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[1]

Andr´ e Toom. Resumo teorico de curso MES-942, “M´ etodos Matem´ aticos para Estat´ıstica” CONTEUDO 1. Afirma¸c˜oes e quantores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [2] 2. Conjuntos b´asicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[5] 3. 1-1 rela¸c˜ao. Conjuntos cont´aveis e n˜ao cont´aveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [15] 4. Continuidade do conjunto de n´ umeros reais. max, min, sup, inf. . . . . . . . [19] 5. Sistema decimal e outros sistemas numericos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [24] 6. Seq¨ uˆencias em IR . Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [27] 7. Pontos de aderˆencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [31] 8. O criterio de Cauchy para seq¨ uˆencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [34] 9. Conjuntos abertos e fechados em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[36] 10. Limsup, liminf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [40] 11. Seq¨ uˆencias em IR2 . Limites e pontos de aderˆencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . [41] 12. Conjuntos abertos e fechados em IR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [43] 13. Fun¸c˜oes IR → IR . Limite e continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [46] 14. Continuidade uniforme e condi¸c˜ao de Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [52] 15. Convergˆencia de fun¸c˜oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[54] 16. Fun¸c˜oes IR2 → IR . Limites e continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[56] 17. Fun¸c˜oes IR → IR . Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [57] 18. Integral de Riemann de fun¸c˜oes IR → IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [61] 19. S´eries em IR e convergˆencia deles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [68] 20. S´eries de fun¸c˜oes e convergˆencia deles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [72] Referˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [74] Aviso. Matem´atica ´e uma ciˆencia rigorosa, cujo maior conteudo ´e argumentos quais provam afirma¸c˜oes, tipicalemente gerais. Este arquivo contem o material teorico do curso. Para estudarl´o, atividade mental ´e necessaria. Encontrando uma defini¸c˜ao ou um teorema, pensa de exemplos. Tenta refutar cada teorema. Basicamente um argumento matem´atico ´e uma seq¨ uˆencia de afirma¸c˜oes, daquelas cada ´e ou geralmente conhecida, ou ´e uma conseq¨ uˆencia de afirma¸c˜oes anteriores. Quando usamos o metodo de “contradi¸c˜ao”, supomos que a afirma¸c˜ao, qual queremos provar, ´e falso e obtemos uma contradi¸c˜ao.

[2]

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1.

Afirma¸ c˜ oes e quantores.

Na vida cotidiana encontramos muitas afirma¸c˜oes vagas ou pessoais, daqueles ´e possivel ter opini˜oes diferentes, por exemplo: Esta roupa ´e horrivel. Claudio ´e um gat˜ao. Pˆera ´e mais gostosa que ma¸c˜a. Na matem´atica lidamos com afirma¸c˜oes, quais s˜ao ou verdadeiras ou falsas. Dado duas afirma¸c˜oes A e B , podemos formar outras: A ∧ B , o que significa A e B , i.e. ambos s˜ao verdadeiras, A ∨ B , o que significa A ou B , i.e. pelo menos um deles ´e verdadeiro, nega¸c˜ao A =

A=

n˜ao A e v´arias combina¸c˜oes delas. Existe analogia entre formulas algebricas e formulas logicas.

Cada formula

alg´ebrica toma valores num´ericos quais dependem de valores de vari´aveis incluidas nela. Analogamente, cada formula l´ogica toma valor “verdadeira” ou “falsa” dependente de veracidade de afirma¸c˜oes incluidas nela. Como na aritm´etica usamos tabua de multiplica¸c˜ao, a seguinte tabua ajuda obter a veracidade da formula se sabemos veracidades de vari´aveis logicas incluidas nela. Aqui V e F significam “verdadeira” e “falsa”: V = F,

F = V,

V ∨ V = V,

V ∧V =V

V ∨ F = V,

V ∧F =F

F ∨ V = V,

F ∧V =F

F ∨ F = F,

F ∧ F = F.

O sinal ⇒ significa implica¸c˜ao l´ogica. Na matem´atica A ⇒ B significa o mesmo que A ∨

B . Logo A ⇒ B significa o mesmo que

usamos nas provas pela contradi¸c˜ao.

B⇒

A , o que sempre

[3]

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(Isto ´e diferente da vida cotidiana. No uso cotidiano a frase “se 2 × 2 = 5 , eu sou imperador do Brasil” ´e um absurdo. Na matem´atica esta afirma¸c˜ao ´e sempre correta, independentemente de por quem dita: imperador do Brasil ou n˜ao.) O sinal ⇐⇒ significa equivalˆencia de afirma¸c˜oes. Ela acontece se ambos A ⇒ B e B ⇒ A s˜ao verdadeiros. ´ verdade que Exerc´ıcio. E

(A ∧ B) ´e equivalente a (

A) ∨ (

B) ?

´ verdade que Exerc´ıcio. E

(A ∨ B) ´e equivalente a (

A) ∧ (

B) ?

Aviso: ´e possivel provar as duas equivalˆencias anteriores considerando quatro casos e enchendo as vazias colunas nesta tabela: (A ∧ B) (

A B

A) ∨ (

B)

V V V F F V F F onde V significa “verdadeiero” e F significa “falso”. Depois disto, ´e possivel provar as duas equivalˆencias embaixo pela indu¸c˜ao. Exerc´ıcio. Provar que 





A1 ) ∨ (

A2 ) ∨ · · · ∨ (

An ) .





A1 ) ∧ (

A2 ) ∧ · · · ∧ (

An ) .

(A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An ) ⇐⇒ (



Exerc´ıcio. Provar que 

(A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ An ) ⇐⇒ (

Quantores. O quantor de universalidade ∀ significa “para todos”. O quantor de existˆencia ∃ significa “existe”.



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[4]

Nega¸ c˜ oes de quantores. Seja S um conjunto e P (x) ´e uma afirma¸c˜ao feita para elementos deste conjunto. Logo a formula ∀ x ∈ S : P (x) significa que todos elementos de S tˆem a ∀ x ∈ S : P (x) significa nega¸c˜ao da formula

propriedade P . Logo a formula

anterior, i.e. n˜ao todos elementos de S tˆem a propriedade P . Isto ´e mesmo que existe pelo menos um elemento de S qual n˜ao tem a propriedade P . Ent˜ao temos a equivalˆencia de afirma¸c˜oes: 





∀ x ∈ S : P (x) ⇐⇒ ∃ x ∈ S :



(1)



(2)

P (x) .

Analogamente obtemos a equivalˆencia parecida: 





∃ x ∈ S : P (x) ⇐⇒ ∀ x ∈ S :

P (x) .

Exemplo. [

x∈

C ⇐⇒ ∃ C ∈ F : x ∈ C

C∈F

e x∈

\

C ⇐⇒ ∃ C ∈ F : x ∈ C.

C∈F

Observa¸c˜ ao. As vezes espress˜oes algebricas dependem de vari´aveis, as vezes n˜ao dependem. Apresentamos v´arios exemplos. O valor de somat´orio

P10 2 k=1 k

n˜ao depende de k .

A afirma¸c˜ao x2 − 1 = 0 ´e verdadeira para x = 1 e x = −1 e falsa para todos outros valores de x . Diferente disto, a veracidade das afirma¸c˜oes ∀ x ∈ IR : x2 − 1 = 0

e

∃ x ∈ IR : x2 − 1 = 0

n˜ao depende de x . De fato, a primeira afirma¸c˜ao ´e falsa e a segunda afirma¸c˜ao ´e correta. Geralmente, veracidade duma afirma¸c˜ao n˜ao depende de vari´avel precedida por quantor.

[5]

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2.

Conjuntos b´ asicos.

Na vida cotidiana ´e frequentemente dificil dizer se um objeto pertence a um conjunto ou n˜ao. Por exemplo, se queremos falar de uma turma de alunos, um aluno pode ser incluido na lista, mas ausente nas todas aulas. Na matem´atica temos um conjunto A se cada objeto x ou pertence ou n˜ao pertence a A . Um conjunto ´e chamado de finito se ele tem um n´ umero finito de elementos. Se este n´ umero ´e pequeno, podemos denotar o conjunto simplesamente enumerandol´os em chaves, separando-l´os com virgulas. Por exemplo, o conjunto um elemento a , o conjunto

n

a, b

o

n

a

o

tem s´o

(onde a 6= b ) tem dois elementos a e b etc.

O sinal # significa cardinalidade, qual ´e uma medida de grandeza de conjuntos. Para conjuntos finitos a cardinalidade ´e simplesamente o n´ umero de elementos. n

o

n

o

Por exemplo, # a = 1 , # a, b = 2 etc. Existe o conjunto vazio denotado g

, qual n˜ao tem elementos. Sua cardinalidade ´e zero.

Observa¸c˜ ao. Lima [Lima, vol. 1] use nota¸c˜ao card (S) no lugar de #S . Alguns conjuntos infinitos tˆem nota¸c˜ oes especiais: n

INI = 1, 2, 3, . . .

o

o conjunto dos n´ umeros naturais.

n

ZZ = . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . n

Q O = m/n : m, n ∈ ZZ , n 6= 0

o

o

o conjunto dos n´ umeros inteiros,

o conjunto dos n´ umeros racionais.

Para todo n´ umero racional q definimos seu modulo ou valor absoluto denotado |q| assim:  

|q| = 

q

se q ≥ 0,

−q se q < 0. Usando estas nota¸c˜oes, podemos definir outros conjuntos de forma:

[6]

File avan/metodos/2006/teor.tex on April 18, 2006 on [74] pages n

x ∈ INI : x < 100

n

o

n

x ∈ ZZ : |x| > 7 x∈Q O:x #B . Por exemplo, #

g

n

o

n

o

n

< # a < # a, b < . . . < # INI < . . . < # 0, 1

oN II

.

Ent˜ao todas as cardinalidades formam um conjunto ordenado. Se passar o conjunto de cardinalidades na ordem de crescimento, come¸camos em zero - a cardinalidade do conjunto vazio, passamos todos n´ umeros naturais - cardinalidades de conjuntos finitos e... o que depois? Exerc´ıcio. Provar que a primeira cardinalidade depois de todos n´ umeros naturais ´e a cardinalidade de conjuntos cont´aveis.

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4.

[19]

Continuidade do conjunto de n´ umeros reais. max, min, sup, inf.

Conjuntos ordenados. Um conjunto S ´e chamado ordenado se para cadas dois elementos diferentes dele, denotados x 6= y , exatamente um de dois casos seguintes acontece: ou x < y , o que ´e mesmo que y > x , ou x > y , o que ´e mesmo que y < x , com condi¸c˜ao de transitividade (x ≤ y,

y ≤ z) ⇒ x ≤ z,

onde x ≤ y significa x < y ou x = y . Por exemplo, os conjuntos INI , ZZ , Q O s˜ao ordenados. Pergunta: ´e possivel ordenar ZZ 2 ? Resposta: possivel, mas in´ util. Por exemplo, podemos definir: (x, y) < (a, b)) se x < a ou x = a, y < b . Exerc´ıcio. provar transitivide desta ordena¸c˜ao. Exerc´ıcio. Seja q n´ umero racional tal que q ≥ 0 e ∀ n ∈ INI : q < 1/n. Provar que q = 0 . Por que precisamos de n´ umeros reais? Por que n˜ ao somos satisfeitos com n´ umeros racionais? Explicamos isso nas duas maneiras conectadas. Chamemos um conjunto ordenado S de continuo se ele satisfaz duas condi¸c˜oes. A primeira condicao ´e simples: para cadas a, b ∈ S , onde a < b , deve existir ´ evidente que Q c ∈ S tal que a < c < b . E O satisfaz esta condi¸c˜ao: podemos tomar c = (a + b)/2 . O que de segunda condi¸c˜ao, vamos apresentar-l´o em duas maneiras.

