Tema 4. Relatividad especial Primera parte: Relatividad de Galileo 1. Principio de relatividad • Las leyes de la mecánica son las mismas en dos sistemas de referencia, si se mueven de modo que su velocidad relativa sea constante.+ • Se define un sistema inercial como el sistema de referencia en el que una partícula, en ausencia de fuerzas, se mueve con velocidad constante.

2. Transformación de Galileo r • Consideramos dos sistemas inerciales S y S’, cuya velocidad relativa V está dirigida según el eje Ox. Se supone que el plano yz es paralelo al plano y'z', y los ejes x, x' son coincidentes. Las ecuaciones que relacionan las coordenadas de los dos sistemas x = x′ + Vt y = y′ z = z′ reciben el nombre de transformación de Galileo para S y S’. Por tanto, por el principio de relatividad, las leyes de la mecánica son las mismas si realizamos sobre el sistema una transformación de Galileo.

• La ley de transformación para la velocidad y la aceleración es r r r v = v′ + V r r a = a′ Vemos así que la aceleración no depende del sistema de referencia elegido.

3. Efecto Doppler no relativista. Corrimiento de λ • Este efecto relaciona la frecuencia medida de una onda con las velocidades relativas del transmisor T, el medio y el receptor R. Suponiendo que el transmisor emite ondas cada Te segundos, queremos determinar el período de la onda observado por el receptor. La onda viaja en el medio con una velocidad V. El transmisor se mueve con velocidad VT hacia el receptor, y el receptor se mueve con velocidad V R hacia el transmisor.

• Por tanto, en virtud de la adición no relativista de velocidades, la distancia entre transmisor y receptor disminuye VT + VR metros en cada segundo, y la onda llega al receptor con la velocidad relativa V + VR . El transmisor emite una onda de período Te , siendo t = 0 el instante en el que emite el primer frente de onda y t = Te el instante en el que emite el último frente de onda, y finaliza la emisión. Si ambos observadores, el transmisor y el receptor, estuvieran en reposo relativo VR = VT = 0 , el intervalo de tiempo transcurrido entre la recepción del primer frente de onda y la recepción del último frente de onda sería Te . • Durante dicho intervalo de tiempo, la distancia entre el transmisor y el receptor disminuye, con lo cual el último frente de onda debe recorrer una distancia menor para llegar al receptor, que la distancia que debe recorrer el primer frente de onda. Las distancias recorridas por el primer y último frente de onda difieren en la cantidad ∆d = (VR + VT ) Te Ya que la velocidad con que se acerca la onda al receptor es V + VR , la diferencia entre el tiempo de vuelo del primer frente de onda y el tiempo de vuelo del último frente de onda es d V +V ∆t = = R T Te V + VR V + VR Por tanto, el período de la onda observado por el receptor será igual al período emitido menos la diferencia de tiempo ganada debida al movimiento de acercamiento del transmisor y receptor. Es decir,  V +V  V − VT TR = Te − ∆ t = 1 − R T  Te = Te V + VR  V + VR  Introduciendo la frecuencia ν de la señal 1 T= ν obtenemos la relación buscada V + VR νR = νe V − VT Es el efecto Doppler no relativista. La frecuencia medida de una onda depende de la velocidad relativa del receptor y transmisor respecto a la velocidad de las ondas en el medio. • El caso que más no interesa se refiere a un receptor en reposo (radar en la superficie terrestre), y un transmisor (galaxia en emisión espectral) moviéndose con una velocidad pequeña frente a la velocidad de las ondas en el medio estelar. Con esto, el cambio de frecuencia por efecto Doppler puede aproximarse al valor V  V  νR = ν e ; 1 + T ν e V − VT V  

De aquí, podemos calcular la variación relativa en la frecuencia medida por el observatorio terrestre ν − ν e VT ∆ν R = R = νe V • En el caso más general, las ondas luminosas que llegan a la Tierra procedentes de galaxias lejanas se estudian a través de su espectro de longitudes de onda. La longitud de onda se define en la forma V λ = = VT ν La variación de la longitud de onda debido al efecto Doppler, en esta aproximación, es λ − λe V ∆λ R = R =− T λe V Cuando una galaxia se aleja de la Tierra, VT < 0 , obtenemos λR > λe . La luz que recibimos procedente de esa galaxia sufre un corrimiento hacia longitudes de onda mayores, es el llamado corrimiento al rojo. Si la galaxia se acerca a la Tierra, VT > 0 , obtenemos λR < λe , y se produce un corrimiento hacia longitudes de onda menores. Es el llamado corrimiento al azul.

