Testklausur Mathematik Studiengang Informationstechnik Berufsakademie in Horb

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Richtzeit pro Seite: Erste und letzte Seite je 14 min., Andere Seiten je 8 min. Gesamtzeit: 60 min. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren bzw. Kürzen:

4000 = 125 2 6 + = 5 3 2 8 ⋅ = x x

1 ln( ) + ln( x ) = x

32

8x − 4 1 : = 2x2 + 4x x

12 5

e x +1e − x −1 =

4 x

0

2 sin x + 16 x sin x = 8 sin x 3( x + 1) = x2 − 1

4x − 2 x+2 1

1+ 8x 4

2 3

3 x −1

3 2

( 2 x) ⋅ x =

3

4 ⋅x

Schätzen: Für welche ganzzahligen Exponenten n gilt: 2 − n ≥ 100 ?

−7

Was ist der Logarithmus zur Basis 10 der Zahl 1000? 3

Grenzwertbildung:

lim t → ∞ (e − t − 1) = lim x →0, x > 0 ln( x ) =

−1 −∞

n+2 = 1+ n sin( x ) = x

lim n → ∞

1

lim x →0

1

Ordnungsrelationen Gegeben sind die Ungleichungen auf der linken Seite mit x1 f 0 und x2 p 0 . Geben Sie an, ob die jeweils linken Ungleichung äquivalent zu den rechten Ungleichungen sind. Wahr oder falsch?

x1 f − x2

1 1 p− ? x2 x1 1 1 äquivalent zu p− ? | x2 | | x1 |

äquivalent zu

| x1 |f − | x2 |

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w f

13 6

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Lineare Gleichungen Was ist die Lösung der linearen Gleichung ax = −3b mit a ≠ 0 für die Unabhängige x ?

x=−

Welche Lösung hat das lineare Gleichungssystem 3x = 2 y und y = 3 ?

3b a

x = 2, y = 3

Ein Sack Kartoffeln kostet 3 mal so viel wie ein Sack Zwiebeln. Drei Säcke Zwiebeln kosten10 €. Was kosten zwei Säcke Kartoffeln?

20 €

Zinsrechnung

Auf Ihrem Bankkonto sind 1000 €. Sie erhalten am Jahresende 1 Prozent Zinsen und zahlen 10 € Kontogebühr pro Jahr. Wie groß ist das Guthaben nach 10 Jahren? 1000€

Wie groß ist das Guthaben nach 2 Jahren, wenn bei gleichen Gebühren und Anfangsbetrag wie vorher der Zinssatz 2 Prozent beträgt? 1020, 20€

Quadratische Gleichungen Welches ist die Lösung der quadratischen Gleichung

x2 − x −

3 = 0? 4

Zerlegen Sie das Polynom y = x 2 − 2 x + 1 in ein Produkt aus linearen Ausdrücken in x ! Was ist das Ergebnis der Polynomdivision (3 x 2 + 6 x + 3) : (3 x + 3) mit x ≠ −1 ?

1 3 x = − ,x = 2 2

y = ( x + 1)( x − 1)

x +1

Angewandte algebraische Gleichungen Die beiden Spannungen hängen nach den funktionalen Zusammenhängen

ax1 bx2 und U 2 = U 0 von den Eingangsgrößen x1 , x2 ab. Gibt 1 + ax1 1 + bx2 es einen Zusammenhang x1 = f ( x2 ) für den die Spannungen U1 und U 2 gleich U1 = U 0

sind? Wenn ja, welcher?

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x1 =

b x2 a

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Lesen Sie aus dem folgenden Graphen die Funktionsgleichung y (x) in Abhängigkeit von den eingezeichneten Werten ab.

y (x ) =

y

−

y1 x + y1 x1

y1 x1

x

In der Elektronik kommt folgende Knickkennlinie vor. Für den „abgeknickten“ Kurventeil gilt die Gleichung I =

Ue 1 1 − U 0 ( + ) mit gegebenen Konstanten U 0 , R, R1 . Berechnen Sie die R R1 R

Knickspannung U k aus den gegebenen Größen.