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[20]

Se temos um conjunto ordenado S , sua corte ´e apresenta¸c˜ao S = Smenor ∪ Smaior onde ∀ x ∈ Smenor ,

y ∈ Smaior : x < y.

Chamemos Smenor de classe menor e Smaior de classe maior. Chamemos de buraco uma corte onde a classe menor n˜ao tem maximo e a classe maior n˜ao tem minimo. Seguinte Dedekind, queremos um conjunto ordenado sem buracos, qual inclue todos n´ umeros racionais. Apresentamos a mesma dificuldade na outra maneira. Se temos um conjunto ordenado S , chamemos de segmento fechado [a, b] o conjunto

n

o

x∈S:a≤x≤b .

Chamemos de seq¨ uˆencia segmentos fechados encaixados ou seq¨ uˆencia de s.f.e. uma seq¨ uˆencia [a1 , b1 ] ⊇ [a2 , b2 ] ⊇ [a3 , b3 ] ⊇ . . . onde cada segmento contem o proximo segmento. Outra maneira de apresentar a segunda condi¸c˜ao: Para cada seq¨ uˆencia de s.f.e. a interse¸c˜ao de todos segmentos deve ser n˜ao-vazio. Mostremos que o conjunto Q O n˜ao satisfaz nenhuma vers˜ao da segunda condi¸c˜ao. Apresentamos uma seq¨ uˆencia de s.f.e. [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ [a3 , b3 ] ⊃ . . . tal que a interse¸c˜ao de todos segmentos ´e vazia. Definimos os segmentos pela indu¸c˜ao. Base de indu¸c˜ ao: seja a1 = 1 e b1 = 2 . Passo de indu¸c˜ ao: sej´a temos an e bn . Denotamos mn = (an + bn )/2 e comparamos m2n com 2 . Pois mn ´e racional, m2n e 2 n˜ao podem ser iguais. Logo

[21]

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temos s´o dois casos: Se m2n < 2 , definimos an+1 = mn e bn+1 = bn . Se m2n > 2 , definimos an+1 = an e bn+1 = mn . Ent˜ao os todos [an , bn ] s˜ao definidos. Observe que bn − an = 1/2n−1 para todos n . Logo a interse¸c˜ao de todos segmentos [an , bn ] n˜ao pode ter mais que um elemento. Mas n˜ao pode ter mesmo um elemento, pois se tivesse, seu quadrado seria 2 , o que ´e impossivel. Explicamos a conex˜ao entre as duas apresenta¸c˜oes. Para cada seq¨ uˆencia de s.f.e. [an , bn ] chamemos de classe menor e de classe maior os conjuntos n

o

Qmenor = q ∈ Q O : ∃ n : q < an ,

Qmaior = Q O \ Qmenor .

Clases Qmenor e Qmaior n˜ao podem ter elementos comuns. e sua uni˜ao ´e Q O. Qmenor n˜ao tem maximo. A seq¨ uˆencia [an , bn ] defina um buraco se Qmaior n˜ao tem minimo. ´ possivel provar que o Esta situa¸c˜ao n˜ao ´e unica, mas muito tipica em Q O. E conjunto de buracos em Q O ´e infinito e mesmo n˜ao cont´avel. Agora concertamos a situa¸c˜ao. Declaramos cada buraco de n´ umero irracional. N´ umeros racionais e irracionais juntos s˜ao chamados de n´ umeros reais. Denotamos o conjunto de n´ umeros reais de IR . N´ umeros reais fazem um conjunto ordenado e continuo. Exemplo. O n´ umero real

√

2 ´e irracional. Os n´ umeros reais

√

3,

√ 3

2,

√

3−

√

2

s˜ao irracionais tamb´em. Exemplo. Consideremos uma seq¨ uˆencia de n´ umeros racionais x1 , x2 , x3 , . . . , onde 1 xn = 1 + n 2

!2n

.

´ facil provar que esta seq¨ ´ possivel provar E uˆencia cresce, i.e. x1 < x2 < x3 < . . . E

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[22]

tamb´em que todos seus termos s˜ao menor que 3. Logo podemos definir uma corte onde n

Rmenor = r ∈ IR : ∃ n : r < xn

o

e

Rmaior = IR \ Rmenor .

Esta corte define um n´ umero irracional importantissimo denotado e . Aproximadamente e = 2, 718 . . . Defini¸c˜ ao. Para cada n´ umero real x denotamos:  

|x| = 

x

se x ≥ 0,

−x se x < 0.

[x] - o maximo n´ umero inteiro, qual n˜ao ´e maior que x ; ]x[ - o minimo n´ umero inteiro, qual n˜ao ´e menor que x . Exemplos: se x ´e inteiro, logo [x] =]x[= x . Se 0 < x < 1 , logo [x] = 0 e ]x[= 1 . Se −1 < x < 0 , logo [x] = −1 e ]x[= 0 . Exerc´ıcio. Quais valores pode tomar ]x[−[x] ? Exerc´ıcio. Quais valores pode tomar [x2 ] − [x]2 ? max, min, sup, inf. Chamemos um conjunto S ⊂ IR limitado se existem n´ umeros A e B tais que A ≤ x ≤ B para todos x ∈ S . Exerc´ıcio. Dados n conjuntos de n´ umeros reais, daqueles cada ´e limitado. Provar que seu uni˜ao e interse¸c˜ao tamb´em s˜ao limitados. Exerc´ıcio. Dada uma familha F de subconjuntos de IR , daqueles cada ´e limitado. Podemos concluir que a uni˜ao destes conjuntos ´e limitada? Podemos concluir que a interse¸c˜ao deles ´e limitada?

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[23]

Para cada conjunto limitado n˜ao-vazio S ⊂ IR , chamemos um n´ umero f cota superior de S se x ≤ f para todos x ∈ S . Denotamos de F o conjunto de cotas superiores de S . Pois S ´e limitado e n˜ao-vazio, ambos conjuntos IR \ S e S s˜ao n˜ao-vazios, logo eles fazem uma corte no conjunto de n´ umeros reais. Logo existe fronteira entre eles, chamada supremo de conjunto S e denotada sup S . Definimos inf S o infimo de S analogamente. Se S n˜ao tem nenhuma cota superior, dizemos que sup S = ∞ . Analogamente, se S n˜ao tem nenhuma cota inferior, dizemos que inf S = ∞ . Teorema. Se um conjunto de n´ umeros reais ´e n˜ao vazio, ele tem um supremo e um infimo (talvez, infinitos). Exerc´ıcio. Provar que qualquer conjunto n˜ao pode ter mais que um m´aximo ou mais que um supremo. Tamb´em provar que o m´aximo e o supremo de mesmo conjunto s˜ao iguais se ambos existem. Teorema. Seja o conjunto IR apresentado como uni˜ao de dois conjuntos S1 e S2 tais que cada elemento de S1 `e menor que cada elemento de S2 . Ent˜ao, s´o dois casos s˜ao possiveis: ou S1 tem maximo e S2 n˜ao tem minimo, ou S1 n˜ao tem maximo e S2 tem minimo.

[24]

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5.

Sistema decimal e outros sistemas numericos.

Cada n´ umero natural mais que um pode ser usado como base de sistema numerica. O sistema numerica mais usada ´e decimal. Neste sistema temos dez algarizmos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e podemos escrever cada n´ umero natural como uma seq¨ uˆencia

n n−1 1 0 · a a n−1 + . . . + 10 · a1 + 10 · a0 . n an−1 . . . a1 a0 = 10 · an + 10 {z } |

(3)

nota¸c˜ ao decimal

Teorema.

Cada n´ umero natural pode ser escrito na maneira (3) num u ´nico

jeito. Usando a mesma nota¸c˜ao, podemos escrever os n´ umeros reais em [0, 1] como fra¸c˜oes decimais infinitas 0, a1 , a2 , a3 , . . .

onde

n

ai ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

o

Fra¸c˜oes finitas podem ser interpretadas como infinitas com zeros at´e ∞ . Todos estes n´ umeros s˜ao diferentes com exe¸c˜ao seguinta: 0, a1 , a2 , . . . ak , 999 . . . = 0, a1 , a2 , . . . (ak + 1), 000 . . . O conjunto [0, 1] ´e ordenado. Exerc´ıcio. Denotamos X = 0, 999999 . . . O n´ umero X ´e menor que um, igual a um ou maior que um? Teorema.

a) Cada n´ umero racional se-apresenta como uma fra¸c˜ao decimal

periodica. b) Cada fra¸c˜ao decimal periodica apresenta um n´ umero racional. Cada n´ umero natural mais que um pode ser usado como base duma sistema de nota¸c˜ao. Dado qualquer inteiro b > 1 cada n´ umero natural pode ser apresentado

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[25]

na maneira u ´nica como n n−1 1 0 a · a n an−1 . . . a1 a0 = b · an + b n−1 + . . . + b · a1 + b · a0 . | {z } nota¸c˜ ao com base b

onde an , . . . , a0 s˜ao algarismos base b , i.e. n´ umeros inteiros entre zero e b − 1 . Sistema com b = 2 , chamada binaria, ´e muito usada nos computadores. Nesta sistema h´a s´o dois algarismos: 0 e 1 e cada n´ umero natural pode ser escrito num u ´nico jeito como uma seq¨ uˆencia deles: an an−1 {z. . . a1 a0} = 2n · an + 2n−1 · an−1 + . . . + 21 · a1 + 20 · a0 .

|

nota¸c˜ ao com base 2

N´ umeros reais entre zero e um tamb´em podem ser escritos nesta maneira - como ∞ X

ak · 2−k = 0, a1 a2 a3 . . . ,

n

o

ai ∈ 0, 1 .

onde

k=1

O conjunto de Cantor ´e interse¸c˜ao de uma seq¨ uˆencia de conjuntos C = ∩∞ n=0 Cn , onde C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ C3 . . . s˜ao definidos indutivamente. Os primeiros trˆes s˜ao: 1 2 C0 = [0, 1], C1 = 0, ∪ .1 , 3 3 " # " # " # " # 1 2 1 2 7 8 C2 = 0, ∪ . ∪ , ∪ .1 . 9 9 3 3 9 9 Cada conjunto Cn ´e uma uni˜ao de 2n segmentos fechados, cada com comprimento "

#

"

#

3−n , e torna-se em Cn+1 se cortamos cada segmento em trˆes partes iguais e eliminamos a parte m´edia sem eliminar suas fronteiras. Para entender melhor o conjunto de Cantor, ´e u ´til apresentar os n´ umeros reais em [0, 1] como fra¸c˜oes infinitas com base 3 . Cada fra¸c˜ao ´e escrita como 0, a1 , a2 , a3 , . . . , i.e. zero, v´ırgula, e ap´os uma seq¨ uˆencia infinita de algarismos, daqueles cada ´e 0 , 1 ou 2 . O valor desta fra¸c˜ao ´e valor(0, a1 , a2 , a3 , . . .) =

∞ X n=1

an · 3−n .

