosh(2κa) + sinh(2κa) e2ika 2 iη B = −F sinh(2κa) 2
(2.5.10) (2.5.11)
Definiere die Transmissionsamplitude1 F e−2ika = A cosh(2κa) + iε 2 sinh(2κa)
S(E) =
(2.5.12)
und den Durchl¨ assigkeitskoeffizienten |S(E)|2 =
1+ 1+
ε2 4
1
sinh2 (2κa)
(2.5.13)
Dieser gibt die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ein Teilchen an, die Barriere zu durchdringen. Zur Begr¨ undung merken wir zun¨ a chst an, dass die freie Wellenfunktion ψ(x) = Keikx nicht normierbar ´∞ ∗ ist, da −∞ ψ (x)ψ(x) dx nicht existiert. Dies gilt auch, wenn wir eine der Grenzen durch −a oder a ersetzen. Jedoch ergibt sich f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsstromdichte (siehe Abschnitt 1.2.4) h i p ~ ∂ ~k ∗ ∗ j(x) = Re ψ (x) ψ(x) = Re ψ (x) ψ(x) = |K|2 (2.5.14) m im ∂x m Mit K = A, F folgt die obige Interpretation. Seien jetzt die H¨ ohe und Breite der Barriere so, dass κa 1. 1 sinh(2κa) ≈ e2κa 1 2 −1 ε2 16(κk)2 −4κa ⇒ |S(E)| ≈ 1 + 4e−4κa = 2 e 4 (κ + k 2 )2 16E(V0 − E) − 4a √2m(V0 −E) = e ~ V02 16E(V0 −E) 4a √ − ~ 2m(V0 −E)+log 2 V0 =e
(2.5.15)
2
1
cosh2 (2κa) +
ε2 4
sinh2 (2κa) = cosh2 (2κa) − sinh2 (2κa) + 1 +
27
2
ε 4
sinh2 (2κa)
(2.5.16)
Bei Vernachl¨ assigung des Logarithmus im Exponenten folgt die oft verwendete Absch¨atzung: 4a √ |S(E)|2 ≈ e− ~ 2m(V0 −E) (2.5.17) Diese ist z.B. n¨ utzlich zur Behandlung kontinuierlicher Potentialberge (Siehe Abbildung rechts). Wir vernachl¨ assigen die Bereiche mit E > V (x) und zerlegen den Berg in N Abschnitte der L¨ ange dx. √ N P Y 2m(V (xi )−E) 2dx √ 2m(V (xi )−E) − ~ 2 −2 N dx i=1 ~ |S(E)| = =e e (2.5.18) i=1
Mit N → ∞ folgt schließlich 2
|S(E)| = e
−2
´ b √2m(V (x)−E) a
~
dx
(2.5.19)
Als ein Beispiel k¨ onnen wir zu einem groben Verst¨andnis der Lebensdauer von unter α−Zerfall instabilen Kernen gelangen. • F¨ ur r < R ≈ 10−12 cm sei das α−Teilchen durch Kernkr¨afte in einem n¨aherungsweise konstanten, negativen Potential. • F¨ ur r > R u ¨berwiegt das durch die Coulombkraft hervorgerufene Potential ( Coulombbar” riere“). Dieses ist gegeben durch Z1 Z2 e 2 (2.5.20) V (r) ≈ r wobei Z1 die Kernladungszahl und Z2 = 2 ist, da α−Teilchen Heliumkerne sind.
2
Wende obige Absch¨ atzung in den Grenzen a = R, b = Z1 ZE2 e an: √ ˆ b p ˆ r 2mE b b 1 2 2m(V (x) − E)dx = 2 − 1dx ~ x a ~ R ! r ! r √ 2mE R R R2 =2 b arccos − − 2 ~ b b b Falls b R (d.h. E Coulombbarriere), so ergibt sich n¨aherungsweise2 : r ! √ ˆ b p 1 2mZ1 Z2 e2 π R √ 2 2m(V (x) − E)dx ≈ 2 −2 ~ 2 b E~ a 2
arccos(x) =
π 2
− x + O(x2 )
28
(2.5.21)
(2.5.22)
√ 2
⇒ |S(E)| = e
−π
2mZ2 e2 ~
√ Z1 4 √RZ1 √ −π Z2 e E
(2.5.23)
Diese dimensionslose Gr¨ oße hat noch nicht die Form einer Zerfallsrate (Dimension 1s ). Dazu gibt es eine zweckm¨ aßige und genaue theoretische Behandlung. Da wir durch das Vernachl¨assigen des logarithmischen Terms im Exponenten ohnehin nur die Gr¨oßenordnung absch¨atzen, soll folgendes Argument ugen: p hier gen¨ Wenn hv 2 i der Erwartungswert der Geschwindigkeit des α−Teilchens ist, dann st¨oßt“ es die ” Wand alle √2R2 Zeiteinheiten. Die Lebensdauer ergibt sich also zu hv i
2R 1 τ=p 2 2 |S(E)| hv i
(2.5.24)
F¨ ur die Halbwertszeit gilt der Zusammenhang 1 ⇒ T = τ ln 2 = 0, 693τ 2 ! " √ √ # R ln(2) 4 RZ1 2mZ2 e2 Z1 p √ − √ + log10 (e ) · π ~ E π Z2 e hv 2 i1a ↑ T
e− τ =
log10
T 1a
= log10
(2.5.25)
(2.5.26)
Euler-e
Wir haben dabei im ersten Logarithmus den Faktor 2 mit 1 ersetzt (f¨ ur drei Dimensionen). Mit
p hv 2 i = 109 cm ~ = 1,0546 · 10−27 erg s s 1 e = 4,803 24 · 10−10 esu −13 R = 2 · 10 Z13 −24 m = 4 · 1, 67 · 10 g Z2 = 2 −6 1 MeV = 1,602 · 10 erg 2 Z1 T ≈ −29 +1, 7 q − 1, 8Z13 log10 |{z} 1a E vernachl¨ assige Z1 −Abh¨ angigkeit
(2.5.27)
MeV
Experimentell sehen wir den Zusammenhang sowohl mit E, als auch mit Z1 gut best¨atigt. Die folgende Graphik zeigt zur Veranschaulichung die Lebensdauern verschiedener Isotope
29
3 Formalismus der Quantenmechanik Bisher: • Der Zustand wird durch eine Wellenfunktion charakterisiert • Operatoren wirken auf Zust¨ ande Hier soll hingegen die zugrundeliegende mathematische Struktur identifiziert werden: • Zust¨ande als Vektoren in einem Hilbertraum • Operatoren als lineare Abbildungen innerhalb dieses Raumes Wir gehen hier von einem anwendungsbezogenen Standpunkt aus. Insbesondere werden wir nicht die Vollst¨andigkeit des Hilbertraums der Quantenmechanik zeigen. Außerdem behandeln wir Zust¨ande zu kontinuierlichen Spektren auf die f¨ ur praktische Rechnungen und Probleme angebrachte Art, w¨ ahrend in der Funktionalanalysis oder mathematischen Physik dies in leicht ge¨anderter Weise (Schwartz Raum) behandelt wird.
3.1 Hilbertraum Ein Hilbertraum H ist (1) ein reeler oder komplexer Vektorraum, (2) mit einem Skalarprodukt, (3) welcher vollst¨ andig bez¨ uglich der u ¨ber das Skalarprodukt induzierten Norm ist. Zu Punkt (1) erinnern wir an die Definition aus der linearen Algebra: Ein Vektorraum V ist eine Menge mit einer Vektoraddition ⊕ : V × V −→ V und einer Skalarmultiplikation : K × V −→ V mit skalaren aus einem K¨ orper K (f¨ ur einen Hilbertraum gilt entweder K = R oder K = C). Vektorraumaxiome: • Assoziativit¨ at: u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w • Kommutativit¨ at: u ⊕ v = v ⊕ u
∀u, v, w ∈ V
∀u, v ∈ V
• Nullvektor: ∃ 0 ∈ V , sodass gilt: v ⊕ 0 = v
∀v ∈ V
• Inverser Vektor: Zu jedem v ∈ V existiert (−v) ∈ V , so dass gilt: v ⊕ (−v) = 0 • Distributivgesetz bez¨ uglich Vektoraddition: α (u⊕v) = α u⊕α v mit α ∈ K & u, v ∈ V • Distributivgesetz bez¨ uglich Addition von Skalaren: (α + β) v = α v ⊕ β v • F¨ ur 1 ∈ K gilt: 1 v = v
∀v ∈ V
Zur Unterscheidung von den Operationen +, · in K haben wir hier die Vektorraumoperationen umkreist. Da sich allerdings aus den Operanden stets ergibt, welche Operation gemeint ist, werden wir diese unterschiedliche Notation nicht mehr weiterverfolgen. Nun zu Punkt (2) Skalarprodukt. Wir besprechen K = C (wodurch der Raum mit dem Skalarprodukt als unit¨ arer Raum bezeichnet wird). K = R folgt direkt als vereinfachter Fall. • Bezeichne die Elemente von H nun als |αi ( Dirac-Ket“), wobei α ein Index ist. ”
30
• Bezeichne ◦ |α1 + α2 i = |α1 i + |α2 i f¨ ur |α1,2 i ∈ H ◦ |cαi = c · |αi ≡ c|αi f¨ ur |αi ∈ H, c ∈ C • Skalarprodukt: |αi, |βi 7→ hα|βi ∈ C Verlange folgende Eigenschaften: ◦ hα|βi = hβ|αi∗ (∗ bedeutet komplexe Konjugation) ◦ hα|β1 + β2 i = hα|β1 i + hα|β2 i ◦ hα|cβi = chα|βi = hc∗ α|βi mit c ∈ C ◦ hα|αi ≥ 0 ∀ |αi ∈ H und hα|αi = 0 ⇔ |αi = |0i, wobei |0i der Nullvektor ist. p • Induzierte Norm: ||α|| = hα|αi Beispiel 1
α1 β1 .. .. n C ist ein unit¨ arer Raum. Sei |αi = . , |βi = . mit αi , βi ∈ C, dann ist αn βn hα|βi =
n X
αi∗ βi
(3.1.1)
i=1
ein Skalarprodukt im obigen Sinne. p ||α|| = hα|αi =
n X
!1
2
αi∗ αi
(3.1.2)
i=1
Beispiel 2 Fasse den Raum L2 (quadratintegrable Funktionen) als einen kontinuierlichen Grenzfall von Beispiel 1 auf (d.h. Index i → Koordinate ~x). Es sei nun also |ψi der Zustandsvektor zur Wellenfunktion ψ(~x) (ψ(~x) −→ |ψi und ϕ(~x) −→ |ϕi). • Definition des Skalarproduktes:
ˆ ψ ∗ (~x)ϕ(~x) d3 x
(3.1.3)
|ψ(~x)|2 d3 x ≡ ||ψ||2
(3.1.4)
hψ|ϕi = • Induzierte Norm: ||ψ|| =
q´
Die meisten der Eigenschaften als unit¨arer Vektorraum sind klar. Wir pr¨ ufen noch nach: |ψi, |ϕi ∈ L2 ⇒ |ψ + ϕi ∈ L2
(3.1.5)
Benutze dazu die Dirac-Notation und beweise zun¨achst die Schwarzsche Ungleichung: |hψ|ϕi| ≤ ||ψ|| ||ϕ|| Parallelkomponente“ von |ϕi zu |ψi: ” |ψihϕ|ψi = z|ψi hψ|ψi
mit
31
z=
(3.1.6)
hϕ|ψi ∈C hψ|ψi
(3.1.7)
Orthogonale Komponente: |ζi = |ϕi − z|ψi ⇒ hψ|ζi = 0
und
(3.1.8)
|ϕi = z|ψi + |ζi
(3.1.9)
Berechne nun: ||ϕ||2 = ||zψ + ζ||2 = hzψ + ζ|zψ + ζi = |z|2 hψ|ψi + hζ|ζi + z ∗ hψ|ζi + zhζ|ψi ≥ |z|2 hψ|ψi (3.1.10) | {z } =0, wegen hψ|ζi=0
⇒ ||ϕ||2 ≥
|hϕ|ψi|2 ||ψ||2
(3.1.11)
woraus die Behauptung folgt. Mittels der Dreiecksungleichung ||ψ + ϕ|| ≤ ||ψ|| + ||ϕ|| folgt die Normierbarkeit von |ψ + ϕi und somit |ψ + ϕi ∈ L2 . Beweis der Ungleichung: ||ψ + ϕ||2 = ||ψ||2 + ||ϕ||2 + hψ|ϕi + hϕ|ψi ≤ ||ψ||2 + ||ϕ||2 + 2|hψ|ϕi| ≤ ||ψ||2 + ||ϕ||2 + 2||ψ|| ||ϕ|| | {z } ↑ Schwarz
=2Re[hψ|ϕi]
(3.1.12) und wir gelangen zur Behauptung. Zu (3) merken wir an: Vollst¨ andigkeit bedeutet, dass jede Cauchy-Folge (Abstand der Folgenglieder wird kleiner und letztlich beliebig klein) bez¨ uglich der Norm innerhalb von H konvergiert. Beispiel x1 = 3
x2 = 3, 1
x3 = 3, 14
x4 = 3, 141
x5 = 3, 1415
x6 = 3, 14159
...
Es gilt also xi ∈ Q (rationale Zahl), jedoch lim xn = π ∈ / Q,
n→∞
jedoch
π∈R
(3.1.13)
Der K¨orper Q ist im Gegensatz zu R also nicht vollst¨andig. (Anmerkung: R ist als Spezialfall von Rn damit sowohl ein vollst¨ andiger K¨ orper als auch ein Hilbertraum.) • Der Nachweis der Vollst¨ andigkeit von L2 ist technisch schwierig und bedarf des Konzepts des Lebesgue-Integrals zur Erfassung pathologischer F¨alle. Wir f¨ uhren hier keinen Beweis. • Quadratintegrable Wellenfunktionen, welche Wahrscheinlichkeitsinterpretationen zulassen, bilden also den Hilbertraum L2 . • Die Schr¨ odingergleichung ist 1. Ordnung in t. Die Wellenfunktion charakterisiert also den quantenmechanischen Zustand eines Punktteilchens ohne Eigendrehimpuls (Spin). • Ordne der Wellenfunktion ψ(~x) den abstrakten Zustandsvektor |ψi zu. ψ(~x) ↔ |ψi
(3.1.14)
¨ Wir werden schließlich f¨ unf Postulate der Quantenmechanik identifizieren. Die Uberlegungen hier f¨ uhren zum I. Postulat: Der quantenmechanische Zustand eines Systems wird durch einen Zustandsvektor in einem separablen Hilbertraum H beschrieben.
32
Anmerkung: L2 ist der Hilbertraum f¨ ur die Ortswellenfunktion (∞−dimensional). F¨ ur weitere Eigenschaften von Teilchen (z.B. Spin) werden weitere geeignete Hilbertr¨aume, verschieden von L2 , ben¨ otigt. Die Kombination mehrerer Eigenschaften oder mehrerer Teilchen erfolgt mittels des Tensorprodukts (wird noch in Kapitel 8 eingef¨ uhrt). Ggf. interessieren wir uns nicht f¨ ur die genaue Ortswellenfunktion. Kann z.B. ein Teilchen (n¨aherungsweise) nur zwei verschiedene Positionen annehmen, dann ist C2 ein geeigneter Hilbertraum. 1 |Teilchen in Position 1i ≡ 0
0 |Teilchen in Position 2i ≡ 1
Anmerkung zum Begriff separabel“: ” Definition: eine Untermenge M ⊂ H heißt dicht in H, falls H die Menge aller aus M gebildeten Grenzwerte ist. Definition: Gibt es abz¨ ahlbare Untermengen, die dicht sind, dann heisst H separabel. Wie bei der Vollst¨ andigkeit u ¨bergehen wir hier den Beweis der Separabilit¨at von L2 . Basissysteme Aus der Separabilit¨ at folgt ∃ {|αi i}, so dass f¨ ur jedes |ψi ∈ H gilt3 : X |ψi = ci |αi i mit ci = hαi |ψi
(3.1.15)
i
Gilt weiterhin hαi |αj i = δij (Orthonormalit¨ atsrelation), dann ist {|αi i} ein vollst¨ andiges Orthonormalsystem ( Orthonormalbasis“). ” Die Existenz der Entwicklung f¨ ur beliebige |ψi ist ¨aquivalent zur Vollst¨ andigkeitsrelation X |αi ihαi | = 1 (3.1.16) i
mit 1|γi = γ, da |ψi =
X
ci |αi i =
i
X
|αi ihαi |ψi = 1|ψi
(3.1.17)
i
3.2 Dualraum • Bisher ist hψ| nur im Skalarprodukt aufgetreten. • Eine eigenst¨ andige Definition ist nicht notwendig, aber oft n¨ utzlich. Betrachte lineare Funktionale Fϕ : H −→ C; |ψi 7→ hϕ|ψi
(3.2.1)
Fϕ (c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i) = c1 Fϕ (|ψ1 i) + c2 Fϕ (|ψ2 i)
(3.2.2)
wobei linear heißt: mit c1,2 ∈ C und |ψ1,2 i ∈ H. Der Dualraum ist
H∗
= {Fϕ }. Dieser ist selbst ein Vektorraum, da
Fϕ1 +ϕ2 (|ψi) = Fϕ1 (|ψi) + Fϕ2 (|ψi) selbst in H∗ sind. Der Dirac-Bra ist dann hϕ| = Fϕ . 3
{|αi i} ≡ {|α1 i, |α2 i, |α3 i, ...}
33
und Fcϕ (|ψi) = c∗ Fϕ (|ψi)
(3.2.3)
3.3 Kontinuierliche Basiszust¨ ande Obige Entwicklung von Zust¨ anden in einer abz¨ahlbaren Basis funktioniert nicht f¨ ur alle wichtigen Anwendungen. Beispiel aus Abschnitt 1.2.6: ˆ ψ(~x) =
i d3 p ~ ·~ x ~xp ϕ(~ p ) e 3 (2π~) ↑
(3.3.1)
↑ Koeffizient nicht Orthonormalabz¨ ahlbar system
Problem:
i
e ~ p~ ·~x ∈ / L2
(3.3.2)
• Mathematische Physik: verwende an Stelle von L2 den sogenannten Schwartz-Raum. • Anwendungsbezogene, pragmatische L¨osung: Verlange in diesen F¨allen keine Separabilit¨ at und erweitere den Hilbertraum um nicht abz¨ahlbare Basis. Definiere dazu zun¨achst die Ortsbasis Eigenfunktion zum Operator ~x mit Eigenwert ~x 0 : ψ~x0 (~x) = δ 3 (~x − ~x 0 ) ←→ ~xψ~x0 (~x) = ~x 0 ψ~x0 (~x)
(3.3.3)
Zuordnung vom Eigenvektor: ψ~x0 → |x0 i
(3.3.4)
Orthonormalit¨ at & Vollst¨ andigkeit: ˆ 0 00 h~x |~x i = δ 3 (~x − ~x 0 )δ 3 (~x − ~x 00 ) d3 x = δ 3 (~x 0 − ~x 00 )
(3.3.5)
ˆ
Ortswellenfunktion: 0
0
δ 3 (~x 0 − ~x)ψ(~x) d3 x
ψ(~x ) = h~x |ψi =
Noch einmal die Vollst¨ andigkeitsrelation: ˆ ˆ 3 hζ|~xih~x|ξi d x = ζ ∗ (~x)ξ(~x) d3 x = hζ|ξi Zustand aus Wellenfunktion:
ˆ
⇒
|~xih~x| d3 x = 1
(3.3.7)
ˆ 3
|ψi =
ˆ
(3.3.6)
|~xih~x|ψi d3 x
|~xiψ(~x) d x =
(3.3.8)
Fazit: Dem abstrakten Zustand |ψi kann eine Ortswellenfunktion ψ(~x) = h~x|ψi zugeordnet werden und umgekehrt, ψ(~x) ←→ |ψi. Die Ortswellenfunktion kann als nicht abz¨ahlbare Menge von Entwicklungskoeffizienten“ in der kontinuierlichen Basis {|~xi} aufgefasst werden. ” Impulsbasis Definiere |~ p i durch die Ortswellenfunktion des Impulseigenzustands: i
h~x|~ p i = e ~ p~ ·~x Orthonormalit¨ at: 0
h~ p |~ pi =
ˆ
ˆ 0
3
h~ p |~xih~x|~ pi d x =
i
e ~ (~p −~p
34
0 )·~ x
d3 x = (2π~)3 δ 3 (~ p − p~ 0 )
(3.3.9)
(3.3.10)
Impulswellenfunktion aus Zustand |~ p i: ˆ ˆ i −~p ~ ·~ x 3 ϕ(~ p) = e p |ψi ψ(~x) d x = h~ p |~xih~x|ψi d3 x = h~ ↑ Vollst¨ andigkeit von |~ xi
Vollst¨andigkeit: 1 (2π~)3
ˆ
(3.3.11)
¨ ˆ i i 0 1 ~ ·~ x ∗ ~p e ζ (~ x ) e− ~ p~ ·~x ξ(~x0 ) d3 x0 d3 x d3 p 3 (2π~) ¨ = δ 3 (~x − ~x0 )ζ ∗ (~x)ξ(~x0 ) d3 x0 d3 x ˆ = ζ ∗ (~x)ξ(~x) d3 x = hζ|ξi (3.3.12) ˆ 1 ⇒ |~ p ih~ p | d3 p = 1 (3.3.13) (2π~)3
hζ|~ p ih~ p |ξi d3 p =
wobei die folgende Integration nach p benutzt wurde. ˆ i i 0 1 p ~ ·~ x −~p e| ~{z e {z~ ·~x} d3 p = h~x|~x 0 i = δ 3 (~x − ~x 0 ) 3 } | (2π~) 0
(3.3.14)
≡h~ x|~ p i ≡h~ p |~ xi
Zustand |ψi aus Impulswellenfunktion: ˆ ˆ 1 1 3 ϕ(~ p )|~ pi d p = |~ p ih~ p |ψi d3 p |ψi = (2π~)3 (2π~)3
(3.3.15)
Wir k¨onnen also kontinuierliche, vollst¨andige Orthonormalsysteme folgendermaßen spezifizieren: ˆ b(ε)|εi |βi = dε mit b(ε) = hε|βi und hε0 |εi = N δ(ε − ε0 ) (3.3.16) N Obige Rechnung f¨ ur |~ p i ergibt sich dann als Verallgemeinerung auf drei Dimensionen. Anmerkung: In Systemen mit gebundenen und ungebundenen Zust¨anden haben die vollst¨andigen Orthonormalsysteme sowohl abz¨ ahlbare, als auch kontinuierliche Anteile. Die Definition der Basis wird von manchen Autoren so vorgenommen, dass stets N = 1 ist. Wir halten es hier f¨ ur n¨ utzlicher, uns die Freiheit zu nehmen, N von Fall zu Fall festzulegen. Zusammenfassung Ortswellenfunktion, Impulswellenfunktion und auch die Entwicklungskoeffizienten in abz¨ahlbaren Basen sind verschiedene Darstellungen eines abstrakten Zustands |ψi: ˆ kontinuψ(~x) = h~x|ψi ←→ |ψi = ψ(~x)|~xi d3 x • Ortswellenfunktion: ˆ ierliche 1 3 Basen • Impulswellenfunktion: ϕ(~ p ) = h~ p |ψi ←→ |ψi = ϕ(~ p )|~ p i d p (2π~)3 • Entwicklungskoeffizienten: cn = hn|ψi abz¨ahlbare X X ←→ |ψi = cn |ni = |nihn|ψi = |ψi Basen n
n
3.4 Lineare Operatoren Definition: Operator A : DA −→ WA
mit
DA , WA ∈ H
A : |αi 7−→ |βi
DA : Definitionsbereich DW : Wertebereich
35
Definition: Linearer Operator: A(c1 |α1 i + c2 |α2 i) = c1 A|α1 i + c2 A|α2 i
∀ |α1,2 i ∈ DA , c1,2 ∈ C
(3.4.1)
Die f¨ ur die Quantenmechanik relevanten Operatoren sind linear. Definition: Gilt an |ni = A|ni, dann ist |ni ein Eigenvektor (Eigenzustand) von A und an ist der zugeh¨ orige Eigenwert. Definition: Der zu A adjungierte Operator A† hat die Eigenschaft: hψ|Aϕi = hA† ψ|ϕi
f¨ ur |ψi, |ϕi beliebig.
(3.4.2)
Bemerkungen: • hψ|ABϕi = h(AB)† ψ|ϕi = hA† ψ|Bϕi = hB † A† ψ|ϕi
⇒ (AB)† = B † A†
• hψ|Aϕi = hA† ψ|ϕi = hϕ|A† ψi∗ = h(A† )† ϕ|ψi∗ = hψ|(A† )† ϕi
⇒
(A† )† = A
(3.4.3) (3.4.4)
Schreibweise: hψ|A|ϕi := hψ|Aϕi = hA† ψ|ϕi Definition: A heißt hermitesch oder selbstadjungiert, wenn A† = A. Beispiele: Der Ortsoperator ist hermitesch, denn ˆ ˆ ∗ 3 hψ|~xϕi = ψ (~x)~xϕ(~x) d x = ~xψ ∗ (~x)ϕ(~x) d3 x = h~xψ|ϕi Der Impulsoperator ist hermitesch, denn ∗ ˆ ˆ ~~ ~~ ∗ h~ p ψ|ϕi = ∇ψ(~x) ϕ(~x) d3 x = − ∇ψ (~x) ϕ(~x) d3 x i i ˆ ~~ = ψ ∗ (~x) ∇ϕ(~ x) d3 x = hψ|~ p ϕi P.I. i
(3.4.5)
(3.4.6)
Mit obiger Bemerkung folgt sofort: Der Hamiltonoperator ist hermitesch. In den folgenden allgemeinen Diskussionen verwenden wir abz¨ahlbare Basissysteme. Die Resultate lassen sich aber leicht auf kontinuierliche Basen u ¨bertragen. Ein hermitescher Operator A hat folgende wichtige Eigenschaften: (1) Die Erwartungswerte sind reell: hα|A|βi = hA† α|βi = hβ|A† αi∗ = hβ|A|αi∗
(3.4.7)
Mit |βi = |αi folgt die Behauptung. (2) Die Eigenwerte sind reell: α|αi = A|αi ⇒ αhα|αi = hα|A|αi
36
α=
hα|A|αi hα|αi
(3.4.8)
(3) Die Eigenzust¨ ande sind orthogonal: Sei an |ni = A|ni und nehme zun¨achst an, dass an − am 6= 0 f¨ ur m 6= n (keine Entartung) hm|A|ni = an hm|ni = hAm|ni = hn|A|mi∗ = a∗m hn|mi∗ = am hm|ni ⇒ (an − am )hm|ni = 0
an 6=am
⇒
hm|ni = 0
(3.4.9) (3.4.10)
Falls zu einem Eigenwert mehrere Eigenzust¨ande existieren (d.h. an 6= am f¨ ur mehrere n 6= m), so bilden wir ) hm|ni = Cmn → C ist hermitesch (C † = (C ∗ )t = C)4 (3.4.11) ∗ hn|mi = Cmn Aus der linearen Algebra ist bekannt: ∃ unit¨are Matrix U (d.h. U † U = 1), so dass CD = U † CU diagonal ist. h i X † † = CDmm δmn (3.4.12) Umr hr|siUsn = U CU mn
r,s
Definiere nun |m0 i =
X
|riUrm
hm0 | =
und
r
X
∗ hr|Urm =
r
X
† Umr hr|
(3.4.13)
r
Diese Eigenzust¨ ande (zu den gleichen entarteten Eigenwerten) sind damit orthogonal: X † hm0 |n0 i = Umr hr|siUsn = CDmm δmn (3.4.14) rs
(4) Die Eigenzust¨ ande sind vollst¨ andig, d.h. wir k¨onnen ein vollst¨andiges Orthonormalsystem bilden. (Es gelten die obigen Orthonormalit¨ats- und Vollst¨andigkeitsrelationen in ihren abz¨ahlbaren oder kontinuierlichen Varianten.) Wir f¨ uhren dieses wichtige Theorem ohne Beweis an und verweisen dazu auf die lineare Algebra. Die Tatsache, dass hermitesche Operatoren reelle Erwartungswerte haben, entspricht der Erfahrung, dass wir experimentell nur reelle Gr¨oßen messen. Nehmen wir wiederum an, dass A hermitesch ist und dr¨ ucken wir explizit den Erwartungswert durch die Eigenwerte an aus: X an |ni = A|ni |ψi = cn |ni cn = hn|ψi (3.4.15) n
hψ|A|ψi =
X
c∗n cm hn|A|mi =
nm
X
|cn |2 an hn|ni =
n
X
|cn |2 hn|A|ni
(3.4.16)
n
Weiterhin ergibt sich f¨ ur normierte Zust¨ande (hn|mi = δnm ): X hψ|A|ψi = |cn |2 an
(3.4.17)
n
X X hψ|nihn|ψi = hψ|1|ψi = hψ|ψi = |cn |2 = 1 n
(3.4.18)
n
Wir k¨onnen also |cn |2 als Wahrscheinlichkeit, das System im Zustand |ni zu finden, interpretieren. (Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dabei konsistenterweise gleich eins.) ¨ Diese Uberlegungen f¨ uhren zu drei weiteren Postulaten, n¨amlich: 4
(C ∗ )t ist die Transposition von C ∗
37
II. Messgr¨ oßen entsprechen hermiteschen Operatoren A III. Die Erwartungswerte sind durch hAi = hψ|A|ψi gegeben V. Bei Messung von an geht das System in |ni u ¨ber. (IV. postuliert die Schr¨ odingergleichung.)
Bemerkungen: • Punkt V. postuliert den Kollaps“ der Wellenfunktion durch einen Eingriff von außen (Mes” sung). Diese Wechselwirkung wird nicht wellenmechanisch beschrieben und es stellt sich die bereits erw¨ ahnte Frage nach der Trennung zwischen Quantensystem und dem klassischen Beobachter ( Demarkationsproblem“, vgl. 1.2.8). Wir fassen den Kollaps“ als eine ” ” mathematisch konsistente Weise auf, die experimentell gemessenen Wahrscheinlichkeiten theoretisch vorherzusagen. Auf die weitere Interpretation gehen wir zun¨achst nicht ein. • Praktisch wird hAi durch wiederholte Messungen durch Bildung des Mittelwertes bestimmt. Dabei ist das Quantensystem stets im gleichen Anfangszustand |ψi zu pr¨aparieren.