4. Velocidad relativa de las galaxias. Edad del Universo • Según hemos visto en el punto anterior, midiendo el desplazamiento en longitud de onda del espectro que llega a la superficie terrestre emitido por cualquier galaxia, podemos estimar cuál es la velocidad relativa de esa galaxia respecto a la Tierra. Para estimar la distancia que nos separa de ella nos basamos en el modelo cosmológico más aceptado actualmente. • Dicho modelo acepta que el universo se encuentra en continua expansión, y que dicha expansión es uniforme en cualquier dirección y respecto a cualquier punto del universo. Por tanto, respecto a la Tierra, todas las galaxias se alejan de forma uniforme, por lo que una galaxia situada a una distancia r de la Tierra, se debe alejar de nosotros a una velocidad Vg = α r siendo α un valor de referencia que vale aproximadamente α = 10−18 seg -1 • Podemos estimar además con este modelo cosmológico la edad τ del Universo, y su tamaño, caracterizado por un cierto radio R. La frontera del Universo está formada por los rayos de luz que se emitieron en su nacimiento, y se alejan de cualquier punto con una velocidad igual a la velocidad de la luz. La distancia que han recorrido es igual al radio del universo, que satisface

c = 1018 seg-luz = 3 × 1010 años-luz α y la edad del universo será igual al tiempo necesario para que los rayos de luz recorran esta distancia 1 τ = cR = = 1018 seg = 3 × 1010 años α R=

4.1

La velocidad de la corriente de un río es Va , y el río tiene anchura L. Una lancha se desplaza con velocidad Vr respecto al agua en reposo. ¿Qué dirección debe tomar la lancha para llegar a la otra orilla en el menor tiempo posible? Calcular el punto de atraque. • Escogemos el eje x en la dirección de la corriente del río, paralela a la orilla, y el eje perpendicular y a la orilla del río. Por la ley de composición de velocidades, la velocidad de la lancha respecto a la orilla es igual a r r r V = Va + Vr ó Vx = Va + Vr sen φ V y = Vr cos φ siendo φ el ángulo que forma la trayectoria de la lancha con la perpendicular a la orilla del río. Si las velocidades son constantes, la integral de la ley del movimiento de la lancha es x = (Va + Vr sen φ ) t y = Vr cos φ t

• Cuando y = L la lancha se encontrará en la otra orilla del río. El tiempo que tarda en cruzar el río viene dado por L t= Vr cos φ y la posición en la que llega en la otra orilla está dada por V + Vr sen φ x= a L Vr cos φ El tiempo de cruce es mínimo cuando la trayectoria sigue la línea recta definida por el V valor φ = 0 . En este caso, la posición del punto de llegada es x = a L , y = L . Vr

4.2

Un nadador que parte de A, se desplaza con velocidad constante Vn respecto al agua sobre un río de anchura d cuyas aguas están animadas de una corriente de velocidad constante Vr . a) El nadador efectúa trayectos, de longitud d, de ida y vuelta: cruzando la orilla, AA1 A , en un tiempo t1 y de forma paralela a la orilla, AA2 A , en un tiempo t2 . Calcular el valor del cociente t1 / t2 b) El nadador deja el borde A, cuando se encuentra a una distancia d de la proa de una motora, de anchura L, que se desplaza de forma paralela a la orilla con una velocidad constante u respecto del agua. Determinar la dirección y magnitud de la velocidad absoluta mínima del nadador para que no choque con la embarcación.

A1

a)

d α A

r Vr

b)

r Vr

r Vn

r u

L

d

A2

B α

d

A

• La ley de composición de velocidades es r r r V = Vn + Vr r siendo V la velocidad absoluta del nadador respecto a la orilla. Para ir de A a A1 el r nadador debe formar un ángulo α con la normal a la orilla, de forma que V sea perpendicular a la orilla, perpendicular entonces a la velocidad del río. Así, se debe satisfacer Vn2 = V 2 + Vr2 con lo cual la velocidad absoluta del nadador es V = Vn2 − Vr2

El tiempo t1 que tarda en cruzar el río de anchura d y volver está dado por d d d t1 = 2 =2 =2 Vn cos α V V 2 −V 2 n

r

• En el viaje AA2 , de longitud d, la velocidad del nadador respecto a la orilla es

Vn − Vr , y en el viaje de vuelta, A2 A , de longitud d, la velocidad es Vn + Vr . El tiempo que tarda en recorrer la distancia AA2 A es

t2 =

2dV d d + = 2 n2 Vn − Vr Vn + Vr Vn − Vr

• El cociente de tiempos nos queda t1 V2 = 1 − r2 t2 Vn

• Tomamos el instante inicial t = 0 cuando el nadador sale de A. En ese instante, la motora se encuentra en x = − d y viaja con velocidad u respecto del agua. El nadador evita la embarcación si llega al punto B, a una distancia L perpendicular a la orilla, en primer lugar. • El tiempo que tarda el nadador en llegar a B es L tn = Vn cos α siendo α el ángulo que forma el nadador con la normal a la orilla. El tiempo que tarda la motora en llegar al mismo punto es d + L tan α tm = u − Vr siendo u − Vr la velocidad absoluta de la motora respecto de la orilla. El nadador evita la colisión con la motora, si tn < tm . La velocidad del nadador para conseguir esto satisface, por tanto L ( u − Vr ) L ( u − Vr ) Vn > = ( d + L tan α ) cos α d cosα + L senα • El mínimo de esta velocidad se alcanza cuando dVn =0 dα ó d sen α − L cosα = 0 L tan α = d Esto es, cuando el nadador se dirige en línea recta hacia B. La velocidad mínima es, entonces, L (u − Vr ) Vn = d 2 + L2