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[26]

Isto ´e an´alogo de fra¸c˜oes decimais. Se uma fra¸c˜ao deste tipo tem todos zeros come¸cando dum lugar, podemos apagar estes zeros e obter uma fra¸c˜ao finita. Cada n´ umero, qual pode ser representado como fra¸c˜ao finita, tem duas fra¸c˜oes representantes, por exemplo, 1 = 0, 222222 . . . . Cada outro n´ umero em [0, 1] tem exatamente uma fra¸c˜ao representante. Usando isto, o conjunto de Cantor pode ser definido como o conjunto de n´ umeros em [0, 1] , qual podem ser representados como fra¸c˜oes base 3 sem usar o algarismo 1 , i.e. C =

 ∞  X 

n=1

an · 3−n , ∀n : an ∈ 0, 2 n

 o 

.



Exerc´ıcio. Provar que o conjunto (4) ´e o conjunto de Cantor. Exerc´ıcio. Provar que o conjunto de Cantor n˜ao ´e cont´avel.

(4)

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6.

[27]

Seq¨ uˆ encias em IR . Limites.

Defini¸c˜ ao.

Dizemos que uma seq¨ uˆencia xn tem limite finito L ou tende-se para

n´ umero L quando n → ∞ e escrevemos lim xn = L

n→∞

ou

xn

→L n→∞

se ∀ε>0 ∃k

∀ n > k : |xn − L| < ε.

(5)

Aqui n deve ser natural, mas k pode ser real. A formula (5) n˜ao ´e u ´nica possivel. Existem outras formulas com o mesmo sentido. De outro lado, existem formulas parecidas em (5) , cujo sentido ´e diferente. Exerc´ıcio. Quais das formulas seguintes s˜ao equivalentes a (5) ?

Teorema.

a)

∀ε>0 ∃k

b)

∃k

∀ n ≥ k : |xn − L| ≤ ε.

∀ ε > 0 ∀ n > k : |xn − L| < ε.

Uma seq¨ uˆencia n˜ao pode ter dois limites diferentes.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja xn → A e xn → B onde A 6= B . Tomemos ε = |A − B|/2 > 0 . Logo existem k1 e k2 tais que ∀ n > k1 : |xn − A| < ε,

∀ n > k2 : |xn − B| < ε.

Tomemos qualquer n > max(k1 , k2 ) . Lembramos que o modulo de diferen¸ca entre dois n´ umeros ´e a distˆancia entre os pontos quais representam estes n´ umeros na reta. Logo a distˆancia entre xn e A sera menor que ε e a distˆancia entre xn e B sera menor que ε . Logo a distˆancia entre A e B sera menor que 2ε = 2 ·

|A − B| < |A − B|, 2

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[28]

o que ´e impossivel pois esta distˆancia ´e igual a |A − B| . Defini¸c˜ ao. Uma seq¨ uˆencia xn ´e chamada limitada se existe um n´ umero C tal que ∀ n : |xn | < C . Teorema. Se uma seq¨ uˆencia tende-se para um n´ umero, ent˜ao ela ´e limitada. Como escrever a afirma¸c˜ao que xn n˜ao tende-se para L ? O jeito mais facil ´e simplesamente colocar o sinal de nega¸c˜ao no come¸co: ∀ ε > 0 ∃ n ∀ k > n : |xk − L| < ε. Agora transformamos esta formula usando a regra (1) : ∃ε>0

∃ n ∀ k > n : |xk − L| < ε.

Continuamos transformar usando a regra (2) : ∃ε>0∀n

∀ k > n : |xk − L| < ε

e mais ∃ε>0∀n ∃k>n :

|xk − L| < ε

e finalemente ∃ ε > 0 ∀ n ∃ k > n : |xk − L| ≥ ε. Esta formula ´e mais apropriada quando queremos provar que uma seq¨ uˆencia n˜ao tende-se para um n´ umero. Ent˜ao est´a provado o teorema seguinte: Teorema.

xn n˜ao tende-se para L se e somente se

∃ ε > 0 ∀ n ∃ k > n : |xn − L| ≥ ε. Exerc´ıcio. Seja (

xn =

0 se n ´e par, 1 se n ´e ´ımpar.

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[29]

Provar que a seq¨ uˆencia xn n˜ao tende-se nem para zero nem para um. Teorema. Se xn

n→∞→

A , ent˜ao C · xn → C · A para cada n´ umero C .

Teorema.

Se xn → A e yn → B , ent˜ao xn + yn → A + B .

Defini¸c˜ ao.

Dizemos que uma seq¨ uˆencia xn tende-se para ∞ e escrevemos

xn

n→∞→

∞ se ∀M

∃ n ∀ k > n : xk > M.

Tamb´em dizemos que uma seq¨ uˆencia xn tende-se para −∞ e escrevemos xn

n→∞→

−∞ se ∀M

Exerc´ıcio.

∃ n ∀ k > n : xk < M.

a) Transformar nega¸c˜oes destas formulas na maneira parecida de

transforma¸c˜ao acima. b) Seja (

xn =

n se n ´e par, −n se n ´e ´ımpar.

Provar que a seq¨ uˆencia xn n˜ao tende-se nem para ∞ nem para −∞ . Defini¸c˜ ao. Se uma seq¨ uˆencia tende-se para um n´ umero ou para ∞ ou para −∞ , dizemos que ela tem limite. Se este limite ´e finito, dizemos que esta seq¨ uˆencia converge. Se ela tem limite infinito ou n˜ao tem nenhum limite, dizemos que ela diverge. Teorema.

Uma seq¨ uˆencia xn tende-se para n´ umero L se e somente se para

cada ε > 0 o conjunto Teorema.

n

n : |xn − L| ≥ ε

o

´e finito.

Se uma seq¨ uˆencia tem limite, cada outra seq¨ uˆencia obtida dela

eliminando, incluindo e mudando um conjunto finito de termos, tem o mesmo

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[30]

limite. Teorema.

Se xn → A , ent˜ao cada permuta¸c˜ao e cada sub-seq¨ uˆencia de xn

tamb´em tende-se para A . Defini¸c˜ ao.

Dizemos que uma seq¨ uˆencia xn ´e limitada se existe n´ umeros A, B

tal que A ≤ xn ≤ B para todos n . Defini¸c˜ ao.

Dizemos que uma seq¨ uˆencia xn ´e crescente se xn < xn+1 para todos

n . Definimos uma seq¨ uˆencia decrescente analogamente. Defini¸c˜ ao.

Dizemos que uma seq¨ uˆencia xn ´e n˜ ao-decrescente se xn ≤ xn+1 para

todos n . Definimos uma seq¨ uˆencia n˜ ao-crescente analogamente. Teorema.

Cada seq¨ uˆencia n˜ao-decrescente xn tem limite. Se xn ´e limitada,

seu limite ´e finito, caso contrario o seu limite ´e ∞ . Defini¸c˜ ao.

Chamemos um n´ umero f cota superior de um conjunto S ⊂ IR se

x ≤ f para todos x ∈ S . Chamamos uma cota superior f de S o supremo de S se f ´e o m´ınimo do conjunto das cotas superiores de S . Definimos o infimo de um conjunto analogamente. Teorema.

Cada conjunto n˜ao vazio tem um supremo e um infimo. (O supremo

pode ser ∞ e o infimo pode ser −∞ .) Exerc´ıcio. Provar que qualquer conjunto n˜ao pode ter mais que um m´aximo ou mais que um supremo. Tamb´em provar que o m´aximo e o supremo de mesmo conjunto s˜ao iguais se ambos existem. Teorema.

Se o n´ umero S ´e o supremo do conjunto C , logo existe uma

seq¨ uˆencia (xn ) , todos cujos termos pertencem a C e tal que xn → S .

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7.

[31]

Pontos de aderˆ encia.

Teorema. Se uma seq¨ uˆencia tem limite, cada subseq¨ uˆencia dela tem o mesmo limite. Defini¸c˜ ao. a) Um n´ umero A ´e chamado um ponto de aderˆencia ou ponto aderˆente duma seq¨ uˆencia se ela tem uma subseq¨ uˆencia, qual tende-se para A . b) Dizemos que ∞ ´e um ponto de aderˆencia duma seq¨ uˆencia se ela tem uma sub-seq¨ uˆencia, qual tende-se para ∞ . c) Dizemos que −∞ ´e um ponto de aderˆencia duma seq¨ uˆencia se ela tem uma sub-seq¨ uˆencia, qual tende-se para −∞ . Observa¸c˜ ao. Lima [Lima, vol. 1] use a frase valor de aderˆencia com mesmo sentido que o nosso ponto de aderˆencia. Teorema. Um n´ umero A ´e um ponto de aderˆencia de xn se e somente se ∀ ε > 0 ∀ n ∃ k > n : |xk − A| < ε. Teorema. X. Um n´ umero A ´e um ponto de aderˆencia de xn se e somente se para cada ε > 0 o conjunto

n

n : |xn − A| < ε

o

´e infinito.

Teorema. Um n´ umero A n˜ao ´e um ponto de aderˆencia de xn se e somente se ∃ ε > 0 ∃ n ∀ k > n : |xk − A| ≥ ε. Teorema.

Um n´ umero A n˜ao ´e um ponto de aderˆencia de xn se e somente se

existe ε > 0 tal que o conjunto

n

n : |xn − A| < ε

o

´e finito.

Pergunta: Existe seq¨ uˆencia, qual contem todos n´ umeros racionais?

[32]

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Pergunta: Existe seq¨ uˆencia, qual contem todos n´ umeros reais? Teorema.

Para cada seq¨ uˆencia, qual contem todos n´ umeros racionais, todos

n´ umeros reais s˜ao pontos de aderˆencia. Teorema.

O teorema de Weierstrass-Bolzano. Cada seq¨ uˆencia limitada tem

pelo menos um ponto de aderˆencia. Demonstra¸ c˜ ao. Seja seq¨ uˆencia xn limitada,i.e. existe C tal que ∀ n : −C ≤ n

o

xn ≤ C . Chamemos um conjunto S magro se o conjunto n : xn ∈ S ´e finito e ´ claro que se temos dois conjuntos magros, gordo se o mesmo conjunto ´e infinito. E sua uni˜ao ´e magra tamb´em. Agora observamos que o segmento [−C, C] ´e gordo. Apresentmos-l´o como uni˜ao de dois segmentos fechados: [−C, C] = [−C, 0] ∪ [0, C]. Logo pelo menos um deles ´e gordo. Denotamos-l´o de [a1 , b1 ] e cortamos este segmento emduas partes iguais: a1 + b 1 a1 + b 1 ∪ , b1 . [a1 , b1 ] = a1 , 2 2 "

#

"

#

Pelo menos um destes segmentos ´e gordo. Chamamos-l´o de [a2 , b2 ] e procedemos na mesma maneira indutivamente. Na casa passo de indu¸c˜ao temos um segmento gordo [an , bn ] e apresentmos-l´o como an + b n an + b n [an , bn ] = an , ∪ , bn . 2 2 "

#

"

#

Pelo menos um destes segmentos ´e gordo. Denotamos-l´o de [an+1 , bn+1 ] e procedemos na mesma maneira. Logo obtemos uma seq¨ uˆencia infinita de segmentos gordos [−C, C] ⊃ [a1 , a2 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ [a3 , b3 ] ⊃ . . .