3.5 Bemerkungen zu Operatoren Dyadisches Produkt F¨ ur |α, βi ∈ H ist Dαβ = |αihβ| ein linearer Operator, ebenso Summen aus dyadischen Produkten. Beispiel: Ist |ni ein vollst¨ andiges Orthonormalsystem und X ein Operator, dann l¨asst dieser sich folgendermaßen darstellen: X X X = X1 = X|nihn| = |Xnihn| mit |Xni = X|ni (3.5.1) n
n
Inverser Operator Ist |βi = A|αi ∀ |α, βi dann ist A−1 mit A−1 |βi = |αi der inverse Operator zu A. hβ|βi = hβ|Aαi = hβ|AA−1 |βi ⇒ AA−1 = 1
(3.5.2)
hα|αi = hα|A−1 βi = hα|A−1 A|αi ⇒ A−1 A = 1
(3.5.3)
Unit¨ are Operatoren Wie in der linearen Algebra ist die definierende Eigenschaft U † U = U U † = 1 ⇔ U † = U −1
(3.5.4)
Verwendung in Basistransformationen: |ψ 0 i = U |ψi
(3.5.5)
A0 = U AU †
(3.5.6)
⇒ hAi = hψ|A|ψi = hψ 0 |A0 |ψ 0 i = hψ|U † U AU † U |ψi
(3.5.7)
Unit¨are Transformationen lassen die Observable invariant. Weiterhin erinnern wir daran, dass sich hermitesche Operatoren mittels unit¨ arer Transformation diagonalisieren lassen, was von großer praktischer Bedeutung ist.
38
Funktionen von Operatoren F¨ ur eine Funktion mit Potenzreihenentwicklung f (x) =
∞ X
an xn
(3.5.8)
n=0
l¨asst sich (sofern die Konvergenz gew¨ ahrleistet ist) die Funktion eines Operators A bilden als f (A) =
∞ X
an An
(3.5.9)
n=0
Transformationen zwischen Basissystemen Sei A hermitesch und {|ni} die Menge der normierten Eigenzust¨ande mit an |ni = A|ni und hn|mi = δnm . Entsprechend sei {|n0 i} ein Basissystem zu hermiteschem A0 . Aufgrund der Vollst¨ andigkeit k¨ onnen wir entwickeln: X X |ψi = cn |ni = dn0 |n0 i (3.5.10) n0
n
und außerdem |n0 i =
X
Un0 m |mi
(3.5.11)
m
Aus der linearen Algebra wissen wir, dass U unit¨ar ist, was wir hier noch einmal explizit zeigen: X † 0 hr|n0 i = Un0 m hr|mi = Un0 r ⇒ Urn (3.5.12) 0 = hn |ri | {z } m =δrm
Damit: X
† Um0 r Urn 0 =
X hn0 |rihr|m0 i = hn0 |1|m0 i = 1n0 m0 r
r
↑ Vollst¨ andigkeit
F¨ ur die Entwicklungskoeffizienten gelten damit die folgenden Transformationen: X X X † dn0 = hn0 |ψi = hn0 | dm0 |m0 i = hn0 | cr |ri = cr Urn 0 m0
cn = hn|ψi = hn|
X
r
cm |mi = hn|
X s0
n
ds0 |s0 i =
(3.5.13)
(3.5.14)
r
X
ds0 Us0 n
(3.5.15)
s0
3.6 Zeitentwicklung Wir gehen hier nochmals auf die Schr¨ odingergleichung (Postulat IV), nun im Rahmen des DiracFormalismus ein: ∂ (3.6.1) i~ |ψ, ti = H|ψ, ti ∂t F¨ ur zeitunabh¨ angige H ergibt sich die formale L¨osung: i
|ψ, ti = e− ~ H(t−t0 ) |ψ, t0 i ≡ U (t, t0 )|ψ, t0 i
(3.6.2)
(F¨ ur zeitabh¨ angige H muss insbesondere ber¨ ucksichtigt werden, dass i.A. [H(t), H(t0 )] 6= 0 f¨ ur 0 t 6= t .)
39
Wir sehen (aus der Potenzreihe des Exponentials), dass i
U † (t, t0 ) = e ~ H(t−t0 ) = U −1 (t, t0 )
(3.6.3)
U ist also unit¨ ar, was so sein sollte aufgrund der Wahrscheinlichkeitserhaltung: hψ, t|ψ, ti = hψ, t0 |U † (t, t0 )U (t, t0 )|ψ, t0 i = hψ, t0 |ψ, t0 i
(3.6.4)
|ψiH = U † (t, t0 )|ψ, ti ≡ |ψ, t0 i −→ zeitunabh¨angig
(3.6.5)
AH (t) = U † (t, t0 )AU (t, t0 ) −→ zeitabh¨angig
(3.6.6)
Heisenbergzustand:
Heisenbergoperator: Es folgt die Heisenberggleichung: i d i i d AH (t) = e ~ H(t−t0 ) Ae− ~ H(t−t0 ) = [H, AH (t)] dt dt ~
(3.6.7)
Dies gilt f¨ ur ein zeitunabh¨ angiges A. Die Erwartungswerte sind unabh¨ angig vom gew¨ahlten Bild: hAi = hψ, t|A|ψ, ti =H hψ|AH |ψiH = hψ, t|U (t, t0 )U † (t, t0 )AU (t, t0 )U † (t, t0 )|ψ, ti
(3.6.8)
Fazit: Die Zeitentwicklung ist unit¨ ar. Es existiert neben (dem in dieser Vorlesung verwendeten) Schr¨odingerbild das a quivalente Heisenbergbild. ¨ Sofern im Schr¨ odingerbild f¨ ur ein bestimmtes System die Operatoren zeitunabh¨angig sind, sind die Zust¨ande zeitabh¨ angig. Dies ist dann umgekehrt im Heisenbergbild: dort sind die Zust¨ ande zeitunabh¨angig und die Operatoren zeitabh¨angig. ¨ Wir fassen nun unsere Uberlegungen und Entwicklungen zusammen.
3.7 Postulate der Quantenmechanik I. Der quantenmechanische Zustand eines Systems wird durch einen Zustandsvektor in einem Hilbertraum H beschrieben. II. Physikalische Messgr¨ oßen entsprechen hermiteschen Operatoren A. III. Erwartungswerte von A sind gegeben durch hAi = hψ|A|ψi und beschreiben den Mittelwert vieler Messungen vom jeweils gleich pr¨aparierten Zustand |ψi. IV. Die Zeitentwicklung des Zustands ist gegeben durch die Schr¨odingergleichung i~
∂ |ψ, ti = H|ψ, ti ∂t
(3.7.1)
V. Wird bei einer Messung der Eigenwert an festgestellt (an |ni = A|ni), dann geht die Wellenfunktion in |ni u ¨ber.
40
3.8 Unsch¨ arferelation Als erste Anwendung des Formalismus verschaffen wir uns die allgemeine Fassung der Heisenberg’schen Unsch¨ arferelation. Seien zwei hermitesche Operatoren H1,2 und ein Zustand |ψi gegeben, definiere: δHi = Hi − hHi i = Hi − hψ|Hi |ψi
(3.8.1)
Schwarz’sche Ungleichung hδH1 ψ|δH1 ψihδH2 ψ|δH2 ψi ≥ |hδH1 ψ|δH2 ψi|2 ⇒
hψ|δH12 |ψihψ|δH22 |ψi
(3.8.2) 2
≥ |hψ|δH1 δH2 |ψi|
(3.8.3)
1 1 {δH1 , δH2 } + [δH1 , δH2 ] 2 2 wobei {A, B} = AB + BA der Antikommutator ist. Bemerke:
(3.8.4)
δH1 δH2 =
{δH1 , δH2 }† = {δH1 , δH2 }
⇒ hermitesch
(3.8.5)
⇒
antihermitesch
(3.8.6)
1 1 hψ|{δH1 , δH2 }|ψi2 + | hψ|[δH1 , δH2 ]|ψi |2 {z } 4 | {z } 4|
(3.8.7)
[δH1 , δH2 ]† = −[δH2 , δH1 ] |hψ|δH1 δH2 |ψi|2 =
imagin¨ ar
reell
Mit [δH1 , δH2 ] = [H1 , H2 ] folgt: 1 |hψ|δH1 δH2 |ψi|2 ≥ |hψ|[H1 , H2 ]|ψi|2 4
(3.8.8)
(∆Hi )2 = hψ|(Hi − hHi i)2 |ψi = hψ|δHi2 |ψi
(3.8.9)
Schwankungsquadrat: Die Kombination der beiden Ungleichungen ergibt die allgemeine Form der Heisenbergschen Unsch¨arferelation ∆H1 ∆H2 ≥
1 |h[H1 , H2 ]i| 2
allgemeine Form Heisenberg’schen Unsch¨ arferelation
(3.8.10)
der
¨ Uberpr¨ ufung des bekannten Spezialfalls (Orts-Impulsunsch¨arfe): H1 = xi ,
H2 = p j , ⇒ ∆xi ∆pj ≥
[xi , pj ] = i~δij ~ δij 2
(3.8.11) (3.8.12)
3.9 Korrespondenzprinzip und Ehrenfest’sches Theorem • Quanteneffekte sind eine Konsequenz der Existenz des Wirkungsquantums ~ • Ist die Wirkung eines Prozesses ~ (oder umgekehrt im Grenzfall ~ → 0), sollte die Newton’sche Mechanik als Grenzfall hervorgehen. Die Quantenmechanik beansprucht also, die fundamentale Theorie zu sein.
41
Fragestellung: Wie k¨ onnen wir den klassischen Observablen ihre korrespondierenden (hermiteschen) quantenmechanischen Operatoren zuordnen? Korrespondenzprinzip Ausgehend von p~ =
~~ ∇ haben wir in Kapitel 1 bereits eine Korrespondenzregel verwendet: i
• Klassisch: E=
p2 + V (x) 2m
(3.9.1)
• Quantenmechanisch: i~
~2 ~ ∂ |ψ, ti = − ∇ + V (x) |ψ, ti ∂t 2m
(3.9.2)
Die zugrundeliegende Regel lautet also: • Ersetze die klassische Gleichung durch die Gleichung mit Differentialoperatoren, welche auf die Wellenfunktion wirken. • Ersetze die klassische Funktion5 A(qi , pi , t) durch den Operator A qi , ~i ∂q∂ i , t . ∂ . ∂t Daneben gibt es eine allgemeinere Korrespondenzregel mit Poissonklammern. • Ersetze E durch i~
Bewegungsgleichung in generalisierten Koordinaten:
mit der Poisson-Klammer:
∂A d A(qi , pi , t) = {A, H} + dt ∂t
(3.9.3)
X ∂f ∂g ∂f ∂g {f, g} = − ∂qi ∂pi ∂pi ∂qi
(3.9.4)
i
Fundamentale Poisson-Klammern sind: {qi , pj } = δij
und
{qi , qj } = {pi , pj } = 0
(3.9.5)
p˙j = {pj , H}
(3.9.6)
Aus der Bewegungsgleichung folgt: q˙j = {qj , H}
und
Es sollen nun A, B, C auf der einen Seite klassische Funktionen der generalisierten Koordinaten und Impulse sein, auf der anderen Seite quantenmechanische Operatoren. Es gilt die folgende Zuordnungsregel: klassisch
quantenmechanisch
{A, B} = C
{A, B}QM = C
(3.9.7)
Die Vorschrift {A, B}QM kann nicht gleich der klassischen Poissonklammer sein. Stattdessen ergibt sich die Korrespondenz mit {A, B}QM = − ~i [A, B], also {A, B} = C 5
←→
[A, B] = i~C
qi : generalisierte Ortskoordinate, pi : kanonisch konjugierter Impuls
42
(3.9.8)
¨ Uberpr¨ ufe die Regel anhand der fundamentalen Poisson-Klammer: {xi , pj } = δij
←→
[xi , pj ] = i~δij
(3.9.9)
Bemerkung: In der Tat k¨ onnte man von der klassischen Lagrangefunktion ausgehen und aufgrund der Poisson-Klammer den Kommutator fordern. Mit der bekannten Form ~x f¨ ur den Orts~ Dieses Verfahren nennt man kanonische Quantisieoperator f¨ uhrt dies automatisch zu p~ = ~i ∇. rung. In verallgemeinerter Form ist es in der Quantenfeldtheorie von grundlegender Bedeutung. Zur genaueren Charakterisierung der aus der Korrespondenz folgenden Bewegungsgleichungen dient das
43
Ehrenfest’sche Theorem: Benutze dazu die Schr¨ odingerleichung und deren hermitesche Konjugation: i~
∂ |ψ, ti = H|ψ, ti ∂t
− i~
∂ hψ, t| = Hhψ, t| ∂t
Mit hAi = hψ, t|A|ψ, ti folgt d ∂ ∂ ∂ hAi = hψ, t| A|ψ, ti + hψ, t| A |ψ, ti + hψ, t|A |ψ, ti dt ∂t ∂t ∂t
(3.9.10)
(3.9.11)
und wir erhalten
d i hAi = h[H, A]i + dt ~
∂A ∂t
(3.9.12)
Ehrenfest’sches Theorem (vgl. obige klassische Gleichung f¨ ur A)
Beispiel: Anwendung auf ~x und p~ Benutze aus 1.2.7 die Kommutatoren [H, xi ] = −
~2 ~ 2 ~2 ~ 2 ~2 ~ ~ ∇ xi + xi ∇ =− ∇ pi i = −i 2m 2m m m
~~ ~~ ∂V (~x) [H, pi ] = V (~x) ∇ x) = i~ i − ∇i V (~ i i ∂xi
(3.9.13) (3.9.14)
Damit folgt: d 1 d ~ (~x)i h~xi = h~ p i und h~ p i = −h∇V dt m dt Die Kombination dieser zwei Gleichungen liefert: m
d2 ~ (~x)i h~xi = −h∇V | {z } dt2
(3.9.15)
(3.9.16)
Kraft
Die klassischen Gleichungen gelten also f¨ ur die Mittelwerte. Allerdings: h~xi und h~ p i folgen nicht ~ ~ den klassischen Trajektorien, da i.A. −∇V (~x) 6= −h∇V (~x)i. Die klassische N¨ aherung ist umso besser g¨ ultig, je genauer das Wellenpaket lokalisiert ist − vergleiche dazu die Absch¨ atzungen in Abschnitt 1.2.5.
44
4 Der harmonische Oszillator Betrachte
mω 2 2 x (4.0.17) 2 Zum Vergleich mit der Quantenmechanik notieren wir die klassische Bewegungsgleichung V (x) =
m¨ x=−
∂ V (x) = −mω 2 x ∂x
⇒ x(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)
(4.0.18) (4.0.19)
Die Hamiltonfunktion ist gegeben durch H=
mω 2 2 p2 + x 2m 2
(4.0.20)
F¨ ur die Gesamtenergie gilt damit 1 mω 2 2 mω 2 E = mx˙ 2 + x = (−A sin(ωt) + B cos(ωt))2 + (A cos(ωt) + B sin(ωt))2 2 2 2 mω 2 2 (A + B 2 ) (4.0.21) = 2 Der harmonische Oszillator beschreibt in realen Systemen z.B. • Schwingungszust¨ ande von Molek¨ ulen • Optische Phononen • Die elementaren freien Anregungen in der relativistischen Quantenmechanik (−→ Quantenfeldtheorie) als Ausgangspunkt f¨ ur st¨orungstheoretische Rechnungen in wechselwirkenden Systemen. Der Quantenmechanische Hamiltonoperator lautet H=
p2 mω 2 2 + x 2m 2
Womit f¨ ur die Schr¨ odingergleichung Hψ = Eψ folgt mω 2 2 ~2 d2 − + x ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2 2
(4.0.22)
(4.0.23)
Wir bestimmen die L¨ osungen zun¨ achst analytisch“ nach den Rezepten aus Abschnitt 2.3. Ba” sierend auf dem Kapitel zum Formalismus der Quantenmechanik pr¨asentieren wir dazu als erstes Beispiel die abstraktere und elegantere algebraische“ Methode. ”
4.1 Analytische Methode Definiere die dimensionslosen Variablen: 2E ε= ~ω ⇒
r y=
mω x x= ~ x0
d2 ψ(y) + (ε − y 2 )ψ(y) = 0 dy 2
45
(4.1.1) (4.1.2)
Wir betrachten das asymptotischen Verhalten f¨ ur |y| → ∞: ψ(y) ∼ e−
y2 2
(4.1.3)
Diese N¨aherung l¨ ost die Gleichung bis auf relative Korrekturen
1 . y2
Benutzte als Ansatz:
y2
dψ = dy
ψ(y) = h(y)e− 2 2 y2 d2 ψ d h dh − 2 2 = − 2y + y h − h e dy 2 dy 2 dy
y2 dh − yh e− 2 dy
d2 h dh − 2y + (ε − 1)h = 0 2 dy dy
⇒
(4.1.4) (4.1.5) (4.1.6)
Wir machen f¨ ur h den Potenzreihenansatz h(y) =
∞ X
am y m
(4.1.7)
m=0
Das Einsetzen in die Differentialgleichung f¨ ur h liefert ∞ X
am m(m − 1)y
m−2
m=2
⇒
−2
∞ X
m
am my +
m=1 ∞ X
m
am+2 (m + 1)(m + 2)y −
m=0
∞ X
(ε − 1)am y m = 0
(4.1.8)
m=0 ∞ X
(2m − ε + 1)am y m = 0
(4.1.9)
m=0
Da dies f¨ ur beliebiges y gelten soll, ergibt der Koeffizientenvergleich: (m + 1)(m + 2)am+2 = (2m − ε + 1)am
(4.1.10)
F¨ ur gegebenes a0 erhalte a2 , a4 , a6 , ... F¨ ur gegebenes a1 erhalte a3 , a5 , a7 , ...
(gerade Parit¨at) (ungerade Parit¨at) ´∞ Aus der Normierbarkeit der Wellenfunktion −∞ |ψ(x)|2 dx = 1 folgt, dass die Potenzreihe f¨ ur ein endliches m = n abbrechen muss. Andernfalls gilt f¨ ur große m: am+2 2 ≈ −→ h(y) ≈ ... + am y m + am+2 y m+2 + am+4 y m+4 + ... am m 2 m+2 4 m m+4 ≈ ... + am y + y + y + ... m m(m + 2)
(4.1.11)
Vergleiche mit: e
y2
=
∞ X (y 2 )ν ν=0
ν!
y 2(ν−1) y 2ν y 2(ν+1) + + + ... (ν − 1)! ν! ν!(ν + 1) 1 1 2 m+2 m = 1 + ... + y + y + ... (ν − 1)! y 2 m ↑
= 1 + ... +
(4.1.12)
m ν= 2
W¨ urde die Reihe nicht abbrechen, so h¨atte h(y) also die folgende Form und ψ w¨are nicht normierbar 1 y2 1 y2 − y2 ⇒ ψ(y) ∼ 2 e e 2 → ∞ h(y) ∼ e (4.1.13) y |y|→∞ y 2
46
Wir haben hier ein gerades m angenommen, aber ein entsprechendes Argument kann auch f¨ ur den ungeraden Fall gegeben werden. Damit die Reihe abbricht, muss es also ein ganzzahliges n > 0 geben, so dass gilt: 2n − ε + 1 = 0
1 E ≡ En = ~ω n + 2
⇔
n = 0, 1, 2, ...
ε = 2n + 1
(4.1.14)
Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators
(4.1.15)
Konstruiere h(y) mit Hilfe der Rekursionsrelation und bezeichne die Polynome entsprechend des h¨ochsten Koeffizienten an mit Hn (y) (Hermite-Polynome). (m + 1)(m + 2)am+2 = (2m −ε + 1)am | {z }
(4.1.16)
−2n
z.B.
n = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ H0 (y) = 1 n = 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ H1 (y) = 2y n = 2 −→ a0 = −2 ⇒ a2 =
0−2·2 1·2 a0
n = 3 → a1 = −12 ⇒ a3 =
2·1−2·3 2·3 a1
= 4 ⇒ H2 (y) = 4y 2 − 2 = 8 ⇒ H3 (y) = 8y 3 − 12y H4 (y) = 16y 4 − 48y 2 + 12 H5 (y) = 32y 5 − 160y 3 + 120y ...
Offenbar sind die Hermite-Polynome eine L¨osung der Gleichung (4.1.6): d2 Hn (y) dHn (y) − 2y + 2nHn (y) = 0 dy 2 dy Normierung:
ˆ
∞
2
e−y Hn (y)Hm (y) dy =
mit √
n = 0, 1, 2, ...
π · 2n n!δnm
(4.1.17)
(4.1.18)
−∞
Da e−y Hn (y) eine Eigenfunktion von H (hermitesch) ist, hat dies die erwartete Form einer Orthogonalit¨atsrelation. Den expliziten Nachweis f¨ uhren wir mit der algebraischen Methode. Die normierte Wellenfunktion zum Eigenwert En ergibt sich damit zu e−
y2 2
ψn (x) = p Hn (y) √ 2n n! πx0
x y= x0
wobei
r mit
x0 =
~ mω
(4.1.19)
Zur graphischen Darstellung schreiben wir noch: V =
mω 2 2 ~ω 2 x = y 2 2
(4.1.20)
Bemerkungen: • Im klassischen Fall ist E = 0 m¨ oglich (A = B = 0) und die Energie kann kontinuierliche Werte annehmen.
47
• Hier jedoch gilt En = ~ω n + 12 , mit n = 0, 1, 2, ..., d.h. E ≥ ~ω 2 und diskret. • Die Wellenfunktion ist nicht verschwindend (und konkav zur y−Achse) im klassisch verboV tenen Bereich En < ~ω . Weitere Eigenschaften der L¨ osungen lassen sich einfacher mit der algebraischen Methode herleiten.
4.2 Algebraische Methode Definiere
Mit x0 =
ωmx + ip ωmx − ip hermitesche −−−−−−−→ a† = √ a= √ Konjugation 2ωm~ 2ωm~ r r ~ ~ωm ⇔ x= (a + a† ) p = −i (a − a† ) 2ωm 2 i [a, a] = [a† , a† ] = 0 [a, a† ] = [p, x] = 1 ~ q
~ mω
(4.2.1) (4.2.2) (4.2.3)
folgt f¨ ur die Operatoren a und a† 1 a= √ 2
d x + x0 x0 dx
1 a =√ 2 †
d x − x0 x0 dx
(4.2.4)
Einsetzen in den Hamiltonoperator: H=
p2 mω 2 2 ~ω † 1 + x = (a a + aa† ) = ~ω a† a + [a, a† ] 2m 2 2 2
1 † H = ~ω a a + 2
(4.2.5)
Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators, ausgedru ¨ ckt durch Leiteroperatoren
(4.2.6)
Gesucht sind die Eigenwerte des Besetzungszahloperators n ˆ = a† a, mit der Eigenwertgleichung6 n|ni = n ˆ |ni Grundzustand: Mit nhn|ni = hn|ˆ n|ni = hn|a† a|ni = han|ani ≥ 0 ⇒ n ≥ 0
(4.2.7)
Insbesondere f¨ ur n = 0: han|ani = 0 ⇒ a|ni = 0
(4.2.8)
Man beachte in dieser Notation, dass der Nullvektor gemeint ist. Dieser ist verschieden von |n = 0i! 6
n: Eigenwert, |ni: Eigenzustand
48
Die Ortswellenfunktion l¨ asst sich darstellen durch ψn (~x) = h~x|ni ⇒ a|0i = 0
⇔
(4.2.9)
d x + dx x20
ψ0 (~x) = 0
(4.2.10)
Die normierte L¨ osung der Grundzustandswellenfunktion ergibt sich damit zu 1 1 − ψ0 (~x) = p√ e 2 πx0
x x0
2
(4.2.11)
Angeregte Zust¨ ande: Benutze: [AB, C] = ABC − CAB = A[B, C] + ACB + [A, C]B − ACB = A[B, C] + [A, C]B [a† a, a† ] = a† [a, a† ] + [a† , a† ]a = a†
(4.2.12)
[ˆ n, a† ] = a†
(4.2.13)
[a† a, a] = a† [a, a] + [a† , a]a = −a ⇔ [ˆ n, a] = −a ⇒ n ˆ a† |ni = a† n ˆ + [ˆ n, a† ] |ni = (n + 1)a† |ni
(4.2.14)
⇔
(4.2.15)
a† |ni ist also die Eigenfunktion von n ˆ zum Eigenwert n + 1. Normierung: ha† n|a† ni = hn|aa† |ni = hn|a† a + [a, a† ]|ni = (n + 1)hn|ni = n + 1 ⇒ |n + 1i = √ Durch Iteration erhalten wir:
1 a† |ni n+1
(4.2.16) (4.2.17)
1 |ni = √ (a† )n |0i n!
(4.2.18)
n ˆ a|ni = (aˆ n + [ˆ n, a]) |ni = a(n − 1)|ni
(4.2.19)
Wir betrachten nun a|ni ist also die Eigenfunktion von n ˆ zum Eigenwert n − 1. Normierung: han|ani = hn|a† a|ni = nhn|ni = n 1 ⇒ |n − 1i = √ a|ni n
(4.2.20) (4.2.21)
Behauptung: Mit n = 0, 1, 2, ... sind alle Eigenfunktionen gefunden. Beweis durch Widerspruch: Angenommen, es g¨ abe Eigenwerte ν = n + α mit n = 0, 1, 2, ... und 0 < α < 1: n ˆ |νi = (n + α)|νi ⇒n ˆ an |νi = αan |νi n ˆ an+1 |νi = α(α − 1)an+1 |νi
(4.2.22)
Dies steht im Widerspruch zur Positivit¨at der Eigenwerte. Die Operatoren a† , a werden auch Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren oder Leiteroperatoren genannt.
49
Energieeigenfunktionen: 1 2 1 ψn (x) = p √ (a† )n e− 2 y n! πx0
1 a =√ 2
x y= x0
†
d y− dy
(4.2.23)
Der Vergleich mit obigem Resultat e−
y2 2
ψn (x) = p Hn (y) √ 2n n! πx0
(4.2.24)
liefert f¨ ur die Hermite-Polynome y2 e2
√
n
y2 e− 2
y2 e2
d y− dy
n
y2
2a = e− 2 n y2 d n y2 −y2 2 d 2 2 = (−1)n ey = ey e− 2 y − e2 e e−y dy dy n | {z }
Hn (y) =
†
(4.2.25)
dn =(−1)n dy n
Aufgrund der Normierung der Wellenfunktion ist: ˆ ∞ ˆ ∞ 1 2 ψn (x)ψm (x) dx = √ e−y Hn (y)Hm (y) dy = δnm n m 2 2 n!m!π −∞ −∞
(4.2.26)
Damit folgt unmittelbar obige Orthogonalit¨atsrelation f¨ ur die Hermite-Polynome.
4.3 Diskussion Schwankungsquadrate: 1 hxi = hn|x|ni = x0 hn| √ (a + a† )|ni = 0 2
(4.3.1)
1 x20 † 2 2 †2 † (∆x) = hx i = hn|x |ni = hn|a + a + |{z} aa +a a|ni = x0 n + 2 2 † 2
2
2
(4.3.2)
=n+[a,a ]=n+1
hpi = 0 ~2 ~2 hn|aa† + a† a|ni = 2 2 2x0 x0 1 ⇒ ∆x∆p = ~ n + 2
(∆p)2 = hp2 i =
(4.3.3) n+
1 2
(4.3.4) (4.3.5)
Die Heisenberg’sche Unsch¨ arferelation ist genau im Grundzustand n = 0 saturiert. Vergleich mit klassischem Oszillator: x = A cos(ωt) E=
mω 2 2 wie oben mit B = 0 A 2
50
(4.3.6)
Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit durch Mittelung u ¨ber eine Periodendauer T = P (x)|dx| = 2
|dt| T
2π : ω (4.3.7)
r p x2 dx = −Aω sin(ωt) dt = −Aω 1 − cos2 (ωt)dt = −Aω 1 − 2 dt A r 1 mω 2 1 1 1 s q q P (x) = = q = 2 2 2 2E E x x2 x0 2 ~ω πA 1 − A π 1 − mω2Ex 2 π 1 − 21 2 E x0 ~ω mω 2 2 ~ω x2 1 vgl. V (x) = En = ~ω n + x = 2 2 2 x20 √ x Klassisch verbotener Bereich f¨ ur > 2n + 1. x0
(4.3.8) (4.3.9)
(4.3.10)
4.4 Koh¨ arente Zust¨ ande Inwiefern k¨onnen wir den klassischen Grenzfall, d.h. die wohlbekannte Oszillationsbewegung erhalten (Korrespondenzprinzip)? Station¨are Zust¨ande sind ungeeignet, da hxi = 0 = const. ist. F¨ ur Eigenzust¨ ande des Vernichtungsoperators ist jedoch hxi = 6 0. a|αi = α|αi mit α ∈ C
(4.4.1)
Die |ni bilden ein vollst¨ andiges Orthonormalsystem. Man entwickle in diesen:
|αi = N
a†n |ni = √ |0i n!
(4.4.2)
1 αn hn|αi = √ h0|an |αi = √ h0|αi n! n!
(4.4.3)
∞ ∞ X X αn (αa† )n † √ |ni = N |0i = N eαa |0i n! n! n=0 n=0
51
(kein Energieeigenzustand!)
(4.4.4)
Normierung: hα|αi = N
2
∞ X |α|2n n=0
n!
2 |α|2
=N e
⇒ N =
|α|2 − 2 e
(4.4.5)
Zeitliche Entwicklung (vgl. Kapitel 3.6): i − ~ Ht
|α, ti = e
|αi =
∞ |α|2 X e− 2
αe−iωt √ n!
n=0
=
ωt e−i 2 |α(t)i
n
e−i
ωt 2 |ni
α(t) = αe−iωt = |α|e−iωt+iδ
mit
(4.4.6)
Dies ist ein koh¨ arenter Zustand“. ” Ortsmittelwert: x0 hxi = hα, t|x|α, ti = √ hα, t|a + a† |α, ti 2 √ x0 = √ (α(t) + α∗ (t))hα, t|α, ti = 2x0 |α| cos(ωt − δ) 2
(4.4.7)
Dies beschreibt eine Schwingung. Ortswellenfunktion und Aufenthaltswahrscheinlichkeit: Wir benutzen eine Folgerung aus der Baker-Campbell-Hausdorff Formel: 1
[[A, B], A] = [[A, B], B] = 0 ⇒ eA+B = eA eB e− 2 [A,B] 1 x d 1 x i † Wende dies an auf a = √ − x0 =√ − x0 p : dx 2 x0 2 x0 ~ †
eα(t)a = e
α(t) x i α(t) √ − √ x0 p 2 x0 ~ 2
=e
α(t) x α2 (t) i α(t) − ~ √ x0 p √ x 2 e 2 0e 4
(4.4.8)
(4.4.9)
p erzeugt eine Translation: i
d
e ~ ∆xp f (x) = e∆x dx f (x) =
∞ X
∆xn
n=0
⇒ ψα (x, t) =
f (n) (x) = f (x + ∆x) n!
|α(t)|2 ωt † −i 2 − 2 e e eα(t)a ψ0 (x)
ωt 1 = p √ e−i 2 e− x0 π
1 =p √ x0 π
|α(t)|2 2
α2 (t)
e
4
(4.4.11) α(t) x 1 x2 i α(t) − √ x0 p √ x − 2 x2 0 e ~ 2 e 2 0e
2 α(t) x− √ x0 2 α(t) x 1 |α(t)|2 ωt 1 2 −i 2 − 2 − 4 α2 (t) √2 x0 − 2 x 0 e e e e e − 2
2
(4.4.10)
ωt α (t)−|α(t)| 1 2 = p √ e−i 2 |e {z }e x0 π 2 2
√ 1 (x− 2α(t)x0 )2 2x20 ↑ +2Im[a2 ]
(4.4.12)
(4.4.13)
(4.4.14)
|...| →−2Im[a ] a2 +a∗2 =2Re[a2 ]−2Im[a2 ] √
√
1 1 − 2 (x−x0 2Re[α(t)])2 − 2 (x− 2x0 |α| cos(ωt−δ))2 1 1 |ψα (x, t)| = √ e x0 = √ e x0 (4.4.15) x0 π x0 π Die √ Wellenfunktion hat die Gestalt eines Gauß’schen Wellenpakets mit dem Mittelwert 2x0 |α| cos(ωt − δ). Das Korrespondenzprinzip bew¨ahrt sich also auch in diesem Fall. 2
52
5 Drehimpuls 5.1 Gemeinsame Eigenzust¨ ande von kommutierenden Operatoren Wir erwarten, dass sich im rotationssymmetrischen Potential Drehimpulseigenzust¨ande finden lassen. Zur genaueren Begr¨ undung verschaffen wir uns zun¨achst einige allgemeine Aussagen u ¨ber ~ anwenden kommutierende hermitesche Operatoren, die wir dann auf H und den Drehimpuls L (sofern diese kommutieren). Wir nehmen zun¨ achst an: A, B seien hermitesch. Satz 1:
⇒
[A, B] = 0
A und B haben ein gemeinsames System an Eigenzust¨anden.