4.3

Una línea espectral que aparece con una longitud de onda de 5000 Å en el laboratorio se observa con 5000.2 Å en el espectro de la luz emitida por una galaxia lejana. Calcular su velocidad y posición desde la Tierra. • Si λe es la longitud de onda emitida por la galaxia y λR , la longitud de onda recibida en la Tierra, el corrimiento por efecto Doppler viene dado por Vg ∆λ λR − λe = =− λ λe c Introduciendo los datos, obtenemos λ − λR 5000.2 − 5000 Vg = c e =c = −4 × 10 −5 c λe 5000.2 La galaxia se aleja de la Tierra. • La distancia r desde la Tierra satisface Vg = α r siendo α un valor de referencia que vale aproximadamente α = 10 −18 seg -1 = 3 × 10− 10 años −1 Obtenemos r : 105 años-luz

4.4

Las velocidades de las galaxias relativas a la Tierra no son isótropas en el firmamento, ya que dependen de la dirección de observación. La anisotropía es consecuencia del movimiento del Sol respecto al centro de nuestra galaxia, con una velocidad de 300 km/s. Examinamos todas las galaxias situadas a una distancia de 3.26 x 107 años-luz. En el laboratorio la línea α de emisión del hidrógeno tiene una longitud de onda de 6563 Å. Calcular los valores máximo y mínimo de la longitud de onda recibida en la Tierra, y la dirección de observación en que se producen. • En este problema debemos suponer que la Tierra no está en reposo, sino que se mueve con una velocidad de arrastre V R , debido al movimiento del Sol, que vale 300 km/s=10-3 c, y está dirigida según una cierta dirección que elegimos como el eje z. En este caso el desplazamiento Doppler viene dado por 1 1 c + VR = λ R λe c − Vg siendo V g la velocidad de alejamiento de las galaxias Vg = −α r

Con esto, λR = λe

Con los datos del problema,

c +αr c + VR

Vg : −10 −10 × 3,26 × 107 c = −0,00326c

• La velocidad de la Tierra es de 300 Km/s si la dirección de observación coincide con la dirección de su movimiento (eje z), y es de -300 km/s si la dirección de observación es opuesta a la dirección de su movimiento. Cuando la dirección de observación forma un ángulo β con la dirección del movimiento de la Tierra, la velocidad de traslación de la Tierra vale VR = 300cos β km/s • Por tanto, el máximo en la longitud de onda recibida se produce cuando VR es mínima, es decir, en la dirección -z, y el mínimo en la longitud de onda se produce cuando VR es máxima, es decir, en la dirección +z. Con los datos del problema, c + 0,00326c λmax = λe : 6591,0 A c − 0,001c y c + 0,00326c λmin = λe : 6577,8 A c + 0,001c

4.5

Un astronauta desea conocer su velocidad de aproximación a la Luna. Para ello envía una señal de frecuencia 5000 MHz y compara esta frecuencia con su eco, observando una diferencia de 86 Hz. Calcular la velocidad del astronauta respecto a la Luna. • Suponemos un receptor en reposo (la Luna), y el transmisor aproximándose con una velocidad VT (el astronauta). La frecuencia recibida por la Luna sufre un desplazamiento por efecto Doppler en la forma 1  V  ν R = νe : νe 1 + T  V c   1− T c expresión válida si VT = c , siendo c la velocidad de la luz, velocidad a la que se propaga la señal enviada por el astronauta. • La frecuencia reflejada por la Luna es

ν R = ν R′

• Esta señal llega de nuevo al astronauta con una frecuencia 1  V  ν ′e = ν ′R : ν ′R  1 + T  V c   1− T c

En esta recepción, el astronauta está en reposo y la Luna se acerca a él con velocidad VT . • La relación entre las frecuencias de la señal emitida y del eco recibido es, entonces 2

 V  ν e′ = ν e  1 + T  c   Vemos que la frecuencia del eco siempre será mayor que la frecuencia emitida, ya que el astronauta se acerca a la Luna. Con los datos del problema, encontramos la velocidad de aproximación del astronauta a la Luna  ν′   5000,086  VT = c  e − 1 = c  − 1  : 2,58km/s 5000  νe   