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[33]

Os comprimentos destes segmentos tendem para zero, logo todos estes segmentos tˆem exatamente um ponto comum L . Logo, devido ao teorema X, este ponto ´e ponto de ader´encia de nossa seq¨ uˆencia xn . Corol´ ario. Cada seq¨ uˆencia tem pelo menos um ponto de aderˆencia: ou um n´ umero ou ∞ ou −∞ . Teorema. Seja A o conjunto de pontos de aderˆencia da seq¨ uˆencia xn e B o conjunto de pontos de aderˆencia da seq¨ uˆencia yn . Logo A ∪ B ´e o conjunto de pontos de aderˆensia da seq¨ uˆencia x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , . . . Teorema. Seja A o conjunto de pontos de aderˆencia da seq¨ uˆencia xn e B o conjunto de pontos de aderˆencia da seq¨ uˆencia yn . Seja xn uma subseq¨ uˆencia de yn . Logo A ⊆ B . Teorema. Se uma seq¨ uˆencia xn tem s´o um ponto de aderˆencia (um n´ umero ou ∞ ou −∞ ), ent˜ao xn tende para este limite. Teorema. Se uma seq¨ uˆencia ´e obtida atravez de elimina¸c˜ao dum conjunto finito de termos de outra seq¨ uˆencia, estas seq¨ uˆencias tˆem o mesmo conjunto de pontos de aderˆencia. Teorema. Se uma seq¨ uˆencia ´e obtida atravez de permuta¸c˜ao de outra seq¨ uˆencia, estas seq¨ uˆencias tˆem o mesmo conjunto de pontos de aderˆencia.

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8.

[34]

O criterio de Cauchy para seq¨ uˆ encias.

Defini¸c˜ ao. Dizemos que uma seq¨ uˆencia xn satisfaz a condi¸c˜ao de Cauchy se ∀ε>0 ∃k Teorema.

∀ m, n > k : |xm − xn | < ε.

(6)

O criterio de Cauchy. Uma seq¨ uˆencia xn dos n´ umeros reais tem

limite finito se e somente se ela satisfaz a condi¸c˜ao de Cauchy. Demonstra¸ c˜ ao. Numa dire¸c˜ ao: seja xn → L . Provemos (6) . Escolhemos qualquer ε > 0 . Pois xn → L , existe k tal que ε ∀ n > k : |xn − L| < . 2 Logo ∀ m, n > k : |xm − xn | < ε. Isto ´e a condi¸c˜ao de Cauchy. Noutra dire¸c˜ ao. Seja a condi¸c˜ao (6) satisfeita. Primeiro provemos que a seq¨ uˆencia xn ´e limitada. Pois (6) ´e verdadeira para todos ε > 0 , ´e verdadeira para ε = 1 . Logo ∃k

∀ m, n > k : |xm − xn | < 1.

Tomemos k com esta propriedade e m o primeiro n´ umero natural qual ´e mais que k . Logo ∀ n ≥ m : |xm − xn | < 1. Logo ∀ n : |xn | ≤ C onde n

o

C = max |x1 |, . . . , |xm−1 |, |xm − 1|, |xm + 1| . Entao, esta provado que a seq¨ uˆencia xn ´e limitada. Logo, devido ao teorema de Weierstrass-Bolzano, ela tem pelo menos um ponto de aderˆencia, o qual denotamos

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[35]

de L . Provemos que xn → L , i.e. ∀ ε > 0 ∃ k ∀ n > k : |xn − L| < ε. Tomemos qualquer ε > 0 . Devido a (6) , existe k tal que ∀ m, n > k : |xm − xn | < ε/2. Pois L ´e um valor de aderencia de xn , existe q > k tal que |xq − L| < ε/2 . Logo ∀ n > k : |xn − L| < ε , o que presicamos. O criterio de Cauchy esta provado nas ambas dire¸c˜ oes. Exerc´ıcio. Aplicando regras (1) e (2) , transformar a formula dizendo que uma seq¨ uˆencia n˜ao tem limite finito. Exerc´ıcio. Provar que a seq¨ uˆencia 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . n˜ao tem nenhum limite, nem finito, nem infinito. Exerc´ıcio. Seja todos n´ umeros racionais enumerados. Provar que esta seq¨ uˆencia n˜ao tem nenhum limite.

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9.

[36]

Conjuntos abertos e fechados em IR .

Defini¸c˜ ao.

Para cada ponto p ∈ IR e cada ε > 0 chamemos ε -vizinhan¸ca de

p e denotamos de Vε (p) o conjunto Vε (p) def =

n

o

q : |q − p| < ε .

A no¸c˜ao de visinhan¸ca poderia ser u ´til em todos os capitulos anteriores. Por exemplo, usando-l´o obtemos criterios novos de limite e ponto de aderˆencia: Teorema. A seq¨ uˆencia xn tende para p quando n → ∞ se e somente se para cada ε > 0 o conjunto Teorema.

n

n : xn ∈ / Vε (p)

o

´e finito.

O numero p ´e um ponto de aderˆencia duma seq¨ uˆencia xn se e

somente se para cada ε > 0 o conjunto

n

n : xn ∈ Vε (p)

o

´e infinito.

Agora vamos falar de coisas novas. Defini¸c˜ ao. Um ponto p ∈ IR ´e chamado de ponto interior dum conjunto S ⊆ IR se existe ε > 0 tal que Vε (p) ⊆ S. Defini¸c˜ ao.

Chamemos um conjunto C ⊆ IR aberto se todos seus pontos s˜ao

interiores. Exemplos. Os conjuntos Teorema.

g

, IR , (a, b) , (−∞, b) , (a, ∞) s˜ao abertos.

Seja F qualquer fam´ılia de conjuntos abertos. Logo sua uni˜ao

∪C∈F C ´e aberta tamb´em. Teorema.

Se conjuntos C1 , . . . , Cn s˜ao abertos, sua interse¸c˜ao ´e aberta

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[37]

tamb´em. Exerc´ıcio. Apresentar uma seq¨ uˆencia de conjuntos abertos, cuja interse¸c˜ao n˜ao ´e aberta. Defini¸c˜ ao. Chamemos um ponto p ∈ IR ponto de aderˆencia dum conjunto S ⊆ IR se existe uma seq¨ uˆencia xn , todos cujas termos pertencem a S , qual converge a p. Teorema. Um ponto p ∈ IR ´e ponto de aderˆencia dum conjunto S ⊆ IR se e somente se para cada ε > 0 os conjuntos S e Vε (p) tem interse¸c˜ao n˜ao-vazia. Exerc´ıcio. Provar que um ponto p n˜ao ´e um ponto de aderˆencia de conjunto S se e somente se existe ε > 0 tal que S ∩ Vε (p) = Teorema.

g

.

Um ponto p ∈ S ⊆ IR ´e interior em S se e somente se p n˜ao ´e

ponto de aderˆencia de IR \ S . Teorema. Um ponto p ∈ S ⊆ IR ´e ponto d aderˆencia de S se e somente se p n˜ao ´e ponto interios de IR \ S . Defini¸c˜ ao. Para cada conjunto S ⊆ IR chamemos de seu fecho e denotamos de f echo(S) o conjunto de pontos de aderˆencia de S . Exerc´ıcio. Provar que qualquer S ⊆ f echo(S) . Defini¸c˜ ao. Chamemos um conjunto S ⊆ IR fechado se ele coincide com seu fecho. Exerc´ıcio. Provar que cada fecho ´e fechado. Exemplos. Os conjuntos

g

, IR ,

n

o

x , [a, b] , (−∞, b] , [a, ∞) s˜ao fechados.

Mais exemplos. Os conjuntos (a, b] e [a, b) s˜ao nem abertos, nem fechados. O

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[38]

conjunto dos n´ umeros racionais tamb´em ´e nem aberto, nem fechado, e o conjunto dos n´ umeros irracionais tamb´em. Teorema. O conjunto de pontos de aderˆencia duma seq¨ uˆencia limitada ´e fechado. Teorema. a) Se o conjunto C ⊆ IR ´e aberto, ent˜ao IR \ C ´e fechado. b) Se o conjunto S ⊆ IR ´e fechado, ent˜ao IR \ S ´e aberto. Teorema.

Seja F qualquer fam´ılia de conjuntos fechados. Logo sua interse¸c˜ao

∩C∈F C ´e fechada tamb´em. Exerc´ıcio. Provar que o conjunto de Cantor ´e fechado. Teorema.

Se conjuntos S1 , . . . , Sn s˜ao fechados, sua uni˜ao ´e fechada tamb´em.

Exerc´ıcio.

Apresentar uma seq¨ uˆencia de conjuntos fechados, cuja uni˜ao n˜ao ´e

fechada. Teorema.

(Lema de Heine-Borel-Lebesgue.)

Temos uma familha F de conjuntos abertos na reta tal que a uni˜ao de todos estes conjuntos inclue o segmento fechado [a, b] . Logo existe uma sub-familha finita F 0 ⊆ F tal que a uni˜ao de todos seus elementos tamb´em inclue [a, b] . Demonstra¸ c˜ ao. Chamemos um conjunto mole se ´e possivel escolher uma subfamilha finita tal que a uni˜ao de todos seus elementos inclue este conjunto e duro caso contrario. Observamos que se dois conjuntos s˜ao moles, sua uni˜ao ´e mole tamb´em. Agora supomos que o segmento [a, b] ´e duro e obtemos um contradi¸c˜ao. Apre-

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[39]

sentamos [0, 1] como uni˜ao de dois segmentos fechados: a+b a+b ∪ , b . [a, b] = a, 2 2 "

#

"

#

Se ambos estes segmentos s˜ao moles, sua uniao ´e mole tambem, o que ´e contra nossa suponha. Logo pelo menos um destes segmentos ´e duro. Chamemos este segmento de [a1 , b1 ] e cortamos-l´o em duas metades na maneira parecida: a1 + b 1 a1 + b 1 [a1 , b1 ] = a1 , ∪ , b1 . 2 2 "

#

"

#

Na mesma maneira concluimos que pelo menos destes segmentos ´e duro e chamamos-l´o de [a2 , b2 ] . Fazemos o mesmo pela indu¸c˜ao: apos de receber um segmento duro an , bn , apresentamos-l´o como uni˜ao de dois segmentos an + b n an + b n [an , bn ] = an , ∪ , bn , 2 2 "

#

"

#

concluimos que pelo menos um destes segmentos ´e duro e denotamos-l´o de [an+1 , bn+1 ] . Logo obtemos um seq¨ uˆencia de segmentos duros encaixados: [a, b] ⊃ [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ [a3 , b3 ] ⊃ . . . O comprimento de [an , bn ] ´e (b − a)/2n , logo tende para zero quando n → ∞ . Estes segmentos tˆem um ponto comum, qual denotamos de L . Lembramos que a uni˜ao de elementos de F inclue [a, b] , logo inclue o ponto L . Logo existe um conjunto aberto C ∈ F tal que L ∈ C . Pois C ´e aberto, existe ε > 0 tal que (L − ε, L + ε) ⊆ C . Escolhemos n tal grande que (b − a)/2n < ε . Logo [an , bn ] ⊆ C . Mas isto significa que [an , bn ] ´e mole! Temos uma contradi¸c˜ao, qual mostra que nossa suponha foi falsa; na verdade o segmento [a, b] ´e mole.

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10.

[40]

Limsup, liminf.

Defini¸c˜ ao.

Dada seq¨ uˆencia xn .

Denotamos lim supn→∞ xn o supremo (de fato, maximo como reconhecemos em baixo) de conjunto de pontos de aderˆencia dela. Analogamente denotamos lim inf n→∞ xn o infimo (de fato, minimo) de conjunto de pontos de aderˆencia dela. Teorema. Dada seq´ uˆencia xn , denotamos n

o

Tn = xn , xn+1 , xn2 , . . . ,

In = inf Tn ,

Sn = sup Tn .

Logo lim inf xn = n→∞ lim In , n→∞

lim sup xn = n→∞ lim Sn . n→∞

(Isto ´e como Lima [Lima, vol. 1] define lim inf e lim sup .) Exerc´ıcio. Seja xn = (−1)n /n . Descobrir lim inf xn e lim sup xn . Exerc´ıcio. Provar que lim sup (xn + yn ) ≤ lim sup xn + lim sup yn . Pode ser que lim sup (xn + yn ) < lim sup xn + lim sup yn ?