Beweis: (i) Sei |ψi ein nicht entarteter Eigenzustand von A: AB|ψi = BA|ψi ⇔ A(B|ψi) = a(B|ψi)
A|ψi = a|ψi
(5.1.1)
Da |ψi der einzige Eigenzustand von A zum Eigenwert a ist, folgt B|ψi ist proportional zu |ψi. Der Proportionalit¨ atsfaktor b ist der Eigenwert zu B: B|ψi = b|ψi
(5.1.2)
(ii) Der Eigenwert a sei m−fach entartet: A|ψj i = a|ψj i
f¨ ur
j = 1, ...,m
wobei
hψi |ψk i = δik
(siehe Kapitel 3.4)
AB|ψj i =BA|ψj i ⇔ A(B|ψj i) = a(B|ψj i)
(5.1.3) (5.1.4)
Aus dieser Gleichung folgt, dass B|ψj i Eigenzustand von A zum Eigenwert a ist, d.h. eine Linearkombination der |ψk i, wobei k = 1, ..., m ist: X ∗ (5.1.5) B|ψj i = Cjk |ψk i mit Cjk = hψk |B|ψj i = Ckj k
Das letzte Gleichheitszeichen ist dabei eine Konsequenz der Hermitizit¨at von B, aus welcher folgt, dass die Matrix C selbst hermitesch ist. Es gibt also eine unit¨are Transformation U , so dass U † CU = CD , wobei CD diagonal ist. ⇒ CU = U CD
da U U † = 1
Der k−te Spaltenvektor von U ist also Eigenvektor von C zum Eigenwert CDkk . X † X ∗ Urj Cjk = [Ckj Ujr ]∗ = [CDrr Ukr ]∗ = CDrr Ukr j
⇒
X
∗ Ujr B|ψj i =
j
X
(5.1.6)
(5.1.7)
j
X
∗ Ujr Cjk |ψk i =
k,j
X
∗ CDrr Ukr |ψk i
(5.1.8)
k
∗ Ujr |ψj i sind damit Eigenfunktionen von A (Eigenwert a) und B (Eigenwert CDrr ).
j
Satz 2: Ist |ni (n = 1, 2, 3, ...) ein vollst¨andiger Satz von Zust¨anden zu A und B mit Eigenwerten an bzw. bn . Dann kommutieren A und B. Beweis: [A, B]|ni = (AB − BA)|ni = (an bn − bn an )|ni = 0 X F¨ ur |ψi = cn |ni beliebig ⇒ [A, B]|ψi = 0 ⇒ [A, B] = 0 n
53
(5.1.9)
Definition 1: Ein vollst¨ andiges System von Eigenfunktionen von A heißt Basis von A. Definition 2: Die Menge der hermiteschen Operatoren A, B, ..., M heißt vollst¨ andiger Satz von Operatoren, wenn diese untereinander kommutieren und das gemeinsame System von Eigenzust¨anden nicht mehr entartet ist. Die Eigenzust¨ande |a, b, ..., mi sind somit eindeutig durch die zugeh¨origen Eigenwerte a, b, ..., m charakterisiert. Satz 3: Ist O = o(A, B, ...) eine Funktion der Operatoren A, B, ... eines vollst¨andigen Satzes, dann ist die Basis dieses vollst¨ andigen Satzes auch die Basis von O. Beweis: O|a, b, ...i = o(A, B, ...)|a, b, ...i = o(a, b, ...)|a, b, ...i
(5.1.10)
Satz 4: Kommutiert ein Operator O mit einem vollst¨andigen Satz von Operatoren, dann ist O Funktion dieser Operatoren. Beweis: Wir schreiben wieder O|a, b, ...i = o(a, b, ...)|a, b, ...i
⇒
O = o(A, B, ...)
(5.1.11)
Praktisch bedeutet dies, dass sofern A, B, ... untereinander kommutieren, die entsprechenden Observablen simultan messbar sind. Mathematisch ist dies die Konsequenz der Tatsache, dass sich Operatoren simultan diagonalisieren lassen.
5.2 Definition des Drehimpuls Klassisch:
~ = ~x×~ L p
Korrespondenz-
−−−−−−−−−−→ prinzip
Quantenmechanisch:
~ = ~x × p~ = ~ ~x × ∇ ~ (5.2.1) L i
~ ist hermitesch, wegen L ~ † = (~x × p~ )† = −~ ~ L p × ~x = ~x × p~ = L
(5.2.2)
↑ [xi ,pj ]=i~δij
Es ist oft vorteilhaft, L in folgender Weise auszudr¨ ucken: Li = εijk xj pk
(5.2.3)
Dabei benutzen wir die Einstein’sche Summenkonvention: u ¨ber doppelte Indizes wird summiert. Das Levi-Civita-Symbol ist der vollst¨ andig antisymmetrische invariante Tensor in drei Dimensionen: ur (ijk) gerade Permutationen von (123) 1 f¨ −1 f¨ ur (ijk) ungerade Permutationen von (123) εijk = (5.2.4) 0 sonst Kreuzprodukt: (~a × ~b)i = εijk aj bk
(5.2.5)
N¨ utzlich sind oft die Summen εijk εimn = δjm δkn − δjn δkm
εijk εijn = 2δkn
εijk εijk = 6
(5.2.6)
welche sukzessive durch Ersetzung der Indizes und Anwendung der Summenkonvention folgen. Es gelten die grundlegenden Vertauschungsrelationen: [Li , Lj ] = i~εijk Lk
[Li , xj ] = i~εijk xk
54
[Li , pj ] = i~εijk pk
(5.2.7)
Nachrechnen: ~ εikj xk = i~εijk xk i [Li , pj ] = [εikl xk pl , pj ] = i~εijl pl = i~εijk pk
[Li , xj ] = [εikl xk pl , xj ] =
[Li , Lj ] = εikl xk pl εjmn xm pn − εjmn xm pn εikl xk pl = i~εjmk εikl xm pl − i~εjln εikl xk pn )x p − i~(δ δ − = i~(δjl δmi − δji δml δnkδ m l ni jk ji )xk pn
= i~(δim δjn − δin δjm )xm pn = i~εijk Lk xm pn xk pl = xm xk pn pl − i~δnk xm pl = xk pl xm pn − i~δnk xm pl + i~δml xk pn εijk Lk = εijk εkmn xm pn = εijk εmnk xm pn = (δim δjn − δin δjm )xm pn Die hier offensichtliche allgemeine Struktur werden wir noch begr¨ unden. Wir erinnern an: [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B
⇒ [A2 , C] = A[A, C] + [A, C]A ⇒ [C, A2 ] = −A[A, C] − [A, C]A = A[C, A] + [C, A]A
(5.2.8)
Somit folgt f¨ ur die obigen Kommutatoren: [Li , ~v 2 ] = [Li , vj vj ] = vj [Li , vj ] + [Li , vj ]vj = 2i~εijk vk vj = 0
(5.2.9)
~ L ~ 2] = 0 [L,
(5.2.10)
Insbesondere: p ~2 ~ mit H. Allerdings kommutieren die L1,2,3 nicht unFalls H = 2m + V (~x), kommutiert also L tereinander. Wir werden sehen, dass f¨ ur dreidimensionale, sph¨arische symmetrische Probleme ~ 2 } ein vollst¨ {H, Lz ≡ L3 , L andiger Satz von Operatoren ist. Die Wahl der z−Komponente ist ~ 2 bei gegebenem Enerdabei Konvention und wir sprechen von den Eigenwerten von Lz und L gieeigenwert als gute Quantenzahlen“ (d.h. solche, deren Erwartungswert eine verschwindende ” Fluktuation haben kann).
5.3 Algebraische Relationen und Spektrum ~2 Wir k¨onnen aus den Kommutatorrelationen bereits das Spektrum der Operatoren Lz und L bestimmen (L1,2,3 ≡ Lx,y,z ). Definiere dazu die Leiteroperatoren L± = Lx ± iLy
⇒
(L± )† = L∓
(5.3.1)
Es gelten dann die folgenden Kommutatorrelationen [Lz , L+ ] = ~L+
[Lz , L− ] = −~L−
[L+ , L− ] = 2~Lz
~ 2 , L± ] = 0 [L
(5.3.2)
Nachrechnen: [Lz , L± ] = [Lz , Lx ± iLy ] = i~Ly ± ~Lx = ±~L±
(5.3.3)
[L+ , L− ] = [Lx + iLy , Lx − iLy ] = −i[Lx , Ly ] + i[Ly , Lz ] = 2~Lz
(5.3.4)
Weiterhin ist n¨ utzlich:
~ 2 = 1 (L+ L− + L− L+ ) + L2z L 2
(5.3.5)
~ 2 − Lz (Lz ∓ ~) L± L∓ = L2x + L2y ∓ i[Lx , Ly ] = L2x + L2y ± ~Lz = L
(5.3.6)
55
~ 2 ist positiv definit, da L ~ 2 |ψi = hψ|L
3 X
hLi ψ|Li ψi
(5.3.7)
~ 2 |l, mi = ~2 l(l + 1)|l, mi L
(5.3.8)
Lz |l, mi = ~m|l, mi
(5.3.9)
i=1
Bezeichnung der Eigenwerte und -vektoren:
Betrachte nun L± |l, mi und bestimme die Eigenwerte: Lz L± |l, mi = L± Lz |l, mi ± ~L± |l, mi = ~(m ± 1)L± |l, mi ~ 2 |l, mi = ~2 l(l + 1)L± |l, mi ~ 2 L± |l, mi = L± L L
(5.3.10) (5.3.11)
L± erh¨oht/erniedrigt also den Eigenwert von Lz . Zur Bestimmung der Eigenfunktion ben¨otigen wir noch die Normierung: L± L∓ |l, mi = [~2 l(l + 1) − ~2 m(m ∓ 1)]|l, mi = ~2 (l ± m)(l ∓ m + 1)|l, mi ⇒ hl, m|L± L∓ |l, mi = ~2 (l ± m)(l ∓ m + 1) L± |l, mi |l, m ± 1i = p ~ (l ∓ m)(l ± m + 1)
(5.3.12) (5.3.13)
Leiteroperatoren der Drehimpulseigenzust¨ ande
(5.3.14)
F¨ ur positive Norm muss gelten: l(l + 1) − m(m ∓ 1) ≥ 0 m≥0
===⇒
l≥m
⇔
l(l + 1) ≥ m(m ∓ 1)
m l erzeugt, muss die Reihe abbrechen. mmin ≤ m ≤ mmax
mit
mmin = −l
und
mmax = l
(5.3.18)
Man muss durch Anwendung von L+ von mmin zu mmax kommen. mmax − mmin = 2l = 0, 1, 2, 3, ... l = 0, 1, 2, 3, ... und in beiden F¨allen:
(5.3.19)
1 3 5 l = , , , ... 2 2 2 m = −l, −l + 1, ....l − 1, l.
oder
F¨ ur den Bahndrehimpuls, den wir im Folgenden besprechen, ist nur der ganzzahlige Fall realisiert. Allerdings kann der intrinsische Drehimpuls (Spin) von Teilchen nichtganzzahlig sein. In diesen Vorlesungen werden wir noch den Fall Spin - 21 , welcher im Elektron realisiert ist, behandeln.
56
~ 2 , welche auch Eigenzust¨ande von Lz Die 2l + 1 Zust¨ ande zum Eigenwert ~2 l(l + 1) von L ~ d.h. sie gehen unter Anwendung einer sind, bilden einen invarianten Unterraum bez¨ uglich L, Operatorfunktion f (Li ) ineinander u ¨ber. Wir wollen noch folgende n¨ utzliche Relation beweisen: s (l ± m)! L∓ l∓m |l, mi = |l, ±li (2l)!(l ∓ m)! ~
(5.3.20)
Beweis durch vollst¨ andige Induktion mit m = ±(l − x), x = 0, 1, ..., 2l Behauptung: s
(2l)!x! |l, ±l ∓ xi = Lx∓ |l, ±li (2l − x)!
(5.3.21)
√ ~ 2l|l, ±l ∓ 1i = L∓ |l, ±li
(5.3.22)
~x Induktionsanfang (x = 1):
ist erf¨ ullt (vgl. obige Rekursionsformel). Induktionsschritt: Mit p L∓ |l, mi = ~ (l ± m)(l ∓ m + 1)|l, m ± 1i
(5.3.23)
folgt s ~x
(2l)!x! L∓ |l, ±l ∓ xi = ~x+1 (2l − x)!
s
(2l)!x! p (2l − x)(x + 1)|l, ±l ∓ (x + 1)i (2l − x)!
s
(2l)!(x + 1)! |l, ±l ∓ (x + 1)i = Lx+1 ∓ |l, ±li (2l − (x + 1))!
x+1
=~
(5.3.24)
Was zu beweisen war.
5.4 Bahndrehimpuls und Kugelfl¨ achenfunktionen Die Diskussion im vorhergehenden Abschnitt ist g¨ ultig f¨ ur allgemeine Operatoren, welche die grundlegenden Vertauschungsrelationen des Drehimpuls erf¨ ullen. W¨ahrend wir noch sehen werden, dass diese sich damit auch auf den Spin (intrinsischen Drehimpuls von Punktteilchen) anwenden ~ = lassen, werden wir zun¨ achst die expliziten Eigenfunktionen des Bahndrehimpulsoperators L ~x × p~ konstruieren. W¨ahle dazu die z−Achse als Polarachse und verwende die u ¨blichen Kugelkoordinaten: x = r sin(ϑ) cos(ϕ) y = r sin(ϑ) sin(ϕ)
(5.4.1)
z = r cos(ϑ) Zu l¨osen sind die Eigenwertgleichungen: 1 ~2 L Ylm (ϑ, ϕ) = l(l + 1)Ylm (ϑ, ϕ) ~2 1 Lz Ylm (ϑ, ϕ) = mYlm (ϑ, ϕ) ~
(5.4.2) (5.4.3)
57
Wir transformieren zun¨ achst in Kugelkoordinaten. Um die partiellen Ableitungen in diesen zu erhalten, notieren wir die Jacobi-Matrix.
sin(ϑ) cos(ϕ) r cos(ϑ) cos(ϕ) −r sin(ϑ) sin(ϕ) ∂(x, y, z) sin(ϑ) sin(ϕ) r cos(ϑ) sin(ϕ) r sin(ϑ) cos(ϕ) J= = ∂(r, ϑ, ϕ) cos(ϑ) −r sin(ϑ) 0
(5.4.4)
Der Zusammenhang zwischen den Ableitungen in den Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) und den kartesischen Koordinaten (x, y, z) lautet damit
∂ ∂ ∂ , , ∂r ∂ϑ ∂ϕ
=
∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z
J
⇒
∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z
=
∂ ∂ ∂ , , ∂r ∂ϑ ∂ϕ
J −1
(5.4.5)
~ Zur Berechnung des ∇−Operators ben¨otigen wir also die inverse Matrix:
sin(ϑ) cos(ϕ)
1 J −1 = r cos(ϑ) cos(ϕ) − 1r sin(ϕ) sin(ϑ)
sin(ϑ) sin(ϕ) 1 r
cos(ϑ)
cos(ϑ) sin(ϕ) − 1r sin(ϑ) 1 cos(ϕ) 0 r sin(ϑ)
(5.4.6)
Die partiellen Ableitungen in kartesischen Koordinaten sind durch die Spalten von J −1 gegeben. ~ Damit kann der ∇−Operator in Kugelkoordinaten transformiert werden. ∂ ∂ 1 ∂ 1 sin(ϕ) ∂ = sin(ϑ) cos(ϕ) + cos(ϑ) cos(ϕ) − ∂x ∂r r ∂ϑ r sin(ϑ) ∂ϕ ∂ ∂ 1 ∂ 1 cos(ϕ) ∂ = sin(ϑ) sin(ϕ) + cos(ϑ) sin(ϕ) + ∂y ∂r r ∂ϑ r sin(ϑ) ∂ϕ ∂ ∂ 1 ∂ = cos(ϑ) − sin(ϑ) ∂z ∂r r ∂ϑ
(5.4.7) (5.4.8) (5.4.9)
Drehung der Basisvektoren: ∂~ r
∂~ r
∂~ r
~er = ∂r r ∂~ ∂r
~eϑ = ∂ϑ ∂~ r ∂ϑ
∂ϕ ~eϕ = ∂~ r ∂ϕ
1. Spalte von J
2. Spalte von J
3. Spalte von J
sin(ϑ) cos(ϕ) ~er = sin(ϑ) sin(ϕ) cos(ϑ)
cos(ϑ) cos(ϕ) ~eϑ = cos(ϑ) sin(ϕ) − sin(ϑ)
− sin(ϕ) ~eϕ = cos(ϕ) 0
∂ ~ = (∇ ~ · ~er )~er + (∇ ~ · ~eϑ )~eϑ + (∇ ~ · ~eϕ )~eϕ = ~er · ∂ + ~eϑ ∂ + ~eϕ ∇ ∂r r ∂ϑ r sin(ϑ) ∂ϕ
58
(5.4.10)
Direktes Nachrechnen ergibt damit: ~ ∂ ∂ Lx = − sin(ϕ) − cos(ϕ) cot(ϑ) i ∂ϑ ∂ϕ ~ ∂ ∂ Ly = cos(ϕ) − sin(ϕ) cot(ϑ) i ∂ϑ ∂ϕ ~ ∂ i ∂ϕ 2 2 ~ L = −~
Lz =
(5.4.11)
(5.4.12) (5.4.13)
1 ∂ sin(ϑ) ∂ϑ
∂ 1 ∂2 sin(ϑ) + ∂ϑ sin2 (ϑ) ∂ϕ2
Da die Leiteroperatoren durch L± = Lx ± iLy definiert sind, folgt damit ∂ ∂ ±iϕ ± L± = ~e + i cot(ϑ) ∂ϑ ∂ϕ
(5.4.14)
(5.4.15)
Die zweite Eigenwertgleichung (5.4.3) h¨angt nicht von ϑ ab, und somit folgt: −i
∂ Ylm (ϑ, ϕ) = mYlm (ϑ, ϕ) ⇒ Ylm (ϑ, ϕ) = flm (ϑ)eimϕ ∂ϕ
(5.4.16)
Anstatt die erste Eigenwertgleichung (5.4.2) (2. Ordnung) zu l¨osen, betrachten wir den Fall m = ±l und l¨osen: L± Yl,±l (ϑ, ϕ) = 0 (5.4.17) ∂ ⇒ − l cot(ϑ) fl,±l (ϑ) = 0 ⇒ fl,±l (ϑ) = C sinl (ϑ) mit C = const. (5.4.18) ∂ϑ Diese Gleichung ist 1. Ordnung und aus ihrer L¨osung k¨onnen wir die u ¨brigen Eigenfunktionen mit Hilfe des Leiteroperators L− bestimmen. Normierung7 : ˆ
2π
ˆ
ˆ
π
2π
ˆ
1
2
C 2 sin2l (ϑ) d cos(ϑ) dϕ
|Yl,±l (ϑ, ϕ)| sin(ϑ) dϑ dϕ = 0
0
−1 ˆ 1
0
= 2πC 2
(1 − cos2 (ϑ))l d cos(ϑ) −1
= πC 2 · 4l+1 1 ⇒ Yl,±l (ϑ, ϕ) = l! Zur Berechnung des d cos(ϑ)−Integrals: ˆ 1 ˆ 2 l xl = (1 − z ) dz = −1
1 = xl−1 + 2l
ˆ
r
(l!)2 ! =1 (2l + 1)!
(2l + 1)! sinl (ϑ)e±ilϕ π · 4l+1 ˆ
1 2 l−1
(1 − z )
−1
dϑ
(5.4.20)
1
z 2 (1 − z 2 )l−1 dz
dz − −1
1
d (1 − z 2 )l dz −1 dz ˆ i1 1 1 1 h 2 l z(1 − z ) (1 − z 2 )l dz = xl−1 + − P.I 2l 2l −1 −1 7 d cos(ϑ)
(5.4.19)
z
= − sin(ϑ)
59
(5.4.21)
1 ⇒ xl 1 + = xl−1 2l
⇔
xl =
2l xl−1 2l + 1
(5.4.22)
mit x0 = 2 folgt: 2·22·1 2l 2(l − 1) 2(l − 2) · ... · ·2 2l + 1 2l − 1 2l − 3 5 3 22 l2 22 (l − 1)2 22 22 22 12 = · ... · ·2 (2l + 1)2l (2l − 1)(2l − 2) 5·4 3·2 2 · 4l (l!)2 = (2l + 1)!
xl =
Zur Erzeugung der Ylm zeigen wir zun¨achst folgendes: L± s iµϕ ds s i(µ±s)ϕ s±µ ∓µ e f (ϑ) = (∓1) e sin (ϑ) sin (ϑ) f (ϑ) ~ d(cos(ϑ))s
(5.4.23)
(5.4.24)
Beweis durch Induktion: Induktionsanfang (s = 1): 1 d iµϕ i(µ±1)ϕ L± e f (ϑ) = e ± − µ cot(ϑ) f (ϑ) ~ dϑ d cos(ϑ) i(µ±1)ϕ =e ∓ sin(ϑ) −µ f (ϑ) d(cos(ϑ)) sin(ϑ) d sin∓µ (ϑ) f (ϑ) = ∓ei(µ±1)ϕ sin1±µ (ϑ) d cos(ϑ)
(5.4.25)
wobei wir benutzt haben: d d = − sin(ϑ) dϑ d cos(ϑ)
d sin(ϑ) cos(ϑ) =− d cos(ϑ) sin(ϑ)
(5.4.26)
Induktionsschritt (s − 1 −→ s): 1 ds−1 s−1 i(µ±(s−1))ϕ s−1±µ ∓µ L± (∓1) e sin (ϑ) sin (ϑ) f (ϑ) = ~ d(cos(ϑ))s−1 d cos(ϑ) i(µ±s)ϕ s−1 =e (∓1) ∓ sin(ϑ) − (µ ± (s − 1)) d cos(ϑ) sin(ϑ) s−1 d × sins−1±µ (ϑ) sin∓µ (ϑ) f (ϑ) d(cos(ϑ))s−1 d i(µ±s)ϕ s 1±µ+s−1 ∓µ−s+1 =e (∓1) sin (ϑ) sin (ϑ) d cos(ϑ) ds−1 s−1±µ × sin (ϑ) sin∓µ (ϑ) f (ϑ) d(cos(ϑ))s−1 ds s i(µ±s)ϕ s±µ ∓µ = (∓1) e sin (ϑ) sin (ϑ) f (ϑ) d(cos(ϑ))s
(5.4.27)
Was zu beweisen war. Erzeuge Ylm aus Yl,−l mit dieser Formel mit Ls+ ,
µ = −l,
µ + s = m,
⇔
s = l + m,
60
s + µ = m,
−µ + l = 2l
(5.4.28)
1 Ylm (ϑ, ϕ) = l!
r
m (2l + 1)! (−1)l+m eimϕ (1 − cos2 (ϑ)) 2 l+1 π·4 s
×
dl+m (1 − cos2 (ϑ))l · d(cos(ϑ))l+m
(l − m)! (2l)!(l + m)! {z } |
(5.4.29)
Normierung f¨ ur |l,−li−→|l,mi
In diesem Ausdruck identifizieren wir das zugeordnete Legendrepolynom: Plm (x) =
l+m m d (−1)m (1 − x2 ) 2 (x2 − 1)l l 2 l! dxl+m
(5.4.30)
Kugelfl¨ achenfunktionen: s Ylm (ϑ, ϕ) =
(2l + 1)(l − m)! imϕ e Plm (cos(ϑ)) 4π(l + m)!
(5.4.31)
Anmerkung: Die zugeordneten Legendre-Polynome stehen zu den Legendre-Polynomen Pl (x) =
1 dl 2 (x − 1)l 2l l! dxl
(5.4.32)
in der Beziehung
dm Pl (x) (5.4.33) dxm Als normierte Eigenfunktionen des kompletten Satzes (auf der Sph¨are) der Operatoren Lz und ~ 2 erf¨ L ullen die Ylm : m
Plm (x) = (−1)m (1 − x2 ) 2
Orthogonalit¨ at:
ˆ
2π
ˆ
0
π
0
Yl∗0 m0 (ϑ, ϕ)Ylm (ϑ, ϕ) sin(ϑ) dϑ dϕ = δll0 δmm0
(5.4.34)
Vollst¨ andigkeit: ∞ X l X
Ylm (ϑ, ϕ)Ylm (ϑ0 , ϕ0 ) =
l=0 m=−l
1 δ(ϑ − ϑ0 )δ(ϕ − ϕ0 ) sin(ϑ)
(5.4.35)
Zur zweidimensionalen Darstellung der Kugelfl¨achenfunktionen k¨onnen wir Polardiagramme verwenden:
Alternativ lassen sich diese Funktionen auch durch dreidimensionale (farbkodierte) Diagramme der Realteile auf der Kugeloberfl¨ ache veranschaulichen. Drehimpulseigenzust¨ ande werden auch Orbitale genannt. Dabei entsprechen l = 0, 1, 2, 3, 4, ... den sogenannten s, p, d, f, g, ...−Orbitalen.
61
5.5 Drehimpuls und Drehungen Rotationen sind zun¨ achst durch ihre Wirkung auf einen Vektor definiert: R
~x 7−→ ~x 0
(5.5.1)
Die Rotation ist eine lineare Transformation, l¨asst sich also durch eine Matrix darstellen: ~x 7→ R~x
(5.5.2)
Dar¨ uber hinaus erh¨ alt sie die L¨ ange der Vektoren: !
~x · ~x = (R~x) · (R~x) = (~x)t Rt R~x
⇒
Rt R = 1
(5.5.3)
R ist also eine orthogonale Matrix (und damit ein Spezialfall der bereits besprochenen unit¨ aren Transformationen). Wir k¨ onnen um die drei Raumachsen drehen mit den Matrizen: ! ! ! Rx (α) =
1 0 0
0 0 cos(α) − sin(α) sin(α) cos(α)
Ry (α) =
cos(α) 0 − sin(α)
0 sin(α) 1 0 0 cos(α)
Rz (α) =
cos(α) − sin(α) 0 sin(α) cos(α) 0 0 0 1
(5.5.4) Allgemeine Drehungen sind dann durch Hintereinanderausf¨ uhrung m¨oglich. Hierbei gibt es 3·2·2 = 12 m¨ogliche Reihenfolgen (nicht zwei gleiche hintereinander). Standardkonvention: R(α, β, γ) = Rz (γ)Rx (β)Rz (α)
(Eulersche Winkel)
(5.5.5)
Andere Parametrisierung: Drehung um die Achse ~n (|~n| = 1) und den Winkel ϕ. Definiere:
0 0 0 Λ1 = 0 0 −1 0 1 0
ϕ ~ = ϕ~n
(5.5.6)
0 −1 0 Λ3 = 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 Λ2 = −1 0 0
Λ1 ~ Λ = Λ2 Λ3
(5.5.7)
Dabei ist: (Λi )jk = −εijk Infinitesimal δ ϕ ~ = δϕ~n:
(5.5.8)
vgl. Entwicklung der Drehmatrizen f¨ ur kleine α
}| { z ~ ~ ~ · Λ) ~x R(δϕ)~x = ~x + δ ϕ ~ × ~x = ~x + δ ϕ ~ · Λ~x = (1 + δ ϕ (R(δϕ)~x)i = xi + εijk δϕj xk = xi + δϕj (Λj )ik xk
(5.5.9) (5.5.10)
~ gilt: F¨ ur ϕ ~kψ ~ = R(~ ~ R(~ ϕ + ψ) ϕ)R(ψ)
(5.5.11)
Beispiel zur Darstellung der infinitesimalen Drehung mit dem Kreuzprodukt (um 3. Achse):
Sei nun δ ϕ ~=
Rx2 = x2 + ϕx1
(5.5.12)
Rx1 = x1 − ϕx2
(5.5.13)
ϕ ~ mit m → ∞: m R(ϕ) = R
m
ϕ ~ m
= lim
m→∞
62
1 ~ 1 + ϕ~ · Λ m
m
~
= eϕ~ ·Λ
(5.5.14)
Insgesamt: ~
~x 7−→ eϕ~ ·Λ ~x = R(~ ϕ)~x
(5.5.15)
[i~Λi , i~Λj ] = εijk (i~)2 Λk
(5.5.16)
Bemerkung: ~ erf¨ i~Λ ullt also die Drehimpulsalgebra. Wir nennen die hermiteschen Operatoren iΛj Erzeugende von Drehungen. Bemerkung: ~
R(~ ϕ) = eϕ~ ·Λ ist die Gruppe SO(3) der orthogonalen 3 × 3 Matrizen mit Determinante 1. Die Gruppeneigenschaften ( Drehgruppe“) lassen sich leicht verifizieren. ” Wir wollen nun zeigen, dass wir allgemein durch das Exponentieren des Drehimpulsoperators ~ Drehungen der Ortswellenfunktion erzeugen. Dazu betrachten wir zun¨achst in Analogie (i~Λ → L) die Erzeugung von Verschiebungen durch den Impulsoperator. Aktive Translation Aktive Verschiebung des physikalischen Systems um ∆~x.