I

I K (U e )

U K = U0

R1 + R R1

UK Ue

Trigonometrie: Zeichnen Sie die Werte sin 30°, cos 60°, sin 45° und in den unten abgebildeten Einheitskreis ein:

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Berechnen Sie die Kraftkomponenten Fx , Fy für gegebene Kraft F und gegebenem Winkel α , wobei α der Winkel zwischen F und Fx ist!

Fy

F

Fx = F cos α

α Fx

Fy = F sin α

Durch einen Ohmschen Widerstand fließt ein sinusförmiger Wechselstrom. Entsprechend ist auch die abfallende Spannung eine sinusförmige Wechselspannung. Skizzieren Sie im unteren Bild die elektrische Leistung P( t ) = U (t ) ⋅ I (t ) . Zeichnen Sie den Mittelwert der Leistung (Effektivwert ein) !

Differentialrechnung: Skizzieren Sie im unteren Bild die zur oberen Kurve differenzierte Kurve durch Konstruktion anhand der typischen Steigungen/ Extremwerte/ Nulldurchgänge der oberen Kurve ! Welche mathematische Kurve ist zu erwarten ? Cosinus-Kurve

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Skizzieren Sie zu der gegebenen Kurve qualitativ die differenzierte Kurve ein!

Geben Sie die Ableitungen zu den folgenden Funktionen mit Parametern an:

dU = Uˆω cos(ωt + ϕ ) dt dy y = ( a − 1) x = a −1 dx dy a ax = y= (1 + x) 2 1 + x dx Der zurückgelegte Weg eines Autos ist m v= 5 1 m s s( t ) = gt 2 + s 0 mit g = 5 2 und s0 = 1m . 2 s Wie groß ist sind Geschwindigkeit v und seine m Beschleunigung a nach 1 Sekunde? a = 5 s 2 U = Uˆ sin( ωt + ϕ )

Integralrechnung Skizzieren Sie zu der gegebenen Kurve den Verlauf der integrierten Funktion

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Berechnen Sie die folgenden Integrale mit Parametern: t

Q = ∫ I 0 sin( ωt )dt =

Q= −

0

y = xn y = ax − m mit m ≥ 2 y=

1 x

Die potentielle Energie ist definiert als W pot = − ∫ Fds . Wie groß ist diese für die

I0 cos(ωt ) t ω

1 n+1 x + const n +1 1 −m − m +1 ∫ ax dx = a − m + 1 x + const 1 ∫ x dx = ln( x) + const

∫ x dx = n

s

∫F

gew

ds = Fgew s

0

Gewichtskraft Fgew bei senkrechten anheben um die Höhe s, wenn die Ortsabhängigkeit der Kraft vernachlässigt werden kann? Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Differentialgleichungen mit einem Parameter

dy = cos(ax) dx dy = e ax dx dy = ax dx

1 sin( ax) + const a 1 y = e ax + const a a 2 y= x + const 2 y=

Gemischte angewandte Aufgaben:

s

h

Geben Sie die Steigung s des Kegelmantels an! h − r

r

Schreiben Sie das Volumen des Kegels als Integral in Abhängigkeit der Größen h und r ! r2 h 2 V = π 2 ∫ x dx h 0 Welche Darstellung hat die Dezimalzahl 1023 im binären Zahlensystem?

111111111

Welche Darstellung hat die gleiche Zahl in Hexadezimaldarstellung, wenn A=10, B=11,C=12,D=13, E=14 und F=15 ist?

3FF

Wie oft muss eine Münze (Wappen+Zahl) geworfen werden, damit mit einer Sicherheit größer 80 % mindestens einmal ein Wappen kommt?

3 mal

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Ziehung der Lottozahlen „ 6 aus 49“ sechs richtige zu haben? (Es darf auch die abkürzende Schreibweise für Fakultäten verwendet werden!)

 49    6

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