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11.

[41]

Seq¨ uˆ encias em IR2 . Limites e pontos de aderˆ encia.

Toda teoria desenvolvida acima pode ser aplicada para o plano IR2 com mudan¸cas pequenas. Supomos que no plano ´e escolhido um sistema de coordenadas, tal que cada ponto ´e um par (x, y) onde x, y ∈ IR . Denotamos de dist(p, q) a distˆancia entre pontos p, q ∈ IR2 . Seguinte o teorema de Pitagoras, a distˆancia entre qualquer pontos (x, y) e (a, b) ´e 



q

dist (x, y), (a, b) = (x − a)2 + (y − b)2 . Para cada ponto p ∈ IR2 denotamos kpk e chamamos a norma de p a distˆancia entre p e O . Neste caso ε -vizinhan¸ca dum ponto p , denotada Vε (p) , ´e definida como o conjunto dos pontos, cuja distˆancia de p ´e menor que ε : Vε (p) =

n

q ∈ IR2 : dist(p, q) < ε . o

Dizemos que uma seq¨ uˆencia xn tende-se para um ponto p ou que o ponto p ´e o limite de xn se a distˆancia dist(xn , p) tende-se para zero quando n → ∞ . Defini¸c˜ ao.

Um ponto ´e chamado ponto de aderˆencia duma seq¨ uˆencia se ela tem

uma sub-seq¨ uˆencia, qual tende-se para este ponto. Chamemos uma seq¨ uˆencia xn em IR2 limitada se existe um n´ umero C tal que ∀ n : kxn k ≤ C . Teorema.

Cada seq¨ uˆencia limitada em IR2 tem pelo menos um ponto de

aderˆencia. Dizemos que um ponto p ∈ IR ´e um ponto de aderˆencia dum conjunto S ⊆ IR2 se existe uma seq¨ uˆencia qn , todos cujas termos pertencem a S , qual converge a p.

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Teorema.

(Outra vers˜ao de criterio Cauchy.)

Uma seq¨ uˆencia pn dos pontos em IR2 tem limite se e somente se ∀ε>0 ∃k

∀ m, n > k : dist(pm , pn ) < ε.

[42]

[43]

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12.

Conjuntos abertos e fechados em IR2 .

IR2 significa plano onde usamos uma sistema de coordenados chamados x e y . A teoria de conjuntos abertos e fechados ali ´e muito parecido na mesma teoria em IR . A maior diferen¸ca - defini¸c˜ao de visinhan¸ca. No plano visinhan¸ca Vε (p) com raio ε > 0 dum ponto p ∈ IR2 ´e um c´ırculo aberto com centro p e raio ε : Vε (p) def =

n

q ∈ IR2 : dist(q, p) < ε

o

onde dist ´e distˆancia euclideana. Um ponto p ∈ IR2 ´e chamado interior dum conjunto C ⊆ IR2 se existe ε > 0 tal que Vε (p) ⊆ C . Um conjunto C ⊆ IR2 ´e chamado aberto se todos seus pontos s˜ao interiores. Exemplos de conjuntos abertos: n

o

(x, y) : x > 0 ,

n

g

, IR2 ,

(x, y) : y > x2 , o

n

(x, y) : x2 + y 2 < 1 . o

Chamemos um ponto p ∈ IR2 ponto de aderˆencia dum conjunto

Defini¸c˜ ao.

S ⊆ IR2 se existe uma seq¨ uˆencia (xn ) , todos cujas termos pertencem a S , qual converge a p . Teorema.

Um ponto p ∈ IR2 ´e ponto de aderˆencia dum conjunto C ⊆ IR2 se

para cada ε > 0 os conjuntos C e Vε (p) tem interse¸c˜ao n˜ao-vazia. Para cada conjunto S ⊆ IR2 chamemos de seu fecho o conjunto dos seus pontos de aderˆencia. Exerc´ıcio. Cada conjunto em IR2 pertence a seu fecho. Chamemos um conjunto em IR2 fechado se ele coincide com seu fecho, i.e. contem todos seus pontos de aderˆencia.

[44]

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Exemplos. n

Para qualquer ponto p ∈ IR2 e n´ umero r > 0 o conjunto

q ∈ IR2 : dist(q, p) < r

o

´e aberto e o conjunto

n

q ∈ IR2 : dist(q, p) ≤ r

o

´e

fechado. Como antes, para cada S ⊆ IR2 denotamos S c = IR2 \ S . Teorema. Se S ⊆ IR2 ´e aberto, S c ´e fechado. Se S ⊆ IR2 ´e fechado, S c ´e aberto. Lema.

Temos um plano IR2 =

n

o

(x, y) : x, y ∈ IR . Chamemos caixa cada

sub-conjunto de R2 de tipo caixa(a, b, c, d) =

n

o

(x, y) : a ≤ x ≤ b,

c≤y≤d .

Temos uma seq¨ uˆencia de caixas caixa(an , bn , cn , dn ) tal que cada interse¸c˜ao finita deles ´e n˜ao-vazia: ∀n :

n \

caixa(ak , bk , ck , dk ) 6=

g.

k=1

Logo a interse¸c˜ao de todos ´e n˜ao-vazia tamb´em: ∞ \

caixa(ak , bk , ck , dk ) 6=

g.

k=1

Exemplos de conjuntos fechados: n

o

(x, y) : x ≥ 0 ,

n

g

, IR2 ,

(x, y) : y ≥ x2 , o

n

(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1 . o

Teorema. a) Se temos qualquer familha F de conjuntos abertos em IR2 , a uni˜ao de todos conjuntos em F ´e aberta tamb´em. b) Se temos uma lista finita de conjuntos abertos em IR2 , logo sua interse¸c˜ao ´e

[45]

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aberta tamb´em. c) Se temos qualquer familha F de conjuntos fechados em IR2 , a interse¸c˜ao de todos conjuntos em F ´e fechada tamb´em. d) Se temos uma lista finita de conjuntos fechados em IR2 , logo sua uni˜ao ´e fechada tamb´em. Dado conjunto S ⊆ IR2 , chamemos de sua fronteira a interse¸c˜ao do fecho de S e o fecho se IR2 \ S . Teorema. a) Um conjunto em IR2 ´e aberto se e somente se sua interse¸c˜ao com sua fronteira ´e vazia. b) Um conjunto em IR2 ´e fechado se e somente se ele inclue sua fronteira. Teorema. a) Os u ´nicos sub-conjuntos de IR2 cuja fronteira ´e vazia s˜ao

g

e IR2 .

a) Os u ´nicos sub-conjuntos de IR2 quais s˜ao abertos e vazios no mesmo tempo s˜ao

g

e IR2 .

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13.

[46]

Fun¸ c˜ oes IR → IR . Limite e continuidade. Dada uma fun¸c˜ao f : S → IR , definida em um conjunto S ⊂ IR ,

Defini¸c˜ ao.

qual contem uma visinhan¸ca de ponto x0 , mas n˜ao precise conter o mesmo ponto x0 . Dizemos que um n´ umero A ´e o limite de f quando x → x0 e escrevemos A = limx→x0 f (x) ou f (x)

x→x0→

A se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ S : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − A| < ε. Tamb´em dizemos que limx→x0 f (x) = ∞ se ∀M

∃ δ > 0 ∀ x ∈ S : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > M.

Tamb´em dizemos que limx→∞ f (x) = A se ∀ε>0 ∃M

∀ x ∈ S : x > M ⇒ |f (x) − A| < ε.

Tamb´em dizemos que limx→∞ f (x) = ∞ se ∀M

∃N

∀ x ∈ S : x > N ⇒ f (x) > M.

Exerc´ıcio. Provar que uma fun¸c˜ao n˜ao pode ter dois limites quando x → x0 ou quando x → ∞ . Tamb´em, podemos definir esquerdo e direito limites duma fun¸c˜ao f (x) num ponto x0 denotados lim f (x) = lim f (x)

x→x0 −

x↑x0

e

lim f (x) = lim f (x)

x→x0 +

x↓x0

e definidos analogamente, s´o no lugar de 0 < |x − x0 | < δ escrevemos x0 − δ < x < x0 ou x0 < x < x0 + δ .

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Teorema.

[47]

Uma fun¸c˜ao tem limite no ponto x0 se e somente se ela tem esquerdo

e direito limites, qual s˜ao iguais. Defini¸c˜ ao.

Dizemos que uma fun¸c˜ao f ´e continua em ponto x0 se ela ´e definida

neste ponto, o limite dela quando x → x0 existe e este limite ´e igual ´a f (x0 ) . Teorema.

Uma fun¸c˜ao ´e continua no ponto x0 se e somente se ela tem esquerdo

e direito limites, qual s˜ao iguais para um outro e para f (x0 ) . Teorema.

Uma fun¸c˜ao f : IR → IR ´e continua no ponto x0 se e somente se

para cada seq¨ uˆencia (xn ) , cujos termos s˜ao diferentes de x0 e qual tende-se para x0 , a seq¨ uˆencia f (xn ) tende-se para f (x0 ) . Teorema.

limx→x0 (f (x) + g(x)) = limx→x0 f (x) + limx→x0 g(x).

Teorema.

limx→x0 (f (x) · g(x)) = limx→x0 f (x) · limx→x0 g(x).

Teorema.

Seja g(x) > 0 para todos x . Logo lim (f (x)/g(x)) = x→x lim f (x)/ x→x lim g(x).

x→x0

0

0

Dizemos que uma fun¸c˜ao f : IR → IR ´e n˜ ao-decrescente se ∀ x, y ∈ IR : x < y ⇒ f (x) ≤ f (y). Teorema.

Seja f (x) uma fun¸c˜ao n˜ao-decrescente definida em todo IR . Logo

f (x) tem esquerdo e direito limites no cada ponto e ∀ x, x1 , x2 > x : x1 < x < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x−) ≤ f (x) ≤ f (x+) ≤ f (x2 ). Tamb´em ∀x1 < x2 : f (x1 +) ≤ f (x2 −).

[48]

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Teorema.

Se fun¸c˜ao f (x) ´e n˜ao-decrescente, logo ∀ x1 < x2 : f (x1 +) ≤ f (x2 −).

Lema. Temos um conjunto C de intervalos abertos na reta, daqueles cadas dois n˜ao tem pontos comuns. Provar que o conjunto C ´e vazio, finito ou cont´avel. (Mesmo para discos abertos no plano.) Defini¸c˜ ao.

Dizemos que uma fun¸c˜ao f ´e continua num conjunto S se ela ´e

continua no cada x ∈ S . Teorema.

Seja uma fun¸c˜ao f definida na toda reta. Logo as trˆes condi¸c˜oes

seguintes s˜ao equivalentes: a) Fun¸c˜ao f ´e continua na toda reta. b) Pre-imagem de cada conjunto aberto ´e aberta. c) Pre-imagem de cada conjunto fechado ´e fechada. Defini¸c˜ ao.

Dizemos que uma fun¸c˜ao f (x) ´e limitada num conjunto se existe

n´ umero C tal que |f (x)| ≤ C neste conjunto. Teorema.

Se f (x) ´e continua em [a, b] , logo:

a) f (x) ´e limitada em [a, b] . b) f (x) tem maximo e minimo em [a, b] , i.e. ∃ x∗ ∈ [a, b] : f (x∗ ) = max f (x), [a,b]

∃ x∗ ∈ [a, b] : f (x∗ ) = min f (x). [a,b]

c) Para cada y ∈ [f (a), f (b)] existe x ∈ [a, b] tal que f (x) = y . Teorema.