ψ 0 (~x) = ψ(~x − ∆~x) ⇔ ψ 0 (~x + ∆~x) = ψ(~x)
(5.5.17)
Wir zeigen, dass so eine Translation durch den Impulsoperator erzeugt wird: i
e− ~ ∆~x·~p ψ(~x) = ψ(~x − ∆~x) = ψ 0 (~x) Mit δ~x =
∆~x n
(5.5.18)
i ~ ~ n e− ~ ∆~x·~p = e−∆~x·∇ = lim (1 − δ~x · ∇)
⇒
n→∞
Außerdem: ~ (1 − δ~x · ∇)ψ(~ x) = ψ(~x − δ~x) + O
1 n2
(5.5.19)
i ~ n ψ(~x) = ψ(~x − ∆~x) ⇒ e− ~ ∆~x·~p ψ(~x) = lim (1 − δ~x · ∇)
n→∞
(5.5.20) (5.5.21)
Wirkung auf die Ortseigenfunktion: |~ αi ↔ δ 3 (~x − α ~)
−→
|~ α + ∆~xi ↔ δ 3 (~x − (~ α + ∆~x))
(5.5.22)
• Klassisch: Translationsinvarianz der Lagrange- bzw. Hamiltonfunktion ⇒ Impulserhaltung • Quantenmechanisch: Translationsinvarianz eines Operators A: i
!
i
hψ|A|ϕi = hψ 0 |A|ϕ0 i = hψ|e ~ ∆~x·~p Ae− ~ ∆~x·~p |ϕi i = hψ|A|ϕi + ∆~x · hψ|[~ p , A]|ϕi + O(∆~x2 ) ~ ⇒ [~ p , A] = 0
(5.5.23) (5.5.24)
Damit sind p~ und A simultan diagonalisierbar. F¨ ur [~ p , H] = 0 folgt mit Hilfe des Ehrenfest’schen Theorems: d i h~ p i = h[H, p~ ]i = 0 (5.5.25) dt ~
63
Aktive Drehungen Drehung des physikalischen Systems um R (aktive Transformation): ψ 7−→ ψ 0 mit ψ 0 (R~x) = ψ(~x) ⇔ ψ 0 (~x) = ψ(R−1 ~x)
(5.5.26)
Gesuch ist ein unit¨ arer Operator D(R), sodass hψ 0 |ψ 0 i = hD(R)ψ|D(R)ψi = hψ|D† (R)D(R)|ψi = hψ|ψi (Erhaltung der Norm)
(5.5.27)
Behauptung: i
~ → − i L) ~ (d.h. ersetze Λ ~
~
D(R) = D(R(~ ϕ)) = e− ~ ϕ~ ·L Unitarit¨ at:
i
~†
i
~
ϕ) = D−1 (~ ϕ) D† (R) = D† (R(~ ϕ)) = e ~ ϕ~ ·L = e ~ ϕ~ ·L = D(−~
(5.5.28) (5.5.29)
Infinitesimal: i ~~ ~ ψ(~x) = 1 − i δ ϕ 1 − δϕ ψ(~x) ~ ·L ~ · ~x × ∇ ~ ~ i ~ ψ(~x) ≈ ψ(~x − δ ϕ = 1 − (δ ϕ ~ × ~x) · ∇ ~ × ~x) = ψ ((1 − δ ϕ ~ · Λ)~x)
D(δ ϕ ~ )ψ(~x) ≈
↑ Taylor
(5.5.30)
Die Manipulation des Kreuzproduktes sieht man dabei am besten in Komponenten: ~ ~ = δϕi εijk xj ∇k = εkij δϕi xj ∇k = (δ ϕ δϕ ~ · (~x × ∇) ~ × ~x) · ∇ ¨ Ubergang zu endlichen mϕ = mδϕ: i i ϕ ~ ~ m ~ lim 1 − ·L ψ(~x) = e− ~ ϕ~ ·L ψ(~x) = Rψ(~x) = ψ 0 (~x) m→∞ ~m m 1 ~ ~ = lim ψ 1 − ϕ ~ ·Λ ~x = ψ e−~ϕ·Λ ~x = ψ(R−1 ~x) m→∞ m i
~
⇒ ψ 0 (~x) = D(~ ϕ)ψ(~x) = e− ~ ϕ~ ·L ψ(~x) = ψ(R−1 ~x)
(5.5.31)
(5.5.32) (5.5.33)
1 ~ Li
Die Operatoren sind Erzeugende von Drehungen (vergleichbar mit der Erzeugung von Translationen durch p~~ , Kapitel 4.4). • Klassisch: Rotationsinvarianz von H ⇒ Drehimpulserhaltung • Quantenmechanisch: Rotationsinvarianz eines Operators A: i
!
~
i
~
hψ|A|ϕi = hψ 0 |A|ϕ0 i = hψ|e ~ ϕ~ ·L Ae− ~ ϕ~ ·L |ϕi i ~ A]|ψi + O(~ = hψ|A|ϕi + ϕ ~ · hψ|[L, ϕ2 ) ~ ~ A] = 0 ⇒ [L,
(5.5.34)
(5.5.35) ~ ~ Es sind somit auch L und A simultan diagonalisierbar. F¨ ur [L, H] = 0 folgt wieder mit Hilfe des Ehrenfest’schen Theorems: d ~ i ~ =0 hLi = h[H, L]i (5.5.36) dt ~ ~ 2 und H = p~2 + V (~x), sofern V (~x) Es existieren also simultane Eigenzust¨ande von Lz , L 2m invariant unter Drehungen ist (V (~x) = V (|~x|)).
64
Fazit: Die Invarianz unter Translation und Rotation f¨ uhrt also in der Quantenmechanik zur Impulsund Drehimpulserhaltung, ebenso wie in der klassischen Mechanik. Dies ist eine Konsequenz der Tatsache, dass der Impulsoperator Translationen bzw. der Drehimpulsoperator Rotationen erzeugt. Diese Erkenntnisse entsprechen der quantenmechanischen Version des klassischen Noether Theorems. Wir verdeutlichen jetzt noch explizit, wie die Drehung eines Zustandsvektors geschieht: ˆ ˆ ˆ i i ~ ~ |ψ 0 i = |~xi h~x|ψ 0 i d3 x = |~xie− ~ ϕ~ ·L ψ(~x) d3 x = |~xie− ~ ϕ~ ·L h~x| ψi d3 x = D(~ ϕ)|ψi (5.5.37) | {z } | {z } ψ 0 (~ x) D(~ ϕ)
oder anders herum ˆ ~ ~ x|ψi d3 x ~ L|ψi = |~xi ~x × ∇h~ i 2 ¨ ˆ ~ ~2 = ~ x h~x|~x0 i ~ ~x 0 × ∇ ~ x0 h~x0 | d3 x0 d3 x = |~xi ~ ~x × ∇ ~ x h~x| d3 x L |~xi ~x × ∇ | {z } i i i
etc.
(5.5.38)
δ 3 (~ x−~ x0 )
¨ Der Ubergang von Ortsraumoperatoren zu Operatoren im abstrakten Hilbertraum und die Hintereinanderausf¨ uhrung der Operatoren (−→ Funktionen von Operatoren) kommutieren. Wie bereits vereinbart verwenden wir das gleiche Symbol f¨ ur die Operatoren, unabh¨angig davon, welche Repr¨asentation des Hilbertraums (z.B. Orts- oder Impulswellenfunktion, Dirac-Kets, ...) verwendet wird. Definition Sind R ∈ G mit einer Gruppe G und ist D : R − 7 → D(R) eine Abbildung mit der Eigenschaft D(R2 R1 ) = D(R2 )D(R1 ) ∀ R1,2 ∈ G (5.5.39) dann nennt man D eine Darstellung von G. Bemerkung: ~
i
D(R(~ ϕ)) = e− ~ ϕ~ ·L
ist eine Darstellung der Drehgruppe SO(3).
Kommen wir zu den Kommutatoren aus 5.2 zur¨ uck. ~ = L, ~ p~ , ~x, ... ein Vektoroperator, so dass Sei A ~ ~ ~ 0 e−~ϕ·Λ A A} | = {z
(5.5.40)
A0i = Ai − εijk δϕj Ak
(5.5.41)
~ ~ Λ wegen ψ 0 (~ x)=ψ e−ϕ· ~ x
oder infinitesimal: Vergleiche mit: i A0i = Ai − δϕj [Lj , Ai ] ~
(wegen
i
~
i
~
~ ~ ~ ϕ~ ·L |ϕ0 i) hψ|A|ϕi = hψ 0 | |e− ~ ϕ~ ·L{z Ae }
i ⇒ − δϕj [Lj , Ai ] = −εijk δϕj Ak ⇒ [Lj , Ai ] = −i~εijk Ak ~ ↑
(5.5.42)
~0 =A
⇔
[Li , Aj ] = i~εijk Ak
(5.5.43)
ϕj beliebig
Somit erkl¨art sich die beobachtete Struktur der grundlegenden Kommutatoren des Drehimpulses. ~ 2 , ... gilt dann: F¨ ur skalare (rotationsinvariante) Operatoren S = ~x2 , p~ 2 , L i S 0 = S = S − δϕj [Lj , S] ⇒ [Lj , S] = 0 ~
65
(5.5.44)
6 Zentralpotential und Wasserstoffatom 6.1 Zentralpotential Man betrachte den Hamiltonoperator H=−
~2 ~ 2 ∇ + V (~x) 2m
V (~x) ≡ V (r)
mit
r = |~x|
und
(6.1.1)
F¨ ur diesen liegt eine dreidimensionale Dreh-/Kugelsymmetrie vor. Es handelt sich also um ein Zentralpotential. Offenbar sind die Kommutatoren ~ 2] = 0 [H, L
[H, Lz ] = 0
~ 2 , Lz ] = 0 [L
(6.1.2)
~ 2 als skalare Operatoren rotationsinvariant sind. Diese drei Operatoren werden als da H und L kompletter Satz zur Quantisierung gew¨ahlt. Die Eigenzust¨ande sind dann8 |E, l, mi. Aufgrund der Symmetrie bietet es sich an, den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten zu schreiben x = r sin(ϑ) cos(ϕ)
y = r sin(ϑ) sin(ϕ) z = r cos(ϑ) 2 2 2 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ~ 2 = ∂ + ∂ + ∂ = 1 ∂ r2 ∂ + sin(ϑ) + ∇ 2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 r2 ∂r ∂r r2 sin(ϑ) ∂ϑ ∂ϑ r2 sin (ϑ) ∂ϕ2
(6.1.3)
wobei wir auf Abschnitt 5.4 verweisen. Vergleiche dies mit ~ 2 = −~2 L
~2 ∂ H=− 2mr2 ∂r
1 ∂ sin(ϑ) ∂ϑ
∂ sin(ϑ) ∂ϑ
∂2 1 + sin2 (ϑ) ∂ϕ2
(6.1.4)
wobei zu l¨osen ist:
~2 L 2 ∂ r + + V (r) ∂r 2mr2
(6.1.5)
Hψ(r, ϑ, ϕ) = Eψ(r, ϑ, ϕ)
Da keine gemischten Radial-/Winkelableitungsterme vorkommen, ist der folgende Separationsansatz sinnvoll: ψ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Ylm (ϑ, ϕ)
(6.1.6)
~ 2 aus Kapitel 5.3 folgt: Mit dem Spektrum von L ~2 l(l + 1) ~2 d 2 d − r + + V (r) R(r) = ER(r) 2mr2 dr dr 2mr2 Bringe dies auf die Form einer eindimensionalen Schr¨odinger-Gleichung mit R(r) = 8
~ 2 und m ↔ Lz E ↔ H, l ↔ L
66
(6.1.7) u(r) r
1 d r2 dr
d r dr 2
d2 2 d u(r) R(r) = + dr2 r dr r 2 1 d 1 d 2 2 2 d 1 d2 − + = − 2 u(r) + u(r) = r |dr2 r dr r2} |r2 {zr dr} r dr2 {z
1. Term
⇒
(6.1.8)
2. Term
~2 d2 ~2 l(l + 1) − + + V (r) u(r) = Eu(r) 2m dr2 | 2mr2 {z }
(6.1.9)
Veff
Vergleich mit der klassischen Mechanik: E = V (r) + Ekin = V (r) +
m mr˙ 2 (rϕ) ˙ 2+ 2 2
~ = mr2 ϕ˙ |L| ~2 L 1 → E = V (r) + + mr˙ 2 2 2mr | {z } 2 Veff
Am Beispiel des Coulomb-Potentials ∝ − 1r sehen wir, dass sich auch in der Quantenmechanik gebundene Zust¨ande finden lassen sollten. Randbedingungen f¨ ur u(r): 1. Normierbarkeit: ˆ ˆ |ψ(~x)|2 d3 x =
∞ˆ π
ˆ
2π
|Ylm (ϑ, ϕ)|2
0
0
0
|u(r)|2 2 r sin(ϑ) dϕ dϑ dr = r2
ˆ
∞
|u(r)|2 dr = 1 0
(6.1.10) Hierbei wurde im letzten Schritt die Orthonormalit¨at der Ylm (Kapitel 5.4) ausgenutzt. |u(r)| muss also schnell genug abfallen, genauer gesagt: a
|u(r)| ≤ r
f¨ ur
1 +ε 2
r→∞
(6.1.11)
2. Verhalten bei r = 0: ~ 2ψ = ∇ ~ 2 u(0) + ... = u(0)δ 3 (~x) + ... ∇ r −→ u(0) = 0,
es sei denn
V (~x) ∼ δ 3 (~x)
(6.1.12) (6.1.13)
Mit den Argumenten aus Kapitel 2.3 folgt, dass die Eigenwerte der Radialgleichung nicht entartet ~ 2 einen vollst¨andigen Satz von Operatoren im Sinne der sind. In der Tat bilden also H, Lz , L Definition aus Kapitel 5.1 Wir spezialisieren noch auf Potentiale, f¨ ur welche bei r → 0 der Zentrifugalterm dominiert und V (r → ∞) = 0 (also wie in obiger Skizze). • r → 0:
~2 d2 ~2 l(l + 1) + u(r) = 0 − 2m dr2 2mr2
67
(6.1.14)
Dies ergibt die allgemeine L¨ osung: u(r) = Arl+1 + Br−l
(6.1.15)
Nach der Diskussion der Randbedingungen ist B = 0. u(r) sollte sich also in folgende Potenzreihe entwickeln lassen: u(r) = rl+1 (a0 + a1 r + a2 r2 + ...)
(6.1.16)
• r → ∞: √
~2 d2 − u(r) = Eu(r) 2m dr2
−→
±κr
u(r) = e
mit
κ=
−2mE ~
(6.1.17)
Normierbarkeit −→ u(r) ∼ Ce−κr f¨ ur r → ∞. Wir dr¨ ucken die Schr¨ odinger-Gleichung f¨ ur u(r) noch in der dimensionslosen Variable ρ = κr aus: " # ρ d2 l(l + 1) V κ − − − 1 u(r) = 0 (6.1.18) dρ2 ρ2 |E|
6.2 Coulomb-Potential Das Potential f¨ ur ein einzelnes Elektron um den Kern mit der Ladung Z ist gegeben durch V (r) = −
κe2 Z e20 Z =− 0 r ρ
mit der Elementarladung e0
(6.2.1)
Definiere: e2 Zκ ρ0 = 0 = |E| ⇒
s
V ( κρ ) 2m Ze20 e0 −→ =− |E| ~ |E| ρ
d2 l(l + 1) e0 − + − 1 u(ρ) = 0 dρ2 ρ2 ρ
(6.2.2)
Entsprechend des asymptotischen Verhaltens substituieren wir: u(ρ) = ρl+1 e−ρ w(ρ)
(6.2.3)
d d u(ρ) = (l + 1)ρl e−ρ w(ρ) − ρl+1 e−ρ w(ρ) + ρl+1 e−ρ w(ρ) dρ dρ d2 u(ρ) = l(l + 1)ρl−1 e−ρ w(ρ) + ρl+1 e−ρ w(ρ) − 2(l + 1)ρl e−ρ w(ρ) dρ2 d d d2 + 2(l + 1)ρl e−ρ w(ρ) − 2ρl+1 e−ρ w(ρ) + ρl+1 e−ρ 2 w(ρ) dρ dρ dρ 2 d l(l + 1) l+1 −ρ d = ρl e−ρ ρ 2 + 2(l + 1 − ρ) + ρ − 2(l + 1) w(ρ) + ρ e w(ρ) dρ dρ ρ2 ⇒
d2 d ρ 2 + 2(l + 1 − ρ) + ρ0 − 2(l + 1) w(ρ) = 0 dρ dρ
(6.2.4)
(6.2.5)
(6.2.6)
L¨ose dies mit der gleichen Taktik wie f¨ ur den harmonischen Oszillator (analytische Methode, Kapitel 4.1)
68
Wir machen den Potentzreihenansatz w(ρ) =
∞ X
ak ρk
(6.2.7)
k=0
Einsetzen in Gleichung (6.2.6) liefert: ∞ X
h i ak k(k − 1)ρk−1 + 2(l + 1)kρk−1 − 2kρk + (ρ0 − 2(l + 1))ρk = 0
(6.2.8)
k=0
F¨ ur ρ > 0 beliebig m¨ ussen die Koeffizienten jeder Potenz verschwinden. F¨ ur ρk folgt somit: ak+1 [k(k + 1) + 2(l + 1)(k + 1)] = ak [2k + 2(l + 1) − ρ0 ] ⇒
ak+1 =
2(k + l + 1) − ρ0 ak (k + 1)(k + 2l + 2)
(6.2.9)
Wir untersuchen nun, unter welchen Umst¨anden u(r) die Randbedingungen f¨ ur r → ∞ erf¨ ullt. F¨ ur k 1 folgt 2 ak+1 = + ... ak k Die entspricht der Exponentialreihe 2ρ
e
∞ X 2k
=
k=0
k!
ρk
(6.2.10)
(6.2.11)
Die L¨osung u(r) ∼ e−ρ e2ρ = eρ steht im Widerspruch zur Randbedingung, es sei denn, die Reihe {ak } bricht nach dem N −ten Glied ab: aN +1 = aN +2 = ... = 0. Dies f¨ uhrt zu der Abbruchbedingung r 2m Ze20 ρ0 = = 2(N + l + 1) mit N = 0, 1, 2, ... (6.2.12) −E ~ ⇒
E=−
mZ 2 e40 2~2 (N + l + 1)2
(6.2.13)
wobei N radiale Quantenzahl genannt wird. Mit der Hauptquantenzahl n = N + l + 1 folgt
En = −
mZ 2 e40 2~2 n2
mit
n = 1, 2, 3, 4, ...
(6.2.14)
Energieeigenwerte des Wasserstoffatoms
Mit N ≥ 0 ⇒ l = 0, 1, 2, ..., n − 1 F¨ ur die Entartung von En gilt n−1 X
(2l + 1) = 2
l=0
n(n − 1) + n = n2 2
F¨ ur n = 1, 2, 3, 4, ... sind die folgenden Quantenzahlen m¨oglich
69
(6.2.15)
Die Eigenfunktionen werden wie folgt konstruiert: ak+1 = −
n − (l + k + 1) n − (l + k) n − (l + 1) 2n − 2(k + l + 1) ak = (−2)k+1 a0 · · ... · (k + 1)(k + 2l + 2) (k + 1)(k + 2l + 2) k(k + 2l + 1) 1 · (2l + 2) ak = a0 (−2)k
⇒
1 (2l + 1)! (n − (l + 1))! k! (k + 2l + 1)! (n − (l + k + 1))!
n−(l+1)
X
w(ρ) = a0 ↑ ρ=κr
(−2κr)k
k=0
(2l + 1)!(n − (l + 1))! k!(k + 2l + 1)!(n − (l + k + 1))!
(6.2.16)
(6.2.17)
Die Identifikation mit den zugeordneten Laguerre-Polynomen liefert: Lsr (x) =
r−s X
(−1)k+s
k=0
(r!)2 xk k!(k + s)!(r − k − s)!
(6.2.18)
Mit r = n + l und s = 2l + 1 folgt: n−(l+1)
L2l+1 n+l (2κr) =
X k=0
(−1)2l+1 ((n + l)!)2 (−2κr)k ∝ w(ρ) k!(k + 2l + 1)!(n − (l + k + 1))!
(6.2.19)
Eine andere Darstellung ergibt sich aus den Laguerre-Polynomen Lr (x) = ex
dr −x r e x dxr
mit
Lsr (x) =
ds Lr (x) dxs
(6.2.20)
Leider sind die in der Literatur verwendeten Definitionen der Laguerre-Polynome unterschiedlich (Vorfaktoren, Bedeutung der Indizes). Insbesondere ist zu beachten, dass die hier verwendete Physiker-Notation“ von der in den Integraltafeln von Gradshteyn & Ryzhik oder Abramowitz & ” Stegun abweicht. Normierung (ohne Beweis): ˆ
∞
xs+1 e−x (Lsr (x))2 dx =
0
70
(2r − s + 1)(r!)3 (r − s)!
(6.2.21)
ˆ
∞
⇒
2l+2 −2ρ
ρ
e
0
L2l+1 n+l (2ρ)
2
ˆ
∞
dρ =
↑ 0 σ=2ρ
1 σ 2l+2 −σ 2l+1 2 2n((n + l)!)3 e Ln+l (σ) dσ = 2−2l−3 2 2 (n − l − 1)!
F¨ ur u(r) = N (κr)l+1 e−κr L2l+1 n+l (2κr) folgt 1 −2l−2 n((n + l)!)3 N = 2 κ (n − l − 1)!
ˆ
− 12
∞
|u(r)|2 dr
wegen
(6.2.22)
0
s u(r) (n − l − 1)!(2κ)3 Rnl (r) = =− (2κr)l e−κr L2l+1 n+l (2κr) r 2n((n + l)!)3 (6.2.23)
Radialwellenfunktion des Wasserstoffatoms
Dabei ist mit der Definition des Bohrschen Radius ~2 = 0,529 · 10−8 cm me2
(6.2.24)
p 2m|E| mZe2 Z κ= = 2 0 = ~ ~ n naB
(6.2.25)
aB = κ gegeben durch
Insgesamt sind die Wellenfunktionen gegeben durch ψnlm (r, ϑ, ϕ) = Rnl (r)Ylm (ϑ, ϕ) Außerdem gilt per Konstruktion die Orthonormalit¨atsrelation ˆ ∗ ψnlm ψn0 l0 m0 d3 x = δnn0 δll0 δmm0
(6.2.26)
(6.2.27)
Die Anzahl der Nullstellen von Rnl (r) ist gem¨aß dem Knotensatz N = n − l − 1. Die Energieeigenwerte lassen sich schreiben als En = −
mZ 2 e40 (Ze0 )2 mc2 2 Z 2 = − = − α 2 2~2 n2 2aB n2 2 n
(6.2.28)
wobei die Sommerfeldkonstante
e20 1 ≈ ~c 137 verwendet wurde. N¨ utzlich als typische Skala ist die Rydbergenergie E1 = −13,6 eV α=
(6.2.29)
(6.2.30)
Z=1
Wegen
ˆ
2π
ˆ
π
|Ylm (ϑ, ϕ)|2 sin(ϑ) dϑ dϕ = 1 0
(6.2.31)
0
ist r2 |Rnl (r)|2 dr die Wahrscheinlichkeit, das Elektron in der Kugelschale zwischen r und r + dr zu finden.
71
Radiale Wellenfunktionen der niedrigsten Ordnungen: n = 1, l = 0: K-Schale, s-Orbital: R10 (r) = 2
Z aB
3 2
e
− aZr
(6.2.32)
B
n = 2, l = 0: L-Schale, s-Orbital: R20 (r) = 2
Z 2aB
3 2
Zr 1− 2aB
e
Zr − 2a
B
(6.2.33)
n = 2, l = 1: L-Schale, p-Orbital: 1 R21 (r) = √ 3
Z 2aB
3
2
Zr − 2aZr e B aB
(6.2.34)
n = 3, l = 0: M-Schale, s-Orbital: R30 (r) = 2
Z 3aB
3 2 2Zr 2(Zr)2 − Zr 1− + e 3aB 2 3aB 27aB
(6.2.35)
n = 3, l = 1: M-Schale, p-Orbital: √ 3 4 2 Z 2 Zr Zr − Zr R31 (r) = 1− e 3aB 3 3aB aB 6aB
(6.2.36)
n = 3, l = 2: M-Schale, d-Orbital: √ 3 2 2 Z 2 Zr 2 − 3aZr √ R32 (r) = e B aB 27 5 3aB Wir merken an, dass nur die l = 0 Zust¨ande nicht im Ursprung verschwinden.
72
(6.2.37)
Rekursionsrelationen fu ¨ r Laguerre-Polynome: Behauptung: Es gilt eine Darstellung mit der Erzeugendenfunktion ∞
X 1 −x t tr e = Lr (x) 1−t 1−t r!
(t < 1)
(6.2.38)
r=0
Der Beweis wird mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel gef¨ uhrt: ˛ ˛ f (z) f (z) 1 n! (n) f (t) = dz ⇒ f (t) = dz 2πi (z − t) 2πi (z − t)n+1
(6.2.39)
W¨ahle oben t = 0 und integriere um t auf beliebigem geschlossenen Pfad mit |z| < 1: z ˛ e−x 1−z r! Lr (x) = dz 2πi z r+1 (1 − z) Variablentransformation: w−x x w dw − (w − x) dw x z= ⇔ w= ⇒ dz = = 2 dw 2 w 1 − z˛ w w w−x r! x 1 −x x Lr (x) = dw e 2πi w2 w−x r+1 1 − w−x w w ˛ r r! x wr x d = e e−w dw = e (xr e−x ) 2πi (w − x)r+1 dxr
(6.2.40)
(6.2.41)
(6.2.42)
was zu beweisen war [vgl. (6.2.20)]. Wir erinnern dabei an den Residuensatz (Pol n−ter Ordnung): Resx f (w) = ⇒
1 2πi
˛
1 ∂ n−1 lim (w − x)n f (w) (n − 1)! w→x ∂wn−1
f (w) dw = Resx f (w)
(6.2.43)
(einfache Windung um Pol)
(6.2.44)
Wir leiten nun obige Formel partiell nach x ab: ∞
∞
X t t X tr tr −t −x 1−t 0 e = − L (x) = L (x) r r (1 − t)2 1−t r! r! r=0
⇒
∞ X
Lr (x)
r=0
(6.2.45)
r=0
∞
∞
r=0
r=0
X tr tr−1 X 0 tr =− L0r (x) + Lr (x) r! r! r!
(6.2.46)
Der Koeffizientvergleich damit: L0r−1 Lr−1 L0 =− r + (r − 1)! r! (r − 1)!
(6.2.47)
⇒ L0r (x) = r(L0r−1 (x) − Lr−1 (x))
(6.2.48)
Partielle Ableitung nach t ergibt: t t 1 x xt 1 − t − x −x 1−t − − e−x 1−t = e 2 2 3 3 (1 − t) (1 − t) (1 − t) (1 − t) =
⇒
∞ X r=0
tr tr+1 xtr Lr − Lr − Lr r! r! r!
=
∞ X r=0
(6.2.49)
∞
∞
r=0
r=0
X 1−t−xX tr tr−1 L (x) = L r r (1 − t)2 r! (r − 1)!
tr−1 tr tr+1 Lr − 2Lr + Lr (r − 1)! (r − 1)! (r − 1)!
73
(6.2.50)
(6.2.51)
Vergleiche tr Koeffizienten:
Lr Lr−1 xLr Lr+1 2Lr Lr−1 − − = − + r! (r − 1)! r! r! (r − 1)! (r − 2)!
(6.2.52)
Lr − rLr−1 − xLr = Lr+1 − 2rLr + rLr−1
(6.2.53)
⇒ Lr+1 = (1 + 2r − x)Lr − r2 Lr−1
(6.2.54)
Mittlerer radialer Abstand und Schwankungsquadrat: Gesucht sind die Erwartungswerte ˆ k hr inl =
ˆ
∞
r
k+2
∞
2
rk u2nl (r) dr
[Rnl (r)] dr =
↑ 0 u=rR
0
(6.2.55)
Wir leiten dazu folgende Formel her (Kramers-Relation): 2 k+1 k aB k−1 k 2 2 aB k−2 hr i − (2k + 1) hr i + (2l + 1) − k hr inl = 0 nl nl n2 Z 4 Z2
(6.2.56)
mit k + 2l + 1 > 0. Beweis: Wir gehen aus von
l(l + 1) ρ0 d2 − + − 1 u(ρ) = 0 dρ2 ρ2 ρ √
und f¨ uhren wieder ein ρ = κr, κ = s ρ0 =
−2mE ~
=
(6.2.57)
Z und naB
2m Ze20 e2 Zκ e2 Zκ2 e2 Z 3 2aB n2 2Z = 0 ⇒ κρ0 = 0 = 02 2 = 2 |E| ~ |E| |E| (Ze ) aB n aB 0
(6.2.58)
d2 l(l + 1) 2Z Z2 − + − u(r) = 0 dr2 r2 aB r n2 a2B
(6.2.59)
⇒ Damit erhalten wir ˆ
∞
0
2Z k−1 Z2 hr i + 2 2 hrk i aB n aB ˆ ∞ ˆ ∞ =− u0 rk u0 dr − k urk−1 u0 dr
urk u00 dr = l(l + 1)hrk−2 i −
0
Den letzten Term formen wir folgendermaßen um: ˆ ∞ ˆ ∞ ˆ k−1 0 k−1 0 r uu dr = − r uu dr − (k − 1) ˆ ⇒
0 ∞
r 0
k−1
0
k − 1 k−2 hr i uu dr = − 2 0
(6.2.60)
0
ˆ oder 0
74
∞
u2 rk−2 dr
0 ∞
k rk uu0 dr = − hrk−1 i 2
(6.2.61)
Damit formen wir den ersten Term rechts um: ˆ ∞ k+1 ˆ ∞ r rk u02 dr = −2 u0 u00 dr k + 1 0 0 ˆ ∞ k+1 r 2Z Z2 0 l(l + 1) u dr − = −2 u + k+1 r2 aB r n2 a2B 0 2 l(l + 1)(k − 1) k−2 (k + 1)Z 2 k kZ k−1 =− − hr i − hr i + hr i k+1 2 aB 2n2 a2B
(6.2.62)
Zusammen ergibt sich: ˆ ∞ l(l + 1)(k − 1) k−2 (k + 1)Z 2 k k(k − 1) k−2 2 kZ k−1 k 00 − hr i − hr i + ur u dr = hr i + hr i 2 2 k+1 2 aB 2 2n aB 0 = l(l + 1)hrk−2 i −
Z2 2Z k−1 hr i + 2 2 hrk i aB n aB
(6.2.63) a2
Die Behauptung folgt dann aus dieser Gleichung nach Multiplikation mit (k + 1) 2ZB2 und Umformung. Wir schreiben nun die Kramers-Beziehung f¨ ur k = 0, 1, 2 auf: 2 k+1 k aB k−1 k 2 2 aB k−2 hr i − (2k + 1) hr i + (2l + 1) − k hr inl = 0 nl nl n2 Z 4 Z2 k=0
⇒
k=1
⇒
aB −1 1 − hr inl = 0 2 n Z
⇔ hr−1 inl =
a2B −1 2 3aB 1 2 hri − + (2l + 1) − 1 hr inl = 0 nl 2 n2 Z 4 |Z {z }
⇒ hrinl =
a2B 3 2 aB 1 2 hr i − 5 hri + (2l + 1) − 4 =0 nl nl n2 Z 2 Z2
⇒ hr2 inl =
=
k=2
⇒
(6.2.64)
Z n2 aB
aB 2 3n − l(l + 1) 2Z
aB n2 Z
n2 a2B 2 5n − 3l(l + 1) + 1 2 2Z
Schwankungsquadrat: ∆rnl
q p 2 i − hr i2 = aB = hrnl n2 (n2 + 2) − l2 (l + 1)2 nl 2Z
(6.2.65)
Klassisch ist bei gegebener Energie der Drehimpuls auf einer Kreisbahn maximal. Dort verschwindet das Schwankungsquadrat. Quantenmechanisch finden wir f¨ ur maximales l = n − 1: hrin,n−1 =
aB (2n2 + n) 2Z ⇒
∆rn,n−1 =
∆rn,n−1 1 =√ hrin,n−1 2n + 1
−→
n→∞
aB n √ 2n + 1 2Z 0
F¨ ur große Quantenzahlen ergibt sich also das klassische Verhalten.
75
(6.2.66)
Das Korrespondenzprinzip gilt auch f¨ ur den klassischen Virialsatz: q V (x) ∝ xq ⇒ Ekin = V (6.2.67) 2 mit q = −1 im Coulombpotential. F¨ ur das quantenmechanische Coulombpotential folgt damit: e2 Z 2 1 2 (6.2.68) = − 02 hV inl = −e0 Z r nl n aB andererseits ist hEkin inl = En − hV inl = −
(Ze0 )2 e20 Z 2 1 e20 Z 2 1 + = = − hV inl 2 2 2 2aB n n aB 2 n aB 2
(6.2.69)
6.3 Zweik¨ orperproblem Bisher wurde die Annahme eines ruhenden Kerns getroffen. Dies ist eine gute N¨aherung, da mp me ist. Die Mitbewegung des Kerns ist jedoch leicht zu ber¨ ucksichtigen. H¨angt allgemein das Potential nur vom Abstandsvektor zweier Teilchen ab, dann k¨onnen wir schreiben p~ 2 p~ 2 H = 1 + 2 + V (~x1 − ~x2 ) (6.3.1) 2m1 2m2 Definiere die reduzierte Masse µ=
m1 m2 M
mit der Gesamtmasse
M = m1 + m2
(6.3.2)
Die Relativ- und Schwerpunktkoordinaten sind gegeben durch ~xr = ~x1 − ~x2 ~xS =
p~ r = µ(~v1 − ~v2 ) =
m1 ~x1 + m2 ~x2 m1 + m2
m2 p~ 1 − m1 p~ 2 m1 + m2
p~ S = p~ 1 + p~ 2
(6.3.3) (6.3.4)
Mit9 [xνi , pµj ] = i~δνµ δij ⇒ [xri , prj ] =
m2 m1 i~δij + i~δij = i~δij m1 + m2 m1 + m2
[xSi , pSi ] = i~δij [xri , pSi ] = 0 [xSi , pri ] =
m1 m2 i~δij (1 − 1) = 0 (m1 + m2 )2
(6.3.5)
Die Impulsoperatoren haben damit die Form p~ r = 9
~~ ∇r i
p~ S =
ν, µ: Teilchenindizes 1,2 i, j: Koordinatenindizes 1,2,3
76
~~ ∇S i
(6.3.6)
Der Hamiltonoperator ist dann in den neuen Koordinaten gegeben durch: ( ~ p~ 2 2~ p ~ 22 p~ 2r m2 p~ 2 − 2m m( ~( ~ 2 + m21 p~ 22 p~ 21 + (1( 1·p 2 +p 2p 1·p + + S = 2 1 m(1 m2 2µ 2M 2 m1 +m2 (m1 + m2 )2 2(m1 + m2 ) (
=
m2 m1
+1
2(m1 + m2 )
p~ 21 +
m1 m2
+1
2(m1 + m2 )
p~ 22 =
p~ 2 p~ 21 + 2 2m1 2m2
(6.3.7)
Die Wellenfunktion h¨ angt nun von beiden Koordinaten ab: ψ(~x1 , ~x2 ) −→ ψ(~xr , ~xS )
(6.3.8)
Dies f¨ uhrt zu der zeitunabh¨ angigen Schr¨odinger-Gleichung: 2 p~ 2S p~ r + + V (~xr ) ψ(~xr , ~xS ) = Etot ψ(~xr , ~xS ) 2µ 2M
(6.3.9)
Mit Hilfe des Separationsansatzes ~
ψ(~xr , ~xS ) = eikS ·~xS ψ(~xr )
(6.3.10)
folgt damit
p~ 2r + V (~xr ) ψ(~xr ) = Eψ(~xr ) 2µ
E = Etot −
mit
~2~kS2 = Etot − ES 2M
(6.3.11)
ES entspricht dabei der kinetischen Energie der freien Schwerpunktsbewegung. Die Schr¨odingergleichung f¨ ur ψ(~xr ) entspricht genau der Gleichung ohne Ber¨ ucksichtigung der Mitbewegung des Kerns, jedoch mit m → µ. me mp me me 1 Beim Wasswestoffatom ist µ = me +mp ≈ me 1 − mp + ... und m . Die Korrektur ist also ≈ 2000 p geringer als durch h¨ ohere Ordnungen in α (relativistische Effekte).
77
7 Ankopplung an das elektromagnetische Feld 7.1 Hamiltonoperator Bisher wurde die Kopplung an das statische Coulomb-Potential betrachtet. Nun ist die Schr¨odingerGleichung f¨ ur Teilchen in allgemeinen elektromagnetischen Feldern gesucht. Dazu geht man von der klassischen Hamilton-Funktion f¨ ur Punktteilchen der Masse m und Ladung e aus: 1 e ~ 2 H= p~ − A + eΦ (7.1.1) 2m c ~ und B ~ aus den Eichpotentialen A ~ und Φ: Dabei folgen E ~ ~ = −∇Φ ~ −1∂A E c ∂t
~ =∇ ~ ×A ~ B
(7.1.2)
Wir verifizieren die Hamiltonfunktion anhand der Newton’schen Bewegungsgleichungen, welche aus den Hamilton’schen Gleichungen folgen: e ∂H 1 p i − Ai = x˙ i = {xi , H} = (7.1.3) ∂pi m c p˙i = {pi , H} = −
3
3
j=1
j=1
X 1 X e ∂Aj e e ∂Aj ∂Φ ∂Φ ∂H = pj − Aj −e = x˙ j −e ∂xi m c c ∂xi ∂xi c ∂xi ∂xi
(7.1.4)
Wir leiten die 1. Gleichung nochmals nach der Zeit ab und setzen die 2. Gleichung ein: 3
3
e X ∂Ai eX e m¨ xi = p˙i − x˙ j − A˙ i = x˙ j c ∂xj c c j=1
j=1
∂Aj ∂Ai − ∂xi ∂xj
−e
∂Φ e − A˙ i ∂xi c
(7.1.5)
Wir benutzen, dass ~ i = (~x˙ × ∇ ~ × A) ~ i= (~x˙ × B)
X
x˙ j εijk εkrs ∂r As
jkrs
=
X
x˙ j (δir δjs − δis δjr )∂r As =
jrs
⇒ m¨ xi =
(x˙ j ∂i Aj − x˙ j ∂j Ai )
(7.1.6)
Lorentzkraft
(7.1.7)
j
e ˙ ~ i + eEi (~x × B) |{z} c | {z }
Lorentz-Term
X
CoulombTerm
Die erste der Hamilton’schen Gleichungen ergibt, dass e~ p~ = m~x˙ + A c
(7.1.8)
Wir bezeichnen p~ als kanonischen Impuls und m~x˙ als kinetischen Impuls. Die Quantisierung soll den klassischen Grenzfall f¨ ur ~ → 0 ergeben. Mit dem Korrespondenzprinzip und dem Ehrenfest’schen Theorem (Kapitel 3.9) muss gelten: {xi , pj } = δij −→ [xi , pj ] = i~δij
(7.1.9)
~ zu ersetzen, dessen Erwartungswert Der kanonische Impuls ist also durch den Operator p~ = ~i ∇ nicht dem kinetischen Impuls entspricht.
78
¨ Mit diesen Uberlegungen hat die Schr¨odinger-Gleichung die Form: " # ∂ ~~ e~ 2 1 i~ ψ = ∇ − A + eΦ ψ ∂t 2m i c
(7.1.10)
~ ·A ~ = 0 w¨ahlen, dann erhalten wir Wenn wir die Eichfreiheit nutzen und die Coulomb-Eichung ∇ 1 2m
~~ e~ ∇− A i c
2 =−
~2 e2 ~ 2 ~2 ∇ ~ e ~ ~ ~ ~ ∇·A+A·∇ + A − 2m 2im c 2mc2
=−
~2 ~2 ∇ ~e ~ ~ e2 ~ 2 − A·∇+ A 2m imc 2mc2
(7.1.11)
und damit insgesamt
Schr¨ odinger-Gleichung fu ¨ r Teilchen in allgemeinen elektromagnetischen Feldern
~2 ∂ ~2 ∇ i~e ~ ~ e2 ~ 2 A ψ +eΦψ (7.1.12) i~ ψ = − ψ+ A· ∇ψ + ∂t 2m mc 2mc2
7.2 Bewegung im konstanten Magnetfeld ~ schreiben wir F¨ ur eine konstante magnetische Induktion B h i ~ = − 1 ~x × B ~ A 2 ⇒
(7.2.1)
h i X 1X ~ ×A ~ = −1 ∇ εijk ∂j εkrs xr BS = − εijk εkjs Bs 2 2 i jkrs
=−
jks
1 XX εijk εkjs Bs = Bi 2 s jk | {z }
(7.2.2)
=−2δis
Außerdem: Φ = 0 Damit lassen sich die Terme in der Schr¨odinger-Gleichung in Coulomb-Eichung durch die magne~ ausdr¨ tische Induktion B ucken: i~e ~ ~ 1 i~e i~e ~ · ∇ψ ~ = ~ · Bψ ~ =− e L ~ · Bψ ~ A · ∇ψ = − (7.2.3) ~x × B ~x × ∇ x 2mc mc 2 mc 2mc Spatprodukt: (~a×~b)·~c = −(~a×~c)·~b
2 e2 ~ 2 e2 2 ~2 ~ 2ψ = e ~ 2 ψ A ψ = (~ x × B) ~ x B − (~ x · B) 2mc2 8mc2 8mc2
(7.2.4)
~ = (~a · ~c)(~b · d) ~ − (~b · ~c)(~a · d) ~ benutzt haben. wobei wir die Lagrange-Identit¨ at (~a × ~b) · (~c × d)
79
~ k ~ez und schreiben B = |B| ~ ≡ Bz . Dann ist Wir nehmen nun noch o.B.d.A. an, dass B e2 ~ 2 e2 2 e2 2 2 2 2 2 A ψ = (x + y + z )B − z B ψ = (x2 + y 2 )B 2 ψ 2mc2 8mc2 8mc2
(7.2.5)
Wir behandeln nun den Fall schwacher Felder, d.h. wir vernachl¨assigen den Beitrag quadratisch ~ bzw. B. ~ in A ~ definiert, das durch das Das magnetische Moment µ ~ ist klassisch u ¨ber das Drehmoment M ~ B−Feld induziert wird: ~ =µ ~ = µB sin ϑ M ~ ×B
µ = |~ µ|
mit
und
~ ϑ = ^(~ µ, B)
(7.2.6)
Die Energie, ein zun¨ achst senkrecht ϑ = π2 ausgerichtetes magnetisches Moment in einem Winkel ϑ umzuorientieren ist ˆ ϑ ϑ ~ E= µB sin ϑ0 dϑ0 = −µB cos ϑ0 π = −µB cos ϑ = −~ µ·B (7.2.7) π 2
2
Wir identifizieren also im Hamiltonoperator gnetischen Moments gegeben ist durch µ ~=
e ~ ~ 2mc L · B
~ wobei der Operator des Bahnmamit µ ~ · B,
~ e ~ e L L = µB 2mc e0 ~
(7.2.8)
Dabei ist das Bohrsche Magneton µB =
e0 ~ = 0, 927 · 10−20 2mc
erg G
Wir vergleichen bei dieser Gelegenheit mit einem Teilchen auf einer klassischen Bahn: ˆ ˆ 1 1 e 3 ~ µ ~= ~r × j d r = ~r × ~v (t)eδ 3 (~r − ~x(t)) d3 r = ~x(t) × ~v (t) {z } | 2c 2c 2c
(7.2.9)
(7.2.10)
=~j
~ = m~x × ~v folgt damit f¨ Mit dem Drehimpuls L ur das magnetische Moment µ ~=
~ eL 2mc
(7.2.11)
Das klassische Bahnmagnetische Moment und der quantenmechanische Operator entsprechen einander damit nach dem Korrespondenzprinzip. ~ F¨ ur schwache B−Felder gilt also ∂ ~2 ~ 2 e ~ ~ ~2 ~ 2 ~ i~ ψ = − ∇ − L·B ψ = − ∇ −µ ~ ·B ψ ∂t 2m 2mc 2m
(7.2.12)
7.3 Normaler Zeeman-Effekt ¨ Wir benutzen diese Uberlegungen nun, um den Hamiltonoperator f¨ ur ein Wasserstoffatom in einem ~ schwachen, konstanten Magnetfeld in z−Richtung aufzustellen (B = |B|): H = H0 −
e BLz 2mc
H0 = −
80
~2 ~ 2 e20 ∇ − 2m r
(7.3.1)
Mit den Ergebnissen aus Kapitel 6 folgt damit me40 e~ Hψn,l,ml (r, ϑ, ϕ) = − 2 2 − ml B ψn,l,ml (r, ϑ, ϕ) 2~ n 2mc
(7.3.2)
Zur besseren Unterscheidung von der Masse m haben wir hier den Eigenwert von Lz mit ml benannt. Die Eigenfunktionen mit externem Feld sind also identisch mit denen ohne Feld. Die Eigenwerte sind jedoch me4 (7.3.3) En,l,ml = − 2 02 + ~ωL ml 2~ n mit der Larmor-Frequenz eB e0 B ωL = − = (7.3.4) 2mc 2mc Das Magnetfeld hebt also die Energieentartung der Zust¨ande mit gleichen n, l aber verschiedenen ml auf. Dies l¨asst sich in dem rechts abgebildeten Termschema skizzieren. Es wird also das Auftreten von 2l+1 benachbarten Linien vorhergesagt. Stattdessen beobachtet man
• in Atomen mit ungeradem Z eine Aufspaltung in eine gerade Anzahl an Linien. −→ Der Drehimpuls ist die H¨ alfte einer ganzen Zahl, • dass die Linien nicht a ¨quidistant sind. Dieses reale Verhalten wird als anomaler Zeeman-Effekt bezeichnet. Theoretisch l¨asst sich dieser erkl¨aren, indem man den Elektronen einen Eigendrehimpuls − genannt Spin s − von s = 21 zuordnet [Goudsmit und Uhlenbeck (1925)]. Auch l¨asst sich damit das Stern-Gerlach Experiment (Kapitel 8) korrekt deuten.
7.4 Freie Bewegung im Magnetfeld Wir betrachten wieder ein Magnetfeld in z−Richtung. Klassisch erzwingt dieses wegen der LorentzKraft die Bewegung geladener Teilchen auf Kreisbahnen. Wir w¨ahlen: 0 0 0 ~ = Bx ~ =∇ ~ ×A ~ = 0 = 0 A ⇒ B (7.4.1) ∂ 0 B ∂x Bx Mit Φ = 0 folgt dann f¨ ur den Hamiltonoperator 2 0 2 1 e~ 1 e 1 2 1 e 2 Bx H= p~ − A + eΦ = p~ − (px + p2z ) + py − Bx (7.4.2) = 2m c 2m c 2m 2m c 0 Es gilt [pz , H] = 0 und [py , H] = 0. Mit dem Separationsansatz ψ(~x) = ξ(x)eiky y+ikz z
81
(7.4.3)
ergibt sich f¨ ur die Schr¨ odingergleichung f¨ ur ξ(x) 2 px ~2 kz2 1 e 2 + + ~ky − Bx ξ(x) = Eξ(x) 2m 2m 2m c
(7.4.4)
eB Mit der Zyklotronfrequenz ωc = mc ist diese ¨aquivalent zu folgender Darstellung " # ~ky 2 p2x ~2 kz2 1 2 ξ(x) = Eξ(x) + + mωc x − 2m 2m 2 mωc
(7.4.5)
Auf der linken Seite ist der Hamiltonoperator f¨ ur den harmonischen Oszillator mit Verschiebung der Grundzustandsenergie (Bewegung in z−Richtung) und des Koordinatenursprungs. F¨ ur die Energieeigenwerte ergibt sich 1 En = ~ωc n + (Landau-Niveaus) (7.4.6) 2 Die zugeh¨origen Eigenfunktionen ergeben sich zu s2 1 ξn (x) = p e− 2 Hn (s) √ 2n n! πx0
mit
x s= x0
r und
x0 =
~ mωc
(7.4.7)
7.5 Eichtransformation ~ und B ~ ab, ist also eichinvariant. Die Schr¨odingerDie klassische Bewegungsgleichung h¨ angt nur von E Gleichung h¨ angt dagegen von den Vektorpotentialen ab. Es stellt sich also die Frage, wie sich die L¨osungen unter Eichtransformationen Λ(~x, t) ¨andern. Transformation der Eichpotentiale: ~ 7−→ A ~0 = A ~ + ∇Λ ~ A 1∂ Λ c ∂t Wir behaupten, dass die Wellenfunktionen folgendermaßen transformiert: Φ 7−→ Φ0 = Φ −
ie
ψ(~x, t) 7−→ ψ 0 (~x, t) = e ~c Λ(~x,t) ψ(~x, t) Zum Beweis gehen wir aus von der Schr¨odinger-Gleichung: " # 2 1 ~~ e~ ∂ ∇ − A(~x, t) + eΦ(~x, t) ψ(~x, t) = i~ ψ(~x, t) 2m i c ∂t
(7.5.1) (7.5.2)
(7.5.3)
(7.5.4)
ie
Multipliziere von links mit e ~c Λ und tausche den Faktor nach rechts durch unter zweimaliger Verwendung der Identit¨ at ∂ ∂f (y) f (y) f (y) ∂ e = − e (7.5.5) ∂y ∂y ∂y # " 2 ie ie 1 ~~ e ~ ~ ie ~ ∂ ie ∂Λ Λ ⇒ ∇− A− ∇Λ + eΦ e ~c ψ(~x, t) = i~ − e ~c Λ ψ(~x, t) 2m i c i ~c ∂t ~c ∂t " ⇒
1 2m
~~ e ~0 ∇− A i c
2
# + eΦ0 ψ 0 (~x, t) = i~
∂ 0 ψ (~x, t) ∂t
(7.5.6)
Da |ψ(~x, t)|2 = |ψ 0 (~x, t)|2 ist, sind die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten unabh¨angig von der Wahl der Eichung.
82
7.6 Aharonov-Bohm Effekt Betrachte ein zeitlich konstantes Magnetfeld, welches in einem bestimmten Gebiet verschwinden soll. ~ =∇ ~ ×A ~=0⇒A ~ ist in diesem Gebiet rotationsfrei. • Wegen B ~ kann als Gradient eines skalaren Feldes geschrieben werden: • A ˆ ~ = ∇Ξ(~ ~ x) A
mit
~ x
Ξ(~x) =
~ s) · d~s A(~
(7.6.1)
~ x0
~ ist dieses Integral wegunabh¨angig. Wegen der Rotationsfreiheit von A ~˙ x, t) = 0 erreichen. ~ x) ≡ 0 sein, was wir mit der Wahl Φ(~x, t) ≡ 0 und A(~ Es soll außerdem E(~ ~ 0 (~x, t) = 0 im feldfreien Gebiet − Das Vektorpotential wurde weggeMit der Wahl Λ = −Ξ ist A eicht: ´ ~ s)·d~s − ie ~x A(~ ψ 0 = ψe ~c ~x0 (7.6.2) Das Aharonov-Bohm Interferenzexperiment hat nun den folgenden Aufbau:
Es ist das klassische Doppelspaltexperiment, bei welchem auf dem Schirm Interferenzmaxima und -minima auftreten. Hinzu kommt eine Spule, die sich im Gebiet, in dem die Wellenfunktion verschwindet (also z.B. zwischen den beiden Spalten), befindet. Durch die Spule soll ein magnetischer Fluss ˆ ΦB =
ˆ ~ · dA ~= B
~ × A) ~ · dA ~ (∇
(7.6.3)
fließen, welchen wir ein- und ausschalten k¨onnen. ψi,B : Wellenfunktion durch Spalt i mit Magnetfeld, ψi,0 : Wellenfunktion durch Spalt i ohne Magnetfeld. ¨ Gem¨aß obiger Uberlegungen gilt ie
ψi,B (~x) = ψi,0 (~x)e ~c
´ i
~ s)·d~s A(~
(7.6.4)
wobei das Subskript i = 1, 2 am Integrationssymbol f¨ ur den Weg durch einen der Spalte steht. Sind beide Spalte ge¨ offnet, ergibt sich die Wellenfunktion als folgende Superposition ie ´ ie ~ ψB (~x) = ψ1,B (~x) + ψ2,B (~x) = ψ1,0 (~x)e ~c ΦB + ψ2,0 (~x) e ~c 2 A(~s)·d~s (7.6.5) wobei wir benutzt haben ˆ ˆ ‰ ˆ ~ s) · d~s − A(~ ~ s) · d~s = A(~ ~ s) · d~s = (∇ ~ × A) ~ · dA ~ = ΦB A(~ 1
2
¨ Mit einer Anderung des Flusses ΦB ¨ andert sich somit auch das Interferenzbild.
83
(7.6.6)
Etwas genauer k¨ onnen wir die von den Spalten ausgehenden Zylinderwellen betrachten: 1 ψi,0 (~x) = √ eikri ri
ri = |~x − ~xi |
(7.6.7)
wobei ~xi der Ort des Spaltes i ist und k = 2π ange λ. Interferenzmaxima treten λ mit der Wellenl¨ dann auf f¨ ur e kr1 + ΦB − kr2 = 2πn mit n∈Z (7.6.8) ~c oder entsprechend λ q r1 − r2 = 2πn − ΦB (7.6.9) 2π ~c W¨ahrend die Phasen von ψi,B eichabh¨ angig sind, ist die relative Phase eichunabh¨angig, was dar~ x) verschwindet, oder ¨aquivalent, dass der aus folgt, dass das geschlossene Wegintegral u ¨ber ∇Ξ(~ magnetische Fluss eichinvariant ist. Anders als in den Newton’schen Bewegungsgleichungen lassen sich in der Schr¨ odinger-Gleichung die Eichpotentiale also nicht vermeiden und wir haben hier ein ~ selbst in Regionen, in denen E ~ = 0 und B ~ = 0. Beispiel f¨ ur einen physikalischen Effekt von A Wir erinnern noch kurz an die Bedeutung magnetischer Fl¨ usse durch ringf¨ormige Supraleiter. F¨ ur diese muss gelten, dass ´ iq
ψi,B (~x) = ψi,0 (~x)e ~c
~ x ~ x0
~ s)·d~s A(~
(7.6.10)
periodisch ist. Hierbei liegt ~x im supraleitenden Ring. Demnach muss gelten ˛ q ~ s) · d~s = q Φ = 2πn A(~ mit n∈Z oder ~c ~c Φ = −nΦ0
mit
Φ0 = −
2π~c q
(7.6.11)
Ein Cooper-Paar im Supraleiter besteht aus zwei Elektronen, also ist das Flussquantum Φ0 =
π~c |e|
(7.6.12)
Die Flussquantisierung ist wesentlich f¨ ur die Funktionsweise von SQUID−Detektoren10 zur Pr¨azisionsmessung von Magnetfeld¨ anderungen.
10
superconducting quantum interference device
84
8 Spin und Addition von Drehimpulsen 8.1 Direktes Produkt Haben wir es mit mehreren Teilchen zu tun, oder hat ein Teilchen neben seinem Ort weitere intrinsische Eigenschaften (z.B. Eigendrehimpuls), dann ist die Beschreibung durch die Ortswellenfunktion in n Dimensionen nicht mehr ausreichend. Sind |ξi i ∈ Hi Hilbertraumvektoren, dann definieren wir das Tensorprodukt |ξ1 i ⊗ |ξ2 i ⊗ ... ⊗ |ξN i ≡ |ξ1 i|ξ2 i...|ξN i ≡ |ξ1 , ξ2 , ..., ξN i ∈ H1 ⊗ H2 ⊗ ... ⊗ HN
(8.1.1)
Im Produktraum wirken die Operatoren folgendermaßen: A1 ⊗ ... ⊗ AN |ξ1 , ..., ξN i = |A1 ξ1 , ..., AN ξN i
(8.1.2)
Das Skalarprodukt ist gegeben durch hξ1 , ..., ξN |ζ1 , ..., ζN i = hξ1 |ζ1 i...hξN |ζN i
(8.1.3)
Beispiel: Zweiteilchenzustand ~u und ~v sind die Orte des ersten bzw. des zweiten Teilchens |ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i = |ψ1 , ψ2 i
(8.1.4)
Die Zweiteilchen-Ortswellenfunktion ist dann gegeben durch ψ(~u, ~v ) = (h~u| ⊗ h~v |)|ψ1 i ⊗ |ψ2 i = ψ1 (~u)ψ2 (~v )
(8.1.5)
Zu dem Beispiel der Kombination verschiedener Eigenschaften (Ort und Spin) kommen wir im Folgenden.
8.2 Intrinsischer Drehimpuls (Spin 1) Gesucht: • Effektive Beschreibung von Systemen mit Bahndrehimpuls als punktf¨ormige Teilchen (z.B. ρ−Mesonen) • oder die Beschreibung eines punktf¨ormigen Elementarteilchens mit Drehimpuls als intrinsischer Eigenschaft: Spin Die nichtrelativistische Quantenmechanik (ebenso wie die Mechanik) soll invariant unter GalileiTransformation sein. Wir ben¨otigen also Gr¨ oßen, die kovariant transformieren: Skalare, Vektoren & Tensoren: Skalar: S 0 = S ~ ~ ~ 0 = e−~ϕ·Λ Vektor: A A 0 Tensor: Tij... =
X h i0 ,j 0 ,...
~
e−~ϕ·Λ
i h ii0
~
e−~ϕ·Λ
i jj 0
· ... · Ti0 ,j 0 ,...
Bisher: Wellenfunktion als skalare Gr¨ oße Nun: Vektoren
85
Wir erinnern dazu an die Drehimpulsalgebra [Li , Lj ] = i~εijk Lk
(8.2.1)
und daran, dass die Li Erzeugende von Drehungen sind: i
~
ψ 0 (~x) = ψ(R−1 ~x) = e− ~ ϕ~ ·L ψ(~x)
(8.2.2)
F¨ ur eine vektorwertige Wellenfunktion werden die Polarisationszust¨ande |εi i durch folgende Zuordnung definiert: ~ei ↔ |εi i ⇒ hεi |εj i = ~ei † · ~ej = δij (8.2.3) Diese Basisvektoren spannen den Hilbertraum R3 auf. Wellenfunktion: ψ(~x) =
X
ψi (~x)~ei
(8.2.4)
ψi (~x) |~xi ⊗ |εi i d3 x | {z }
(8.2.5)
i=x,y,z
ˆ
Zustand:
X
~ = |ψi
i=x,y,z
direktes Produkt L2 ⊗R3
Transformation: ~
i
~
~e 0 = eϕ~ ·Λ~e = e− ~ ϕ~ ·(i~Λ)~e Xh i X i ~ ~ ~ 0 (~x) = eϕ~ ·Λ ~ei ψ e− ~ ϕ~ ·L ψi (~x)
Bezeichne
i
~
D(Spin) (~ ϕ) = e− ~ ϕ~ ·(i~Λ) ~0
⇒ |ψ i = D
ij
j
i=x,y,z
D(Bahn) (~ ϕ) = D(~ ϕ)
und
(Bahn)
(~ ϕ) ⊗ D
(Spin)
~ (~ ϕ)|ψi
(8.2.6)
(8.2.7) (8.2.8)
Außerdem hatten wir bereits bemerkt, dass [i~Λi , i~Λj ] = εijk (i~)2 Λk
(8.2.9)
die Drehimpulsalgebra erf¨ ullt. Wir postulieren nun, dass Operatoren, welche Drehungen erzeugen, Drehimpulsoperatoren sind. Der Beweis daf¨ ur l¨ asst sich letztlich in der Quantenfeldtheorie mit Hilfe des Noether-Theorems f¨ uhren. Wir werden aber nun sehen, dass dieses Postulat zu einer Beschreibung des Spins im Einklang mit den allgemeinen Eigenschaften des quantenmechanischen Drehimpuls f¨ uhrt. Wir definieren den Spinoperator f¨ ur ein Vektorteilchen ~v = i~Λ ~ S Wir erinnern an die explizite form 0 0 0 0 0 1 Λ1 = 0 0 −1 Λ2 = 0 0 0 0 1 0 −1 0 0
(8.2.10)
0 −1 0 Λ3 = 1 0 0 0 0 0
~ 2 = 2~2 1 = ~2 sv (sv + 1) ⇒ sv = 1 ⇒ S v
86
(8.2.11)
(8.2.12)
⇒ Vektorteilchen haben einen Drehimpuls vom Betrag ~sv = ~, man sagt auch Spin-1“ ” Insbesondere gilt dies auch f¨ ur Photonen, wobei allerdings das hier gef¨ uhrte Argument relativistisch verallgemeinert werden muss. Die Eigenwerte von
Svz
0 −1 0 = i~ 1 0 0 0 0 0
(8.2.13)
sind gegeben durch ±~ (mv = ±1) 0 (mv = 0)
mit Eigenvektoren mit Eigenvektor
~e1 ± ~e2 √ 2 ~e3
(8.2.14)
Mit −sv ≤ mv ≤ sv und mv ∈ Z wie f¨ ur den Bahndrehimpuls.
8.3 Stern-Gerlach-Experiment Die Energie eines magnetischen Dipols im Feld ist gegeben durch ~ H = −~ µ·B
(8.3.1)
Diese Energie f¨ uhrt zu einer Kraft auf den Dipol, welche durch ~ = ∇(~ ~ µ · B) ~ F~ = −∇H
(8.3.2)
gegeben ist. Im Versuch von Stern & Gerlach (1922) wurde ein inhomogenes Feld mit einem Magneten mit asymmetrischen Polen erzeugt. Durch dieses Feld werden l¨ angs (in die Papierebene) Silberatome gesendet. Neben abgeschlossenen Schalen haben diese Atome ein Elektron im s-Orbital (l = 0, m = 0). Aufgrund des verschwindenden Bahndrehimpulses erwarten wir µ ~= ~0 und damit keine Ablenkung im Feld. Stattdessen wird eine Aufspaltung in zwei Linien gefunden. Dies kann mit einem intrinsischen
Spin des Elektrons erkl¨ art werden − allerdings nicht mit Spin 1, da die Linie ohne Ablenkung f¨ ur mv = 0 nicht auftritt. • Man ben¨ otigt stattdessen sv = 21 , so dass mit −sv ≤ mv ≤ sv und ∆mv ∈ Z nur mv = ± 21 erlaubt ist. • Dies w¨ urde auch das Auftreten einer geraden Zahl an Linien im anomalen Zeeman-Effekt erkl¨aren.