Se uma fun¸c˜ao ´e continua num segmento fechado [a, b] , ela ´e limitada

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[49]

e tem maximo e minimo neste segmento. Teorema.

Seja f (x) continua em [a, b] e f (a) < 0 e f (b) > 0 . Logo existe

x ∈ (a, b) tal que f (x) = 0 . Dica. Consideramos o conjunto C =

n

o

x ∈ [a, b] : f (x) ≤ 0 , denotamos s o

supremo deste conjunto e provemos que f (s) = 0 . ´ claro que o valor de x ∈ [a, b] onde ´e f (x) = 0 n˜ao precise estar Observa¸ c˜ ao. E u ´nico. Pode existir muito valores com esta condi¸c˜ao, mesmo um conjunto infinito. Corolario. Se n ´e ´ımpar, o polinomio P (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 tem pelo menos uma raiz real. Teorema.

Se z = z(y) e y = y(x) e ambas s˜ao continuas, logo z(x) ´e continua

tamb´em. Dado conjunto S ⊆ IR , chamemos um ponto x ∈ S interios de S se existe ε > 0 tal que Vε (x) ⊆ S . Para cada conjunto S ⊆ IR , denotamos int(S) o conjunto dos pontos interiores de S . Defini¸c˜ ao.

Para cada S ⊆ IR chamemos fronteira de S e denotamos f ront(S)

a interse¸c˜ao de fecho de S e fecho de IR \ S . Teorema.

int(S) = S \ f ront(S) .

Para cada fun¸c˜ao f : IR → IR denotamos Im f e chamamos imagem de f o conjunto

n

o

f (x) : x ∈ IR .

[50]

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Chamamos um conjunto C ⊆ IRd convexo se para cadas a, b ∈ C o todo segmento [a, b] pertence a C . Teorema.

Para cada fun¸c˜ao continua f : IR → IR o imagem de f ´e convexo.

Observa¸ c˜ ao: Seria melhor diser que o imagem de f ´e conectado, pois isto ´e verdade em todas dimen¸c˜oes, mas a no¸c˜ao de conectividade ´e mais complicada e na dimen¸c˜ao 1 ´e equivalente a convexidade. Teorema.

Todos sub-conjuntos convexos de IR s˜ao:

g,

IR, (−∞, b), (−∞, b],n o(a, ∞), (a, b), [a, b), (a, b], [a, b], a ,

[a, ∞),

 

(7)



onde a < b ∈ IR s˜ao parametros. Corol´ ario. Para cada fun¸c˜ao continua f : IR → IR o imagem de f pertence a lista (7) . Chamemos uma fun¸c˜ao f (x) definida num segmento S crescente se ∀ a, b ∈ S : a < b ⇒ f (a) < f (b). Teorema.

Se f (x) ´e crescente em S , para cada a ∈ int(S) :

a) Os limites lim f (x)

x→a−

e

lim f (x)

x→a+

existem e lim f (x) ≤ lim f (x).

x→a−

x→a+

b) Estes limites s˜ao iguais se e somente se f (x) ´e continua no ponto a . Teorema. ´e aberto.

Se f (x) definida na toda reta ´e continua e crescente, a imagem dela

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[51]

Corol´ ario. Se f (x) definida na toda reta ´e continua e fortemente monotonica, a imagem dela pertence a lista IR,

(−∞, b),

(a, ∞),

(a, b).

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14.

[52]

Continuidade uniforme e condi¸ c˜ ao de Lipschitz.

Dizemos que uma fun¸c˜ao f : S → IR ´e uniformemente continua em S se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, x0 ∈ S : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε. Exemplo. Fun¸c˜ao y = x2 definida em IR ´e continua em IR , mas n˜ao uniformemente continua. n

Exemplo. Fun¸c˜ao y = 1/x definida em S = x : x > 0

o

´e continua em S , mas

n˜ao uniformemente continua. Exerc´ıcio.

Sabemos que uma fun¸c˜ao ´e continua na toda reta IR . Podemos

concluir que ela ´e uniformemente continua na IR ? Teorema.

Se uma fun¸c˜ao ´e continua em [a, b] , ela ´e uniformemente continua

em [a, b] . Teorema.

Se uma fun¸c˜ao ´e uniformemente continua em (a, b) , ela ´e limitada

e existem limites lim f (x)

x→a+

Teorema.

e

lim f (x).

x→b−

Se f (x) ´e continua na toda reta e tem limites quando x → −∞ e

x → ∞ , ela ´e uniformemente continua na toda reta. Defini¸c˜ ao.

Dizemos que uma fun¸c˜ao f : S → IR satisfaz a condi¸c˜ ao de Lipschitz

com constanta C ou ´e C-Lipschitz se existe um n´ umero C > 0 tal que ∀ x, y ∈ S : |f (x) − f (y)| ≤ C · |x − y|.

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Teorema.

[53]

Se uma fun¸c˜ao satisfaz a condi¸c˜ao de Lipschitz, ela ´e uniformemente

continua. Exerc´ıcio. Apresentar uma fun¸c˜ao uniformemente continua, mas n˜ao Lipschitz.

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15.

[54]

Convergˆ encia de fun¸ c˜ oes.

Seja temos uma seq¨ uˆencia f1 , f2 , f3 , . . . das fun¸c˜oes definidas na toda reta. Disemos que esta seq¨ uˆencia converge para fun¸c˜ao f no cada ponto se ∀ x ∈ IR : fn (x)

→ f (x), n→∞

i.e. ∀ x∀ ε∃ n0 ∀n > n0 : |fn (x) − f (x)| < ε. Disemos que esta seq¨ uˆencia converge uniformemente para fun¸c˜ao f se temos uma condicao parecida, so com outra ordem de quantores: ∀ ε∃ n0 ∀ x∀n > n0 : |fn (x) − f (x)| < ε. Teorema.

Se uma seq¨ uˆencia f1 , f2 , f3 , . . . das fun¸c˜oes definidas na toda

reta converge uniformemente para fun¸c˜ao f , ela converge para fun¸c˜ao f no cada ponto. Exerc´ıcio.

O oposto ´e verdade? Se uma seq¨ uˆencia f1 , f2 , f3 , . . . das fun¸c˜oes

continuas definidas na toda reta converge no cada ponto para fun¸c˜ao continua f , podemos concluir que ela converge uniformemente para fun¸c˜ao f ? Exerc´ıcio. Seja uma seq¨ uˆencia f1 , f2 , f3 , . . . das fun¸c˜oes continuas definidas na toda reta converge para fun¸c˜ao f no cada ponto. Podemos concluir que fun¸c˜ao f ´e continua tamb´em ? Exerc´ıcio. Seja uma seq¨ uˆencia f1 , f2 , f3 , . . . das fun¸c˜oes continuas definidas na toda reta converge no cada ponto para fun¸c˜ao f . Podemos concluir que fun¸c˜ao f ´e continua tamb´em ? Teorema.

Teorema de Weierstrass. Seja uma seq¨ uˆencia f1 , f2 , f3 , . . . das

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[55]

fun¸c˜oes continuas definidas na toda reta converge uniformemente para fun¸c˜ao f . Logo fun¸c˜ao f ´e continua tamb´em.

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16.

[56]

Fun¸ c˜ oes IR2 → IR . Limites e continuidade.

Para cadas dois pontos (x, y), (a, b) ∈ IR2 definimos a distˆancia Euclideana entre eles seguinte o teorema de Pitagoras: q

dist((x, y), (a, b)) = (x − a)2 + (y − b)2 . Exerc´ıcio. Observe que: a) a distˆancia entre (x, y) e (a, b) ´e sempre n˜ao-negativa. b) a distˆancia entre (x, y) e (a, b) ´e zero se e somente se os pontos coincidem. Defini¸c˜ ao. Dada uma fun¸c˜ao f definida em todo plano salvo um ponto (a, b) , chamemos um n´ umero L o limite de f quando (x, y) → (a, b) se para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que 0 < dist((x, y), (a, b)) < δ ⇒ |f (x, y) − f (a, b)| < ε. Exerc´ıcio. Apresentar uma fun¸c˜ao qual n˜ao tem limite quando (x, y) → (0, 0) . Exerc´ıcio. A funcao f ´e definida no todo plano salvo (0, 0) e igual a f (x, y) =

xy . x2 + y 2

Esta fun¸c˜ao tem limite quando (x, y) → (0, 0) ?

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17.

[57]

Fun¸ c˜ oes IR → IR . Derivada.

Defini¸c˜ ao.

Chamemos derivada de uma fun¸c˜ao f : S → IR no ponto x o limite

(se ele existe) df f (x + ∆x) − f (x) d f (x) = = f 0 (x) = lim . ∆x→0 dx dx ∆x Se f (x) ´e continua e a mesma fra¸c˜ao tende para ∞ quando ∆x → 0 , dizemos que sua derivada ´e ∞ . Exemplo. A fun¸c˜ao f (x) = a x + b tem derivada f 0 (x) = a para todos x . Defini¸c˜ ao.

Tamb´em podemos definir esquerda e direita derivadas como limites

analogos esquerdo e direito: f 0 (x−) =

f (x + ∆x) − f (x) , ∆x→0− ∆x lim

f 0 (x+) =

f (x + ∆x) − f (x) . ∆x→0+ ∆x lim

Exemplo. A fun¸c˜ao f (x) = |x| tem derivada em todos pontos salvo zero. No ponto zero ela tem esquerda e direita derivadas, mas diferentes. Teorema.

Uma fun¸c˜ao tem derivada num ponto se e somente se ela tem

esquerda e direita derivadas neste ponto e elas s˜ao iguais. Teorema.

Se uma fun¸c˜ao tem derivada num ponto, esta fun¸c˜ao ´e continua no

mesmo ponto. Teorema.

Se uma fun¸c˜ao ´e n˜ao-decrescente e tem derivada, sua derivada ´e

n˜ao-negativa para todos x . Teorema.

(f + g)0 = f 0 + g 0 .

Teorema.

(f · g)0 = f 0 · g + f · g 0 .

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Teorema.

[58]

Se y = y(x) ´e uma fun¸c˜ao de x e z = z(y) ´e uma fun¸c˜ao de y ,

logo dz dy dz = · . dx dy dx

Teorema.

(f /g)0 = (f 0 · g − f · g 0 )/g 2 .

Teorema.

Se f (x) = xn , f 0 (x) = n · xn−1 para todos n ∈ Z .

Sem provar: Se f (x) = ex , f 0 (x) = ex . Teorema.

Se f (x) = sen x , f 0 (x) = cos x .

Teorema.

Se f (x) = cos x , f 0 (x) = −sen x .

Teorema.

Se f (x) = tan x , f 0 (x) = 1/ cos2 x .

Teorema.

Temos fun¸c˜ao continua f (x) em [a, b] tal que df /dx > 0 para

todos x ∈ (a, b) . Logo podemos considerar x como fun¸c˜ao de f em (f (a), f (b)) com derivada dx/df = 1/(df /dx) . Exerc´ıcio. O que s˜ao derivadas de ln x , arcsen x , arccos x , arctan x ? Teorema.

Se uma fun¸c˜ao ´e definida em (a, b) , tem derivada no ponto x0 ∈

(a, b) e f (x) ≤ f (x0 ) para todos x ∈ (a, b) , ent˜ao f 0 (x0 ) = 0 . Defini¸c˜ ao.

Derivada de derivada de fun¸c˜ao f (x) ´e chamada segunda derivada e

denotada f 00 (x) . Para cada k natural definimos k -esima derivada pela indu¸c˜ao, como derivada de (k − 1) -esima derivada. Primeira derivadas sa˜o denotadas f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x) . Geralmente a k -esima derivada ´e denotada f k (x) . Teorema.

Se uma fun¸c˜ao f (x) ´e definida em (a, b) , tem continuas primeira e

[59]

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segunda derivadas em (a, b) e f 0 (x0 ) = 0 e f 00 (x0 ) < 0 , onde x0 ∈ (a, b) , ent˜ao existe ε > 0 tal que ∀ x ∈ (x0 − ε, x0 ) ∪ (x0 , x0 + ε) : f (x) < f (x0 ).

Teorema.

Se uma fun¸c˜ao f (x) ´e continua em [a, b] tem derivada em (a, b) e

f (a) = f (b) , logo existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = 0 . Teorema.

(de valor m´edio) Se uma fun¸c˜ao f (x) continua em [a, b] tem

derivada em (a, b) , logo existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) = (f (b) − f (a))/(b − a) . Teorema.

Se f 00 (x) existe e continua numa visinhan¸ca de x , logo f (x + t) − 2f (x) + f (x − t) . t→0 t2

f 00 (x) = lim

Teorema.

Se fun¸c˜oes f (x) e g(x) continuas em [a, b] tˆem derivadas em

(a, b) , logo existe c ∈ (a, b) tal que f 0 (c) · (g(b) − g(a)) = g 0 (c) · (f (b) − f (a)). (Este teorema tem interpreta¸c˜ao geometrica.) Prova. Definimos uma nova fun¸c˜ao φ : [a, b] → IR assim: φ(x) = (f (x) − f (a)) · (g(b) − g(a)) + (g(b) − g(x)) · (f (b) − f (a)). Logo φ(x) ´e continua em [a, b] , tem derivada em (a, b) e φ(a) = φ(b) . Logo (teorema de valor m´edio) existe c ∈ (a, b) tal que φ0 (c) = 0 . Teorema.

Fim da prova.

(Regra de L’Hospital.) Seja fun¸c˜oes f (x), g(x) definidas e continuas

em [a, b) . Seja f (a) = g(a) = 0 , ambas fun¸c˜oes tem derivadas em (a, b) e g 0 (x) > 0 para todos x ∈ (a, b) . Logo, se o limite limx→a+ f 0 (x)/g 0 (x) existe, o limite limx→a+ f (x)/g(x) existe tamb´em e estes limites s˜ao iguais.

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[60]

Prova. Denotamos L = limx→a+ f 0 (x)/g 0 (x) . Logo para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que f 0 (x) < L + ε. ∀ x ∈ (a, a + δ) : L − ε < 0 g (x) D´evido ao teorema do valor m´edio, para todos t, s tal que a < t < s < a + δ existe u ∈ (t, s) tal que f (t) − f (s) g(t) − g(s)

=

f 0 (u) g 0 (u)

∈ (L − ε, L + ε).

Pois g(0) = 0 e g 0 (x) > 0 para todos x ∈ (a, b) , logo g(x) > 0 para os mesmos x , logo podemos ir para a limite e obter ∀ t ∈ (a, a+δ) : Teorema.

f (t) ∈ (L−ε, L+ε). g(t)

Fim da prova.

Seja f (x) definida na toda reta, continua e fortemente monotonica.

Denotamos C = Im f . Logo existe uma fun¸c˜ao g : C → IR tal que: a) ∀ x ∈ IR : g(f (x)) = x , b) ∀ y ∈ C : f (g(y)) = y , c) g ´e fortemente monotonica, i.e. y1 < y2 ⇒ g(y1 ) < g(y2 ) , d) g ´e continua. e) Seja tamb´em f tem derivada positiva no cada ponto. Logo g tamb´em tem derivada positiva no cada ponto.

[61]

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18.

Fun¸ c˜ oes IR → IR . Integral de Riemann.

Lema 0. Dada fun¸c˜ao f (x) definida num conjunto S . Se S1 ⊆ S2 ⊆ S , sup f (x) ≤ sup f (x), x∈S1

x∈S2

inf f (x) ≥ inf f (x).

x∈S1

x∈S2

Defini¸c˜ ao. Para todos p < q reais chamemos de segmentos os conjuntos [p, q], (p, q], [p, q), (p, q), cujo comprimento (chamado m ) ´e igual a q − p : m [p, q] = m (p, q] = m [p, q) = m (p, q) def = q − p. Seja f (x) uma fun¸c˜ao definida em [a, b] .

(8)

Queremos definir seu integral de

Riemann neste segmento. Chamemos uma partilhagem D de [a, b] uma representa¸c˜ao D : [a, b] = P1 ∪ P2 ∪ . . . ∪ Pn , onde todos Pk , chamados peda¸cos, s˜ao segmentos sem pontos comuns: ∀ i 6= j : Pi ∩ P j =

g.

Para cada partilhagem D de [a, b] chamemos

a soma superior: e soma inferior:

Ssup (D) =

Pn k=1 supx∈Pk

Sinf (D) =

Pn k=1 inf x∈Pk

f (x) · m Pk ,

f (x) · m Pk .

    

(9)

   

Lema 1. Para cada partilhagem D de qualquer conjunto Sinf (D) ≤ Ssup (D). Dizemos que uma partilhagem ´e mais fina que outra partilhagem de mesmo conjunto se cada peda¸co da segunda partilhagem ´e uma uni˜ao de v´arios peda¸cos da primeira partilhagem. Lema 2. Se D e D0 s˜ao duas partilhagens de mesmo conjunto e D ´e mais fina que D0 , Sinf (D0 ) ≤ Sinf (D) ≤ Ssup (D) ≤ Ssup (D0 ).

[62]

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Lema 3. Para todas partilhagens D e D0 de mesmo conjunto Sinf (D) ≤ Ssup (D0 ). Prova.

Definimos uma terceira partilhagem D00 de mesmo conjunto, cujos

peda¸cos s˜ao interse¸c˜oes de peda¸cos de D e peda¸cos de D0 . Logo D00 ´e mais fina que D e mais fina que D0 . Logo Sinf (D) ≤ Sinf (D00 ) ≤ Ssup (D00 ) ≤ Ssup (D0 ).

Fim da prova.

Dada f : [a, b] → IR consideramos o conjunto de todas somas superiores para todas partilhagens de [a, b] e chamemos o seu inferior supint [a,b] f (x)

def

=

inf D Ssup (D). Analogamente consideramos o conjunto de todas somas inferiores para todas partilhagens de [a, b] e chamemos o seu superior infint [a,b] f (x)

def

=

supD Sinf (D).

Lema 4. infint [a,b] f (x) ≤ supint [a,b] f (x) para cada fun¸c˜ao e cada segmento. Defini¸c˜ ao. a) Se infint [a,b] f (x) = supint [a,b] f (x), dizemos que a fun¸c˜ao f (x) tem integral de Riemann no segmento [a, b] , cujo valor ´e este n´ umero e qual denotamos Z b a

f (x) dx .

b) Se infint [a,b] f (x) < supint [a,b] f (x), dizemos que a fun¸c˜ao f (x) n˜ao tem integral de Riemann no segmento [a, b] . Exemplo. Seja (

f (x) =

0 se x ´e irracional, 1 se x ´e racional.

[63]

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O que s˜ao valores de infint [0,1] f (x) e supint [0,1] f (x) desta fun¸c˜ao? Esta fun¸c˜ao tem integral de Riemann em [0, 1] ou n˜ao? Impr´ oprios integrais. Exemplo. Seja f (x) = x−1/2 . Como definir

R1 0 f (x) dx

? Pois f (0) n˜ao ´e definida,

n˜ao podemos usar o segmento [0, 1] . Temos que considerar um outro segmento, sem zero. Usemos (0, 1) , mas mesmo assim, na qualquer partilhagem, o supremo de f (x) no primeiro peda¸co ´e sempre ∞ , logo supint (0,1) f (x) = ∞ . Temos que definir este integral como limite: Z 1 0

Defini¸c˜ ao.

x

−1/2

def

dx

=

lim

Z 1

ε→0 ε

x−1/2 dx = lim 2 (1 − ε1/2 ) = 2. ε→0

Geralmente, quando f (x)

x→a+→

∞ , definimos (se este limite

existe) Z b a

f (x) dx

def

=

lim

Z b

ε→0+ a+ε

f (x) dx .

Analogamente definimos (se estes limites existem) Z b −∞

f (x) dx

def

=

lim

Z b

a→−∞ a Z ∞ −∞

Z ∞

f (x) dx,

f (x) dx

a

def

=

f (x) dx

lim

Z b

a→−∞, b→∞ a

def

=

lim

Z b

b→∞ a

f (x) dx ,

f (x) dx .

Exemplo. Usamos impr´oprios integrais para definir e calcular esperan¸ca duma vari´avel aleat´oria continua, qual tem a fun¸c˜ao de densidade f (x) : EX =

Z ∞ −∞

x · f (x) dx =

lim

a→−∞, b→∞

Z b a

x · f (x) dx .

Se este limite n˜ao existe, dizemos que v.a. X n˜ao tem esperan¸ca. Exemplo. Continua v.a. X tem distribui¸c˜ao de Cauchy (padr˜ao) se f (x) =

1 . π (1 + x2 )

[64]

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Esta v.a. n˜ao tem esperan¸ca, pois n˜ao existe limite Z b

lim

a→−∞, b→∞ a

x dx . 1 + x2

Por quˆe?

Exerc´ıcio. Provar que para todos M e L existem a < −M e b > M tal que Z b a

Defini¸c˜ ao.

x dx = L. 1 + x2

At´e agora temos defini¸c˜ao de integral de a a b somente se a < b .

Definimos integral para outros casos assim: Z b a

Teorema.

f (x)dx = −

Z a b

f (x)dx

se

a>b

Z a

e

a

f (x)dx = 0 .

Para todos a, b, c reais Z b a

f (x) dx +

Z c b

f (x) dx =

Z c a

f (x) dx.

A mesma formula ´e correta se substituir ∞ ou −∞ no lugar de a , b ou c . Rb aC

Teorema.

(se integral existe)

Teorema.

(se integrais existem)

· f (x) dx = C ·

Rb a (f (x) + g(x)) dx

Rb a

=

Se f (x) ≥ 0 para todos x ∈ [a, b] , logo

Teorema.

f (x) dx. Rb a

f (x) dx +

Rb a f (x) dx

Rb a

g(x) dx.

≥ 0 se este

integral existe. Corol´ ario. Se f (x) ≤ g(x) para todos x ∈ [a, b] e seus integrais neste segmento existem, logo Z b a

f (x) dx ≤

Z b a

g(x) dx .

(10)

Corol´ ario. Se |f (x)| ≤ C para todos x ∈ [a, b] e seu integral neste segmento existe, |

Rb a

f (x) dx| ≤ C · (b − a) .

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Lema.

Rb aC

Teorema.