87
8.4 Spin 1/2 ~ Gesucht ist Spinoperator S, • welcher die Drehimpulsalgebra erf¨ ullt ~2 • mit Eigenwerten ~s(s + 1) = 43 ~ (→ s = 12 ) von S • mit Eigenwerten ± ~2 von Si Wir l¨osen dieses Problem mit einem konstruktiven Ansatz. Dazu betrachten wir o.B.d.A. Eigenzust¨ande von Sz mit der Eigenschaft ~ ~ | ↑i Sz | ↓i = − | ↓i (8.4.1) 2 2 Da Sz hermitesch ist, m¨ ussen die Eigenzust¨ande orthogonal sein. Desweiteren sollen diese Zust¨ ande auf 1 normiert sein h↑ | ↓i = 0 und h↑ | ↑i = h↓ | ↓i = 1 (8.4.2) Sz | ↑i =
Diese Forderungen lassen sich realisieren mit der konkreten Spinor-Repr¨asentation 1 0 | ↑i = |s = 12 , m = + 12 i ↔ χ+ = | ↓i = |s = 12 , m = − 12 i ↔ χ− = 0 1 und Sz =
~ 2
1 0 0 −1
(8.4.3)
(8.4.4)
Die Leiteroperatoren sind dann gegeben durch L± |l, mi |l, m ± 1i = p ~ (l ∓ m)(l ± m + 1) ⇒ | 12 , ± 12 i =
1 S± | 12 , ∓ 12 i ~
Da außerdem f¨ ur die Leiteroperatoren des Spins gilt 1 0 =0 S− =0 S+ 0 1 folgt f¨ ur die in Gleichung (8.4.3) gegebene Spinor-Repr¨asentation 1 1 1 0 0 1 0 = S+ = ~ 0 1 0 0 1 ~ ~ 1 1 0 1 0 0 1 = S− = ~ 1 0 1 0 0 ~ ~
(8.4.5)
(8.4.6)
(8.4.7)
F¨ ur die Leiteroperatoren des Drehimpulses gilt L± = Lx ± iLy Die gesuchten Matrizen Sx und Sy ergeben sich damit zu 1 ~ 0 1 Sx = (S+ + S− ) = 2 2 1 0 1 ~ 0 −i Sy = (S+ − S− ) = 2i 2 i 0
88
(8.4.8)
(8.4.9) (8.4.10)
Wir f¨ uhren nun die Pauli-Matrizen ein: 0 1 σx = 1 0
σy =
0 −i i 0
1 0 σz = 0 −1
(8.4.11)
Mit diesen l¨asst sich der Spin-Operator schreiben als ~ = ~ ~σ S 2
(8.4.12)
In der Tat ist damit die Drehimpulsalgebra erf¨ ullt [Si , Sj ] = i~εijk Sk
(8.4.13)
z.B. folgt dies aus dem Kommutator der Pauli-Matrizen, welchen wir gemeinsam mit weiteren n¨ utzlichen Eigenschaften notieren • σx2 = σy2 = σz2 = 1 • [σx , σy ] = 2iσz und zyklisch ⇔ [σi , σj ] = 2iεijk σk • {σx , σy } = 0 und zyklisch • σx σy σz = i · 1 • Trσx = Trσy = Trσz = 0 • det σx = det σy = det σz = −1 • σi σj = δij + εijk σk Der Zusammenhang zwischen einem allgemeinen Spin-Ket |αi und den Spinoren ist gegeben durch |αi = α+ | ↑i+α− | ↓i ⇔ χα = χ+ h↑ |αi + χ− h↓ |αi |αi = | ↑iχ†+ · χα + | ↓iχ†− · χα
(8.4.14)
Entsprechend dem Fall f¨ ur Spin-1 schreiben wir den Produktzustand als ˆ |Ψi = [ψ+ (~x)|~xi ⊗ | ↑i + ψ− (~x)|~xi ⊗ | ↓i] d3 x
(8.4.15)
N¨ utzlich ist die konkrete Darstellung der Wellenfunktion als Spinor ψ+ (~x) Ψ(~x) = = χ+ h~x, ↑ |Ψi + χ− h~x, ↓ |Ψi ψ− (~x) ˆ h i ⇔ |Ψi = χ†+ Ψ(~x)|~x, ↑i + χ†− Ψ(~x)|~x, ↓i d3 x
(8.4.16)
Die Normierung des Zustandes hat dann die Form ˆ hΨ|Ψi = |ψ+ (~x)|2 + |ψ− (~x)|2 d3 x = 1
(8.4.17)
89
8.5 Magnetisches Moment Zur Erkl¨arung des Stern-Gerlach Versuchs muss der Spin an das Magnetfeld koppeln. In Kapitel 7 ~ folgenden Zusammenhang mit dem magnetischen Moment haben wir f¨ ur den Bahndrehimpuls L gefunden e ~ µ ~ Bahn = L (8.5.1) 2mc Analog ist hier e ~ µ ~ Spin = g S (8.5.2) 2mc wobei g der gyromagnetische Faktor (Land´e -Faktor) ist. Die Dirac-Gleichung sagt f¨ ur das Elektron g = 2 voraus und die experimentelle Best¨atigung dieser Vorhersage ist ein wesentlicher Erfolg der relativistischen Quantenmechanik. 2
1 . Der Vergleich der Tats¨achlich ist g = 2 · (1 + O(α)), mit der Sommerfeldkonstante α = e~c ≈ 137 Korrekturen mit der Rechnung aus der Quantenelektrodynamik f¨ uhrt zum genauesten Test dieser Theorie.
F¨ ur die Wechselwirkung im Magnetfeld haben wir also den folgenden Beitrag zum Hamiltonoperator e ~ ~ + g S) ~ ·B ~ ~ ·B ~ ≡ e (L Hint = (L⊗ 1 + g· 1 ⊗S) (8.5.3) 2mc 2mc ↑ ↑ Spinorraum Ortsraum
Dabei wird wie angedeutet die eigentlich erforderliche Produktschreibweise unterdr¨ uckt, da klar ~ bzw. S ~ wirken. ist, in welchem Hilbertraum L Schließlich merken wir noch an, dass gProton = 5, 59, w¨ahrend f¨ ur das Neutron µ ~ Neutron = e0 −3, 83 2m ist − selbst neutrale Teilchen k¨ o nnen also ein magnetisches Moment haben. nc
8.6 Drehungen von Spinoren Spinoren werden mittels folgender Operatoren gedreht 1
i
~
D( 2 ) (~ ϕ) = e− ~ ϕ~ ·S
(8.6.1)
~ hermitesch ist, ist D unit¨ Da S ar. Außerdem gilt f¨ ur diagonalisierbares A Tr[ln(A)] = ln[det(A)]
ln[det(A)] = ln[det(S
−1
AD S)] = ln
↑ diagonal
= Tr[ln(A)]
⇒
−1
det(S ) det(S) | {z } =1
Y
(8.6.2)
ADii
=
X
i
ln(ADii ) = Tr[ln(ADii )]
i
det(A) = eTr[ln(A)]
↑ n Spur zyklisch,...AD AD ...=SAS −1 SAS −1 ...⇒Tr[An D ]=Tr[A ] 1 i ~ Mit A = e− ~ ϕ~ ·S folgt damit f¨ ur die Determinante von D( 2 ) (~ ϕ) h 1 i i i ~ ϕ) = e− ~ Tr[~ϕ·S] = e− 2 ·0 = 1 det D( 2 ) (~
1
(8.6.3)
Die D( 2 ) (~ ϕ) bilden also die Gruppe der unit¨aren 2×2 Matrizen mit Einheitsdeterminante, genannt SU(2).
90
Es stellt sich die Frage, ob diese Gruppe isomorph zur Drehgruppe SO(3) ist. Wir betrachten dazu die Drehung eines Spin-Kets |αi um den Winkel 2π um die z−Achse i
i
i
† − 2 σz 2π σz 2π e− ~ Sz 2π |αi = | ↑iχ†+ |e− 2{z χα } χα + | ↓iχ− e −iπ
=e
1 0
0 −1
=−1
= −| ↑iχ†+ χα − | ↓iχ†− χα = −|αi
(8.6.4)
Bei einer Drehung um 2π geht also |αi in −|αi u ur |αi → |αi ist dagegen ein Vielfaches ¨ber. F¨ von 4π n¨otig. Die Gruppen SU(2) und SO(3) sind also nur lokal isomorph, d.h. die Abbildung 1 D(Spin 2 ) (~ ϕ) −→ D(Spin 1) (~ ϕ)
(8.6.5)
ist nur ein lokaler Isomorphismus, da 1 1 ~ D(Spin 2 ) (~ ϕ) 6= D(Spin 2 ) ϕ ~ + 2π |~ϕ ϕ|
(8.6.6)
beide jedoch auf das gleiche Element in SO(3) abbilden. Der Effekt ist tats¨ achlich physikalisch: Neutronen lassen sich aufgrund ihres magnetischen Moments mittels Spin Pr¨ azession im Magnetfeld drehen. Pr¨azessionsfrequenz: ω = gn
e0 B ~mn c
mit
gn = −1, 91
(8.6.7)
Seit T die Zeit, welche die Neutronen ben¨otigen, die B 6= 0 Region zu durchlaufen. Variiert man das Magnetfeld, dann findet man zwischen zwei Interferenzmaxima:
∆ωT = gn
e0 ∆B 4π~mn c = 4π ⇒ ∆B = ~mn c e0 gn
(8.6.8)
Entsprechende Experimente wurden 1975 tats¨achlich durchgef¨ uhrt und sind eine gl¨anzende Best¨ atigung von Paulis Spinorentheorie. Neben dreidimensionalen Vektoren und aus diesen gebildeten Tensoren, welche schon aus der klassischen Physik bekannt sind, gibt es in der Quantenmechanik zus¨atzlich Spinoren (und daraus gebildete Tensoren, welche wir in dieser Vorlesung nicht behandeln). Diese sind auch in der Natur realisiert. Als komplexe Objekte tauchen diese in der klassischen Physik nicht auf. Vektoren, Spinoren und daraus abgeleitete Objekte (Tensoren) ersch¨opfen die Darstellungen der Drehgruppe.
8.7 Drehmatrizen Sei nun J~ ein allgemeiner Drehimpulsoperator (Spin, Bahn oder eine Kombination aus diesen) mit Eigenwerten und -zust¨ anden J~2 |j, mi = ~2 j(j + 1)|j, mi
91
Jz |j, mi = ~m|j, mi
(8.7.1)
Dann definieren wir die Wigner−D−Matrix als i
(j)
~
Dm0 m (R(~ ϕ)) = hj, m0 |e− ~ J·~ϕ |j, mi
(8.7.2)
~ J~2 ] = 0 lassen Drehungen j unver¨andert, weshalb Matrixelemente zu verschiedenen j Da [J, (j) automatisch verschwinden. Dm0 m ist eine (2j + 1) × (2j + 1) Matrix. Wirkt der Drehoperator nicht wie hier angenommen auf Drehimpulseigenzust¨ande, dann kann man gruppentheoretisch zeigen, dass sich die Matrixelemente durch eine Basistransformation auf eine blockdiagonale Form bringen lassen: Die Bl¨ocke entsprechen dabei den D(j) und lassen sich nicht weiter in kleinere Bl¨ ocke transformieren. Man sagt: Die D(j) sind (2j + 1)−dimensionale irreduzible Darstellungen der Drehgruppe.
Kugelfl¨ achenfunktionen und Drehmatrizen Betrachte die Drehung des Einheitsvektors |ˆ z i zun¨achst um den Winkel ϑ um die y−Achse und dann um den Winkel ϕ um die z−Achse (vgl. Skizze in Abschnitt 5.4). XX ⇒ |ˆ z i → |ˆ ni = D(R(ϑ, ϕ))|ˆ zi = D(R(ϑ, ϕ))|l, mihl, m|ˆ zi (8.7.3) l
⇒ hl, m0 |ˆ ni = | {z } ∗ (ϑ,ϕ) =Ylm 0
X
hl, m|ˆ zi =
(l)
Dm0 m (R(ϑ, ϕ))|l, mihl, m|ˆ zi
(8.7.4)
m
r ∗ (ϑ Ylm
m
= 0, ϕ beliebig) δm0 =
r 2l + 1 2l + 1 Pl (cos(ϑ)) δm0 = δm0 4π ↑ 4π ϑ=0
↑ Ylm (0,ϕ)=0 f¨ ur m6=0
(8.7.5)
Pl0 =Pl
Dabei haben wir benutzt, dass Lz |ˆ z i = 0|ˆ z i, d.h. |ˆ z i ist Eigenvektor von Lz zum Eigenwert m = 0. r 4π (l) ⇒ Dm0 0 (R(ϑ, ϕ)) = Y ∗ 0 (ϑ, ϕ) (8.7.6) 2l + 1 lm
8.8 Addition von Drehimpulsen: Problemstellung Klassich addieren sich Drehimpulse vektoriell. Quantenmechanisch jedoch gilt: [Ji , Jj ] = i~εijk Jk
(8.8.1)
Es lassen sich also nicht alle Vektorkomponenten simultan festlegen. Man muss also eine Basistransformation zwischen den Basissystemen der einzelnen Drehimpulse und dem Basissystem f¨ ur den Gesamtdrehimpuls bestimmen. Konkret verdeutlichen wir die Problemstellung am Fall von Spin Da wir s = als
1 2
1 2
& Bahndrehimpuls.
w¨ ahlen, unterdr¨ ucken wir die Notation von s und schreiben die Spineigenzust¨ande |s, ms i = | 12 , ± 21 i
| 12 , + 12 i ≡ | ↑i, | 21 , − 12 i ≡ | ↓i
92
(8.8.2)
also ~ 2 | 1 , ± 1 i = ~2 1 S 2 2 2
1 + 1 | 12 , ± 12 i 2
~ Sz | 12 , ± 21 i = ± | 12 , ± 12 i = ~ms | 12 , ± 12 i 2
(8.8.3)
|~xi ⊗ | 12 , ± 12 i = |~x; 21 , ± 12 i
(8.8.4)
~ ⊗1+1⊗S ~≡L ~ +S ~ J~ = L
(8.8.5)
Ort/Spin-Produktzustand: Gesamtdrehimpuls:
wobei wir im letzten Ausdruck die Notation der Identit¨atsoperatoren unterdr¨ ucken. Drehoperator: D(R) = D(Bahn) (R) ⊗ D(Spin
1 ) 2
i
~
i
~
(R) = e− ~ L·~ϕ ⊗ e− ~ S·~ϕ
(8.8.6)
Wellenfunktion: ψ± (~x) = h~x; 12 , ± 21 |Ψi =
X
h~x; 12 , ± 21 |n, l, m; 12 , ± 12 ihn, l, m; 12 , ± 12 |Ψi
n,l,m
=
X
ψn,l,m (~x)hn, l, m; 12 , ± 12 |Ψi
(8.8.7)
n,l,m
Problemstellung: Entwickle statt in |l, m; s, ms i in |j, mj , l, si, oder allgemein: Wenn J~ = J~1 ⊗ 1 + 1 ⊗ J~2 ≡ J~1 + J~2
(8.8.8)
dann entwickle statt in |j1 , m1 ; j2 , m2 i in |j, mj , j1 , j2 i, wobei gilt: J1,2 z |j1,2 , m1,2 i = ~m1,2 |j1,2 , m1,2 i 2 J~1,2 |j1,2 , m1,2 i = ~2 j1,2 (j1,2 + 1) |j1,2 , m1,2 i
und Jz |j, mj , j1 , j2 i = ~mj |j, mj , j1 , j2 i J~2 |j, mj , j1 , j2 i = ~2 j(j + 1)|j, mj , j1 , j2 i
(8.8.9)
Die Entwicklungskoeffizienten hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mj , j1 , j2 i
(8.8.10)
nennt man Clebsch-Gordan Koeffizienten. Dabei bilden J~12 , J1z und J~22 , J2z eine vollst¨andigen Satz, da dies f¨ ur die jeweiligen Paare gilt und die entsprechenden Unterr¨ aume unabh¨angig sind. 2 ] = [J + J , J ~2 Andererseits kommutieren J~2 , Jz , J~12 und J~22 untereinander, da [Jz , J~1,2 1z 2z 1,2 ] = 0 und [J~2 , J~1,2 ] = 0, wie man sieht anhand von
J~2 = J~12 + J~22 + 2J~1 · J~2 = J~12 + J~22 + J1z J2z + J1+ J2− + J1− J2+
(8.8.11)
Wir werden sehen, dass wir jeden Basisvektor |j1 , m1 ; j2 , m2 i in den Zust¨anden |j, mj , j1 , j2 i entwickeln k¨onnen, so dass auch J~2 , Jz , J~12 , J~22 einen vollst¨andigen Satz bilden.
93
Wichtig ist allerdings in Erinnerung zu behalten, dass trotz [J~2 , Jz ] = 0 i.A. [J~2 , J1,2 z ] 6= 0 ~1 und J~2 = S ~2 , wobei Bevor wir die allgemeine L¨ osung angehen, betrachten wir den Fall J~1 = S 1 ~ S1,2 zwei Spin 2 Operatoren sind. ~=S ~1 ⊗ 1 + 1 ⊗ S ~2 ≡ S ~1 + S ~2 ⇒ J~ ≡ S
(8.8.12)
Mit der Notation J → S, j → s ⇒ |j1 , m1 ; j2 , m2 i = |s1 , m1 ; s2 , m2 i |j, mj , j1 , j2 i = |s, ms , s1 , s2 i
(8.8.13)
Dies beschreibt z.B. zwei-Elektronen-Systeme wie das Heliumatom. Da s1 = s2 =
1 2
und m1,2 = ± 21 , ist die Basis |s1 , m1 ; s2 , m2 i vierdimensional.
In der Basis |s, ms , s1 , s2 i existieren folgende M¨oglichkeiten: ( 0 −→ ms = 0 s= 1 −→ ms = −1, 0, 1
(8.8.14)
Das heißt, auch diese Basis ist vierdimensional. Der Zustand mit minimalem ms ist offenbar |1, −1, 21 , 12 i = | 21 , − 12 ; 12 , − 12 i
(8.8.15)
Wir erzeugen daraus ms = 0, 1 mit dem Leiteroperator S+ = Sx + iSy = S1x + iS1y + S2x + iS2y = S1+ + S2+ ≡ S1+ ⊗ 1 + 1 ⊗ S2+ 1 S+ | 12 , − 21 ; 12 , − 21 i = | 12 , 21 ; 12 , − 12 i + | 21 , − 12 ; 12 , 12 i ~ Mit der korrekten Normierung folgt also ⇒
1 |1, 0, 21 , 21 i = √ | 12 , 12 ; 12 , − 12 i + | 12 , − 21 ; 12 , 12 i 2
(8.8.16) (8.8.17)
(8.8.18)
Die nochmalige Anwendung des Leiteroperators ergibt dann 1 1 S+ |1, 0, 21 , 12 i = √ 2| 21 , 12 , 12 , 12 i ~ 2
(8.8.19)
Auch hier folgt dann mit der korrekten Normierung |1, 1, 12 , 21 i = | 12 , 12 ; 12 , 12 i
(8.8.20)
Der Zustand zu s = 0 wird orthogonal zu diesen dreien gew¨ahlt 1 |0, 0, 12 , 21 i = √ | 12 , 12 ; 12 , − 12 i − | 12 , − 21 ; 12 , 12 i 2
94
(8.8.21)
Wir k¨onnen nun f¨ ur dieses Beispiel explizit die nichtverschwindenden Clebsch-Gordan-Koeffizienten angeben:
8.9 Addition allgemeiner Drehimpulse und Bestimmung der Clebsch-Gordan-Koeffizienten Die Entwicklung der Zust¨ ande in der Gesamtdrehimpulsbasis durch Zust¨ande in der Basis der beiden Einzeldrehimpulse ist gegeben durch XX |j, mj , j1 , j2 i = |j1 , m1 ; j2 , m2 i hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mj , j1 , j2 i (8.9.1) | {z } m m 1
Dabei ist XX
2
Clebsch-Gordan-Koeffizienten
|j1 , m1 ; j2 , m2 ihj1 , m1 ; j2 , m2 | = 1
(8.9.2)
m1 m2
im Unterraum der Zust¨ ande mit gegebenen j1 & j2 . Behauptung: F¨ ur mj 6= m1 + m2 verschwinden die Clebsch-Gordan-Koeffizienten. Beweis: Offenbar gilt (Jz − J1z − J2z ) |j1 , m1 ; j2 , m2 i = 0 {z } |
(8.9.3)
=0
Linksmultiplikation ergibt: hj, mj , j1 , j2 | (Jz − J1z − J2z ) |j1 , m1 ; j2 , m2 i = 0 ⇒ (mj − m1 − m2 ) hj, mj , j1 , j2 |j1 , m1 ; j2 , m2 i = 0
(8.9.4)
woraus die Behauptung folgt. Behauptung: Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten verschwinden, außer wenn |j1 −j2 | ≤ j ≤ j1 +j2 . Identifizieren wir j und j1,2 mit der L¨ ange klassischer Vektoren, dann ist dies genau die Dreiecksungleichung. Quantenmechanisch ist der Beweis etwas m¨ uhseliger. Wir u ¨bergehen diesen daher an dieser Stelle, zeigen aber als Konsequenz obiger Bedingung, dass beide Basen die gleiche Dimension haben: Dimension der Basis |j1 , m1 ; j2 , m2 i : N = (2j1 + 1)(2j2 + 1) Dimension der Basis |j, mj , j1 , j2 i :
jX 1 +j2
N=
j=j1 −j2
95
(2j + 1) = (2j1 + 1)(2j2 + 1)
(8.9.5)
Zur Bestimmung der Summe nehmen wir hierbei o.B.d.A. j1 ≥ j2 an. jX 1 +j2 (j1 + j2 )(j1 + j2 + 1) (j1 − j2 − 1)(j1 − j2 ) − + j1 + j2 − (j1 − j2 ) + 1 (2j + 1) = 2 2 2 j=j1 −j2
= (4j1 j2 + 2j1 ) + 2j2 + 1 = (2j1 + 1)(2j2 + 1) Zusammen mit der Tatsache, dass J~2 , Jz , J~12 , J~22 kommutieren, ist nun also klar, dass dieser Satz vollst¨andig ist, da der vollst¨ andige Satz J~12 , J1z , J~22 , J2z ein Basissystem gleicher Gr¨oße besitzt, welches den gleichen Unterraum aufspannt. Entsprechend der Eigenschaften von Transformationen zwischen Basissystemen (Kapitel 3.5) bilden die Clebsch-Gordan-Koeffizienten eine unit¨are Matrix. Dar¨ uberhinaus ergibt sich aus den im Folgenden besprochenen Rekursionsrelationen, dass die Koeffizienten reell gew¨ahlt werden k¨onnen, so dass sie insgesamt eine orthogonale Matrix bilden. Es ergeben sich daraus folgende Relationen: XX hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mj , j1 , j2 ihj1 , m01 ; j2 , m02 |j, mj , j1 , j2 i = δm1 m01 δm2 m02 j
mj
XX hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mj , j1 , j2 ihj1 , m1 ; j2 , m2 |j 0 , m0j , j1 , j2 i = δjj 0 δmj m0j
(8.9.6)
m1 m2
Mit j 0 = j und m0j = mj = m1 + m2 erhalten wir die n¨ utzliche Normierungsbedingung XX hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mj , j1 , j2 i2 = 1
(8.9.7)
m1 m2
An Stelle der Clebsch-Gordon-Koeffizienten werden manchmal die Wigner-3-j-Symbole verwendet: p j1 j2 j j1 −j2 +m hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mj , j1 , j2 i = (−1) (8.9.8) 2j + 1 m1 m2 m Rekursionsrelationen f¨ ur die Clebsch-Gordan-Koeffizienten Wir gehen aus von J± |j, mj , j1 , j2 i = (J1± + J2± )
XX
|j1 , m1 ; j2 , m2 ihj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mj , j1 , j2 i
m1 m2
q = ~ (j ∓ m)(j ± mj + 1)|j, mj ± 1, j1 , j2 i X X q = (j1 ∓ m01 )(j1 ± m01 + 1)|j1 , m01 ± 1; j2 , m02 i m01 m02
q 0 0 0 0 + (j2 ∓ m2 )(j2 ± m2 + 1)|j1 , m1 ; j2 , m2 ± 1i · hj1 , m01 ; j2 , m02 |j, mj , j1 , j2 i (8.9.9) Diese Gleichung multiplizieren wir nun von links mit hj1 , m1 ; j2 , m2 | q ⇒ LS = ~ (j ∓ mj )(j ± mj + 1)hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mj ± 1, j1 , j2 i p = ~ (j1 ∓ m1 + 1)(j1 ± m1 )hj1 , m1 ∓ 1; j2 , m2 |j, mj , j1 , j2 i p + ~ (j2 ∓ m2 + 1)(j2 ± m2 )hj1 , m1 ; j2 , m2 ∓ 1|j, mj , j1 , j2 i = RS
(8.9.10)
Dabei haben wir im ersten Term rechts m01 = m1 ∓ 1, m02 = m2 gesetzt und im zweiten Term m01 = m1 , m02 = m2 ∓ 1. 96
Betrachte nun diese Rekursionsrelationen in der m1 , m2 −Ebene:
Zeichne nun die Grenzen der erlaubten Region, gegeben durch |m1 | ≤ j1
|m2 | ≤ j2
− j ≤ m1 + m2 ≤ j
(8.9.11)
NB: F¨ ur j1 + j2 = j haben wir ein Rechteck. Die hier beispielhaft dargestellten Verh¨altnisse entsprechen j2 = 3
j1 = 4
j=5
W¨ahlen wir als Ausgangspunkt A, so w¨ahlen wir als erste Rekursionsrelation ein J− −Dreieck, wodurch wir den Koeffizienten B erhalten, da der dritte Eckpunkt einem verschwindenden verbotenen Koeffizienten entspricht. Es lassen sich dann mit den Rekursionsrelationen aus jeweils zwei bekannten Koeffizienten ein dritter konstruieren. Nutzt man dann die obige Normierungsbedingung f¨ ur die m1 , m2 Summe, dann sind die Koeffizienten bis auf einen Faktor gegeben. Es ist klar, dass sofern der Koeffizient am Punkt A reell ist, dies wie oben behauptet auch f¨ ur alle anderen Koeffizienten gilt. Ein einfaches und wichtiges praktisches Beispiel ist die Addition von Spin 21 zu einem Bahndrehimpuls (→ l ganzzahlig), also die Situation im Wasserstoffatom. In obiger allgemeiner Diskussion identifizieren wir dazu j1 = l ∈ N
m1 = ml
j2 = s =
( j =l± Erlaubte j : j = 12
1 2
1 2
m2 = ms = ± f¨ ur l > 0 f¨ ur l = 0
1 2
(8.9.12)
(8.9.13)
Wir gehen zun¨ achst aus vom Fall j = l + 12 und benutzen in der Reihe m2 = + 12 die J−Relationen. Dies hat den Vorteil, dass nur Beziehungen zwischen je zwei Koeffizienten verwendet werden m¨ ussen.
97
q ~ l+
1 2
− mj
l+
1 2
− mj + 1 hl, m1 ; 12 , 12 |l + 12 , mj − 1, l, 21 i
p = ~ (l + m1 + 1) (l − m1 )hl, m1 + 1; 21 , 12 |l + 12 , mj , l, 21 i mit m1 = mj −
(8.9.14)
3 2
q ⇒ ~ l+
1 2
+ mj
( ( 3 1 1 1 1 (( l +(21(−(m j + 1 hl, mj − 2 ; 2 , 2 |l + 2 , mj − 1, l, 2 i (
q j = ~ l + mj − 12 l −m + 23 hl, mj − 12 ; 12 , 12 |l + 12 , mj , l, 21 i
(8.9.15)
Ersetze nun mj −→ mj + 1 s ⇒ hl, mj − 12 ; 12 , 12 |l + 21 , mj , l, 12 i =
l + mj + 12 hl, mj + 12 ; 12 , 12 |l + 12 , mj + 1, l, 12 i l + mj + 32
(8.9.16)
Von einem bestimmten mj ausgehend l¨asst sich dies iterieren, bis auf der rechten Seite mj + 1 = l + 12 erreicht wird: hl, mj − 12 ; 12 , 21 |l + 12 , mj , l, 12 i = s s s j l + mj + 12 l +m + 32 2l = ... hl, l; 12 , 12 |l + 12 , l + 21 , l, 12 i 3 5 j + 2l + 1 l+m l + m + j 2 2
(8.9.17)
ur mj = l + 12 sein muss. Das Matrixelement auf der Es ist aber klar, dass ml = l und ms = + 21 f¨ rechten Seite ist also 1 (wobei wir eine bestimmte Phase gew¨ahlt haben). s l + mj + 12 ⇒ hl, mj − 12 ; 21 , 21 |l + 21 , mj , l, 12 i = = cos(α) (8.9.18) 2l + 1 Ein gegebener Zustand in der Gesamtdrehimpulsbasis setzt sich aus h¨ochstens zwei Zust¨anden in der Einzeldrehimpulsbasis zusammen (mj = m1 ± 12 ). Aufgrund der Orthonormalit¨atsrelation ergibt sich also |l + 12 , mj , l, 12 i = cos(α)|l, mj − 21 ; 12 , 12 i + sin(α)|l, mj + 12 ; 12 , − 12 i
(8.9.19)
Hierzu ist orthogonal |l − 12 , mj , l, 12 i = − sin(α)|l, mj − 12 ; 12 , 12 i + cos(α)|l, mj + 21 ; 12 , − 12 i
(8.9.20)
Zu begr¨ unden ist noch, dass das relative Vorzeichen im Einklang mit der Rekursionsrelation ist. hl, mj + 21 ; 12 , − 21 |l + 12 , mj , l, 12 i > 0
(8.9.21)
da |l + 12 , mj , l, 21 i durch wiederholte Anwendung von J− auf |l + 21 , l + 21 , l, 12 i erzeugt werden kann, wobei die Matrixelemente von J− gr¨ oßer oder gleich Null sind. Mit sin2 (α) = 1 −
l + mj + 2l + 1
98
1 2
=
l − mj + 2l + 1
1 2
(8.9.22)
ergibt sich folgende Tabelle:
~ 2, S ~ 2 , J~2 und Wir geben noch explizit die Spin-Kugelfl¨achenfunktionen (Eigenfunktionen von L Jz ) an: s s l ± mj + 21 m1 =mj − 21 l ∓ mj + 12 m1 =mj + 21 j=l± 21 ,mj (ϑ, ϕ)χ+ + (ϑ, ϕ)χ− Yl =± Yl Yl 2l + 1 2l + 1 q 1 1 mj − 2 (ϑ, ϕ) l ± m + Y ± j 2 l 1 =√ (8.9.23) q 1 mj + 2 2l + 1 (ϑ, ϕ) l ∓ mj + 12 Yl Diese sind wichtig f¨ ur die L¨ osung der Dirac-Gleichung im Zentralpotential, welche zur quantitativ korrekten Erkl¨ arung der Feinstruktur durch die Spin-Bahn-Kopplung f¨ uhrt. In der Tat sind dies auch Eigenfunktionen von ~ ·S ~ = 1 J~2 − L ~2 − S ~2 L (8.9.24) 2 mit den Eigenwerten ( l f¨ ur j = l + 12 ~2 3 ~2 j(j + 1) − l(l + 1) − = · (8.9.25) 2 4 2 −(l + 1) f¨ ur j = l − 12 Wir merken noch an, dass sich mehr als zwei Drehimpulse addieren lassen, indem man die hier vorgestellten Methoden sukzessive anwendet, d.h. zum Beispiel durch die Addition von J~1 , J~2 , J~4 und J~5 werden folgende Eigenzust¨ ande gebildet |((j1 , j2 )j3 , (j4 , j5 )j6 )j9 m9 i
(8.9.26)
Die dabei auftretenden Matrixelemente werden Racah-Koeffizienten bzw. Wigner-3nj-Symbole genannt.
8.10 Tensoroperatoren Wir haben bereits gesehen, dass eine Wellenfunktion, die wie ein dreidimensionaler Vektor transformiert, ein Teilchen mit Spin-1 beschreibt. Welcher Spin ist nun Tensoren zuzuordnen? Diese Frage ist von Bedeutung • bei der Auswertung von Matrixelementen in der Atom- und Kernphysik • in der Quantenfeldtheorie bei der Beschreibung von Elementarteilchen mit Spin • aber auch in der klassischen Fluiddynamik, wo eine Entwicklung in sph¨arischen Multipolmomenten sinnvoll sein kann (z.B. beim Problem der Strukturformierung im fr¨ uhen Universum). 99
Wir erinnern wieder an die Transformationseigenschaft von kartesischen Vektoren und Tensoren unter Drehungen: h i ~ Vektor: A0i = e−~ϕ·Λ 0 Ai0 ii
0 Tij...
Tensor:
i h i Xh ~ ~ = e−~ϕ·Λ 0 e−~ϕ·Λ ii
i0 j 0 ...
jj 0
· ... · Ti0 j 0 ...
(8.10.1)
Betrachten wir als Beispiel einen Tensor 2. Stufe Tij . Da einem Tensoren h¨oherer Stufe selten begegnen, ist dies bereits von einiger allgemeiner Bedeutung. Zerlegen wir nun Tij in • seine (normierte) Spur E =
1X 1 Tii = Tr(T ) 3 3 i
1 • seinen antisymmetrischen Anteil Aij = (Tij − Tji ) 2 1 1 X • seinen spurfreien, symmetrischen Anteil Sij = (Tij + Tji ) − δij Tkk 2 3 k
Anzahl der Freiheitsgrade: T −→ 9
E −→ 1
A −→ 3
S −→ 5
(NB 1 + 3 + 5 = 9)
Unter Drehungen ist E invariant, w¨ ahrend A und S wiederum auf symmetrische bzw. antisymmetrische Tensoren abbilden: Tij0 = Rir Rjs Trs (8.10.2) 1 1 1 E 0 = Rir Ris Trs = Tr[RT R−1 ] = Tr(T ) 3 3 3 0 Sij = Rir Rjs Srs
A0ij
= Rir Rjs Ars
0 0 Sji = Rjr Ris Srs = Rjr Ris Ssr = Rjs Rir Srs = Sij
⇒ ⇒
(8.10.3)
A0ji
= Rjr Ris Ars = −Rjr Ris Asr = −Rjs Rir Ars =
−A0ij
(8.10.4) (8.10.5)
~ dargestellt werden kann Wir behaupten, dass der antisymmetrische Tensor durch einen Vektor V Aij = εijk Vk
⇒
1 1 Vk = εijk εijl Vl = δkl Vl = εijk Aij 2 2
(8.10.6)
wobei Vi0 = Rij Vj ist. Dies folgt in der Tat aus dem Transformationsverhalten von A0ij = Rii0 Rjj 0 Ai0 j 0
(8.10.7)
1 1 ⇒ Vk0 = εijk Rir Rjs εrst Vt = εijl Rir Rjs δlk εrst Vt 2 2 1 1 −1 −1 = εijl Rir Rjs Rlm Rmk εrst Vt = det(R) εrsm εrst Rmk Vt | {z } 2 2 =2δmt
= det(R)Rkt Vt = Rkt Vt
(8.10.8)
Dabei haben wir benutzt εijk Mir Mjs Mkt = det(M )εrst
100
(8.10.9)
E transformiert also wie ein Skalar und A wie ein Vektor. Die Zahl der Freiheitsgrade entspricht also der 2j + 1-dimensionalen Darstellung der Drehgruppe mit j = 0 bzw. j = 1. Es liegt nun nahe zu vermuten, dass δij mit f¨ unf Freiheitsgraden gem¨aß der l = 2 Darstellung transformiert. Um dies zu sehen, gehen wir von kartesischen zu sph¨arischen Tensoren u ¨ber. Sph¨arische Tensoren lassen sich allgemein u ¨ber ihre Transformationseigenschaften definieren. Es gibt aber folgenden Zusammenhang mit den Kugelfl¨achenfunktionen: m=q ~ Tq(k) = Yl=k (V )
(8.10.10)
ist ein sph¨arischer Tensor k−ter Stufe. Dabei ist ~ =V ~ (|V ~ |, ϑ, ϕ) V
~ ) = |V ~ |Y m (ϑ, ϕ) Ylm (V l
und
(8.10.11)
Allerdings hat umgekehrt nicht jeder sph¨arische Tensor die Form einer Kugelfl¨achenfunktion. Beispiele: x = r sin(ϑ) cos(ϕ) cos(ϑ) =
y = r sin(ϑ) sin(ϕ) z r
sin(ϑ)e±iϕ = Vx x ~ V = Vy ≡ y z Vz
r
r 3 3 z Y10 = cos(ϑ) = 4π 4π r r r 3 3 x ± iy ±1 ±iϕ Y1 = ∓ sin(ϑ)e =∓ 8π 8π r r r 15 15 (x ± iy)2 Y2±2 = sin2 (ϑ)e±2iϕ = 32π 32π r2
⇒
z = r cos(ϑ) x ± iy r
(1) T0
(1)
⇒ T±1
(2)
⇒ T±2
(8.10.12) (8.10.13)
(8.10.14)
r
3 Vz 4π r 3 =∓ (Vx ± iVy ) 8π r 15 = (Vx ± iVy )2 32π
=
(8.10.15)
(k)
Die Tq transformieren in der 2k + 1-dimensionalen irreduziblen Darstellung der Drehgruppe, m . ebenso wie die Yl=k Daher betrachten wir das Transformationsverhalten der Kugelfl¨achenfunktionen nun etwas genauer. Mit der Definition eines Einheitsvektors n ˆ = n ˆ (ϑ, ϕ) und des zugeh¨origen Eigenkets |ˆ ni schreiben wir Ylm (ˆ n) = hˆ n|l, mi (8.10.16) Die Transformation von |ˆ ni sowie von hˆ n| ist gegeben durch |ˆ n0 i = D(R)|ˆ ni
und
hˆ n0 | = hˆ n|D(R−1 )
(8.10.17)
Wir notieren die Definition der Drehmatrix f¨ ur Bahndrehimpulseigenzust¨ande (l)
Dm0 m (R) = hl, m0 |D(R)|l, mi X (l) ⇒ D(R−1 )|l, mi = Dm0 m (R−1 )|l, m0 i
(8.10.18) (8.10.19)
m0
Die Linksmultiplikation davon mit hˆ n| liefert X 0 (l) Ylm (ˆ n0 ) = Ylm (ˆ n)Dm0 m (R−1 ) m0
101
(8.10.20)
Wir erinnern an das Transformationsverhalten von Operatoren hψ|A|ϕi = hψ 0 |A0 |ϕ0 i = hψ|D† (R)A0 D(R)|ϕi ⇒ A0 = D(R)AD† (R)
(8.10.21)
Wir definieren daher einen Tensoroperator k−ter Stufe durch das Transformationsverhalten k X
D† (R)Tq(k) D(R) =
(k)∗
(k)
(8.10.22)
(k)
(k)
(8.10.23)
Dqq0 (R)Tq0
q 0 =−k
oder ¨aquivalent dazu k X
D(R)Tq(k) D† (R) =
Dq0 q (R)Tq0
q 0 =−k
Man beachte, dass mit dieser Definition klar ist, dass die Ylm (V~ ) als sph¨arische Tensoren aufgefasst werden k¨onnen − allerdings haben umgekehrt nicht alle sph¨arischen Tensoren die Gestalt von Kugelfl¨achenfunktionen. Infinitesimal ergibt sich iJ~ · n ˆε 1− ~
! Tq(k)
iJ~ · n ˆε 1+ ~
⇒ [J~ · n ˆ , Tq(k) ] =
k X
!
X
=
(k)
Tq0 hkq 0 |1 −
~ nε iJ·ˆ ~ |kqi
q 0 =−k (k) ˆ |kqi Tq0 hkq 0 |J~ · n
(8.10.24)
q0
W¨ahlen wir nun n ˆ = ~ez sowie n ˆ = ~ex ± i~ey , dann folgt [Jz , Tq(k) ] = ~qTq(k) p (k) [J± , Tq(k) ] = ~ (k ∓ q)(k ± q + 1)Tq±1
(8.10.25)
wobei wir folgenden Zusammenhang benutzt haben J± |j, mi |j, m ± 1i = p ~ (j ∓ m)(j ± m + 1)
(8.10.26)
Diese Kommutatorrelationen k¨ onnen als alternative Definition sph¨arischer Tensoren aufgefasst werden. Sph¨ arische Tensoroperatoren haben damit die vorteilhafte Eigenschaft, in einer bestimmten irreduziblen Darstellung der Drehgruppe zu transformieren. Tensor 1. Stufe Ein kartesischer Tensoroperator 1. Stufe ist ein Vektoroperator, d.h. es gilt [Ji , Vj ] = i~εijk Vk ⇒ [Jz , Vx ] = i~Vy
[Jz , Vy ] = −i~Vx
(8.10.27) [Jz , Vz ] = 0
(8.10.28)
Ansatz f¨ ur sph¨ arischen Tensor: Vq(1) = aqx Vx + aqy Vy + aqz Vz (1)
(1)
[Jz , V0 ] = ~qV0
(1)
⇒ V0
q=0
= Vz ⇔ a0z = 1, a0x = a0y = 0
(8.10.29) (8.10.30)
(1)
[Jz , V± ] = a±x i~Vy − a±y i~Vx = ±~(a±x Vx + a±y Vy ) ⇒ a±x = ∓ia±y ⇔ a±y = ±ia±x , a±z = 0
102
(8.10.31)
√ (1) √ (1) [J± , V0 ] = ~ 2V± = ~ 2a±x (Vx ± Vy ) = [Jx ± iJy , Vz ] = −i~Vy ∓ ~Vx = ∓~(Vx ± iVy ) 1 ⇒ a±x = ∓ √ 2
(8.10.32)
1 1 (1) (1) ⇒ V+ = − √ (Vx + iVy ) V− = √ (Vx − iVy ) (8.10.33) 2 2 Bis auf die Normierung stimmen diese Resultate mit den Kugelfl¨achenfunktionen als sph¨arischen Tensoren u ¨berein. Tensor 2. Stufe (k)
Man kann Tq wieder mit zun¨ achst unbekannten Koeffizienten als Summe aus Komponenten des kartesischen Tensors ausdr¨ ucken und dann aus den Kommutatorrelationen Bestimmungsgleichungen f¨ ur die Koeffizienten herleiten. F¨ ur den allgemeinen Tensor 2. Stufe findet man r √ 3 (0) (2) T0 = − 3E T0 = Szz 2 √ (1) (2) T0 = −i 2Axy T±1 = ∓(Szx ± iSzy ) (1)
T±1 = ±i(Ayz ± iAzx )
1 (2) T±2 = (Sxx − Syy ± 2iSxy ) 2
(8.10.34)
Dieses Resultat ist allgemeiner als die entsprechenden Kugelfl¨achenfunktionen, schließt diese aber bei bestimmter Wahl von T ij mit ein (siehe unten).
8.11 Produkte Sph¨ arischer Tensoren Clebsch-Gordan-Reihe Das Produkt D(j1 ) ⊗ D(j2 ) ist reduzibel, da (j +j ) D 1 2 0 ... 0 .. . 0 D(j1 +j2 −1) . . . (j1 ) (j2 ) D ⊗D = .. . . . 0 . 0 0 ... 0 D(j1 −j2 ) = D(j1 +j2 ) ⊕ D(j1 +j2 −1) ⊕ . . . ⊕ D(j1 −j2 )
(8.11.1)
Dabei haben wir die direkte Summe orthogonaler Teilr¨aume eingef¨ uhrt als A 0 A⊕B = 0 B
(8.11.2)
Wir k¨onnen das Tensorprodukt daher in der Clebsch-Gordan-Reihe entwickeln (j )
(j )
Dm11 m0 (R)Dm22 m0 (R) = 1
2
=
jX 1 +j2
XX
j=|j1 −j2 | m
(j)
hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, m, j1 , j2 ihj1 , m01 ; j2 , m02 |j, m0 , j1 , j2 iDmm0 (R) (8.11.3)
m0
103
Zum Beweis dr¨ ucken wir die linke Seite zun¨achst folgendermaßen aus hj1 , m1 ; j2 , m2 |D(R)|j1 , m01 ; j2 , m02 i = hj1 , m1 |D(R)|j1 , m01 ihj2 , m2 |D(R)|j2 , m02 i (j )
(j )
= Dm11 m0 (R)Dm22 m0 (R)
(8.11.4)
2
1
Andererseits folgt die rechte Seite ebenfalls aus diesem Matrixelement hj1 , m1 ; j2 , m2 |D(R)|j1 , m01 ; j2 , m02 i XXXX = hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, m, j1 , j2 ihj, m, j1 , j2 |D(R)|j 0 , m0 , j1 , j2 ihj 0 , m0 , j1 , j2 |j1 , m01 ; j2 , m02 i j
=
m
j0
m0
XXXX j
m
j0
(j)
hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, m, j1 , j2 iDmm0 (R)δjj 0 hj 0 , m0 , j1 , j2 |j1 , m01 ; j2 , m02 i
(8.11.5)
m0
Womit die Behauptung bewiesen ist. Wir kommen nun zur Hauptaussage dieses Abschnitts u ¨ber Produkte Sph¨arischer Tensoren: Theorem: (k )
(k )
Seien Xq1 1 und Zq2 2 irreduzible sph¨ arische Tensoren vom Rang k1 bzw. k2 . XX ⇒ Tq(k) = hk1 , q1 ; k2 , q2 |k, q, k1 , k2 iXq(k1 1 ) Zq(k2 2 ) q1
(8.11.6)
q2
ist ein irreduzibler sph¨ arischer Tensor der Stufe k Beweis: Zu berechnen ist das Transformationsverhalten XX D† (R)Tq(k) D(R) = hk1 , q1 ; k2 , q2 |k, q, k1 , k2 iD† (R)Xq(k1 1 ) D(R)D† (R)Zq(k2 2 ) D(R) q1
=
XXXX q1
=
q2
q10
q2
(k )
(k )
(k )
(k )
hk1 , q1 ; k2 , q2 |k, q, k1 , k2 iXq0 1 Dq0 q11 (R−1 )Zq0 2 Dq0 q22 (R−1 ) 1
1
q20
2
2
XXXXXXX hk1 , q1 ; k2 , q2 |k, q, k1 , k2 ihk1 , q10 ; k2 , q20 |k 00 , q 0 , k1 , k2 i k00
q1
q10
q2
q20
q 00
q0 (k00 )
(k )
(k )
× hk1 , q1 ; k2 , q2 |k 00 , q 00 , k1 , k2 iDq0 q00 (R−1 )Xq0 1 Zq0 2 1
=
XXXXX k00
=
X q0
=
X q0
q10
q20
q 00
(k00 )
(k )
2
(k )
δkk0 δqq00 hk1 , q10 ; k2 , q20 |k 00 , q 0 , k1 , k2 iDq0 q00 (R−1 )Xq0 1 Zq0 2 1
q0
2
XX (k ) (k ) (k) hk1 , q10 ; k2 , q20 |k, q 0 , k1 , k2 iX 0 1 Z 0 2 D 0 (R−1 ) q10
q20
(k)
(k)
Tq0 Dq0 q (R−1 ) =
q1
X
(k)∗
(k)
Dqq0 (R)Tq0
q2
qq
(8.11.7)
q0
Dabei haben wir die Clebsch-Gordan-Reihe und die folgende Orthonormalit¨atsrelation benutzt XX hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, mj , j1 , j2 ihj1 , m1 ; j2 , m2 |j 0 , m0j , j1 , j2 i = δjj 0 δmj m0j (8.11.8) m1 m2
104
Ein einfaches Beispiel f¨ ur ein kartesisches Tensorprodukt ist gegeben durch Tij = Ui Vj mit zwei ~ ~ Vektoren U und V . Dieses kann wie folgt zerlegt werden ! ~ ·V ~ ~ ·V ~ Ui Vj − Vj Ui Ui Vj + Uj Vi U U (8.11.9) Ui Vj = δij + + − δij 3 2 2 3 | {z } ~ ×V ~ )k =εijk (U
1. Term: 2. Term: Term in Klammern:
−1 Freiheitsgrad −3 Freiheitsgrade −5 Freiheitsgrade
Skalar (rotationsinvariant) Vektor Symmetrischer spurfreier Tensor
Kurz l¨asst sich dieses Beispiel f¨ ur die Zerlegung eines kartesischen in einen sph¨arischen Tensor ausdr¨ ucken als 3⊗3=1⊕3⊕5 (8.11.10) Die sph¨arischen Komponenten sind nun (0)
T0
(1)
T0
(1)
T±1
(2)
T0
(2)
T±1
(2)
T±2
1 = − √ (Ux Vx + Uy Vy + Uz Vz ) 3 1 = −i √ (Ux Vy − Vy Ux ) 2 i = ± (Uy Vz − Uz Vy ± iUz Vx ± iUx Vz ) 2 1 = √ (2Uz Vz − Ux Vx − Uy Vy ) 6 1 = ∓ (Ux Vz + Uz Vx ± iUz Vy ± iUy Vz ) 2 1 = (Ux Vx − Uy Vy ± iUx Vy ± iUy Vx ) 2
(8.11.11)
Offenbar ist dies ein Spezialfall der oben angegebenen Zerlegung eines allgemeinen kartesischen Tensors 2. Stufe. Auch wenn die Behandlung von Quantenfeldern die Verallgemeinerung von der Drehgruppe zur Lorentzgruppe voraussetzt, merken wir bereits folgendes an: • Photonen haben als Vektorteilchen den Spin 1, was sowohl ausgehend von der Darstellung durch das Vektorpotential, als auch durch den antisymmetrischen Feldst¨arketensor klar ist. (1) Die Spineigenzust¨ ande sind durch V± als Polarisationsvektoren gegeben und entsprechen genau zirkular polarisiertem Licht. • Gravitationswellen werden durch einen symmetrischen Tensor 2. Stufe beschrieben, so dass Gravitonen Spin 2 haben.
8.12 Das Wigner-Eckart-Theorem Theorem: hα0 ; j 0 , m0 |Tq(k) |α; j, mi = hj, m; k, q|j 0 , m0 , j, ki
105
hα0 ; j 0 ||T (k) ||α; ji √ 0 2j + 1
(8.12.1)
Das Matrix Element zerf¨ allt also in zwei Faktoren: • einen Clebsch-Gordan-Koeffizienten (geometrischer Faktor) entsprechend der Addition der Drehimpulse von |j, mi und |k, qi. • und einen dynamischen Faktor, welcher nur vom Gesamtdrehimpuls und weiteren Quantenzahlen α (z.B. Radialquantenzahl) abh¨angt, aber unabh¨angig von den Magnetquantenzahlen m, m0 und q ist. Der Ausdruck hα0 ; j 0 ||T (k) ||α; ji wird durch obige Relation also definiert. Man bezeichnet diesen als (k) reduziertes Matrixelement. Um hα0 ; j 0 , m0 |Tq |α; j, mi zu berechnen, gen¨ ugt also die Kenntnis eines dieser Matrixelemente. Aus diesem und aus den Clebsch-Gordan-Koeffizienten ergeben sich die Elemente f¨ ur weitere m, m0 und q. Beweis: Wir gehen aus von h
i p (k) J± , Tq(k) = ~ (k ∓ q)(k ± q + 1)Tq±1 h i p (k) 0 0 0 (k) ⇒ hα ; j , m | J± , Tq |α; j, mi = ~ (k ∓ q)(k ± q + 1)hα0 ; j 0 , m0 |Tq±1 |α; j, mi
(8.12.2) (8.12.3)
Mit Hilfe des Zusammenhangs J± |j, mi |j, m ± 1i = p ~ (j ∓ m)(j ± m + 1)
(8.12.4)
folgt daraus p (j 0 ± m0 )(j 0 ∓ m + 1)hα0 ; j 0 , m0 ∓ 1|Tq(k) |α; j, mi p = (j ∓ m)(j ± m + 1)hα0 ; j 0 , m0 |Tq(k) |α; j, m ± 1i +
p (k) (k ∓ q)(k ± q + 1)hα0 ; j 0 , m0 |Tq±1 |α; j, mi
Wir vergleichen dies mit der Rekursionsrelation f¨ ur die Clebsch-Gordan-Koeffizienten p ~ (j 0 ± m0 )(j 0 ∓ m0 + 1)hj, m; k, q|j 0 , m0 ∓ 1, j, ki p = ~ (j ± m + 1)(j ∓ m)hj, m ± 1; k, q|j 0 , m0 , j, ki p + ~ (k ± q + 1)(k ∓ q)hj, m; k, q ± 1|j 0 , m0 , j, ki
(8.12.5)
(8.12.6)
Diese Gleichungen haben die Form homogener, linearer Gleichungssysteme, um bei gegebenem j 0 s¨amtliche Clebsch-Gordan-Koeffizienten bei Addition der Drehimpulse von |j, mi und |k, qi wie in Abschnitt 8.9 diskutiert zu erzeugen. Das Resultat ist bis auf die Normierung eindeutig, also (k)
hα0 ; j 0 , m0 |Tq±1 |α; j, mi (k)
hα0 ; j 0 , m ˜ 0 |Tq˜±1 |α; j, mi ˜
=
hj, m; k, q ± 1|j 0 , m0 , j, ki hj, m; ˜ k, q˜ ± 1|j 0 , m ˜ 0 , j, ki
(8.12.7)
(k)
⇒
hα0 ; j 0 , m0 |Tq±1 |α; j, mi hj, m; k, q ± 1|j 0 , m0 , j, ki mit
f (α, α0 , j, j 0 ) =
Die Behauptung ist damit bewiesen.
106
= f (α, α0 , j, j 0 )
hα0 ; j 0 ||T (k) ||α; ji √ 0 2j + 1
(8.12.8)
(8.12.9)
Beispiel: Dipol¨ uberg¨ ange Angeregte atomare Zust¨ ande zerfallen h¨aufig unter Emission eines Photons in sogenannten elektrischen Dipol¨ uberg¨ angen. Die Rate ist dabei proportional zu hn0 , l0 , m0 |~x|n, l, mi. Wir k¨onnen also benutzen, dass hn0 , l0 , m0 |Tq(1) |n, l, mi ∝ hl, m; 1, q|l0 , m0 , l, 1i
mit
q = 0, ±1
(8.12.10)
Mit m0 = m + q folgt damit
∆m = m0 − m = 0, ±1
(8.12.11)
Auswahlregel fu ¨ r die Magnetquantenzahl bei Dipolu angen ¨ berg¨
Weiterhin folgt mit der Dreiecksrelation l − 1 ≤ l0 ≤ l + 1
(8.12.12)
Die Parit¨atstransformation ~x → −~x entspricht (ϑ, ϕ) −→ (π − ϑ, π + ϕ)
(8.12.13)
Wir sehen dann an der Definition der Kugelfl¨achenfunktionen Ylm (ϑ, ϕ) −→ Ylm (π − ϑ, π + ϕ) = (−1)l Ylm (ϑ, ϕ)
(8.12.14)
F¨ ur l0 = l hat der f¨ ur das Matrixelement auszuwertende Integrand also ungerade Parit¨at, so dass hn0 , l0 = l, m0 |~x|n, l, mi = 0
(8.12.15)
Insgesamt folgt damit
∆l = l0 − l = ±1
(8.12.16)
Auswahlregel fu ¨ r die Drehimpulsquantenzahl bei Dipolu angen ¨ berg¨
8.13 Elektrische Multipolmomente Integral u achenfunktionen ¨ ber drei Kugelfl¨ Da sph¨arische Tensoroperatoren die Gestalt von Kugelfl¨achenfunktionen haben k¨onnen, ist es f¨ ur Anwendungen des Wigner-Eckart Theorems von Nutzen, eine Formel f¨ ur Matrixelemente von diesen Funktionen herzuleiten. Wir gehen dazu aus von der Clebsch-Gordan-Reihe (j )
jX 1 +j2
(j )
Dm11 m0 (R)Dm22 m0 (R) = 1
2
XX
j=|j1 −j2 | m
(j)
hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, m, j1 , j2 ihj1 , m01 ; j2 , m02 |j, m0 , j1 , j2 iDmm0 (R)
m0
(8.13.1) und setzen j1 → l1 , j2 → l2 , j → l0 , m → m0 , m01 → 0 und m02 → 0:
107
(l )
(l )
Dm11 0 (R)Dm22 0 (R) =
XX (l0 ) hl1 , m1 ; l2 , m2 |l0 , m0 , l1 , l2 ihl1 , 0; l2 , 0|l0 , 0, l1 , l2 iDm0 0 (R) l0
Wir ersetzen dann (l) Dm0 0 (R(ϑ, ϕ))
⇒
(8.13.2)
m0
2 1 (ϑ, ϕ) (ϑ, ϕ)Ylm Ylm 2 1
r =
4π 0 Y m ∗ (ϑ, ϕ) 2l + 1 l
(8.13.3)
p (2l1 + 1)(2l2 + 1) X X = hl1 , m1 ; l2 , m2 |l0 , m0 , l1 , l2 i 4π 0 0 l
m
r
4π 0 Ym (8.13.4) 0 (ϑ, ϕ) 2l0 + 1 l Wir multiplizieren nun mit Ylm∗ (ϑ, ϕ) und integrieren u ¨ber die Kugelfl¨ache, wobei wir die Orthonormalit¨atsrelation ausnutzen: ˆ 2π ˆ π 2 1 (ϑ, ϕ) sin(ϑ) dϑ dϕ (ϑ, ϕ)Ylm Ylm∗ (ϑ, ϕ)Ylm 2 1 × hl1 , 0; l2 , 0|l0 , 0, l1 , l2 i
0
0
s =
(2l1 + 1)(2l2 + 1) hl1 , 0; l2 , 0|l, 0, l1 , l2 ihl1 , m1 ; l2 , m2 |l, m, l1 , l2 i 4π(2l + 1)
(8.13.5)
Entwicklung in elektrischen Multipolen • Neben den Energieniveaus geben elektrische Multipolmomente Auskunft u ¨ber die Struktur von Kernen, Atomen und Molek¨ ulen. • Multipolmomente sind eine Konsequenz der internen Ladungsverteilung, welche im externen Feld gemessen werden kann. Die potentielle Energie ist gegeben durch V (~r) = qU (~r)
(8.13.6)
Die Entwicklung von U (~r) lautet ∞ X l X
flm (r)Ylm (ϑ, ϕ)
(8.13.7)
l=0 m=−l
Das externe Potential soll von Quellen weit entfernt von der Testladungsverteilung erzeugt werden −→ ∆U (~r) = 0 Wir erinnern an den Laplace-Operator in Kugelkoordinaten (Abschnitt 6.1) ~2 1 ∂2 L r − r ∂r2 ~2 r2
(8.13.8)
1 ∂2 l(l + 1) r− flm (r) = 0 r ∂r2 r2
(8.13.9)
∆= ⇒
⇒ flm (r) = Arl + Br−(l+1)
(8.13.10)
Damit U (~r) endlich ist f¨ ur ~r = ~0 w¨ ahlen wir B = 0 und schreiben r flm (r) =
4π clm rl 2l + 1
108
(8.13.11)
⇒ V (~r) =
∞ X l X
r clm Qm l
Qm r) l (~
mit
=q
l=0 m=−l
Quantenmechanisch definieren wir den Operator r r 0 i =Qm r) δ 3 (~r − ~r 0 ) = q h~r| Qm l (~ l |~ ↑ Operator
↑ Funktion
4π l m r Y (ϑ, ϕ) 2l + 1 l
4π l m r Y (ϑ, ϕ)δ 3 (~r − ~r 0 ) 2l + 1 l
(8.13.12)
(8.13.13)
Die Operatoren Qm l nennt man elektrische Multipoloperatoren. Es ist offensichtlich, dass es sich um irreduzible sph¨ arische Tensoroperatoren handelt, auf welche sich das Wigner-Eckart-Theorem anwenden l¨asst hα0 ; l1 , m1 |Qm l |α; l2 , m2 i = hl2 , m2 ; l, m|l1 , m1 , l2 , li
hα0 ; l1 ||Ql ||α; l2 i √ 2l1 + 1
(8.13.14)
Explizit berechnen wir die linke Seite als hα0 ; l1 , m1 |Qm l |α; l2 , m2 i = r ˆ ∞ ˆ π ˆ 2π 4π 1∗ 2 Ylm (ϑ, ϕ)Ylm (ϑ, ϕ)Ylm (ϑ, ϕ)Rα∗ 0 l1 (r)Rαl2 (r)rl r2 sin(ϑ) dϕ dϑ dr =q 1 2 2l + 1 0 0 0 r ˆ ∞ 2l2 + 1 hl, 0; l2 , 0|l1 , 0, l, l2 ihl, m; l2 , m2 |l1 , m1 , l, l2 i rl+2 Rα∗ 0 l1 (r)Rαl2 (r) dr (8.13.15) =q 2l1 + 1 0 ˆ ∞ p rl+2 Rα∗ 0 l1 (r)Rαl2 (r) (8.13.16) ⇒ hα0 ; l1 ||Ql ||α; l2 i = q 2l2 + 1hl, 0; l2 , 0|l1 , 0, l, l2 i 0
Ohne Beweis merken wir folgende Symmetrieeigenschaft der Clebsch-Gordan-Koeffizienten an hj1 , −m1 ; j2 , −m2 |j, −m, j1 , j2 i = (−1)j1 +j2 −j hj1 , m1 ; j2 , m2 |j, m, j1 , j2 i
(8.13.17)
Sind alle Magnetquantenzahlen gleich Null, dann verschwindet der Koeffizient. Dies ist dann der Fall, wenn j1 + j2 − j ungerade ist. F¨ ur die obige Beziehung bedeutet dies, dass das reduzierte Matrixelement verschwindet wenn l + l2 − l1 bzw. l + l2 + l1 ungerade ist. Es gilt weiterhin die Dreiecksungleichung |l − l2 | ≤ l1 ≤ l + l2
(8.13.18)
f¨ ur nichtverschwindende Matrixelemente. Wird ein bestimmtes System (Atom, Molek¨ ul oder Kern) betrachtet, dann ist l1 = l2 und es folgt l ≤ 2l1 . Alle Multipolmomente mit l > 2l1 verschwinden also. • Mit l1 + l2 + l gerade und l1 = l2 folgt, dass elektrische Multipolmomente f¨ ur Drehimpulseigenzust¨ ande nur f¨ ur gerade l nicht verschwinden. • Das Deuteron (Kern aus einem Proton & einem Neutron) hat im Grundzustand ein elektrisches Quadrupolmoment. Der Grundzustand hat deshalb einen nichtverschwindenden Bahndrehimpuls.