[65]

· dx = C · (b − a) para todos n´ umeros a, b, C . sobre aproxima¸c˜ao de integral de Riemann. Temos uma C-Lipschitz

fun¸c˜ao f (x) em [a, b] . Logo podemos aproximar o integral de f (x) em [a, b] assim. Cortamos o segmento [a, b] em n partes iguais e em cada parte escolhemos o ponto central pk , k = 1, . . . , n . Logo podemos aproximar o integral assim: Z b f (x) dx a

b−a − n

f (pk ) k=1 n X

≤

C · (b − a)2 . 4n

Aproxima¸ c˜ ao de trap´ ezios. Neste caso aproximamos integral duma fun¸c˜ao f (x) num segmento, por exemplo [0, 1] , cortando este segmento em n partes iguais. Se uma parte ´e [a, b] , o integral nesta parte ´e aproximado por (b − a) · (f (a) + f (b))/2 . Estimamos o erro desta aproxima¸c˜ao, a saber a diferen¸ca Z b a

Teorema.

f (x) dx −

1 · (b − a) · (f (a) + f (b)). 2

(11)

Se uma fun¸c˜ao ´e uniformemente continua num segmento, ela tem

integral de Riemann neste segmento. Teorema.

Se uma fun¸c˜ao ´e n˜ao-decrescente em [a, b] , ela tem integral de

Riemann neste segmento. Prova. Consideramos o retˆangulo n

(x, y) : a ≤ x ≤ b,

o

f (a) ≤ y ≤ f (b) .

(12)

Chamamos D a partilhagem de [a, b] em n peda¸cos iguais. (N˜ao importa para qual peda¸co pertencem seus pontos finais. Tamb´em cortamos o segmento [f (a), f (b)] em m peda¸cos iguais. Logo o retˆangulo (12) ´e cortado em m · n

[66]

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partes, quais chamemos de azulejos. conjunto

n

Chamemos o gr´ afico de nossa fun¸c˜ao o

´ claro que o gr´afico ´e um subconjunto de (x, f (x)) : a ≤ x ≤ b . E o

retˆangulo (12) . Chamemos um azulejo marcado se ele contem pelo menos um ponto comum com o gr´afico.

Observamos que para nossa partilhagem D a

diferen¸ca Ssup (D) − Sinf (D) n˜ao excede a area total dos azulejos marcados. Tamb´em, ´e possivel provar pela indu¸c˜ao em n e m que o n´ umero dos azulejos marcados n˜ao excede m + n − 1 . Logo ! 1 1 + · (b − a) · (f (b) − f (a)) . Ssup (D) − Sinf (D) < m n Logo, tomando m e n bastante grande, podemos fazer esta diferen¸ca t˜ao pequena como quizemos. Logo infint [a,b] f (x) = supint [a,b] f (x) .

Fim da prova.

O Teorema Fundamental de Calculo. Parte 1. Seja f (x) limitada na toda reta e tem integral de Riemann no cada segmento. Escolhemos um ponto inicial x0 e chamemos F (x) =

Z x x0

f (t) dt

para todos

x ∈ IR.

Logo a fun¸c˜ao F (x) ´e continua na toda reta e para cada x , onde f (x) ´e continua, a fun¸c˜ao F (x) tem derivada, qual ´e igual ´a f (x) : d F 0 (x) = F (x) = f (x) . dx Parte 2. Seja fun¸c˜ao F (x) definida e tem derivada F 0 (x) na toda reta. Logo para todos a, b Z b a

F 0 (x) dx = F (b) − F (a).

Provemos a segunda afirma¸ c˜ ao de Parte 1, a saber que se f (·) ´e continua no ponto x , logo f (x) ´e igual a ∆F (x) 1 d F (x) = lim = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x dx ∆x

Z x+∆x x

f (t) dt .

[67]

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Para cada ε > 0 devemos apresentar δ > 0 tal que 1 Z x+∆x 0 < ∆x < δ ⇒ f (x) − ε < f (t) dt < f (x) + ε . ∆x x Pois f (·) ´e continua no ponto x , para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que 0 < |t − x| < δ ⇒ f (x) − ε < f (t) < f (x) + ε . Logo, devido a (10) , (f (x) − ε) · ∆x
0 e consideremos a s´erie ∞ X

nr .

n=1

Logo: a) se r < −1 , esta s´erie converge e tem soma finita. b) Se r ≤ −1 , esta s´erie converge para ∞ . Dica: comparar esta serie com integral Z ∞ 1

xr dx.

[69]

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Se an ≥ 0 para todos n e a s´erie

Teorema.

P

an converge, ent˜ao cada

permuta¸c˜ao desta s´erie converge tamb´em e tem a mesma soma. Teorema.

Tomemos a s´erie

(−1)n+1 /n . Permutando seu termos, ´e possivel

P

obter uma s´erie, qual converge para qualquer n´ umero, para ∞ , para −∞ ou n˜ao converge para nada. Defini¸c˜ ao.

Dizemos que uma s´erie

P

an converge absolutamente se a s´erie

P

|an |

converge. Lembramos o criterio de Cauchy para seq¨ uˆencias: Uma seq¨ uˆencia xn tem limite se e somente se ∀ε>0 ∃k

∀ m, n > k : |xm − xn | < ε.

Podemos aplicar este criterio para s´eries. Criterio Cauchy para s´eries: Uma s´erie ∀ε>0 ∃k

P

an converge se e somente se

∀ m > n > k : |an+1 + . . . + am | < ε.

Demonstra¸ c˜ ao: isto ´e conseq¨ uˆencia do criterio Cauchy para seq¨ uˆencias. Corolario: Se uma s´erie converge absolutamente, logo: a) ela converge, b) sua soma n˜ao depende da ordem de termos. Demonstra¸ c˜ ao de a). Sabemos que

P

|an | converge. Logo podemos usar o criterio de Cauchy para a

seq¨ uˆencia Tn = |a1 | + · · · + |an |.

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[70]

Obtemos que para cada ε > 0 existe k tal que ∀ n > k : |an | + |an+1 | + |an+2 | + . . . < ε. Logo para todos m > n > k |an+1 | + . . . + |am | < ε. Mas |Sm − Sn | = |an+1 + . . . + am | ≤ |an+1 | + . . . + |am |. Logo obtemos a condi¸c˜ao do criterio Cauchy para a seq¨ uˆencia das somas da nossa s´erie: ∀ε>0 ∃k

∀ m > n > k : |Sm − Sn | < ε.

Demonstra¸ c˜ ao de b). Seja bn s˜ao an permutados. Isto significa que existe uma 1-1 rela¸c˜ao f : INI → INI tal que ∀ i ∈ INI : bf (i) = ai . Denotamos A =

P

an e B =

P

bn . Supomos que

A 6= B e obtemos uma contradi¸c˜ao. Denotamos ε = |A − B|/3 . Escolhemos m tal que |am+1 |+|am+2 |+|am+3 |+. . . < ε . Denotamos de S a imagem de conjunto 1, 2, . . . , m sob a¸c˜ao de f , i.e. n

S = f (i) : i ≤ m

o

e depois

t = max f (i). i∈S

Obseravmos que |(a1 + a2 + · · · + am ) − A| < ε. e |(b1 + b2 + b3 + · · · + bt ) − B| = |bt+1 | + |bt+2 | + |bt+3 | + · · · | ≤ |bt+1 | + |bt+2 | + |bt+3 | + · · · < ε. Ent˜ao m X ai i=1

−

A

< ε,

t X bi i=1



− B < ε.

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Agora comparamos duas somas finitas: m X i=1

ai

e

t X

bi .

i=1

O modulo da diferen¸ca entre elas ´e menor que ε . Ent˜ao |L − M | < 3ε = |L − M |. Esta contradi¸c˜ao mostra que nossa suponha L 6= M foi falsa.

[71]

[72]

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20.

S´ eries de fun¸ c˜ oes e convergˆ encia deles.

Teorema.

(de Taylor) Se fun¸c˜ao f (x) tem todas derivadas em todos pontos,

logo para cada n natural e cada x > 0 existe t ∈ [0, x] tal que f (x) =

n X k=0

xn+1 xk (k) f (0) + f (n+1) (t) . k! (n + 1) !

Prova. Denotamos g(x) = f (x)−Pn (x)−C ·xn+1 , onde Pn (x) =

Pn k=0

(xk /k!)·

f (k) (0) e C ´e escolhido tal que g(x) = 0 . Logo a fun¸c˜ao g(x) tem todas derivadas e g(0) = g 0 (0) = · · · = g (n) (0) = 0

e

g (n+1) (x) = f (n+1) (x) − C · (n + 1) !.

Agora a afirma¸c˜ao qual queremos provar pode ser apresentado assim: existe ξ ∈ (0, x) tal que C = f (n+1) (ξ)/(n+1) ! , o que ´e equivalente a existˆencia de ξ ∈ (0, x) tal que g (n+1) (ξ) = 0 . Provemos pela indu¸c˜ao que para cada k = 0, 1, . . . , n + 1 existe ξk ∈ (0, x] tal que g (k) (ξk ) = 0 . Base de indu¸c˜ao: pois g(x) = 0 , podemos tomar ξ0 = x . Passo de indu¸c˜ao: se temos ξk ∈ (0, x) tal que g (k) (ξk ) = 0 , onde 0 ≤ k ≤ n , lembramos que g (k) (0) = 0 e aplicamos o teorema do valor m´edio para a fun¸c˜ao g (k) (·) para achar ξk+1 ∈ (0, ξk ) tal que g (k+1) (ξk+1 ) = 0 . Afinal das contas temos ξ = ξn+1 ∈ (0, x) tal que g (n+1) (ξ) = 0 .

Fim da prova.

Podemos tamb´em considerar s´erie de Taylor: f (x) =

∞ X k=0

Teorema.

xk (k) f (0) . k!

(13)

XXX Se para cada M > 0 existe C(M ) tal que |f (n) (x)| ≤ C(M )

para todos x ∈ [−M, M ] e n = 0, 1, 2, . . . , a s´erie de Taylor converge para cada

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[73]

x ∈ IR para o valor de fun¸c˜ao f (x) , i.e. a igualdade (13) ´e verdadeira para todos x ∈ IR . Exemplo. Provar convergˆencias de s´eries de Taylor para sen (x) e cos(x) . Contra-exemplo. Definimos uma fun¸c˜ao f (x) assim: (

f (x) =

2

e−1/x 0

se x 6= 0, se x = 0.

Provar que esta fun¸c˜ao tem todas derivadas na toda reta e que no ponto zero todas suas derivadas s˜ao iguais a zero. Logo sua s´erie de Tailor tem todos termos iguais a zero e n˜ao converge a fun¸c˜ao mesma. Por que o argumento acima n˜ao ´e verdadeiro neste caso?

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[74]

Leitura presente: [Lima, vol. 1] Elon Lages Lima. Curso de an´alise. Vol. I. 7-a edi¸c˜ao. IMPA, 1992. C´odigo 515 L732c [Lang, part I] Serge Lang. Analysis I. Addison-Wesley, 1968. C´odigo 515 L271a [HW] E. Hairer e G. Wanner. Analysis by Its History. Springer, 1996. [Rudin.port] Walter Rudin. Princ´ıpios de Analise Matem´atica. Rio de Janeiro, Ao Livro T´ecnico, 1971. [Rudin.ingles] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. Second Edition, McGraw-Hill, 1964. C´odigo 515 R916p [Cohen] Ehrlich Cohen. The structure of the Real Numbers. N. Y. Van Nostrand, 1963. [IP] V. A. Ilyin and E. G. Poznyak. Fundamentals of Mathematical Analysis. Mir Publishers, Moscow, 1982. C´odigo 515 I29f

Leitura futura: [Lima, vol. 2] Elon Lages Lima. Curso de an´alise. Vol. II. 7-a edi¸c˜ao. IMPA, 1992. C´odigo 515 L732c [Lang, part II] Serge Lang. Analysis II. Addison-Wesley, 1968. C´odigo 515 L271a [KF] Kolmogorov and Fomin. [Ash] Robert B. Ash. Measure, Integration, and Functional Analysis. Academic Press, New York and London, 1972.