109
8.14 Fermionen und Bosonen Wir betrachten das Tensorprodukt f¨ ur Vielteilchensysteme |ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ . . . ⊗ |ψi i ⊗ . . . ⊗ |ψj i ⊗ . . .
(8.14.1)
und vertauschen zwei identische Teilchen mit dem Permutationsoperator Pij |ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ . . . ⊗ |ψj i ⊗ . . . ⊗ |ψi i ⊗ . . .
(8.14.2)
Hierbei fordern wir identische Teilchen, damit der Permutationsoperator in den gleichen ProduktHilbertraum abbildet. Es gilt Pij |ψi = λ|ψi (8.14.3) Da beim Vertauschen zweier identischer Teilchen nur ein irrelevanter Phasenfaktor λ ∈ C mit |λ| = 1 auftreten kann folgt damit Pij2 = 1
⇒
Pij hat die Eigenwerte λ = ±1
(8.14.4)
Wir betrachten jetzt |ψi = |ψ1 i ⊗ |ψ2 i = |ψ1 , ψ2 i † |ψ 0 i = ⇒ hψ|P12 P12
ˆ
|ψ 0 i = |ψ10 i ⊗ |ψ20 i = |ψ10 , ψ20 i
und
(8.14.5)
† |ψ10 , ψ20 i d3 x1 d3 x2 hψ1 , ψ2 |P12 |~x1 , ~x2 ih~x1 , ~x2 |P12
ˆ =
hψ1 , ψ2 |~x2 , ~x1 ih~x2 , ~x1 |ψ10 , ψ20 i d3 x1 d3 x2
† † ⇒ P12 P12 = 1 ⇔ P12 = P12
(8.14.6) (8.14.7)
F¨ ur den Erwartungswert eines hermiteschen Operators O muss bei ununterscheidbaren Teilchen gelten † hψ|O|ψi = hP12 ψ|O|P12 ψi = hψ|P12 OP12 |ψi = hψ|P12 OP12 |ψi (8.14.8) Da sich das Skalarprodukt hϕ|O|ψi zweier Zust¨ande |ϕi und |ψi zerlegen l¨asst zu 1 {hϕ + ψ|O|ϕ + ψi − hϕ − ψ|O|ϕ − ψi + ihϕ − iψ|O|ϕ − iψi − ihϕ + iψ|O|ϕ + iψi} 4 (8.14.9) und jeder dieser Terme die Identit¨ at in (8.14.8) erf¨ ullt, ergibt sich allgemein hϕ|O|ψi =
O = P12 OP12
⇔
[O, P12 ] = 0
(8.14.10)
F¨ ur einen Zustand |ψi, mit Pij |ψi = ±|ψi
(8.14.11)
sagt man, die Wellenfunktion ist symmetrisch bzw. antisymmetrisch unter Vertauschung des i−ten mit dem j−ten Teilchen. Zust¨ande, welche unter der Vertauschung zweier beliebiger Paare identischer Teilchen immer symmetrisch bzw. antisymmetrisch sind, heißen total symmetrisch bzw. total antisymmetrisch.
110
Spin-Statistik-Theorem • Identische Teilchen mit ganzzahligem Spin nehmen immer total symmetrische Zust¨ande an und heißen Bosonen. • Identische Teilchen mit halbzahligem Spin nehmen immer total antisymmetrische Zust¨ ande an und heißen Fermionen. Der Beweis kann unter Voraussetzung der Kausalit¨at in der Speziellen Relativit¨atstheorie in der Quantenfeldtheorie gef¨ uhrt werden. Es folgt das f¨ ur den Bau der Atome mit mehr als einem Elektron wesentliche Pauli-Verbot Zwei Fermionen k¨ onnen nicht gleichzeitig im selben Einteilchenzustand sein. F¨ ur |Ψi = |ψi ⊗ |ψi folgt n¨amlich |ψi ⊗ |ψi = P12 |ψi ⊗ |ψi = −|ψi ⊗ |ψi = 0 (8.14.12) Energieentartete Orbitale werden zun¨ achst mit einzelnen Elektronen besetzt und anschließend mit jeweils einem zweiten Elektron mit entgegengesetztem Spin. Ein bestimmtes Orbital kann nicht mehr als zwei Elektronen enthalten.
111
9 N¨ aherungsverfahren Im Allgemeinen sind quantenmechanische Systeme nicht exakt l¨osbar. Sind sie es doch, dann stellen sie eine mehr oder weniger starke Idealisierung des tats¨achlichen physikalischen Systems dar. Von Interesse und großer Wichtigkeit sind dabei zum einen Situationen, bei denen das zu untersuchende System durch eine kleine Perturbation aus einem exakt gel¨osten Problem hervorgeht. Geeigneterweise verwendet man dann st¨orungstheoretische Methoden, wobei wir hier die zeitunabh¨angige St¨ orungstheorie vorstellen und anwenden. F¨ ur den schwierigeren und allgemeineren Fall, dass keine exakten N¨ aherungen bekannt sind (und daf¨ ur kann es eine Vielzahl verschiedener Gr¨ unden geben) existiert eine ganze Reihe von Verfahren, von denen wir hier beispielhaft die Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) Methode und das Ritz’sche Variationsprinzip behandeln.
9.1 Zeitunabh¨ angige St¨ orungstheorie Gegeben sei der Hamiltonoperator H = H0 + λH1
(9.1.1)
wobei die Eigenwerte und Eigenzust¨ ande von H0 exakt bekannt sind: H0 |n(0) i = En(0) |n(0) i
(9.1.2)
Gesucht sind die Eigenwerte En , sowie die Eigenzust¨ande |ni als L¨osung der vollst¨andigen zeitunabh¨angigen Schr¨ odingergleichung H|ni = En |ni (9.1.3) Der Beitrag λH1 sei dabei ein kleiner St¨orterm. Den expliziten Faktor λ, welcher auch in H1 absorbiert werden k¨ onnte, f¨ uhren wir zu Zwecken der Variation und der Buchf¨ uhrung ein. N¨amlich w¨ahlen wir als L¨ osungsansatz die Entwicklungen En = En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + ... |ni = |n(0) i + λ|n(1) i + λ2 |n(2) i + ...
(9.1.4)
M¨oglicherweise sind die Ausgangszust¨ ande |n(0) i energieentartet. Zun¨achst betrachten wir den nicht entarteten Fall: Die Schr¨odinger-Gleichung ist gegeben durch (H0 + λH1 )(|n(0) i + λ|n(1) i + λ2 |n(2) i + ...) = (En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + ...)(|n(0) i + λ|n(1) i + λ2 |n(2) i + ...)
(9.1.5)
Diese soll f¨ ur beliebige λ erf¨ ullt sein. Also erhalten wir durch Koeffizientenvergleich: λ0 :
H0 |n(0) i = En(0) |n(0) i
λ1 :
H0 |n(1) i + H1 |n(0) i = En(0) |n(1) i + En(1) |n(0) i
λ2 :
H0 |n(2) i + H1 |n(1) i = En(0) |n(2) i + En(1) |n(1) i + En(2) |n(0) i ...
(9.1.6)
W¨ahrend wir u urden, ist es stattdessen an dieser Stelle bequemer, ¨blicherweise hn|ni = 1 w¨ahlen w¨ folgende Normierung zu w¨ ahlen hn(0) |ni = 1 (9.1.7)
112
Weiterhin gilt f¨ ur die ungest¨ orten Zust¨ande hn(0) |m(0) i = δnm
(9.1.8)
Dagegen ist die Normierung der |n(i) i mit i ≥ 1 zun¨achst noch nicht bekannt. ⇒ λhn(0) |n(1) i + λ2 hn(0) |n(2) i + ... = 0
(9.1.9)
Soll dies f¨ ur beliebige λ gelten, so folgt hn(0) |n(1) i = hn(0) |n(2) i = ... = 0
(9.1.10)
Multipliziere nun die λ1 −Gleichung mit hn(0) | und verwende die λ0 −Gleichung
En(1) = hn(0) |H1 |n(0) i
Energiekorrektur erster Ordnung
(9.1.11)
Wir entwickeln nun in den ungest¨ orten Zust¨anden, welche eine vollst¨andige Orthonormalbasis von H sind: X |n(1) i = cm |m(0) i mit c = hm(0) |n(1) i (9.1.12) m6=n
Multipliziere nun die λ1 −Gleichung mit hm(0) | = 6 hn(0) | ⇒ hm(0) |H0 |n(1) i + hm(0) |H1 |n(0) i = hm(0) |En(0) |n(1) i (0) Em cm + hm(0) |H1 |n(0) i = En(0) cm
⇒ cm =
(9.1.13)
hm(0) |H1 |n(0) i (0)
(9.1.14)
(0)
En − Em
Wir erhalten so
|n(1) i =
X hm(0) |H1 |n(0) i m6=n
(0) En
−
(0) Em
|m(0) i
(9.1.15)
erste Korrektur zum Zustand |n(0) i
Multipliziere nun die λ2 −Gleichung mit hn(0) | hn(0) |H1 |n(1) i = En(2)
En(2) =
X |hm(0) |H1 |n(0) i|2 (0)
m6=n
(0)
(9.1.17)
En − Em
(9.1.16)
Energiekorrektur zweiter Ordnung
Wir merken hier an, dass zwei Energieniveaus, welche zun¨achst nahe beieinanderliegen, durch die Korrektur zweiter Ordnung voneinander weiter separiert werden.
113
Schematisch skizzieren wir:
Die Korrektur zweiter Ordnung verhindert offenbar, dass sich die Energieniveaus bei einer Variation der St¨ orung u ¨berschneiden. Es kommt also zu keinem Level-Crossing“, was sowohl zum ” Verst¨andnis atomarer Spektren, als auch f¨ ur Neutrinooszillationen von Bedeutung ist.
(0)
(0)
Offenbar sind obige Resultate nicht g¨ ultig, falls En = Em f¨ ur mindestens ein m 6= n ist. Wir kommen daher nun zum entarteten Fall: (0) (0) (0) Seien nun |na i, |nb i, ..., |nk i entartet, d.h. (0)
(0)
H0 |ni i = ε|ni i
(9.1.18)
Um f¨ ur die Korrekturen erster Ordnung zu den Zust¨anden bzw. zweiter Ordnung zu den Energieeigenwerten verschwindende Nenner zu vermeiden, verwenden wir ein Basissystem mit (0)
(n,α)
hn(0) α |H1 |nβ i = H1
δαβ
(9.1.19)
Dies ist immer m¨ oglich, da (n)
(0)
(0)
H1ij = hni |H1 |nj i
(9.1.20)
eine hermitesche Matrix ist, welche wir mit einer unit¨aren Matrix C −1 = C † auf Diagonalgestalt bringen k¨onnen (n) (n,α) (n,β) (n,κ) , H1 , ..., H1 (9.1.21) C † H1ij C = diag H1 Die f¨ ur die St¨ orungstheorie geeigneten Zust¨ande sind daher X (0) |n(0) Ciα |ni i α i= i
⇒
X
† hni |Cαi H1 Cjβ |nj i = (0)
(0)
i,j
X
† Cαi H1ij Cjβ = H1 (n)
(n,α)
δαβ
(9.1.22)
i,j
Schließlich erinnern wir daran, dass die Spaltenvektoren von C Eigenvektoren von H1 sind X (n) (n,β) H1ij Cjβ = H1 Ciβ (9.1.23) j
F¨ ur eine unit¨ are Matrix sind die Spaltenvektoren weiterhin orthogonal und normiert, so dass damit C konstruiert werden kann.
9.2 Stark-Effekt Als Beispiel f¨ ur die zeitunabh¨ angige St¨orungstheorie betrachten wir das Wasserstoffatom in einem homogenen externen elektrischen Feld in z−Richtung, beschrieben durch ~ · ~x = e0 Ez H1 = −(−e0 )E
114
(9.2.1)
Zu betrachten sind die Matrixelemente hn, l, m|z|n0 , l0 , m0 i
(9.2.2) (1)
In Abschnitt 8.10 haben wir gesehen, dass z einem Dipoloperator V0 entspricht (also Magnetquantenzahl Null hat). Damit folgt mit dem Wigner-Eckart Theorem, dass m = m0 sein muss f¨ ur nichtverschwindende Matrixelemente. Weiterhin folgt aus Abschnitt 8.13 |l − l0 | ≤ 1 sowie dass l + l0 + 1 gerade sein muss. Es kommt damit nur l0 = l ± 1 in Frage. F¨ ur den Grundzustand |1, 0, 0i verschwindet damit das Matrixelement f¨ ur den Beitrag 1. Ordnung in der St¨orungstheorie. Unter Ber¨ ucksichtigung der gerade diskutierten Auswahlregeln ergibt sich zur 2. Ordnung ∞ X |hn, 1, 0|z|1, 0, 0i|2 9 (2) E1 = e20 E 2 (9.2.3) = − a3B E 2 E1 − En 4 n=2
Das Resultat der Summe f¨ uhren wir dabei ohne Rechnung an. Das Feld polarisiert den Grundzustand also zun¨ achst und erst dann wird durch das induzierte Dipolmoment die Energie verschoben, wodurch der Effekt quadratisch in der Feldst¨arke ist. (1)
Sofern keine Entartung vorliegt, ist aus der Auswahlregel f¨ ur l auch direkt ersichtlich, dass E1 verschwindet, es also nur induzierte Dipolmomente geben kann.
Anders gelagert ist der entartete Fall. Dazu betrachten wir |2, 0, 0i, |2, 1, −1i, |2, 1, 0i und |2, 1, 1i. Wegen der Auswahlregel f¨ ur m & m0 haben die Zust¨ande |2, 1, ±1i keine Nichtdiagonalelemente mit den u anden und wegen der Regel f¨ ur l ist h2, 1, ±1|z|2, 1, ±1i = 0. Es gibt also nur ¨brigen Zust¨ einen quadratischen Stark-Effekt. Zur Diagonalisierung des St¨ oroperators ist also folgende Eigenwertgleichung zu l¨osen C2,0,0 h2, 0, 0|z|2, 0, 0i h2, 0, 0|z|2, 1, 0i (1) C2,0,0 e0 E =E h2, 1, 0|z|2, 0, 0i h2, 1, 0|z|2, 1, 0i C2,1,0 C2,1,0
(9.2.4)
Die Diagonalelemente verschwinden und auszuwerten bleibt: ˆ ∞ˆ 1 h2, 0, 0|z|2, 1, 0i = 2π r2 R20 (r)R21 (r)Y10 (cos(ϑ))Y00 (cos(ϑ))r cos(ϑ) d cos(ϑ) dr −1
0
1 = 12a4B
ˆ
∞
r 4 − aB
r e 0
r aB 1 1− dr = Γ(5) − Γ(6) = −3aB 2aB 12 2
Hierbei wurde verwendet: 3 2 1 r − r R20 (r) = 2 1− e 2aB 2aB 2aB r 3 Y10 (cos(ϑ)) = cos(ϑ) 4π
1 R21 (r) = √ 3
1 2aB
3 2
(9.2.5)
r − 2ar e B aB
1 Y00 (cos(ϑ)) = √ 4π
Es ergibt sich also die Eigenwertgleichung 0 −3aB e0 E C2,0,0 (1) C2,0,0 =E −3aB e0 E 0 C2,1,0 C2,1,0 mit den zugeh¨ origen Eigenwerten E (1) = ±3aB e0 E und den Eigenvektoren
115
(9.2.6)
√1 2
1 −1
und
√1 2
1 1
.
Die Energieaufspaltung ist hier also linear und es ergibt sich das Termschema
9.3 Relativistische Korrekturen Auch ohne externe Felder beobachtet man eine Aufhebung der Entartung. Das bekannteste Bei¨ spiel ist dabei das Dublett der Natrium−D−Linien in den Uberg¨ angen 3p 3 → 3s 1 bzw. 3p 3 → 3s 1 2 2 2 2 (in der Notation nlj ). Die Aufspaltung der Niveaus 3p und 3s ist dabei ein Bahneffekt aufgrund der Wechselwirkung mit der inneren Elektronenh¨ ulle (bei Wasserstoff nicht vorhanden). Die kleinere Aufhebung der Entartung zwischen 3p 3 und 3p 1 ist dagegen eine Folge der relativistischen 2 2 Spin-Bahn-Kopplung. Aus der Betrachtung zum Virialsatz in Abschnitt 6.2 folgt r mc2 2 Z 2 2hEkin i Z hEkin i = α 2 hvi = = αc 2 n m n
(9.3.1)
F¨ ur kleine Z sind also relative Korrekturen von der Gr¨oßenordnung der Sommerfeldkonstante 1 zu erwarten. Man kann diese durch eine L¨osung der Dirac-Gleichung im Zentralpotential α ≈ 137 bestimmen. Ein intuitives und halbquantitatives Verst¨andnis ergibt sich aber bereits aus der Betrachtung relativistischer St¨ oroperatoren. Relativistische Kinetische Energie E=
p p~ 2 1 (~ p 2 )2 m2 c4 + p~ 2 c2 = mc2 + − + ... 2m 8 m3 c2
(9.3.2)
Damit tritt zum Hamiltonoperator H0 der zus¨atzliche St¨orterm H1 : H0 = Dieser ist um einen Faktor ∼
Ze2 p~ 2 − 2m r
p ~2 m 2 c2
∼
v2 c2
H1 = −
1 (~ p 2 )2 8 m3 c2
(9.3.3)
∼ Z 2 α2 gegen¨ uber H0 unterdr¨ uckt.
Wir schreiben nun 1 H1 = − 2mc2
2 Ze2 H0 + r
(9.3.4)
und berechnen zur 1. Ordnung: ∆En,l,m
1 = hn, l, m|H1 |n, l, mi = − 2mc2
! 1 1 En2 + 2En Ze2 + Z 2 e4 r n,l r2 n,l
(9.3.5)
Da H1 ein skalarer Operator ist, folgt aus dem Wigner-Eckart-Theorem, dass hn, l, m|H1 |n, l0 , m0 i = 0 ist, es sei denn l = l0 und gleichzeitig m = m0 . Da H1 damit schon diagonal ist, ist keine weitere Basistransformation zur Anwendung der entarteten St¨orungstheorie notwendig.
116
Aus Abschnitt 6.2 wissen wir 1 αmcZ Z = = 2 r n,l n aB n2 ~
mit
α=
e20 ~c
und
aB =
~ αmc
(9.3.6)
Zur Bestimmung von hr−2 in,l k¨ onnen wir die Kramers-Relation aber nicht verwenden. Wir leiten diesen Erwartungswert folgendermaßen her: ˆ ∞ ˆ ∞ 1 −k 2 1 2 hr in,l = r k Rn,l dr = un,l k un,l dr (9.3.7) r r 0 0 Die radiale Schr¨ odinger-Gleichung (Abschnitt 6.1) ~2 d2 ~2 l(l + 1) − + + V (r) u(r) = Eu(r) 2m dr2 2mr2 transformieren wir mit der Variablen y =
r aB
und Multiplikation mit
2aB e20
(9.3.8) zu11
Hu(y) = εu(y) mit H=−
d2 l(l + 1) 2Z + − 2 dy y2 y
(9.3.9)
ε=−
und
Z2 (N + l + 1)2
(9.3.10)
Die Ableitung nach l ergibt ∂u ∂ε ∂u ∂H u+H = u+ε ∂l ∂l ∂l ∂l Das Skalarprodukt mit u liefert dann ˆ ∞ ˆ ∞ ∂H ∂u ∂ε ∂u u u + uH + dy dy = ε u ∂l ∂l 0 ∂l 0 | {z∂l}
(9.3.11)
(9.3.12)
→εu ∂u ∂l
Nun sind ∂H 2l + 1 = ∂l y2 ⇒ hr−2 i =
∂ε 2Z 2 = 3 ∂l n
und
2Z 2 2α2 m2 c2 Z 2 = (2l + 1)~2 n3 (2l + 1)n3 a2B
Wir erhalten damit ∆En,l,m
mc2 (Zα)4 =− 2n4
n 3 1 − 4 l+ 2
(9.3.13)
! (9.3.14)
9.4 Spin-Bahn-Kopplung Wir betrachten den St¨ oroperator H2 =
1 ~ ~1 d S·L V (r) 2m2 c2 r dr
(9.4.1)
~ Dieser Operator kann heuristisch begr¨ undet werden. Im Ruhesystem des Elektron wird das E−Feld ~ des Kerns teilweise in ein B−Feld transformiert. In der klassichen Elektrodynamik kann diese Wechselwirkung unter Ber¨ ucksichtigung der Thomas-Pr¨azession hergeleitet werden. In der relativistischen Quantenmechanik ist der St¨ orterm wiederum eine Konsequenz der Dirac-Gleichung. 11
aB =
~2 , me2
2
2
2
2
0) En = − (Ze = − mc2nα2 Z , n = N + l + 1, V (r) = − 2a n2 B
117
e2 0Z r
Wir verwenden den Gesamtdrehimpuls ~ +S ~ ⇔ S ~ ·L ~ = 1 (J~2 − L ~2 − S ~ 2) J~ = L 2
(9.4.2)
~ ·L ~ diagonalida die Zust¨ande |j, mj , l, 12 i = |l ± 12 , mj , li anders als |l, ml , 12 , ± 21 i den Operator S sieren. Die Eigenwertgleichung hat dabei die Form ! 2 l + 12 l + 23 − l(l + 1) − 34 ~ ~ · L|l ~ ± 1 , mj , l, 1 i = |l ± 12 , mj ; l, 12 i S 2 2 2 l − 1 l + 1 − l(l + 1) − 3 2
=
~2 2
2
4
l |l ± 12 , mj ; l, 21 i −l − 1
(9.4.3)
Wir merken dabei an, dass die Eigenfunktionen explizit durch die Spin-Kugelfl¨achenfunktionen in Abschnitt 8.9 gegeben sind. 1 Ze20 ~2 l 1 1 1 1 hn, l ± 2 , mj , l, 2 |H2 |n, l ± 2 , mj , l, 2 i = (9.4.4) 2 2 3 −l − 1 2 |2m{zc } r n,l =
Z~α 2m2 c
Den Erwartungswert erhalten wir aus der Kramers-Relation f¨ ur k = −1: 2 aB k−1 k k+1 k 2 2 aB k−2 hr i − (2k + 1) hr i + (2l + 1) − k hr in,l = 0 n,l n,l n2 Z 4 Z2 a2 1 aB −2 hr in,l = (2l + 1)2 − 1 B2 hr−3 in,l Z 4 Z ⇒ hr
−3
in,l
α3 Z 3 m3 c3 (αZ)4 mc2 = 3 3 ⇒ hH i 1 2 n;l± ,l 2 4n3 l(l + 1) l + 1 ~ n l(l + 1) l + 12 2
l −l − 1
(9.4.5)
Wir merken hier an, dass die Rechnung damit f¨ ur l = 0 nicht g¨ ultig ist. In diesem Fall aber ist klar, dass der Spin nicht mit dem Bahndrehimpuls wechselwirkt, was die volle relativistische Rechnung best¨ atigt. Addieren wir die beiden bisher betrachteten relativistischen St¨orungen, dann ergibt sich das bemerkenswert simple Resultat ! mc2 (Zα)4 3 n hH1 + H2 in;j=l± 1 ,l = − (9.4.6) 2 2n2 4 j + 12 Darwin-Term H3 =
π~2 Ze20 3 ~2 ~ 2 ∇ V = δ (~x) x 2m2 c2 8m2 c2
(9.4.7)
~ 2 1 =δ 3 (~ x) ∇ 4π|~ x|
Im einem halbklassischen Bild wird diese Korrektur durch die Zitterbewegung“ motiviert, wo” nach das Elektron ein effektiv um seinen Ort gemitteltes Potential sp¨ urt. Nur f¨ ur die s−Wellenfunktion ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Kern nichtverschwindend. hH3 in,j,l =
3 3 3 3 3 2 4 π~2 Ze20 ~0)|2 = π~ Zα 1 Z α m c δl0 = mc (Zα) δl0 |ψ ( n,l 2m2 c2 2m2 c π n3 ~3 2n3
118
(9.4.8)
Dabei haben wir benutzt ψn,0 (~0) = 2 |
Z naB {z
3
1 1 √ =√ π 4π } | {z }
2
=Rn,0 (0)
Zαmc n~
3 2
(9.4.9)
=Y00
Alle drei Beitr¨ age lassen sich damit zusammenfassen als hH1 + H2 + H3 in,j,l
mc2 (Zα)4 = 2n4
3 n − 4 j+
! 1 2
(9.4.10)
In der Herleitung mittels der Dirac-Gleichung wird klarer deutlich, wieso die Korrektur genau von n und j abh¨ angt. 5 Aus der Quantenelektrodynamik ergibt sich noch die Lamb-Verschiebung, welche O(α) ist. Die Wechselwirkung mit dem Kernspin nennt man Hyperfeinstruktur − diese ist O α4 mmp .
Wir skizzieren das Termschema f¨ ur die n = 2 Niveaus von Wasserstoff: F¨ ur n = 1 ergibt sich
eine Hyperfeinaufspaltung der Spineigenzust¨ande von 1420 MHz, was einer Wellenl¨ange von λ = 21,4 cm entspricht. Die Zerfallsrate ist dabei 2,9 · 10−15 1/s, was einer Lebensdauer von etwa 107 ¨ Jahren entspricht. W¨ ahrend man diese Uberg¨ ange im Labor wohl nie beobachten kann, wird die 21 cm Linie in der Radioastronomie sehr wohl beobachtet. In der Kosmologie gibt sie zusammen mit ihrer Rotverschiebung Informationen u ¨ber das dunkle Zeitalter“ zwischen der Rekombination ” und der Reionisierung des Wasserstoffs, also ungef¨ahr von 380 000 bis einer Milliarde Jahre nach dem Urknall.
9.5 Ritz’sches Variationsprinzip Wir gehen aus von folgender Ungleichung: X X X hψ|H|ψi = hψ|nihn|H|ψi = En hψ|nihn|ψi ≥ E0 |hψ|ni|2 = E0 hψ|ψi n
n
n
⇒ E0 ≤
hψ|H|ψi hψ|ψi
(9.5.1)
W¨ahle nun |ψ(µ)i als Funktion eines oder mehrerer Parameter µ. Dann ist das Minimum von folgendem Ausdruck eine obere Schranke f¨ ur E0 : E=
hψ(µ)|H|ψ(µ)i hψ(µ)|ψ(µ)i
119
(9.5.2)
Wir merken an, dass sofern der Fehler in der Wellenfunktion linear ist, der Fehler in der Energie quadratisch ist: |ψi = |ni + ε|αi ⇒
mit
hn|αi = 0
und
hn|ni = 1
|ε|2 hα|H|αi
hψ|H|ψi En + = hψ|ψi hn|ni + |ε|2
sowie
hα|αi = 1
= En + O(ε2 )
(9.5.3)
9.6 WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)-Methode Betrachte große Energien. Dann ist die Wellenl¨ange sehr viel kleiner, als die Gradienten des ~ −1 (~ x)| Potentials |∇V V (~ x) −→ Semiklassischer Grenzfall, f¨ ur den die Wellenfunktion durch eine ortsabh¨angige Wellenzahl charakterisiert werden kann. Wir betrachten die eindimensionale Schr¨odinger-Gleichung ~2 ∂ 2 ψ(x) = (E − V (x))ψ(x) 2m ∂x2 und w¨ahlen als Ansatz f¨ ur die Wellenfunktion ψ(x) ´ X α± i x 0 0 p e± ~ W (x ) dx ψ(x) = W (x) ± −
(9.6.1)
(9.6.2)
∂ Einsetzen liefert damit (mit W 0 (x) ≡ ∂x W (x)): ´ X i x i 1 ∂ 1 W0 0 0 ψ(x) = − W 2 α± e± ~ W (x ) dx 3 ± ∂x 2W2 ~ ±
0 0 ´ X 1 W 00 3 i x 3 W 02 1 i W 1 ∂2 0 0 1 i W 1 ± 1 − ψ(x) = − W 2 α± e± ~ W (x ) dx 3 + 5 ∓ 2 2 ∂x 2W2 4 W 2 2 ~ W 2 2 ~ W 2 ~ ± 1 W 00 3 2 W 02 ⇒ W 2 + ~2 − ~ = 2m(E − V ) 2 W 4 W2
(9.6.3)
(9.6.4)
Adiabatische Entwicklung: W = W (0) + W (1) + ... p W (0) = 2m(E − V ) 2W
(0)
W
(1)
W
(1)
02
00
02
00
3 W (0) 1 2 W (0) = ~2 − ~ 4 W (0) 2 2 W (0)
1 2 W (0) 3 W (0) = ~2 − ~ 8 W (0) 3 4 W (0) 2 ...
Das heißt jede Ordnung z¨ ahlt wie zwei Ordnungen in den Ableitungen. Durch eine Verschiebung der Nullpunktsenergie k¨onnen wir o.B.d.A. E = 0 w¨ ahlen, so dass an den klassischen Umkehrpunkten V (b) = V (a) = 0 gilt. Außerdem w¨ ahlen wir a = 0, so dass in der N¨ahe von a gilt: V = V 0 x mit V 0 > 0.
120
(9.6.5)
In der N¨ahe von b wird die Schr¨ odinger-Gleichung damit zu d2 ψ = c2 xψ dx2
mit
c=
1√ 2mV 0 ~
(9.6.6)
Die normierbaren L¨ osungen dieser Gleichung sind 2 ψ(x) ∝ Ai c 3 x
(9.6.7)
mit den Airy-Funktionen Ai (z). Diese stehen im Zusammenhang mit den Bessel-Funktionen, wozu wir folgende Identit¨ aten aus Gradshteyn & Ryzhik (GR) angeben: r 2 3 1 z Ai (z) = K1 z2 π 3 3 3 √ z 2 3 2 3 2 2 Ai (−z) = J1 z + J− 1 z (9.6.8) 3 3 3 3 3 F¨ ur x 0 ist
r
π −x e 1 + O x1 (GR 8.451.6) 2x r s 1 1 z 3π − 2 z 32 z − 4 − 2 z 32 3 √ ⇒ Ai (z) ≈ e = e 3 f¨ ur z >> 0 π 3 4z 32 2 π Kν (x) =
Andererseits ist f¨ ur |x| 0 r J±ν (x) =
2 π π 1 cos x ∓ ν − · 1 + O |x| πx 2 4 1
z− 4 ⇒ Ai (−z) ≈ √ 3π 1
cos
z− 4 = √ cos π
2 3 π π z2 − − 3 4 6
2 3 π z2 − 3 4
+ cos
(GR 8.451.1)
2 3 π π z2 − + 3 4 6
(9.6.9) (9.6.10)
(9.6.11)
(9.6.12)
Dabei haben wir benutzt: cos(x + a) + cos(x − a) = 2 cos(a) cos(x) 1
⇒ Ai
1 c− 6 c (x − a) = √ cos π (a − x) 14 2 3
Andererseits ist W (0) = und damit
ˆ a
x
und
3 2 π c(a − x) 2 − 3 4
cos
π 6
√
f¨ ur
p p √ 2m(E − V ) ≈ −2mV 0 (x − a) = ~c a − x ˆ
W (0) dx0 = ~c a
x√
3 2 a − x0 dx0 = − ~c(a − x) 2 3
3 2
(9.6.13)
x
